intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE

Tập đề cương bài giảng học phần Hình học cao cấp - Bùi Thị Thanh Thủy

Chia sẻ: Nguyễn Thị Ngọc Anh | Ngày: | Loại File: DOCX | Số trang:62

704
lượt xem
120
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tập đề cương bài giảng học phần Hình học cao cấp (Phần bài tập) hướng dẫn các bạn giải những bài tập hình học cao cấp, mời các bạn cùng tham khảo và học tốt.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Tập đề cương bài giảng học phần Hình học cao cấp - Bùi Thị Thanh Thủy

  1. MỤC LỤC NỘI DUNG Trang LỜI NÓI ĐẦU 1 BÀI TẬP CHƯƠNG I 2 Bài tập chương I 2 Lời giải, đáp số, hướng dẫn bài tập chương I 4 BÀI TẬP CHƯƠNG II 7 Bài tập chương II 7 Lời giải, đáp số, hướng dẫn bài tập chương II 15 BÀI TẬP CHƯƠNG III 34 Bài tập chương III 34 Lời giải, đáp số, hướng dẫn bài tập chương III 40 BÀI TẬP CHƯƠNG IV 48 Bài tập chương IV 48 Lời giải, đáp số, hướng dẫn bài tập chương IV 51 TÀI LIỆU THAM KHẢO 60 1
  2. LỜI NÓI ĐẦU Tập đề cương bài giảng học phần Hình học cao cấp (Phần bài tập) được viết dựa trên cuốn giáo trình Hình học cao cấp của tác giả Văn Như Cương (giáo trình CĐSP – NXB Giáo dục 2004). Cuốn giáo trình gồm 5 chương lí thuyết với phần đề bài tập không có hướng dẫn giải. Học phần Hình học cao cấp học ở kì V của chương trình đào tạo Cao đẳng Sư phạm Toán với thời lượng 75 tiết (45 tiết lí thuyết và 30 ti ết bài t ập). Khối lượng lí thuyết của học phần tương đối nặng và lượng bài tập là khá lớn. Hiện tại cũng chưa có một cuốn giáo trình bài tập hình học cao cấp dành cho chương trình đào tạo Cao đẳng Sư phạm. Vì v ậy vi ệc ph ần bài tập không có hướng dẫn giải là một khó khăn rất lớn đối với không chỉ sinh viên mà cả giảng viên nhất là các giảng viên trẻ. Vì vậy, tôi đã mạnh dạn viết phần bài tập hình học cao cấp với vi ệc bổ sung thêm m ột số bài tập và phần hướng dẫn, đáp số, gợi ý tùy vào mức độ khó, d ễ c ủa bài tập. Hy vọng cuốn đề cương bài giảng sẽ là một tài liệu tham khảo giúp cho sinh viên thuận lợi hơn trong việc học tập không chỉ theo chương trình đào tạo Cao đẳng sư phạm Toán theo niên chế mà cả theo học chế tín chỉ. Chắc chắn cuốn đề cương bài giảng sẽ còn thiếu sót, kính mong các thầy cô và các bạn sinh viên cùng đóng góp ý ki ến đ ể cu ốn đ ề c ương bài giảng ngày càng hoàn thiện hơn. Xin cảm ơn các thầy cô và các bạn! 2
  3. TÁC GIẢBÀI TẬP CHƯƠNG I A. Mục tiêu: Bài tập chương này nhằm mục đích: - Giúp sinh viên có cái nhìn về lịch sử phát triển hình học. Vai trò của tiên đề V của Ơ-clit đối với sự phát triển của hình học. Hiểu được phương pháp tiên đề để xây dựng hình học, mô hình của một hệ tiên đề, vai trò của toán học cao cấp trong việc nghiên cứu hình h ọc. Sinh viên hiểu được việc xây dựng hình học cũng như một số lí thuyết Toán h ọc đã biết bằng phương pháp tiên đề. - Sinh viên biết vận dụng lí thuyết để đưa ra một số mô hình đơn giản. - Sinh viên thảo luận để tự đưa ra một số hệ tiên đề đơn giản và tìm cho các hệ tiên đề đó những mô hình cụ thể. B. Mô tả nội dung: Bài tập chương I bao gồm 3 vấn đề sau: - Sơ lược lịch sử hình học. - Phương pháp tiên đề - Một số hệ tiên đề của hình học Ơ-clit ba chiều. C. Nội dung cụ thể: I. Bài tập Bài 1. Xét hệ tiên đề H sau: + Khái niệm cơ bản: “điểm” và “đi trước”. + Tiên đề: 1) Không điểm nào đi trước chính nó 2) Nếu điểm A đi trước điểm B, điểm B đi trước điểm C thì A đi trước điểm C. Nêu ra một vài mô hình của H. Bài 2. Nêu ra một vài mô hình của hệ tiên đề H đã nói trong phần lí thuyết. Tìm một mô hình của hệ tiên đề H sao cho mô hình đó có đúng n vectơ, với n là số nguyên dương cho trước. Bài 3. Hệ tiên đề K gồm: + Khái niệm cơ bản: điểm, đường, quan hệ thuộc. + Các tiên đề: 1) Có ít nhất một điểm. 2) Qua hai điểm phân biệt có không quá một đường. 3) Mỗi đường có ba điểm phân biệt. 4) Mỗi điểm nằm trên ba đường phân biệt. a. Chứng minh các định lí: 1) Hai đường phân biệt có không quá một điểm chung. 3
  4. 2) Có ít nhất là bảy điểm, có ít nhất là bảy đường. b. Xây dựng mô hình của K gồm bảy điểm, bảy đường hoặc chín điểm, chín đường. Bài 4. Hệ tiên đề P gồm: + Khái niệm cơ bản: điểm, đường thẳng, điểm thuộc đường thẳng. + Các tiên đề: 1) Bất kì hai điểm phân biệt nào đều thuộc một và ch ỉ m ột đường thẳng. 2) Bất kì hai đường thẳng phân biệt nào đều chỉ thuộc một và chỉ một điểm. 3) Có ít nhất bốn điểm trong đó bất kì ba điểm nào cũng không thuộc cùng một đường thẳng. a. Hãy xây dựng các mô hình của P. Ch ứng tỏ rằng hệ tiên đ ề P phi mâu thuẫn nếu số học phi mâu thuẫn. b. Hãy chứng tỏ rằng tiên đề 3) là độc lập. c. Chứng minh hệ tiên đề P không đầy đủ. Bài 5. Tìm một mô hình cụ thể của hình học Lôbasepxki phẳng. Bài 6. Hãy dùng hệ tiên đề của hình học phẳng ở trường phổ thông để chứng minh các định lí sau: a. Có ít nhất ba điểm không thẳng hàng. b. Cho bốn điểm A, B, C, D phân biệt và thẳng hàng. Chứng minh rằng nếu C nằm giữa A và B, còn D nằm giữa B và C thì D n ằm giữa A và B còn C nằm giữa A và D. c. Định lí Pasch (tức tiên đề Pasch trong hệ tiên đề của Hilbert). Bài 7. Hãy dùng hệ tiên đề của hình học không gian ở trường phổ thông để chứng minh các định lí sau: a. Ngoài mặt phẳng cho trước còn có nhiều điểm khác. b. Cho mặt phẳng (P) và ba điểm phân biệt A, B, C không n ằm trên (P). Nếu mặt phẳng (P) cắt đoạn thẳng AB thì nó còn cắt đoạn thẳng BC hoặc đoạn thẳng CA. c. Định lí về việc mỗi mặt phẳng chia không gian thành hai n ửa không gian (tương tự như mỗi đường thẳng trong mặt phẳng chia mặt phẳng đó thành hai nửa mặt phẳng). Hãy phát biểu định lí và chứng minh. d. Chứng minh các trường hợp bằng nhau của hai tam giác bất kì trong không gian (chú ý rằng định nghĩa hai tam giác bằng nhau được mở rộng trong trường hợp hai tam giác nằm trong hai mặt phẳng khác nhau, còn tiên đề 12 chỉ nói về hai tam giác cùng nằm trong mặt phẳng) 4
  5. Bài 8. Hãy dùng tiên đề 12 của hình học phẳng (tức là không dùng tiên đ ề 13 về hai đường song song) để chứng minh định lí sau: a. Góc ngoài tam giác lớn hơn mỗi góc trong không kề với nó. b. Nếu hai đường thẳng tạo với một cát tuyến hai góc so le trong bằng nhau thì hai đường thẳng đó song song. Bài 9. Hãy nhớ lại cách chứng minh định lí “tổng số đo góc trong mọi tam giác bằng 1800” trong sách giáo khoa phổ thông. Cách chứng minh đó ph ải dựa vào tiên đề về đường song song. Sau đây là cách chứng minh khác không dùng đến tiên đề đó: Chứng minh: ta giả thiết tổng số đo góc trong tam giác là S. Lấy tam giác bất kì ABC, ta có + + = S. Gọi D là điểm ở giữa của đoạn thẳng BC, ta có hai tam giác ABD và ACD. Từ giả thiết ta có: + + = S + + =S Suy ra: + + + + + = 2S Hay + + + 1800 = 2S, tức là S = 1800. Hãy bình luận về cách chứng minh đó. Bài 10. Cho V là không gian Ơ-clit n chiều (trên trường số thực). Hãy g ọi mỗi vectơ của V là một “điểm”, và với bất kì hai đi ểm và c ủa V ta cho tương ứng với vectơ của V. Hãy chứng minh rằng khi đó V là không gian Ơ-clit n chiều. II. Lời giải, đáp số, hướng dẫn bài tập chương I Bài 1. + Mô hình 1: “Điểm” là những điểm thông thường trên một đường thẳng nằm ngang và “đi trước” là “ở bên trái”. + Mô hình 2: “Điểm” là những “số nguyên” và “đi trước” là “lớn hơn”. Bài 2. Mô hình của hệ tiên đề H: + Vectơ: số nguyên bất kì, phép cộng là phép cộng hai số nguyên. Ta dễ dàng kiểm tra thỏa mãn các tiên đề của hệ tiên đề H. Bài 3. Chứng minh 1) Giả sử hai đường phân biệt có hai điểm chung phân biệt. Khi đó theo tiên đề 1) có không quá một đường (trái gi ả thi ết hai đường là phân biệt). Chứng minh 2) Theo tiên đề 1) có ít nhất 1 điểm. Gọi đi ểm đó là A. Khi đó, theo tiên đề 4) A nằm trên ba đường phân biệt, giả s ử đó là m, n, 5
  6. p. Mặt khác theo tiên đề 3) mỗi đường có ba đi ểm phân bi ệt. Gi ả s ử m ột trong ba điểm đó đều là A, thì mỗi đường còn có hai đi ểm phân bi ệt khác A. Vậy có ít nhất là bảy điểm. Lập luận tương tự ta cũng chứng minh được có ít nhất là bảy đường. Bài 4. Mô hình của P: + Điểm: đỉnh của tứ diện. + Đường thẳng: cạnh của tứ diện. + Điểm thuộc đường thẳng: đỉnh thuộc cạnh của tứ diện. Ta dễ dàng kiểm tra mô hình thỏa mãn các tiên đề của hệ P. Bài 5. (Hình 1) Mô hình của hình học Lôbasepxki phẳng – mô hình nửa ph ẳng Poincare: X X' Hình 1 + “Điểm Lôba”: cũng là điểm Ơ-clit trên mặt phẳng trừ những điểm nằm trên bờ XX’ + “Đường Lôba”: là nửa đường tròn Ơ-clit thuộc có tâm thuộc XX’ hoặc là nửa đường thẳng gốc thuộc XX’. Dễ thấy định đề phủ định của định đề 5 được thỏa mãn. Bài 6. Chứng minh a, Theo tiên đề 1, có nhiều đường thẳng, mà một đường th ẳng chứa nhiều điểm nên ta suy ra có ít nhất 2 đường thẳng phân biệt, mỗi đường thẳng có ít nhất hai điểm. Nếu hai đường thẳng không có điểm chug thì có 4 điểm. Nếu hai đường thẳng có điểm chung thì vì chúng phân biệt nên chỉ có 1 điểm chung (tiên đề 2). Vì vậy trong bốn điểm nói trên ch ỉ có th ể có hai điểm trùng nhau. Vậy có ít nhất ba điểm không thẳng hàng. 6
  7. Định lí Pasch: Trong mặt phẳng (P) cho đường thẳng a và ba điểm A, B, C không thuộc a. Nếu đường thẳng a cắt đoạn th ẳng AB thì nó c ắt đoạn thẳng AC hoặc cắt đoạn thẳng BC. Chứng minh: (Hình 2) B A a C Hình 2 Theo tiên đề 5, đường thẳng a chia mặt ph ẳng (P) thành hai n ửa mặt phẳng, một chứa điểm A, một chứa điểm B (vì đoạn thẳng AB cắt đường thẳng a). Điểm C phải thuộc một trong hai nửa m ặt ph ẳng đó nên đường thẳng a phải cắt một trong hai đoạn thẳng AC hoặc BC. Bài 7. a, Theo tiên đề 14, có ít nhất bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng, giả sử là A, B, C, D. Giả sử A, B, C thuộc mặt ph ẳng (P) nào đó. D không thuộc (P) nên đường thẳng AD chỉ có một điểm chung với (P). Mà một đường thẳng có nhiều điểm nên ngoài mặt phẳng (P) có nhiều điểm. b, Chứng minh tương tự định lí Pash trong mặt phẳng. c, Định lí: Mỗi mặt phẳng của không gian chia không gian thành hai tập điểm không rỗng, không giao nhau, sao cho: - Hai điểm A, B phân biệt thuộc cùng một tập hợp khi và ch ỉ khi đoạn thẳng AB không có điểm chung với mặt phẳng đó. - Hai điểm A, B phân biệt không thuộc cùng một tập h ợp khi và ch ỉ khi đoạn thẳng AB có điểm chung với mặt phẳng đó. Bài 10. Chứng minh: Sử dụng các tiên đề về không gian vectơ Ơ-clit. 7
  8. 8
  9. BÀI TẬP CHƯƠNG II A. Mục tiêu: Bài tập chương này nhằm mục đích rèn cho sinh viên: - Có kĩ năng trong việc dùng phương pháp tọa độ để giải các bài tập về các phép biến hình afin, phép biến hình đẳng cự, phép đồng dạng. - Sinh viên biết cách vận dụng các phép biến hình nói trên để giải các bài toán hình học trong chương trình THCS. - Tổ chức sưu tầm phân loại các bài tập hình học trong chương trình THCS giải bằng phương pháp biến hình. So sánh với phương pháp sơ cấp. B. Mô tả nội dung: Bài tập chương II bao gồm các vấn đề sau: - Phép biến hình afin - Phép đẳng cự - Phép đồng dạng. C. Nội dung cụ thể: I. Các kiến thức cơ bản cần nắm vững: 1. Định nghĩa và các tính chất của phép biến hình afin. 2. Định lí về sự xác định phép afin. 3. Biểu thức tọa độ của phép biến hình afin. 4. Định nghĩa và các tính chất của phép thấu xạ afin. 5. Định lí về phân tích một phép afin thành tích của các phép thấu xạ afin. 6. Định nghĩa và các tính chất của phép đẳng cự của m ặt ph ẳng Ơ- clit. 7. Định lí về sự xác định của phép đẳng cự, biểu thức tọa độ của phép đẳng cự. 8. Phép dời hình và phép phản chiếu. Dạng chính tắc của phép dời hình và phép phản chiếu. II. Bài tập: PHÉP BIẾN HÌNH AFIN Bài 1. Cho song ánh f: P P có tính chất: f biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng. Chứng minh: a. f biến ba điểm không thẳng hàng thành ba điểm không thẳng hàng. b. f biến đường thẳng thành đường thẳng. c. f biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song. d. f bốn đỉnh của một hình bình hành thành bốn đỉnh của một hình bình hành. e. f không làm thay đổi tỉ số đơn của ba điểm thẳng hàng. 9
  10. Bài 2. Cho phép afin f và hai điểm A, B phân biệt. Chứng minh rằng nếu f(A) = B và f(B) = A và I là trung điểm của AB thì f(I) = I. Bài 3. Cho tứ giác ABCD. Gọi f là phép afin sao cho f(A) = B và f(B) = A, f(C) = D và f(D) = C. Chứng minh: a. Nếu d là đường thẳng đi qua trung điểm AB và CD thì f biến mọi điểm của d thành chính nó. b. Tứ giác ABCD là hình thang. Bài 4. Chứng minh rằng nếu phép afin f biến mỗi đường thẳng a thành đường thẳng a’ song song hoặc trùng với a thì f là phép tịnh tiến hoặc vị tự. Bài 5. Có bao nhiêu phép afin biến một tam giác đã cho thành chính nó? Bài 6. Cho tứ giác ABCD và A’B’C’D’. Với điều kiện nào thì có phép afin f biến các đỉnh A, B, C, D lần lượt thành các đỉnh A’, B’, C’, D’. Bài 7. Ngũ giác ABCDE có tính chất: Mỗi đường chéo của ngũ giác song song với một cạnh của nó. Chứng minh rằng có phép afin biến các đỉnh A, B, C, D, E lần lượt thành các đỉnh B, C, D, E, A. Các bài tập từ 8 đến 18 được xét trong hệ tọa độ afin Bài 8. Tìm biểu thức tọa độ của phép afin biến các điểm A(1, 0), B(0,2), C(3, 0) lần lượt thành các điểm A’(2, 3), B’(1,4), C’(2, 1). Bài 9. Tìm biểu thức tọa độ của phép đảo ngược của phép afin sau: Bài 10. Xác định gf và f g biết f và g là hai phép afin: f: ; g: Bài 11. Cho phép afin: a. Tìm ảnh và tạo ảnh của đường thẳng . b. Tìm trên đường thẳng d: một điểm sao cho ảnh của nó cũng nằm trên d; một điểm sao cho tạo ảnh của nó cũng nằm trên d. c. Tìm trên đường thẳng đi qua điểm A(1, 1) sao cho ảnh của đường thẳng đó cũng đi qua A. Bài 12. Tìm điểm bất động và đường thẳng bất động (đường thẳng biến thành chính nó) của các phép afin sau: f: ; g: 10
  11. Bài 13. Chứng minh rằng nếu phép afin có điểm bất động duy nh ất thì mọi đường thẳng bất động đều đi qua điểm đó. Bài 14. Viết biểu thức tọa độ của các phép afin trong các trường hợp sau: a. Mọi điểm của trục Ox đều là điểm bất động và đi ểm (2, 6) bi ến thành điểm (1, 4). b. Mọi điểm của đường thẳng đều là điểm bất động và điểm (1, 2) biến thành điểm (2, 2). Bài 15. Viết biểu thức tọa độ của các phép afin trong các trường hợp sau: a. Các đường thẳng và biến thành chính nó, còn điểm (1, 1) biến thành điểm (2, 1). b. Các đường thẳng và lần lượt biến thành các đường thẳng và , còn điểm (6, 4) biến thành điểm (2, 1). Bài 16. Các phép afin sau có phải là phép thấu xạ hay không? N ếu có hãy chỉ rõ là thấu xạ có tỉ số hay thấu xạ trượt. a. b. c. d. e. Bài 17. Với giá trị nào của k, m, các phép biến đổi sau là phép th ấu x ạ. Khi đó hãy chỉ rõ đó là thấu xạ trượt hay thấu xạ có tỉ số. a. b. Bài 18. Chứng minh mọi phép afin biến tam giác ABC đã cho thành chính nó đều có thể phân tích thành tích của không quá hai phép thấu xạ. Bài 19. Có hay không các phép thấu xạ biến một hình bình hành ABCD đã cho thành chính nó và thỏa mãn một trong các điều kiện sau: a. Biến A thành B, D thành C. b. Biến A thành B, C thành D. c. Biến A thành C, C thành A. Bài 20. Chứng minh tập hợp các phép vị tự và các phép tịnh tiến làm thành một nhóm, tập hợp các phép tịnh tiến làm thành một nhóm. Xét quan h ệ giữa các nhóm đó với nhau và với nhóm các phép afin Af(P). Bài 21. Trong mặt phẳng Ơ-clit, hình lục giác gọi là gần đều nếu các cạnh đối diện bằng nhau và song song với đường chéo đi qua hai đ ỉnh không thuộc hai cạnh đối diện đó. Chứng minh các lục giác gần đ ều là tương đương afin. 11
  12. Bài 22. Hình H gồm một tam giác ABC nội tiếp elip (E), hình H’ g ồm m ột tam giác A’B’C’ nội tiếp elip (E’). Chứng minh hình H và H’ không t ương đương afin. Nếu có thêm giả thiết tâm elip (E) trùng với trọng tâm tam giác ABC và tâm elip (E’) trùng với trọng tâm tam giác A’B’C’ thì hình H và H’ có tương đương afin không? Bài 23. Chứng minh rằng với mỗi đường kính AB của elip (E) luôn có duy nhất đường kính CD sao cho mỗi dây cung của elip song song với một trong hai đường kính đó đều bị đường kính kia chia thành hai đoạn bằng nhau. Hai đường kính như vậy gọi là hai đường kính liên hợp của elip. a. Chứng minh khái niệm đường kính liên hợp của elip là khái ni ệm afin. b. Chứng minh tương tự đối với hypebol. Bài 24. Chứng minh các khái niệm sau là các khái niệm afin: đường bậc hai, tâm của đường bậc hai, đường tiệm cận của đường bậc hai, tiếp tuyến của đường bậc hai. Bài 25. Cho tam giác ABC nội tiếp elip (E). Gọi A’, B’, C’ lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA, AB và O là tâm của (E). Ch ứng minh các đường thẳng lần lượt đi qua A, B, C và lần lượt song song với OA’, OB’, OC’ đồng qui. Bài 26. Cho tam giác ABC nội tiếp elip (E) và một điểm M trên (E). Gọi O là tâm của (E) và A’, B’ C’ lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA, AB. Gọi A”, B”, C” là các điểm lần lượt nằm trên các cạnh BC, CA, AB sao cho MA” // OA’, MB” // OB’, MC” // OC’. Chứng minh A”, B”, C” th ẳng hàng. Bài 27. Chứng minh rằng nếu một hình bình hành nội tiếp (hoặc ngoại tiếp) elip thì tâm của hình bình hành trùng với tâm elip. Bài 28. Cho hình bình hành ABCD, hai điểm M, N lần lượt thay đổi trên hai đường thẳng AD và DC sao cho (A, D, M) = (D, C, N). Tìm qu ỹ tích giao điểm BM và AN. PHÉP ĐẲNG CỰ Bài 29. Chứng minh các phép sau đây là các phép đẳng cự của m ặt ph ẳng Ơclit: phép đối xứng trục, đối xứng tâm, tịnh tiến, quay. Bài 30. Hãy chỉ ra những phép đẳng cự biến hình vuông ABCD bất kì thành chính nó. 12
  13. Bài 31. Cho hai đường tròn (O, R) và (O’, R). Hãy ch ỉ ra nh ững phép đẳng cự biến đường tròn (O, R) thành (O’, R). Bài 32. Hãy chỉ ra những phép đẳng cự biến tam giác đều ABC b ất kì thành chính nó. Bài 33. Cho hai đoạn thẳng bằng nhau AB = A’B’. Có những phép đẳng cự nào biến A thành A’, B thành B’? Các bài toán sau được xét trong mặt phẳng với hệ tọa độ trực chuẩn Bài 34. Viết biểu thức tọa độ của các phép sau: a. Phép đối xứng qua đường thẳng Ox và đối xứng qua đường thẳng Oy. b. Phép đối xứng qua điểm I(a, b). c. Phép tịnh tiến theo vectơ (a, b). d. Phép đối xứng qua đường thẳng Ax + By + C = 0. Bài 35. Viết biểu thức tọa độ của phép đẳng cự biến điểm (1,0) thành điểm (0, 0)và điểm (0, 0) thành điểm (0, 1). Bài 36. Tìm điểm bất động của phép biến đổi đẳng cự: Bài 37. Chứng tỏ rằng rằng phép đẳng cự: là một phép đối xứng trục. Tìm trục đối xứng. Bài 38. Chứng minh các phép biến hình sau là phép đối xứng trượt. Tìm trục đối xứng và vectơ trượt: a. b. c. Bài 39. Chứng minh nếu f là một phép phản chiếu thì quỹ tích trung đi ểm của đoạn thẳng nối các cặp điểm tương ứng M và M’ = f(M) là một đường thẳng. Bài 40. Cho hai đoan thẳng AB và A’B’ bằng nhau và không song song. Hai điểm M, M’ thay đổi lần lượt trên hai đường thẳng AB và A’B’ sao cho t ỉ số kép (A, B, M) = (A’, B’, M’). Tìm quỹ tích trung đi ểm c ủa đo ạn th ẳng MM’. 13
  14. Bài 41. Cho hai đoạn thẳng bằng nhau AB và A’B’ và không song song. Hãy xác định tâm quay và góc quay của phép quay biến A thành A’, bi ến B thành B’. Bài 42. Cho phép quay Q1 có tâm quay O1, góc quay và phép quay Q2 có tâm quay O2, góc quay . Tìm Q2Q1 trong các trường hợp sau: a. O1 và O2 trùng nhau. b. O1 và O2 không trùng nhau và + k.3600. c. O1 và O2 không trùng nhau và + = k.3600. Bài 43. Chứng minh tích của phép tịnh tiến và phép quay hoặc của phép quay và phép tịnh tiến đều là phép quay. Bài 44. Cho tam giác ABC. Vẽ các tam giác đều ABC’, BCA’, ACB’ sao cho các điểm A’, B’, C’ nằm ngoài tam giác ABC. Gọi O 1, O2, O3 lần lượt là tâm của các tam giác đều đó. Chứng minh tam giác O 1O2O3 là tam giác đều. Bài 45. Cho tam giác ABC. Vẽ các tam giác vuông cân ABC’ và ACB’ có đỉnh là C’ và B’ đều nằm ngoài tam giác ABC. Gọi A’ là trung đi ểm c ủa BC. Chứng minh tam giác A’B’C’ là tam giác vuông cân. Bài 46. Cho ba điểm thẳng hàng A, B, C (B ở giữa A và C). V ẽ các tam giác đều ABC’ và BCA’ có các đỉnh C’ và A’ nằm v ề một phía đ ối v ới đường thẳng AB. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AA’ và CC’. Ch ứng minh tam giác BIJ là tam giác đều. Bài 47. Cho hai đường thẳng a, b và điểm C không nằm trên chúng. Dựng tam giác đều ABC có hai đỉnh thuộc a, b. Bài 48. Cho hai đường tròn (O), (O’) và đường thẳng d. Hãy dựng đi ểm D trên d sao cho d là đường phân giác của góc tạo bởi hai đường th ẳng đi qua D và lần lượt tiếp xúc với (O) và (O’). Bài 49. Cho hai đường tròn (O, R) và (O’, R’). Dựng hai điểm M và M’ lần lượt nằm trên hai đường đó sao cho MM’ // OO’ và MM’ có đ ộ dài bằng a cho trước. Bài 50. Cho hai đường tròn (O), (O’) và điểm A. Dựng tam giác vuông cân đỉnh A và hai đỉnh còn lại lần lượt nằm trên (O) và (O’). Bài 51. Cho hình vuông ABCD và một điểm M thuộc một cạnh của hình vuông. Dựng hình vuông MNPQ có các đỉnh N, P, Q cũng thuộc các cạnh của hình vuông ABCD. 14
  15. PHÉP ĐỒNG DẠNG Bài 52. Chứng minh rằng: a. Tích hai phép vị tự là một phép vị tự hoặc phép tịnh tiến. b. Tích một phép vị tự và một phép tịnh tiến hoặc tích một phép t ịnh tiến và một phép vị tự là phép vị tự. Bài 53. Chứng minh rằng tích của một phép đồng dạng nghịch với chính nó là một phép vị tự hoặc một phép tịnh tiến. Bài 54. Chứng minh phép afin f: P P là phép đồng dạng khi và chỉ khi f biến góc vuông thành góc vuông. Bài 55. Chứng minh phép afin f: P P là phép đồng dạng khi và chỉ khi f biến đường tròn nào đó thành đường tròn. Bài 56. Trong hệ tọa độ trực chuẩn, cho phép biến hình f: Chứng minh f là phép đồng dạng nghịch. Hãy phân tích f thành tích của một phép vị tự và phép đối xứng trục có trục đối xứng đi qua tâm vị tự. Bài 57. Trong hệ tọa độ trực chuẩn, cho phép biến hình f: Chứng minh f là phép đồng dạng thuận. Hãy phân tích f thành tích của một phép vị tự và phép quay có tâm quay trùng tâm vị tự. Bài 58. Cho f là phép đồng dạng nghịch tỉ số k > 0 và k 1. Với cặp điểm tương ứng M và M’ = f(M), ta lấy điểm I và J sao cho (M’, M, I) = k và (M’, M, J) = k. Tìm quỹ tích của I và J. Bài 59. Cho tam giác nhọn ABC. Dựng hình vuông MNPQ có hai đỉnh M, N nằm trên cạnh BC, hai đỉnh còn lại nằm trên cạnh AB và AC. Bài 60. Cho dây cung AB của đường tròn (O). Dựng hình vuông MNPQ có hai đỉnh M, N nằm trên dây cung AB, còn P, Q nằm trên cung AB. Bài 61. Dựng đường tròn tiếp xúc với hai cạnh của góc xOy đã cho và đi qua điểm A nằm trong góc đó. Bài 62. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A. Dựng qua A một đường thẳng cắt (O) và (O’) lần lượt tại B và C sao cho AB = kAC, k là số dương cho trước. 15
  16. Bài 63. Cho hai điểm A, B cố định của đường tròn (O), một đi ểm M thay đổi trên đường tròn. Trên tia đối của tia MA lấy điểm N sao cho MN = MB. Tìm quỹ tích điểm N. Bài 64. Dựng tam giác ABC trong các trường hợp sau: a. Biết hai cạnh AB, AC và đường phân giác của . b. Biết và độ dài hai đường trung tuyến BM = m, CN = n. c. Biết góc , và OH = d (O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác, H là trực tâm tam giác) d. Biết góc , tỉ số hai cạnh AB, AC và chu vi tam giác. e. Biết góc , tỉ số hai cạnh AB, AC và đường phân giác góc B. f. Biết hai góc , , đường trung tuyến ứng với cạnh BC. g. Biết góc cạnh BC = a, trung tuyến BM = m. Bài 65. Cho một điểm A cố định, một đường tròn (O) cố định và một điểm C thay đổi trên (O). Vẽ hình vuông ABCD. Tìm quỹ tích các đi ểm B và D. Bài 66. Cho tứ giác ABCD có các đường chéo AC và BD không vuông góc với nhau. Gọi A’, C’ là các hình chiếu vuông góc của A, C t ương ứng trên đường thẳng BD. Gọi B’, D’ là các hình chiếu vuông góc c ủa B, D t ương ứng trên đường thẳng AC. Chứng minh hai tứ giác ABCD và A’B’C’D’ đồng dạng. III. Lời giải, đáp số, hướng dẫn bài tập chương II Bài 1. Áp dụng các tính chất của phép biến hình afin. Bài 2. (A, B, I) = 1 suy ra (B, A, f(I)) = 1 nên f(I) là trung đi ểm đo ạn th ẳng BA. Bài 3. a. Theo bài 2, suy ra trung điểm I, J của AB và CD bi ến thành chính nó. Gọi M là một điểm bất kì của đường thẳng IJ thì từ tính chất bảo toán tỉ số đơn của ba điểm thẳng hàng của f ta suy ra f(M) = M. b. Trường hợp 1: nếu AD // BC thì ABCD là hình thang. Trường hợp 2: nếu AD cắt BC tại E thì ta đi ch ứng minh E, I, J thẳng hàng. Bài 4. Lí thuyết. Bài 5. Có 3! = 6 phép. Bài 6. Luôn có duy nhất một phép afin f biến A, B, C l ần lượt thành A’, B’ C’. Để f(D) = D’ ta cần có điều kiện (A, C, I) = (A’, C’, I’) và (B, D, I) = (B’, D’, I’) ở đó I, I’ lần lượt là giao điểm của AC và BD, A’C’ và B’D’. 16
  17. Bài 7. (Hình 3) A B E I J C D Hình 3 Luôn có duy nhất một phép biến hình afin f biến A, B, C lần l ượt thành B, C, D. Sử dụng các đường chéo song song với cạnh ta chứng minh được (A, C, I) = (B, D, J), (D, B, I) = (E, C, J) từ đó suy ra f(D) = E. Mà E = CE DE. Chứng minh f(CE) = DA, f(DE) = EA (bảo toàn quan h ệ song song). Từ đó suy ra f(E) = A. Bài 8. Bài 9. Bài 10. gf: ; f g: Bài 11. a. f(d): 2x + y + 13 = 0; f-1(d): 10x + 5y 19 = 0 b. (4, 2). c. 7x + y 8 = 0 Bài 12. + Xét f: Điểm bất động là I( , 2). Gọi đường thẳng bất động là d: Ax + By + C = 0; f -1(d): (7A + 4B)x + (2B A)y + A + 4B + C = 0. d bất động khi và chỉ khi: có nghiệm không tầm thường. Từ đó ta tìm được hai đường thẳng bất động: 2x 2y 3 = 0 và 4x y = 0 + Xét g: a 4: f có điểm bất động duy nhất. a = 4: f có đường thẳng gồm toàn điểm bất động là: 2x + y 2 = 0 17
  18. Tìm đường thẳng bất động: tương tự như với f, biện luận theo tham số a. Bài 13. Dùng phương pháp tọa độ để chứng minh. Bài 14. a. b. Bài 15. a. b. Bài 16. a. k = 1: f = e. b. f là phép thấu xạ với trục là đường thẳng x + y 1 = 0, tỉ số 1. c. f không là phép thấu xạ. d. k = 0: f không là phép afin. k 0: p 0: f không là phép thấu xạ. p = 0, k = 1, q 0: f không là phép thấu xạ. p = 0, k = 1, q = 0: f = e. p = 0, k 1: f là phép thấu xạ trục là y = , tỉ số k. f. f là phép thấu xạ trượt. Bài 17. a. f là phép thấu xạ b. f là phép thấu xạ k = 5, m = 2. ( chú ý khi đ ịnh th ức c ủa f ph ải khác 0) Bài 18. Dựa vào chứng minh định lý về sự phân tích của một phép afin thành tích không quá 3 phép thấu xạ và dựa vào phép th ấu xạ afin với trục là một đường trung tuyến của tam giác. Bài 19. a. không có. b. phép thấu xạ với trục là đường thẳng đi qua trung điểm của AB và CD. c. phép thấu xạ trục là đường thẳng BD. Bài 21. (Hình 4) 18
  19. B B' A' A C' C O' O F' F D' E' D E Hình 4 Với hai lục giác gần đều ABCDEF và A’B’C’D’E’F’ luôn t ồn tại phép afin f biến hình bình hành AFEO thành hình bình hành A’F’E’O’. Do tính chất bảo tồn tỉ số đơn của ba điểm thẳng hàng của f ta suy ra C, E, D tương ứng biến thành C’, E’, D’. Bài 23. Xét một phép afin biến elip thành một hình tương đương afin đ ặc biệt là đường tròn (C). Ta dễ dàng chứng minh được bài toán. Từ đó, ta suy ra cách vẽ đường kính liên hợp với đường kính AB cho trước như sau: kẻ một dây cung MN song song với đường kính AB. Nối hai trung điểm của AB và MN ta sẽ được đường kính đi qua hai trung điểm đó chính là đường kính liên hợp của AB. Khi đó ta sẽ chứng minh được đường kính liên hợp là khái niệm afin. Với hypebol làm tương tự. Bài 25. (Hình 5) 19
  20. A C' ( C) B' O B A' C Hình 5 Xét một hình tương đương afin đặc biệt của (E) đó là đường tròn (C). Ba đường thẳng cần chứng minh đồng quy trở thành ba đường cao trong tam giác. Từ đó ta có ngay điều phải chứng minh. 20
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2