TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH

Chia sẻ: loitrian_2008

Tài liệu học môn toán tham khảo trình bày kiến thức về tích phân bất định. Tài liệu học tập hay và bổ ích. Mời các bạn cùng tham khảo.

Bạn đang xem 10 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH

TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH
ĐỊNH NGHĨA


F(x) là nguyên hàm của f(x) trong (a, b) ⇔ F’(x) = f(x)


∫ f(x)dx = F(x) + C : tích phân bất định
BẢNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM

dx dx x
1
1/ ∫ = arctan x + C         2 / ∫ 2 = arctan + C
        
2 2
1+ x a +x a a
dx dx x
3/ ∫ = arcsin x + C         / ∫ = arcsin + C
      4
a
2 2 2
1− x a −x
dx
5/ ∫ = ln x + x 2 + k + C
x2 + k
a2
x2 x
6 / ∫ a − x dx =
2 2 2
a − x + arcsin + C
a
2 2
x2 k
7 / ∫ x + kdx =
2
x + k + ln x + x 2 + k + C
2 2
BẢNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM

8 / ∫ chx   = shx + C
dx
9 / ∫ shx   = chx + C
dx
dx
10 / ∫ 2 = thx + C
ch x
dx
11 / ∫ 2 = −cothx + C
sh x
dx x
12 / ∫ = ln tan + C
sin x 2
 x + π  +C
dx
13 / ∫ = ln tan  
2 4
cos x
Ví dụ

dx x
∫ = arcsin + C
2 2
4−x

dx x
1
∫ x 2 + 4 = 2 arctan 2 + C

1
xx x x
∫ 3 e dx = ∫ (3e) dx = ln 3 + 1(3e) + C
CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN

1. Đổi biến:

Đổi biến 1: x = u(t) ⇒ dx = u’(t) dt
∫ f(x) dx = ∫ f(u(t))u’(t)
dt
Đổi biến 2: u(x) = t⇒ u’(x) dx = dt
∫ f(u(x))u’(x) dx = ∫ f(t) dt


2. Tích phân từng phần:
∫ u(x)v’(x) dx = u(x)v(x) ­ ∫ u’(x)v(x)
dx
Ví dụ


1 x3 1 x3
2 x3
∫x = ∫ e d(x )
3
= e +C
e dx
3 3


x
arctan x x
1
2 dx
∫ 4 + x2 = ∫ arctan d  arctan 
2 2
2
Một số lưu ý khi dùng tp từng phần

Pn ( x ) là đa thức bậc n.

∫ Pn .ln(α x )dx
dv = Pndx, u là phần còn lại
∫ Pn .arctan xdx
∫ Pn .arcsin xdx
αx
∫ Pn .e dx u = Pn ( x ), dv là phần còn lại
∫ Pn .sin xdx
Ví dụ
dx
u = arcsin x ⇒ du =
I = ∫ arcsin xdx 2
1− x
dv =dx ,  chon  v = x
   
&
2
1 d (1 − x )
xdx
I = x arcsin x − ∫ = x arcsin x + ∫
2 2 1− x2
1− x2


1
= x arcsin x + 1 − x 2 + C
2
TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ

Nguyên tắc: chuyển về các tích phân cơ bản

( Ax + B )dx
dx
∫ ( x − a)m , ∫ x 2 + px + q

Trong đó: * m là các số tự nhiên,
2



* Các tam thức bậc 2 có ∆ = p ­ 4q< 0
Tích phân các phân thức cơ bản


dx
∫ x − a = ln x − a + C

dx 1 1
∫ ( x − a)m = 1 − m ( x − a)m−1 + C (m > 1)
Tích phân các phân thức cơ bản


( Ax + B )dx
∫ x2 + px + q Đạo hàm của MS (lấy hết Ax)


2x+ p
A  B − Ap  dx
= ∫2 ∫ 2
dx + 
2 x + px + q 2  x + px + q


2x+ p du
∫ x2 + px + q dx = ∫ u = ln u + C
Tích phân các phân thức cơ bản

dx dx
∫ x2 + px + q =∫ 2 2
 x + p + q − p
 
 2 4

1
dv v
=∫ 2 = arctan + C
2
v +a a a
Ví dụ
x- 1
ò x2 - dx
x+1
æ ö
1 2x - 1 1 dx
=ò dx + ç -
øò x 2 - x + 1
÷

ç2 ÷
2 x2 - x + 1 è

1 dx
1 2
= ln( x - x + 1) - ò 2
2 æ 1ö 3
2
çx - ÷ +
ç ÷
è 2÷ 4ø
1
x-
1 12 2+ C
2
= ln( x - x + 1) - . arctan2.
2 23 3
Tích phân các phân thức cơ bản


( Ax + B )dx A (2 x + p)dx Ap dx
∫ ( x2 + px + q)n = 2 ∫ ( x2 + px + q)n + (B − 2 )∫ ( x2 + px + q)n

(2 x + p)dx du
∫ ( x2 + px + q)n = ∫ un

dx dv
∫ ( x2 + px + q)n = ∫ (v2 + a2 )n = In
1 
v
I +1 = + (2n − 1) I 
2 2
n n
2n
2na  (v + a ) 
Chứng minh quy nạp In

dx u = ( x2 + a2 ) − n ⇒ du = −2nx( x2 + a2 ) − n−1 dx
I =∫ 2
n
( x + a2 ) n dv = dx,   ï v = x
chon  

I = x( x2 + a2 ) − n + 2n∫ x2 ( x2 + a2 ) − n−1 dx
n


I = x( x2 + a2 ) − n + 2n∫ ( x2 + a2 − a2 )( x2 + a2 ) − n−1 dx
n

= x( x2 + a2 )− n + 2n∫ ( x2 + a2 ) − n dx − 2na2 ∫ ( x2 + a2 ) − n−1 dx

I = x( x2 + a2 ) − n + 2nI − 2na2 I +1
n n n

1 
x
⇒ I +1 = + (2n − 1) I 
2
n n
2 22
2na  ( x + a ) 
ĐỊNH LÝ PHÂN TÍCH

p( x )
Hàm hữu tỷ: f ( x ) = m n r
2
( x − a) ( x − b) ( x + px + q )
Với đa thức ở tử có bậc nhỏ hơn mẫu và tam thức
ở mẫu có ∆ < 0, sẽ được phân tích ở dạng

A1 A2 Am B1 Bn
f (x) = + + ... + + + ... +
x − a ( x − a) x −b
m
( x − b)n
2
( x − a)
C1x + D1 C2 x + D2 Cr x + Dr
      + 2 +2 + ... + 2
     
( x + px + q )r
2
x + px + q ( x + px + q )
MỘT SỐ VÍ DỤ PHÂN TÍCH

2x − 1 2x − 1 A B
f (x) = 2 = = +
x + 2 x − 3 ( x − 1)( x + 3) x − 1 x + 3
Tính A: nhân 2 vế với (x­1), sau đó thay x bởi 1
x =1
2x − 1 B 1
= A+ ( x − 1)  ⇒  A =
  
x +3 x +3 4
2x − 1
Để tính nhanh, trong biểu thức
− +
( x  1)( x   3)
     
Che (x­1) rồi cho x = 1 ta tìm được A

Tính B: nhân 2 vế với (x+3), sau đó thay x bởi -3
(hoặc che x+3 trong phân thức ban đầu)⇒ B = 7/4
2x − 1 A B C
f (x) = = + +
( x − 1) ( x + 3) x − 1 ( x − 1) x + 3
2 2


Tính B: vế trái che (x­1)2, sau đó thay x bởi 1
2x − 1 A C
1/ 4
f (x) = = + +
( x − 1) ( x + 3) x − 1 ( x − 1) x + 3
2 2


Tính B: vế trái che (x­1)2, sau đó thay x bởi 1

Tính C: vế trái che (x + 3), thay x bởi ­3
2x − 1 −7 / 16
A 1/ 4
f (x) = = + +
( x − 1) ( x + 3) x − 1 ( x − 1) x +3
2 2


Tính B: vế trái che (x­1)2, sau đó thay x bởi 1

Tính C: vế trái che (x + 3), thay x bởi ­3

Tính A: nhân 2 vế với x rồi cho x→ ∞
2x − 1 −7 / 16
A 1/ 4
f (x) = = + +
( x − 1) ( x + 3) x − 1 ( x − 1) x +3
2 2


Tính B: vế trái che (x­1)2, sau đó thay x bởi 1

Tính C: vế trái che (x + 3), thay x bởi ­3

Tính A: nhân 2 vế với x rồi cho x→ ∞
2x − 1 − 7 / 16
A 1/ 4
f (x) = x =x +x +x
x − 1 ( x − 1) x+3
2 2
( x − 1) ( x + 3)
Tính B: vế trái che (x­1)2, sau đó thay x bởi 1

Tính C: vế trái che (x + 3), thay x bởi ­3

Tính A: nhân 2 vế với x rồi cho x→ ∞

7 7
⇒A=
0 = A+0−
16
16
Sử dụng nguyên tắc chung

Quy đồng mẫu số và đồng nhất tử số 2 vế

2x − 1 Bx + C
A
f (x) = 2 = +2
( x + x + 1)( x + 3) x + 3 x + x + 1
2
2 x − 1 = A( x + x + 1) + (Bx + C )( x + 3)
2
⇔ 2 x − 1 = ( A + B ) x + ( A + 3B + C ) x + A + 3C

A + B = 0  A = −1
 
⇔  A + 3B + C = 2 ⇔ B = 1
 A + 3C = −1 C = 0
 
Ví dụ tính tích phân


2x − 1
∫ ( x − 1)2 ( x + 3)dx

−7 / 16
7 / 16 1/ 4
=∫ dx + ∫ dx + ∫ dx
x −1 x +3
2
( x − 1)


7 11 7
= ln x − 1 − − ln x + 3 + C
4 x − 1 16
16
2x − 1 −dx xdx
∫ ( x 2 + x + 1)( x + 3) dx = ∫ x + 3 + ∫ x 2 + x + 1

1 (2 x + 1)dx dx
1
+∫2
= − ln x + 3 −∫
2 x + x +1 2
2 1 3
x +  +
 2 4
1
= − ln x + 3 2
+ ln( x + x + 1)
2
x +1/ 2
12
− +C
arctan
23 3/2
TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ

 
m1 m2

 x ,  ax +  ,  ax + 
b  n1 b  n2
∫ 
R  
  cx + d   cx + d  
 

trong đó m1, n1, m2, n2 là các số nguyên.



Phương pháp chung: đặt
ax + b
n
t= n là BSCNN(n1, n2)
cx + d
Ví dụ

2
( x + 1) + x m1 2 m2 1
3
I=∫ = , 
 =
dx
n1 3 n2 2
x +1

6
t = x +1 5
⇒ dx = 6t dt


4 6
t + t −1 5
6t dt = 6 ∫ ( t + t − t ) dt
I=∫ 6 8 2
3
t
x + 1 dx
dx
I= ∫ =∫3
x−1 x+ 1
2
( x − 1)( x + 1)
3




x+1 3
t +1 2
−6t dt
3
t= ⇒ x= 3 ⇒ dx = 3
x−1 t −1 2
(t − 1)

2
1 t dt dt
I = −6 ∫ t 3 = −3∫ 3
3 2
t + 1 (t − 1) t −1
+1
3
t −1
dt dt
I = −3∫ 3 = −3∫ 2
t −1 (t− 1)(t + t+ 1)


t+ 2
dt
= −∫ +∫ 2 dt
t− 1 t + t+ 1
Các trường hợp riêng của tích phân Eurler

dx
∫ ∫
2
ax + bx + cdx
2
ax + bx + c
( Ax + B )dx
∫ ∫ ( Ax + B)
2
ax + bx + cdx
2
ax + bx + c
Nguyên tắc chung: đưa về bình phương đúng của các
tam thức dưới căn và áp dụng tp bảng.
 b c b 
2
2
ax + bx + c = a x +  + − 2 
 2a  a 4a 
A ( 2ax + b) dx
( Ax + B )dx
∫ =∫
ax + bx + c 2a ax2 + bx + c
2




 B − Ab  dx
∫
+
 2a  ax2 + bx + c

Tương tự cho trường hợp còn lại.
Ví dụ

dx 1 dx
∫ ∫
=
2
−3 x + 2 x + 1 3 2 1
2
−x + x +
3 3

1 dx 1 du

= ∫
=
3 4 2
3  2 2
1
−  x−  2
  −u
9 3 3
1 du

I=
3  2 2 2
  −u
3
1 3
= arcsin u + C
2
3

1 3 1
= arcsin  x −  + C
2 3
3
Ví dụ

( x + 1)dx
∫ 2
−3x + 2 x + 1


−1 (−6 x + 2)dx dx
4
=∫ +∫
6 3 −3x 2 + 2 x + 1
2
−3x + 2 x + 1


1 41 3 1
2
= − −3x + 2 x + 1 + arcsin  x −  + C
2 3
3 33
TỔNG QUÁT


)
∫ R ( x,
2
ax + bx + c dx
Sau khi đưa tam thức bậc 2 về bình phương
đúng, có thể rơi vào các TH sau:


∫ R(u,
2 2
A − u )du ⇒ Đặt u = Asint, t∈ [­π /2, π /2]


∫ R(u,
2 2
u − A )du ⇒ Đặt u = A/sint, t∈ [­π /2, π /2]


∫ R(u,
2 2
u + A )du ⇒ Đặt u = Atant, t∈ (­π /2, π /2)
Lưu ý


dx
∫ (x − k ) 2
ax + bx + c


Đặt x – k = 1/u sẽ đưa về dạng

du
∫ 2
a 'u + b 'u + c '
Ví dụ

3
I = ∫ ( x + 4 x + 5) dx = ∫ ( x + 2) + 1 dx
2 3 2
 

I = ∫ (u + 1) du
2 3
Đặt u = tant

dt
I=∫ 2 3
(tan t + 1) 2
cos t
dt cos tdt dv
=∫ 5 =∫ =∫
23 23
(1 − sin t ) (1 − v )
cos t
TÍCH PHÂN TREBUSEV


∫ x (ax + b) dx
m n p
m,n, p là các sô hữu tỷ

k



TH 1: p là số nguyên : Đặt x = t ,
m +1 k là BSCNN mẫu số của m, n.
là số nguyên:
TH 2: n k
n
Đặt ax +b = t , k là
m +1
+ plà số nguyên:mẫu số −cnủa p
TH 2: k
n
Đặt bx +a = t , k là
VÍ DỤ

2
dx m = −1, n = 1, p = −
I=∫
3
2
x ( x + 1)
3

m +1
= 0 ⇒ x +1 = t3
n
2
3t
I=∫ 3 dt
2
(t − 1)t

(t + 2)dt
dt dt
= 3∫ =∫ −∫ 2
t −1 t + t +1
2
(t − 1)(t + t + 1)
Ví dụ
1
m = −4, n = 2, p = −
dx
I=∫ 2
4 2
1+ x
x m +1 −4 + 1 1
⇒ +p= − = −2
n 2 2

Đặt x­2 +1 = t2 ⇒ ­2x­3dx = 2tdt

−2dx
I=∫ 2
2t (t − 1)dt
=∫ = 2 ∫ (t 2 − 1)dt
2
x +1 t
32
xx
x2
TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC

I = ∫ sin x cos x  
m n
dx

I = − ∫ sin 2k n
x cos x   (cos x )
d
* m =2k + 1

I = ∫ sin x cos x   (sin x )
m 2k
d
* n =2k + 1

* m, n chẵn: dùng công thức hạ bậc
1
sin x cos x = sin 2 x ,   
2
1 − cos 2 x 1 + cos 2 x
2 2
sin x = ,  cos x =
 
2 2
TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC

∫ R (cos x ,sin x )dx
Thay x bởi –x, biểu thức dưới dấu tp không đổi
⇒ t = cos x
Thay x bởi π –x, biểu thức dưới dấu tp không đổi
⇒ t = sin x
Thay x bởi π +x, biểu thức dưới dấu tp không đổi
⇒ t = tan x
x
Tổng quát: ⇒ t= tan
2
VÍ DỤ

I = ∫ sin x cos x   = − ∫ (1 − cos x )cos x   (cos x )
3 4 2 4
dx d


= − ∫ (cos x − cos x )   (cos x )
4 6
d
5 7
cos x cos x
=− + +C
5 7

dx
I= ∫ 3
cos xsin x
cos3 x
I=∫ dx
2
cos x + 2sin x
Thay x bởi π ­ x trong biểu thức dưới dấu tp

cos (π − x )
3
d (π − x )
cos (π − x ) + 2sin(π − x )
2


− cos3 x
= (−dx )
2
cos x + 2sin x

cos3 x
= dx
2
cos x + 2sin x
3
cos x
I=∫ dx Đặt x = sint
2
cos x + 2sin x

2
(1 − sin x )cos x  dx
=∫
1 − sin 2 x + 2sin x
2
1− t
=∫ dt
2
1 − t + 2t

2t
1 −  dt
= ∫ 
2
 1 − t + 2t 
dx
I=∫
cos x + sin x + 2


2x
1 2
x
t = tan ⇒ dt = (1 + tan )dx ⇒ dx = dt
2
1+ t
2 2
2

2dt dt
1
I=∫ =∫ 2
2 2
1− t 1+ t t + 2t + 3
2t
+ +2
2 2
1+ t 1+ t
Một dạng đặc biệt của tp hàm lượng giác


asin x + bcos x + c
∫ a'sin x + b'cos x + c' dx

Biểu diễn
TỬ SỐ = A× (đạo hàm mẫu số) + B× (MẪU SỐ)
+C
Tìm A, B, C bằng đồng nhất thức.
Ví dụ
sin x + 2cos x − 3
I= ∫ dx
sin x − 2cos x + 3
sin x + 2cos x − 3
= A(sin x − 2cos x + 3)'+ B (sin x − 2cos x + 3) + C

⇔ sin x + 2cos x − 3
   = A(cos x + 2sin x ) + B (sin x − 2cos x + 3) + C
  

4 3 6
⇔ A = ,  = − ,  = −
B C
5 5 5
4 d (sin x − 2cos x + 3) 3 dx
6
I= ∫ − x− ∫
5 sin x − 2cos x + 3 5 5 sin x − 2cos x + 3



4 x
ln sin x − 2cos x + 3 t = tan
5 2
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản