Thể tích của m-hộp và m-đơn hình

Chia sẻ: Nguyễn Nhung | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:7

0
89
lượt xem
23
download

Thể tích của m-hộp và m-đơn hình

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong En, cho hệ m + 1 điểm độc lập, { } o 1 m A ,A ,...,A ,mÎ¥ . Hình hộp m – chiều (hay m – hộp) dựng trên các điểm o 1 m A ,A ,...,A , ký hiệu là ( ) o 1 m H A ,A ,...,A được định nghĩa như sau : ( ) [ ] m n o 1 m i o i o i i 1 A ,A ,...,A : X / t 0,1 :A X t A A = = ìí Î $ Î = ü

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Thể tích của m-hộp và m-đơn hình

  1. Danh sách nhóm 3: Đề tài: “Thể tích m-chiều của m-hộp và m-đơn hình” 1. Phạm Mộng Bảo 2. Bùi Thị Hồng Cẩm 3. Nguyễn Cao Cường 4. Nguyễn Thị Hoàng Duyên 5. Phan Thanh Dũng 6. Đặng Thị Dương 7. Hà Vĩ Đức 8. Lê Chân Đức 9. Ngô Minh Đức 10. Nguyễn Trần Đức 11. Hoàng Châu Giang 12. Nguyễn Thị Bích Hằng 13. Huỳnh Thị Mỹ Hạnh 14. Phạm Việt Hà 15. Hứa Vũ Hải 16. Nguyễn Thanh Hải 17. Đỗ Thị Hải 18. Nguyễn Thị Thanh Hiền 19. Đỗ Thị Thu Hiền 20. Bùi Quang Hoàng 21. Trần Thị Tuyết Hồng 22. Nguyễn Thị Huệ 23. Lê Đình Huy 24. Trần Gia Huy 25. Nguyễn Văn Khu 26. Cù Minh Khương 27. Nguyễn Thanh Liêm 28. Nguyễn Thùy Liên 29. Đặng Thị Loan 30. Nguyễn Văn Hào 1
  2. THỂ TÍCH của m – hộp và m – đơn hình I) Thể tích của m – hộp : 1. Định nghĩa m – hộp : Trong En, cho hệ m + 1 điểm độc lập, { A o , A1 ,..., A m } , m ∈ ¥ . Hình hộp m – chiều (hay m – hộp) dựng trên các điểm A o , A1 ,..., A m , ký hiệu là H ( A o , A1 ,..., A m ) được định nghĩa như sau :  uuuu m uuuur r u H ( A o , A1 ,..., A m ) := X ∈ E n / ∃t i ∈ [ 0,1] : A o X = ∑ t i A o A i   i =1  2. Định nghĩa thể tích của m – hộp : Thể tích của m – hộp trong không gian Euclide n chiều En, ký hiệu là Vol m ( H ( A o , A1 ,..., A m ) ) , được định nghĩa bằng quy nạp như sau : uuuur u • Khi m = 1 : ( 1 – hộp chính là đoạn thẳng) : Vol1 ( H ( A o , A1 ) ) = A o A1 Vậy thể tích của 1 – hộp chính là độ dài đoạn thẳng nối 2 điểm đó. • Khi m > 1 : Vol m ( H ( A o , A1 ,..., A m ) ) = Volm −1 ( H ( A o , A1 ,..., A m −1 ) ) h m Với hm chính là khoảng cách từ điểm Am đến (m – 1) – phẳng P ( A o , A1 ,..., A m −1 ) Ví dụ :  Khi m = 2 : (2 – hộp chính là hình bình hành trong mp sơ cấp) uuuuru Vol 2 ( H ( A o , A1 , A 2 ) ) = Vol1 ( H ( A o , A1 ) ) h 2 = A o A1 h 2 Vậy thể tích của 2 – hộp chính là diện tích hình bình hành thông thường  Khi m = 3 : (3 – hộp chính là hình hộp trong không gian sơ cấp) Vol3 ( H ( A o , A1 , A 2 , A 3 ) ) = Vol 2 ( H ( A o , A1 , A 2 ) ) h 3 Vậy thể tích của 3 – hộp chính là thể tích của hình hộp trong không gian sơ cấp 3. Mối quan hệ giữa thể tích m – hộp và định thức Gram : Định thức Gram : u ur uu r u r ( ) ur uu r Trong không gian Euclide V, cho m vectơ u1 ,..., u m . Ký hiệu Gr u1 , u 2 ,..., u m là ma trận vuông cấp u r ru m mà phần tử thứ (i,j) của nó là tích vô hướng u i .u j , được gọi là ma trận Gram của hệ m – vectơ u ur uu r u r u1 , u 2 ,..., u m . u r u u rur u r ruu  u2 u1.u 2 L u1.u m   1  r  uu.ur uu2 L uu.u r uru ur uruu u ur uu r u ( ) Tức là : Gr u1 , u 2 ,..., u m :=  2 1  M 2 M O 2 m M   uu r uu u ru rur uu 2  r  u m .u1 u m .u 2 K  um   u ur uu r u r Định thức của ma trận Gram của hệ m vectơ u1 , u 2 ,..., u m gọi là định thức Gram. Ký hiệu là u ur uu r u r ( det Gr u1 , u 2 ,..., u m ) Các tính chất của định thức Gram : (liên quan đến việc CM các công thức của m – hộp và m – đơn hình) u ur uu r u r ( ) • Gr u1 , u 2 ,..., u m là ma trận đối xứng u ur uu r u r u ur uu r u r • Nếu hệ ( ) ( u1 , u 2 ,..., u m phụ thuộc tuyến tính thì det Gr u1 , u 2 ,..., u m = 0 ) 2
  3. u ur uu r u r • ( Khi cộng vào một vectơ của hệ u1 , u 2 ,..., u m một tổ hợp tuyến tính các vectơ khác của hệ thì ) u ur uu r u r ( det Gr u1 , u 2 ,..., u m không đổi ) Định lý : Cho m – hộp H ( A o , A1 ,..., A m ) . Khi đó ta có : u uu u u u uu r u ur uuu u ur Vol m ( H ( A o , A1 ,..., A m ) ) 2 ( =det Gr A o A1 , A o A 2 ,..., A o A m ) (1) Chứng minh Ta sẽ CM (1) bằng phương pháp quy nạp : uuuur u • Với m = 1 thì (1) thành : Vol1 ( H ( A o , A1 ) ) = det Gr A o A1 (1.1) 2 ( ) uuuur u  Vol ( H ( A , A ) ) = A A  1 o 1 o 1 Mà :  uuuur uuuur 2 . Vậy (1.1) đúng. u u ( det Gr A o A1 = A o A1  ) • Giả sử (1) đúng đến m = k > 1, tức là : uuuur uuuuu uuuuu u r r Vol k ( H ( A o , A1 ,..., A k ) ) = det Gr A o A1 , A o A 2 ,..., A o A k (1.2) 2 ( ) Khi đó, theo định nghĩa, ta có : Vol k +1 ( H ( A o , A1 ,..., A k +1 ) ) = Volk ( H ( A o , A1 ,..., A k ) ) .h 2 +1 2 2 k ur uuuuu r uuuuur u Gọi α là k – phẳng P ( A o , A1 ,..., A k ) có không gian vectơ phương : α = A o A1 ,..., A o A k uuuuuuu r uuur r u r u uuur u ⊥ r u r uuur u Đặt A o A k +1 = x + h k +1 với x ∈ α, h k +1 ∈ α . Khi đó khoảng cách từ Ak+1 đến α là h k +1 = h k +1 uuuur uuuuu uuuuu uuuuuu u r r r uuuur uuuuu uuuuu r uuu u r r r ( ) ( Do đó : det Gr A o A1 , A o A 2 ,..., A o A k , A o A k +1 = det Gr A o A1 , A o A 2 ,..., A o A k , x + h k +1 ) uuuur uuuuu uuuuu r u r r uuuur uuuuu uuuuu uuu u r r r ( ) ( = det Gr A o A1 , A o A 2 ,..., A o A k , x + det Gr A o A1 , A o A 2 ,..., A o A k , h k +1 ) uuuur uuuuu uuuuu uuu u r r r ( r ur = 0 + det Gr A o A1 , A o A 2 ,..., A o A k , h k +1 (do x ∈ α ) ) uuuur uuuuu uuuuu u r r ( uuu u ⊥ r r = det Gr A o A1 , A o A 2 ,..., A o A k h 2 +1 (do h k +1 ∈ α ) k ) Vì vậy : Vol k +1 ( H ( A o , A1 ,..., A k +1 ) ) = Volk ( H ( A o , A1 ,..., A k ) ) .h 2 +1 2 2 k uuuur uuuuu uuuuu 2 u r r uuuur uuuuu uuuuu uuuuuu u r r r ( ) ( = det Gr A o A1 , A o A 2 ,..., A o A k .h k +1 = det Gr A o A1 , A o A 2 ,..., A o A k , A o A k +1 ) Vậy (1) cũng đúng m = k + 1, suy ra đpcm. Ví dụ : Trong E4, cho A 0 (1,1,1,1); A1 (1, 2, 0,3); A 2 (−1, 2, 0,3); A3 (0, 2, −1,1) . Tính Vol3 ( H ( A o , A1 , A 2 , A 3 ) ) 4. Thể tích của n – hộp trong KG Euclide n chiều : Ánh xạ đa tuyến tính và ánh xạ đa tuyến tính thay phiên : a. Ánh xạ đa tuyến tính : ĐN1 : Cho V, W là những KGVT trên trường K, p là một số nguyên dương. Ánh xạ: f : V×V×...×V → W 1 42 43 gọi là đa tuyến tính nếu nó có tuyến tính đối với từng thành phần trong p laà n V×V×...×V ; và f còn được gọi là một ánh xạ p_tuyến tính từ V đến W. ur uur n ur Nhận xét : Nếu lấy một cơ sở (ei ),(i=1...n) của V thì v α = ∑ a iα .ei , (α = 1, p, a iα ∈ K) , ta có: i =1 ur uu u r uu r n uu uu r r uu r f (v1 , v 2 ,..., v p ) = ∑ i1 ,i 2 ,...,i p =1 a i1,1.a i2,2 ....a ip,p .f (ei1 , ei2 ,..., eip )(4.1) 3
  4. uu uu uu r r r Ngược lại cho các vector f(ei1 ,ei2 ,...,eip ) tùy ý thuộc W, (với mọi i1 ,i 2 ,...,i p = 1, n) thì công thức (4.1) xác định một ánh xạ p_tuyến tính từ V đến W. n ur Thật vậy, chẳng hạn với v '1 = ∑ a 'i1.ei thì ∀λ,μ ∈ K , ta có: i=1 uu r uu r n uu uu r r uu r f (λv1 + µv '1 , v 2 ,..., v p ) = ∑ i1 ,i 2 ,...,i p =1 (λa i1 ,1 + µa 'i1 ,1 ).a i2 ,2 ....a ip ,p.f (ei1 , ei2 ,..., eip ) n uu uu r r uu r n uu uu r r uu r =λ ∑ i1 ,i 2 ,...,ip =1 a i1 ,1.a i2 ,2 ....a ip ,p.f (ei1 , ei2 ,..., eip ) + µ ∑ i1 ,i 2 ,...,i p =1 a 'i1 ,1.a i2 ,2 ....a ip ,p.f (ei1 , ei2 ,..., eip ) ur uu u r uu r uu uu r r uu r = λ.f (v1 , v 2 ,..., v p ) + µ.f (v '1 , v 2 ,..., v p ) ĐN2 : Ánh xạ p_tuyến tính f:V×V×...×V → K được gọi là một dạng p_tuyến tính trên V. b. Ánh xạ đa tuyến tính thay phiên : ĐN3 : Ánh xạ p_tuyến tính f từ V đến W gọi là thay phiên (hay phản đối xr ng) nếu giá trị của f trên r ứ p vector, trong đó có hai vector bằng nhau, (p ≥ 2) , là 0. Nghĩa là : f (..., v,..., v,...) = 0 Tính chất : Từ định nghĩa, ta dễ dàng có các tính chất sau: Tính chất 1: Nếu đổi chổ hai vector trong p vector đã cho thì giá trị của f đổi dấu, tức là: f (..., v,..., v ' ,...) = −f (..., v ' ,..., v,...) uuuu uuuu r r uuuu r ur uu u r uu r Nói cách khác nếu τ là một chuyển trí bậc p thì : f (v τ(1) , v τ(2) ,..., v τ (p) ) = −f (v1 , v 2 ,..., v p ) ur uu uu u r r Tính chất 2 : Với mọi phép thế σ ∈ Sn ,với mọi v1 ,v 2 ,...,v p ∈ V , ta có : uuuu uuuu r r uuuu r ur uu u r uu r f (v σ (1) , v σ (2) ,..., v σ (p) ) = sgn(σ)f (v1 , v 2 ,..., v p ) * Nhận xét : Giả sử dim Vu= n. uu u ur r r Cho hệ n vector (e1 , e 2 ,..., e n ) là cơ sở của V. Với các vector ur n u u r v j = ∑ a ij ei , ( j=1..n,a ij ∈ K ) i=1 và f là một ánh xạ n-tuyến tính thay phiên.Ta có Do f n-tuyến tính nên: ur uu u r uu r n uu uu r r uu r f (v1 , v 2 ,..., v n ) = ∑ a i1,1a i2,2 ...a in,n .f (ei1 , ei2 ,..., ein ) i1 ,i 2 ,...,i p và do f thay phiên nên trong tổng trên,nên ta chỉ cần xét các chỉ số i1 ,i 2 ,...,i n phân biệt từng cặp,nên:u uu ur r uu r u uu uu r r r u uu uu r r r f (v1 , v 2 ,..., v n ) = ∑ a σ( 1) ,1.a σ( 2) ,2 ...a σ( n ) ,n sgn ( σ ) .f (e1 , e 2 ,..., e n ) = det A.f (e1 , e 2 ,..., e n ) (4.2) σ∈Sn  a11 L a1n    với A =  M O M  a n1 L a nn    ur ur uu u r uu r Ngược lại,nếu ( ei ) là một cơ sở của V,cho f (v1 , v 2 ,..., v n ) tùy ý thuộc W,thì công thức (4.2) xác định một ánh xạ n-tuyến tính thay phiên từ V vào W. Thật vậy,do nhận xét ở mục 4.1,ta có công thức 4.2 là ánh xạ n-tuyến tính,nên chỉ cần CM thêm nó thay phiên. uu ur r u ur uu u r uu r Giả sử v j = v k . Khi đó ma trận A có 2 cột j và k giống nhau nên detA = 0 ⇒ f (v1 , v 2 ,..., v n ) = 0 Khi W = K,từ điều vừa chứng minh nhận xét trên,ta suy ra: 4
  5. u ur uu r u r c. Định lý : Cho cơ sở (e1 , e 2 ,..., e n ) của K-KGVT và cho λ ∈ K thì có một và chỉ một dạng n-tuyến u ur uu r u r ur n u u r tính thay phiên f trên V mà f (e1 , e 2 ,..., e n ) = λ , với v j = ∑ a ij ei , ( j=1..n) thì i =1 ur uu u r uu r f (v1 , v 2 ,..., v n ) = λ ∑ a σ( 1) ,1.a σ( 2) ,2 ...a σ( n ) ,n sgn ( σ ) = λ det A . σ∈Sn d. Hệ quả :  Hai dạng n-tuyến tính thay phiên trên Vn bằng nhau khi và chỉ khi giá trị của chúng trên một cở sở nào đó của Vn bằng nhau. ur  Dạng n-tuyến tính thay phiên f trên Vn là dạng 0 khi có một cơ sở ( ei ) của Vn mà u ur uu r u r f (e1 , e 2 ,..., e n ) = 0 .  Cho dạng n-tuyến tính thay phiên f 0 ≠ 0 trên Vn, thì mọi dạng n-tuyến tính thay phiên f trên Vn u ur uu r u r f (e1 , e 2 ,..., e n ) u ur uu r u r viết được một và chỉ một cách dưới dạng f = λ f 0 ,trong đó λ = u ur uu , (e1 , e 2 ,..., e n ) là một cơ r u r f 0 (e1 , e 2 ,..., e n ) sở tùy ý của V . n Định thức của một tự đồng cấu và định thức của một hệ vector đối với một cơ sở : a. Định lý và định nghĩa : Cho KGVT n-chiều V trên trường K .Khi đó : Với mọi tự đồng cấu ϕ của V,có một và chỉ một số det ϕ ∈ K gọi là định thức của ϕ thỏa mãn: ( ( ) ( ) ( )) ur u uu r uur ur uu uu u r r f ϕ v1 , ϕ v 2 ,..., ϕ v n = det ϕ.f(v1 ,v 2 ,...,v n ) r r r Với mọi dạng n – tuyến tính thay phiên f trên V và với mọi hệ vector ( v1 , v 2 ,..., v n ) trong V. Chứng minh Gọi fo là một dạng n – tuyến tính thay phiên trên V. Khi đó ánh xạ : f 0 : V × V × ... × V → K r r r r r r ( v1 , v 2 ,..., v n ) a f 0 (ϕ(v1 ), ϕ(v 2 ),..., ϕ(v n )) là một dạng n – tuyến tính thay phiên trên V. Do đó, tồn tại duy nhất det ϕ ∈ K : r r r r r r f 0 (ϕ(v1 ), ϕ(v 2 ),..., ϕ(v n )) = det ϕ.f 0 ( v1 , v 2 ,..., v n ) ( 4.3) Với f là một dạng n – tuyến tính thay phiên tùy ý của V thì ta cũng có : ∃!λ ∈ K : f = λ.f 0 (4.4) r r r r r r r r r Vì vậy: f (ϕ(v1 ), ϕ(v 2 ),..., ϕ(v n )) = λ.f 0 (ϕ(v1 ), ϕ(v 2 ),..., ϕ(v n )) = λ.det ϕ.f 0 (v1 , v 2 ,..., v n ) (do 4.3) r r r = det ϕ.f (v1 , v 2 ,..., v n ) (do 4.4) b. Định thức của 1 hệ vector đối với một cơ sở : r r r Cho cơ sở ε = (e1 , e2 ,..., en ) của KGVT n chiều V. Khi đó có duy nhất một dạng n – tuyến tính r r r r r r thay phiên Dε trên V mà Dε (e1 , e2 ,..., en ) = 1 . Do đó, với mọi hệ vector ( v1 , v 2 ,..., v n ) trong V, r r r r r r Dε ( v1 , v 2 ,..., v n ) gọi là định thức của hệ n vector ( v1 , v 2 ,..., v n ) đối với cơ sở ε . r r  Định lý : Cho ϕ là một tự đồng cấu của V xác định bởi : ϕ(e j ) = v j ( j = 1…n ). Khi đó : r r r Dε ( v1 , v 2 ,..., v n ) = det ϕ . Chứng minh r r r r r r r r r Dε ( v1 , v 2 ,..., v n ) = Dε ( ϕ(e1 ), ϕ(e2 ),..., ϕ(en ) ) = det ϕ.D ε ( e1 , e2 ,..., en ) = det ϕ Từ định lý này và kết hợp với (4.2),ta có công thức sau : n r r r r r r Nếu v j = ϕ(e j ) = ∑ a ij .ei , ( j = 1..n) thì Dε ( v1 , v 2 ,..., v n ) = det ϕ = ∑ sgn(σ).a σ(1),1...a σ(n ),n = det A i =1 σ∈Sn 5
  6. với A là ma trận có phần tử thứ (i, j) là a ij . Thể tích n – hộp trong En : r r r Trong không gian Euclide n chiều, lấy một cơ sở trực chuẩn ε = (e1 , e2 ,..., en ) . n r r r r r r r r 2 Đặ t u j = ∑ a ij .ei , ( j = 1..n) . Khi đó ta có : det Gr(u1 , u 2 ,..., u n ) = Dε (u1 , u 2 ,..., u n ) i =1 uuuuu uuuuur uuuur r u Vậy, ta có công thức : Vol n (H (A 0 , A1 ,..., A n )) = Dε (A 0 A1 , A 0 A 2 ,..., A 0 A n ) Ví dụ : Cho A0 (1; 1; 1), A1(1; 2; 0) ; A2 (-1; 3; 2) ; A3 (0; 2; -1). Tính Vol3 (H (A 0 , A1 , A 2 , A3 )) = ? 5. Định lý : Cho f : Ε n → Ε n là một phép biến đổi affine và n - hộp H (A0, A1, ….,An). Khi đó: r Vol n (H (f (A 0 ), f (A1 ),..., f (A n ))) = det f .Voln (H (A 0 , A1 ,..., A n )) r với f là ánh xạ nền của ánh xạ affine f . uuuuu r Chứng minh Đặt u i = A 0 A i ,i = 1, n . Ta có : rr rr Vol n (H (f (A 0 ), f (A1 ),..., f (A n ))) = Vol n (H (f (A 0 ), f (u1 ),..., f (u n ))) rr rr rr = Dε (f (u1 ), f (u 2 ),..., f (u n )) , với ε là cơ sở trực chuẩn của Ε n r r r r r = det f .Dε (u1 , u 2 ,..., u n ) = det f .Voln (H (A 0 , A1 ,..., A n )) II) Thể tích của m – đơn hình : 1. Định nghĩa m – đơn hình : Trong En, cho (m+1) điểm độc lập, {A 0 , A1 ,..., A m } , m ∈ ¥ . Bao lồi của tập hợp (m+1) điểm này được gọi là đơn hình m chiều (hay m – đơn hình), với các đỉnh là A 0 , A1 ,..., A m . Ký hiệu : A 0 A1...A m 2. Định nghĩa thể tích m – đơn hình : Thể tích m – đơn hình trong không gian Euclide n chiều En, Ký hiệu : Vol m (A 0 A1...A m ) , được định nghĩa bằng quy nạp như sau : uuuuur • Khi m = 1 (1 – đơn hình chính là đoạn thẳng) : Vol1 (A 0 A1 ) := A 0 A1 Vậy thể tích của 1 – đơn hình chính là độ dài đoạn thẳng tạo bởi 2 điểm đó. 1 • Khi m > 1 : Vol m (A 0 A1...A m ) := .Vol m −1 (A 0 A1...A m −1 ).h m m với h m là khoảng cách từ điểm A m đến (m – 1) – phẳng P(A 0 , A1 ,..., A m −1 ) Ví dụ :  Khi m = 2 : (2 – đơn hình chính là tam giác trong mp sơ cấp) 1 1 uuuuu r Vol 2 (A 0 A1A 2 ) = .Vol1 (A 0 A1 ).h 2 = . A 0 A1 .h 2 2 2 Vậy thể tích 2 – đơn hình chính là diện tích của tam giác trong mp sơ cấp.  Khi m = 3 : (3 – đơn hình chính là tứ diện trong KG sơ cấp) 1 Vol3 (A 0 A1A 2 A 3 ) = .Vol2 (A 0 A1A 2 ).h 3 2 Vậy thể tích 3 – đơn hình chính là thể tích của tứ diện trong KG sơ cấp. 3. Định lý : (Mối quan hệ giữa thể tích m – hộp và m – đơn hình) 1 Vol m ( A 0 A1 ...A m ) = .Vol m ( H ( A 0 ,A1 ,...,A m ) ) (1) m! Chứng minh 6
  7. uuuuu 1 r • Với m = 1: Vol1 ( A 0 A1 ) = A 0 A1 = Vol1 ( H ( A 0 ,A1 ) ) . 1! 1 • Giả sử (1) đúng đến m = k, ta có : Vol k ( A 0 A1...A k ) = .Volk ( H ( A 0 ,A1 ,...,A k ) ) . k! • Với m = k + 1: ( gọi h k +1 là khoảng cách từ A k +1 đến k – phẳng P(A 0 , A1 ,..., A k ) ) 1 1 1 Vol k+1 ( A 0 A1...A k+1 ) = .Vol k ( A 0 A1...A k ) .h k+1 = . .Vol k ( H ( A 0 ,A1 ,...,A k ) ) .h k+1 k+1 k+1 k! 1 = .Vol k+1 ( H ( A 0 ,A1 ,...,A k+1 ) ) ⇒ đpcm. (k+1)! Ví dụ : Trong E4 cho A 0 (1,1,1,1); A1 (1, 2, 0,3); A 2 (−1, 2, 0,3); A3 (0, 2, −1,1) . Tính thể tích Vol3 (A 0 A1A 2 A 3 ) 7

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản