TÍCH PHÂN CƠ BẢN CỦA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Chia sẻ: abcdef_7

Tham khảo tài liệu 'tích phân cơ bản của các hàm số lượng giác', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Bạn đang xem 7 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: TÍCH PHÂN CƠ BẢN CỦA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Bài 4. Tích phân cơ bản c ủa các hàm số lượ ng giác



BÀI 4. TÍCH PHÂN CƠ BẢN
CỦA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG
GIÁC
A. C Ô NG TH Ứ C S Ử D Ụ NG


1 . K HAI TRI Ể N NH Ị T H Ứ C NEWTON


 a  b n  Cn a n  Cn a n 1b  ...  Cn a n  k b k  ...  Cn 1 ab n 1  Cn b n
0 1 k n n



n!
k
và m!  1.2....  m  1 m v ớ i q ui ư ớ c 0 !  1
t rong đ ó Cn 
k ! n  k  !

2 . CÁC CÔNG TH Ứ C NGUYÊN HÀM L Ư Ợ NG GIÁC

1 1
 cos  ax  b  dx  a sin  ax  b   c  sin  ax  b  dx   a cos  ax  b   c
dx 1 dx 1
tg  ax  b   c   cotg  ax  b   c
 cos  sin

2 2
 ax  b   ax  b 
a a

B. C ÁC D Ạ NG T ÍCH P H Â N

n n
  sinx  dx ; A1.2  cosx  dx

I. Dạng 1: A1.1 =

1 . C ô ng th ứ c h ạ b ậ c

1  cos 2x 1  cos 2x  sin 3x  3 sin x cos 3x  3 cos x
sin2 x  ;cos2 x  ; sin3 x  ;cos3 x 
2 2 4 4
2 . Ph ươ ng ph áp

2.1. N ếu n c h ẵ n t h ì s ử d ụ ng c ô ng th ứ c h ạ b ậ c

2.2. N ếu n  3 t h ì s ử d ụ ng c ô ng th ứ c h ạ b ậ c h o ặ c b i ế n đ ổ i t heo 2.3.

2.3. N ếu 3  n l ẻ ( n  2 p  1) th ì t h ự c h i ệ n b i ế n đ ổ i :
p
n 2p+1 2p
dx   sin x  sin xdx   1  cos 2 x  d  cos x 
A1.1 =  sinx  dx =  sinx 
   
25
Chươ ng II. Nguyên hàm và t ích phân  T rần Phươ ng

k p
0 
  Cp  Cp cos x  ...   1 Cp  cos x   ...   1 Cp  cos x   d  cos x 
kk pp
1 2 2 2

 

 1k k  1p p
0 2p 1 
11 2k 1
3
Cp  cos x  Cp  cos x    c
  Cp cos x  Cp cos x  ...   ... 
2k  1 2p 1
3
 
 
1  sin 2 x  p d  sin x 
n 2p+1 2p
A1.2 =  cosx  dx =  cosx  dx   cos x  cos xdx 
   
k p
  C0  C1 sin 2 x  ...   1 Ck  sin 2 x   ...   1 C p  sin 2 x   d  sin x 
k p

p 
p p p


 1k k  1p p
 2p 1 
1 2k 1
  C0 sin x  C1 sin 3 x  ...  C p  sin x  C p  sin x 
 ...  c
p p
2k  1 2p  1
3
 
3
 1  cos 2 x 
3
• A1 =  cos xdx =   cos 2 x  dx   
6
 dx
2
 
1
1  cos 2x 3 dx  1  1  3cos 2x  3cos 2x  cos 2x  dx
2 3


4 4
3 1  2 cos 4x  cos 3x  3cos x 
1

  1  3 cos 2x    dx
4 2 4 
1 1 
  7x  6 sin 2x  3sin 4x  sin 3x  3sin x   c
16  3 
1 4
9 8
 1  cos 5 x  d  cos 5 x 
2
• A2 =  sin5x  dx   sin 5 x   sin 5 x  dx  
  5
1
 1  4 cos 5x  6 cos 5x  4 cos 5x  cos 5x  d  cos 5x 
2 4 6 8

5
1 4 6 4 1 
3 5 7 9
   cos 5x  cos 5x  cos 5x  cos 5x  cos 5x   c
5 3 5 7 9 

II. Dạng 2: B = sin m x cos n x dx
 ( m, n  N)

1 . P hương pháp :

1.1. Tr ư ờ ng h ợ p 1: m, n là các s ố nguyên
a. N ếu m chẵ n, n chẵ n t hì s ử dụ ng công thứ c hạ bậ c, b i ến đ ổi tích thành t ổ ng.

b. N ếu m c h ẵ n , n l ẻ ( n  2p  1) t h ì b i ế n đ ổ i :




26
Bài 4. Tích phân cơ bản c ủa các hàm số lượ ng giác

p
m 2p+1 m 2p m
dx   sin x   cos x cos xdx   sin x 1  sin2 x d  sin x
B =  sinx  cosx 
  
k p
m 0 
  sin x  Cp  Cp sin x  ...   1 Cp  sin x   ...   1 Cp  sin x   d  sin x  
kk pp
1 2 2 2
  
 0  sin x m1 m3 2k 1 m 2p1 m

1  sin x  k k  sin x  p p  sin x 
 ...   1 Cp  ...   1 Cp
 Cp c
Cp
m 1 m3 2k  1  m 2p  1  m 

 
c. N ếu m c h ẵ n , n l ẻ ( n  2p  1) th ì b i ến đ ổ i :
p
2p+1
 cosx n dx   cos x n  sin x 2 p sin xdx    cos x n 1  cos2 x d  cos x
B =  sinx 
  
k p
n 0 
   cos x  Cp  Cp cos x  ...   1 Cp  cos x   ...   1 Cp  cos x   d  cosx  
kk pp
1 2 2 2
  
 0  cosx n 1 n 3 2k 1 n 2p 1 n

1  cosx  k k  cos x  p p  cos x 
 ...   1 Cp  ...   1 Cp
 Cp  Cp  c
n 1 n 3 2k  1  n 2p  1  n 

 
d. N ếu m l ẻ, n l ẻ t h ì s ử d ụ ng b i ến đ ổ i 1 .2. ho ặ c 1 .3. cho s ố mũ l ẻ b é h ơ n .

1.2. N ếu m, n l à các s ố hữ u tỉ t hì bi ế n đ ổi và đ ặt u  sinx ta có:
n 1 m 1
B  sin m x cos n xdx   sin x   cos 2 x  cos xdx  u m 1  u 2 
m
   du ( *)
2 2


m 1 n 1 m  k
• T ích p h â n (*) t ính đ ư ợ c  1 t rong 3 s ố là s ố n guy ê n
; ;
2 2 2

2 . Các bài t ậ p m ẫ u minh h ọ a

1
2 4
 sin 2 x 2  cos x 2 dx
• B1 =  sinx   cosx  dx 
 
4
1 1
 1  cos 4x  1  cos 2x  dx  16  1  cos 2x  cos 4x  cos 2x cos 4x  dx

16
1 1
 
 1  cos 2x  cos 4x  2  cos 6x  cos 2x  dx

 
16
1 1 sin 2x sin 4x sin 6x 
  2  cos 2x  2 cos 4x  cos 6x  dx  32  2x 
   c
32 2 2 6

9 111 111 8
• B2 =  sin5x   cos5x  dx   cos 5 x   sin 5 x  sin 5 x dx
 




27
Chươ ng II. Nguyên hàm và t ích phân  T rần Phươ ng

1 4
 cos 5x 111 1  cos 2 5x  d  cos 5x 


5
1
 cos 5x 111 1  4 cos 2 5x  6 cos 4 5x  4 cos6 5x  cos8 5x  d  cos 5x 


5
112 114 116 118
 cos 5x 120 
1   cos 5x  4  cos 5x  6  cos 5x  4  cos 5x 
      c
5  112 114 116 118 120 
 sin3x7 4 4
1 3
6
 cos3x 5 1 cos2 3x d  cos3x
dx   cos3x 5  sin3x  sin3xdx 
  
• B3 =
5 3
cos4 3x
4
1
 cos 3x  5 1  3 cos2 3x  3cos4 3x  cos 6 3x  d  cos 3x 


3
1  15 15 5
1 11 21 31 
5  cos 3x  5   cos 3x  5   cos 3x  5   cos 3x  5   c

3 11 21 31
 
3
dx dx 1  1  dx
  sinx   
• B4 =    
3
 cosx 5 3
tg 3 x  cos 2 x  cos 2 x
 cos x
 sin x 8
cos x
3
1  tg x  2 2 4 6
1  3 tg x  3 tg x  tg x
d  tg x   d  tg x 
 

 tg x 3 3
tg x
3
 3 1 32 14
3
  tg x    3tg x  tg x d  tg x  
  3ln tg x  tg x  tg x  c
2
tg x 2 4
  2tg x
1  sin4 x  sin4 x d  sin x 
dx cos xdx
 sin4 xcosx  sin4 x cos2 x  sin4 x 1 sin2 x  sin4 x 1 sin2 x d  sin x
  
• B5 =
2
d  sinx 
1  sin x 1 1 1 sin x
1
d  sin x  
  1 sin
    ln c
4 2 3
sin x 2 1  sin x
3  sin x 
sin x x
5 1 5 4
dx
  sin x   cos x  3 dx    sin x  3  cos x  3 cos x dx
 
• B6 = 3
3
sin 5 xcosx
2
5 2
 1  u2 3
5 4
1  u  3
2
3
  sin x   cos x  d  sin x   u 3
  
du  u  2  du
3 3
 
u 
13 13
 1  u2  cos 2 x 

1  u2 2
3 2
 v3  2u du  3v dv ; v   2   tg x  3
Đặt 
 
   
2
u2 u  sin x 

2
 1  u2 3 2
3 3 3
3
dv   v  c    tg x  3  c
 B6  u  2  
 du 
  2 2 2
u 


28
Bài 4. Tích phân cơ bản c ủa các hàm số lượ ng giác

5 2
1 dx 3
  tg x  3 d  tg x     tg x  3

C ách 2: B7    c
2
2
5
cos x

 sin x
3
cos x
n n
  tg x    cotg x  ( n N)
III. Dạng 3: C 3 . 1 = dx ; C 3 . 2 = dx

1 . C ô ng th ứ c s ử d ụ ng

dx
 1  tg x  dx   cos x   d  tg x   tg x  c
2
• 2

dx
 1  cotg x  dx    sin x    d  cotg x    cotg x  c
2
• 2

d  cos x 
sin x
  
tg xdx  dx     ln cos x  c

cos x cos x
d  sin x 
cos x
  
cotg xdx  dx   ln sin x  c

sin x sin x
2 . Các bài t ậ p m ẫ u minh h ọ a
2k  2 2k 4 2k 6
  tg x 1 tg x   tg x 1 tg x   tg x 1 tg x 
2k 2 2 2
  tgx dx 
• C1 =

1 tg2 x  ...   1k1  tg x0 1 tg2 x    1k  dx
2k 8
  tg x  
2k  2 2k  4 2k  6 k 1 0 k
  tg x   ...   1  tg x   d  tg x    1 dx
  tg x    tg x 
 
 

 tg x 2k 1   tg x 2k 3   tg x 2k 5     1k 1 tg x   1k x  c

2k  1 2k  3 2k  5 1
2 k 1 2 k 3
2k +1
  tg x  1  tg x    tg x  1  tg 2 x  
2
  tgx  dx 
• C2 =

1  tg 2 x   ...   1k 1  tg x  1  tg 2 x    1k tg x  dx
2k  5
  tg x  
k 1 k
2k 1 2k 3 2k 5
  tg x   ...   1  tg x   d  tg x    1 tg xdx
  tg x    tg x 
 
 
2k  2 2k  4
2k 2
 tg x   tg x   tg x   tg x 
k 1 k
      1   1 ln cos x  c
  
2k  2 2k  4
2k 2
2k  2
1  co tg 2 x    cotg x 2 k 4 1  co tg 2 x  
2k
  cotgx    cotg x 
dx 
• C3 =

1  co tg 2 x   ...   1k 1  cotg x 0 1  co tg 2 x    1k  dx
2k  6
  cotg x  




29
Chươ ng II. Nguyên hàm và t ích phân  T rần Phươ ng

2k  2 2k  4 k 1 0 k
   cotg x   ...   1  cotg x   d  cotg x    1 dx
  cotg x 
 
 
  cotg x 2k 1  cotg x 2k 3  cotg x 2k 5 
k 1 cotg x k
      1    1 x  c
  
 2k  1 2k  3 2k  5 1
2 k 1 2 k 3
2k+1
  cotg x  1  co tg x    cotg x  1  co tg 2 x  
2
  cotgx  dx 
• C4 =

1  co tg2 x   ...   1k 1  cotg x 1 1  co tg2 x    1k cotg x  dx
2k 5
  cotg x  
k 1 k
2k 1 2k  3
   cotg x   ...   1  cotg x   d  cotg x    1 cotg x dx
  cotg x 
 
 
  cotg x  2k  cotg x 2k 2 2

k 1  cotg x  k
      1    1 ln sin x  c
  
2k  2
2k 2
 
5 5 4 3 2
dx   tg x   5  tg x  cotg x  10  tg x   cotg x  
  tgx + cotgx  
• C5 = 
2 3 4 5
10  tg x   cotg x   5 tg x  cotg x    cotg x   dx

5 5 3 3
  tg x    cotg x   5  tg x   5  cotg x   10 tg x  10 cotg x  dx

 
5 3 5 3
   tg x   5  tg x   10 tg x  dx   cotg x   5  cotg x   10 cotg x  dx

   

  tg x  1  tg x   4tg x 1  tg x   6tg x  dx
3 2 2

 

  cotg x  1  cotg x   4cotg x 1  cotg x   6cotg x  dx
3 2 2

 
3 3
  tg x   4tg x  d  tg x   6 tg x dx   cotg x   4cotg x  d  cotg x   6 cotg x dx
   
   
4 4
 tg x   cotg x 
2 2
  2tg x  6ln cos x   2cotg x  6ln sin x  c
4 4

 tg x  m  cotg x  m
  cos x  
IV. Dạng 4: D 4 . 1 = dx ; D4 . 2 = dx
n
 sin x n
 tg x m
  cos x 
X ét đ ạ i d i ệ n D4.1  dx
1 . Phương pháp:
n

1.1. N ếu n ch ẵ n (n  2k) thì bi ế n đ ổi:
 tgx m k 1
1 dx
m k 1
  tg x  1  tg 2 x  d  tg x 
m
dx   tg x  
  
D4.1 = 
2k 2 2
 cosx   cos x  cos x
k 1
1 p
  tg x  C0 1  C1 1  tg 2 x   ...  Ck 1  tg 2 x   ...  Ck 1  tg 2 x   d  tg x 
m 
p
 k 
k k1


 tg x m1  tg x m3  tg x m 2p1  tg x m 2k 1
Ck 1
 C0 1 C1 1 p k1
  ...   ...  c
Ck 1 
k k
m 1 m3 m  2p  1 m  2k  1
30
Bài 4. Tích phân cơ bản c ủa các hàm số lượ ng giác

1.2. N ếu m l ẻ, n l ẻ ( m  2k  1, n  2h  1) thì bi ế n đ ổi:
 tgx 2k+1 2h 2h
tg x
1 1 sin x
 tg x 2k 
k
  tg x 
2
  cosx  
dx  dx 
D4 .1 = dx
   
2h+1
cos 2 x
 cos x  cosx  cos x 
k 2h
1  1  1 1
k
  u  1
2 2h
 (ở đ â y u 
  1   )
d u du

2
  cos x   cos x  cos x
 cos x
k 1 kp
k
 u 2h C0  u 2   C1  u 2   ...   1 C p  u 2   ...   1 C k  du
p k
 k k
k k

2k  2h 1 2k  2h 1 2k  2h  2p1 2h 1
u 1u u k ku
pp
0
 ...   1 Ck  ...   1 Ck
 Ck  Ck c
2k  2h 1 2k  2h 1 2k  2h  2p 1 2h 1

1.3. N ếu m ch ẵ n, n l ẻ ( m  2k, n  2 h  1) thì sử dụ ng b i ế n đ ổi:
 tg x 2k  sin x 2k cos x  sin x 2k
d  sin x  ;  u  s inx 
  
D4.1  dx  dx 
 
 cos x 2h 1 k  h 1
 cos x 2 k  h 1 1  sin 2 x 
1  1  u 2 
2k 2 2k 2 2k 2
2k
u du u u du u du
 
 1  u   1  u  1  u
D4.1   du  
k  h 1 k  h 1 k  h 1 k h
 1  u 2   
2 2 2


H ệ t h ứ c t r ê n l à h ệ t h ứ c truy h ồ i, k ết h ợ p v ớ i b ài t ích p h â n h àm p h â n th ứ c h ữ u
t ỉ t a c ó t h ể t ính đ ư ợ c D 4.1.

2 . Các bài t ậ p m ẫ u minh h ọ a:


 tg3x7 2
1 dx 1
7  2
7
  tg3x 1  tg 3x
2
  tg3x  d  tg3x
  cos3x
• D1 = dx  
2
6 2
  cos3x   cos3x 3
8
 tg3x10  tg3x 12 
1   tg3x 
1
 tg3x 7 1  2 tg3x2   tg3x4  d  tg3x   

 2   c
 
3 3 8 10 12 

 cotg5x 10 3
1 dx
 
10
  cotg 5x 

• D2 = dx   2
 sin5x 8 2
  sin 5 x    sin 5 x 
1 3
 cotg 5x 10 1  cotg 2 5x  d  cotg 5x 

  
5
11
 cotg 5x 13  cotg 5x 15  cotg 5x 17 
1   cotg 5x 
  c
3 3 
5 11 13 15 17 

 tg4x 7 94
tg 4 x
1 6
dx   tg 4 x  
  cos4x  
• D3 = dx

95
 cos 4 x  cos 4 x




31
Chươ ng II. Nguyên hàm và t ích phân  T rần Phươ ng
3 94
1 1  1   1  1 94  2 3
 
  1   u u  1 du
 d
4   cos 4x  2   cos 4x   cos 4x  4

101 99 97 95
 du  1  u  3 u  3 u  u   c
1 94  6 4 2

 u u  3u  3u  1  
4 4  101 99 97 95 
1 1 1 3 1 
    c
 cos 4x 95 
101 99 97
4 101  cos 4x   cos 4x   cos 4x 
33 97 95 

 cotg3x 9 40
cotg 3 x
1 8
dx   cotg 3x  
  sin3x  
• D4 = dx

41
 sin 3 x  sin 3x
4 40
1 1  1   1  1 40 2 4
   u  u  1 du
 
   2  1   d
3  sin x   sin 3x   sin 3x  3
49 47 45 43 41
1 u u
1 40  8 u u u
4
u u  4u  6u  4u  1 du   
6 4 2

 4 6 4  c
3 3  49 47 45 43 41 
1 1 4 2 4 1 
      c
41 
49 47 45 43
3  49  sin 3x  47  sin 3x  15  sin 3x  43  sin 3x  41 sin 3x  

 tgx 2 dx 2
 sin x 2 cos xdx
 sin x  
 d sin x 
  
  
• D5 = 2 2
 1  sin2 x 
cosx  cos x   cos x 
2 2
 1  sin x   1  sin x   1 1
 
 d  sin x    1  sin x  1  sin x  d  sin x 
 

 1  sin x  1  sin x    

1  sin x
1 1 2 1 1
 
d sin x  

     ln c
2
2 2
1  sin x 1  sin x 1  sin x
 1  sin x  1  sin x  1  sin x 

 tgx 4  sin x 4  sin x 4
cos xdx
d  sin x 
   cos x   1  sin
dx   
• D6 = 4
 cos x 2 3
cosx x
2


1  1  u 4 
u 4 du 1  u2
du
 1  u   1  u  1  u
  du   du  I 2  I1
23 3 23 22
 1  u 2   
1  1  du
 1
d u
 2
1  u 2  du 1 u
 u u
 
I1    c  c
2 2 2
2 1
 u
1  u 2 1 u
1
1
 u
u
u   u
u

3 3
1  1  u   1  u  
du 11 1
 1  u  
I2    1  u  1  u   du  8 1  u  1  u  du
23 8  
 

32
Bài 4. Tích phân cơ bản c ủa các hàm số lượ ng giác

1 1 1 
1 3 1

     du


1  u  1  u 2   1  u 1  u 
3 3
8  1  u 
1  u2   1  u2  
2 2
du  1  1 u  1 u 
1 1 1
 
  6  3 du
1 u2   8  21  u2 
8 21 u 2 21 u 2 2 2 2
1 u2 
 
  
3 1 u  du 3 du
2
3 1 u
u u 3
 
     I1  ln c
2 22 2 22
8 1 u 41 u  8 16 1  u
41 u  8 1 u 
2


3 1 u
u 3
 D6  I2  I1   I1  ln  I1
22 16 1  u
8
4 1  u 
2u  5u 1  u 
2
3 1 u 1 u
u 5 u 3
    ln c  c
ln
2 2 2
16 1  u 16 1  u
8 1 u
4 1  u  8 1  u 
2 2

3
5u 3  3u 5  sin x   3sin x 3 1  sin x
3 1 u
  c  ln c
ln
22 4
16 1  u 16 1  sin x
8  cos x 
8 1  u 
3 . Các bài t ậ p dành cho b ạ n đ ọ c t ự g i ả i:


 tg 6x 20  cotg 3x 11  tg x 4  cotg 2x 6
  cos 6x    sin 3x    cos x    cos 2x 
D1  dx ; D2  dx; D3  dx ; D4  dx
8 21 3 5




33
Chươ ng II. Nguyên hàm và t ích phân  T rần Phươ ng

V. Dạng 5: Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng

1 . Phương pháp:


E5.1   cos mx   cos nx  dx  1  cos  m  n  x  cos  m  n  x  dx
 2

E5.2   sin mx   sin nx  dx  1  cos  m  n  x  cos  m  n  x dx
 2

E5.3   sin mx   cos nx  dx  1   sin  m  n  x  sin  m  n  x  dx
 2

E5.4   cos mx   sin nx  dx  1   sin  m  n  x  sin  m  n  x  dx
 2
2 . Các bài t ậ p m ẫ u minh h ọ a:

1
cos 2 x  cos 14 x  cos 4 x 
 
• E1 = cos2x .cos5x .cos9x dx 
2
1 1  sin16x sin12x sin6x sin2x 
  cos16x  cos12x   cos6x  cos2x  dx  
    c
4 4  16 12 6 2
 3 cos x  cos 3 x 
3
• E 2 =  cosx  sin8x dx 
  sin 8 x dx
4
1
 3cos x sin 8x  cos3x sin 8x  dx  1  3  sin 9x  sin 7x   1  sin11x  sin 5x  dx
 

4 2 
4 2
 
13 3 1 1 
   cos 9x  cos 7x  cos11x  cos 5x   c
89 7 11 5 
1
4
1  cos 2 x 2  sin 13x  sin 7 x  dx
• E 3 =  sinx   sin3x   cos10x  dx 
 
8
1
1  2cos 2x  cos 2x   sin13x  sin 7x  dx
2


8
1  cos 4x 
1
  sin13x  sin 7x  dx

  1  2 cos 2x 
8 2 
1
  3  4 cos 2x  cos 4x   sin13x  sin 7x  dx

16
1
 3 sin13x  sin 7x   4cos 2x sin13x  sin 7x   cos 4x  sin13x  sin 7x  dx

16

1
 3sin13x  sin 7x   2  sin15x  sin11x  sin 9x  sin 5x 

16 
1 
  sin17x  sin 9x  sin11x  sin 3x   dx

2



34
Bài 4. Tích phân cơ bản c ủa các hàm số lượ ng giác

1
 sin17x  4sin15x  6sin13x  3sin11x  3sin9x  6sin7x  4sin5x  sin3x dx


32
1 cos17x 4cos15x 6cos13x 3cos11x cos9x 6cos7x 4cos5x cos3x 
        c

32  17 15 13 11 3 7 5 3
5 3 2
• E4 =  cosx   sin5x  dx   cosx   cosx   sin 5 x  dx
 
cos3x  3cos x 1  cos 2x

   sin 5x dx
4 2

1
  cos 3x  3cos x  sin 5x   cos 3x  3cos x  cos 2x sin 5x  dx

8

 sin 7x  sin 3x  dx
1
  

  cos 3x  3cos x sin 5x  cos 3x  3cos x 
8 
2
1
  2 sin 5x  cos 3x  3cos x    cos 3x  3 cos x   sin 7x  sin 3x  dx

16

1
 2  sin 8x  sin 2x   6  sin 6x  sin 4x    sin10x  sin 4x  


32 

 3  sin 8x  sin 6x   sin 6x  3  sin 4x  sin 2x   dx


1
 sin10x  5sin 8x  10 sin 6x  10 sin 4x  5sin 2x  dx


32
1  cos10x 5 cos 8x 5 cos 6x 5 cos 4x 5 cos 2x 
     c

32  10 8 3 2 2 

 sin3x   sin4x   sin 3x   sin 4 x   sin 3x   sin 4 x 
  
dx  dx 
• E5 = dx
cos  2 x  x 
sin x  cos 2 x
tgx + cotg2x
cos x sin 2 x cosx .sin 2 x
1
 sin 2x   sin 3x   sin 4x  dx  2   cos 2x  cos 6x  sin 3x dx


1  cos5x cos x cos9x cos3x 
1
  sin5x  sin x    sin9x  sin 3x  dx 
    c

4 4 5 1 9 3

3 . Các bài t ậ p dành cho b ạ n đ ọ c t ự g i ả i:


 sin 8x 5 dx
4 3 5 2
E1   sin 3x   cos 2x  dx ; E 2   sin x   cos 5x  dx ; E 3 
    tg 3x  tg 5x  2




35
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản