Tài liệu ôn tập thể tích khối đa diện

Chia sẻ: Trần Bá Trung3 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:12

0
227
lượt xem
153
download

Tài liệu ôn tập thể tích khối đa diện

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu giúp các em học sinh có tài liệu ôn tập, luyện tập nhằm nắm vững được những kiến thức, kĩ năng cơ bản, đồng thời vận dụng kiến thức để giải các bài tập một cách thuận lợi, dể dàng và tự kiểm tra đánh giá kết quả học tập của mình. Tác giả hy vọng tài liệu có ích cho các bạn tham khảo

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Tài liệu ôn tập thể tích khối đa diện

  1. Ôn Tập chương I THEÅ TÍCH KHOÁI ÑA DIEÄN 1 Tính theå tích cuûa hình hoäp chöõ nhaät coù chieàu roäng baèng 1 , chieàu daøi baèng 3 vaø ñöôøng cheùo cuûa hình hoäp hôïp vôùi maët ñaùy moät goùc 30 . ĐS: V = 2 (đvtt) 2 Cho hình hoäp vôùi saùu maët ñeàu laø hình thoi caïnh a , goùc nhoïn baèng 60 . Tính theå tích cuûa hình hoäp. a3 2 ĐS: V  (đvtt) 2 3 Ñaùy cuûa moät hình hoäp laø moät hình thoi coù caïnh baèng 6cm vaø goùc nhoïn baèng 45 , caïnh beân cuûa hình hoäp daøi 10cm vaø taïo vôùi maët phaúng ñaùy moät goùc 45.Tính theå tích cuûa khoái hoäp . ĐS: V =180 (đvtt)  4 Cho hình hoäp ñöùng ABCD.A'B'C'D' coù ABCD laø hình thoi caïnh a vaø BAD  60 , AB' hôïp vôùi ñaùy (ABCD) moät goùc  . Tính theå tích cuûa hình hoäp . a2 3 3 3 ñs: V = SABCD .BB'  .a tan   a tan  2 2 5 Cho khoái choùp S.ABC coù ñaùy ABC laø tam giaùc ñeàu caïnh a , SA  (ABC) . Maët beân (SBC) taïo vôùi maët phaúng ñaùy moät goùc  . Tính theå tích khoái choùp . Giaûi Goïi M laø trung ñieåm BC , vì ABC ñeàu neân AM  BC (1) ñl3ñ  Do AM = hc(ABC)SM,AM  BC  SM  BC (2)  Maët khaùc : (SBC)  (ABC) = BC (3)   Töø (1),(2),(3)  ((SBC);(ABC)) = SMA   a 3 SAM vuoâng taïi A neân SA = AH.tan = .tan  2 1 1 a2 3 a 3 a3 Vaäy theå tích hình choùp laø V= .SABC .SA  . . .tan   tan  3 3 4 2 8 6 Cho khoái choùp tam giaùc ñeàu coù caï nh beân baèng a vaø caùc caïnh beân taïo vôùi maët phaúng ñaùy moät goùc . Tính theå tích cuûa khoái choùp . Giaûi Goïi khoái choùp tam giaùc ñeàu ñaõ cho laø S.ABC neân SA = SB = SC . Keû SH  (ABC) taïi H thì H laø taâm cuûa tam giaùc ñeàu ABC . Goïi M laø trung ñieåm BC . Vì H = hc S  AH = hc   AS  (SA;(ABC))  SAH   (ABC) (ABCD)  SHA vuoâng taïi H coù SAH   neân AH = SA.cos  a.cos . SH = AH.tan  a cos .tan  asin  . 2 3 3 Maët khaùc : AH = AM  AM  .AH  a cos  3 2 2 2.AM 2 3 Maø ABC ñeàu coù ñöôøng cao AM neân AB =  . a cos   3a cos  3 3 2 ( 3a cos )2 . 3 3 3a2 cos2   SABC   4 4 1 1 3 3a2 cos2  3 3 Vaäy theå tích cuûa khoái choùp laø V = .SABC .SH  . .asi n   a cos2  sin  3 3 4 4 Gi¸o Viªn Phạm Văn Quý - 1 -
  2. Ôn tập chương I a 3 7 Khoái choùp tam giaùc S.ABC coù ñaùy ABC laø tam giaùc vuoâng taïi A , BC = a ; SA = SB = SC = vaø 2 maët beân SAB hôïp vôùi ñaùy moät goùc 60 a) Tính khoaûng caùch töø S ñeán maët phaúng (ABC) . b) Tính goùc giöõa ñöôøng thaúng SA vaø maët phaúng (ABC) . c) Tính theå tích cuûa khoái choùp S.ABC Giaûi a) Döïng SH  (ABC) a 3 Ta coù : SA = SB = SC =  HA = HB = HC 2  H laø taâm cuûa ñöôøng troøn ngoaïi tieáp ABC Vì ABC vuoâng taïi A neân H laø trung ñieåm BC . a 3 2 a 2 3a2 a 2 Do SH2  SB2  HB2  ( ) ( )   SH  2 2 4 2   b) Do SH  (ABC)  H  hc(ABC)S  AH  hc(ABC)AS  (SA;(ABC))  SAH  60  SH  SAH vuoâng taïi H neân tanSAH   2  SAH  acr tan 2 AH c) Goïi M laø trung ñieåm AB Do SH  (ABC)  H  hc(ABC)S  MH  hc(ABC)MS maø HM  AB (1) vì HM // AC ñlí 3 ñ   MS  AB (2)    Töø (1),(2)  (SA;(ABC))  SAH  60 a 2 1 a 6 a 6 SHM vuoâng taïi H , ta coù : MH = SH.tan60  .   AC  2MH  , 2 3 6 3 a a 6 2 a 3 a 3 MB  HB2  MH2  ( )2  ( )   AB  2MB  2 6 6 3 1 1 a 3 a 6 a2 2 1 1 a2 2 a 2 a3  SABC  .AB.AC  . .   V  .SABC .SH  . .  2 2 3 3 6 3 2 6 2 12 8 Cho khoái choùp S.ABC coù ñöôøng cao SA = a, ñaùy laø tam giaùc vuoâng caân AB = BC = a . Goïi B' laø trung ñieåm cuûa SB , C' laø chaân ñöôøn g cao haï töø A cuûa SAC . a) Tính theå tích khoái choùp S.ABC . b) Chöùng minh raèng SC vuoâng goùc vôùi mp(AB'C') . c) Tính theå tích khoái choùp S.AB'C' . HD 1 1 a2 a3 a) Ta coù : VS.ABC  .SABC .SA  .a.  3 3 2 6 b) Ta coù : BC  AB BC  SA  BC  (SAB)  BC  AB' (1)  SAB caân taïi A neân SB  AB' (2) Töø (1),(2) suy ra AB'  (SBC)  AB'  SC . Maët khaùc : AC'  SC neân SC  (AB'C') c) Ta coù 1 1 VS.AB'C'  .SC'.SAB'C'  .SC'.AB'.B'C' 3 6 1 a 2  SAB vuoâng caân taïi A, ta coù : SB = a 2,AB'  SB'  SB  2 2 - 2 -
  3. Ôn tập chương I  SAC vuoâng caân taïi A, ta coù : SC2 = SA 2  AC2  SA 2  AB2  BC2  3a2  SC  a 3 SA 2 a2 a 3 SA 2  SC'.SC  SC'    SC a 3 3 a 2 B'C' SB' 6 a 6   2   B'C'  BC SC a 3 6 6 3 1 a 3 a 2 a 6 a Vaäy V = . . .  6 3 2 6 36 9 Tính theå tích cuûa khoái choùp töù giaùc ñeàu , maët ñaùy coù caïnh baèng 2 , caïnh beân baèng 11 . Giaûi Goïi hình choùp töù giaùc ñeàu laø S.ABCD vaø H laø taâm cuûa maët ñaùy ABCD . 1 Ta coù : SH  (ABCD) taïi H vaø AH = AC  2 2 Vì SHD vuoâng taïi H neân SH = SD 2  HD 2  11  2  3 1 1 Vaäy V = .SABCD .SH  .22.3  4 3 3 10 Cho hình choùp töù giaùc ñeàu coù dieän tích ñaùy baèng 4 vaø dieän tích cuûa moät maët beân baèng 2 . Tính theå tích cuûa hình choùp ñoù . Giaûi Goïi hình choùp ñaõ cho laø S.ABCD , H laø taâm cuûa maët ñaùy ABCD vaø M laø trung ñieåm cuûa CD.  Caïnh ñaùy : a = 4  2 1  Maët beân : SSCD  2  .CD.SM  2  SM  2 2  Chieàu cao : SH = SM2  HM2  2  1  1 1 1 4 Vaäy theå tích cuûa khoái choùp laø V = .SABCD .SH  .4.1  3 3 3 11 Cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy ABCD laø hình vuoâng vaø ñöôøng cheùo AC = 2 . Bieát SA  (ABCD) vaø caïnh beân SC taïo vôùi maët phaúng ñaù y moät goùc 30 . Tính theå tích cuûa khoái choùp S.ABCD . Giaûi Vì SA  (ABCD)  A = hc(ABCD)S  AC = hc(ABCD)SC    (SC;(ABCD))  SCA  30 3 2 3  SAC vuoâng taïi A neân SA = AC.tan30  2.  2 3 AC 2  SABCD  AB2  ( ) 2 2 1 1 2 3 4 3  V = .SABCD .SA  .2.  3 3 3 9 12 Cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy ABCD laø hình vuoâng caïnh , caïnh SA vuoâng goùc vôùi maët ñaùy vaø SA = AB = a . a) Tính dieän tích SBD theo a . b) Chöùng minh raèng : BD  SC . c) Tính goùc taïo bôûi SC vaø maët phaúng (SBD) . d) Tính theå tích khoái choùp S.ABCD . - 3 -
  4. Ôn tập chương I Giaûi a) Ta coù : SA  (ABCD) . Goïi H laø taâm cuûa hình vuoâng ABCD . 1  Noái S vaø H thì SH  BD (Ñlí 3 ñ  ) neân SBCD  .BD.SH 2 a 2 2 a 6 1 a 6 a2 3  ASH vuoâng taïi A : SH  SA 2  AH 2  a2  ( ) =  SBCD  .a 2.  2 2 2 2 2 BD  AC ( hai ñöôøng cheùo hình vuoâng) b) Ta coù :   BD  (SAC) maø SC  (SAC) neân BD  SC BD  SA ( vì SA  (ABCD)) c) Keû CK  SH thì CK  BD ( do BD  (SAC))  CK  (SBD)  K= hc   C  (SC;(SBD)) = CSH (SBD) AÙp duïng ñlí haøm soá cosin trong SCH ta ñöôïc : 2 2 2 2 HC2  SH2  SC2  2SH.SC.cos HSC  cos HSC      HSC  acr cos . 3 3 1 1 a3 d) V = .SABCD .SA  .a2 .a  3 3 3 12 (ÑHSPTpHCM-D2000) Cho hình choùp töù giaùc ñeàu S.ABCD coù ñaùy ABCD laø hình vuoâng caïnh a vaø SA = SB = SC = SD = a . a) Tính dieän tích toaøn phaàn vaø theå tích hình choùp S.ABCD theo a . b) Tính cosin cuûa goùc nhò dieän (SBA,SAD) . HD a2 3 a)  Stp  SABCD  4.SSAB  a2  4.  (1  3)a2 . 4 1 a 2 2 a 2 1 a 2 a3 2 V = .SABCD .SH , ta coù : SH = SA 2  HA 2  a2  ( )   V= .a2 . = 3 2 2 3 2 6  b) Goïi M laø trung ñieåm cuûa SA , ta coù : BM  SA vaø DM  SA   = BMD laø goùc phaúng cuûa nhò dieän (SAB,SAD) . AÙp duïng ñlí haøm soá cosin trong BMD ta ñöôïc : 2 2 2 2  2 3a 3a2 3a2   1 BD  MB  MD  2MB.MD.cos BMD  2a    2. .cos BMD  cos BMD   4 4 4 3 13 Cho hình choùp töù giaùc ñeàu coù caï nh ñaùy baèng a vaø caùc caïnh beân hôïp vôùi ñaùy moät goùc  . Tính theå tích cuûa khoái choùp töù giaùc ñeàu . HD Goïi hình choùp töù giaùc ñeàu laø S.ABCD vaø maët ñaùy laø hình vuoâng ABCD coù taâm H .    Keû ñöôøng cao SH , ta coù SAH  SBH  SBH  SBH    a 2 Xeùt SAH vuoâng taïi H neân SH = AH .tan  tan  2 1 1 2 a 2 a3 2 Vaäy V = .SABCD .SH  .a . tan   tan  3 3 2 6 14 Cho hình choùp töù giaùc ñeàu coù caïnh ñaùy baèng a vaø caùc maët beân hôïp vôùi ñaùy moät goùc  . Tính theå tích cuûa khoái choùp töù giaùc ñeàu . - 4 -
  5. Ôn tập chương I HD Goïi hình choùp ñaõ cho laø S.ABCD , H laø taâm cuûa maët  ñaùy ABCD vaø M laø trung ñieåm cuûa CD thì SMH   a SH  HM.tan   tan  2 1 1 a 1 V  .SABCD .SH  .a2 . tan   a3 tan  3 3 2 6 15 (YHN-2000) Cho hình choùp töù giaùc ñeàu S.ABCD coù ñoä daøi caïnh  ñaùy AB = a vaø SAB   . Tính theå tích khoái choùp S.ABCD theo a vaø  . HD Goïi H laø taâm cuûa ñaùy ABCD vaø M laø trung ñieåm AB . Khi ñoù : SH  (ABCD) vaø HM  AB . ñlí 3 ñ  Vì H = hc(ABCD)S  HM= hc(ABCD)SM  SM  AB  a a2 SMA vuoâng taïi M neân SH 2  SM 2  HM 2  ( tan )2   2 4 a2 a  (tan 2   1)  SH  tan2   1 4 2 3 1 1 a a Vaäy V= .SABCD .SH  .a2 . tan2   1  tan 2   1 3 3 2 6   Vôùi ñieàu kieän tan 2   1  0     4 2 16 Cho hình choùp töù giaùc ñeàu S.ABCD coù ñöôøng cao baèng a vaø caùc maët beân laø tam giaùc caân coù goùc ôû ñænh baèng  . HD   Goïi BSH =  . AÙp duïng ñl cosin vaøo SBD vaø SBC :  BD2  2SB2 (1  cos 2)  BC2  2SB2 .sin2  2 2 2 2   sin   1  cos  BC  2SB (1  cos )  cos   cos    1  cos2  1  cos   SABCD  BC2  2HB2  2a2 tan2   2a2 .  2a2 . cos2  cos   4a2 sin2  S= 2 cos   2 4a2 sin2 3 sin 1 1 2 .a  4a . 2 V = .SABCD .SH  . 3 3 cos  3 cos  17 Tính theå tích cuûa khoái taùm maët ñeàu coù caïnh baèng a . Giaûi Goïi khoái taùm maët ñeàu ñaõ cho laø ABCDE vaø O laø taâm cuûa hình vuoâng BCDE coù caïnh baèng a . Vì maët BCDE chia khoái taùm maët ñeàu thaønh hai phaàn baèng nhau neân : 1 1 a 2 a3 2 VABCDEF = 2.VABCDE  2. .SBCDE .AO  2. .a2 .  3 3 2 3 - 5 -
  6. Ôn tập chương I 18 Cho hình laäp phöông coù caïnh baèng a . Tính theå tích cuûa khoái taùm maët ñeàu maø caùc ñænh laø taâm cuûa caùc maët hình laäp phöông . Giaûi . Khoái laäp phöông coù caïnh baèng a . Khi ñoù khoái taùm maët ñeàu ñöôïc taïo thaønh coù maët cheùo ABFD a 2 coù AF = a , BD = a . Doù ñoù : caùc caïnh baèng nhau vaø baèng 2 Thaät vaäy : AOB vuoâng taïi O laø taâm cuûa khoái taùm maët ñeàu , caïnh : a a a 2 AB = OA 2  OB2  ( )2  ( )2  2 2 2 Vì maët BCDE chia khoái taùm maët ñeàu thaønh hai phaàn baèng nhau neân : 1 1 a 2 2 a a3 VABCDEF = 2.VA.BCDE  2. .SBCDE .AO  2. .( ) .  3 3 2 2 6 ( xem hình baøi 17 ) 19 Cho khoái töù dieän ñeàu coù caïnh baèng a . Tính theå tích cuûa khoái taùm maët ñeàu maø caùc ñænh laø trung ñieåm cuûa caùc caïnh cuûa khoái töù dieän ñeàu . a Giaûi . Khoái taùm maët ñeàu ñöôïc taïo thaønh coù caùc caïnh baèng nhau vaø baèng 2 Thaät vaäy : Goïi P,Q,R laàn löôït laø trung ñieåm caùc caïnh AB,CD,BC . Khi ñoù : PQ vuoâng goùc vôùi AB, CD . Tam giaùc APQ vuoâng taïi P . a 3 2 a 2 a 2 Ta coù : PQ = AQ2  AP 2  ( ) ( )  2 2 2 a2 PRQ vuoâng taïi R vaø PQ 2 = RP 2  RQ 2  2RP 2  PQ 2  2 a2 a a 2  RP 2   caïnh RP =  ñöôøng cao AO = . 4 2 4 Maët BCDE chia khoái taùm maët ñeàu thaønh hai phaàn baèng nhau neân : 1 1 a a 2 a3 2 VABCDEF = 2.VA.BCDE  2. .SBCDE .AO  2. .( )2 .  3 3 2 4 24  a 5 20 Cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy ABCD laø hình thoi caïnh a , BAD  60 , SA = SC = , SB = SD. 2 a) Tính theå tích cuûa khoái choùp . b) Chöùng minh raèng : (SAC)  (SBD) . c) Tính Stp cuûa hình choùp . Giaûi a) Goïi O = AC  BD - 6 -
  7. Ôn tập chương I SA  SC  SO  AC,AC  (ABCD) Ta coù : SB  SD   SO  (ABCD) O laø trung ñieåm AC vaø BD SO  BD,BD  (ABCD)   O  hc(ABCD)S  SO laø ñöôøng cao cuûa S.ABCD a 3  OA = ( ñöôøng cao ABD ñeàu caïnh a ) 2 2 2 5a2 3a2 a 2  SOA vuoâng taïi O , ta coù : SO = SA  AC    4 4 2 2 1 1 a 2 a 3  SABCD  2SABD  2. .OA.BD  2. . .a  2 2 2 2 2 3 1 1 a 2 a 3 a 6  V = .SO.SABCD  . .  3 3 2 2 12 b) Chöùng minh : (SAC)  (SBD) AC  BD (ñ/c hình thoi)  AC  (SBD) Ta coù : AC  SO ( vì SO  (ABCD))    (SAC)  (SBD) SO  (SBD) AC  (SAC)  c) Stp  4SSCD  SABCD ( Vì SCD = SBC = SAB = SAD ) SD  SC  DC a( 3  5  2)  Tính SSCD : Vì nöûa chu vi p =  2 2 AÙp duïng coâng thöùc He-roâng ta ñöôïc : SSCD  p(p  SD)(p  SC)(p  DC) a p  SD  ( 5  2  3) (1) 4 a p  SC  ( 3  5  2) (2) 4 a p  DC  ( 3  5  2) (3) 4 a2 2 2 a2 a2 11 Vaäy : SSCD  [( 3  5)  2][4  ( 3  5)  60  16  16 16 8 2 2 2 a 11 a 3 a  Stp    ( 11  3) 2 2 2 THEÅ TÍCH KHOÁI LAÊNG TRUÏ 1 Moät hình laêng truï tam giaùc ñeàu coù caïnh ñaùy baèng a , chieàu cao baèng 2a . Tính theå tích cuûa laêng truï . Giaûi Goïi laêng truï tam giaùc ñeàu laø ABC.A'B'C' a2 3 a3 3 Ta coù : V = AA '.SABC  2a.  4 2 2 Moät laêng truï ñöùng coù chieàu cao 20cm . Maët ñaùy cuûa laêng truï laø moät tam giaùc vuoâng coù caïnh huyeàn 13cm , dieän tích laø 30cm 2 . Tính dieän tích xung quanh vaø dieän tích toaøn phaàn cuûa hình laêng truï . Giaûi Goïi hình laêng truï laø ABC.A'B'C'  ABC vuoâng taïi B , AC = 13cm SABC  30cm 2 ,AA '  20cm Goïi x,y laø hai caïnh goùc vuoâng cuûa ABC . Ñieàu kieän : 0 < x,y < 13 . - 7 -
  8. Ôn tập chương I x2  y2  132  169    2 Theo ñeà :  1  (x  y)  2xy  169  xy  30 xy  60  2  (x  y)2  169  2xy  289  x  y  17  Vaäy : Sxq  CVi ñaùy  caïnh beân = (17+13)  20 = 600cm 2 Stp  Sxq  2.Sñaùy  600  2.30  660cm 3 3 Moät khoái laêng truï ñöùng tam giaùc coù caùc caïnh ñaùy baèng 37,13,30 vaø dieän tích xung quanh baèng 480 . Tính theå tích cuûa khoái laêng truï . Giaûi Chu vi ñaùy cuûa khoái laêng truï : 2p = 37+13+30 = 80  p = 40 . 480 Chieáu cao cuûa khoái laêng truï : h = 6 80 AÙp duïng coâng thöùc Heâ-roâng , dieän tích ñaùy cuûa khoái laêng truï laø : S = 40(40  37)(40  13)(40  30)  180 Vaäy theå tích khoái laêng truï : V = S.h = 1080 . 4 Moät khoái laêng truï tam giaùc coù caùc caïnh ñaùy baèng 13,14,15, caïnh beân taïo vôùi ñaùy moät goùc 30 vaø coù chieàu cao baèng 8 . Tính theå tích cuûa khoái laêng truï . Giaûi Goïi khoái laêng truï laø ABC.A'B'C' . Keû A'H  (ABC) taïi H . Ta coù : H = hc A '  AH = hc   AA '  (AA ';(ABC))  A ' AH  30 (ABC) (ABC) Ñaùy ABC coù nöûa chu vi : p = 21 . Dieän tích : S = 21(21  13)(21  14)(21  15)  84 1 A ' HA vuoâng taïi H : A'H = AA'.sin30  8.  4 2 Theå tích : V = S.h = 336 5 Moät khoái laêng truï tam giaùc coù caùc caïnh ñaùy baèng 19,20,37, chieàu cao cuûa khoái laêng truï baèng trung bình coäng cuûa caùc caïnh ñaùy . Tính theå tích cuûa khoái laêng truï . Giaûi 19  20  37  Nöûa chu vi ñaùy : p =  38 2  Dieän tích ñaùy : S = 38(38  19)(38  20)(38  37)  114 19  20  37 76  Chieàu cao : h =  3 3 76 Vaäy theå tích cuûa khoái laêng truï laø V = Sh = 114.  2888 3  6 Cho khoái laêng truï ñöùng ABC.ABC coù ñaùy ABC vuoâng taïi A , AC = a , ACB = 60.Ñöôøng thaúng BC , taïo vôùi mp(AACC) moät goùc 30 . a) Tính ñoä daøi ñoaïn thaúng AC . b) Tính theå tích khoái laêng truï ñaõ cho . Giaûi a) Tính AC'  ABC vuoâng taïi A neân AB = AC.tan60  a 3  Ta coù : AB  AC,AB  AA'  AB  (AA'C'C)  A= hc(AA 'C'C)B  AC'= hc   BC'  (BC';(AA 'C'C))  BC' A  30 (AA 'C'C) - 8 -
  9. Ôn tập chương I AB a 3 AC'B vuoâng taïi A  AC' =   3a tan30  1/ 3 b)  AA'= AC'  A 'C'  (3a)2  a2  2 2a 2 2 a2 3  SABC  2 a2 3 Vaäy : VABC.ABC  AA '.SABC  2 2a.  a3 6 2 7 Cho laêng truï tam giaùc ñeàu ABC.A'B'C' coù caùc caïnh ñeàu baèng a , AA'  (ABC) . Tính theå tích cuûa khoái ABCC'B' . Giaûi a2 3 1 a2 3 a3 3 VABCC'B'  VABC.A'B'C'  VAA'B'C'  a.  .a.  4 3 4 6 8 Cho laêng truï xieân ABC.ABCcoù ñaùy laø tam giaùc ñeàu caïnh a .Hình chieáu vuoâng goùc cuûa A leân mp (ABC) truøng vôùi trung ñieåm I cuûa BC , caïnh beân taïo vôùi ñaùy moät goùc 60. Tính theå tích cuûa khoái laêng truï naøy . Giaûi Theo ñeà : A'I  (ABC)  A'I laø ñöôøng cao cuûa khoái laêng truï neân V = A'I.SABC a 3 ABC ñeàu coù ñöôøng cao AI = 2 Vì I = hc(ABC)A '  AI = hc(ABC)AA '    (AA ';(ABC))  A ' AI  60  a 3 3a A ' IA vuoâng taïi I neân A'I = AI.tanA ' IA  . 3 2 2 2 3 3a a 3 3 3a Vaäy : V = A'I.SABC  .  2 4 8 9 (BT20-P28sgk) Cho khoái laêng truï tam giaùc ABC.A'B'C' coù ñaùy laø tam giaùc ñeàu caïnh a, ñieåm A' caùch ñeàu ba ñieåm A,B,C , caïnh beân AA' taïo vôùi maët phaúng ñaùy moät goùc 60 . a) Tính theå tích cuûa khoái laêng truï ñoù . b) Chöùng minh raèng maët beân BCC'B' laø moät hình chöõ nhaät . c) Tính dieän tích xung quanh cuûa hình laêng truï . Giaûi a) Goïi O laø taâm cuûa tam giaùc ñeàu ABC . Vì A'A = A'B = A'C neân A'O  mp(ABC) .  Vaäy : A ' AO  60 a 3 Töø ñoù ta coù : A'O = AO.tan60  AO. 3  . 3 a 3 a2 3 a3 3 Vaäy theå tích caàn tìm laø V = SABC .A 'O  .a  4 4 b) Vì BC  AO neân BC  AA' hay BC  BB' . Vaäy : BB'C'C laø hình chöõ nhaät c) Goïi H laø trung ñieåm cuûa AB . Ta coù : a2 3 Sxq  2.SAA ' B' B  SBB'C'C  2.A ' H.AB  BB'.BC  (2  13 ) 3 10 Cho laêng truï ñöùng ABC.A'B'C' coù ñaùy laø tam giaùc ABC vuoâng taïi B vaø AB = a , BC = 2a , AA' = 3a. Moät maët phaúng (P) qua A vaø vuoâng goùc vôùi CA' laàn löôït caét caùc ñoaïn thaúng CC' vaø BB' taïi M vaø N . - 9 -
  10. Ôn tập chương I a) Tính theå tích khoái choùp C.A'AB . b) Chöùng minh raèng : AN  A'B . c) Tính theå tích khoái töù dieän A'.AMN . d) Tính dieän tích AMN . Giaûi 1 1 a) VC.A ' AB  VA '.ABC  .SABC .AA '  .a.2a.3a  a3 3 6 b) Ta coù : CB  AB,CB  AA' (do AA'  (ABC)) , suy ra : CB  (A'AB) Maët khaùc : AN  CA' ( do CA'  (AMN)) . Suy ra : AN  A'B (ñlí 3 ñöôøng  ) c) Ta coù : VA '.AMN  VM.AA ' N  VM.AA ' B ( Vì NB//AA') = VC.AA ' B ( do MC//(AA'B)) = a3 . 3.VA '.AMN 3a3 a2 14 d) SAMN    A'I (3a)2 3 a2  (2a)2  (3a)2 11 Cho laêng truï tam giaùc ñeàu ABC.A'B'C' caïnh ñaùy a , goùc giöõa ñöôøng thaúng AB' vaø maët phaúng (BB'C'C) baèng  . a 3 a) Chöùng minh raèng : AB' = . 2sin  b) Tính dieän tích xung quanh cuûa laêng truï . c) Tính theå tích cuûa laêng truï . Giaûi a) Goïi I laø trung ñieåm cuûa BC . AI  BC  Ta coù :   AI  (BB'C'C)  AB' I   vaø AI  B'I AI  BB' AI a 3 AB'I vuoâng taïi I , ta coù : AB' =  . sin  2sin  3a2 3a2 b) AB'B vuoâng taïi B neân BB'2  AB'2  AB2   a2 = (3  4sin 2 ) 2 2 4sin  4sin  a a 3a2  BB' = 3  4sin 2   Sxq = 3a. 3  4sin 2  = 3  4sin 2  . 2sin  2sin  2sin  a2 3 a a3 3 c) V= SABC .BB'  . 3  4sin 2   3  4sin 2  4 2sin  8sin   12 (QGHN-D2000) Cho hình laêng truï ñöùng ABC.ABC coù ñaùy laø tam giaùc ABC caân taïi A , ABC   ; BC hôïp vôùi maët ñaùy (ABC) moät goùc  . Goïi I laø trung ñieåm caïnh AA .  Bieát BIC = 90 . a) Chöùng toû raèng BIC laø tam giaùc vuoâng caân . b) Chöùng minh : tan2 + tan 2  1 Giaûi a) Goïi H laø trung ñieåm cuûa BC . ABC caân taïi A neân AH  BC (1) Maët khaùc : AI  (ABC)  A = hc(ABC)I  AH = hc(ABC) IH (2) Töø (1) , (2) suy ra : IH  BC ( Ñlí 3 ñöôøng  )  BIC vuoâng taïi I , coù ñöôøng cao IH vöøa laø trung tuyeán neân caân taïi I . - 10 -
  11. Ôn tập chương I AH 2AH b) AHB vuoâng taïi H cho tan =  BH BC  Maët khaùc : C = hc(ABC)C'  BC = hc(ABC)BC'  C' BC   CC' AA ' BCC' cho tan =  BC BC AA '2 BC2 Maët khaùc : IAH vuoâng taïi H cho IA 2  AH 2  IH2   AH2  4 4 BC2 AA '2 4AH2 Chia hai veá cho ta ñöôïc :   1  tan 2   tan 2   1 4 BC 2 BC2 BÀI TẬP TỰ GIẢI 1 Cho hình choùp S.ABC coù hai maët ABC vaø SBC laø tam giaùc ñeàu naèm trong hai maët phaúng vuoâng goùc a3 nhau . Bieát BC = a , tính theå tích cuûa khoái choùp S.ABC . ÑS : V = 8 2 Cho hình choùp S.ABC coù SA  AB, SA  BC , BC  AB . Bieát AB = BC  a 3, SA = a .Tính theå a3 tích cuûa khoái choùp S.ABC . ÑS : V = 2 3 Moät khoái choùp tam giaùc coù caùc caïnh ñaùy baèng 6,8,10 . Moät caïnh beân coù ñoä daøi baèng 4 vaø taïo vôùi ñaùy goùc 60. Tính theå tích khoái choùp ñoù . ÑS : V = 16 3  a 3 4 Cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy ABCD laø hình thoi caïnh a , A  60 , SA = SB = SD = . 2 a3 5 a) Tính theå tích cuûa khoái choùp . VS.ABCD = 12 b) Chöùng minh raèng : (SAC)  (SBD) . a2 c) Tính Stp cuûa hình choùp . Stp  ( 2  2 3) 2 5 Cho S.ABC laø hình choùp tam giaùc ñeàu coù caïnh ñaùy AB = a vaø caïnh beân SB = b . Tính theå tích hình choùp aáy . HD : Keû SH  (ABC) thì H laø taâm cuûa tam giaùc ñeàu ABC vaø M laø trung ñieåm BC , ta ñöôïc : a 3 1 a2 3 AM = ,SH  9b2  3a2  V  9b2  3a2 3 3 36 6 Cho khoái choùp S.ABC coù ñöôøng cao SA=2a , tam giaùc ABC vuoâng ôû C coù caïnh huyeàn AB = 2a . Goïi H vaø K laàn löôït laø hình chieáu cuûa A treân SC vaø SB . a3 3 a) Tính theå tích cuûa khoái choùp H.ABC . VH.ABC  7 b) Chöùng minh raèng : AH  SB vaø SB  (AHK) . 2a3 3 c) Tính theå tích khoái choùp S.AHK . VH.ABC  21 7 Tính theå tích cuûa khoái hoäp ABCD.ABCD . Bieát khoái choùp C.CBD laø moät töù dieän ñeàu caïnh a . a3 2 V= 2 - 11 -
  12. Ôn tập chương I 8 Cho hình choùp tam giaùc S.ABC coù ñaùy ABC laø tam giaùc ñeàu caïnh a , hai maët beân (SAB) vaø (SAC) vuoâng goùc vôùi ñaùy vaø SA = 2a . a) Tính theå tích cuûa khoái choùp . b) Tính Stp cuûa khoái choùp . a3 3 a2 Ñaùp soá : a) V= b) Stp  (8  3  19) 6 4 9 Cho hình chöõ nhaät ABCD coù dieän tích laø 2 . Treân ñöôøng thaúng vuoâng goù c vôùi maët ñaùy taïi A , ta laáy ñieåm S , maët beân (SBC) taïo vôùi maët ñaùy moät goùc 30 ,maët beân (SDC) taïo vôùi maët ñaùy moät goùc 60. a) Tính theå tích cuûa khoái choùp . b) Tính dieän tích xung quanh cuûa hình choùp . c) Tính goùc giöõa caïnh beân SC vaø maët ñaùy . 2 2  30 Ñaùp soá : a) V = b) Sxq  2(1  3) c) SCA  arctan 3 10 10 Cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy ABCD laø hình vuoâng, caïnh beân SA vuoâng goù c maët ñaùy, SA=AB= a. a) Tính dieän tích SBD theo a . b) Chöùng minh raèng : BD  SC .  c) Tính (SC,(SBD)). d) Tính theå tích hình choùp . a2 3  C = arccos 2 2 a3 Ñaùp soá : a) SSBD  c) HS d) VS.ABCD  2 3 3 11 Cho hình laêng truï ñeàu ABC.ABC coù chieàu cao h vaø hai ñöôøng thaúng BC,BC vuoâng goùc vôùi nhau . h3 3 Tính theå tích laêng truï ñoù. V= 4 12 (A2-QGTP.HCM-2000) Cho tam giaùc ñeàu ABC caïnh a . Treân ñöôøng thaúng d vuoâng goùc vôùi mp(ABC) taïi A laáy ñieåm M . Goïi H laø tröïc taâm cuûa tam giaùc ABC , K laø tröïc taâm cuûa tam giaùc BMC a) Chöùng minh raèng : MC  (BHK) , HK  (BMC) . a3 b) Khi M thay ñoåi treân d , Tìm GTLN cuûa theå tích töù dieän KABC . V= 48 1 13 Treân caïnh CD cuûa töù dieän ABCD laáy ñieåm M sao cho CM = CD . Tính tæ soá theå tích cuûa hai töù 3 V dieän ABMD vaø ABMC . Ñaùp soá : ABDM  2 VABCM 14 Cho khoái laêng truï ñöùng tam giaùc ABC.ABC . Tính tæ soá theå tích cuûa khoái choùp A.BBCC vaø khoái laêng truï ABC.ABC V 2 Ñaùp soá : A.BB'C'C  VABC.A'BC 3 trungtrancbspkt - 12 -
Đồng bộ tài khoản