Tài liệu ôn thi cao học 2005 - Môn: Giải tích cơ bản

Chia sẻ: tranbaoquyen

Tài liệu ôn thi cao học năm 2005 - Môn: Giải tích cơ bản - Lý thuyết chuỗi

Bạn đang xem 7 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: Tài liệu ôn thi cao học 2005 - Môn: Giải tích cơ bản

GI I TÍCH (CƠ B N)
Tài li u ôn thi cao h c năm 2005
Phiên b n đã ch nh s a


PGS TS. Lê Hoàn Hóa

Ngày 10 tháng 11 năm 2004



LÝ THUY T CHU I
1 Chu i s
1.1 Đ nh nghĩa

Đ nh nghĩa 1. Cho (an )n là dãy s (có th th c hay ph c), chu i tương ng ký hi u là an .
1
k
V i m i k ∈ N, đ t sk = an là t ng riêng ph n th k . Khi k thay đ i trên N, có dãy
1
t ng riêng ph n (sk )k .

N u lim sk t n t i h u h n, ta nói chu i an h i t và đ t S = lim sk là t ng c a chu i,
k→∞ k→∞
1

S= an .
1

N u lim sk không t n t i ho c lim sk = +∞ hay lim sk = −∞, ta nói chu i an phân
k→∞ k→∞ k→∞
1
kỳ.

Tính ch t

1. Tính h i t và t ng c a chu i không thay đ i n u thay đ i th t c a m t s h u h n
s h ng.

an và an cùng h i t ho c cùng phân kỳ.
2. Chu i
n≥n0
1


an h i t thì lim an = 0.
3. Đi u ki n c n: n u chu i
k→∞
1




1
1.2 Chu i không âm

an , an ≥ 0.
Là chu i có d ng
1
Tính ∞ t
ch
an , an ≥ 0. Khi đó dãy t ng riêng ph n (sk )k là dãy tăng và n u (sk )k b ch n thì
Cho
1

an h i t .
chu i
1
D u hi u so sánh
∞ ∞ ∞
1. Gi s 0 ≤ an ≤ bn , ∀n ≥ n0 . Khi đó, n u bn h i t thì an h i t , n u an phân
1 1 1

bn phân kỳ.
kỳ thì
1

an
lim = k . Khi đó:
2. Gi s
bn
n→∞

∞ ∞
(a) N u 0 < k < ∞ thì an , bn cùng h i t ho c cùng phân kỳ.
1 1
∞ ∞ ∞ ∞
(b) N u k = 0 và bn h i t thì an h i t , n u an phân kỳ thì bn phân kỳ.
1 1 1 1
∞ ∞ ∞ ∞
(c) N u k = ∞ và an h i t thì bn h i t , n u bn phân kỳ thì an phân kỳ.
1 1 1 1

Tiêu chu n tích phân
Cho f : [1, +∞) → R liên t c, f (x) ≥ 0 và f gi m. V i m i n ∈ N, đ t an = f (n). Khi đó:
∞ ∞
f (x)dx h i t ⇔ Chu i an h i t .
Tích phân suy r ng
1
1
Chu i cơ b n:

1
• h i t khi s > 1, phân kỳ khi s ≤ 1.
ns
1

∞ ∞
1
n
tn =
• t , |t| < 1, h i t và t ng S =
1−t
0 0

D u hi u D’Alembert (t s )

an+1
an , an > 0. Gi s lim = k . Khi đó:
Cho chu i s dương
n→∞ an
1


1. N u k < 1 thì an h i t .
1




2

2. N u k > 1 thì an phân kỳ.
1

3. N u k = 1, chưa k t lu n v s h i t .

an+1
≥ 1, ∀n ≥ n0 thì chu i an phân kỳ.
Ghi chú. N u có
an 1

D u hi u Cauchy (căn s )


an , an ≥ 0. Gi s lim an = k . Khi đó:
Cho chu i không âm n
k→∞
1

1. N u k < 1 thì chu i h i t .

2. N u k > 1 thì chu i phân kỳ.

3. N u k = 1, chưa k t lu n v s h i t .

1.3 Chu i đan d u
∞ ∞
(−1)n an ho c (−1)n an , an ≥ 0.
Có d ng
1 0
D u hi u Leibnitz

(−1)n an , an ≥ 0. Gi s (an )n là dãy gi m và lim an = 0 thì chu i
Cho chu i đan d u
k→∞
1
h i t . G i S là t ng c a chu i. Khi đó: |S | ≤ a1 .

1.4 Chu i b t kỳ

an v i an có th âm hay dương.
Có d ng
1
∞ ∞ ∞
|an |. N u chu i |an | h i t thì chu i an h i t và ta nói
Xét chu i không âm
1 1 1
∞ ∞ ∞
|an | phân kỳ, ta nói chu i
an h i t tuy t đ i. N u chu i an h i t nhưng chu i
chu i
1 1 1

an là bán h i t .
1
Tính ch t ∞
an h i t tuy t đ i thì chu i có đư c b ng cách thay đ i th t các s h ng
N u chu i
1
cũng h i t và t ng c a chu i không thay đ i.

|an | h i t (phân kỳ)
Ghi chú. N u b ng d u hi u D’Alembert ho c Cauchy mà chu i
1

an cũng h i t (phân kỳ)
thì chu i
1




3
Đ nh lí 1. Cho (an )n là dãy gi m, an ≥ 0, lim an = 0. Cho (bn )n là dãy b t kỳ (không c n
n→∞
n
dương). Gi s có h ng s C > 0 sao cho v i m i n ∈ N, bk ≤ C .
1
∞ ∞
an bn th a mãn |S | ≤ Ca1 .
an bn h i t và t ng S =
Khi đó, chu i
1 1

Thí d
Xét s h i t c a chu i

1 1
Đ t f : [2, ∞) → R, f (x) = thì f liên t c, f (x) ≥ 0 và f gi m. Khi
1. α
x lnα x
n ln n
2
1
, n ≥ 2.
đó, f (n) =
n lnα n
∞ ∞
dx dt
= (đ i bi n t = ln x)
Xét tích phân suy r ng
x lnα x tα
2 ln 2

Tích phân h i t khi α > 1, phân kỳ khi α ≤ 1.

1
h i t khi α > 1, phân kỳ khi α ≤ 1.
V y chu i
n lnα n
2



( n a − 1)α v i a > 1
2.
1
lnα a
√ an
α
1
Đ t an = ( n a − 1)α = e n ln a − 1 và bn = thì lim =1
α
n n→∞ bn

lnα a
h i t khi α > 1, phân kỳ khi α ≤ 1.
Chu i

1

V y chu i đã cho h i t khi α > 1, phân kỳ khi α ≤ 1.

1 1
− ln sin
ln
3. 2 2
n n5
5
1
1
 
sin
1 1 n 2/5 
− ln sin = − ln 
Đ t an = ln

1
n 2/5 n 2 /5
n 2 /5
t3 t2
sin t
+ o(t3 ) nên = 1 − + o(t2 )
Do sin t = t −
6 t 6
1 ln(1 + t) an 1
Đ t bn = 4/5 , dùng lim = 1, ta có lim =
n t n→∞ bn 6
t→0

1
Do chu i phân kỳ nên chu i đã cho phân kỳ.
n 4/ 5
1


1 1
− ln 1 +
sin
4.
n n
1


4
1 1
− ln 1 +
Đ t an = sin
n n
Dùng khai tri n Taylor:
t3 t2
sin t = t − + o(t3 ), ln(1 + t) = t − + o(t2 )
6 2
2
t
Suy ra: sin t − ln(1 + t) = + o(t2 )
2
1 an
Đ t bn = 2 , ta có lim =1
2n n→∞ bn

1
Do chu i h i t nên chu i đã cho h i t .
2n2
1


1 n+1
− ln
5.
n n
1
1 n+1
− ln
Đ t an =
n n
t2 1 an
Do t − ln(1 + t) = + o(t2 ), đ t bn = 2 , ta có: lim =1
2 2n n→∞ bn

1
Do chu i h i t nên chu i đã cho h i t .
2n2
1


an th a đi u ki n:
6. Xét s h i t c a chu i dương
1

√ 1
∀n ≥ n0 , an ≤ 1− v i α ∈ (0, 1).
n

n
1
Ta có: 0 < an ≤ 1− , ∀n ≥ n0

n
1
Xét lim n2 1 −

n→∞
n
1 1 2 ln n 1
= n 1− α
2
− nα ln 1 − α
1− α = 2 ln n − n ln 1 −
Ta có ln n 1− α

n n n
ln n 1
= 0, lim nα ln 1 − α = −1 nên
Do lim
n→∞ n1−α n
n→∞
n
1
lim n2 1 − =0

n→∞

D n đ n lim n2 .an = 0
n→∞
∞ ∞
1
an h i t .
Do chu i h i t nên
n2
1 1


an th a đi u ki n:
7. (a) Xét s h i t c a chu i
1



5
α
an+1 n

an > 0, v iα>1
an n+1

un v i:
(b) Xét s h i t c a chu i
1
1.3. . . . .(2n − 1)
un =
2.4. . . . .2n.(2n + 2)
1
(a) Đ t bn = , ta có

α α
an+1 n bn+1 1
≤ = 1− , ∀n
=
an n+1 bn n+1
an+1 an a1
≤ ≤ ··· ≤ = a1 , ∀n
Suy ra
bn+1 bn b1
∞ ∞
1
V y an ≤ a1 .bn , ∀n. Do α > 1, chu i an h i t .
h i t nên chu i

1 1
3
un+1 2n + 1 3 1 2
=1− ≤ 1− (∗)
=
(b) Ta có
un 2n + 4 2(n + 2) n+2

1
Tương t (7a) v i bn = un h i t .
ta có chu i
(n + 1)3/2 1
Ta ch ng minh: v i t ∈ [0, 1], α > 1, (1 − t)α ≥ 1 − αt
Đ t ϕ(t) = (1 − t)α − (1 − αt), ta có: ϕ (t) = −α(1 − t)α−1 + α ≥ 0
Do ϕ(0) = 0 nên ϕ(t) ≥ 0, ∀t ∈ [0, 1] hay (1 − t)α ≥ 1 − αt

8. Cho α ∈ (0, 2π ), s > 0. Xét s h i t c a hai chu i
∞ ∞
cos nα sin nα
,
ns ns
1 1


Trư c tiên ch ng minh: có M > 0 sao cho
n n
cos kα ≤ M, sin kα ≤ M, ∀n
0 0


Do eikα = cos kα + i sin kα, ∀k ∈ N, ta có:
n
1 − ei(n+1)α (1 − cos(n + 1)α) − i sin(n + 1)α
eikα = =

1−e (1 − cos α) − i sin α
0

[(1 − cos(n + 1)α) − i sin(n + 1)α][(1 − cos α) + i sin α]
=
(1 − cos α)2 + sin2 α

Đ ng nh t ph n th c và o


n
[1 − cos(n + 1)α](1 − cos α) + sin α. sin(n + 1)α 5

cos kα = 2 + sin2 α (1 − cos α)2 + sin2 α
(1 − cos α)
0


6
n
[1 − cos(n + 1)α] sin α + (1 − cos α). sin(n + 1)α 4

sin kα = 2 + sin2 α (1 − cos α)2 + sin2 α
(1 − cos α)
0


V y đi u kh ng đ nh đư c ch ng minh.

1
an bn v i l n lư t bn = cos nα, bn = sin nα và an =
Do hai chu i đã cho có d ng ,
ns
1
(an )n là dãy gi m, lim an = 0 và có h ng s C ≥ 0 th a mãn:
n→∞

n n
cos kα ≤ C, sin kα ≤ C, ∀n
1 1

∞ ∞
cos nα sin nα
V y chu i , h it .
ns ns
1 1


lnα n
(−1)n
9. Cho α > 0, s > 0. Xét s h i t c a chu i đan d u
ns
2
α
ln t
Xét hàm ϕ(t) =
ts
α−1
ln t α
Ta có ϕ (t) = s+1 (α − s ln t) ≤ 0 khi ln t ≥
t s
α/s
V y ϕ là hàm gi m khi t ≥ e
lnα n lnα n
(−1)n
V i n0 ∈ N sao cho n0 ≥ eα/s , chu i đan d u có dãy là dãy gi m,
ns ns
n≥n0
lnα n
lim =0
n→∞ ns

Theo d u hi u Leibnitz, chu i đã cho h i t .


2 Bài t p
1. Tính t ng riêng và t ng (n u có) c a chu i sau

1 1 1 1 1

HD: an = =
(a)
4n2 4n2
−1 −1 2n − 1 2n + 1
2
1

3n2 + 3n + 1 1 1

HD: an =
(b)
n3 (n + 1)3 3 (n + 1)3
n
1

a−b
1
HD: arctg a − arctg b = arctg
arctg
(c)
n2 +n+1 1 + ab
1

2. Xét s h i t c a các chu i sau



7

1
(a)
n(n + 1)
1
√ √

n+1− n−1
(b)
n 3/ 4
1


( n2 + 1 − n)α
(c)
1
∞ n n
1 n+1 n+1
HD: lim =e
(d)
nα n n
n→∞
1

1
HD: ln(1 + t) ∼ t
ln 1 +
(e)

1

1 n+1
√ ln
(f)
n−1
n
1

t2
1
1 − cos HD: 1 − cos t ∼
(g)
nα 2
1

1
n4/3 arctg
(h)
n2
1

ln n
(i)
n 3/ 2
1

2n + 3n
(j)
4n + n2
1

3. Dùng tiêu chu n t s ho c căn s xét s h i t c a chu i

n!
(a)
8n .n2
1

1.3.5. . . . .(2n − 1)
(b)
22n .(n − 1)!
1

7n (n!)2
(c)
n 2n
1
∞ n
2n + 1
n
(d)
3n − 1
1
n2

1 1
1+
(e)
2n n
1
∞ n(n−1)
n−1
(f)
n+1
1

4. Xét s h i t c a chu i đan d u:


8

n+1
(−1)n .
(a)
n2 +n+1
1

1
(−1)n . ln 1 + , α>0
(b)

1

1 1
(−1)n tg √ sin √
(c)
n n
1

(−1)n
(d)
1
n + cos √
1
n

√ √
HD: cos nπ = (−1)n
( n + 1 − n) cos nπ
(e)
1

1.4.7. . . . .(3n − 2)
(−1)n+1
(f)
3.5.7. . . . .(2n + 1)
1

5. Xét s h i t và h i t tuy t đ i c a chu i

1
(−1)n+1 , α>0
(a)
nα ln n
1

1
(−1)n , α>0
(b)
nα .n1/n
1
∞ α
n+1
n
(−1) , α>0
(c)
2n2 + 1
1

cos na
a ∈ (0, π )
, α > 0,
(d)

1
HD (5d)
∞ ∞
cos2 na 1 cos 2na + 1
,=
nα nα
2
1 1
∞ ∞
1 cos 2na
V i α ≤ 1, chu i phân kỳ, h it .
nα nα
1 1
∞ 2
cos na
Suy ra chu i phân kỳ.

1

| cos na|
2
Do | cos na| ≥ cos na, ∀n ∈ N nên chu i phân kỳ.

1

cos na
, α ≤ 1, h i t nhưng không h i t tuy t đ i.
V y chu i

1




9
3 Chu i hàm s
3.1 S h it :
n
Đ nh nghĩa 2. V i m i n ∈ N, un : I ⊂ R → R, chu i hàm tương ng ký hi u là un . V i
1

m i x ∈ I, có chu i s th c un (x), khi x thay đ i trên I , có vô s chu i s , trong s đó có
1
nh ng chu i s h i t và nh ng chu i phân kỳ.
∞ ∞
x ∈ I, un (x), x ∈ D. D đư c g i là mi n
Đăt D = un (x) h i t và đ t u(x) =
1
1

h i t c a chu i, ký hi u : u = un .
1
Ta nói :

un h i t v u trên D ⇔ ∀x ∈ D, ∀ε > 0, ∃k0 : ∀k ≥ k0 =⇒ un (x) < ε.

n≥k0
1


un h i t đ u v u trên D ⇔ ∀ε > 0, ∃k0 ∈ N : ∀k ≥ k0 =⇒ un (x) < ε, ∀x ∈ D.

n≥k0
1


D u hi u Weierstrass:
∞ ∞
Gi s : |un (x)| ≤ an , ∀x ∈ D, ∀n ≥ n0 và an h i t . Khi đó chu i un h i t đ u trên
1 1
D.

Đ nh lí 2 (Weierstrass).

1) Gi s : ∀n ∈ N, un liên t c trên D, un h i t đ u v u trên D. Khi đó u liên t c trên
1
D.

2) Gi s : ∀n ∈ N, un kh vi liên t c trên [a, b], chu i đ o hàm un h i t đ u v v và có
1

x0 ∈ [a, b] sao cho chu i s un (x0 ) h i t .
1

Khi đó có hàm u kh vi liên t c trên [a, b] sao cho chu i un h i t đ u v u trên [a, b]
1

và u = v = un .
1
x x

u(t)dt = u(t)dt.
Hơn n a :
1
a a



4 Chu i lũy th a:

an (x − x0 )n , x0 là tâm c a chu i.
Đ nh nghĩa 3. Chu i lũy th a là chu i có d ng
0



10

∞ an+1
= ρ ho c lim n |an | = ρ.
n
an (x − x0 ) . Gi s : lim
Đ nh lí 3. Cho chu i lũy th a
an
n→∞ n→∞
0
1
Đ t R = và g i R là bán kính h i t c a chu i. Khi đó :
ρ

an (x − x0 )n h i t v hàm u trên (x0 − R, x0 + R).
i. Chu i
0


an (x − x0 )n phân kỳ khi |x − x0 | > R.
ii. Chu i
0


nan (x − x0 )n−1 , ∀x ∈ (x0 − R, x0 + R)
iii. Hàm u kh vi và u (x) =
1
x ∞
an
(x − x0 )n+1 , ∀x ∈ (x0 − R, x0 + R). Mi n h i t c a chu i
u(t)dt =
Hơn n a :
n+1
0
x0

an (x − x0 )n là (x0 − R, x0 + R) có th thêm vào đi m đ u x0 − R và đi m cu i x0 + R
0
tùy t ng trư ng h p.

Thí d :

1
có mi n h i t là |x| > 1.
1) Chu i
1 + x 2n
0

1 1 1
≤ , ∀x, |x| ≤ a và
V i a > 1, ta có : h i t . V y chu i hàm h i
2n 1 + a2 n a2 n
1+x 0
t đ u trên mi n |x| ≥ a.

(−1)n
là chu i hàm đan d u, có mi n h i t là x > 1. V i a > 1, ε > 0, do tính
2) Chu i
nln x
0
(−1)n
1 1
ch t c a chu i đan d u, có k0 ∈ N : < ε, v i k ≥ k0 ta có : ≤ ≤
kln a
k0 a
ln nln x
n≥k
1
< ε. V y chu i h i t đ u trên mi n x ≥ a.
k0 a
ln



xn
, x = 1.
3) Chu i
1 + xn
0
1
V i |x| < 1, có n0 ∈ N sao cho : ∀n ≥ n0 thì |x|n < .
2
xn n
≤ 2|x| .
Suy ra :
1 + xn
V y mi n h i t c a chu i là (−1, 1). Tuy nhiên chu i không h i t đ u trên (−1, 1). Th t
xk
v y, v i ε = 1, v i m i k ∈ N có th ch n x ∈ (0, 1) sao cho: >1
1 − x2
Khi đó :
xk xn xn

1< = .
1 − x2 n≥k 1 + x n≥k 1 + xn



11
xn an
≤ , ∀x, |x| ≤ a, ∀n ∈ N.
V i m i 0 < a < 1, ta có :
1 + xn 1−a

xn

n
h i t đ u trên [−a, a].
a h i t . V y chu i
Chu i
1 + xn
0 0

∞ ∞
cos nx sin nx
h i t khi x = k 2π, k ∈ Z. Th t v y, v i m i
4) V i s > 0, chu i ,
ns ns
1 1
k, p ∈ N có h ng s M sao cho:
k +p k +p
M M
cos nx ≤ sin nx ≤
,
1 − cos x 1 − cos x
k k

∞ ∞
1 cos nx sin nx
gi m v 0 nên chu i ,
dãy h i t , có t ng
ns ns xs
k k

∞ ∞
cos nx sin nx
S1 = , S2 =
ns ns
k k

1 M 1 M
th a mãn: |S1 | ≤ , |S2 | ≤ s .
s 1 − cos x k 1 − cos x
k
V i a > 0 và ε > 0 b t kỳ,
M M
≤ , ∀x ∈ [a + 2iπ, 2(i + 1)π − a], ∀i ∈ Z,
do
1 − cos x 1 − cosa
1 M
ch n k0 ∈ N sao cho: s . < ε. Khi đó, v i k ≥ k0 , ta có:
k 1 − cos a
∞ ∞
cos nx sin nx
ε, ∀x ∈ [a + 2iπ, 2(i + 1)π − a].
< ε,
ns ns
k k

∞ ∞
sin nx cos nx
h i t đêu trên mi n [a + 2iπ, 2(i + 1)π − a], i ∈ Z.
,
Suy ra: chu i
xs xs
1 1

sin n2 x ∞
cos n2 x
Ghi chú: Chu i h i t trên R nhưng chu i đ o hàm t ng s h ng
n2 1
1
không h i t .

Công th c Maclaurin c a các hàm cơ b n:

1
tn , |t| < 1
=
1)
1−t 0


1
(−1)n tn , |t| < 1
=
2)
1+t 0


tn
t
, ∀t ∈ R
3) e =
n!
0



12

t2n+1
(−1)n , ∀t ∈ R
4) sin t =
(2n + 1)!
0


t2n
(−1)n , ∀t ∈ R
5) cos t =
(2n)!
0


tn+1
n
(−1) , t > −1
6) ln(1 + t) =
n+1
0

α(α − 1) 2 α(α − 1) . . . (α − n + 1) n
7) (1 + t)α = 1 + αt + t + . . . , |t| < 1.
t + ... +
2! n!
Chu i Taylor:

f (n) (x0 )
(x − x0 )n là chu i
Cho hàm f kh vi vô h n l n trong lân c n c a x0 . Chu i
n!
0
Taylor c a f trong lân c n c a x0 . N u chu i Taylor c a f có bán kính h i t R > 0 thì

f (n) (x0 )
(x − x0 )n , x ∈ (x0 − R, x0 + R).
f (x) =
n!
0


Bài T p
1. Tìm mi n h i t c a chu i hàm :

1
1)
nx
1

(−1)n+1
2)
1 + nx
1

n−1
3)
xnx
1

1
xn +
4)
2n xn
0

2. Xét s h i t đ u c a chu i hàm:

(−1)n
1) trên R. HD : dùng chu i đan d u.
x 2n + n
1

xn e−nx trên [0, a] v i a > 0.
2)
0

1
√ (x2n − x2n+1 ) trên [0, 1].
3)
n
0
1 1
HD : 0 ≤ un (x) = √ (x2n − x2n+1 ) ≤ √ , ∀x ∈ [0, 1].
n n(2n + 1)

x2
(−1)n
4) trên R.
(1 + x2 )n
0


13
3. Tìm mi n h i t c a chu i lũy th a sau :

xn
1)
n
1

(x − 2)n
, s > 0.
2)
ns
1

(x + 1)n
3)
(2n − 1)!
1

xn
4)
3n + 2n
1


n
(x + 1)n
2
5)
0

(x − 4)n

6)
n
1

(−1)n−1 n
x
7)
n2n
1
∞ n
n+1
(x − 2)2n , HD : đ t t = (x − 2)2
8)
2n + 1
1
∞ ∞
(x + 5)2n−1 (x + 5)2n−2
, HD : xét (x + 5) .
9)
n2 4n n2 4n
1 1

1
(x − 1)n
10)
n(ln n)2
2

ln n
(x + 2)n .
11)
n
1

4. Tính t ng c a các chu i sau :

(−1)n 2nx2n−1 , x ∈ (−1, 1).
1)
1

(−1)n 2nx2n−1 , x ∈ (−1, 1). Tính tích phân hai v .
HD: đ t f (x) =
1
∞ n
x
, x ∈ (−1, 1)
2)
n
1

xn
HD: f (x) = , f (0) = 0. Đ o hàm hai v .
n
1

nxn , x ∈ (−1, 1)
3)
1
∞ ∞
nxn−1 = x.S (x) v i S (x) = nxn−1 .
HD : f (x) = x.
1
1


14

2
xn , x ∈ (−1, 1).
1+
4)
3n+1
0
HD: tách thành t ng hai chu i.

n(n + 1)xn−2 , x ∈ (−1, 1).
5)
2
∞ ∞
n(n + 1)xn−2 , S (0) = 6, xS (x) = n(n + 1)xn−1 .
HD : đ t S (x) =
2 2

5. Khai tri n Maclaurin c a các hàm s sau :

1) f (x) = sin2 x.
HD : sin2 x = 2 (1 − cos 2x).
1


x3 + x + 1
2) f (x) = .
x3 − 4x + 3
3 31
HD : f (x) = x + 4 − + .
2(x−1) 2(x−3)
2
3) f (x) = xex , Tính f (19) (0).
∞ ∞
x2n+1 f (k) (0) k
x . Đ ng nh t h s c a x19
HD : f (x) = = hai v .
n! k!
0 0
x
, Tính f (17) (0).
4) f (x) =
1 + x4

5) f (x) = 3 8 + x.

6) f (x) = ln(x + 1 + x2 ).
x

α(α − 1) . . . (α − n + 1) 2n
−1
HD : f (0), f (x) = (1 + x2 ) , f (x) = t dt, v i
2
n!
0 0
1
α=− .
2
x
sin t
7) f (x) = dt.
t
0




15
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản