TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH

Chia sẻ: loitrian_2008

Tài liệu học môn toán tham khảo trình bày kiến thức về tích phân bất định. Tài liệu học tập hay và bổ ích. Mời các bạn cùng tham khảo.

Bạn đang xem 10 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH

 

  1. TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH
  2. ĐỊNH NGHĨA F(x) là nguyên hàm của f(x) trong (a, b) ⇔ F’(x) = f(x) ∫ f(x)dx = F(x) + C : tích phân bất định
  3. BẢNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM dx dx x 1 1/ ∫ = arctan x + C         2 / ∫ 2 = arctan + C          2 2 1+ x a +x a a dx dx x 3/ ∫ = arcsin x + C         / ∫ = arcsin + C       4 a 2 2 2 1− x a −x dx 5/ ∫ = ln x + x 2 + k + C x2 + k a2 x2 x 6 / ∫ a − x dx = 2 2 2 a − x + arcsin + C a 2 2 x2 k 7 / ∫ x + kdx = 2 x + k + ln x + x 2 + k + C 2 2
  4. BẢNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM 8 / ∫ chx   = shx + C dx 9 / ∫ shx   = chx + C dx dx 10 / ∫ 2 = thx + C ch x dx 11 / ∫ 2 = −cothx + C sh x dx x 12 / ∫ = ln tan + C sin x 2  x + π  +C dx 13 / ∫ = ln tan   2 4 cos x
  5. Ví dụ dx x ∫ = arcsin + C 2 2 4−x dx x 1 ∫ x 2 + 4 = 2 arctan 2 + C 1 xx x x ∫ 3 e dx = ∫ (3e) dx = ln 3 + 1(3e) + C
  6. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 1. Đổi biến: Đổi biến 1: x = u(t) ⇒ dx = u’(t) dt ∫ f(x) dx = ∫ f(u(t))u’(t) dt Đổi biến 2: u(x) = t⇒ u’(x) dx = dt ∫ f(u(x))u’(x) dx = ∫ f(t) dt 2. Tích phân từng phần: ∫ u(x)v’(x) dx = u(x)v(x) ­ ∫ u’(x)v(x) dx
  7. Ví dụ 1 x3 1 x3 2 x3 ∫x = ∫ e d(x ) 3 = e +C e dx 3 3 x arctan x x 1 2 dx ∫ 4 + x2 = ∫ arctan d  arctan  2 2 2
  8. Một số lưu ý khi dùng tp từng phần Pn ( x ) là đa thức bậc n. ∫ Pn .ln(α x )dx dv = Pndx, u là phần còn lại ∫ Pn .arctan xdx ∫ Pn .arcsin xdx αx ∫ Pn .e dx u = Pn ( x ), dv là phần còn lại ∫ Pn .sin xdx
  9. Ví dụ dx u = arcsin x ⇒ du = I = ∫ arcsin xdx 2 1− x dv =dx ,  chon  v = x     & 2 1 d (1 − x ) xdx I = x arcsin x − ∫ = x arcsin x + ∫ 2 2 1− x2 1− x2 1 = x arcsin x + 1 − x 2 + C 2
  10. TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ Nguyên tắc: chuyển về các tích phân cơ bản ( Ax + B )dx dx ∫ ( x − a)m , ∫ x 2 + px + q Trong đó: * m là các số tự nhiên, 2 * Các tam thức bậc 2 có ∆ = p ­ 4q< 0
  11. Tích phân các phân thức cơ bản dx ∫ x − a = ln x − a + C dx 1 1 ∫ ( x − a)m = 1 − m ( x − a)m−1 + C (m > 1)
  12. Tích phân các phân thức cơ bản ( Ax + B )dx ∫ x2 + px + q Đạo hàm của MS (lấy hết Ax) 2x+ p A  B − Ap  dx = ∫2 ∫ 2 dx +  2 x + px + q 2  x + px + q  2x+ p du ∫ x2 + px + q dx = ∫ u = ln u + C
  13. Tích phân các phân thức cơ bản dx dx ∫ x2 + px + q =∫ 2 2  x + p + q − p    2 4 1 dv v =∫ 2 = arctan + C 2 v +a a a
  14. Ví dụ x- 1 ò x2 - dx x+1 æ ö 1 2x - 1 1 dx =ò dx + ç - øò x 2 - x + 1 ÷ 1÷ ç2 ÷ 2 x2 - x + 1 è 1 dx 1 2 = ln( x - x + 1) - ò 2 2 æ 1ö 3 2 çx - ÷ + ç ÷ è 2÷ 4ø 1 x- 1 12 2+ C 2 = ln( x - x + 1) - . arctan2. 2 23 3
  15. Tích phân các phân thức cơ bản ( Ax + B )dx A (2 x + p)dx Ap dx ∫ ( x2 + px + q)n = 2 ∫ ( x2 + px + q)n + (B − 2 )∫ ( x2 + px + q)n (2 x + p)dx du ∫ ( x2 + px + q)n = ∫ un dx dv ∫ ( x2 + px + q)n = ∫ (v2 + a2 )n = In 1  v I +1 = + (2n − 1) I  2 2 n n 2n 2na  (v + a ) 
  16. Chứng minh quy nạp In dx u = ( x2 + a2 ) − n ⇒ du = −2nx( x2 + a2 ) − n−1 dx I =∫ 2 n ( x + a2 ) n dv = dx,   ï v = x chon   I = x( x2 + a2 ) − n + 2n∫ x2 ( x2 + a2 ) − n−1 dx n I = x( x2 + a2 ) − n + 2n∫ ( x2 + a2 − a2 )( x2 + a2 ) − n−1 dx n = x( x2 + a2 )− n + 2n∫ ( x2 + a2 ) − n dx − 2na2 ∫ ( x2 + a2 ) − n−1 dx I = x( x2 + a2 ) − n + 2nI − 2na2 I +1 n n n 1  x ⇒ I +1 = + (2n − 1) I  2 n n 2 22 2na  ( x + a ) 
  17. ĐỊNH LÝ PHÂN TÍCH p( x ) Hàm hữu tỷ: f ( x ) = m n r 2 ( x − a) ( x − b) ( x + px + q ) Với đa thức ở tử có bậc nhỏ hơn mẫu và tam thức ở mẫu có ∆ < 0, sẽ được phân tích ở dạng A1 A2 Am B1 Bn f (x) = + + ... + + + ... + x − a ( x − a) x −b m ( x − b)n 2 ( x − a) C1x + D1 C2 x + D2 Cr x + Dr       + 2 +2 + ... + 2       ( x + px + q )r 2 x + px + q ( x + px + q )
  18. MỘT SỐ VÍ DỤ PHÂN TÍCH 2x − 1 2x − 1 A B f (x) = 2 = = + x + 2 x − 3 ( x − 1)( x + 3) x − 1 x + 3 Tính A: nhân 2 vế với (x­1), sau đó thay x bởi 1 x =1 2x − 1 B 1 = A+ ( x − 1)  ⇒  A =    x +3 x +3 4 2x − 1 Để tính nhanh, trong biểu thức − + ( x  1)( x   3)       Che (x­1) rồi cho x = 1 ta tìm được A Tính B: nhân 2 vế với (x+3), sau đó thay x bởi -3 (hoặc che x+3 trong phân thức ban đầu)⇒ B = 7/4
  19. 2x − 1 A B C f (x) = = + + ( x − 1) ( x + 3) x − 1 ( x − 1) x + 3 2 2 Tính B: vế trái che (x­1)2, sau đó thay x bởi 1
  20. 2x − 1 A C 1/ 4 f (x) = = + + ( x − 1) ( x + 3) x − 1 ( x − 1) x + 3 2 2 Tính B: vế trái che (x­1)2, sau đó thay x bởi 1 Tính C: vế trái che (x + 3), thay x bởi ­3
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản