Tài liệu toán " Hệ phương trình đối xứng loại 2 "

Chia sẻ: Phạm Hùng Vĩ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:3

0
1.462
lượt xem
324
download

Tài liệu toán " Hệ phương trình đối xứng loại 2 "

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'tài liệu toán " hệ phương trình đối xứng loại 2 "', tài liệu phổ thông phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Tài liệu toán " Hệ phương trình đối xứng loại 2 "

  1. 25 25 Baøi 3: Khi a > . Vaäy khi a > heä coù 1 nghieäm duy nhaát: x = y = 0 4 4 HEÄ PHÖÔNG TRÌNH ÑOÁI XÖÙNG LOAÏI 2 Ví duï 2: Chöùng minh raèng heä phöông trình sau coù nghieäm duy nhaát: I. KIEÁN THÖÙC CAÀN NHÔÙ. ⎧ 2 a2 ⎪2x = y + ⎧f(x,y) = 0 ⎪ y 1. Daïng: ⎨ (I) ⎨ (a ≠ 0) ⎩f(y,x) = 0 ⎪ 2 a2 ⎪2y = x + x ⎩ 2. Caùch giaûi: Ta thöôøng bieán ñoåi veà heä töông ñöông: ⎧f(x,y) − f(y,x) = 0 ⎧f(x,y) − f(y,x) = 0 Giaûi ⎨ ∨⎨ Ñieàu kieän x > 0, y > 0 ⎩f(x,y) = 0 ⎩f(x,y) + f(y,x) = 0 ⎧ 2 2 ⎪2x y = y + a 2 ⎪2x 2 y = y2 + a2 ⎧ Heä (I) ⇔ ⎨ ⇔⎨ II. CAÙC VÍ DUÏ 2 2 ⎪2y x = x + a 2 ⎩(x − y)(2xy + x + y) = 0 ⎪ ⎩ Ví duï 1: ⎧x = y ⎪ Haõy xaùc ñònh a ñeå heä sau ñaây coù nghieäm duy nhaát: ⇔⎨ 3 2 2 (*) ⎪2x − x = a ⎩ ⎧y2 = x3 − 4x 2 + ax (1) ⎪ ⎨ 2 1 3 2 Ñaët f(x) = 2x3 − x 2 ⇒ f '(x) = 6x 2 − 2x ; f '(x) = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = ⎪x = y − 4y + ay (2) ⎩ 3 (ÑH Quoác Gia TPHCM Khoái A naêm 1996) Baûng bieán thieân: 2 2 (1) - (2): (x − y) ⎡ x + y + xy − 4(x + y) + a + y + x ⎤ = 0 ⎣ ⎦ ⇔ y = x ∨ x 2 + y2 + xy − 3(x + y) + a = 0 * x = y : (1) ⇔ x3 − 5x 2 + ax = 0 ⇔ x(x 2 − 5x + a) = 0 ⇔ x = 0 ∨ f(x) = x 2 − 5x + a = 0 (1) ⎧∆ = 0 Ñeå chæ coù moät nghieäm duy nhaát, (1) phaûi coù: ⎨ ∨∆<0 ⎩f(0) = 0 Do (*) coù nghieäm duy nhaát, Baûng bieán thieân ⇒ (I) coù nghieäm duy ⎧∆ = 0 nhaát. ⎨ ⎩f(0) = 0VN 25 ∆ < 0 ⇔ 25 − 4a < 0 ⇔ a > 4 * x + y + xy − 3(x + y) + a = 0 ⇔ y2 + (x − 3)y + (x 2 − 3x + a) = 0 2 2 ∆ = (x − 3)2 − 4(x 2 − 3x + a) = −3x 2 + 6x + 9 − 4a = −3(x − 1)2 + (12 − 4a) < 0 86 87
  2. Ví duï 3: Höôùng daãn vaø giaûi toùm taét ⎧x3 = y2 + 7x 2 − mx ⎪ Ñònh m ñeå heä phöông trình: ⎨ 3 2 2 ⎧x3 = 2x + y (1) ⎪ ⎪y = x + 7y − my ⎩ 3.1. ⎨ 3 Coù nghieäm duy nhaát: ⎪y = 2y + x (2) ⎩ Giaûi (1) – (2): x3 − y3 = x − y ⇔ (x − y)(x 2 + y2 + xy − 1) = 0 Ta nhaän thaáy x = 0, y = 0 laø nghieäm cuûa heä. ⎡x = y Vaø neáu (x, y) laø nghieäm cuûa heä thì (y, x) cuõng laø nghieäm cuûa heä. Vaäy ⇔⎢ 2 2 ñeå heä coù nghieäm duy nhaát laø x = y. ⎢ x + y + xy − 1 = 0 ⎣ ⇒ phöông trình : x 3 − x 2 − 7x 2 + mx = 0 ⇔ x 3 − 8x 2 + mx = 0 coù Heä ñaõ cho töông ñöông vôùi: nghieäm duy nhaát. ⎪x = y ⎧ ⎧ 2 2 ⎪x + y + xy − 1 = 0 (I) ⎨ 3 ∨ (II) ⎨ x3 − 8x 2 + mx = 0 ⇔ x(x 2 − 8x + m) = 0 (*) ⎪ x = 2x + y ⎩ 3 3 ⎪x + y = 3(x + y) ⎩ ⎡x = 0 ⇔⎢ 2 ⎧x = 0 ⎧x = 3 ⎧x = − 3 ⎪ ⎪ ⎢ x − 8x + m = 0 (**) Giaûi (I) : ⎨ ∨⎨ ∨⎨ ⎣ ⎩y = 0 ⎪y = 3 ⎪y = − 3 ⎩ ⎩ Ñeå (*) coù nghieäm duy nhaát ⇔ (*) coù nghieäm x = 0 vaø (**) VN ⎧(x + y)2 − xy − 1 = 0 ⇔ ∆ ' = 16 − m < 0 ⇔ m > 16 . ⎪ Giaûi (II) : (II) ⇔ ⎨ 2 ⎡ ⎤ ⎪(x + y) ⎣(x + y) − 3xy ⎦ = 3(x + y) III. BAØI TAÄP ÑEÀ NGHÒ. ⎩ ⎧s2 − p − 1 = 0 ⎪ ⎪s = 0 ⎧ ⎧2 ⎪s = p + 1 ⎛s = x + y⎞ ⎧x3 = 2x + y ⎪ ⇔⎨ ⇔⎨ 2 ∨⎨ VN ⎜ ⎟ 3.1. Giaûi heä phöông trình: ⎨ 2 2 ⎪s(s − 3p) = 3s ⎪s − 1 = p ⎪s = 3p + 3 ⎩ ⎝ p = xy ⎠ 3 ⎩ ⎩ ⎪y = 2y + x ⎩ ⎧s = 0 ⎧x = 1 ⎧x = −1 ⇔⎨ ⇔⎨ ∨⎨ 3.2. Ñònh m ñeå heä phöông trình sau coù nghieäm duy nhaát : ⎩ p = −1 ⎩ y = −1 ⎩y = 1 ⎧ x2 + 2 + y = m Ñaùp Soá: (0,0) , ( 3, 3), (1, −1),(−1,1),(− 3, − 3) ⎪ ⎨ ⎪ y2 + 2 + x = m ⎩ ⎧ x 2 + 2 + y = m Neáu heä coù nghieäm (x ,y )thì cuõng coù ⎪ 0 0 3.2. ⎨ 2 ⎪ y + 2 + x = m nghieäm (− x 0 , − y 0 ),(y 0 ,x 0 ),(− y 0 , − x 0 ) ⎧x(3 − 4y2 ) = m(3 − 4m 2 ) ⎪ ⎩ 3.3. Giaûi vaø bieän luaän heä : ⎨ Vaäy ñieàu kieän ñeå heä coù nghieäm duy nhaát laø x 0 = y 0 = 0 theá vaøo heä ta 2 2 ⎪y(3 − 4x ) = m(3 − 4m ) ⎩ ñöôïc m = 2 . Thöû laïi: m = 2 ⎧ x2 + 2 + y = 2 ⎪ ⎨ ⎪ x2 + 2 + x = 2 ⎩ 88 89
  3. ⎧ x2 + 2 > 2 ⎪ . Neáu x ≠ 0 : ⎨ VN ⎪y ≥0 ⎩ ⎧ y2 + 2 > 2 ⎪ . Neáu y ≠ 0 : ⎨ VN ⎪x ≥0 ⎩ Vaäy x = y = 0 laø nghieäm khi m = 2 . ⎧x(3 − 4y2 ) = m(3 − 4m 2 ) (1) ⎪ 3.3. ⎨ 2 2 ⎪y(3 − 4x ) = m(3 − 4m ) (2) ⎩ (1) – (2): (x - y) (3 + 4xy) = 0 TH 1: x = y : (1) ⇔ 4x 2 − 3x + 3m − 4m 3 = 0 ⇔ (x − m)(4x 2 + 4mx − 3 + 4m) = 0 ⎡x = m ⇔⎢ 2 2 ⎣ 4x + 4m − 3 + 4m = 0 (3) ∆ ' = 4(m 2 − 4m + 3) . m ≤ 1 ∨ m ≥ 3 : phöông trình (3) coù 2 nghieäm x1 ,x 2 ⇒ heä coù 3 nghieäm. m . m = 1 ∨ m = 3 : Phöông trình (3) coù nghieäm keùp: x1 = x 2 = − ⇒ heä 2 coù 2 nghieäm. 3 TH 2: 3 + 4yx = 0 ⇔ xy = − . 4 Maët khaùc (1) + (2): 3(x + y) − 4xy 2 − 4x 2 y = 2m(3 − 4m 2 ) ⇔ (x + y)(3 − 4xy) = 2m(3 − 4m 2 ) m(3 − 4m 2 ) ⇒x+y= 3 m(3 − 4m 2 ) 3 ⇒ x,y laø nghieäm phöông trình: t 2 − t− =0 3 4 giaûi töông töï nhö treân. 90
Đồng bộ tài khoản