Tài liệu toán " Hệ phương trình đối xứng loại 2 "

Chia sẻ: phv1901

Tham khảo tài liệu 'tài liệu toán " hệ phương trình đối xứng loại 2 "', tài liệu phổ thông phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Nội dung Text: Tài liệu toán " Hệ phương trình đối xứng loại 2 "

25 25
Baøi 3: Khi a > . Vaäy khi a > heä coù 1 nghieäm duy nhaát: x = y = 0
4 4
HEÄ PHÖÔNG TRÌNH ÑOÁI XÖÙNG LOAÏI 2 Ví duï 2:
Chöùng minh raèng heä phöông trình sau coù nghieäm duy nhaát:
I. KIEÁN THÖÙC CAÀN NHÔÙ. ⎧ 2 a2
⎪2x = y +
⎧f(x,y) = 0 ⎪ y
1. Daïng: ⎨ (I) ⎨ (a ≠ 0)
⎩f(y,x) = 0 ⎪ 2 a2
⎪2y = x + x

2. Caùch giaûi: Ta thöôøng bieán ñoåi veà heä töông ñöông:
⎧f(x,y) − f(y,x) = 0 ⎧f(x,y) − f(y,x) = 0 Giaûi
⎨ ∨⎨ Ñieàu kieän x > 0, y > 0
⎩f(x,y) = 0 ⎩f(x,y) + f(y,x) = 0
⎧ 2 2
⎪2x y = y + a
2
⎪2x 2 y = y2 + a2

Heä (I) ⇔ ⎨ ⇔⎨
II. CAÙC VÍ DUÏ 2 2
⎪2y x = x + a
2
⎩(x − y)(2xy + x + y) = 0


Ví duï 1: ⎧x = y

Haõy xaùc ñònh a ñeå heä sau ñaây coù nghieäm duy nhaát: ⇔⎨ 3 2 2
(*)
⎪2x − x = a

⎧y2 = x3 − 4x 2 + ax (1)

⎨ 2 1
3 2 Ñaët f(x) = 2x3 − x 2 ⇒ f '(x) = 6x 2 − 2x ; f '(x) = 0 ⇔ x = 0 ∨ x =
⎪x = y − 4y + ay (2)
⎩ 3
(ÑH Quoác Gia TPHCM Khoái A naêm 1996) Baûng bieán thieân:
2 2
(1) - (2): (x − y) ⎡ x + y + xy − 4(x + y) + a + y + x ⎤ = 0
⎣ ⎦
⇔ y = x ∨ x 2 + y2 + xy − 3(x + y) + a = 0
* x = y : (1) ⇔ x3 − 5x 2 + ax = 0 ⇔ x(x 2 − 5x + a) = 0
⇔ x = 0 ∨ f(x) = x 2 − 5x + a = 0 (1)
⎧∆ = 0
Ñeå chæ coù moät nghieäm duy nhaát, (1) phaûi coù: ⎨ ∨∆
4
* x + y + xy − 3(x + y) + a = 0 ⇔ y2 + (x − 3)y + (x 2 − 3x + a) = 0
2 2

∆ = (x − 3)2 − 4(x 2 − 3x + a) = −3x 2 + 6x + 9 − 4a
= −3(x − 1)2 + (12 − 4a) < 0
86 87
Ví duï 3: Höôùng daãn vaø giaûi toùm taét
⎧x3 = y2 + 7x 2 − mx

Ñònh m ñeå heä phöông trình: ⎨
3 2 2 ⎧x3 = 2x + y (1)

⎪y = x + 7y − my
⎩ 3.1. ⎨
3
Coù nghieäm duy nhaát: ⎪y = 2y + x (2)

Giaûi (1) – (2): x3 − y3 = x − y ⇔ (x − y)(x 2 + y2 + xy − 1) = 0
Ta nhaän thaáy x = 0, y = 0 laø nghieäm cuûa heä.
⎡x = y
Vaø neáu (x, y) laø nghieäm cuûa heä thì (y, x) cuõng laø nghieäm cuûa heä. Vaäy ⇔⎢ 2 2
ñeå heä coù nghieäm duy nhaát laø x = y. ⎢ x + y + xy − 1 = 0

⇒ phöông trình : x 3 − x 2 − 7x 2 + mx = 0 ⇔ x 3 − 8x 2 + mx = 0 coù Heä ñaõ cho töông ñöông vôùi:
nghieäm duy nhaát. ⎪x = y
⎧ ⎧ 2 2
⎪x + y + xy − 1 = 0
(I) ⎨ 3 ∨ (II) ⎨
x3 − 8x 2 + mx = 0 ⇔ x(x 2 − 8x + m) = 0 (*) ⎪ x = 2x + y

3 3
⎪x + y = 3(x + y)

⎡x = 0
⇔⎢ 2 ⎧x = 0 ⎧x = 3 ⎧x = − 3
⎪ ⎪
⎢ x − 8x + m = 0 (**) Giaûi (I) : ⎨ ∨⎨ ∨⎨
⎣ ⎩y = 0 ⎪y = 3 ⎪y = − 3
⎩ ⎩
Ñeå (*) coù nghieäm duy nhaát ⇔ (*) coù nghieäm x = 0 vaø (**) VN
⎧(x + y)2 − xy − 1 = 0
⇔ ∆ ' = 16 − m < 0 ⇔ m > 16 . ⎪
Giaûi (II) : (II) ⇔ ⎨ 2
⎡ ⎤
⎪(x + y) ⎣(x + y) − 3xy ⎦ = 3(x + y)
III. BAØI TAÄP ÑEÀ NGHÒ. ⎩
⎧s2 − p − 1 = 0
⎪ ⎪s = 0
⎧ ⎧2
⎪s = p + 1 ⎛s = x + y⎞
⎧x3 = 2x + y
⎪ ⇔⎨ ⇔⎨ 2 ∨⎨ VN ⎜ ⎟
3.1. Giaûi heä phöông trình: ⎨ 2 2
⎪s(s − 3p) = 3s ⎪s − 1 = p ⎪s = 3p + 3
⎩ ⎝ p = xy ⎠
3 ⎩ ⎩
⎪y = 2y + x

⎧s = 0 ⎧x = 1 ⎧x = −1
⇔⎨ ⇔⎨ ∨⎨
3.2. Ñònh m ñeå heä phöông trình sau coù nghieäm duy nhaát : ⎩ p = −1 ⎩ y = −1 ⎩y = 1
⎧ x2 + 2 + y = m Ñaùp Soá: (0,0) , ( 3, 3), (1, −1),(−1,1),(− 3, − 3)


⎪ y2 + 2 + x = m
⎩ ⎧ x 2 + 2 + y = m Neáu heä coù nghieäm (x ,y )thì cuõng coù
⎪ 0 0
3.2. ⎨
2
⎪ y + 2 + x = m nghieäm (− x 0 , − y 0 ),(y 0 ,x 0 ),(− y 0 , − x 0 )
⎧x(3 − 4y2 ) = m(3 − 4m 2 )
⎪ ⎩
3.3. Giaûi vaø bieän luaän heä : ⎨ Vaäy ñieàu kieän ñeå heä coù nghieäm duy nhaát laø x 0 = y 0 = 0 theá vaøo heä ta
2 2
⎪y(3 − 4x ) = m(3 − 4m )

ñöôïc m = 2 . Thöû laïi: m = 2
⎧ x2 + 2 + y = 2


⎪ x2 + 2 + x = 2


88 89
⎧ x2 + 2 > 2

. Neáu x ≠ 0 : ⎨ VN
⎪y ≥0

⎧ y2 + 2 > 2

. Neáu y ≠ 0 : ⎨ VN
⎪x ≥0

Vaäy x = y = 0 laø nghieäm khi m = 2 .

⎧x(3 − 4y2 ) = m(3 − 4m 2 ) (1)

3.3. ⎨
2 2
⎪y(3 − 4x ) = m(3 − 4m ) (2)

(1) – (2): (x - y) (3 + 4xy) = 0
TH 1: x = y : (1) ⇔ 4x 2 − 3x + 3m − 4m 3 = 0
⇔ (x − m)(4x 2 + 4mx − 3 + 4m) = 0
⎡x = m
⇔⎢ 2 2
⎣ 4x + 4m − 3 + 4m = 0 (3)
∆ ' = 4(m 2 − 4m + 3)
. m ≤ 1 ∨ m ≥ 3 : phöông trình (3) coù 2 nghieäm x1 ,x 2 ⇒ heä coù 3 nghieäm.
m
. m = 1 ∨ m = 3 : Phöông trình (3) coù nghieäm keùp: x1 = x 2 = − ⇒ heä
2
coù 2 nghieäm.
3
TH 2: 3 + 4yx = 0 ⇔ xy = − .
4
Maët khaùc (1) + (2): 3(x + y) − 4xy 2 − 4x 2 y = 2m(3 − 4m 2 )
⇔ (x + y)(3 − 4xy) = 2m(3 − 4m 2 )
m(3 − 4m 2 )
⇒x+y=
3
m(3 − 4m 2 ) 3
⇒ x,y laø nghieäm phöông trình: t 2 − t− =0
3 4
giaûi töông töï nhö treân.



90
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản