Tài liệu tham khảo về toán học - Phương pháp thế

Chia sẻ: Luong Quang Thanh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:9

0
69
lượt xem
14
download

Tài liệu tham khảo về toán học - Phương pháp thế

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'tài liệu tham khảo về toán học', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Tài liệu tham khảo về toán học - Phương pháp thế

  1. Nguy n T t Thu 0918927276 or 01699257507 http://www.toanthpt.net Trong các ph n trư c chúng ta ñã ñi xét m t s d ng h mà có ñư ng l i gi i t ng quát. Trong ph n này chúng ta ñi xét m t s h mà không có ñư ng l i gi i t ng quát. ð tìm l i gi i c a nh ng h này 1. Phương pháp th : N i dung c a phương pháp này t m t phương trình ho c k t h p hai phương trình c a h ta bi u di n n này qua n kia ho c m t bi u th c này qua bi u th c khác và th vào phương trình còn l i chuy n v phương trình m t n (có th là n ph ). M c ñích c a vi c làm này là gi m s n. Tùy thu c vào ñ c ñi m c a bài toán mà ta có nh ng cách bi n ñ i phù h p. Trong phương pháp này ta c n lưu ý m t s d u hi u sau. • N u trong h phương trình có m t phương trình b c nh t ñ i v i m t n thì ta rút n ñó qua n kia th vào phương trình còn l i và chuy n v gi i phương trình m t n. • V i hai s th c b t kì x ≠ 0; y ta luôn có y = tx (t là s th c c n tìm). V i cách làm này ta s ñư c h v phương trình m t n t. • Phương trình f (x; y) = f (y;x) luôn có m t c p nghi m x = y (các b n th gi i thích vì sao?), do ñó ta luôn phân tích phương trình ñã cho v d ng: (x − y)g(x; y) = 0 . • Trong h phương trình n u bi u th c u(x) xu t hi n hai phương trình thì ta có th ñ t t = u(x) ñ làm ñơn gi n hình th c bài toán.  x 3 y = 16  (1) Ví d 1: Gi i h phương trình:  . 3x + y = 8  (2) Gi i : Ta th y (2) là m t phương trình b c nh t hai n nên ta rút n này qua n kia. T phương trình (2) ⇒ y = 8 − 3x thay vào phương trình (1) ta ñư c: x 3 (8 − 3x) = 16 ⇔ 3x 4 − 8x 3 + 16 = 0 ⇔ (x − 2)2 (3x 2 + 4x + 4) = 0 ⇔ x = 2 V y h có nghi m là x = y = 2 . Chú ý : cách gi i trên ta th y h có nghi m duy nh t x = y = 2 , ñ ng th i t hai phương trình ta có nh n xét x, y > 0 và phương trình (2) VT là 3x + y , phương trình (1) có tích x 3 y . ði u này g i cho chúng ta liên tư ng ñ n BðT Cauchy. Ta có cách gi i khác như sau: Ta th y n u h có nghi m (x;y) thì x, y > 0 . Áp d ng bñt Cauchy ta có: 3x + y = x + x + x + y ≥ 4 4 x 3 y = 8 . ð ng th c x y ra ⇔ x = y = 2 . Th l i ta th y th a mãn. Trư ng THPT Lê H ng Phong – Biên Hòa – ð ng Nai 1
  2. Nguy n T t Thu 0918927276 or 01699257507 http://www.toanthpt.net  Ví d 2:Gi i h phương trình:  (  y(1 + x 2 ) = x 1 + y 2 ) (1) .  x 2 + 3y 2 = 1  (2) Gi i: D th y phương trình (1) có c p nghi m x = y , do ñó ta bi n ñ i phương trình (1) c a h ra th a s (x − y) . x = y Ta có: (1) ⇔ x − y + xy(y − x) = 0 ⇔ (x − y)(1 − xy) = 0 ⇔  .  xy = 1 1 * x = y ⇒ 4x 2 = 1 ⇔ x = ± . 2 1 * x = ⇒ 3y 4 − y 2 + 1 = 0 phương trình vô nghi m. y 1 V y nghi m c a h là: x = y = ± . 2  1 1 x − x = y − y (1) Ví d 3: Gi i h phương trình:  . 2y = x 3 + 1  (2) Gi i: xy ≠ 0 x = y x−y 1 Ta có (1) ⇔ x − y + = 0 ⇔ (x − y)(1 + ) = 0 ⇔  . xy xy y = − 1  x * x = y thay vào (2), ta ñư c: −1 ± 5 x 3 − 2x + 1 = 0 ⇔ (x − 1)(x 2 + x − 1) = 0 ⇔ x = 1;x = . 2 1 1 1 3 * y = − thay vào (2), ta ñư c: x 4 + x + 2 = 0 ⇔ (x 2 − ) + (x + ) 2 + = 0 vô x 2 2 2 nghi m. −1 ± 5 V y h ñã cho có ba c p nghi m: x = y = 1;x = y = . 2 Trư ng THPT Lê H ng Phong – Biên Hòa – ð ng Nai 2
  3. Nguy n T t Thu 0918927276 or 01699257507 http://www.toanthpt.net  x+y=3x+y  Ví d 4: Gi i các h phương trình sau:  .  x−y=  3 x − y − 12 x + y ≥ 0 Gi i: ðK:  .  x−y≥0 Ta th y m i phương trình c a h là phương trình m t n x + y và x − y . Do ñó ñi u mà chúng ta nghĩ t i là ñi gi i t ng phương trình tìm x + y và x − y , khi ñó ta có ñư c h phương trình m i ñơn gi n hơn nhi u. ð ñơn gi n v m t hình th c ta ñ t a = x + y, b = x − y ⇒ a, b ≥ 0 ta có h :  a =3a   3 a = a 2 a = 0 V a = 1  ⇔ ⇔ .  b = b − 12  3 b = (b − 12)  3 2  b=4 a = 0 x + y = 0 x = 2 *V i  ⇔ ⇔ b = 4  x − y = 4  y = −2  5  x= a = 1 x + y = 1  2 *V i  ⇔ ⇔ b = 4  x − y = 4  y = − 3   2 5 3 V y nghi m c a h là: (x; y) = (2; −2), ( ; − ) . 2 2  x+y − x−y=2  (1) Ví d 4: Gi i h phương trình:  .  x 2 + y2 + x 2 − y2 = 4  (2) Gi i: ðK : x ≥| y | Vì (1) trong căn ch ch a lũy th a b c 1 ñ i v i x,y còn (2) thì trong căn ch a lũy th a b c 2 ñ i v i x,y nên suy nghĩ ñ u tiên là ta s bình phương hai v phương trình (1) ñ ñưa v hai phương trình ñ ng b c. T (1) ⇒ x + y > x − y ⇒ y > 0 . 2≤x≤6 x − x 2 − y2 = 2  x 2 − y2 = x − 2   2   H ⇔ ⇔ ⇔  x − y 2 = (2 − x)2  x 2 + y2 = 4 − x 2 − y2   x 2 + y2 = 6 − x   2  x + y = (6 − x) 2 2 Trư ng THPT Lê H ng Phong – Biên Hòa – ð ng Nai 3
  4. Nguy n T t Thu 0918927276 or 01699257507 http://www.toanthpt.net 2 ≤ x ≤ 6 2 ≤ x ≤ 6  5  2  2 x = ⇔ 2x = (2 − x) + (6 − x) ⇔ 2x = 40 − 16x + 2x ⇔  2 2 2 2 .  2  2 y = 6  x + y = (6 − x)  y = 36 − 12x  2 2 5 V y nghi m c a h ñã cho là: ( ; 6) . 2  x 2 + 1 + y(y + x) = 4y  (1) Ví d 6: Gi i h phương trình:  . (x + 1)(y + x − 2) = y 2  (2) Gi i: ð t a = x + y t (1) ⇒ x 2 + 1 = y(4 − a) th vào (2), ta có: y(4 − a)(a − 2) = y ⇔ y(a 2 − 6a + 9) = 0 ⇔ y = 0; a = 3 * V i y = 0 thay vào (1) ta th y h vô nghi m. * V i a = 3 ⇔ x + y = 3 thay vào h ta có: x = 1 ⇒ y = 2 x2 + 1 = y = 3 − x ⇔ x2 + x − 2 = 0 ⇔  .  x = −2 ⇒ y = 5 V y h ñã cho có hai c p nghi m: (x; y) = (1;2), (−2;5) .  x 3 − 8x = y3 + 2y  (1) Ví d 7: Gi i h phương trình:  .  x − 3 = 3(y + 1) 2 2  (2) Gi i: Cách 1: T (2) ⇒ x 2 = 3(y 2 + 2) (3) thay vào (1) ta ñư c : x = 0 x2 x − 8x = y(y + 2) = y 3 2 ⇔ x(3x − xy − 24) = 0 ⇔  2  y = 3x − 24 2 . 3   x * V i x = 0 thay vào (3) ta có: y + 2 = 0 vô nghi m. 2 2 3x 2 − 24  3x 2 − 24  *V i y= thay vào (3) ta ñư c: x = 3  2   +6  x  x  x2 = 9  x = ±3 ⇒ y = ±1 ⇔ 13x 4 − 213x 2 + 864 = 0 ⇔  2 96 ⇔  . x =  x = ± 96 ⇒ y = ∓ 78   13   13 13 Trư ng THPT Lê H ng Phong – Biên Hòa – ð ng Nai 4
  5. Nguy n T t Thu 0918927276 or 01699257507 http://www.toanthpt.net 96 78 V y h có b n c p nghi m: (x; y) = (±3; ±1), (± ;∓ ). 14 13 Cách 2: Ta th y x = 0 không là nghi m c a h nên ta ñ t y = tx . Khi ñó h tr thành  x 3 − 8x = t 3 x 3 + 2tx   x 2 (1 − t 3 ) = 2t + 8  1 − t3 t + 4  2 ⇔ ⇒ =   x − 3 = 3(t 2 x 2 + 1)   x 2 (1 − 3t 2 ) = 6 1 − 3t 2 3  1 t = 3 ⇔ 3(1 − t ) = (t + 4)(1 − 3t ) ⇔ 12t − t − 1 = 0 ⇔  3 2 2 . t = − 1   4  x (1 − 3t ) = 6 2 2 1   x = ±3 * t= ⇒ x ⇔ . 3 y =  y = ±1  3  4 78 1  x = ± 13 * t=− ⇒ . 4  78  y = ∓ 13  | x 2 − 2x | + y = 1  (1) Ví d 8: Gi i h phương trình:  .  x + | y |= 1 2  (2) Gi i: T (2) ⇒ −1 ≤ x, y ≤ 1 . Ta xét các trư ng h p sau * y ≥ 0 ⇒ (1) ⇔ x 2 + y = 1 ⇔ y = 1 − x 2 thay vào (2) ta ñư c: | x 2 − 2x | +1 − x 2 = 1 ⇔| x 2 − 2x |= x 2 ⇔ x 2 (x − 2)2 = x 4 ⇔ x 2 (−4x + 4) = 0 x = 0 ⇒ y = 1 ⇔ x = 1 ⇒ y = 0 * y < 0 ⇒ (1) ⇔ y = x 2 − 1 thay vào (2) ta có: | x 2 − 2x | + x 2 − 1 = 1 ⇔| x 2 − 2x |= 2 − x 2 ⇔ x 3 − 2x 2 + 1 = 0 ⇔ (x − 1)(x 2 − x − 1) = 0 x = 1 ⇔ x = 1 − 5 ⇒ y = 1 − 5 .   2 2 Trư ng THPT Lê H ng Phong – Biên Hòa – ð ng Nai 5
  6. Nguy n T t Thu 0918927276 or 01699257507 http://www.toanthpt.net 1− 5 1− 5 V y h có ba c p nghi m (x; y) = (0;1), (1;0), ( ; ). 2 2  2 2xy x + y + x + y = 1 2 (1) Ví d 9: Gi i h phương trình:  .  x + y = x2 − y (2)  Gi i: ðK : x + y > 0 (x + y)2 − (x 2 + y 2 ) Ta có: (1) ⇔ x 2 + y 2 + −1= 0 . x+y (x 2 + y 2 )(x + y) − (x 2 + y 2 ) x 2 + y2 ⇔ + x + y − 1 = 0 ⇔ (x + y − 1)( + 1) = 0 . x+y x+y x 2 + y2 ⇔ x + y − 1 = 0 ⇔ y = 1 − x ( Do > 0 ) Thay vào (2), ta ñư c: x+y x = 1 ⇒ y = 0 x 2 − (1 − x) = 1 ⇔ x 2 + x − 2 = 0 ⇔  .  x = −2 ⇒ y = 3 V y h có hai c p nghi m: (x; y) = (1;0), (−2;3) .  7x + y + 2x + y = 5  Ví d 10: Gi i h phương trình:  (HSG Qu c Gia – 2001).  2x + y + x − y = 2  Gi i: 8x + t = (3 − t) 2  7x + y = 3 − t    Cách 1: ð t t = y − x ⇔ y = x + t ta có h :  ⇔ 3x + t = (2 + t) 2  2x + y = 2 + t  −2 ≤ t ≤ 3   3t − 8t = 3(3 − t) − 8(2 + t)  2 2  t + 9t + 1 = 0  2 −9 + 77 ⇒ ⇔ ⇔t= . −2 ≤ t ≤ 3  −2 ≤ t ≤ 3  2  (t + 2) 2 − t  x= = 10 − 77  3 ⇒ là nghi m c a h ñã cho. y = t + x = 11 − 77   2 Trư ng THPT Lê H ng Phong – Biên Hòa – ð ng Nai 6
  7. Nguy n T t Thu 0918927276 or 01699257507 http://www.toanthpt.net u + v = 5 Cách 2: ð t u = 7x + y, v = 2x + y . H tr thành:  .  v=2+ y−x 5−x M t khác u 2 − v 2 = 5x ⇒ (u − v)(u + v) = 5x ⇒ u − v = x ⇒ v = (Do u + v = 5 ). 2 5−x 1+ x 1+ x 5 − x T ñó ⇒ =2+ y−x⇒y= thay vào h ta có ñư c: 2x + = 2 2 2 2 x ≤ 5  x ≤ 5  11 − 77 ⇔ ⇔ 2 ⇔ x = 10 − 77 ⇒ y = . 10x + 2 = (5 − x)  x − 20x + 23 = 0 2 2    x = 10 − 77  Thay vào h ta th y th a mãn. V y h ñã cho có nghi m  11 − 77 .  y=  2  1  3x (1 + )=2  x+y Ví d 11: Gi i h phương trình:  (HSG Qu c Gia – 1996 ).  7y(1 − 1 )=4 2   x+y Gi i: ðK : x, y ≥ 0 . Vì x=0 hay y=0 không là nghi m c a h nên ta có:  1 2  1 2 2  x+y= 1+ 3x 1 = + (1)   3x 7y H ⇔ ⇔ . Nhân (1) v i (2) ta ñư c: 1 − 1 = 4 2  1 = 1 −2 2 (2)   x+y 7y x + y 3x 7y  1 1 2 2 1 2 2 1 8 =( − )( − )= − ⇔ 21xy = (x + y)(7y − 24x) x+y 3x 7y 3x 7y 3x 7y ⇔ 24x 2 + 38xy − 7y 2 = 0 ⇔ (6x − y)(4x + 7y) = 0 ⇔ y = 6x (Do x, y > 0 ) 1 2 11 + 4 7 22 + 8 7 Thay vào (1) ta có: 1 = + ⇔x= ⇒ y = 6x = 3x 7x 21 7 Th l i h ta th y th a mãn.  11 + 4 7 x =  21 V y h có c p nghi m duy nh t  . y = 22 + 8 7   7 Trư ng THPT Lê H ng Phong – Biên Hòa – ð ng Nai 7
  8. Nguy n T t Thu 0918927276 or 01699257507 http://www.toanthpt.net  x 3 + 3xy 2 = −49  (1) Ví d 12: Gi i h phương trình:  (HSG QG – 2004 ) .  x − 8xy + y = 8y − 17x 2 2  (2) Gi i: Cách 1: Ta th y x = 0 không ph i là nghi m c a h nên x 3 + 49 T (1) ⇒ y = − 2 (*) th vào phương trình (2) ta ñư c: 3x x 3 + 49 x − 8xy − 2 = 8y − 17 ⇔ 24y(x 2 + x) = 2x 3 + 51x 2 − 49 3x  x = −1 ⇔ 24xy(x + 1) = (x + 1)(2x + 49x − 49) ⇔  2  y = 2x + 49x − 49 2   24x * x = −1 th vào (*) ⇒ y = ±4 . 2x 2 + 49x − 49 * y= th vào (*), ta có: 24x 2 x 3 + 49  2x 2 + 49x − 49  − =  ⇔ −192x(x + 49) = (2x + 49x − 49)  3 2 2 3x  24x  Bi n ñ i rút g n ta ñư c: 4x 4 + 4x 3 + 45x 2 + 94x + 49 = 0 ⇔ (x + 1)2 (4x 2 − 4x + 49) = 0 ⇔ x = −1 . V y h có hai c p nghi m: (x; y) = (−1; ±4) . Cách 2: Nhân phương trình (2) v i 3 r i c ng v i (1) theo t ng v ta ñư c: x 3 + 3x 2 + 3xy 2 − 24xy + 3y 2 = 24y − 51x − 49 ⇔ x 3 + 3x 2 + 3x + 1 + 3y 2 (x + 1) − 24y(x + 1) + 48(x + 1) = 0 ( ) ⇔ (x + 1) (x + 1) 2 + 3y 2 − 24y + 48 = 0 ⇔ x = −1. Th x = −1 vào phương trình (1) ta có: y 2 = 16 ⇔ y = ±4 . V y h có hai c p nghi m (x; y) = (−1; ±2) . Cách 3: Vì x = 0 không là nghi m c a h nên ta ñ t y = tx . Khi ñó h tr thành: Trư ng THPT Lê H ng Phong – Biên Hòa – ð ng Nai 8
  9. Nguy n T t Thu 0918927276 or 01699257507 http://www.toanthpt.net  3 −49 −49 −49  x (1 + 3t ) = −49 3 2  x = 1 + 3t 2 = 49 + 3(t 2 − 16) = 49 + 3a    2 ⇔  x (1 − 8t + t ) = x(8t − 17)  x = 8t − 17 = 8t − 17 2 b  =   t 2 − 8t + 1 (t 2 − 16) − (8t − 17) a − b (Trong ñó ta ñã ñ t: a = t 2 − 16; b = 8t − 17 ). ⇒ −49 = b3 49 + 3a (a − b) 3 ( ) ⇔ 49 b3 + (a − b)3 + 3a = 0 ( ) ⇔ a  49 b 2 − b(a − b) + (a − b) 2 + 3 = 0 ⇔ a = 0 ⇔ t 2 = 16 .   Th t = 16 vào h ⇒ x = −1 ⇒ y = ±4 . 2 Bài t p: Gi i các h phương trình sau: 3 x − y = x − y  3 x − y = x − y   2x + y + 1 − x + y = 1  1)  2)  3)  x + y = x + y + 2   x + 4 − 1 − y = 1 − 2x  3x + 2y = 4   1 1  x 2 x 3  x 3 y = 16  x − x = y − y ( y ) + ( y ) = 12 5)  6)  7)  3x + y = 8  2y = x 3 + 1 (xy)2 + xy = 6    2 1 x  2x + 2y =3  x + y2 + y = 3  x+ y + x− y =2    8)  y x 9)  10)   x − y + xy = 3 x + x + 1 = 3  y + x − y − x =1     y y  3 85 4xy + 4(x + y ) + (x + y) 2 = 3 2 2  x − xy + y = 3(x − y)  2 2  11)  12)   x + xy + y = 7(x − y) 2 2 2  2x + 1 = 13   x+y 3 x 2 + y2 = 1   x 2 + y 2 + xy = 1   x 3 + y3 − xy 2 = 1  13)  3 1 14)  15)  3x − y = x + y 3  x + y = x + 3y 4x + y = 4x + y 3 3 4 4     x 2 + y2 + x + y − 4 = 0  16)  2x + xy − y − 5x + y + 2 = 0 2 2  Trư ng THPT Lê H ng Phong – Biên Hòa – ð ng Nai 9
Đồng bộ tài khoản