Tài liệu toán " Hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn "

Chia sẻ: Phạm Hùng Vĩ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:4

0
730
lượt xem
226
download

Tài liệu toán " Hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn "

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo về các hệ phương trình trong toán học

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Tài liệu toán " Hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn "

  1. CHÖÔNG 2 II. CAÙC VÍ DUÏ. HEÄ PHÖÔNG TRÌNH HAI AÅN Ví duï 1: Ñònh m ñeå heä sau voâ nghieäm: ⎧2m 2 x + 3(m − 1)y = 3 ⎪ Baøi 1: (I) ⎨ ⎪m(x + y) − 2y = 2 ⎩ HEÄ PHÖÔNG TRÌNH BAÄC NHAÁT HAI AÅN Giaûi Ñeå heä voâ nghieäm, ta phaûi coù tröôùc heát : I. KIEÁN THÖÙC CAÀN NHÔÙ. 2m 2 3(m − 1) D=0⇔ =0 Heä phöông trình baäc nhaát hai aån. m m −2 ⎧a x + b1y + c1 = 0 ⎡ (I) ⎨ 1 ⎢m = 0 ⎩ a 2 x + b 2 y + c2 = 0 ⎢ 3 2 2 3 2 a1 b1 ⇔ 2m − 4m − 3m + 3m = 0 ⇔ 2m − 7m + 3m = 0 ⇔ ⎢ m = 3 Caùch giaûi: Ñaët D = = a1b2 − a2 b1 ⎢ 1 a2 b 2 ⎢m = ⎣ 2 b1 c1 c1 a1 Dx = = b1c2 − b2 c1 Dy = = c1a2 − c2 a1 ⎧−3y = 3 ⎧y = −1 b 2 c2 c2 a 2 * Vôùi m = 0 : (I) ⇔ ⎨ ⇔⎨ khoâng thoûa ñeà baøi. ⎩−2y = 2 ⎩x ∈ R ⎧ Dx ⎪x = ⎪ D ⎧ ⎧18x + 6y = 3 ⎪3x + y = 1 * D ≠ 0 : (I) ⇔ ⎨ * Vôùi m = 3 : (I) ⇔ ⎨ ⇔⎨ 2 heä voâ nghieäm ⎪y = Dy ⎩3x + y = 2 ⎪3x + y = 2 ⎩ ⎪ ⎩ D ⇒ m = 3 nhaän. * D = 0 vaø D x ≠ 0 hay D y ≠ 0 : (I) voâ nghieäm. ⎧1 3 * D = D x = D y = 0 : (I) coù theå voâ nghieäm hoaëc coù voâ soá nghieäm 1 ⎪2 x − 2 y = 3 ⎪ 1 * m = : (I) ⇔ ⎨ heä voâ nghieäm ⇒ m = nhaän. Chuù yù: 2 ⎪1 x − 3 y = 2 2 Trong thöïc haønh, khi D = 0, ta thöôøng thay vaøo heä caùc giaù trò cuï theå ⎪2 ⎩ 2 cuûa tham soá ñeå keát luaän. 1 Toùm laïi heä voâ nghieäm khi m = 3 ∨ m = . 2 71 72
  2. Ví duï 2: Ví duï 3: Ñònh m nguyeân ñeå phöông trình sau coù nghieäm nguyeân. Tìm caùc giaù trò cuûa b sao cho vôùi moïi a ∈ R , thì heä phöông trình: ⎧mx + y − 3 = 0 ⎪x + 2ay = b ⎧ ⎨ ⎨ coù nghieäm. ⎩x + my − 2m − 1 = 0 ⎪ax + (1 − a)y = b ⎩ 2 Giaûi (ÑH COÂNG ÑOAØN 1998). m1 Giaûi Ta coù : D = = m 2 − 1 = (m + 1)(m − 1) 1m 1 2a Ta coù: D = = 1 − a − 2a2 = −2a2 − a + 1 = (a + 1)(1 − 2a) 1 −3 a1 − a Dx = = −2m − 1 + 3m = m − 1 m −2m − 1 1 . D = 0 ⇔ a = −1 ∨ a = −3 m 2 Dy = = −3 + 2m 2 + m = 2m 2 + m − 3 = (m − 1)(2m + 3) −2m − 1 1 ⎪ x − 2y = b ⎧ ⎪x − 2y = b ⎧ + a = -1 : heä ⇔ ⎨ 2 ⇔⎨ 2 Heä coù nghieäm. TH1: D ≠ 0 ⇔ m ≠ ±1: nghieäm heä. ⎪ −x + 2y = b ⎩ ⎪x − 2y = − b ⎩ ⎧ Dx m −1 1 ⇔ b = − b2 ⇔ b(b + 1) = 0 ⇔ b = 0 ∨ b = −1 ⎪x = D = (m + 1)(m − 1) = m + 1 ⎪ ⎧x + y = b ⎨ 1 ⎪ ⎪x + y = b ⎧ ⎪y = D y = (m − 1)(2m + 3) = 2m + 3 = 2 + 1 + a= : Heä ⇔ ⎨ 1 1 2 ⇔⎨ 2 Heä coù nghieäm. ⎪ 2 ⎪2 x + 2 y = b ⎪x + y = 2b ⎩ ⎩ D (m + 1)(m − 1) m +1 m +1 ⎩ 1 2 1 x ∈ z vaø y ∈ z ⇔ ∈ z ⇔ m + 1 laø öôùc soá cuûa 1 ⇔ b = 2b ⇔ b(2b − 1) = 0 ⇔ b = 0 ∨ b = m +1 2 ⎡m + 1 = 1 ⎡m = 0 1 nghóa laø: ⎢ ⇔⎢ . D ≠ 0 ⇔ a ≠ −1 ∧ a ≠ thì heä cho coù nghieäm vôùi ∀b . ⎣ m + 1 = −1 ⎣ m = −2 2 TH 2: D = D ⇔ m = ±1 Toùm laïi vôùi b = 0 thì heä cho coù nghieäm ∀a ∈ R . Ví duï 4 : ⎧x + y − 3 = 0 ⎧x = t ∈ z . m = 1 : Heä ⇔ ⎨ ⇒ heä coù nghieäm nguyeân ⎨ ⎪ax + y = b ⎧ ⎩x + y − 3 = 0 ⎩y = 3 − t Cho heä phöông trình : ⎨ 2 ⎪x + ay = c + c ⎩ ⎧−x + y − 3 = 0 . m = - 1 : Heä ⇔ ⎨ Heä voâ nghieäm ⇒ m = −1 loaïi 1. Vôùi b = 0, haõy giaûi vaø bieän luaän heä theo a vaø c ⎩x − y + 1 = 0 2. Tìm b ñeå vôùi moïi a, ta luoân tìm ñöôïc c sao cho heä coù nghieäm. Toùm laïi: m = 1, m = 0, m = - 2 Giaûi 1. Giaûi vaø bieän luaän theoa vaø c: ⎪ax + y = 0 ⎧ ⎪y = −ax ⎧ b = 0 : heä ⇔ ⎨ 2 ⇔⎨ 2 ⎪x + ay = c + c ⎪x + a(−ax) = c + c ⎩ ⎩ 73 74
  3. ⎧y = −ax ⎪ (1) Ví duï 5: ⇔⎨ 2 2 ⎪(1 − a )x = c + c (2) ⎧ax + by = c ⎩ ⎪ Giaû söû heä phöông trình : ⎨ bx + cy = a c2 + c ⎛ c2 + c ⎞ ⎪cx + ay = b * 1 − a2 ≠ 0 :⇔ a ≠ ±1: Heä coù nghieäm: x = ; y = −a ⎜ 1 − a2 ⎜ 1 − a2 ⎟ ⎟ ⎩ ⎝ ⎠ Coù nghieäm. Chöùng minh raèng: a3 + b3 + c3 = 3abc * 1 − a2 = 0 ⇔ a = ±1: (2) ⇔ 0x = c2 + c Giaûi + Neáu c2 + c ≠ 0 ⇔ c ≠ 0 vaø c ≠ −1: (2)VN ⇒ heä VN Goïi (x 0 ,y 0 ) laø nghieäm cuûa heä : + Neáu c2 + c = 0 ⇔ c = 0 ∨ c = −1: (2) ⇔ 0x = 0 ⇒ Heä coù ⎧ 2 2 ⎧xa0 + by 0 = c ⎪a bx 0 + ab y 0 = abc ⎧x = t ∈ R ⎪ ⎪ 2 2 nghieäm: ⎨ ⎨ bx 0 + cy 0 = a ⇒ ⎨ b cx 0 + bc y 0 = abc ⎩y = −at ⎪cx + ay = b ⎪ 2 2 ⎩ 0 0 ⎪ac x 0 + a cy 0 = abc ⎩ ⎧x = t ∈ R ⎧x = t ∈ R a =1⇒ ⎨ a = −1 ⇒ ⎨ ⇒ a2 (bx 0 + cy 0 ) + b2 (ay 0 + cx 0 ) + c2 (by 0 + ax 0 ) = 3abc ⎩y = −t ⎩y = t 2. Tìm b. ⇔ a3 + b3 + c3 = 3abc. (Ñpcm). ⎧ax + y = b ⎪ ⎧y = −ax + b ⎪ III. BAØI TAÄP ÑEÀ NGHÒ Ta coù : ⎨ 2 ⇔⎨ 2 ⎪x + ay = c + c ⎪x + a(−ax + b) = c + c ⎩ ⎩ ⎧(a2 − 1)x + (a − 1)y = a3 − 1 ⎪ ⎧y = −ax + b ⎪ 1.1. Giaûi vaø bieän luaän heä: ⎨ ⇔⎨ 2 2 2 3 ⎪(a + 1)x(a + 1)y = a + 1 ⎩ ⎪(1 − a )x + ab − (c + c) = 0 (*) ⎩ Heä coù nghieäm ⇔ (*) coù nghieäm. 1.2. Ñònh m vaø n ñeå hai heä phöông trình sau cuøng voâ nghieäm. + Neáu 1 − a2 ≠ 0 ⇔ a ≠ ±1: (*) coù nghieäm duy nhaát ⇒ Heä phöông trình ⎧(m + 1)x + (2n + 1)y = 5n − 1 ⎧(m + 1)x + my = n (I) ⎨ vaø (II) ⎨ cho coù nghieäm ∀b. ⎩(m − 1)x + ny = 2 ⎩3x + (4 − n)y = 2n − 1 + Neáu a = 1: (*) ⇔ c2 + c − b = 0x, ñeå coù nghieäm c2 + c − b = 0, thì ta 1 ⎧mx + y = 2m phaûi coù ñieàu kieän ñeå coù ñöôïc c : ∆ = 1 + 4b ≥ 0 ⇔ b ≥ − 1.3. Cho heä phöông trình : ⎨ 4 ⎩x + my = m + 1 + Neáu a = - 1: (*) ⇔ c + c + b = 0x vaø coù nghieäm khi c2 + c + b = 0 2 a. Ñònh m ñeå heä coù nghieäm duy nhaát. Tìm heä thöùc ñoäc laäp giöõa caùc 1 nghieäm. ñeå tìm ñöôïc c ta phaûi coù: ∆ = 1 − 4b ≥ 0 ⇔ b ≤ . 4 b. Ñònh m nguyeân ñeå nghieäm duy nhaát cuûa heä laø nghieäm nguyeân. 1 1 Vaäy ñeå ∀a , ta luoân tìm ñöôïc c sao cho heä coù nghieäm thì : − ≤ b ≤ . 4 4 75 76
  4. Höôùng daãn vaø giaûi toùm taét ⇒ (x − 1)(x − 2) = y(y − 1) laø heä thöïc ñoäc laäp giöõa caùc nghieäm. b. Dx = 2m 2 − m − 1, D y = m(m − 1) 2 2 1.1. D = −2(a − 1), D x = −2a(a − 1), D y = −2a (a − 1) ⎧ ⎧ Dx ⎪ m ∈ z,m ≠ ±1 ⎪x = = a(a + 1) ⎪ ⎧m ∈ z,m ≠ ±1 ⎪ D ⎪ 1 ⎪ . a ≠ 1: nghieäm ⎨ YCBT ⇔ ⎨ x = 2 − ∈z ⇔ ⎨ 1 ⎪y = Dy ⎪ m +1 ⎪m +1∈z = a2 ⎪ 1 ⎩ ⎪ ⎩ D ⎪ y =1− ∈z ⎧ 0x + 0y = 0 ⎧x ∈ R ⎩ m +1 . a = 1: Heä ⇔ ⎨ ⇔⎨ ⎧ m ∈ z,m ≠ ±1 ⎩x + y = 1 ⎩y = 1 − x ⇔⎨ ⇔ m = 0 ∨ m = −2 ⎩ m + 1 = 1 ∨ m + 1 = −1 1.2. D I = − mn + 3n − m + 1 D II = − m 2 + 4 Ñeå 2 heä cuøng voâ nghieäm, tröôùc tieân ta phaûi coù: ⎧DI = 0 ⎧− mn + 3n − m + 1 = 0 (1) ⎪ ⎨ ⇔⎨ 2 ⎩ D II = 0 ⎪−m + 4 = 0 ⎩ (2) (2) ⇔ m = ±2 . m = 2: (1) ⇔ n = 1 3 . m = - 2 : (1) ⇔ n = − 5 ⎧3x + 2y = 1 Thöû laïi: Vôùi m = 2, n = 1: thay vaøo heä (II): ⎨ ⎩3x + 2y = 1 ⇒ heä coù voâ soá nghieäm (loaïi) 3 . m = - 2, n = − theá vaøo heä (I) vaø heä (II) ta coù: 5 3 2 heä cuøng VN. ⇒ m = −2, n = − (nhaän). 5 1.3. a. D = m 2 − 1 Heä coù nghieäm duy nhaát ⇔ D ≠ 0 ⇔ m ≠ ±1 Goïi x vaø y laø nghieäm cuûa heä, ta coù: ⎧mx + y = 2m ⎧m(x − 2) = − y ⎨ ⇔⎨ ⎩x + my = m + 1 ⎩x − 1 = − m(y − 1) 77 78

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản