Tài liệu tham khảo: Đại số tổ hợp

Chia sẻ: Phạm Chí Thành | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:12

0
213
lượt xem
109
download

Tài liệu tham khảo: Đại số tổ hợp

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đại số tổ hợp ( Luyện thi đại học ) - Trần Gia Huy

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Tài liệu tham khảo: Đại số tổ hợp

  1. LTÑH moân TOAÙN (Toå hôïp) 1 Traàn Gia Huy ÑAÏI SOÁ TOÅ HÔÏP Hoaùn vò – Chænh hôïp – Toå hôïp 1) Quy taéc coäng : Neáu coù m caùch choïn ñoái töôïng x, n caùch choïn ñoái töôïng y, vaø neáu caùch choïn ñoái töôïng x khoâng truøng vôùi baát kyø caùch choïn ñoái töôïng y naøo, thì coù m + n caùch choïn moät trong caùc ñoái töôïng ñaõ cho. VD: Coù 8 quyeån saùch khaùc nhau vaø 6 quyeån vôû khaùc nhau. Hoûi coù bao nhieâu caùch choïn moät trong caùc quyeån ñoù? Vì coù 8 caùch choïn 1 quyeån saùch vaø 6 caùch choïn 1 quyeån vôû, khi choïn saùch thì khoâng choïn vôû, hieån nhieân coù 8+6=14 caùch choïn 2) Quy taéc nhaân : Neáu coù m caùch choïn ñoái töôïng x, vaø sau ñoù, vôùi moãi caùch choïn x nhö theá, coù n caùch choïn ñoái töôïng y, thì coù m x n caùch choïn ñoái töôïng (x ; y). VD: Coù 18 ñoäi boùng ñaù tham gia thi ñaáu. Hoûi coù bao nhieâu caùch trao 3 loaïi huy chöông vaøng, baïc, ñoàng cho ba ñoäi nhaát, nhì, ba, bieát raèng moãi ñoäi chæ coù theå nhaän nhieàu nhaát laø 1 huy chöông vaø ñoäi naøo cuõng coù theå ñoaït huy chöông? · Tröôùc tieân, coù 18 caùch trao huy chöông vaøng. · Sau ñoù, coù 17 caùch trao huy chöông baïc · Sau ñoù, coøn 16 ñoäi coù theå nhaän huy chöông ñoàng, vaäy coù 16 caùch trao ð Theo quy taéc nhaân, coù 18 x 17 x 16 = 4896 caùch trao Hoaùn vò Chænh hôïp Toå hôïp k n! n! Pn = n! An = Ck = n (n - k)! k!(n - k)! (n ³ 1) (1 £ k £ n) (0 £ k £ n) n! = 1.2.3…n A n = k!C k k n n! = (n – 1)!n A1 = 1 n C0 = Cn = 1 n n 0! = 1 A n = n! C n-k = C n k n n Pn = A n n C k -1 + Cn -1 = C k n-1 k n Soá caùch choïn ra taäp hôïp con k Soá caùch xeáp n phaàn töû vaøo n vò Soá caùch choïn k phaàn töû trong n phaàn töû trong taäp hôïp n phaàn töû trí coù thöù töï phaàn töû coù thöù töï khoâng thöù töï CAÙC DAÏNG TOAÙÙN : CAÙ DAÏNG TOA Daïng 1: Söû duïng caùc coâng thöùc hoaùn vò, chænh hôïp, toå hôïp giaûi pt, bpt, hpt
  2. LTÑH moân TOAÙN (Toå hôïp) 2 Traàn Gia Huy 1) Giaûi phöông trình : C4 + C6 = 2C5 x x x ìx nguyeân döông ÑK : í îx ³ 6 x! x! 2x! 1 1 2 1 1 2 pt Û + = Û + = Û + = 4!(x - 4)! 6!(x - 6)! 5!(x - 5)! (x - 5)(x - 4) 5.6 5(x - 5) (x - 5)(x - 4) 30 5(x - 5) é x = 14 (nhaän) Û 30 + (x 2 - 9x + 20) = 12(x - 4) Û x 2 - 21x + 98 = 0 Û ê ë x = 7 (nhaän)  2) Giaûi baát phöông trình : 1 2 6 A 2x -A 2 £ C3 +10 x 2 x x ÑK : x nguyeân vaø x ³ 3 1 (2x)! x! 6 x! (2x -1)2x bpt Û - £ +10 Û - x(x -1) £ (x - 2)(x -1) +10 2 (2x - 2)! (x - 2)! x 3!(x - 3)! 2 Û 2x 2 - x - x 2 + x £ x 2 - 3x + 2 +10 Û 3x £ 12 Û x £ 4 éx = 3 So ñk : 3 £ x £ 4 Þ ê ëx = 4 ì2A x + 5Cx = 90 y y 3) Giaûi heä phöông trình : ï x í x ï5A y - 2Cy = 80 î ÑK : y nguyeân döông, x nguyeân, x ³ 0,y ³ x Ñaët u = A x , v = Cx , hpt thaønh : y y ì y! ì2u + 5v = 90 ì u = 20 ì A x = 20 ï (y - x)! = 20 (3) ï y ï í Ûí Ûí x Ûí î5u - 2v = 80 î v = 10 ïCy = 10 î ï y! = 10 (4) ï x!(y - x)! î 20 Theá (3) vaøo (4) : = 10 Û x! = 2 Û x = 2 x! y! é y = 5 (nhaän ) ìx = 2 (3) Û = 20 Û y(y -1) = 20 Û ê ÑS : í (y - 2)! ë y = -4 (loaïi) îy = 5 Daïng 2 : Duøng hoaùn vò, chænh hôïp, toå hôïp ñeå ñeám soá phöông aùn 1) Coù bao nhieâu soá töï nhieân goàm 7 chöõ soá khaùc nhau xeáp theo thöù töï taêng daàn? Soá goàm 7 chöõ soá khaùc nhau xeáp theo thöù töï taêng daàn ñöôïc bieåu dieãn qua 7 oâ ¨¨¨¨¨¨¨ Ñeå taïo ra soá treân ta phaûi : 7 · Laáy ra 7 soá töø 9 soá (soá 1 ñeán 9), soá caùch laáy laø C9 · Xeáp 7 soá vöøa laáy vaøo 7 oâ theo thöù töï taêng daàn, chæ coù 1 caùch xeáp 7 ð Soá con soá taïo ñöôïc laø C9 = 36 soá
  3. LTÑH moân TOAÙN (Toå hôïp) 3 Traàn Gia Huy 2) Moät ngöôøi coù 6 bi xanh, 5 bi ñoû, 4 bi ñen. Hoûi coù bao nhieâu caùch laáy ra 6 bi maø coù ít nhaát 2 bi xanh Ta laøm 2 coâng vieäc : 6 · Coâng vieäc 1 : Laáy tuøy yù 6 bi töø 15 bi, soá caùch laáy laø C15 = 5005 caùch · Coâng vieäc 2 : Laáy vi phaïm Ø Khoâng laáy bi xanh, soá caùch laáy C6 9 Ø Laáy 1 bi xanh, soá caùch laáy C1 C9 6 5 ð Soá caùch laáy vi phaïm laø C6 + C1 C9 = 840 caùch 9 6 5 Soá caùch laáy thoûa yeâu caàu baøi toaùn laø 5005 – 840 = 4165 caùch 3) Coù bao nhieâu soá töï nhieân goàm 8 chöõ soá khaùc nhau vaø coù toång 8 soá ñoù laø soá chaün? Soá ñoù phaûi goàm 4 soá chaün, 4 soá leû, ñöôïc bieåu dieãn qua 8 oâ : ¨¨¨¨¨¨¨¨ · TH1 : Trong 8 soá ñoù coù maët soá 0 Ø Ñöa soá 0 vaøo oâ, coù 7 caùch ñöa Ø Laáy theâm 3 soá chaün töø 4 soá chaün, soá caùch laáy laø C3 4 4 Ø Laáy theâm 4 soá leû töø 5 soá leû, soá caùch laáy laø C5 Ø Xeáp 7 soá vöøa laáy vaøo 7 oâ, soá caùch xeáp laø 7! ð Soá con soá tìm ñöôïc ôû TH1 laø 7. C3 . C5 .7! = 705600 soá 4 4 · TH2 : Trong 8 soá ñoù khoâng coù maët soá 0 Ø Laáy 4 soá chaün töø 4 soá chaün, coù 1 caùch laáy 4 Ø Laáy 4 soá leû töø 5 soá leû, soá caùch laáy laø C5 Ø Xeáp 8 soá vöøa laáy vaøo 8 oâ, soá caùch laáy laø 8! 4 ð Soá con soá tìm ñöôïc ôû TH2 laø C5 .8! = 201600 soá Soá con soá thoûa yeâu caàu baøi toaùn laø 705600 + 201600 = 907200 soá 4) Coù bao nhieâu soá töï nhieân goàm 8 chöõ soá trong ñoù chöõ soá 9 coù maët 3 laàn vaø caùc soá coøn laïi khaùc nhau Soá ñoù ñöôïc bieåu dieãn qua 8 oâ : ¨¨¨¨¨¨¨¨ · TH1 : Trong 8 soá ñoù coù maët soá 0 Ø Ñöa soá 0 vaøo oâ, coù 7 caùch ñöa Ø Laáy 3 oâ töø 7 oâ, soá caùch laáy C3 7 Ø Ñöa soá 9 vaøo 3 oâ ñoù, chæ coù 1 caùch ñöa 4 Ø Laáy theâm 4 soá töø 8 soá, soá caùch laáy C8 Ø Xeáp 4 soá vöøa laáy vaøo 4 oâ, soá caùch xeáp laø 4! ð Soá con soá tìm ñöôïc ôû TH1 laø : 7. C3 . C8 .4! = 411600 soá 7 4 · TH2 : Trong 8 soá ñoù khoâng coù maët soá 0 Ø Laáy 3 oâ töø 8 oâ, soá caùch laáy C3 8 Ø Ñöa soá 9 vaøo 3 oâ ñoù, chæ coù 1 caùch ñöa 5 Ø Laáy theâm 5 soá töø 8 soá, soá caùch laáy C8 Ø Xeáp 5 soá vöøa laáy vaøo 5 oâ, soá caùch xeáp 5! ð Soá con soá tìm ñöôïc ôû TH2 laø : C3 . C8 .5! = 376320 soá 8 5 Soá con soá thoûa yeâu caàu baøi toaùn laø 411600 + 376320 = 787920 soá 5) Coù bao nhieâu soá töï nhieân goàm 6 chöõ soá khaùc nhau trong ñoù coù 3 soá chaün vaø 3 soá leû? Ñöôïc bieåu dieãn qua 6 oâ : ¨¨¨¨¨¨ · TH1 : Trong 3 soá chaün coù maët soá 0
  4. LTÑH moân TOAÙN (Toå hôïp) 4 Traàn Gia Huy Ø Ñöa soá 0 vaøo oâ: coù 5 caùch ñöa Ø Laáy theâm 2 soá chaün töø 4 soá chaün, soá caùch laáy C2 4 Ø Laáy theâm 3 soá leû töø 5 soá leû, soá caùch laáy C3 5 Ø Xeáp 5 soá vöøa laáy vaøo 5 oâ, soá caùch xeáp 5! ð Soá con soá tìm ñöôïc ôû TH1 laø 5. C2 . C3 .5! = 36000 soá 4 5 · TH2 : Trong 3 soá chaün ñoù khoâng coù maët soá 0 Ø Laáy 3 soá chaün töø 4 soá chaün, soá caùch laáy C3 4 Ø Laáy theâm 3 soá leû töø 5 soá leû, soá caùch laáy C3 5 Ø Xeáp 6 soá vöøa laáy vaøo 6 oâ, soá caùch xeáp 6! ð Soá con soá tìm ñöôïc ôû TH2 laø C3 . C3 .6! = 28800 soá 4 5 Soá con soá thoûa yeâu caàu baøi toaùn laø 36000 + 28800 = 64800 soá 6) Coù bao nhieâu soá töï nhieân goàm 7 chöõ soá khaùc nhau trong ñoù nhaát thieát phaûi coù soá 1, 2, 3 vaø chuùng ñöùng caïnh nhau? Vì soá 1, 2, 3 ñöùng caïnh nhau neân ta coi ñoù laø 1 phaàn töû _ goïi laø a Ñöôïc bieåu dieãn qua 5 oâ : ¨¨¨¨¨ · TH1 : Trong 5 oâ, coù maët soá 0 Ø Ñöa soá 0 vaøo oâ, coù 4 caùch ñöa Ø Ñöa soá a vaøo oâ, coù 4 caùch ñöa Ø Xeáp thöù töï cho 3 soá 1, 2, 3 coù 3! caùch xeáp Ø Laáy theâm 3 soá töø 6 soá, soá caùch laáy C3 6 Ø Xeáp 3 soá vöøa laáy vaøo 3 oâ, soá caùch xeáp 3! ð Soá con soá tìm ñöôïc ôû TH1 laø 4.4.3!. C3 .3! = 11520 soá 6 · TH2 : Trong 5 oâ, khoâng coù maët soá 0 Ø Ñöa soá a vaøo oâ, coù 5 caùch ñöa Ø Xeáp thöù töï cho 3 soá 1, 2, 3 coù 3! caùch xeáp 4 Ø Laáy theâm 4 soá töø 6 soá, soá caùch laáy C6 Ø Xeáp 4 soá vöøa laáy vaøo 4 oâ, soá caùch xeáp 4! 4 ð Soá con soá tìm ñöôïc ôû TH2 laø 5.3!. C6 .4! = 10800 soá Soá con soá thoûa yeâu caàu baøi toaùn laø 11520 + 10800 = 22320 soá 7) Moät thaày giaùo coù 12 cuoán saùch ñoâi moät khaùc nhau trong ñoù coù 5 cuoán saùch Toaùn, 4 cuoán saùch Vaät lyù, 3 cuoán saùch Hoùa. OÂng muoán laáy ra 6 cuoán vaø ñem taëng cho 6 hoïc sinh A, B, C, D, E, F moãi em moät cuoán vaø sau khi taëng saùch xong, ba theå loaïi Toaùn, Lyù, Hoùa ñeàu coøn laïi ít nhaát moät cuoán. Hoûi coù taát caû bao nhieâu caùch taëng? 6 · Coâng vieäc 1 : Laáy tuøy yù 6 quyeån töø 12 quyeån. Soá caùch laáy C12 = 924 · Coâng vieäc 2 : Tìm soá caùch laáy vi phaïm Ø Laáy heát 5 quyeån Toaùn, 1 quyeån Lyù, Hoùa. Soá caùch laáy C5 C1 5 7 Ø Laáy heát 4 quyeån Lyù, 2 quyeån Toaùn, Hoùa. Soá caùch laáy C 4 C8 4 2 Ø Laáy heát 3 quyeån Hoùa, 3 quyeån Toaùn, Lyù. Soá caùch laáy C3 C3 3 9 ð Soá caùch laáy vi phaïm : C5 C1 + C 4 C8 + C3 C3 = 119 5 7 4 2 3 9 Soá caùch laáy thoûa ycbt laø 924 – 119 = 805 caùch Sau ñoù phaùt 6 quyeån cho 6 hoïc sinh, coù 6! caùch phaùt
  5. LTÑH moân TOAÙN (Toå hôïp) 5 Traàn Gia Huy Toùm laïi : Coù 805.6! = 579600 caùch laøm thoûa ycbt 8) Moät ngöôøi coù 7 bi xanh, 5 bi ñoû, 4 bi ñen. Yeâu caàu caàn laáy ra 7 bi ñuû 3 maøu. Hoûi soá caùch laáy 7 · Coâng vieäc 1 : Laáy tuøy yù 7 bi töø 16 bi, soá caùch laáy C16 = 11440 · Coâng vieäc 2 : Tìm soá caùch laáy vi phaïm 7 Ø Khoâng laáy bi xanh, laáy 7 bi töø 9 bi ñoû, ñen, soá caùch laáy C9 7 Ø Khoâng laáy bi ñoû, laáy 7 bi töø 11 bi xanh, ñen, soá caùch laáy C11 7 Ø Khoâng laáy bi ñen, laáy 7 bi töø 12 bi xanh, ñoû, soá caùch laáy C12 Trong quaù trình ñeám, khi laáy 7 bi xanh ñöôïc ñeám caû ôû TH2 vaø TH3 ôû coâng vieäc 2 neân soá caùch laáy vi 7 7 7 phaïm laø C9 + C11 + C12 - 1 = 1157 caùch Toùm laïi: Soá caùch laáy thoûa ycbt laø 11440 – 1157 = 10283 caùch 9) Cho moät ña giaùc ñeàu coù 2n ñænh noäi tieáp trong ñöôøng troøn. Tìm n bieát soá hình chöõ nhaät veõ ñöôïc laø 36. · Vì ña giaùc ñeàu coù 2n ñænh noäi tieáp trong ñöôøng troøn neân coù n ñöôøng kính · Muoán coù 1 hình chöõ nhaät ta laáy 2 ñöôøng kính töø n ñöôøng kính, soá hình chöõ nhaät taïo ñöôïc laø C2 n n! é n = 9 (nhaän) Ta coù C2 = 36 Û n = 36 Û n(n -1) = 72 Û ê n = -8 (loaïi) 2!(n - 2)! ë 10) Cho moät ña giaùc ñeàu coù 20 caïnh. Hoûi a) Coù bao nhieâu tam giaùc veõ ñöôïc töø caùc ñænh Muoán coù 1 tam giaùc ta phaûi laáy 3 ñænh töø 20 ñænh. Vaäy soá tam giaùc coù ñöôïc laø C3 = 1140 20 b) Coù bao nhieâu tam giaùc maø coù 2 caïnh laø caïnh cuûa ña giaùc Laáy 1 caïnh cuûa ña giaùc veõ ñöôïc 2 D thoûa yeâu caàu Laáy 20 caïnh cuûa ña giaùc veõ ñöôïc 40 D thoûa yeâu caàu Tuy nhieân trong quaù trình ñeám, 1 tam giaùc bò ñeám ñeán 2 laàn neân soá tam giaùc thöïc söï coøn 20 c) Coù bao nhieâu tam giaùc maø chæ coù 1 caïnh laø caïnh ña giaùc Laáy 1 caïnh cuûa ña giaùc veõ ñöôïc 16 D thoûa yeâu caàu Laáy 20 caïnh cuûa ña giaùc veõ ñöôïc 320 D thoûa yeâu caàu d) Coù bao nhieâu tam giaùc maø khoâng coù caïnh naøo laø caïnh ña giaùc Soá D coù ñöôïc = 1140 – ( 20 + 320) = 800 tam giaùc 11) Coù bao nhieâu soá goàm 5 chöõ soá khaùc nhau vaø £ 46800 Soá ñoù ñöôïc bieåu dieãn qua 5 oâ : ¨¨¨¨¨ · TH1 : O thöù 1 laáy soá 1, 2, 3 Ø O thöù 1 coù 3 caùch choïn 4 Ø Laáy 4 soá töø 9 soá, soá caùch laáy C9 Ø Xeáp 4 soá vöøa laáy vaøo 4 oâ, coù 4! caùch xeáp 4 ð Soá con soá tìm ñöôïc ôû TH1 laø 3. C9 .4! = 9072 soá · TH2 : O thöù 1 laáy soá 4, oâ thöù 2 laáy soá < 6 Ø O thöù 2 coù 5 caùch choïn soá Ø Laáy theâm 3 soá töø 8 soá, soá caùch laáy C3 8 Ø Xeáp 3 soá vöøa laáy vaøo 3 oâ, soá caùch xeáp 3! ð Soá con soá tìm ñöôïc ôû TH2 laø 5. C3 .3! = 1680 soá 8 · TH3 : O thöù 1 laáy soá 4, oâ thöù 2 laáy soá 6, oâ thöù 3 laáy soá < 8
  6. LTÑH moân TOAÙN (Toå hôïp) 6 Traàn Gia Huy Ø Khi ñoù oâ thöù 3 coù 6 caùch choïn soá Ø O thöù 4 coù 7 caùch choïn soá Ø O thöù 5 coù 6 caùch choïn soá ð Soá con soá tìm ñöôïc ôû TH3 laø 6.7.6 = 252 soá Soá con soá thoûa ycbt laø 9072 + 1680 + 252 = 11004 soá 12) Coù bao nhieâu soá töï nhieân goàm 7 chöõ soá khaùc nhau maø khoâng coù maët ñoàng thôøi soá 0 vaø soá 1 Soá ñoù ñöôïc bieåu dieãn qua 7 oâ : ¨¨¨¨¨¨¨ · Coâng vieäc 1 : Tìm soá con soá goàm 7 chöõ soá khaùc nhau Ø O thöù 1 coù 9 caùch choïn Ø Laáy theâm 6 soá töø 9 soá, soá caùch laáy C6 9 Ø Xeáp 6 soá vöøa laáy vaøo 6 oâ, soá caùch xeáp 6! ð Soá con soá tìm ñöôïc ôû CV1 laø 9. C6 .6! = 544320 soá 9 · Coâng vieäc 2 : Tìm soá con soá vi phaïm yeâu caàu, nghóa laø soá ñoù coù maët ñoàng thôøi soá 0 vaø soá 1 Ø Ñöa soá 0 vaøo oâ, coù 6 caùch ñöa Ø Ñöa soá 1 vaøo oâ, coù 6 caùch ñöa 5 Ø Laáy theâm 5 soá töø 8 soá, soá caùch laáy C8 Ø Xeáp 5 soá vöøa laáy vaøo 5 oâ, soá caùch xeáp 5! 5 ð Soá con soá tìm ñöôïc ôû CV2 laø 6.6. C8 .5! = 241920 Soá con soá thoûa ycbt laø 544320 – 241920 = 302400 soá 13) Coù bao nhieâu soá töï nhieân goàm 7 chöõ soá khaùc nhau vaø coù maët ñoàng thôøi soá 1 vaø soá 2, 2 soá ñoù khoâng ñöùng caïnh nhau. & CV1 : Tìm soá con soá goàm 7 chöõ soá khaùc nhau vaø coù maët ñoàng thôøi soá 1 vaø 2. Soá ñoù ñöôïc bieåu dieãn qua 7 oâ : ¨¨¨¨¨¨¨ · TH1 : Coù maët soá 1, 2 vaø coù maët soá 0 Ø Ñöa soá 0 vaøo oâ, coù 6 caùch ñöa Ø Ñöa soá 1 vaøo oâ, coù 6 caùch ñöa Ø Ñöa soá 2 vaøo oâ, coù 5 caùch ñöa Ø Laáy theâm 4 soá töø 7 soá, soá caùch laáy C 4 7 Ø Xeáp 4 soá vöøa laáy vaøo 4 oâ, soá caùch xeáp 4! ð Soá con soá tìm ñöôïc ôû TH1 laø 6.6.5. C 4 .4! = 151200 soá 7 · TH2 : Coù maët soá 1, 2 vaø khoâng coù maët soá 0 Ø Ñöa soá 1 vaøo oâ, coù 7 caùch ñöa Ø Ñöa soá 2 vaøo oâ, coù 6 caùch ñöa Ø Laáy theâm 5 soá töø 7 soá, soá caùch laáy C5 7 Ø Xeáp 5 soá vöøa laáy vaøo 5 oâ, soá caùch xeáp 5! ð Soá con soá tìm ñöôïc ôû TH2 laø 7.6. C5 .5! = 105840 soá 7 Vaäy, soá con soá tìm ñöôïc ôû CV1 laø 151200 + 105840 = 257040 soá & CV2 : Tìm soá con soá goàm 7 chöõ soá khaùc nhau vaø coù maët ñoàng thôøi soá 1 vaø 2, chuùng ñöùng caïnh nhau Vì soá 1, 2 ñöùng caïnh nhau, ta coi ñoù laø 1 phaàn töû _ goïi laø a. Soá caàn tìm ñöôïc bieåu dieãn qua 6 oâ: ¨¨¨¨¨¨ · TH1 : Coù maët soá 0 Ø Ñöa soá 0 vaøo oâ, coù 5 caùch ñöa Ø Ñöa soá a vaøo oâ, coù 5 caùch ñöa
  7. LTÑH moân TOAÙN (Toå hôïp) 7 Traàn Gia Huy Ø Xeáp thöù töï cho 1 vaø 2 coù 2! caùch xeáp Ø Laáy 4 soá töø 7 soá, soá caùch laáy C 4 7 Ø Xeáp 4 soá vöøa laáy vaøo 4 oâ, soá caùch xeáp 4! ð Soá con soá tìm ñöôïc ôû TH1 laø : 5.5.2! C 4 .4! = 42000 soá 7 · TH2 : Khoâng coù maët soá 0 Ø Ñöa soá a vaøo oâ, coù 6 caùch ñöa Ø Xeáp thöù töï cho 1 vaø 2 coù 2! caùch xeáp Ø Laáy 5 soá töø 7 soá, soá caùch laáy C5 7 Ø Xeáp 5 soá vöøa laáy vaøo 5 oâ, soá caùch xeáp 5! ð Soá con soá tìm ñöôïc ôû TH2 laø 6.2!. C5 .5! = 30240 soá 7 Soá con soá tìm ñöôïc ôû CV2 laø 42000 + 30240 = 72240 soá Toùm laïi, soá con soá thoûa ycbt laø 257040 – 72240 = 184800 soá 14) Coù 5 nam vaø 5 nöõ ngoài vaøo 1 daõy gheá coù 10 choã. Hoûi soá caùch xeáp bieát hoï ngoài theo phaùi? · Xem 5 nam nhö 1 phaàn töû, 5 nöõ nhö 1 phaàn töû, xem gheá coù 2 choã Soá caùch xeáp 2 phaàn töû vaøo 2 vò trí laø 2! · Xeáp 5 nam vaøo 5 gheá, soá caùch xeáp laø 5! · Xeáp 5 nöõ vaøo 5 gheá, soá caùch xeáp laø 5! ð Soá caùch xeáp : 2!5!5! = 28800 caùch 15) Moät taäp theå nhaø khoa hoïc goàm 2 nhaø toaùn hoïc vaø 10 nhaø vaät lyù. Hoûi coù bao nhieâu caùch thaønh laäp töø taäp theå ñoù moät phaùi ñoaøn goàm 8 ngöôøi trong ñoù coù ít nhaát moät nhaø toaùn hoïc. Caùch 1 : Yeâu caàu coù ít nhaát 1 nhaø toaùn hoïc neân ta coù 2 tröôøng hôïp · Laáy 1 nhaø toaùn hoïc vaø 7 nhaø vaät lyù, soá caùch laáy C1 C10 = 240 caùch 2 7 · Laáy 2 nhaø toaùn hoïc vaø 6 nhaø vaät lyù, soá caùch laáy C2 C10 = 210 caùch 2 6 ð Vaäy coù 240 + 210 = 450 caùch laäp ñoaøn Caùch 2 : Ta laøm 2 coâng vieäc 8 · Laáy tuøy yù 8 ngöôøi töø 12 ngöôøi, soá caùch laáy C12 = 495 caùch 8 · Laáy vi phaïm (khoâng laáy nhaø toaùn hoïc), chæ laáy 8 nhaø vaät lyù töø 10 ngöôøi, soá caùch laáy C10 = 45 caùch ð Vaäy coù 495 – 45 = 450 caùch laäp ñoaøn Coâng thöùc nhò thöùc Niutôn n (a + b)n = å C k an -k b k = C0 an + C1 an-1 b + C 2 a n-2 b2 + C3 an-3 b3 + ... + Cn b n n n n n n n k =0 Caùc tính chaát : · Trong khai trieån (a + b)n ta ñöôïc (n+1) soá haïng. · Toång soá muõ cuûa a vaø b trong moãi soá laø n. · Soá haïng toång quaùt thöù k+1 trong khai trieån (a + b)n laø Tk +1 = C k a n-k b k n
  8. LTÑH moân TOAÙN (Toå hôïp) 8 Traàn Gia Huy CAÙC DAÏNG BAØI TAÄP : Daïng 1 : Tìm heä soá cuûa xn trong khai trieån nhò thöùc Niutôn 7 æ 1 ö 1) Tìm caùc soá haïng khoâng chöùa x trong khai trieån nhò thöùc Niutôn cuûa ç 3 x + vôùi x > 0 ç è 4x÷÷ ø Giaûi 7 7-k k 7-k k æ 1 ö 7 æ 1 ö 7 æ 1 ö æ -1 ö 7 7 7 - k Ta coù : ç 3 x + 4 ÷ = å C k è xø k =0 7 x( ) 3 ç4 ÷ è xø = å C k ç x 3 ÷ ç x 4 ÷ = å C7 x 3 12 k=0 7 è ø è ø k =0 k 7 7 Yeâu caàu laø soá haïng khoâng chöùa x neân : - k = 0 Û k = 4 3 12 4 Vaäy soá haïng khoâng chöùa x laø C 7 = 35 8 2) Tìm heäsoá cuûa x8 trong khai trieån thaønh ña thöùc cuûa é1+ x2 (1- x ) ù ê ú ë û Giaûi 8 8 k 8 k k -m m 8 k m Ta coù : (1 + x 2 - x 3 ) = å C8 ( x 2 - x 3 ) = å C8 å C m ( x 2 ) k k k ( -x ) 3 = å å C8 C m ( -1) x 2k+ m k k k=0 k =0 m =0 k=0 m =0 Do yeâu caàu baøi toaùn neân 2k + m = 8 (vôùi 0 £ k £ 8 vaø 0 £ m £ k) é m = 0, k = 4 Vaäy ê ë m = 2, k = 3 Vaäy soá haïng cuûa x8 laø : C8 C 0 (-1)0 x8 + C3 C3 (-1)2 x 8 = 238x8 4 4 8 2 ÑS : Heäsoá cuûa x 8 laø 238 3) Tìm heäsoá cuûa x5 trong khai trieån thaønh ña thöùc cuûa : x(1- 2x)5 + x2 (1+ 3x)10 (Ñaïi hoïc khoái D - 2007) Giaûi 5 10 Ta coù(1 - 2x)5 = å C5 (-2) k x k ; (1 + 3x)10 = k åC m 10 3m x m k=0 m =0 Do yeâu caàu baøi toaùn neân k = 4, m = 3 Vaäy soá haïn g chöùa x 5 laø : C4 (-2) 4 x 5 + C10 33 x 5 = 3320x 5 5 3 KL : Heäsoá cuûa x 5 laø 3320 Daïng 2 : Tính toång hoaëc chöùng minh moät ñaúng thöùc, aùp duïng giaûi baøi toaùn khaùc Phöông phaùùp : Phöông pha k Cn n 1) Neáu trong toång coù , ta khai trieån ( ax + b ) roài laáy tích phaân. k +1 n 2) Neáu trong toång coù kC k , ta khai trieån ( ax + b ) roài laáy ñaïo haøm. n n 3) Neáu trong toång khoâng coù 2 soá haïng treân, ta khai trieån ( ax + b ) roài choïn a, b, x. 4) Neáu toång coù chæ soá khoâng ñaày ñuû, ta ñaët toång boå sung, tính toång hieäu
  9. LTÑH moân TOAÙN (Toå hôïp) 9 Traàn Gia Huy 22 -1 1 23 -1 2 2 n+1 -1 n 1) Cho n laø soá nguyeân döông. Tính toång : C0 +n Cn + Cn + ... + C 2 3 n +1 n k (Cn laø soá toå hôïp chaäp k cuûa n phaàn töû) Giaûi n n Ta coù (1 + x ) = å Cn x k = C 0 + C1 x + C2 x 2 + ... + C n x n k n n n n k =0 Laáy tích phaân 2 veá, ta ñöôïc : b b b b é (1 + x) n+1 ù é 0 1 1 2 1 2 3 1 ù ò (1 + x) dx = ò ( ) n 0 1 2 2 n n C + C x + C x + ... + C x dx Û ê n n n n ú = êC n x + C n x + Cn x + ... + C n x n +1 ú n a a ë n + 1 ûa ë 2 3 n +1 ûa 2 2 -1 1 2 3 -1 2 2 n+1 -1 n 3n+1 - 2 n+1 Choïn a = 1; b = 2 ta ñöôïc : C 0 + n Cn + Cn + Cn = 2 3 n +1 n +1 2) Tìm heäsoá cuûa soá haïng chöùa x10 trong khai trieån nhò thöùc Niutôn cuûa (2 + x)n , bieát : 3n C0 - 3n-1C1 + 3n-2 C2 - 3n-3 C3 + ... + (-1)n Cn = 2048 n n n n n k (n laø soá nguyeân döông, Cn laø soá toå hôïp chaäp k cuûa n phaàn töû) (Ñaïi hoïc khoái B - 2007) Giaûi n n Ta coù : ( 3 - x ) = å C k 3n -k (-x) k = 3 n C0 - 3 n-1 C1 x + 3n -2 C 2 x 2 - 3n-3 C3 x 3 + ... + (-1)n C n x n n n n n n n k =0 Choïn x = 1, ta ñöôïc : 3 n C 0 - 3 n-1 C1 + 3n-2 C2 - 3n-3 C3 + ... + (-1) n Cn = 2 n = 2048 = 211 Û n = 11 n n n n n 11 11 Vaäy ( 2 + x ) = å C11 211-k x k k k=0 Yeâu caàu laø soá haïn g chöùa x10 neân k = 10 Vaäy heäsoá cuûa soá haïng chöùa x10 laø C11 .2 = 22 10 3) Tìm soá nguyeân döông n sao cho : C1 - 2.2C2 + 3.22 C3 - 4.23 C4 + ... + (2n +1).22n C2n+1 = 2005 2n+1 2n+1 2n+1 2n+1 2n+1 k (Cn laø soá toå hôïp chaäp k cuûa n phaàn töû) (Ñaïi hoïc khoái A - 2005) Giaûi 2n+1 2n+1 k k Ta coù : (1 - x ) = å C ( -1) 2n +1 x k = C0 - C1 x + C2 x 2 - C3 x 3 + C4 x 4 - ... - C2n+1x 2n +1 2n+1 2n+1 2n+1 2n+1 2n+1 2n+1 k=0 Laáy ñaïo haøm 2 veá ta ñöôïc : 2n - ( 2n + 1)(1- x ) = -C1 + 2C2n +1x - 3C3 x 2 + 4C4 x 3 - ... - ( 2n + 1) C2n+1x 2n 2n+1 2 2n+1 2n+1 2n+1 2n Û ( 2n + 1)(1 - x ) = C1 +1 - 2C 2 +1 x + 3C3 x 2 - 4C4 x 3 + ... + ( 2n + 1) C2n+1x 2n 2n 2n 2n+1 2n+1 2n+1 Choïn x = 2, ta ñöôïc : 2n ( 2n + 1)( -1) = C1 - 2.2C2 + 3.2 2 C3 - 423 C2n +1 + ... + ( 2n + 1) 2 2n C 2n+1 = 2005 2n+1 2n+1 2n+1 4 2n+1 Û 2n + 1 = 2005 Û n = 1002
  10. LTÑH moân TOAÙN (Toå hôïp) 10 Traàn Gia Huy 1 1 1 1 22n -1 4) Chöùng minh raèng : C1 + C3 + C5 + ... + C2n-1 = 2 2n 4 2n 6 2n 2n 2n 2n +1 k ( n laø soá nguyeân döông, Cn laø soá toå hôïp chaäp k cuûa n phaàn töû) (Ñaïi hoïc khoái A - 2007) Giaûi 1 2 1 1 Ñaët A = C 0 + C2n + C4 + ... + 2n 2n C2n 2n 3 5 2n + 1 1 1 1 5 1 2n B = C1 + C3 + C2n + ... + 2n 2n C2n 2 4 6 2n 1 1 1 1 Tính A + B = C2n + C1 + C2 + C3 + ... + 0 2n 2n 2n C 2n 2n 2 3 4 2n + 1 2n 2n Ta coù : (1 + x ) = å C2n x k = C2n + C1 x + C2n x 2 + C3 x 3 + ... + C2n x 2n k 0 2n 2 2n 2n k =0 Laáy tích phaân hai veá ta ñöôïc : b b 2n ò (C ) 0 ò (1 + x ) dx = 2n + C1 x + C2 x 2 + C3 x 3 + ... + C 2n x 2n dx 2n 2n 2n 2n a a b é (1 + x )2n+1 ù é 0 1 1 2 1 2 3 1 3 4 1 b 2n 2n+1 ù Ûê ú = ê C2n x + C 2n x + C2n x + C 2n x + ... + C2n x ú ê 2n + 1 ú a ë ë û 2 3 4 2n + 1 ûa Choïn a = 0, b = 1, ta ñöôïc : 0 1 1 1 1 1 2 2n+1 -1 C2n + C2n + C2 + C3 + ... + 2n 2n 2n C2n = 2 3 4 2n + 1 2n + 1 1 1 1 1 2n 1 Tính A - B = C2n - C1 + C2 - C3 + ... - 0 2n 2n 2n C2n + 2n C2n 2 3 4 2n 2n + 1 2n 2n k Ta coù : (1 - x ) = å C2n ( -1) x k = C2n - C1 x + C 2 x 2 - C3 x 3 + ... - C 2n-1 x 2n-1 + C2n x 2n k 0 2n 2n 2n 2n 2n k =0 Laáy tích phaân hai veá ta ñöôïc : b b 2n ò (1 - x ) ( dx = ò C2n - C1 x + C2 x 2 - C3 x 3 + ... - C2n-1x 2n-1 + C2n x 2n dx 0 2n 2n 2n 2n 2n ) a a b b é -(1 - x)2n+1 ù é 0 1 1 2 1 2 3 1 3 4 1 2n-1 2n 1 ù Ûê ú = ê C2n x - C 2n x + C2n x - C2n x - C2n x + C2n x 2n+1 ú 2n ë 2n + 1 û a ë 2 3 4 2n 2n + 1 ûa Choïn a = 0, b = 1, ta ñöôïc : 1 1 2 1 1 2n 1 1 C2n - C1 + C2n - C3 + ... - 0 2n 2n C2n + C2n = 2n 2 3 4 2n 2n + 1 2n + 1 2n+1 ì 2 -1 ïA + B = 2n ï Giaûi heä phöông trình : í 2n + 1 , ta ñöôïc B = 1 C1 + 1 C3 + 1 C 5 + ... + 1 C2n = 2 -1 (ñpcm) 2n 2n 2n 2n ïA - B = 1 2 4 6 2n 2n + 1 ï î 2n + 1
  11. LTÑH moân TOAÙN (Toå hôïp) 11 Traàn Gia Huy Daïng 3 : Caùc daïng toaùn khaùc 1) Bieát toång caùc heäsoá cuûa khai trieån (a + 2b)n = 320.Tìm GTLN cuûa caùc heäsoá. Giaûi n n n n -k k Ta coù : ( a + 2b ) = å C k ( a ) n ( 2b ) = å C k 2 k ( an -k b k ) (1) n k =0 k =0 n Toång caùc heä soá baèng 320 , nghóa laø : å C k 2 k = 320 n k =0 n Maët khaùc, choïn a = 1, b = 1, thì (1) thaønh : 3 = å C k 2 k = 320 Û n = 20 n n k =0 Tìm MAX caùc heä soá : 20! Ta laäp tæ soá : a k+1 C 2 = k +1 k +1 20 = ( k + 1)! (19 - k )! .2 = 2k! ( 20 - k )! = 2. ( 20 - k ) = 40 - 2k ak C 2 k 20 k 20! ( k + 1)! (19 - k )! k +1 k +1 k!( 20 - k )! 40 - 2k - Muoán coù a k +1 > a k thì > 1 Û 40 - 2k > k + 1 Û k < 13 Û k £ 12 k +1 Vaäy ta ñöôïc ao < a1 < a2 < ... < a13 - Muoán coù a k +1 < ak thì k > 13 Û k ³ 14 Vaäy ta ñöôïc a14 > a15 > a16 > ... > a20 Ta tính a13 = C13 213 ; a14 = C14 214 20 20 Nhaän thaáy a13 = a14 neân MAX caùc heäsoá laø a13 = a14 = 635043840 2) Cho khai trieån nhò thöùc : n n n-1 æ x-1 -x ö æ x-1 ö æ x-1 ö æ -x ö æ x-1 ö æ -x ö n-1 æ -x ö n ç 2 2 + 2 3 ÷ = C0 ç 2 2 ÷ + C1 ç 2 2 ÷ ç 2 3 ÷ + ... + Cn-1 ç 2 2 ÷ ç 2 3 ÷ + Cn ç 2 3 ÷ ç ÷ nç ÷ nç ÷ ç ÷ n ç ÷ç ÷ nç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø ç ÷è ø è ø è ø è ø è ø è ø (n laø soá nguyeân döông). Bieát raèng trong khai trieån ñoùC3 = 5C1 vaø soá haïng thöù tö baèng 20n. n n Tìm n vaø x (Ñaïi hoïc khoái A - 2002) Giaûi n! 5n! 1 5 é n = 7 (nhaän) - Ta coù : C3 = 5C1 Û n n = Û = Û n 2 - 3n - 28 = 0 Û ê n = -4 (loaïi) 3! ( n - 3 )! ( n -1)! 6 ( n - 2 )( n -1) ë n-3 3 æ x -1 ö 3 æ -x ö ­ Trong khai trieån treân , soá haïng thöù tö laø C ç 2 2 ÷ n ç 2 ÷ = 20n 3 è ø è ø 4 3 æ x-1 ö æ -x ö Þ C ç 2 2 ÷ ç 2 3 ÷ = 20.7 Û 2 2x-2.2 -x = 4 Û 2 x-2 = 2 2 Û x - 2 = 2 Û x = 4 3 7 è ø è ø ÑS : n = 7, x = 4
  12. LTÑH moân TOAÙN (Toå hôïp) 12 Traàn Gia Huy n 3) Cho (1+ x ) = a + a x + ... + an x n .Tìm k bieát 36a = 8a = 3a . Tìm n. 0 1 k-1 k k+1 Giaûi n n Ta coù : (1 + x ) = å Cn x k (1) k k =0 Trong khai trieån ñeà baøi, heäsoá cuûa x k laø a k . Trong (1), heäsoá cuûa x k laø Cn k Vaäy pt ñeà baøi Û 36C n = 8Cn = 3Cn +1 k-1 k k ÑK : n nguyeân döông, k nguyeân, k ³ 1, n ³ k + 1. ì 9n! 2n! ì 9 2 ì9C = 2C k -1 ï ( k -1) !( n - k + 1)! = k! ( n - k )! k ïn - k +1 = k ï n ï n ï Vaäy pt Û í k Ûí Ûí ï 8n! = 3n! ï 8 = 3 k +1 ï8C n = 3C n î ï k! ( n - k )! ( k + 1) !( n - k -1)! ïn - k k +1 î î ì9k = 2n - 2k + 1 ì11k - 2n = 2 ìk = 2 Ûí Ûí Ûí î8k + 8 = 3n - 3k î11k - 3n = -8 î n = 10
Đồng bộ tài khoản