Tài liệu phương pháp giải toán 12 nâng cao

Chia sẻ: Trần Bá Trung4 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:46

6
588
lượt xem
255
download

Tài liệu phương pháp giải toán 12 nâng cao

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

" Tài liệu phương pháp giải toán 12 nâng cao " nhằm giúp các em có cách nhìn toàn diện về kiến thức và kĩ năng cần nắm vững trước khi bước vào Kì thi với tâm thế vững vàng nhất. Tác giả hi vọng tài liệu này sẽ là tài liệu bổ ích cho các em học sinh

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Tài liệu phương pháp giải toán 12 nâng cao

  1. Tài li u ôn t p THPT Tr n Văn Thành TÀI LI U ÔN T P TÚ TÀI 1 (ph n lý thuy t) Tài li u ôn t p tú tài này so n cho h c sinh l p 12, ch y u tóm t t lý thuy t và t ng h p các phương pháp gi i toán cũng như các d ng toán thư ng g p. n gô N nh ha T m h P H n: so n iê B c 1 Composed with TEXMaker on MiKTEX version 2.7 c H Ph m Thanh Ngôn Trang s – 1
  2. Tài li u ôn t p THPT Tr n Văn Thành Phương trình - B t phương trình 1. B t phương trình b c nh t ax + b > 0(< 0, 0, 0) v i a = 0 Cách gi i: Bi n đ i ax + b > 0 ⇐⇒ ax > −b. Sau đó chia hai v cho a (chú ý đ i chi u b t pt n u a < 0). B ng xét d u nh th c b c nh t x −∞ −b/a +∞ ax + b trái d u a 0 cùng d u a n gô 2. B t pt b c hai ax2 + bx + c > 0(< 0, 0, 0) (a = 0) N Cách gi i: L p b ng xét d u và căn c vào chi u b t pt đ l y ra t p nghi m. Ta có 3 trư ng h p sau đây: nh a. Bi t th c ∆ > 0 ha x −∞ x1 x2 +∞ ax2 + bx + c cùng d u a 0 trái d u a 0 cùng d u a T m b. Bi t th c ∆ = 0 b x −∞ − +∞ 2a h P ax2 + bx + c cùng d u a 0 cùng d u a c. Bi t th c ∆ < 0 H x −∞ +∞ n: ax2 + bx + c cùng d u a so Chú ý: Cho f (x) = ax2 + bx + c. N u h s a có ch a tham s (m) thì ta ph i xét trư ng h p a = 0. n iê V i a = 0, ta có các trư ng h p sau:  B a > 0 f (x) 0, ∀x ∈ R ⇔ ∆ 0 c  a > 0 f (x) > 0, ∀x ∈ R ⇔ ∆ < 0  a < 0 f (x) 0, ∀x ∈ R ⇔ ∆ 0  a > 0 f (x) < 0, ∀x ∈ R ⇔ ∆ < 0 c H Ph m Thanh Ngôn Trang s – 2
  3. Tài li u ôn t p THPT Tr n Văn Thành Ngoài ra ta còn có các đi u ki n h p và m nh hơn là  f (α) 0 V i a > 0 thì f (x) = ax2 + bx + c 0, ∀x ∈ (α, β) ho c (x ∈ [α, β]) ⇔ f (β) 0  f (α) 0 V i a < 0 thì f (x) = ax2 + bx + c 0, ∀x ∈ (α, β) ho c (x ∈ [α, β]) ⇔ f (β) 0 S b V i = − ∈ (α, β) ho c ([α, β]) thì / 2 2a  f (α) 0 n f (x) = ax2 + bx + c 0, ∀x ∈ (α, β) ho c (x ∈ [α, β]) ⇔ gô f (β) 0 N (không c n bi t d u c a a) S b nh V i = − ∈ (α, β) ho c ([α, β]) thì / 2 2a  ha f (α) 0 f (x) = ax2 + bx + c 0, ∀x ∈ (α, β) ho c (x ∈ [α, β]) ⇔ T f (β) 0 m (không c n bi t d u c a a) h 3. Phương trình, b t phương trình ch a d u tr tuy t đ i P Các d ng thư ng g p là |A| = |B|, |A| = B, |A| > |B|, |A| < B, |A| > B Cách gi i chung: L p b ng xét d u cho bi u th c n m trong d u tr tuy t đ i đ kh H d u tr tuy t đ i. Trong đó ta lưu ý: n: A=B • |A| = |B| ⇔ A2 = B 2 ⇔ A = −B so • |A| > |B| ⇔ A2 > B 2 ⇔ A2 − B 2 > 0 ⇔ (A − B)(A + B) > 0   B 0   n B 0  iê • |A| = B ⇔ ⇔ A=B A2 = B 2     A = −B B • |A| < B ⇔ −B < A < B c A>B • |A| > B ⇔ A < −B A n u A 0 Chú ý: |A| = . −A n u A 0 4. Phương trình, b t phương trình ch a căn th c Cách gi i chung: Đ t đi u ki n cho các căn th c có nghĩa, sau đó bình phương (nâng lũy th a) đ kh căn th c. Trong đó ta lưu ý: c H Ph m Thanh Ngôn Trang s – 3
  4. Tài li u ôn t p THPT Tr n Văn Thành √ √ A 0 ho c B 0 • A= B⇔ A=B √ B 0 • A=B⇔ A = B2 √ √ B 0 • A> B⇔ A>B   B < 0    √  A 0 • A>B⇔    n  B 0  gô A > B 2 N  B 0    √ nh • A<B⇔ A 0    A < B 2 ha Chú ý: √ T m A có nghĩa khi và ch khi A 0. Khi bình phương hai v , ph i luôn b o đ m hai v không âm (ho c cùng d u). h P H n: so n iê B c c H Ph m Thanh Ngôn Trang s – 4
  5. Tài li u ôn t p THPT Tr n Văn Thành Kh o sát và v đ th hàm s 1. Hàm b c ba y = ax3 + bx2 + cx + d • TXĐ: D = R. • S bi n thiên (i) Tính các gi i h n: lim y và lim y x→−∞ x→+∞ (ii) Tính: y = 3ax2 + 2bx + c và gi i y = 0, l p b ng bi n thiên, nêu rõ c c tr (n u có) và nêu rõ trong bài làm các kho ng đ ng bi n và ngh ch bi n c a hàm s . n Tính: y = 6ax + 2b. Gi i y = 0 đ tìm đi m u n (làm nháp) gô • Đi m đ c bi t (ch n tùy theo b ng bi n thiên). N • V đ th : V t ng kho ng và chú ý đ n chi u lên xu ng trong b ng bi n thiên. nh 2. Hàm trùng phương y = ax4 + bx2 + c ha • TXĐ: D = R. • Tính các gi i h n: lim y và lim y x→−∞ x→+∞ T • Tính: y = 4ax3 + 2bx và gi i y = 0, l p b ng bi n thiên, nêu rõ c c tr (n u m có)và nêu rõ trong bài làm các kho ng đ ng bi n và ngh ch bi n c a hàm s . h • Đi m đ c bi t (ch n tùy theo b ng bi n thiên). P • V đ th : V t ng kho ng và chú ý đ n chi u lên xu ng trong b ng bi n thiên. ax + b H 3. Hàm h u t nh t bi n (còn g i là hàm 1 trên 1) y = cx + d n: d • TXĐ: D = R \ − . c so • Tính gi i h n và tìm ti m c n: Tính đư c n a a iê lim −  y, lim +  y, lim y = và lim y = d d x→−∞ c x→+∞ c B x→−  x→−  c c d a c T đó suy ra ti m c n đ ng là x = − . Ti m c n ngang là y = . c c ad − bc • Đ o hàm: y = . Căn c vào d u c a ad − bc (> 0 hay < 0) đ k t lu n (cx + d)2 cho y , t đó l p b ng bi n thiên, và nêu rõ trong bài làm các kho ng đ ng bi n và ngh ch bi n c a hàm s . • Tìm thêm 4 đi m đ c bi t. Chú ý đ n các giao đi m c a đ th v i các tr c t a đ . ax2 + bx + c 4. Hàm h u t b c 2 trên b c 1 y = (dành cho chương trình nâng cao) dx + e c H Ph m Thanh Ngôn Trang s – 5
  6. Tài li u ôn t p THPT Tr n Văn Thành e • TXĐ: D = R \ − . d • Ti m c n: M Chia t cho m u trong y ta vi t l i y d ng: y = Ax + B + . dx + e e Khi đó: Ti m c n đ ng là x = − . Ti m c n xiên là y = Ax + B. d a b a c b c x2 + 2 x+ 0 d 0 e d e adx2 + 2aex + be − cd • Đ o hàm: y = = (dx + e)2 (dx + e)2 • Gi i y = 0 ⇔ adx2 + 2aex + be − cd = 0. T đó l p b ng bthiên và nêu rõ c c tr n n u có và nêu rõ trong bài làm các kho ng đ ng bi n và ngh ch bi n c a hàm s . gô • Cho thêm đi m đ c bi t và v đ th . N nh ha T m h P H n: so n iê B c c H Ph m Thanh Ngôn Trang s – 6
  7. Tài li u ôn t p THPT Tr n Văn Thành M t s bài toán liên quan đ n vi c kh o sát hàm s (C) : y = f (x) 1. Đ ng bi n - ngh ch bi n a. Hàm s y = f (x) đ ng bi n trên mi n D ⇔ y 0, ∀x ∈ D b. Hàm s y = f (x) ngh ch bi n trên mi n D ⇔ y 0, ∀x ∈ D (y = 0 t i h u h n giá tr x.) Chú ý: ax + b Đ i v i hàm y = thì ta bu c đi u ki n y > 0 (đ ng bi n) và y < 0 (ngh ch cx + d bi n) n 2. C c tr gô a. Đi u ki n chung: Cho hàm s y = f (x) có đ o hàm t i x = x0 . N • y = f (x) có c c tr ⇐⇒ y đ i d u. nh • y = f (x) có c c tr t i x0 ⇒ f (x0 ) = 0 (ph i th l i).  f (x ) = 0 ha 0 • y = f (x) có c c đ i t i x0 ⇔ f (x0 ) < 0  f (x ) = 0 0 T m • y = f (x) có c c ti u t i x0 ⇔ f (x0 ) > 0 h b. Đi u ki n c th P hai c c tr • Hàm s y = ax3 + bx2 + cx + d (a = 0) có ⇔ y = 0 có hai CĐ và CT H nghi m phân bi t. ax2 + bx + c hai c c tr n: • Hàm s y = có ⇔ y = 0 có hai nghi m phân bi t dx + e CĐ và CT thu c t p xác đ nh. so ax + b • Hàm s y = không có c c tr . cx + d n • Hàm s y = ax4 + bx2 + c có 1 c c tr n u a.b > 0, có 3 c c tr n u a.b < 0. iê c. Đư ng th ng qua các đi m c c tr B Khi hàm b c ba y = ax3 + bx2 + cx + d (a = 0) có hai c c tr , hãy vi t phương trình đư ng th ng đi qua hai c c tr đó? c • Chia đa th c y cho y ta đư c: y = (Ax + B).y + mx + n.  y (x ) = 0 0 • G i (x0 , y0 ) là đi m c c tr thì ta có: y(x0 ) = (Ax0 + B).y (x0 ) + mx0 + n ⇒ y(x0 ) = mx0 + n. 2 V y phương trình đư ng th ng qua các c c tr là y = mx + n. 2 khi s d ng ph i trình bày ph n ch ng minh này l i c H Ph m Thanh Ngôn Trang s – 7
  8. Tài li u ôn t p THPT Tr n Văn Thành ax2 + bx + c d. Khi hàm h u t y = có hai c c tr , hãy vi t phương trình đư ng dx + e th ng đi qua hai c c tr đó? u(x) u (x).v(x) − v (x).u(x) • Đ ty= , ta có y = . v(x) v 2 (x) • Do y đ t c c tr t i x = x0 nên u (x0 ).v(x0 ) − v (x0 ).u(x0 ) u(x0 ) u (x0 ) 2ax0 + b y (x0 ) = 0 ⇔ =0⇔ = = v 2 (x0 ) v(x0 ) v (x0 ) d 2ax0 + b ⇒ y(x0 ) = d 2ax + b 3 n V y phương trình đư ng th ng qua các c c tr là y(x) = . gô d Chú ý: N u tìm đư c c th 2 đi m c c tr là A(xA , yA ) và B(xB , yB ) thì đư ng N th ng qua 2 c c tr A và B chính là đư ng th ng AB. nh 3. Giá tr l n nh t và giá tr nh nh t Cho hàm s y = f (x), tìm giá tr l n nh t và nh nh t c a hàm s trên mi n D. ha a. D ng 1: Tìm giá tr l n nh t và nh nh t c a y = f (x) trên đo n [a, b]. T • Tính y và gi i y = 0 tìm nghi m. Gi s có nghi m là x1 , x2 ∈ [a, b]. m • Tính f (a), f (b), f (x1 ), f (x2 ) và so sánh đ k t lu n. b. D ng 2: Tìm giá tr l n nh t và nh nh t c a y = f (x) trên kho ng (a, b), n a h kho ng [a, b), n a kho ng (a, b]. P • Tính y và l p b ng bi n thiên trên mi n xác đ nh tương ng (là (a, b), [a, b) hay (a, b]). H • Căn c vào b ng bi n thiên đ k t lu n. n: c. D ng 3: Tìm giá tr l n nh t và nh nh t c a y = f (x) (đ bài không nói gì thêm). • Tìm t p xác đ nh c a hàm s . so • Tính đ o hàm y và l p b ng bi n thiên c a hàm s đ k t lu n. 4. Tìm giao đi m c a hai đ th n iê a. Cho y = f (x) có đ th (C), y = g(x) có đ th (C ), hãy tìm giao đi m c a (C) và B (C )? • Hoành đ giao đi m c a (C) và (C ) là nghi m c a pt: f (x) = g(x) (*) c • S giao đi m c a (C) và (C ) chính b ng s nghi m c a (*).  f (x) = g(x) b. (C) và (C ) ti p xúc ⇔ H có nghi m. f (x) = g (x) 5. Phương trình ti p tuy n c a hàm s y = f (x) có đ th (C) a. Phương trình ti p tuy n t i M0 (x0 , y0 ) ∈ (C) (bi t t a đ ti p đi m) Phương trình có d ng: 3 khi s d ng ph i trình bày ph n ch ng minh này l i c H Ph m Thanh Ngôn Trang s – 8
  9. Tài li u ôn t p THPT Tr n Văn Thành y = f (x0 ).(x − x0 ) + y0 (f (x0 ) là h s góc c a ti p tuy n; f (x0 ) đôi khi đư c vi t là y (x0 )). b. Phương trình ti p tuy n v i h s góc k cho trư c • G i (x0 , y0 ) là t a đ ti p đi m. • Gi i f (x0 ) = k tìm ra x0 , thay x0 vào (C) có y0 = f (x0 ) ⇒ có đư c t a đ ti p đi m. Chú ý: N u ti p tuy n song song v i đư ng th ng y = ax + b thì f (x0 ) = a; n u ti p tuy n 1 vuông góc v i đư ng th ng y = ax + b thì f (x0 ) = − . n a gô c. Phương trình ti p tuy n đi qua (k t ) M1 (x1 , y1 ) N • Vi t phương trình đư ng th ng ∆ đi qua M1 (x1 , y1 ) & có h s góc k là: nh y = k.(x − x1 ) + y1  f (x) = k.(x − x ) + y ha 1 1 • Dùng đi u ki n ti p xúc ⇒ tìm ra k. f (x) = k 6. Bi n lu n s nghi m c a phương trình b ng đ th T m Cho phương trình F (x, m) = 0 (x : n, m : tham s ). Bi n lu n theo m s nghi m c a pt. h P • Vi t pt đã cho dư i d ng f (x) = g(m) (*), trong đó f (x) là hàm có đ th v đư c (1 trong 4 d ng) (thư ng là đã v ), y = g(m) là đư ng th ng song song Ox. H • S nghi m c a (*) chính b ng s giao đi m c a hai đ th : (C) : y = f (x) và đư ng th ng y = g(m). n: 7. Tương quan (giao đi m) c a đ th hàm s b c 3 v i các tr c t a đ (Ox và so Oy). Cho y = ax3 + bx2 + cx + d (a = 0) có đ th (C). Khi đó n a. (C) c t tr c hoành Ox t i 3 đi m phân bi t khi và ch khi y có c c tr và hai giá iê tr c c tr trái d u. B • Bư c 1: Tính y , xét pt b c 2 y = 0 có 2 nghi m phân bi t x1 , x2 (ch xét đi u ki n ∆ > 0, không tính c th x1 , x2 ). c • Bư c 2: Chia đa th c y cho y ta đư c y = (Ax + B).y + kx + h.  y(x ) = kx + h 1 1 Khi đó . y(x2 ) = kx2 + h Hai giá tr c c tr trái d u khi y(x1 ).y(x2 ) < 0 ⇔ (kx1 + h)(kx2 + h) < 0 ⇔ k 2 x1 x2 + kh(x1 + x2 ) < 0 (∗) c b Áp d ng Viét x1 x2 = ; x1 + x2 = − , thay vào (∗). a a c H Ph m Thanh Ngôn Trang s – 9
  10. Tài li u ôn t p THPT Tr n Văn Thành b. (C) c t tr c Ox ch t i 1 đi m khi hai giá tr c c tr cùng d u (y(x1 ).y(x2 ) > 0) ho c y rơi vào 2 trư ng h p :vô nghi m/nghi m kép ⇒ ∆ 0. Chú ý: • Hai c c tr n m hai phía so v i tr c Oy khi x1 .x2 < 0 • Hai c c tr n m cùng phía so v i tr c Oy khi x1 .x2 > 0. • Hai c c tr n m hai phía so v i tr c O khi y(x1 ).y(x2 ) < 0 • Hai c c tr n m cùng phía so v i tr c O khi y(x1 ).y(x2 ) > 0 • N u phương trình ax3 + bx2 + cx + d = 0 có nghi m d tìm (nghi m h u t ) thì n ta nên xét s nghi m c a phương trình này đ suy ra s giao đi m c a (C) và tr c gô hoành Ox. N 8. Kho ng cách nh Cho M (xM , yM ), N (xN , yN ), P (x0 , y0 ) và đư ng th ng ∆ : Ax + By + C = 0. Khi đó: MN = (xN − xM )2 + (yN − yM )2 ha |Ax0 + By0 + C| d(P, ∆) = √ T A2 + B 2 m Chú ý: • Kho ng cách t M (x0 , y0 ) đ n tr c hoành là |y0 | h P • Kho ng cách t M (x0 , y0 ) đ n tr c tung là |x0 | 9. Tìm c p đi m A, B ∈ (C) : y = f (x) sao cho A, B đ i x ng nhau qua ∆ : y = ax+b H 1 • G i d là đư ng th ng vuông góc v i ∆, khi đó d có d ng: y = − x + m. a n: • Giao đi m c a d và (C) chính là A, B có hoành đ là nghi m c a phương trình: 1 so f (x) = − x + m a n • Ta l p lu n tìm đi u ki n t n t i c a A và B. iê • G i I là trung đi m c a AB, do tính đ i x ng nên ta có I ∈ ∆, t đó tìm m r i B suy ra t a đ c a A, B. ∆ c (C) : y = f (x) A I B d c H Ph m Thanh Ngôn Trang s – 10
  11. Tài li u ôn t p THPT Tr n Văn Thành 10. Tìm c p đi m A, B ∈ (C) : y = f (x) sao cho A, B đ i x ng nhau qua I(xI , yI )  y = f (x ) (1) A A • Do A, B ∈ (C) nên . yB = f (xB ) (2) x + x  A B = xI (3) • Do A, B đ i x ng nhau qua I nên I là trung đi m c a AB, suy ra yA + yB2 .  = yI (4) 2 • Thay (1) và (2) vào (4) và k t h p v i (3), r i tìm đi u ki n t n t i xA , xB . T đó gi i tìm A, B. (C) : y = f (x) n gô B N I nh A ha 11. Đi m trên (C) có t a đ nguyên Xét (C) : y = ax + b ho c (C) : y = ax2 + bx + c . T m cx + d dx + e G i (x0 , y0 ) ∈ (C) có t a đ nguyên. Chia t cho m u ta luôn đư c ph n dư có d ng M M h ho c . Ta l p lu n M ph i chia h t cho m u s , l n lư t cho m u s cx0 + d dx0 + e P b ng các s là ư c s c a M , t đó tìm ra x0 , thay l i hàm s tìm ra y0 r i k t lu n. 12. Tính di n tích hình ph ng, th tích tròn xoay H a. Bài toán 1: Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i các đư ng sau n:   y = f (x)  x = g(y)       y = g(x)  x = h(y) so (d ng I) ho c (d ng II) x = a (có th khuy t)  y = c (có th khuy t)          n x = b (có th khuy t) y = d (có th khuy t) iê B Gi i d ng I: • Gi i f (x) = g(x) ⇒ x1 , x2 , . . . ⇒ xét x1 , x2 ∈ [a, b]? c • Gi s x1 , x2 ∈ [a, b](x1 < x2 ) thì b S= |f (x) − g(x)| dx a x1 x2 b = [f (x) − g(x)]dx + [f (x) − g(x)]dx + [f (x) − g(x)]dx a x1 x2 Gi i d ng II: Xem x là y, xem y là x. Chú ý: D ng I n u cho 3 đư ng y ho c d ng II n u cho 3 đư ng x thì bu c ph i v hình. c H Ph m Thanh Ngôn Trang s – 11
  12. Tài li u ôn t p THPT Tr n Văn Thành b. Bài toán 2: Tính th tích tròn xoay. • Quay quanh tr c Ox: Ph i đưa các đư ng đ cho v d ng I (rút y theo x) và áp d ng b V = f 2 (x) − g 2 (x) dx a x1 x2 b 2 2 2 2 =π [f (x) − g (x)]dx +π [f (x) − g (x)]dx +π [f 2 (x) − g 2 (x)]dx a x1 x2 • Quay quanh tr c Oy: Ph i đưa các đư ng đ cho v d ng II (rút x theo y) và áp d ng n gô b N V = g 2 (y) − h2 (y) dy a nh y1 y2 d 2 2 2 2 =π [g (y) − h (y)]dy +π [g (y) − h (y)]dy +π [g 2 (y) − h2 (y)]dy ha c y1 y2 13. Đ th c a hàm s có d u tr tuy t đ i Phương pháp chung: Kh d u tr tuy t đ i trên cơ s |A| = T A n u A 0 . m −A n u A < 0 Trong đó thư ng g p nh t là 5 bài toán c th sau: h Cho hàm s y = f (x) có đ th (C) P a. Bài toán 1: T (C) suy ra đ th c a hàm s y = f (|x|). G i (C1 ) là đ th c a hàm s y = f (|x|) thì (C1 ) g m 2 ph n: H • Ph n 1: Gi nguyên ph n c a (C) n m bên ph i tr c tung Oy ( ng v i x 0). n: • Ph n 2: L y đ i x ng qua tr c Oy ph n 1 (ph n gi nguyên). b. Bài toán 2: T (C) suy ra đ th c a hàm s y = |f (x)|. so G i (C2 ) là đ th c a hàm s y = f (|x|) thì (C2 ) g m 2 ph n: n • Ph n 1: Gi nguyên ph n c a (C) n m bên trên tr c hoành Ox ( ng v i y 0). iê • Ph n 2: L y đ i x ng qua tr c Ox ph n c a (C) n m bên dư i tr c Ox (ph n B c a (C) ng v i y 0). c. Bài toán 3: T (C) suy ra đ th c a hàm s |y| = f (x). c G i (C3 ) là đ th c a hàm s |y| = f (x) thì (C3 ) g m 2 ph n: • Ph n 1: Gi nguyên ph n c a (C) n m bên trên tr c hoành Ox ( ng v i y 0). • Ph n 2: L y đ i x ng qua tr c Ox ph n 1 (ph n gi nguyên). u(x) u(x) d. Bài toán 4: T (C) c a hàm s y = suy ra đ th c a hàm s y = . v(x) |v(x)| Gi i v(x) 0 ⇔ x? và gi i v(x) < 0 ⇔ x?. u(x) G i (C4 ) là đ th c a hàm s y = thì (C4 ) g m 2 ph n: |v(x)| c H Ph m Thanh Ngôn Trang s – 12
  13. Tài li u ôn t p THPT Tr n Văn Thành • Ph n 1: Gi nguyên ph n c a (C) ng v i v(x) 0. • Ph n 2: L y đ i x ng qua tr c Ox ph n c a (C) ng v i v(x) < 0. u(x) |u(x)| e. Bài toán 5: T (C) c a hàm s y = suy ra đ th c a hàm s y = . v(x) v(x) Gi i u(x) 0 ⇔ x? và gi i u(x) < 0 ⇔ x?. |u(x)| G i (C5 ) là đ th c a hàm s y = thì (C5 ) g m 2 ph n: v(x) • Ph n 1: Gi nguyên ph n c a (C) ng v i u(x) 0. • Ph n 2: L y đ i x ng qua tr c Ox ph n c a (C) ng v i u(x) < 0. n gô N nh ha T m h P H n: so n iê B c c H Ph m Thanh Ngôn Trang s – 13
  14. Tài li u ôn t p THPT Tr n Văn Thành Tích phân b f (x)dx = F (x)|b = F (b) − F (a) a a 1. Tính tr c ti p t các công th c có s n. Nguyên hàm các hàm s sơ c p Nguyên hàm m r ng dx = x + C xα+1 uα+1 xα dx = + C, α = −1 uα du = uα u dx = α+1 α+1 n gô 1 du u dx = ln |x| + C = dx = ln |u| + C x u u N 1 nh ex dx = ex + C eax+b dx = .eax+b + C, a = 0 a ha ax 1 amx+n ax dx = + C, 0 < a = 1 amx+n dx = + C, 0 < a = 1 ln a m ln a T 1 m cos xdx = sin x + C cos(ax + b)dx = sin(ax + b) + C a h 1 sin xdx = − cos x + C sin(ax + b)dx = − cos(ax + b) + C P a 1 1 1 dx = tan x + C dx = tan(ax + b) + C H cos2 x cos2 (ax + b) a n: 1 1 1 dx = − cot x + C dx = − cot(ax + b) + C sin2 x 2 sin (ax + b) a so 2. Đ i bi n. n a. D ng 1: iê • Đ t t = ϕ(x). B • Tính dt = ϕ (x)dx. c • Đ ic n x a b t = ϕ(x) ϕ(a) ϕ(b) Vi c ch n t = ϕ(x) tùy thu c vào t ng bài toán, thư ng đ x lý các tích phân d ng phân th c mà đ o hàm m u s s xu t hi n ph n t s ho c x lý các tích phân lư ng giác. Nói chung là đ i bi n sao cho sau khi l y vi phân ta đư c ph n còn l i. b. D ng 2: Ta chú ý các d ng sau đây c H Ph m Thanh Ngôn Trang s – 14
  15. Tài li u ôn t p THPT Tr n Văn Thành √ • a2 + x2 ho c a2 + x2 −→ đ t x = a tan t. √ • a2 − x2 −→ đ t x = a sin t. √ a • x2 − a2 −→ đ t x = . sin t a+x a−x • ho c −→ đ t x = a cos 2t. a−x a+x b b 3. T ng ph n. a udv = [uv]|b − a a vdu (*) b Xét a f (x)dx.   u =? du =? • Tách f (x)dx đ xác đ nh ⇒ n dv =? v =? gô • Áp d ng công th c (∗). N Quy t c tách: Ưu tiên ln, log r i đ n đa th c P (x) ch a x đ đ t u. C th là nh   b b eαx+β ln(αx + β)   ha P (x)dx và P (x)  sin(αx + β)  dx a logm (αx + β) a dv u cos(αx + β) u T dv m 4. Tích phân hàm h u t . Xét tích phân có d ng b P (x) h dx, P a Q(x) n u b c t l n hơn ho c b ng b c m u ta chia đa th c cho t i khi b c t nh hơn b c H m u. Khi đó ta có: a. D ng 1: n: b b dx dx = : đ t x + α = β tan t x2 + mx + n (x + α)2 + β 2 so a a ∆<0 b. D ng 2: n iê b b b dx d(x − x0 ) 1 = =− (x0 : nghi m kép) B x 2 + mx + n (x − x0 )2 x − x0 a a a ∆=0 c c. D ng 3: b b b dx dx 1 1 1 = = − dx a x2 + mx + n a (x − x1 ).(x − x2 ) M a x − x2 x − x1 ∆>0 d. D ng 4: b b b Mx + N d(x2 + mx + n) Edx 2 + mx + n dx = + a x a x2 + mx + n a x2 + mx + n ∆<0 xem (a) c H Ph m Thanh Ngôn Trang s – 15
  16. Tài li u ôn t p THPT Tr n Văn Thành e. D ng 5: b b Mx + N A B 2 + mx + n dx = + dx a x a x − x0 (x − x0 )2 ∆=0 (trong đó x0 là nghi m kép, A, B tìm đư c b ng đ ng nh t th c). f. D ng 6: b b Mx + N A B 2 + mx + n dx = + dx a x a x − x1 x − x2 ∆>0 m n Chú ý: N u m u s là a x2 + mx + n thì nh ch nh h s : a x2 + + . n a a gô 5. Tích phân hàm lư ng giác. a. D ng 1: N b sinm x. cosn xdx nh a • m l thì đ t t = cos x; n l thì đ t t = sin x. ha • m, n ch n và dương thì áp d ng công th c h b c. • m, n ch n và âm thì đ t t = tan x. b. D ng 2: T m b sin mx. cos nxdx h a P ho c b cos mx. cos nxdx a H ho c b n: sin mx. sin nxdx a Ta áp d ng các công th c bi n đ i tích thành t ng. so n iê B c c H Ph m Thanh Ngôn Trang s – 16
  17. Tài li u ôn t p THPT Tr n Văn Thành Công th c lư ng giác Công th c nhân đôi Công th c cơ b n • sin 2a = 2 sin a cos a • sin2 x + cos2 x = 1 • cos 2a = cos2 a − sin2 a sin x • tan x = = 2 cos2 a − 1 = 1 − 2 sin2 a cos x n cos x 2 tan a • cot x = • tan 2a = gô sin x 1 − tan2 a N • tan x cot x = 1 Công th c nhân ba 1 • 1 + tan2 x = nh cos2 x • sin 3a = 3 sin a − 4 sin3 a 1 ha • 1 + cot2 x = • cos 3a = 4 cos3 a − 3 cos a sin2 x 3 tan a − tan3 a T • tan 3a = 1 − 3 tan2 a m h P Công th c c ng • sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b H Công th c h b c • sin(a − b) = sin a cos b − cos a sin b 1 − cos 2a n: 2 • sin a = 2 • cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b 1 + cos 2a so • cos2 a = • cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b 2 n 1 − cos 2a tan a + tan b • tan2 a = • tan(a + b) = iê 1 + cos 2a 1 − tan a tan b B tan a − tan b • tan(a − b) = 1 + tan a tan b c c H Ph m Thanh Ngôn Trang s – 17
  18. Tài li u ôn t p THPT Tr n Văn Thành Công th c t ng thành tích a+b a−b • sin a + sin b = 2 sin cos 2 2 Công th c tích thành t ng a+b a−b • sin a − sin b = 2 cos sin 2 2 1 • cos a cos b = [cos(a − b) + cos(a + b)] a+b a−b 2 • cos a + cos b = 2 cos cos 2 2 1 • sin a sin b = [cos(a − b) − cos(a + b)] a+b a−b 2 n • cos a − cos b = −2 sin sin 2 2 1 gô • sin a cos b = [sin(a − b) + sin(a + b)] sin(a + b) 2 • tan a + tan b = N cos a cos b sin(a − b) nh • tan a − tan b = cos a cos b ha Cung liên k t T m 1. Đ i nhau: α và −α 2. Bù nhau: α và π − α h sin(−α) = − sin α sin (π − α) = sin α P cos(−α) = cos α cos(π − α) = − cos α tan(−α) = − tan α tan(π − α) = − tan α cot(−α) = − cot α cot(π − α) = − cot α H cos đ i sin bù n: π 4. Ph nhau α và −α 2 3. Sai khác π : α và π + α so π sin −α = cos α sin(π + α) = − sin α 2 n π cos(π + α) = − cos α cos −α = sin α iê 2 tan(π + α) = tan α π tan −α = cot α B cot(π + α) = cot α 2 π cot −α = tan α 2 c tan pi ph chéo c H Ph m Thanh Ngôn Trang s – 18
  19. Tài li u ôn t p THPT Tr n Văn Thành π 2. Sai khác π/2: α và +α 2 π  sin +α = cos α sin(α + k2π) = sin α  2   π  cos(α + k2π) = cos α cos +α = − sin α 2 Chú ý: π tan(α + kπ) = tan α  tan +α = − cot α   2   π cot(α + kπ) = cot α cot +α = − tan α 2 sin l n b ng cos nh n gô N Cách gi i m t s phương trình lư ng giác nh 1. Phương trình cơ b n u = v + k2π u = v + k2π ha 1. sin u = sin v ⇔ 2. cos u = cos v ⇔ u = π − v + k2π u = −v + k2π 3. tan u = tan v ⇐⇒ u = v + kπ T 4. cot u = cot v ⇐⇒ u = v + kπ m 2. Phương trình b c hai theo sinx, cos x, tan x, cot x a cos2 x + b cos x + c = 0 a sin2 x + b sin x + c = 0 h P a cot2 x + b cot x + c = 0 a tan2 x + b tan x + c = 0 Cách gi i H Đ t t = sin x, cos x, đi u ki n: −1 t 1 n: Đ t t = tan x, cot x, đi u ki n: không có T đó đưa phương trình đã cho v phương trình b c hai n t, đư c t gi i ti p phương so trình cơ b n 3. Phương trình b c nh t theo sin u và cos u n iê a sin u + b cos u = c (Đi u ki n có nghi m: a2 + b2 c2 ) B a b c ⇐⇒ √ sin u + √ cos u = √ (∗) a 2 + b2 a2 + b2 a2 + b2 a b c Đ t sin ϕ = √ và cos ϕ = √ a2 + b2 a 2 + b2 Khi đó đưa (*) đư c vi t l i là c c sin ϕ. sin u + cos ϕ. cos u = √ ⇐⇒ cos(u − ϕ) = √ a2 + b2 a2 + b2 (phương trình cơ b n) c H Ph m Thanh Ngôn Trang s – 19
  20. Tài li u ôn t p THPT Tr n Văn Thành 4. Phương trình đ i x ng • D ng 1 a(sin x + cos x) + b sin x cos x = c (1) √ π √ t2 − 1 Đ t t = sin x + cos x= 2 sin(x + ), |t| 2. Khi đó sin x cos x= và đưa 4 2 pt (1) đã cho v phương trình b c hai theo t • D ng 2 a(sin x − cos x) + b sin x cos x = c (2) n √ π √ 1 − t2 Đ t t = sin x − cos x= 2 sin(x − ), |t| 2 Khi đó sin x cos x= và đưa gô 4 2 pt (2) đã cho v phương trình b c hai theo t N 5. Phương trình đ ng c p a sin2 x + b sin x cos x + c cos2 x = d (1) nh Bư c 1 Tìm nghi m cos x = 0 (⇐⇒ sin2 x = 1 ⇐⇒ sin x = ±1) ha Bư c 2 V i cos x = 0, chia hai v c a (1) cho cos2 x như sau a sin2 x cos2 x +b sin x cos x cos2 x T cos2 x + c 2 = d(1 + tan2 x) cos x m ⇐⇒ a tan2 x + b tan x + c = d(1 + tan2 x) (∗) h và đưa phương trình (*) v phương trình b c hai theo t = tan x P H n: so n iê B c c H Ph m Thanh Ngôn Trang s – 20
Đồng bộ tài khoản