intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE

Tài liệu ôn toán - Bài tập hình học lớp 12 - phần 3

Chia sẻ: Nguyễn Ngân | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:10

157
lượt xem
42
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'tài liệu ôn toán - bài tập hình học lớp 12 - phần 3', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Tài liệu ôn toán - Bài tập hình học lớp 12 - phần 3

  1. Trần Sĩ Tùng Khối tròn xoay ÔN TẬP TỔNG HỢP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Baøi 1. Cho hình chóp tam giác SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA ^ (ABC) và · SA = a. M là một điểm thay đổ i trên cạnh AB. Đặt ACM = a , hạ SH vuông góc với đường thẳng CM. a) Tìm quỹ tích điểm H. Suy ra giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện SAHC. b) Hạ AI ^ SC, AK ^ SH. Tính độ dài SK, AK và thể tích tứ diện SAKI. a3 HD: a) Quĩ tích điểm H là một cung tròn. MaxVSAHC= 12 a3 sin 2a a sin a a b) AK = , SK = ,V= 24(1 + sin 2 a ) 1 + sin 2 a 1 + sin 2 a · Baøi 2. Cho DABC cân tại A có AB = AC = a và góc BAC = 2a . Trên đường thẳng d qua A và vuông góc với mặt phẳng (ABC), lấy điểm S sao cho SA = 2a. Gọ i I là trung điểm của BC. Hạ AH ^ SI. a) Chứng minh AH ^ (SBC). Tính độ dài AH theo a, a. AK = x . Mặt phẳng (R) qua K và vuông góc b) K là một điểm thay đổi trên đoạn AI, đặt AI với AI cắt các cạnh AB, AC, SC, SB lần lượt tại M, N, P, Q. Tứ giác MNPQ là hình gì? Tính diện tích tứ giác này. 2a.cos a b) SMNPQ = 4a 2 x (1 – x )sin a . HD: a) AH = cos 2 a + 4 æ 2ö Baøi 3. Cho tứ diện ABCD có AB = CD = 2x ç 0 < x < ÷ và AC = AD = BC = BD = 1. ç 2÷ è ø Gọi I và J lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD. a) Chứng minh AB ^ CD và IJ là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng AB và CD. b) Tính thể tích tứ diện ABCD theo x. Tìm x để thể t ích này lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó. 2 x2 1 - 2x2 3 2 HD: b) V = ; MaxV = khi x = 3 3 93 Baøi 4. Trong mặt phẳng (P), cho hình vuông ABCD cạnh a, có tâm là O. Trên các nửa đường thẳng Ax, Cy vuông góc với (P) và ở về cùng một phía đố i với (P) lấy lần lượt hai điểm M, N. Đặt AM = x, CN = y. a) Tính độ dài MN. Từ đó chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để OMN vuông tại O là: 2 xy = a 2 . b) Giả sử M, N thay đổ i sao cho OMN vuông tại O. Tính thể t ích tứ diện BDMN. Xác a3 định x, y để thể tích tứ diện này bằng . 4 a3 æ aö æa ö a) MN = 2a 2 + ( x - y )2 ( x + y ) , (x, y) = ç a; ÷ hoặc ç ; a ÷ . HD: b) V = è 2ø è2 ø 6 Baøi 5. Trong mặt phẳng (P), cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọ i O là giao điểm của 2 đường chéo của hình vuông ABCD. Trên đường thẳng Ox vuông góc (P) lấy điểm S. Gọ i Trang 19
  2. Khối tròn xoay Trần Sĩ Tùng a là góc nhọn tạo bởi mặt bên và mặt đáy của hình chóp SABCD. a) Tính thể tích và diện tích toàn phần của hình chóp SABCD theo a và a. b) Xác định đường vuông góc chung của SA và CD. Tính độ dài đường vuông góc chung đó theo a và a. a3 a tan a æ 1ö tan a , Stp = a2 ç 1 + HD: a) V = b) d = ÷ è cos a ø cos a 6 Baøi 6. Trên nửa đường tròn đường kính AB = 2R lấ y một điểm C tùy ý. Dựng CH vuông góc với AB (H thuộc đoạn AB) và gọ i I là trung điểm của CH. Trên nửa đường thẳng It · vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại I lấy điểm S sao cho góc ASB = 90o. a) Chứng minh tam giác SHC là tam giác đều. b) Đặt AH = h. Tính thể tích V của tứ diện SABC theo h và R. 3 Rh ( 2R – h ) HD: b) V = 2 Baøi 7. Cho hình vuông ABCD cạnh 2a. Trên đường thẳng d qua trung điểm I của cạnh AB và vuông góc với mặt phẳng (ABCD) lấy điểm E sao cho IE = a. M là điểm thay đổ i trên cạnh AB, hạ EH ^ CM. Đặt BM = x. a) Chứng minh điểm H di động trên một đường tròn. Tính độ dài IH. b) Gọi J là trung điểm của đoạn CE. Tính độ dài JM và tìm giá trị nhỏ nhất của JM. 2 a ö 5a2 2a x - a a5 a æ x- ÷ + HD: a) IH = b) JM = MinJM = khi x = ç 2ø 4 2 2 è 2 2 4a + x Baøi 8. Cho hình hộp chữ nhật ABCDA'B'C'D' và điểm M trên cạnh AD. Mặt phẳng (A'BM) cắt đường chéo AC' của hình hộp tại điểm H. a) Chứng minh rằng khi M thay đổ i trên cạnh AD thì đường thẳng MH cắt đường thẳng A'B tại một điểm cố định. b) Tính t ỷ số thể tích của hai khố i đa diện tạo bởi mặt phẳng A'BM cắt hình hộp trong trường hợp M là trung điểm của cạnh AD. c) Giả sử AA' = AB và MB vuông góc với AC. Chứng minh rằng mặt phẳng A'BM vuông góc với AC' và điểm H là trực tâm của tam giác A'BM. V 1 a) MH cắt A¢B tại trung điểm I của A¢B. b) 1 = HD: V2 11 Baøi 9. Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a. I là trung điểm AB. Qua I dựng đường vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và trên đó lấy điểm S sao cho 2IS = a 3 . a) Chứng minh rằng tam giác SAD là tam giác vuông. b) Tính thể tích khố i chóp S.ACD rồi suy ra khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAD). a3 3 a HD: b) V = 3, d= 12 2 Baøi 10. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, AD = 2a, AA’ = a. a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD’ và B’C. AM = 3 . Hãy tính khoảng cách từ điể m b) Gọi M là điểm chia trong đoạn AD theo tỷ số MD M đến mặt phẳng (AB’C). c) Tính thể tích tứ diện AB’D’C. 2a3 a a) d(AD¢, B¢C) = a b) d(M, (AB¢C)) = HD: c) V = 2 3 Baøi 11. Trong mặt phẳng (P), cho một hình vuông ABCD có cạnh bằng a. S là một điểm bất Trang 20
  3. Trần Sĩ Tùng Khối tròn xoay kỳ nằm trên đường thẳng At vuông góc với mặt phẳng (P) tại A. a) Tính theo a thể tích khối cầu ngoại tiếp chóp S.ABCD khi SA = 2a. b) M, N lần lượt là hai điểm di động trên các cạnh CB, CD (M Î CB, N Î CD) và đặt CM = m, CN = n. Tìm một biểu thức liên hệ giữa m và n để các mặt phẳng (SMA) và (SAN) tạo với nhau một góc 45°. b) 2a2 – 2 ( m + n ) a + mn = 0 a) V = pa3 6 HD: Baøi 12. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ^ ( ABCD ) và SA = a 2 .Trên cạnh AD lấy điểm M thay đổ i. Đặt góc · = a . Hạ SN ^ CM . ACM a) Chứng minh N luôn thuộc một đường tròn cố định và tính thể t ích tứ diện SACN theo a và a . b) Hạ AH ^ SC , AK ^ SN . Chứng minh rằng SC ^ ( AHK ) và tính độ dài đoạn HK. a3 2 sin 2a HD: a) N thuộc đường tròn đường kính AC cố định, V = 6 a cos a b) HK = 1 + sin 2 a Baøi 13. Cho hình chóp S.ABC có các cạnh bên SA, SB, SC đôi một vuông góc. Đặt SA = a, SB = b, SC = c. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. a) Tính độ dài đoạn SG theo a, b, c. b) Một mặt phẳng (P) tuỳ ý đi qua S và G cắt đoạn AB tại M và cắt đoạn AC tại N. AB AC + = 3. i) Chứng minh rằng AM AN ii) Chứng minh rằng mặt cầu đi qua các điểm S, A, B, C có tâm O thuộc mặt phẳng (P). Tính thể tích khố i đa diện ASMON theo a, b, c khi mặt phẳng (P) song song với BC 1 1222 b) V = abc a +b +c HD: a) SG = 3 9 Baøi 14. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi O là giao điểm hai đường chéo. Trên nửa đường thẳng Ox vuông góc với mặt phẳng chứa hình vuông, ta lấy điểm S sao cho góc · SCB = 60° . a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và SD. b) Gọi ( a ) là mặt phẳng chứa BC và vuông góc với mặt phẳng (SAD). Tính diện tích thiết diện tạo bởi ( a ) và hình chóp S.ABCD. a2 6 a6 HD: a) d(BC, SD) = b) S = 3 4 Baøi 15. Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Trên cạnh AD lấy điểm M sao cho AM = x (0 £ x £ a). Trên nửa đường thẳng Ax vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại điểm A, lấ y điểm S sao cho SA = y (y > 0). a) Chứng minh rằng (SAB) ^ (SBC). b) Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SAC). c) Tính thể tích khố i chóp S.ABCM theo a, y và x. d) Biết rằng x2 + y2 = a2. Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khố i chóp S.ABCM. 2x 1 c) V = ya(a + x) HD: b) d(M, (SAC)) = 2 6 a 3 a3 d) MaxV = khi x = 8 2 Baøi 16. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A; · = 300 ; SBC là tam ABC Trang 21
  4. Khối tròn xoay Trần Sĩ Tùng giác đều cạnh a. Mặt bên SAB vuông góc với đáy ABC. M là trung điểm SB. a) Chứng minh AM là đoạn vuông góc chung của SB và AC. Tính cosin góc giữa 2 mặt phẳng (SAC) và (ABC). b) Tính thể tích của hình chóp S.ABC. a3 2 a) cos· = 1 SAB HD: b) V = 3 24 Baøi 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, góc µ = 1200 , BD = a > 0. Cạnh A bên SA vuông góc với đáy. Góc giữa mặt phẳng (SBC) và đáy bằng 600. Một mặt phẳng (P) đi qua BD và vuông góc với cạnh SC. Tính t ỉ số thể tích giữa hai phần của hình chóp do mặt phẳng (P) tạo ra khi cắt hình chóp. V1 1 = HD: V2 12 a3 Baøi 18. Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh AB = AD = a, AA’ = và góc 2 · = 600 . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh A’D’ và A’B’. Chứng minh BAD rằng AC¢ vuông góc với mặt phẳng (BDMN). Tính thể tích khối chóp A.BDMN. 3a3 HD: V= 16 Baøi 19. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a, cạnh SA vuông góc với đáy, cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy một góc 60o. Trên cạnh SA lấ y a3 điểm M sao cho AM = . Mặt phẳng (BCM) cắt cạnh SD tại điểm N. Tính thể t ích 3 khố i chóp S.BCNM . 10 3a 3 HD: V= 27 Baøi 20. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc · = 600 , SA BAD vuông góc với mặt phẳng (ABCD), SA = a. Gọi C’ là trung điểm của SC. Mặt phẳng (P) đi qua AC’ và song song với BD, cắt các cạnh SB, SD của hình chóp lần lượt tại B’, D’. Tính thể tích của khố i chóp S.AB’C’D’. a3 3 HD: V= 18 Chân thành cảm ơn các bạn đồng nghiệp và các em học sinh đã đọc tập tài liệu này. transitung_tv@yahoo.com Trang 22
  5. Trần Sĩ Tùng PP Toạ độ trong không gian CHƯƠNG III PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN I. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN 1. Định nghĩa và các phép toán · Định nghĩa, tính chất, các phép toán về vectơ trong không gian được xây dựng hoàn toàn tương tự như trong mặt phẳng. · Lưu ý: uuu uuu uuu r r r + Qui tắc ba điểm: Cho ba điểm A, B, C bất kỳ, ta có: AB + BC = AC uuu uuu uuu r r r + Qui tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD, ta có: AB + AD = AC uuu uuu uuur uuuu r r r + Qui tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD.A¢B¢C¢D¢, ta có: AB + AD + AA ' = AC ' + Hêï thức trung điểm đoạn thẳng: Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB, O tuỳ ý. uu uu r rr uuu uuu r r uur IA + IB = 0 ; OA + OB = 2OI Ta có: + Hệ thức trọng tâm tam giác: Cho G là trọng tâm của tam uuu ABC, O tuỳ ý. uuu giác uuu uuu uuu uuu r r r r r r r uuur GA + GB + GC = 0; OA + OB + OC = 3OG Ta có: + Hệ thức trọng tâm tứ diện: Cho G là trọng tâm của tứ diện ABCD, O tuỳ ý. uuu uuu uuu uuur r r r r uuu uuu uuu uuu r r r r uuur GA + GB + GC + GD = 0; OA + OB + OC + OD = 4OG Ta có: rr r r r r + Điều kiện hai vectơ cùng phương: a vaø b cuøng phöông (a ¹ 0) Û $! k Î R : b = ka + Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k (k ¹ 1), O tuỳ ý. uuur uuu r uuur uuur uuur OA - kOB MA = k MB; OM = Ta có: 1- k 2. Sự đồng phẳng của ba vectơ · Ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng. rrr r r · Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Cho ba vectơ a, b , c , trong đó a vaø b không cùng rrr r r r phương. Khi đó: a, b , c đồng phẳng Û $! m, n Î R: c = ma + nb rrr r · Cho ba vectơ a, b , c không đồng phẳng, x tuỳ ý. r r r r $! m, n, p Î R: x = ma + nb + pc Khi đó: 3. Tích vô hướng của hai vectơ · Góc giữa hai vectơ trong không gian: uuu r uuu r r r rr AB = u , AC = v Þ (u , v ) = · (00 £ · £ 1800 ) BAC BAC · Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian: rr r rr r r rr + Cho u , v ¹ 0 . Khi đó: u.v = u . v .cos(u , v ) rr rr rr + Với u = 0 hoaëc v = 0 . Qui ước: u.v = 0 rr rr + u ^ v Û u.v = 0 r r + u = u2 Trang 23
  6. PP Toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng II. HỆ TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 1. Hệ tọa độ Đêcac vuông góc trong không gian: Cho ba trục Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một và chung một điểm gốc O. Gọ i rrr i, j, k là các vectơ đơn vị, tương ứng trên các trục Ox, Oy, Oz. Hệ ba trục như vậy gọ i là hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz hoặc đơn giản là hệ tọa độ Oxyz. r2 r 2 r 2 rr rr r r i = j = k = 1 và i. j = i.k = k . j = 0 . Chú ý: 2. Tọa độ của vectơ:r r rrr a) Định nghĩa: u = ( x; y; z ) Û u = xi + y j + zk r r b) Tính chất: Cho a = (a1; a2 ; a3 ), b = (b1; b2 ; b3 ), k Î R rr · a ± b = (a1 ± b1; a2 ± b2 ; a3 ± b3 ) r · ka = (ka1; ka2 ; ka3 ) ìa1 = b1 rr ï · a=b Û ía2 = b2 ïa = b î3 3 r r r r · 0 = (0; 0; 0), i = (1; 0; 0), j = (0;1; 0), k = (0; 0;1) rr r r r r · a cùng phương b (b ¹ 0) Û a = kb (k Î R) ìa1 = kb1 aa a ï Û 1 = 2 = 3 , (b1 , b2 , b3 ¹ 0) Û ía2 = kb2 b1 b2 b3 ïa = kb î3 3 rr rr · a.b = a1.b1 + a2 .b2 + a3 .b3 · a ^ b Û a1b1 + a2 b2 + a3b3 = 0 r r · a 2 = a1 + a2 + a3 2 2 2 2 2 2 · a = a1 + a2 + a2 rr rr r rr a1b1 + a2 b2 + a3b3 a.b · cos(a , b ) = r r = (với a, b ¹ 0 ) a.b a 2 + a 2 + a2 . b 2 + b2 + b 2 1 2 3 1 2 3 3. Tọa độ của điểm: uuur a) Định nghĩa: M ( x; y; z) Û OM = ( x; y; z) (x : hồnh độ, y : tung độ, z : cao độ) · M Î (Oxy) Û z = 0; M Î (Oyz) Û x = 0; M Î (Oxz) Û y = 0 Chú ý: · M Î Ox Û y = z = 0; M Î Oy Û x = z = 0; M Î Oz Û x = y = 0 b) Tính chất: Cho A( x A ; y A ; zA ), B( x B ; yB ; zB ) uuu r · AB = ( xB - x A ; yB - y A ; zB - zA ) · AB = ( x B - x A )2 + ( yB - y A )2 + ( zB - zA )2 æ x - kxB yA - kyB zA - kzB ö · Toạ độ điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k (k≠1): M ç A ; ; ÷ è 1- k 1- k 1- k ø æ x + x B y A + y B zA + zB ö · Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB: M ç A ; ; ÷ è 2ø 2 2 · Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC: æ x + xB + xC y A + yB + yC zA + zB + zC ö Gç A ; ; ÷ è ø 3 3 3 · Toạ độ trọng tâm G của tứ diện ABCD: Trang 24
  7. Trần Sĩ Tùng PP Toạ độ trong không gian æ x + xB + xC + x D y A + y B + yC + yD zA + zB + zC + zC ö Gç A ; ; ÷ è ø 4 4 4 4. Tích có hướng của hai vectơ: (Chương trình nâng cao) r r a) Định nghĩa: Cho a = (a1, a2 , a3 ) , b = (b1 , b2 , b3 ) . r r æ a2 a1 a2 ö a3 a3 a1 r r [a, b ] = a Ù b = ç ÷ = ( a2 b3 - a3b2 ; a3b1 - a1b3 ; a1b2 - a2 b1 ) ; ; çb b b3 b1 b1 b2 ÷ è2 ø 3 Chú ý: Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ, tích vô hướng của hai vectơ là một số. b) Tính chất: rr r rr r r rr rr r rr r [k , i ] = j é j,k ù = i ; · éi , j ù = k ; · [a, b] ^ a; [a, b] ^ b ëû ë û rr rr r rr rr rr · [a, b] = a . b .sin ( a, b ) · a, b cùng phương Û [a, b] = 0 c) Ứng dụng của tích có hướng: rr rrr r · Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ: a, b và c đồng phẳng Û [a, b].c = 0 uuu uuu rr SY ABCD = é AB, AD ù · Diện tích hình bình hành ABCD: ë û uuu uuu rr 1 SD ABC = é AB, AC ù · Diện tích tam giác ABC: ë û 2 uuu uuu uuu r rr VABCD . A ' B ' C ' D ' = [ AB, AD ]. AA ' · Thể tích khối hộp ABCD.A¢ B¢ C¢D¢: 1 uuu uuu uuu rr r [ AB, AC ]. AD VABCD = · Thể tích tứ diện ABCD: 6 Chú ý: – Tích vô hướng của hai vectơ thường sử dụng để chứng minh hai đường thẳng vuông góc, tính góc giữa hai đường thẳng. – Tích có hướng của hai vectơ thường sử dụng để tính diện tích tam giác; tính thể tích khối tứ diện, thể tích hình hộp; chứng minh các vectơ đồng phẳng – không đồng phẳng, chứng minh các vectơ cùng phương. rr rr a ^ brÛ a.b = 0 rr r r a vaø b cuøng phöông Û [ a , b ] = 0 rrr rr r a, b , c ñoàng phaúng Û [ a , b ] .c = 0 5. Phương trình mặt cầu: · Phương trình mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính R: ( x - a )2 + ( y - b )2 + ( z - c )2 = R 2 · Phương trình x 2 + y 2 + z 2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0 với a2 + b 2 + c 2 - d > 0 là phương trình a2 + b2 + c2 - d . mặt cầu tâm I(–a; –b; –c) và bán kính R = Trang 25
  8. PP Toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng VẤN ĐỀ 1: Các phép toán về toạ độ của vectơ và của điểm – Sử dụng các công thức về toạ độ của vectơ và của điểm trong không gian. – Sử dụng các phép toán về vectơ trong không gian. Baøi 1. Viết tọa độ của các vectơ sau đây: r rr r r r rr r r r r a = -2i + j ; d = 3i - 4 j + 5k b = 7i - 8k ; c = -9k ; rrr Baøi 2. Viết dưới dạng xi + yj + zk mỗi vectơ sau đây: r r æ 1 1ö ræ 1 ö r æ4 1ö a = ç 0; ; 2 ÷ ; b = (4; -5; 0) ; c = ç ; 0; d = çp; ; ÷; ÷ è3 è 3 5ø è 2ø 3ø r r r r Baøi 3. Cho: a = ( 2; -5; 3) , b = ( 0; 2; -1) , c = (1; 7; 2 ) . Tìm toạ độ của các vectơ u với: r 1r r rr r 2r r r rr a) u = 4a - b + 3c c) u = -4b + c b) u = a - 4b - 2c 2 3 rr rr r 2r r 1r 4 rr3 r r e) u = a - b - 2c f) u = a - b - c d) u = 3a - b + 5c 2 3 4 3 r Baøi 4. Tìm tọa độ của vectơ x , biết rằng: rrr r r rr r a) a + x = 0 với a = (1; -2;1) b) a + x = 4a với a = ( 0; -2;1) r rr r r c) a + 2 x = b với a = ( 5; 4; -1) , b = ( 2; -5; 3) r Baøi 5. Cho a = (1; -3; 4) . r r a) Tìm y và z để b = (2; y; z) cùng phương với a . r r r r r b) Tìm toạ độ của vectơ c , biết rằng a vaø c ngược hướng và c = 2 a . r r r Baøi 6. Cho ba vectơ a = (1; -1;1) , b = ( 4; 0; -1) , c = ( 3; 2; -1) . Tìm: rr r r rr rr rr rr a) ( a.b ) c b) a 2 ( b .c ) c) a 2 b + b 2 c + c 2 a rr r r r rr r r r d) 3a - 2 ( a.b ) b + c 2 b e) 4a.c + b 2 - 5c 2 r r Baøi 7. Tính góc giữa hai vectơ a và b : r r r r a) a = ( 4; 3;1) , b = ( -1; 2; 3) b) a = ( 2; 5; 4 ) , b = ( 6; 0; -3) r r r r c) a = (2;1; -2), b = (0; - 2 ; 2 ) d) a = (3; 2; 2 3 ), b = ( 3; 2 3; -1) r r r r e) a = (-4; 2; 4), b = (2 2; -2 2; 0) f) a = (3; -2;1), b = (2;1; -1) r Baøi 8. Tìm vectơ u , biết rằng: r r r r r r ìa = (2; -1; 3), b = (1; -3; 2), c = (3; 2; -4) ìa = (2; 3; -1), b = (1; r 2; 3), c = (2; -1;1) - r a) í r r r rr b) í r r r rr îa.u = -5, u.b = -11, u.c = 20 îu ^ a , u ^ b, u .c = -6 r r r r r r ìa = (2; 3;1), b = (r ; -2; -1), c = (-2; 4; 3) ìa = (5; -3; 2), b = (1; 4; -3), c = (-3; 2; 4) 1 rr c) í r r r rr d) í r r rr îa.u = 3, b .u = 4, c .u = 2 îa.u = 16, b .u = 9, c .u = -4 r r r ìa = (7; 2; 3), b = r4; 3; -5), c = (1;1; -1) ( e) í r r r rr îa.u = -5, b .u = -7, c ^u rr Baøi 9. Cho hai vectơ a , b . Tìm m để: r r r r ìa = (2;1; -2), b = (0; - 2 ; 2 ) ìa = (3; -2;1), b = (2;1; -1) r r r rr b) í r r r r a) í r r r îu = ma - 3b vaø v = 3a + 2mb vuoâng goùc îu = 2a + 3mb vaø v = ma - b vuoâng goùc r r ìa = (3; -2;1), b = (2;1; -1) r rr c) í r r r îu = ma - 3b vaø v = 3a + 2mb cuøng phöông rr Baøi 10. Cho hai vectơ a , b . Tính X, Y khi biết: Trang 26
  9. Trần Sĩ Tùng PP Toạ độ trong không gian r rr r rr r r ì a = 4, b = 6, a ^ b ìa = (2; -1; -2), b = 6, a - b = 4 rr rr a) í b) í îX = a - b îY = a + b r rr r rr r r ì a = 4, b = 6, ( a , b ) = 1200 ìa = (2; -1; -2), b = 6, ( a, b ) = 600 rr rr rr rr c) í d) í îX = a - b , Y = a + b îX = a - b ,Y = a + b rrr r rr Baøi 11. Cho ba vectơ a, b , c . Tìm m, n để c = [ a, b ] : r r r a) a = ( 3; -1; -2 ) , b = (1; 2; m ) , c = ( 5;1; 7 ) r r r b) a = ( 6; -2; m ) , b = ( 5; n; -3) , c = ( 6; 33;10 ) r r r c) a = ( 2; 3;1) , b = ( 5; 6; 4 ) , c = ( m; n;1) rrr Baøi 12. Xét sự đồng phẳng của ba vectơ a, b , c trong mỗ i trường hợp sau đây: r r r r r r a) a = (1; -1;1) , b = ( 0;1; 2 ) , c = ( 4; 2; 3) b) a = ( 4; 3; 4 ) , b = ( 2; -1; 2 ) , c = (1; 2;1) r r r r r r c) a = ( -3;1; -2 ) , b = (1;1;1) , c = ( -2; 2;1) d) a = ( 4; 2; 5 ) , b = ( 3;1; 3) , c = ( 2; 0;1) r r r r r r e) a = (2; 3;1), b = (1; -2; 0), c = (3; -2; 4) f) a = (5; 4; -8), b = (-2; 3; 0), c = (1; 7; -7) r r r r r r g) a = (2; -4; 3), b = (1; 2; -2), c = (3; -2;1) h) a = (2; -4; 3), b = (-1; 3; -2), c = (3; -2;1) rrr Baøi 13. Tìm m để 3 vectơ a, b , c đồng phẳng: r r r a) a = (1; m; 2 ) , b = ( m + 1; 2;1) , c = ( 0; m - 2; 2 ) r r r b) a = (2m + 1;1; 2m - 1); b = (m + 1; 2; m + 2), c = (2m; m + 1; 2) r r r c) a = ( m + 1; m; m - 2 ) , b = ( m - 1; m + 2; m ) , c = (1; 2; 2 ) r r r d) a = (1; -3; 2 ) , b = ( m + 1; m - 2;1 - m ) , c = ( 0; m - 2; 2 ) rrrr rrr Baøi 14. Cho các vectơ a, b , c , u . Chứng minh ba vectơ a, b , c không đồng phẳng. Biểu diễn vectơ rrr r u theo các vectơ a, b , c : r r r r r r ìa = ( 2;1; 0 ) , b = (1; -1; 2 ) , c = ( 2; 2; -1) ìa = (1; -7; 9 ) , b = ( 3; -6;1) , c = ( 2;1; -7 ) a) í r b) í r îu = (3; 7; -7) îu = (-4;13; -6) r r r r r r ìa = (1; 0;1) , b = ( 0; -1;1) , c = (1;1; 0 ) ìa = (1; 0; 2 ) , b = ( 2; -3; 0 ) , c = ( 0; -3; 4 ) c) í r d) í r îu = (8; 9; -1) îu = (-1; -6; 22) r r r r r r ìa = ( 2; -3;1) , b = ( -1; 2; 5 ) , c = ( 2; -2; 6 ) ìa = ( 2; -1;1) , b = (1; -3; 2 ) , c = ( -3; 2; -2 ) e) í r f) í r îu = (3;1; 2) îu = (4; 3; -5) rrrr Baøi 15. Chứng tỏ bốn vectơ a, b , c , d đồng phẳng: r r r r a) a = ( -2; -6;1) , b = ( 4; -3; -2 ) , c = ( -4; -2; 2 ) , d = (-2; -11;1) r r r r b) a = ( 2; 6; -1) , b = ( 2;1; -1) , c = ( -4; 3; 2 ) , d = (2;11; -1) rrr r Baøi 16. Cho ba vectơ a, b , c không đồng phẳng và vectơ d . Chứng minh bộ ba vectơ sau không đồng phẳng: rrr r rrr r r r a) b , c , d = ma + nb (với m, n ≠ 0) b) a , c , d = ma + nb (với m, n ≠ 0) rrr r rrr r r r r r c) a , b , d = ma + nb + pc , (với m, n, p ≠ 0) d) b , c , d = ma + nb + pc , (với m, n, p ≠ 0) rrr r r r e) a , c , d = ma + nb + pc , (với m, n, p ≠ 0) Trang 27
  10. PP Toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng VẤN ĐỀ 2: Xác định điểm trong không gian. Chứng minh tính chất hình học. Diện tích – Thể tích. – Sử dụng các công thức về toạ độ của vectơ và của điểm trong không gian. – Sử dụng các phép toán về vectơ trong không gian. – Công thức xác định toạ độ của các điểm đặc biệt. – Tính chất hình học của các điểm đặc biệt: uuu uuu rr uuu r uuu r uuu uuu rr r · A, B, C thẳng hàng Û AB, AC cùng phương Û AB = k AC Û é AB, AC ù = 0 ë û uuu uuur r · ABCD là hình bình hành Û AB = DC · Cho DABC có các chân E, F của các đường phân giác trong và ngồi của góc A của DABC uuu r AB uuur uuu AB uuu r r .EC , .FC EB = - FB = trên BC. Ta có: AC AC uuu uuu uuu rr r uuu uuu uuu rrr · A, B, C, D không đồng phẳng Û AB, AC , AD không đồng phẳng Û é AB, AC ù . AD ¹ 0 ë û Baøi 1. Cho điểm M. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M: · Trên các mặt phẳng tọa độ: Oxy, Oxz, Oyz · Trên các trục tọa độ: Ox, Oy, Oz a) M (1; 2; 3) b) M (3; -1; 2) c) M (-1;1; -3) d) M (1; 2; -1) e) M (2; -5; 7) f) M (22; -15; 7) g) M (11; -9;10) h) M (3; 6; 7) Baøi 2. Cho điểm M. Tìm tọa độ của điểm M¢ đối xứng với điểm M: · Qua gốc toạ độ · Qua mp(Oxy) · Qua trục Oy a) M (1; 2; 3) b) M (3; -1; 2) c) M (-1;1; -3) d) M (1; 2; -1) e) M (2; -5; 7) f) M (22; -15; 7) g) M (11; -9;10) h) M (3; 6; 7) Baøi 3. Xét tính thẳng hàng của các bộ ba điểm sau: a) A(1; 3;1), B(0;1; 2), C (0; 0;1) b) A(1;1;1), B(-4; 3;1), C (-9; 5;1) c) A(10; 9;12), B(-20; 3; 4), C (-50; -3; -4) d) A(-1; 5; -10), B(5; -7; 8), C(2; 2; -7) Baøi 4. Cho ba điểm A, B, C. · Chứng tỏ ba điểm A, B, C tạo thành một tam giác. · Tìm toạ độ trọng tâm G của DABC. · Xác định điểm D sao cho ABCD là hình bình hành. · Xác định toạ độ các chân E, F của các đường phân giác trong và ngồ i của góc A của DABC trên BC. Tính độ dài các đoạn phân giác đó. · Tính số đo các góc trong DABC. · Tính diện tích DABC. Từ đó suy ra độ dài đường cao AH của DABC. a) A(1; 2; -3), B(0; 3; 7), C (12; 5; 0) b) A(0;13; 21), B(11; -23;17), C (1; 0;19) c) A(3; -4; 7), B(-5; 3; -2), C (1; 2; -3) d) A(4; 2; 3), B(-2;1; -1), C (3; 8; 7) e) A(3; -1; 2), B(1; 2; -1), C (-1;1; -3) f) A(4;1; 4), B(0; 7; -4), C (3;1; -2) A (1; 0; 0 ) , B ( 0; 0;1) , C ( 2;1;1) h) A(1; -2; 6), B(2; 5;1), C (-1; 8; 4) g) Baøi 5. Trên trục Oy (Ox), tìm điểm cách đều hai điểm: A(3;1; 0) , B(-2; 4;1) b) A(1; -2;1), B(11; 0; 7) c) A(4;1; 4), B(0; 7; -4) a) A(3; -1; 2), B(1; 2; -1) e) A(3; -4; 7), B(-5; 3; -2) f) A(4; 2; 3), B(-2;1; -1) d) Baøi 6. Trên mặt phẳng Oxy (Oxz, Oyz), tìm điểm cách đều ba điểm: A(1;1;1), B(-1;1; 0), C (3;1; -1) b) A(-3; 2; 4), B(0; 0; 7), C (-5; 3; 3) a) A(3; -1; 2), B(1; 2; -1), C (-1;1; -3) d) A(0;13; 21), B(11; -23;17), C (1; 0;19) c) A(1; 0; 2), B(-2;1;1), C (1; -3; -2) f) A(1; -2; 6), B(2; 5;1), C (-1; 8; 4) e) Baøi 7. Cho hai điểm A, B. Đường thẳng AB cắt mặt phẳng Oyz (Oxz, Oxy) tại điểm M. · Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số nào ? · Tìm tọa độ điểm M. Trang 28
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2