Tài liệu phương pháp giải toán 12 nâng cao

Chia sẻ: trungtran4

" Tài liệu phương pháp giải toán 12 nâng cao " nhằm giúp các em có cách nhìn toàn diện về kiến thức và kĩ năng cần nắm vững trước khi bước vào Kì thi với tâm thế vững vàng nhất. Tác giả hi vọng tài liệu này sẽ là tài liệu bổ ích cho các em học sinh

Bạn đang xem 10 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: Tài liệu phương pháp giải toán 12 nâng cao

Tài li u ôn t p THPT Tr n Văn Thành



TÀI LI U ÔN T P TÚ TÀI 1
(ph n lý thuy t)
Tài li u ôn t p tú tài này so n cho h c sinh l p 12, ch y u tóm t t lý thuy t và t ng h p các
phương pháp gi i toán cũng như các d ng toán thư ng g p.




n

N
nh
ha
T
m
h
P
H
n:
so
n

B
c




1
Composed with TEXMaker on MiKTEX version 2.7

c H Ph m Thanh Ngôn Trang s – 1
Tài li u ôn t p THPT Tr n Văn Thành


Phương trình - B t phương trình

1. B t phương trình b c nh t ax + b > 0(< 0, 0, 0) v i a = 0
Cách gi i:
Bi n đ i ax + b > 0 ⇐⇒ ax > −b. Sau đó chia hai v cho a (chú ý đ i chi u b t pt n u
a < 0).
B ng xét d u nh th c b c nh t

x −∞ −b/a +∞
ax + b trái d u a 0 cùng d u a




n

2. B t pt b c hai ax2 + bx + c > 0(< 0, 0, 0) (a = 0)




N
Cách gi i: L p b ng xét d u và căn c vào chi u b t pt đ l y ra t p nghi m. Ta có 3
trư ng h p sau đây:




nh
a. Bi t th c ∆ > 0




ha
x −∞ x1 x2 +∞
ax2 + bx + c cùng d u a 0 trái d u a 0 cùng d u a
T
m
b. Bi t th c ∆ = 0
b
x −∞ − +∞
2a
h
P



ax2 + bx + c cùng d u a 0 cùng d u a


c. Bi t th c ∆ < 0
H




x −∞ +∞
n:




ax2 + bx + c cùng d u a
so




Chú ý: Cho f (x) = ax2 + bx + c. N u h s a có ch a tham s (m) thì ta ph i xét
trư ng h p a = 0.
n





V i a = 0, ta có các trư ng h p sau:

B




a > 0
f (x) 0, ∀x ∈ R ⇔
∆ 0
c





a > 0
f (x) > 0, ∀x ∈ R ⇔
∆ < 0

a < 0
f (x) 0, ∀x ∈ R ⇔
∆ 0

a > 0
f (x) < 0, ∀x ∈ R ⇔
∆ < 0

c H Ph m Thanh Ngôn Trang s – 2
Tài li u ôn t p THPT Tr n Văn Thành


Ngoài ra ta còn có các đi u ki n h p và m nh hơn là

f (α) 0
V i a > 0 thì f (x) = ax2 + bx + c 0, ∀x ∈ (α, β) ho c (x ∈ [α, β]) ⇔
f (β) 0

f (α) 0
V i a < 0 thì f (x) = ax2 + bx + c 0, ∀x ∈ (α, β) ho c (x ∈ [α, β]) ⇔
f (β) 0
S b
V i = − ∈ (α, β) ho c ([α, β]) thì
/
2 2a

f (α) 0




n
f (x) = ax2 + bx + c 0, ∀x ∈ (α, β) ho c (x ∈ [α, β]) ⇔





f (β) 0




N
(không c n bi t d u c a a)
S b




nh
V i = − ∈ (α, β) ho c ([α, β]) thì
/
2 2a





ha
f (α) 0
f (x) = ax2 + bx + c 0, ∀x ∈ (α, β) ho c (x ∈ [α, β]) ⇔
T f (β) 0
m
(không c n bi t d u c a a)
h


3. Phương trình, b t phương trình ch a d u tr tuy t đ i
P



Các d ng thư ng g p là |A| = |B|, |A| = B, |A| > |B|, |A| < B, |A| > B
Cách gi i chung: L p b ng xét d u cho bi u th c n m trong d u tr tuy t đ i đ kh
H




d u tr tuy t đ i. Trong đó ta lưu ý:
n:




A=B
• |A| = |B| ⇔ A2 = B 2 ⇔
A = −B
so




• |A| > |B| ⇔ A2 > B 2 ⇔ A2 − B 2 > 0 ⇔ (A − B)(A + B) > 0

 B 0


n




B 0 





• |A| = B ⇔ ⇔ A=B
A2 = B 2 


 A = −B
B




• |A| < B ⇔ −B < A < B
c




A>B
• |A| > B ⇔
A < −B

A n u A 0
Chú ý: |A| = .
−A n u A 0
4. Phương trình, b t phương trình ch a căn th c
Cách gi i chung: Đ t đi u ki n cho các căn th c có nghĩa, sau đó bình phương (nâng
lũy th a) đ kh căn th c. Trong đó ta lưu ý:

c H Ph m Thanh Ngôn Trang s – 3
Tài li u ôn t p THPT Tr n Văn Thành


√ √ A 0 ho c B 0
• A= B⇔
A=B
√ B 0
• A=B⇔
A = B2
√ √ B 0
• A> B⇔
A>B
 
B < 0

 
√  A 0
• A>B⇔ 
 




n
 B 0






A > B 2




N

B 0








nh
• A 0 hay < 0) đ k t lu n
(cx + d)2
cho y , t đó l p b ng bi n thiên, và nêu rõ trong bài làm các kho ng đ ng bi n
và ngh ch bi n c a hàm s .
• Tìm thêm 4 đi m đ c bi t. Chú ý đ n các giao đi m c a đ th v i các tr c t a đ .

ax2 + bx + c
4. Hàm h u t b c 2 trên b c 1 y = (dành cho chương trình nâng cao)
dx + e

c H Ph m Thanh Ngôn Trang s – 5
Tài li u ôn t p THPT Tr n Văn Thành

e
• TXĐ: D = R \ − .
d
• Ti m c n:
M
Chia t cho m u trong y ta vi t l i y d ng: y = Ax + B + .
dx + e
e
Khi đó: Ti m c n đ ng là x = − . Ti m c n xiên là y = Ax + B.
d
a b a c b c
x2 + 2 x+
0 d 0 e d e adx2 + 2aex + be − cd
• Đ o hàm: y = =
(dx + e)2 (dx + e)2
• Gi i y = 0 ⇔ adx2 + 2aex + be − cd = 0. T đó l p b ng bthiên và nêu rõ c c tr




n
n u có và nêu rõ trong bài làm các kho ng đ ng bi n và ngh ch bi n c a hàm s .





• Cho thêm đi m đ c bi t và v đ th .




N
nh
ha
T
m
h
P
H
n:
so
n

B
c




c H Ph m Thanh Ngôn Trang s – 6
Tài li u ôn t p THPT Tr n Văn Thành


M t s bài toán liên quan đ n vi c kh o sát hàm s (C) : y = f (x)

1. Đ ng bi n - ngh ch bi n
a. Hàm s y = f (x) đ ng bi n trên mi n D ⇔ y 0, ∀x ∈ D
b. Hàm s y = f (x) ngh ch bi n trên mi n D ⇔ y 0, ∀x ∈ D
(y = 0 t i h u h n giá tr x.)
Chú ý:
ax + b
Đ i v i hàm y = thì ta bu c đi u ki n y > 0 (đ ng bi n) và y < 0 (ngh ch
cx + d
bi n)




n
2. C c tr





a. Đi u ki n chung: Cho hàm s y = f (x) có đ o hàm t i x = x0 .




N
• y = f (x) có c c tr ⇐⇒ y đ i d u.




nh
• y = f (x) có c c tr t i x0 ⇒ f (x0 ) = 0 (ph i th l i).

f (x ) = 0




ha
0
• y = f (x) có c c đ i t i x0 ⇔
f (x0 ) < 0

f (x ) = 0
0
T
m
• y = f (x) có c c ti u t i x0 ⇔
f (x0 ) > 0
h


b. Đi u ki n c th
P



hai c c tr
• Hàm s y = ax3 + bx2 + cx + d (a = 0) có ⇔ y = 0 có hai
CĐ và CT
H




nghi m phân bi t.
ax2 + bx + c hai c c tr
n:




• Hàm s y = có ⇔ y = 0 có hai nghi m phân bi t
dx + e CĐ và CT
thu c t p xác đ nh.
so




ax + b
• Hàm s y = không có c c tr .
cx + d
n




• Hàm s y = ax4 + bx2 + c có 1 c c tr n u a.b > 0, có 3 c c tr n u a.b < 0.





c. Đư ng th ng qua các đi m c c tr
B




Khi hàm b c ba y = ax3 + bx2 + cx + d (a = 0) có hai c c tr , hãy vi t phương
trình đư ng th ng đi qua hai c c tr đó?
c




• Chia đa th c y cho y ta đư c: y = (Ax + B).y + mx + n.

y (x ) = 0
0
• G i (x0 , y0 ) là đi m c c tr thì ta có:
y(x0 ) = (Ax0 + B).y (x0 ) + mx0 + n
⇒ y(x0 ) = mx0 + n.
2
V y phương trình đư ng th ng qua các c c tr là y = mx + n.
2
khi s d ng ph i trình bày ph n ch ng minh này l i



c H Ph m Thanh Ngôn Trang s – 7
Tài li u ôn t p THPT Tr n Văn Thành


ax2 + bx + c
d. Khi hàm h u t y = có hai c c tr , hãy vi t phương trình đư ng
dx + e
th ng đi qua hai c c tr đó?
u(x) u (x).v(x) − v (x).u(x)
• Đ ty= , ta có y = .
v(x) v 2 (x)
• Do y đ t c c tr t i x = x0 nên
u (x0 ).v(x0 ) − v (x0 ).u(x0 ) u(x0 ) u (x0 ) 2ax0 + b
y (x0 ) = 0 ⇔ =0⇔ = =
v 2 (x0 ) v(x0 ) v (x0 ) d
2ax0 + b
⇒ y(x0 ) =
d
2ax + b 3




n
V y phương trình đư ng th ng qua các c c tr là y(x) = .





d
Chú ý: N u tìm đư c c th 2 đi m c c tr là A(xA , yA ) và B(xB , yB ) thì đư ng




N
th ng qua 2 c c tr A và B chính là đư ng th ng AB.




nh
3. Giá tr l n nh t và giá tr nh nh t
Cho hàm s y = f (x), tìm giá tr l n nh t và nh nh t c a hàm s trên mi n D.




ha
a. D ng 1: Tìm giá tr l n nh t và nh nh t c a y = f (x) trên đo n [a, b].
T
• Tính y và gi i y = 0 tìm nghi m. Gi s có nghi m là x1 , x2 ∈ [a, b].
m
• Tính f (a), f (b), f (x1 ), f (x2 ) và so sánh đ k t lu n.
b. D ng 2: Tìm giá tr l n nh t và nh nh t c a y = f (x) trên kho ng (a, b), n a
h


kho ng [a, b), n a kho ng (a, b].
P



• Tính y và l p b ng bi n thiên trên mi n xác đ nh tương ng (là (a, b), [a, b)
hay (a, b]).
H




• Căn c vào b ng bi n thiên đ k t lu n.
n:




c. D ng 3: Tìm giá tr l n nh t và nh nh t c a y = f (x) (đ bài không nói gì thêm).
• Tìm t p xác đ nh c a hàm s .
so




• Tính đ o hàm y và l p b ng bi n thiên c a hàm s đ k t lu n.
4. Tìm giao đi m c a hai đ th
n





a. Cho y = f (x) có đ th (C), y = g(x) có đ th (C ), hãy tìm giao đi m c a (C) và
B




(C )?
• Hoành đ giao đi m c a (C) và (C ) là nghi m c a pt: f (x) = g(x) (*)
c




• S giao đi m c a (C) và (C ) chính b ng s nghi m c a (*).

f (x) = g(x)
b. (C) và (C ) ti p xúc ⇔ H có nghi m.
f (x) = g (x)

5. Phương trình ti p tuy n c a hàm s y = f (x) có đ th (C)
a. Phương trình ti p tuy n t i M0 (x0 , y0 ) ∈ (C) (bi t t a đ ti p đi m)
Phương trình có d ng:
3
khi s d ng ph i trình bày ph n ch ng minh này l i

c H Ph m Thanh Ngôn Trang s – 8
Tài li u ôn t p THPT Tr n Văn Thành


y = f (x0 ).(x − x0 ) + y0
(f (x0 ) là h s góc c a ti p tuy n; f (x0 ) đôi khi đư c vi t là y (x0 )).
b. Phương trình ti p tuy n v i h s góc k cho trư c
• G i (x0 , y0 ) là t a đ ti p đi m.
• Gi i f (x0 ) = k tìm ra x0 , thay x0 vào (C) có y0 = f (x0 ) ⇒ có đư c t a đ
ti p đi m.
Chú ý:
N u ti p tuy n song song v i đư ng th ng y = ax + b thì f (x0 ) = a; n u ti p tuy n
1
vuông góc v i đư ng th ng y = ax + b thì f (x0 ) = − .




n
a





c. Phương trình ti p tuy n đi qua (k t ) M1 (x1 , y1 )




N
• Vi t phương trình đư ng th ng ∆ đi qua M1 (x1 , y1 ) & có h s góc k là:




nh
y = k.(x − x1 ) + y1

f (x) = k.(x − x ) + y




ha
1 1
• Dùng đi u ki n ti p xúc ⇒ tìm ra k.
f (x) = k

6. Bi n lu n s nghi m c a phương trình b ng đ th T
m
Cho phương trình F (x, m) = 0 (x : n, m : tham s ). Bi n lu n theo m s nghi m c a
pt.
h
P



• Vi t pt đã cho dư i d ng f (x) = g(m) (*), trong đó f (x) là hàm có đ th v đư c
(1 trong 4 d ng) (thư ng là đã v ), y = g(m) là đư ng th ng song song Ox.
H




• S nghi m c a (*) chính b ng s giao đi m c a hai đ th : (C) : y = f (x) và đư ng
th ng y = g(m).
n:




7. Tương quan (giao đi m) c a đ th hàm s b c 3 v i các tr c t a đ (Ox và
so




Oy).
Cho y = ax3 + bx2 + cx + d (a = 0) có đ th (C). Khi đó
n




a. (C) c t tr c hoành Ox t i 3 đi m phân bi t khi và ch khi y có c c tr và hai giá





tr c c tr trái d u.
B




• Bư c 1: Tính y , xét pt b c 2 y = 0 có 2 nghi m phân bi t x1 , x2 (ch xét đi u
ki n ∆ > 0, không tính c th x1 , x2 ).
c




• Bư c 2: Chia đa th c y cho y ta đư c y = (Ax + B).y + kx + h.

y(x ) = kx + h
1 1
Khi đó .
y(x2 ) = kx2 + h
Hai giá tr c c tr trái d u khi

y(x1 ).y(x2 ) < 0 ⇔ (kx1 + h)(kx2 + h) < 0 ⇔ k 2 x1 x2 + kh(x1 + x2 ) < 0 (∗)
c b
Áp d ng Viét x1 x2 = ; x1 + x2 = − , thay vào (∗).
a a
c H Ph m Thanh Ngôn Trang s – 9
Tài li u ôn t p THPT Tr n Văn Thành


b. (C) c t tr c Ox ch t i 1 đi m khi hai giá tr c c tr cùng d u (y(x1 ).y(x2 ) > 0)
ho c y rơi vào 2 trư ng h p :vô nghi m/nghi m kép ⇒ ∆ 0.
Chú ý:

• Hai c c tr n m hai phía so v i tr c Oy khi x1 .x2 < 0
• Hai c c tr n m cùng phía so v i tr c Oy khi x1 .x2 > 0.
• Hai c c tr n m hai phía so v i tr c O khi y(x1 ).y(x2 ) < 0
• Hai c c tr n m cùng phía so v i tr c O khi y(x1 ).y(x2 ) > 0
• N u phương trình ax3 + bx2 + cx + d = 0 có nghi m d tìm (nghi m h u t ) thì




n
ta nên xét s nghi m c a phương trình này đ suy ra s giao đi m c a (C) và tr c





hoành Ox.




N
8. Kho ng cách




nh
Cho M (xM , yM ), N (xN , yN ), P (x0 , y0 ) và đư ng th ng ∆ : Ax + By + C = 0. Khi đó:

MN = (xN − xM )2 + (yN − yM )2



ha
|Ax0 + By0 + C|
d(P, ∆) = √
T
A2 + B 2
m
Chú ý:

• Kho ng cách t M (x0 , y0 ) đ n tr c hoành là |y0 |
h
P



• Kho ng cách t M (x0 , y0 ) đ n tr c tung là |x0 |

9. Tìm c p đi m A, B ∈ (C) : y = f (x) sao cho A, B đ i x ng nhau qua ∆ : y = ax+b
H




1
• G i d là đư ng th ng vuông góc v i ∆, khi đó d có d ng: y = − x + m.
a
n:




• Giao đi m c a d và (C) chính là A, B có hoành đ là nghi m c a phương trình:
1
so




f (x) = − x + m
a
n




• Ta l p lu n tìm đi u ki n t n t i c a A và B.





• G i I là trung đi m c a AB, do tính đ i x ng nên ta có I ∈ ∆, t đó tìm m r i
B




suy ra t a đ c a A, B.

c




(C) : y = f (x)


A I B
d




c H Ph m Thanh Ngôn Trang s – 10
Tài li u ôn t p THPT Tr n Văn Thành


10. Tìm c p đi m A, B ∈ (C) : y = f (x) sao cho A, B đ i x ng nhau qua I(xI , yI )

y = f (x ) (1)
A A
• Do A, B ∈ (C) nên .
yB = f (xB ) (2)
x + x
 A B
= xI (3)
• Do A, B đ i x ng nhau qua I nên I là trung đi m c a AB, suy ra yA + yB2 .
 = yI (4)
2
• Thay (1) và (2) vào (4) và k t h p v i (3), r i tìm đi u ki n t n t i xA , xB . T đó
gi i tìm A, B.
(C) : y = f (x)




n

B




N
I




nh
A




ha
11. Đi m trên (C) có t a đ nguyên

Xét (C) : y =
ax + b
ho c (C) : y =
ax2 + bx + c
.
T
m
cx + d dx + e
G i (x0 , y0 ) ∈ (C) có t a đ nguyên. Chia t cho m u ta luôn đư c ph n dư có d ng
M M
h


ho c . Ta l p lu n M ph i chia h t cho m u s , l n lư t cho m u s
cx0 + d dx0 + e
P



b ng các s là ư c s c a M , t đó tìm ra x0 , thay l i hàm s tìm ra y0 r i k t lu n.
12. Tính di n tích hình ph ng, th tích tròn xoay
H




a. Bài toán 1: Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i các đư ng sau
n:




 
y = f (x)
 x = g(y)


 


y = g(x) 
x = h(y)
so




(d ng I) ho c (d ng II)
x = a (có th khuy t)
 y = c (có th khuy t)


 


 

n




x = b (có th khuy t) y = d (có th khuy t)

B




Gi i d ng I:
• Gi i f (x) = g(x) ⇒ x1 , x2 , . . . ⇒ xét x1 , x2 ∈ [a, b]?
c




• Gi s x1 , x2 ∈ [a, b](x1 < x2 ) thì
b
S= |f (x) − g(x)| dx
a
x1 x2 b
= [f (x) − g(x)]dx + [f (x) − g(x)]dx + [f (x) − g(x)]dx
a x1 x2

Gi i d ng II: Xem x là y, xem y là x.
Chú ý: D ng I n u cho 3 đư ng y ho c d ng II n u cho 3 đư ng x thì bu c ph i
v hình.

c H Ph m Thanh Ngôn Trang s – 11
Tài li u ôn t p THPT Tr n Văn Thành


b. Bài toán 2: Tính th tích tròn xoay.
• Quay quanh tr c Ox: Ph i đưa các đư ng đ cho v d ng I (rút y theo x)
và áp d ng
b
V = f 2 (x) − g 2 (x) dx
a

x1 x2 b
2 2 2 2
=π [f (x) − g (x)]dx +π [f (x) − g (x)]dx +π [f 2 (x) − g 2 (x)]dx
a x1 x2

• Quay quanh tr c Oy: Ph i đưa các đư ng đ cho v d ng II (rút x theo y)
và áp d ng




n

b




N
V = g 2 (y) − h2 (y) dy
a




nh
y1 y2 d
2 2 2 2
=π [g (y) − h (y)]dy +π [g (y) − h (y)]dy +π [g 2 (y) − h2 (y)]dy




ha
c y1 y2

13. Đ th c a hàm s có d u tr tuy t đ i

Phương pháp chung: Kh d u tr tuy t đ i trên cơ s |A| =
T A n u A 0
.
m
−A n u A < 0
Trong đó thư ng g p nh t là 5 bài toán c th sau:
h


Cho hàm s y = f (x) có đ th (C)
P



a. Bài toán 1: T (C) suy ra đ th c a hàm s y = f (|x|).
G i (C1 ) là đ th c a hàm s y = f (|x|) thì (C1 ) g m 2 ph n:
H




• Ph n 1: Gi nguyên ph n c a (C) n m bên ph i tr c tung Oy ( ng v i x 0).
n:




• Ph n 2: L y đ i x ng qua tr c Oy ph n 1 (ph n gi nguyên).
b. Bài toán 2: T (C) suy ra đ th c a hàm s y = |f (x)|.
so




G i (C2 ) là đ th c a hàm s y = f (|x|) thì (C2 ) g m 2 ph n:
n




• Ph n 1: Gi nguyên ph n c a (C) n m bên trên tr c hoành Ox ( ng v i y 0).





• Ph n 2: L y đ i x ng qua tr c Ox ph n c a (C) n m bên dư i tr c Ox (ph n
B




c a (C) ng v i y 0).
c. Bài toán 3: T (C) suy ra đ th c a hàm s |y| = f (x).
c




G i (C3 ) là đ th c a hàm s |y| = f (x) thì (C3 ) g m 2 ph n:
• Ph n 1: Gi nguyên ph n c a (C) n m bên trên tr c hoành Ox ( ng v i y 0).
• Ph n 2: L y đ i x ng qua tr c Ox ph n 1 (ph n gi nguyên).
u(x) u(x)
d. Bài toán 4: T (C) c a hàm s y = suy ra đ th c a hàm s y = .
v(x) |v(x)|
Gi i v(x) 0 ⇔ x? và gi i v(x) < 0 ⇔ x?.
u(x)
G i (C4 ) là đ th c a hàm s y = thì (C4 ) g m 2 ph n:
|v(x)|

c H Ph m Thanh Ngôn Trang s – 12
Tài li u ôn t p THPT Tr n Văn Thành


• Ph n 1: Gi nguyên ph n c a (C) ng v i v(x) 0.
• Ph n 2: L y đ i x ng qua tr c Ox ph n c a (C) ng v i v(x) < 0.
u(x) |u(x)|
e. Bài toán 5: T (C) c a hàm s y = suy ra đ th c a hàm s y = .
v(x) v(x)
Gi i u(x) 0 ⇔ x? và gi i u(x) < 0 ⇔ x?.
|u(x)|
G i (C5 ) là đ th c a hàm s y = thì (C5 ) g m 2 ph n:
v(x)
• Ph n 1: Gi nguyên ph n c a (C) ng v i u(x) 0.
• Ph n 2: L y đ i x ng qua tr c Ox ph n c a (C) ng v i u(x) < 0.




n

N
nh
ha
T
m
h
P
H
n:
so
n

B
c




c H Ph m Thanh Ngôn Trang s – 13
Tài li u ôn t p THPT Tr n Văn Thành


Tích phân
b
f (x)dx = F (x)|b = F (b) − F (a)
a
a


1. Tính tr c ti p t các công th c có s n.
Nguyên hàm các hàm s sơ c p Nguyên hàm m r ng
dx = x + C

xα+1 uα+1
xα dx = + C, α = −1 uα du = uα u dx =
α+1 α+1




n

1 du u
dx = ln |x| + C = dx = ln |u| + C
x u u




N
1




nh
ex dx = ex + C eax+b dx = .eax+b + C, a = 0
a




ha
ax 1 amx+n
ax dx = + C, 0 < a = 1 amx+n dx = + C, 0 < a = 1
ln a m ln a
T 1
m
cos xdx = sin x + C cos(ax + b)dx = sin(ax + b) + C
a
h


1
sin xdx = − cos x + C sin(ax + b)dx = − cos(ax + b) + C
P



a

1 1 1
dx = tan x + C dx = tan(ax + b) + C
H




cos2 x cos2 (ax + b) a
n:




1 1 1
dx = − cot x + C dx = − cot(ax + b) + C
sin2 x 2
sin (ax + b) a
so




2. Đ i bi n.
n




a. D ng 1:





• Đ t t = ϕ(x).
B




• Tính dt = ϕ (x)dx.
c




• Đ ic n
x a b
t = ϕ(x) ϕ(a) ϕ(b)

Vi c ch n t = ϕ(x) tùy thu c vào t ng bài toán, thư ng đ x lý các tích phân
d ng phân th c mà đ o hàm m u s s xu t hi n ph n t s ho c x lý các
tích phân lư ng giác. Nói chung là đ i bi n sao cho sau khi l y vi phân ta đư c
ph n còn l i.
b. D ng 2: Ta chú ý các d ng sau đây

c H Ph m Thanh Ngôn Trang s – 14
Tài li u ôn t p THPT Tr n Văn Thành


• a2 + x2 ho c a2 + x2 −→ đ t x = a tan t.

• a2 − x2 −→ đ t x = a sin t.
√ a
• x2 − a2 −→ đ t x = .
sin t
a+x a−x
• ho c −→ đ t x = a cos 2t.
a−x a+x
b b
3. T ng ph n. a
udv = [uv]|b −
a a
vdu (*)
b
Xét a
f (x)dx.
 
u =? du =?
• Tách f (x)dx đ xác đ nh ⇒




n
dv =? v =?





• Áp d ng công th c (∗).




N
Quy t c tách: Ưu tiên ln, log r i đ n đa th c P (x) ch a x đ đ t u. C th là




nh
 
b b eαx+β
ln(αx + β)  




ha
P (x)dx và P (x)  sin(αx + β)  dx
a logm (αx + β) a
dv u cos(αx + β)
u
T dv
m
4. Tích phân hàm h u t . Xét tích phân có d ng
b
P (x)
h


dx,
P



a Q(x)
n u b c t l n hơn ho c b ng b c m u ta chia đa th c cho t i khi b c t nh hơn b c
H




m u. Khi đó ta có:
a. D ng 1:
n:




b b
dx dx
= : đ t x + α = β tan t
x2 + mx + n (x + α)2 + β 2
so




a a
∆0

d. D ng 4:
b b b
Mx + N d(x2 + mx + n) Edx
2 + mx + n
dx = +
a x a x2 + mx + n a x2 + mx + n
∆0

m n
Chú ý: N u m u s là a x2 + mx + n thì nh ch nh h s : a x2 + + .




n
a a





5. Tích phân hàm lư ng giác.
a. D ng 1:




N
b
sinm x. cosn xdx




nh
a

• m l thì đ t t = cos x; n l thì đ t t = sin x.




ha
• m, n ch n và dương thì áp d ng công th c h b c.
• m, n ch n và âm thì đ t t = tan x.
b. D ng 2:
T
m
b
sin mx. cos nxdx
h


a
P



ho c
b
cos mx. cos nxdx
a
H




ho c
b
n:




sin mx. sin nxdx
a

Ta áp d ng các công th c bi n đ i tích thành t ng.
so
n

B
c




c H Ph m Thanh Ngôn Trang s – 16
Tài li u ôn t p THPT Tr n Văn Thành


Công th c lư ng giác



Công th c nhân đôi

Công th c cơ b n • sin 2a = 2 sin a cos a

• sin2 x + cos2 x = 1 • cos 2a = cos2 a − sin2 a
sin x
• tan x = = 2 cos2 a − 1 = 1 − 2 sin2 a
cos x




n
cos x 2 tan a
• cot x = • tan 2a =





sin x 1 − tan2 a




N
• tan x cot x = 1 Công th c nhân ba
1
• 1 + tan2 x =




nh
cos2 x • sin 3a = 3 sin a − 4 sin3 a
1




ha
• 1 + cot2 x = • cos 3a = 4 cos3 a − 3 cos a
sin2 x
3 tan a − tan3 a
T
• tan 3a =
1 − 3 tan2 a
m
h
P



Công th c c ng

• sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b
H




Công th c h b c
• sin(a − b) = sin a cos b − cos a sin b
1 − cos 2a
n:




2
• sin a =
2 • cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b
1 + cos 2a
so




• cos2 a = • cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b
2
n




1 − cos 2a tan a + tan b
• tan2 a = • tan(a + b) =





1 + cos 2a 1 − tan a tan b
B




tan a − tan b
• tan(a − b) =
1 + tan a tan b
c




c H Ph m Thanh Ngôn Trang s – 17
Tài li u ôn t p THPT Tr n Văn Thành




Công th c t ng thành tích

a+b a−b
• sin a + sin b = 2 sin cos
2 2
Công th c tích thành t ng
a+b a−b
• sin a − sin b = 2 cos sin
2 2 1
• cos a cos b = [cos(a − b) + cos(a + b)]
a+b a−b 2
• cos a + cos b = 2 cos cos
2 2 1
• sin a sin b = [cos(a − b) − cos(a + b)]
a+b a−b 2




n
• cos a − cos b = −2 sin sin
2 2 1





• sin a cos b = [sin(a − b) + sin(a + b)]
sin(a + b) 2
• tan a + tan b =




N
cos a cos b
sin(a − b)




nh
• tan a − tan b =
cos a cos b




ha
Cung liên k t
T
m
1. Đ i nhau: α và −α 2. Bù nhau: α và π − α
h


sin(−α) = − sin α sin (π − α) = sin α
P



cos(−α) = cos α cos(π − α) = − cos α
tan(−α) = − tan α tan(π − α) = − tan α
cot(−α) = − cot α cot(π − α) = − cot α
H




cos đ i sin bù
n:




π
4. Ph nhau α và −α
2
3. Sai khác π : α và π + α
so




π
sin −α = cos α
sin(π + α) = − sin α 2
n




π
cos(π + α) = − cos α cos −α = sin α





2
tan(π + α) = tan α π
tan −α = cot α
B




cot(π + α) = cot α 2
π
cot −α = tan α
2
c




tan pi
ph chéo




c H Ph m Thanh Ngôn Trang s – 18
Tài li u ôn t p THPT Tr n Văn Thành

π
2. Sai khác π/2: α và +α
2

π 
sin +α = cos α sin(α + k2π) = sin α

2 

π 
cos(α + k2π) = cos α
cos +α = − sin α
2 Chú ý:
π tan(α + kπ) = tan α

tan +α = − cot α 

2 

π cot(α + kπ) = cot α
cot +α = − tan α
2

sin l n b ng cos nh




n

N
Cách gi i m t s phương trình lư ng giác




nh
1. Phương trình cơ b n

u = v + k2π u = v + k2π



ha
1. sin u = sin v ⇔ 2. cos u = cos v ⇔
u = π − v + k2π u = −v + k2π

3. tan u = tan v ⇐⇒ u = v + kπ T
4. cot u = cot v ⇐⇒ u = v + kπ
m
2. Phương trình b c hai theo sinx, cos x, tan x, cot x
a cos2 x + b cos x + c = 0 a sin2 x + b sin x + c = 0
h
P



a cot2 x + b cot x + c = 0 a tan2 x + b tan x + c = 0
Cách gi i
H




Đ t t = sin x, cos x, đi u ki n: −1 t 1
n:




Đ t t = tan x, cot x, đi u ki n: không có
T đó đưa phương trình đã cho v phương trình b c hai n t, đư c t gi i ti p phương
so




trình cơ b n
3. Phương trình b c nh t theo sin u và cos u
n





a sin u + b cos u = c (Đi u ki n có nghi m: a2 + b2 c2 )
B




a b c
⇐⇒ √ sin u + √ cos u = √ (∗)
a 2 + b2 a2 + b2 a2 + b2
a b
c




Đ t sin ϕ = √ và cos ϕ = √
a2 + b2 a 2 + b2

Khi đó đưa (*) đư c vi t l i là
c c
sin ϕ. sin u + cos ϕ. cos u = √ ⇐⇒ cos(u − ϕ) = √
a2 + b2 a2 + b2
(phương trình cơ b n)




c H Ph m Thanh Ngôn Trang s – 19
Tài li u ôn t p THPT Tr n Văn Thành


4. Phương trình đ i x ng

• D ng 1
a(sin x + cos x) + b sin x cos x = c (1)
√ π √ t2 − 1
Đ t t = sin x + cos x= 2 sin(x + ), |t| 2. Khi đó sin x cos x= và đưa
4 2
pt (1) đã cho v phương trình b c hai theo t
• D ng 2
a(sin x − cos x) + b sin x cos x = c (2)




n
√ π √ 1 − t2
Đ t t = sin x − cos x= 2 sin(x − ), |t| 2 Khi đó sin x cos x= và đưa





4 2
pt (2) đã cho v phương trình b c hai theo t




N
5. Phương trình đ ng c p a sin2 x + b sin x cos x + c cos2 x = d (1)




nh
Bư c 1 Tìm nghi m cos x = 0 (⇐⇒ sin2 x = 1 ⇐⇒ sin x = ±1)




ha
Bư c 2 V i cos x = 0, chia hai v c a (1) cho cos2 x như sau

a
sin2 x
cos2 x
+b
sin x cos x
cos2 x
T
cos2 x
+ c 2 = d(1 + tan2 x)
cos x
m
⇐⇒ a tan2 x + b tan x + c = d(1 + tan2 x) (∗)
h


và đưa phương trình (*) v phương trình b c hai theo t = tan x
P
H
n:
so
n

B
c




c H Ph m Thanh Ngôn Trang s – 20
Tài li u ôn t p THPT Tr n Văn Thành


M t s công th c mũ và lôgarit thư ng s d ng

1. V i m i a > 0, b > 0 và ∀α, β ∈ R, ta có
(i) aα .aβ = aα+β ; (ab)α = aα .bβ .
aα a α aα
(ii) (aα )β = aα.β ; β
= aα−β ; = .
a b bα
2. V i a > 0 và a = 1, ta có:

log a = 1
x a
a. loga a = x, ∀x ; .
log 1 = 0
a

b. aloga x = x, ∀x.




n

c. loga (xy) = loga x + loga y, ∀x, y > 0
loga (xy) = loga |x| + loga |y|, ∀x, y.




N
x
d. loga = loga x − loga y, ∀x, y > 0
y




nh
x
loga = loga |x| − loga |y|, ∀x, y.




ha
y
e. loga xα = α loga x, ∀α, ∀x > 0
loga x2k = 2k loga |x|, ∀k, ∀x. T
m
f. loga b. logb x = loga x v i b > 0, b = 1, x > 0.
Chú ý
h


β
P



(i) logaα N β = loga N (N > 0; α, β = 0)
α
loga N
(ii) logb N = (N > 0; a > 0, a = 1; b > 0, b = 1).
H




loga b
(iii) loga b. logb x = loga x(a > 0, a = 1; b > 0, b = 1; x > 0).
n:




loga x 1
⇐⇒ logb x = ⇐⇒ loga x = (x = 1).
loga b logx a
so




1
(iv) logxα u = logx u(x > 0, x = 1; u > 0).
n




α
1





logx2k u = log|x|k u(x = 0, x = 1, k ∈ N, u > 0).
2
B




Phương trình mũ
c




1. Phương pháp bi n đ i tương đương

a=1 
  a > 0
af (x) = ag(x) ⇔  0 < a = 1
 ho c
(a − 1) [f (x) − g(x)] = 0
f (x) = g(x)

(đ t đi u ki n cho f (x), g(x) n u c n).
2. Phương pháp logarit hóa và đưa v cùng cơ s

c H Ph m Thanh Ngôn Trang s – 21
Tài li u ôn t p THPT Tr n Văn Thành


• D ng 1: 
0 < a = 1, b > 0
af (x) =b⇔
f (x) = log b
a

• D ng 2:

af (x) = bg(x) ⇔ loga af (x) = loga bg(x) ⇔ f (x) = g(x). loga b

ho c
af (x) = bg(x) ⇔ logb af (x) = logb bg(x) ⇔ f (x). logb a = g(x)

3. Phương pháp đ t n ph




n

• D ng 1:
Đ t t = af (x) , đi u ki n t > 0 thì a2f (x) = t2 , a3f (x) = t3 , . . . , akf (x) = tk và




N
1
a−f (x) = .
t




nh
• D ng 2:
1




ha
V i ab = 1 thì khi đ t af (x) = t, đi u ki n t > 0 ta có bf (x) = .
t
• D ng 3: Cho pt α1 a2x + α2 (ab)x + α3 b2x = 0.
T
Chia hai v c a phương trình cho lũy th a có cơ s l n nh t, ch ng h n b2x ta có
m
a 2x a x
α1 + α2 + α3 = 0
b b
h


a x a 2x
P



Khi đó đ t t = v i đi u ki n t > 0 ta có = t2
b b
4. Phương pháp đoán nghi m và ch ng minh nghi m đó là duy nh t
H




B t phương trình mũ
n:




1. Bi n đ i tương đương
so




• D ng 1:
 
a > 1
n




 





  a > 0
 f (x) < g(x)
af (x) < ag(x) ⇔  ho c
B




  (a − 1) [f (x) − g(x)] < 0
 0 1

 f (x) g(x) 
 a > 0

af (x) ag(x) ⇔ a=1
  ho c
  (a − 1) [f (x) − g(x)] 0
 0 0) ⇔  
 
 0 0
  

  




N

af (x) >b⇔ 
 a>1
 

  




nh
  f (x) > loga b
  
  

  0 < a < 1

 



ha


 
 f (x) < loga b

• D ng 3: T
m
af (x) > bg(x) ⇔ lg af (x) > lg bg(x) ⇔ f (x). lg a > g(x). lg b
h


ho c có th s d ng logarit theo cơ s a hay b
P



3. Đ t n ph
S d ng các phương pháp đ t n ph như trong phương trình mũ.
H




Phương trình - B t phương trình logarit
n:




1. Bi n đ i tương đương
so




• D ng 1: 
0 < a = 1
n




loga f (x) = b ⇐⇒





f (x) = ab
B




• D ng 2: 
0 < a = 1
c




loga f (x) = loga g(x) ⇐⇒
f (x) = g(x) > 0

• D ng 3:
 
a > 1 
  0 0
 0 < f (x) < g(x)
loga f (x) < loga g(x) ⇔  
  ⇔
 0 g(x) > 0 (a − 1) [f (x) − g(x)] < 0


c H Ph m Thanh Ngôn Trang s – 23
Tài li u ôn t p THPT Tr n Văn Thành


• D ng 4:  
a > 1

 
 0 < f (x) < ab
loga f (x) < b ⇐⇒  
 
 0 1

 
 f (x) > ab
loga f (x) > b ⇐⇒  
 




n
 0 0 thì căn b c hai c a a là → ± a.
• N u a < 0 thì căn b c hai c a a là → ±i |a|.

5. Căn b c hai c a s ph c w

• z là m t căn b c hai c a s ph c w ⇐⇒ z 2 = w.

x2 − y 2 = a
• z = x + yi (x, y ∈ R) là căn b c hai c a w = a + bi (a, b ∈ R) ⇐⇒
2xy = b




n
• w = 0 có đúng m t căn b c hai là z = 0.





• w = 0 có đúng hai căn b c hai là hai s đ i nhau.




N
6. Gi i phương trình b c hai ax2 + bx + c = 0 v i a, b, c ∈ R, a = 0




nh
Tính ∆ = b2 − 4ac. Khi đó




ha
b
• ∆ = 0 thì phương trình có nghi m (kép) (th c) là x = − .
2a

T
• ∆ > 0 thì phương trình có hai nghi m th c phân bi t là x =
−b ± ∆
2a
.
m
−b ± i |∆|
• ∆ < 0 thì phương trình có hai nghi m ph c phân bi t là x = .
2a
h
P



7. Gi i phương trình b c hai az 2 + bz + c = 0 v i a, b, c ∈ C, a = 0
Tính ∆ = b2 − 4ac. Khi đó
H




−b ± δ
• ∆ = 0 thì phương trình có hai ngi m là z = (trong đó δ là m t căn b c hai
2a
n:




c a ∆).
−b
• ∆ = 0 thì phương trình có m t nghi m (kép) là z = .
so




2a
n

B
c




c H Ph m Thanh Ngôn Trang s – 26
Tài li u ôn t p THPT Tr n Văn Thành


T AĐ TRONG KHÔNG GIAN

1. T a đ véctơ - đi m

i = (1, 0, 0)



• u = xi + y j + z k ⇔ u = (x, y, z) v i j = (0, 1, 0)



k = (0, 0, 1)

−→
− −→

• OM = (x, y, z) ⇔ OM = xi + y j + z k ⇔ M (x, y, z)




n
2. Các phép toán có liên quan đ n véctơ Cho các véctơ: v = (x, y, z); v = (x , y , z ); a =





(x1 , y1 , z1 ); b = (x2 , y2 , z2 ). Khi đó:





N
x = x







nh
• v ± v = (x ± x , y ± y ) ; kv = (kx, ky, kz) ; v = v ⇔ y=y .



z = z




ha
x2 + y 2 + z 2 .
• v.v = xx + yy + zz ; a⊥b ⇔ a.b = 0 ; |v| =
−→
T
m
• AB = (xB − xA , yB − yA , zB − zA ) .

−→
− −→
− xA − kxB yA − kyB zA − kzB
• M chia AB theo t s k = 1 ⇔ M A = k M B ⇔ M , , .
h


1−k 1−k 1−k
P



xA + xB yA + yB
• M là trung đi m đo n AB ⇔ M , .
2 2
H




• Góc ϕ gi a hai véctơ a và b là
n:




a.b x1 x2 + y1 y2 + z1 z2
cos ϕ = cos a, b = = .
|a| .|b| x2 + y1 + z1 . x2 + y2 + z2
2 2 2 2
so




1 2


• Tích có hư ng [a, b]
n





y1 z1 x1 z 1 x1 y 1
[a, b] = ,− ,
B




y2 z2 x2 z 2 x2 y 2

∗ [a, b]⊥a ; [a, b]⊥b
c




Chú ý:
∗ [a, b] = |a|.|b|. sin(a, b)

3. Các đi u ki n

• Cho a = (x1 , y1 , z1 ) và b = (x2 , y2 , z2 ).
Khi đó a cùng phương v i b ⇔ x1 : y1 : z1 = x2 : y2 : z2 ⇔ [a, b] = 0.
• Ba véctơ a, b, c đ ng ph ng khi và ch khi [a, b].c = 0.


c H Ph m Thanh Ngôn Trang s – 27
Tài li u ôn t p THPT Tr n Văn Thành


• Tính di n tích hình bình hành và tam giác

− −
→ − → 1 − −
→ − →
S ABCD = AB , AD ; S ABD =
2
AB , AD

• Tính th tích hình h p và t di n

− − −→
→ − → − 1 − − −
→ → − →
Vhp ABCDA B C D = AB , AD .AA ; Vt di n ABCD =
6
AB , AC .AD




n

N
nh
ha
T
m
h
P
H
n:
so
n

B
c




c H Ph m Thanh Ngôn Trang s – 28
Tài li u ôn t p THPT Tr n Văn Thành


M T PH NG TRONG KHÔNG GIAN

4
1. Véctơ ch phương (VTCP) và véctơ pháp tuy n (VTPT) c a m t ph ng
(mp)

• Cho a, b là hai véctơ không cùng phương có giá song song v i α (ho c n m trong
α).
Khi đó a, b = nα (VTPT c a α).

• Hai mp song song thì có cùng VTPT.




n
2. Phương trình t ng quát c a m t ph ng C n 1 đi m +1VTPT





∗ Tìm M (x0 , y0 , z0 ) ∈ α
⇒ α : A(x − x0 ) + B(y − y0 ) + C(z − z0 ) = 0




N
∗ Tìm VTPT nα = (A, B, C)
hay Ax + By + Cz + D = 0 (D = −(Ax0 + By0 + Cz0 )).




nh
Chú ý:




ha
• Mp Oxy có phương trình là z = 0.
• Mp Oxz có phương trình là y = 0. T
m
• Mp Oyz có phương trình là x = 0.

3. Phương trình c a mp theo đo n ch n
h
P



x y z
Mp α c t Ox, Oy, Oz l n lư t t i (a, 0, 0); (0, b, 0); (0, 0, c) thì α có d ng + + =1.
a b c
4. Xét mp α : Ax + By + Cz + D = 0 và hai đi m M1 (x1 , y1 , z1 ); M2 (x2 , y2 , z2 ).
H




Đ t f (x, y, z) = Ax + By + Cz + D. Khi đó:
n:




• M1 và M2 n m v CÙNG M T PHÍA đ i v i α ⇔ f (x1 , y1 , z1 ).f (x2 , y2 , z2 ) > 0.
so




• M1 và M2 n m v HAI PHÍA đ i v i α ⇔ f (x1 , y1 , z1 ).f (x2 , y2 , z2 ) < 0.

5. Cho hai m t ph ng α : Ax + By + Cz + D = 0, α : A x + B y + C z + D = 0. Khi đó:
n





• αc tα ⇔A:B:C=A :B :C.
B




• α song song α ⇔ A : B : C = A : B : C và A : B : C : D = A : B : C : D .
• α trùng α ⇔ A : B : C : D = A : B : C : D .
c




6. Kho ng cách t đi m M (x0 , y0 , z0 ) đ n mp α : Ax + By + Cz + D = 0
|Ax0 + By0 + Cz0 + D|
d(M, α) = √
A2 + B 2 + C 2



4
theo sách giáo khoa thì không có đ nh nghĩa véctơ ch phương c a m t ph ng, do đó h c sinh chú ý là ta
quy ư c đ g i v i nhau trong quá trình làm bài t p, không trình bày trong bài làm

c H Ph m Thanh Ngôn Trang s – 29
Tài li u ôn t p THPT Tr n Văn Thành


ĐƯ NG TH NG TRONG KHÔNG GIAN

1. Véctơ ch phương (VTCP) c a đư ng th ng trong không gian

u = 0
u là VTCP c a ∆ ⇐⇒ ⇐⇒ ku là VTCP c a ∆.
u có giá song song ho c trùng ∆

Chú ý: Đư ng th ng trong không gian không có véctơ pháp tuy n.
2. Phương trình đư ng th ng C n 1 đi m + 1VTCP
a. Phương trình tham s c a đư ng th ng

x = x + at




n

 0
∗ Tìm M (x0 , y0 , z0 ) ∈ ∆ 





⇒ phương trình tham s c a ∆ : y = y0 + bt (t ∈ R)
∗ Tìm VTCP u = (a, b, c) 


z = z0 + ct




N
T phương trình tham s ta suy ra đư c phương trình chính t c là




nh
x − x0 y − y0 z − z0
= =




ha
a b c
(pt chính t c ch s d ng khi a, b, c đ ng th i khác 0)
Chú ý: T 
m
x = t



• Tr c Ox có VTCP là i = (1, 0, 0) và phương trình tham s là y = 0 (t ∈ R)

h




z = 0
P




x = 0



H




• Tr c Oy có VTCP là j = (0, 1, 0) và phương trình tham s là y=r (r ∈ R)



z = 0
n:





x = 0



so




• Tr c Oz có VTCP là k = (0, 0, 1) và phương trình tham s là y=0 (s ∈ R)



z = s
n





b. Phương trình chính t c c a đư ng th ng đi qua hai đi m A(x0 , y0 , z0 ); B(x0 , y0 , z0 )
x − xA y − yA z − zA
B




= =
xB − xA yB − yA zB − zA
c




Chú ý: T phương trình tham s cho t m t giá tr tùy ý, tính tr l i (x, y, z) ta đư c
t a đ m t đi m thu c ∆.
3. Góc ϕ (00 ϕ 900 ) gi a đư ng th ng ∆ có VTCP u∆ = (a, b, c) và đư ng
th ng ∆ có VTCP u∆ = (a , b , c )
|u∆ .u∆ | |aa + bb + cc |
cos ϕ = cos(∆, ∆ ) = =√ √
|u∆ |.|u∆ | a2 + b2 + c2 . a 2 + b 2 + c 2
4. Góc ψ (00 ψ 900 ) gi a đư ng th ng ∆ có VTCP u∆ = (a, b, c) và m t ph ng
α có VTPT nα = (A, B, C)

c H Ph m Thanh Ngôn Trang s – 30
Tài li u ôn t p THPT Tr n Văn Thành


|u∆ .nα | Aa + Bb + Cc
sin ψ = sin(d, α) = =√ √
|u∆ |.|nα | a2 + b2 + c2 . A2 + B 2 + C 2


5. Góc γ (00 γ 900 ) gi a m t ph ng α có VTPT nα = (A, B, C) và m t ph ng
α có VTPT nα = (A , B , C )
|nα .nα | AA + BB + CC
cos γ = cos(α, α ) = =√ √
|nα |.|nα | A2 + B 2 + C 2 . A 2 + B 2 + C 2
6. Góc ϕ gi a hai mp α : Ax + By + Cz + D = 0 và α : A x + B y + C z + D = 0
|nα .nα | |AA + BB + CC |
cos ϕ = cos(α, α ) = =√ √
|nα |.|nα | A2 + B2 + C 2. A 2 + B 2 + C 2




n

Chú ý: α⊥α ⇔ nα ⊥nα ⇔ nα .nα = 0 ⇔ AA + BB + CC = 0
7. Kho ng cách t đi m M1 đ n đư ng th ng ∆




N
a. Cách 1:




nh
• Vi t phương trình m t ph ng α qua M1 và vuông góc v i ∆.




ha
• Tìm giao đi m {H} = α ∩ ∆.
• Khi đó d(M1 , ∆) = M1 H.
b. Cách 2:
T
m
• Tìm m t đi m M0 ∈ ∆ và tính VTCP u∆ .
−−→
−−
• Tính M0 M1 và áp d ng công th c:
h


−−→
−−
P



M0 M1 , u∆
d(M1 , ∆) =
|u∆ |
H




8. Kho ng cách gi a hai đư ng chéo nhau ∆ và ∆
n:




a. Cách 1:
• L p phương trình mp α ch a ∆ và song song v i ∆ .
so




• L y M0 ∈ ∆ , t đó suy ra d(∆, ∆ ) = d(M0 , α).
b. Cách 2:
n





• L y M1 ∈ ∆, M2 ∈ ∆ . 
− − →⊥u
−−
B




M1 M2 ∆
• L p lu n M1 M2 là đo n vuông góc chung c a ∆ và ∆ ⇔ − − →
−− (∗)
M1 M2 ⊥u∆
c




• T (*) ta tính đư c t a đ M1 , M2 . T đó ta có d(∆, ∆ ) = M1 M2 .
c. Cách 3:
• L y M ∈ ∆ và M ∈ ∆ .
• Áp d ng công th c:
−−
−→
[u∆ , u∆ ] .M M
d(∆, ∆ ) =
|[u∆ , u∆ ]|


c H Ph m Thanh Ngôn Trang s – 31
Tài li u ôn t p THPT Tr n Văn Thành


CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Đ N ĐƯ NG TH NG
VÀ M T PH NG TRONG KHÔNG GIAN

1. V trí tương đ i gi a hai đư ng th ng ∆ và ∆
 
đi qua A đi qua B
Gi s d1 : và d2 :
có véctơ ch phương a có véctơ ch phương b

Khi đó ta xét theo sơ đ sau:
d1 ≡ d2
=0
−→




n
Tính [a, AB]





=0 d1 //d2
=0




N
nh
Tính [a, b]




ha
=0
−→
Tính [a, b].AB
=0
T d1 c t d2
m
=0 d1 chéo d2
h


Chú ý: Đ tìm giao đi m c a hai đư ng th ng khi đã bi t rõ chúng c t nhau ta gi i h
P



g m phương trình c a ∆ và ∆ . Trư c h t c n đưa ∆, ∆ v cùng m t d ng: tham s
ho c chính t c.
H




 
x = x + at
 x = x + a t


 0 
 0
n:




• N u ∆ : y = y0 + bt (t ∈ R) và ∆ : y = y0 + b t (t ∈ R)

 


z = z0 + ct 
z = z + c t
0
so




Ta gi i h sau đây (b ng cách rút t theo t t m t trong 3 phương trình, sau đó th
vào 2 phương trình còn l i và gi i h pt hai n t, t ):
n










x + at = x + a t
 0


B




0

y + bt = y0 + b t (t, t ∈ R)
 0


z0 + ct = z + c t
c




0


Khi đó h có nghi m duy nh t t, t ; th t vào ∆ ho c t vào ∆ tính đư c x, y, z. Ta
k t lu n ∆ c t ∆ t i A(x, y, z).
x − x0 y − y0 z − z0 x − x0 y − y0 z − z0
• N u∆: = = và ∆ : = =
a b c a b c
Ta tuy n t trên ra 3 d u = đư c h 3 ptrình 3 n s x, y, z, gi i h này (thư ng
dùng máy tính) đư c các giá tr x, y, z và k t lu n.



c H Ph m Thanh Ngôn Trang s – 32
Tài li u ôn t p THPT Tr n Văn Thành


2. V trí tương đ i gi a đư ng th ng và m t ph ng

x = x + at


 0

Gi s cho đư ng th ng ∆ : y = y0 + bt (t ∈ R) và cho mp α : Ax+By+Cz+D = 0.



z = z0 + ct

Th ∆ vào α:
A(x0 + at) + B(y0 + bt) + C(z0 + ct) + D = 0 (∗)

• N u (*) có nghi m duy nh t t = t0 , ta th t = t0 vào ∆, tính đư c x, y, z. Khi đó
ta k t lu n ∆ c t α t i M (x, y, z).




n
• N u (*) vô s nghi m thì ta k t lu n ∆ n m trong α.





• N u (*) vô nghi m thì ta k t lu n ∆ song song α.




N
3. Tìm hình chi u vuông góc c a đi m M lên mp α




nh
Gi s cho đi m M (x0 , y0 , z0 ) và mp α : Ax + By + Cz + D = 0. Đ tìm h.chi u vgóc




ha
c a M lên α ta làm theo các bư c sau đây:


T
• Vi t pt đư ng th ng d đi qua M và d⊥α. Khi đó d nh n nα = (A, B, C) làm VTCP
(t c là ad = nα ) nên d có d ng:
m

x = x + At


 0
h


d: y = y0 + Bt
P






z = z0 + Ct
H




• Tìm giao đi m I c a d và α. Khi đó I chính là hình chi u c a M lên α.

d
n:




Gi i h tìm đư c t a đ I.
α
so




d d

M (x0 , y0 , z0 )
n




M (x0 , y0 , z0 )

B




I I
c




α α




Chú ý: N u yêu c u tìm hình chi u c a M lên α theo phương là đư ng th ng ∆ cho
trư c thì ta vi t pt đư ng th ng d qua M và song song v i ∆ (khi đó ad = a∆ ).
4. Tìm đi m đ i x ng M c a M qua mp α


c H Ph m Thanh Ngôn Trang s – 33
Tài li u ôn t p THPT Tr n Văn Thành


• Tìm hình chi u vuông góc I c a M lên α (xem l i m c 3).
• G i M là đi m đ i x ng c a M qua α thì I là trung đi m c a M M , ta có
x + x 
 M M
= xI x = 2x − x
M I M
2 =⇒ =⇒ M
 yM + yM yM = 2yI − yM
= yI
2

d
M (x0 , y0 , z0 )




n

I




N
α




nh
M




ha
5. Tìm hình chi u vuông góc c a M (x0 , y0 , z0 ) lên đư ng th ng d có VTCP ad =
(a, b, c) T
m
• Vi t pt mp α qua M và α⊥d, khi đó nα = ad =⇒ α : a(x−x0 )+b(y−y0 )+c(z−z0 ) =
0.
h



P



d
• G i M là hình chi u c a M lên d thì M = d ∩ α. Gi i h tìm đư c M .
α
H




d
n:
so




M M
n




α

B
c




6. Tìm đi m đ i x ng M c a M qua đư ng th ng d

• Tìm hình chi u vuông góc M c a M lên d (xem l i m c 5).
• G i M là đi m đ i x ng c a M qua d thì M là trung đi m c a M M .




c H Ph m Thanh Ngôn Trang s – 34
Tài li u ôn t p THPT Tr n Văn Thành


d




M M
M
α




n
7. Vi t phương trình hình chi u vuông góc c a đư ng th ng d lên mp α





a. Cách 1:




N
• L y 2 đi m phân bi t A, B ∈ d.




nh
• L n lư t tìm hình chi u vuông góc c a A, B lên mp α là hai đi m A , B (xem
l i m c 3).




ha
• Vi t phương trình đư ng th ng ∆ đi qua hai đi m A , B . Khi đó ∆ chính là
hình chi u c a d lên α.
B d
T
m
A
h
P



α A B ∆

b. Cách 2:
H




• Vi t pt mp (β) ch a đư ng th ng d và vuông góc v i mp α.
n:




Khi đó VTPT c a β là nβ = [ad , nα ].
• Hình chi u c a d lên α chính là giao tuy n c a β và α. G i hình chi u đó là d .
so




• Vi t d ng tham s c a d .
n




8. Vi t phương trình hình chi u song song d c a đư ng th ng d lên mp α theo





phương là đư ng th ng ∆
B




• L y 2 đi m phân bi t A, B ∈ d.
• L n lư t tìm hình chi u song song c a A, B theo phương ∆ lên mp α. Cách làm
c




như sau:
– Vi t phương trình đư ng th ng d1 đi qua A và song song v i ∆ (ad1 = a∆ ).
– Vi t phương trình đư ng th ng d2 đi qua B và song song v i ∆ (ad2 = a∆ ).
– Tìm A = d1 ∩ α và B = d2 ∩ α thì A , B chính là các hình chi u song song
c a A, B theo phương ∆ lên α.
• Vi t phương trình đư ng th ng d đi qua A , B thì d chính là hình chi u song song
theo phương ∆ lên mp α.

c H Ph m Thanh Ngôn Trang s – 35
Tài li u ôn t p THPT Tr n Văn Thành


d1 d2


B d
A



d
α A B

9. Vi t phương trình đư ng vuông góc chung c a hai đư ng th ng chéo nhau d
và d




n

• L y M ∈ d, M ∈ d . Sau đó bi u di n t a đ c a M theo t, M theo t v i t, t là
các tham s trong các pt c a d, d .




N
 
− − ⊥a
−→
MM − − .a = 0
−→
MM d
d
• Bu c đi u ki n − − ⇔ −− −→ xem t, t là n, gi i tìm




nh
−→
M M ⊥ad −→
M M .ad = 0
t, t .




ha
• Có t, t , th tr l i d, d tìm đư c t a đ M, M .
T
• Vi t phương trình đư ng th ng ∆ đi qua M, M thì ∆ chính là đư ng vuông góc
m
chung c a d và d .
d d
h
P



ad
M
H
n:




M

ad
so
n





10. Cho d, d chéo nhau và đi m A không n m trên d và d . Vi t phương trình
B




đư ng th ng ∆ qua A đ ng th i c t d và d

• L y M ∈ d, M ∈ d . Sau đó bi u di n t a đ c a M theo t, M theo t v i t, t là
c




các tham s trong các pt c a d, d .
−→
− −→

• Bu c đi u ki n AM cùng phương AM −→ xem t, t là n, gi i tìm t, t .

Chú ý: Khi gi i ra hai giá tr t ho c hai giá tr t . Ph i th l i đ lo i giá tr cho k t
qu đi m M ho c M trùng đi m A.




c H Ph m Thanh Ngôn Trang s – 36
Tài li u ôn t p THPT Tr n Văn Thành


d d



M
A

M





n

HÌNH H C KHÔNG GIAN




N
1. Quan h song song
a. Hai đư ng th ng song song n u chúng đ ng ph ng và không có đi m chung.




nh
b. Đư ng th ng d song song v i mp (P ) n u d không n m trong (P ) và d song song




ha
v i m t đư ng th ng a n m trong (P ).
d//(P ) ⇐⇒ d (P ) & d//a ⊂ (P )
T
c. Hai m t ph ng (P ) và (Q) song song nhau n u t n t i trong (P ) hai đư ng th ng
m
c t nhau a, b, t n t i trong (Q) hai đư ng th ng a , b c t nhau, đ ng th i th a mãn
a//a , b//b .

h


a//a , b//b , a c t b
P






a c tb ⇒ (P )//(Q)



a, b ⊂ (P ); a , b ⊂ (Q)
H




2. Quan h vuông góc
n:




a. Hai đư ng th ng d và d vuông góc n u góc gi a chúng b ng 900 .
so




b. Đư ng th ng d vuông góc v i mp (P ) n u d vuông góc v i hai đư ng th ng a và b
c t nhau n m trong (P ).

n




d⊥a, d⊥b








ac tb ⇒ d⊥(P )
B







a, b n m trong (P )
c




Tính ch t:
• Đư ng th ng a vuông góc v i mp (P ) thì a vuông góc v i m i đư ng th ng n m
trong (P )
a⊥(P ) ⇒ a⊥d, ∀d ⊂ (P )
• (Đ nh lý 3 đư ng vuông góc)
Cho đư ng th ng a có hình chi u trên mp (Q) là đư ng th ng a . Khi đó, m t
đư ng th ng b n m trong mp (Q) vuông góc v i a khi và ch khi b vuông góc
v i a . T c là: a⊥b ⊂ (Q) ⇐⇒ a ⊥b

c H Ph m Thanh Ngôn Trang s – 37
Tài li u ôn t p THPT Tr n Văn Thành


c. Hai mp (P ) và (Q) vuông góc v i nhau n u trong mp này có đư ng th ng vuông
góc v i mp kia.
Tính ch t: Hai mp (P ) và (Q) vuông góc v i nhau và c t nhau theo giao tuy n là
∆; a là m t đư ng th ng n m trong (P ) và a vuông góc v i ∆. Khi đó, a vuông
góc v i (Q)

(P )⊥(Q)



(P ) ∩ (Q) = ∆ ⇒ a⊥(P )



a ⊂ (P ) & a⊥∆




n
3. Góc





a. Góc gi a hai đư ng th ng




N
Góc gi a hai đư ng th ng a và b là góc gi a hai đư ng th ng a và b c t nhau và
l n lư t song song (ho c trùng) v i a và b.




nh
b. Góc gi a đư ng th ng và mp




ha
Góc gi a đư ng th ng d và mp α là góc gi a d và hình chi u d c a d trên α.
(d, α) = (d, d ) v i d là hình chi u c a d lên α
d T
m

H
h
P



ϕ
α I H d
H




c. Góc gi a hai mp
n:




• Cách 1: Góc gi a hai mp là góc gi a hai đư ng th ng l n lư t vuông góc v i
hai mp đó.
so




(α, β) = (a, b) v i a⊥α, b⊥β
• Cách 2:
n










α∩α =∆
a⊥∆, b⊥∆
B




a, b, ∆ đ ng quy t i I
Khi đó (α, α ) = (a, b)
c




I b
a


α
α




c H Ph m Thanh Ngôn Trang s – 38
Tài li u ôn t p THPT Tr n Văn Thành


HÌNH CHÓP - HÌNH LĂNG TR

1. Hình chóp - Kh i chóp:
Th tích kh i chóp b ng m t ph n ba di n tích đa giác đáy nhân v i chi u cao.
1
V = B.h
3
trong đó B là di n tích đa giác đáy, h là chi u cao c a kh i chóp.
Sau đây là các d ng hình chóp thư ng g p.
a. Hình chóp đ u: Là hình chóp có đáy là đa giác đ u và t t c các c nh bên đ u




n
b ng nhau.





Trong m t hình chóp đ u thì:




N
• Hình chi u c a đ nh xu ng m t đáy trùng v i tâm c a đa giác đáy.
• Các m t bên là các tam giác cân và b ng nhau.




nh
• Các c nh bên h p v i m t đáy các góc b ng nhau.




ha
• Các m t bên h p v i m t đáy các góc b ng nhau.
Các bư c v hình chóp đ u:
T
m
• V đáy là m t đa giác đ u (nên v t t c các nét là nét đ t, sau đó đi u ch nh
l i).
h


• Xác đ nh tâm c a đáy (đa giác đ u v a v ).
P



• Trên đư ng th ng đ ng v t tâm c a đáy, ch n đ nh c a hình chóp.
• N i đ nh c a hình chóp v i các đ nh c a đáy.
H




Chú ý:
n:




(i) T giác đ u là hình vuông, ta thư ng v là hình bình hành, tâm c a nó là
giao đi m hai đư ng chéo.
(ii) Đ i v i tam giác đ u ta v tam giác thư ng và tâm là giao đi m hai đư ng
so




trung tuy n. √ √
3 3
n




(iii) Tam giác đ u c nh a có đư ng cao h = a. và di n tích S = a2 . .
2 4





b. Hình chóp có m t c nh bên vuông góc v i đáy
B




Ví d hình chóp S.ABCD có SA⊥(ABCD). Ta có:
• SA là đư ng cao c a hình chóp.
c




• (SAB)⊥(ABCD); (SAD)⊥(ABCD).
• G i H là hình chi u c a A trên CD, khi đó SHA = ((SCD), (ABCD))




c H Ph m Thanh Ngôn Trang s – 39
Tài li u ôn t p THPT Tr n Văn Thành


S




h



A
D
ϕ




n
B





C
c. Hình chóp có m t m t bên vuông góc v i m t đáy




N
Ví d cho hình chóp S.ABCD có (SAD)⊥(ABCD).




nh
D ng đư ng cao SH c a tam giác SAD thì SH chính là đư ng cao c a hình chóp.
S




ha
T
m

h
D
h


C
P




H
H




A B
2. Lăng tr
n:




- Th tích c a lăng tr b ng di n tích đa giác đáy nhân v i chi u cao.
so




V = Bh
trong đó B là di n tích đa giác đáy, h là chi u cao c a lăng tr .
n





- Các tính ch t chung:
B




• Các c nh bên song song và b ng nhau.
• Các m t bên và m t chéo là các hình bình hành.
c




• Hai đáy là hai đa giác b ng nhau có các c nh tương ng song song và b ng nhau.
a. Lăng tr đ ng: Là lăng tr có c nh bên vuông góc v i đáy.
Trong lăng tr đ ng:
• Các c nh bên cũng là đư ng cao.
• Các m t bên là các hình ch nh t n m trong mp vuông góc v i đáy.
b. Lăng tr đ u: Là lăng tr đ ng có đáy là đa giác đ u.
Trong lăng tr đ u, các m t bên là nh ng hình ch nh t b ng nhau.

c H Ph m Thanh Ngôn Trang s – 40
Tài li u ôn t p THPT Tr n Văn Thành


c. Hình h p
• Hình h p là lăng tr có đáy là hình bình hành.
• Hình h p đ ng là hình h p có c nh bên vuông góc v i đáy.
• Hình h p ch nh t là hình h p đ ng có đáy là hình ch nh t.
• Hình l p phương là hình h p ch nh t có 3 kích thư c b ng nhau.
Chú ý:
♥ T t c các đư ng chéo c a hình h p ch nh t thì b ng nhau và cho b i công
th c d2 = a2 + b2 + c2 v i a, b, c là 3 kích thư c.

♥ V i hình l p phương c nh a thì d = a 3




n
♥ Th tích hình h p ch nh t: V = abc





♥ Th tích hình l p phương c nh a: V = a3




N
Ta có các sơ đ sau




nh
ha
T
m
h
P
H
n:
so
n

B
c




c H Ph m Thanh Ngôn Trang s – 41
Tài li u ôn t p THPT Tr n Văn Thành




KH I CHÓP LĂNG TR

* Đáy là đa giác. * Các c nh bên song song
* M t bên là các tam giác và b ng nhau.
có chung 1 đ nh. * Các m t bên và m t chéo
* Đư ng cao là đo n vuông là các hình bình hành.
góc v t đ nh xu ng đáy. * Hai đáy là 2 đa giác b ng nhau
* Sxq = t ng di n tích các m t bên. và có các c nh tương ng ssong
1 và b ng nhau.
* V = B.h.
3




n
(B : di n tích đáy, h : chi u cao).





N
C nh bên vuông góc v i đáy.




nh
ha
Đáy là T t c các T LĂNG TR Đ NG
m
m t c nh bên * Đư ng cao là c nh bên.
đa giác đ u b ng nhau * M t bên là các hình ch nh t
h


n m trong các mp vgóc v i đáy.
P
H




Đáy là đa giác đ u
n:




KH I CHÓP Đ U
so




* Đáy là đa giác đ u.
* M t bên là các tam giác cân
b ng nhau.
n





* Đư ng cao: Đo n n i đ nh và
tâm c a đáy. LĂNG TR Đ U
B




* Các m t bên t o v i đáy
* Có đáy là đa giác đ u.
các góc b ng nhau.
c




* Các m t bên là các
* Các c nh bên t o v i đáy
hình ch nh t b ng nhau.
các góc b ng nhau.




c H Ph m Thanh Ngôn Trang s – 42
Tài li u ôn t p THPT Tr n Văn Thành




HÌNH H P
HÌNH H P Đ NG
* Lăng tr có đáy
C nh bên
là hình bình hành. * Đáy: hình bình hành.
vuông góc
* M t bên là các * M t bên: các hình
v i đáy.
hình bình hành. ch nh t.
* Đcao: đo n vgóc
* Đư ng cao: c nh bên.
n i hai đáy.
* V = Bh.
* V = Bh.




n

N
nh
Đáy: hình C nh bên
ch nh t. vgóc v i đáy




ha
T
m
h
P
H




H.H P CH NH T 3 kích thư c HÌNH L P PHƯONG
n:




b ng nhau.
* Đáy: hình ch nh t. * 6 m t là hình vuông.
so




* M t bên: hình ch nh t. * Đư ng cao: c nh bên.
* Đư ng cao: c nh bên. * V = a3 .
n




* V = abc.

B
c




c H Ph m Thanh Ngôn Trang s – 43
Tài li u ôn t p THPT Tr n Văn Thành


M t tròn xoay

1. Hình tr - Kh i tr
Cho hình tr (kh i tr ) có chi u cao h và bán kính đáy b ng R. Khi đó
Sxq = 2πRh

V = πR2 h

2. Hình nón - Kh i nón
Cho hình nón (kh i nón) có chi u cao h, đư ng sinh l, bán kính m t đáy b ng R. Khi




n
đó





Sxq = πRl




N
1
V = πR2 .h
3




nh
ha
M t c u ngo i ti p hình chóp

1. Tr c đư ng tròn c a đa giác
T
m
• Cho tam giác ABC có I là tâm đư ng tròn ngo i ti p thì tr c đư ng tròn c a tam
giác ABC là đư ng th ng ∆ vuông góc v i (ABC) t i I.
h


• Cho t giác ABCD có I là tâm đư ng tròn ngo i ti p thì tr c đư ng tròn c a t
P



giác ABC là đư ng th ng ∆ vuông góc v i (ABCD) t i I.
H




2. M t ph ng trung tr c c a 1 đo n th ng α là mp trung tr c c a đo n th ng AB
n u α n u α vuông góc v i AB t i trung đi m I c a đo n AB.
n:




3. Xác đ nh tâm c a m t c u ngo i ti p kh i chóp
so




• K là tâm m t c u ngo i ti p kh i chóp n u K cách đ u các đ nh c a kh i chóp.
• K là tâm c a m t c u ngo i ti p kh i chóp thì K là giao đi m c a tr c đư ng tròn
n




đa giác đáy kh i chóp và m t ph ng trung tr c c a m t c nh bên kh i chóp.

B
c




c H Ph m Thanh Ngôn Trang s – 44
Tài li u ôn t p THPT Tr n Văn Thành




n

N
nh
ha
T
m
Hình 1: Hình c u ngo i ti p t di n ABCD
h
P



M TC U

Phương trình Đi u ki n Tâm Bán kính
H
n:




(x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R2 I(a, b, c) R


so




x2 + y 2 + z 2 − 2ax − 2by − 2cz + d = 0 a2 + b2 + c2 − d > 0 I(a, b, c) R= a2 + b2 + c2 − d
n




x2 + y 2 + z 2 = R 2 O(0, 0, 0) R





1. V trí tương đ i gi a m t ph ng α : Ax + By + Cz + D = 0 và m t c u (S) tâm
B




I(a, b, c), bán kính R
|Aa + Bb + Cc + D|
Tính: d = d(I, α) = √
c




A2 + B 2 + C 2

a. N u d(I, α) > R thì mp α và m t c u (S) không có đi m chung: α ∩ (S) = ∅
b. N u d(I, α) = R thì mp α và m t c u (S) ti p xúc nhau; α còn đư c g i là m t
ph ng ti p xúc (ti p di n) c a m t c u (S).
c. N u d(I, α) < R thì mp α và m t c u (S) c t nhau theo m t đư ng tròn giao tuy n
có tâm H, bán kính r, trong đó:
• H = ∆ ∩ α v i ∆ qua tâm I c a m t c u và vuông góc v i α.


c H Ph m Thanh Ngôn Trang s – 45
Tài li u ôn t p THPT Tr n Văn Thành


• r= R2 − d2 v i d = d(I, α).

2. V trí tương đ i gi a đư ng th ng ∆ qua M , có VTCP u∆ và m t c u (S) tâm
I, bán kính R
Tính kho ng cách t I đ n ∆: d = d(I, ∆)

a. N u d(I, ∆) > R thì ∆ và m t c u (S) không có đi m chung: ∆ ∩ (S) = ∅
b. N u d(I, ∆) = R thì ∆ và m t c u (S) ti p xúc nhau; ∆ còn đư c g i là ti p tuy n
c a m t c u (S).
c. N u d(I, ∆) < R thì ∆ và m t c u (S) c t nhau.




n
3. M t ph ng ti p xúc (ti p di n) v i m t c u (S) tâm I, bán kính R





Đi u ki n chung: Mp α ti p xúc m t c u (S) tâm I, bán kính R khi và ch khi




N
d(I, α) = R




nh
Trong đó ta lưu ý trư ng h p sau:
Mp α ti p xúc v i (S) t i đi m M0 (x0 , y0 , z0 ) n m trên (S).




ha
−→

• α có véctơ pháp tuy n là nα = IM0 = (a1 , a2 , a3 ), đi qua M0 (x0 , y0 , z0 ).
• α có phương trình là T
m
a1 (x − x0 ) + a2 (y − y0 ) + a3 (z − z0 ) = 0
h


4. Di n tích m t c u - Th tích kh i c u
P



a. Di n tích m t c u
S = 4πR2
H




b. Th tích kh i c u
4
n:




V = πR3
3
Chú ý:
so




• Chu vi c a đư ng tròn bán kính r là 2πr.
n




• Di n tích c a đư ng tròn bán kính r là πr2 .

B
c




c H Ph m Thanh Ngôn Trang s – 46
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản