TÍCH PHÂN CƠ BẢN CỦA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Chia sẻ: abcdef_7

Tham khảo tài liệu 'tích phân cơ bản của các hàm số lượng giác', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Bạn đang xem 7 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: TÍCH PHÂN CƠ BẢN CỦA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

 

  1. Bài 4. Tích phân cơ bản c ủa các hàm số lượ ng giác BÀI 4. TÍCH PHÂN CƠ BẢN CỦA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC A. C Ô NG TH Ứ C S Ử D Ụ NG 1 . K HAI TRI Ể N NH Ị T H Ứ C NEWTON  a  b n  Cn a n  Cn a n 1b  ...  Cn a n  k b k  ...  Cn 1 ab n 1  Cn b n 0 1 k n n n! k và m!  1.2....  m  1 m v ớ i q ui ư ớ c 0 !  1 t rong đ ó Cn  k ! n  k  ! 2 . CÁC CÔNG TH Ứ C NGUYÊN HÀM L Ư Ợ NG GIÁC 1 1  cos  ax  b  dx  a sin  ax  b   c  sin  ax  b  dx   a cos  ax  b   c dx 1 dx 1 tg  ax  b   c   cotg  ax  b   c  cos  sin  2 2  ax  b   ax  b  a a B. C ÁC D Ạ NG T ÍCH P H Â N n n   sinx  dx ; A1.2  cosx  dx  I. Dạng 1: A1.1 = 1 . C ô ng th ứ c h ạ b ậ c 1  cos 2x 1  cos 2x  sin 3x  3 sin x cos 3x  3 cos x sin2 x  ;cos2 x  ; sin3 x  ;cos3 x  2 2 4 4 2 . Ph ươ ng ph áp 2.1. N ếu n c h ẵ n t h ì s ử d ụ ng c ô ng th ứ c h ạ b ậ c 2.2. N ếu n  3 t h ì s ử d ụ ng c ô ng th ứ c h ạ b ậ c h o ặ c b i ế n đ ổ i t heo 2.3. 2.3. N ếu 3  n l ẻ ( n  2 p  1) th ì t h ự c h i ệ n b i ế n đ ổ i : p n 2p+1 2p dx   sin x  sin xdx   1  cos 2 x  d  cos x  A1.1 =  sinx  dx =  sinx      25
  2. Chươ ng II. Nguyên hàm và t ích phân  T rần Phươ ng k p 0    Cp  Cp cos x  ...   1 Cp  cos x   ...   1 Cp  cos x   d  cos x  kk pp 1 2 2 2     1k k  1p p 0 2p 1  11 2k 1 3 Cp  cos x  Cp  cos x    c   Cp cos x  Cp cos x  ...   ...  2k  1 2p 1 3     1  sin 2 x  p d  sin x  n 2p+1 2p A1.2 =  cosx  dx =  cosx  dx   cos x  cos xdx      k p   C0  C1 sin 2 x  ...   1 Ck  sin 2 x   ...   1 C p  sin 2 x   d  sin x  k p  p  p p p  1k k  1p p  2p 1  1 2k 1   C0 sin x  C1 sin 3 x  ...  C p  sin x  C p  sin x   ...  c p p 2k  1 2p  1 3   3  1  cos 2 x  3 • A1 =  cos xdx =   cos 2 x  dx    6  dx 2   1 1  cos 2x 3 dx  1  1  3cos 2x  3cos 2x  cos 2x  dx 2 3   4 4 3 1  2 cos 4x  cos 3x  3cos x  1    1  3 cos 2x    dx 4 2 4  1 1    7x  6 sin 2x  3sin 4x  sin 3x  3sin x   c 16  3  1 4 9 8  1  cos 5 x  d  cos 5 x  2 • A2 =  sin5x  dx   sin 5 x   sin 5 x  dx     5 1  1  4 cos 5x  6 cos 5x  4 cos 5x  cos 5x  d  cos 5x  2 4 6 8  5 1 4 6 4 1  3 5 7 9    cos 5x  cos 5x  cos 5x  cos 5x  cos 5x   c 5 3 5 7 9  II. Dạng 2: B = sin m x cos n x dx  ( m, n  N) 1 . P hương pháp : 1.1. Tr ư ờ ng h ợ p 1: m, n là các s ố nguyên a. N ếu m chẵ n, n chẵ n t hì s ử dụ ng công thứ c hạ bậ c, b i ến đ ổi tích thành t ổ ng. b. N ếu m c h ẵ n , n l ẻ ( n  2p  1) t h ì b i ế n đ ổ i : 26
  3. Bài 4. Tích phân cơ bản c ủa các hàm số lượ ng giác p m 2p+1 m 2p m dx   sin x   cos x cos xdx   sin x 1  sin2 x d  sin x B =  sinx  cosx     k p m 0    sin x  Cp  Cp sin x  ...   1 Cp  sin x   ...   1 Cp  sin x   d  sin x   kk pp 1 2 2 2     0  sin x m1 m3 2k 1 m 2p1 m  1  sin x  k k  sin x  p p  sin x   ...   1 Cp  ...   1 Cp  Cp c Cp m 1 m3 2k  1  m 2p  1  m     c. N ếu m c h ẵ n , n l ẻ ( n  2p  1) th ì b i ến đ ổ i : p 2p+1  cosx n dx   cos x n  sin x 2 p sin xdx    cos x n 1  cos2 x d  cos x B =  sinx     k p n 0     cos x  Cp  Cp cos x  ...   1 Cp  cos x   ...   1 Cp  cos x   d  cosx   kk pp 1 2 2 2     0  cosx n 1 n 3 2k 1 n 2p 1 n  1  cosx  k k  cos x  p p  cos x   ...   1 Cp  ...   1 Cp  Cp  Cp  c n 1 n 3 2k  1  n 2p  1  n     d. N ếu m l ẻ, n l ẻ t h ì s ử d ụ ng b i ến đ ổ i 1 .2. ho ặ c 1 .3. cho s ố mũ l ẻ b é h ơ n . 1.2. N ếu m, n l à các s ố hữ u tỉ t hì bi ế n đ ổi và đ ặt u  sinx ta có: n 1 m 1 B  sin m x cos n xdx   sin x   cos 2 x  cos xdx  u m 1  u 2  m    du ( *) 2 2 m 1 n 1 m  k • T ích p h â n (*) t ính đ ư ợ c  1 t rong 3 s ố là s ố n guy ê n ; ; 2 2 2 2 . Các bài t ậ p m ẫ u minh h ọ a 1 2 4  sin 2 x 2  cos x 2 dx • B1 =  sinx   cosx  dx    4 1 1  1  cos 4x  1  cos 2x  dx  16  1  cos 2x  cos 4x  cos 2x cos 4x  dx  16 1 1    1  cos 2x  cos 4x  2  cos 6x  cos 2x  dx    16 1 1 sin 2x sin 4x sin 6x    2  cos 2x  2 cos 4x  cos 6x  dx  32  2x     c 32 2 2 6  9 111 111 8 • B2 =  sin5x   cos5x  dx   cos 5 x   sin 5 x  sin 5 x dx   27
  4. Chươ ng II. Nguyên hàm và t ích phân  T rần Phươ ng 1 4  cos 5x 111 1  cos 2 5x  d  cos 5x    5 1  cos 5x 111 1  4 cos 2 5x  6 cos 4 5x  4 cos6 5x  cos8 5x  d  cos 5x    5 112 114 116 118  cos 5x 120  1   cos 5x  4  cos 5x  6  cos 5x  4  cos 5x        c 5  112 114 116 118 120   sin3x7 4 4 1 3 6  cos3x 5 1 cos2 3x d  cos3x dx   cos3x 5  sin3x  sin3xdx     • B3 = 5 3 cos4 3x 4 1  cos 3x  5 1  3 cos2 3x  3cos4 3x  cos 6 3x  d  cos 3x    3 1  15 15 5 1 11 21 31  5  cos 3x  5   cos 3x  5   cos 3x  5   cos 3x  5   c  3 11 21 31   3 dx dx 1  1  dx   sinx    • B4 =     3  cosx 5 3 tg 3 x  cos 2 x  cos 2 x  cos x  sin x 8 cos x 3 1  tg x  2 2 4 6 1  3 tg x  3 tg x  tg x d  tg x   d  tg x      tg x 3 3 tg x 3  3 1 32 14 3   tg x    3tg x  tg x d  tg x     3ln tg x  tg x  tg x  c 2 tg x 2 4   2tg x 1  sin4 x  sin4 x d  sin x  dx cos xdx  sin4 xcosx  sin4 x cos2 x  sin4 x 1 sin2 x  sin4 x 1 sin2 x d  sin x    • B5 = 2 d  sinx  1  sin x 1 1 1 sin x 1 d  sin x     1 sin     ln c 4 2 3 sin x 2 1  sin x 3  sin x  sin x x 5 1 5 4 dx   sin x   cos x  3 dx    sin x  3  cos x  3 cos x dx   • B6 = 3 3 sin 5 xcosx 2 5 2  1  u2 3 5 4 1  u  3 2 3   sin x   cos x  d  sin x   u 3    du  u  2  du 3 3   u  13 13  1  u2  cos 2 x   1  u2 2 3 2  v3  2u du  3v dv ; v   2   tg x  3 Đặt        2 u2 u  sin x   2  1  u2 3 2 3 3 3 3 dv   v  c    tg x  3  c  B6  u  2    du    2 2 2 u  28
  5. Bài 4. Tích phân cơ bản c ủa các hàm số lượ ng giác 5 2 1 dx 3   tg x  3 d  tg x     tg x  3  C ách 2: B7    c 2 2 5 cos x   sin x 3 cos x n n   tg x    cotg x  ( n N) III. Dạng 3: C 3 . 1 = dx ; C 3 . 2 = dx 1 . C ô ng th ứ c s ử d ụ ng dx  1  tg x  dx   cos x   d  tg x   tg x  c 2 • 2 dx  1  cotg x  dx    sin x    d  cotg x    cotg x  c 2 • 2 d  cos x  sin x    tg xdx  dx     ln cos x  c • cos x cos x d  sin x  cos x    cotg xdx  dx   ln sin x  c • sin x sin x 2 . Các bài t ậ p m ẫ u minh h ọ a 2k  2 2k 4 2k 6   tg x 1 tg x   tg x 1 tg x   tg x 1 tg x  2k 2 2 2   tgx dx  • C1 = 1 tg2 x  ...   1k1  tg x0 1 tg2 x    1k  dx 2k 8   tg x   2k  2 2k  4 2k  6 k 1 0 k   tg x   ...   1  tg x   d  tg x    1 dx   tg x    tg x       tg x 2k 1   tg x 2k 3   tg x 2k 5     1k 1 tg x   1k x  c  2k  1 2k  3 2k  5 1 2 k 1 2 k 3 2k +1   tg x  1  tg x    tg x  1  tg 2 x   2   tgx  dx  • C2 = 1  tg 2 x   ...   1k 1  tg x  1  tg 2 x    1k tg x  dx 2k  5   tg x   k 1 k 2k 1 2k 3 2k 5   tg x   ...   1  tg x   d  tg x    1 tg xdx   tg x    tg x      2k  2 2k  4 2k 2  tg x   tg x   tg x   tg x  k 1 k       1   1 ln cos x  c    2k  2 2k  4 2k 2 2k  2 1  co tg 2 x    cotg x 2 k 4 1  co tg 2 x   2k   cotgx    cotg x  dx  • C3 = 1  co tg 2 x   ...   1k 1  cotg x 0 1  co tg 2 x    1k  dx 2k  6   cotg x   29
  6. Chươ ng II. Nguyên hàm và t ích phân  T rần Phươ ng 2k  2 2k  4 k 1 0 k    cotg x   ...   1  cotg x   d  cotg x    1 dx   cotg x        cotg x 2k 1  cotg x 2k 3  cotg x 2k 5  k 1 cotg x k       1    1 x  c     2k  1 2k  3 2k  5 1 2 k 1 2 k 3 2k+1   cotg x  1  co tg x    cotg x  1  co tg 2 x   2   cotgx  dx  • C4 = 1  co tg2 x   ...   1k 1  cotg x 1 1  co tg2 x    1k cotg x  dx 2k 5   cotg x   k 1 k 2k 1 2k  3    cotg x   ...   1  cotg x   d  cotg x    1 cotg x dx   cotg x        cotg x  2k  cotg x 2k 2 2  k 1  cotg x  k       1    1 ln sin x  c    2k  2 2k 2   5 5 4 3 2 dx   tg x   5  tg x  cotg x  10  tg x   cotg x     tgx + cotgx   • C5 =  2 3 4 5 10  tg x   cotg x   5 tg x  cotg x    cotg x   dx  5 5 3 3   tg x    cotg x   5  tg x   5  cotg x   10 tg x  10 cotg x  dx    5 3 5 3    tg x   5  tg x   10 tg x  dx   cotg x   5  cotg x   10 cotg x  dx        tg x  1  tg x   4tg x 1  tg x   6tg x  dx 3 2 2      cotg x  1  cotg x   4cotg x 1  cotg x   6cotg x  dx 3 2 2    3 3   tg x   4tg x  d  tg x   6 tg x dx   cotg x   4cotg x  d  cotg x   6 cotg x dx         4 4  tg x   cotg x  2 2   2tg x  6ln cos x   2cotg x  6ln sin x  c 4 4  tg x  m  cotg x  m   cos x   IV. Dạng 4: D 4 . 1 = dx ; D4 . 2 = dx n  sin x n  tg x m   cos x  X ét đ ạ i d i ệ n D4.1  dx 1 . Phương pháp: n 1.1. N ếu n ch ẵ n (n  2k) thì bi ế n đ ổi:  tgx m k 1 1 dx m k 1   tg x  1  tg 2 x  d  tg x  m dx   tg x      D4.1 =  2k 2 2  cosx   cos x  cos x k 1 1 p   tg x  C0 1  C1 1  tg 2 x   ...  Ck 1  tg 2 x   ...  Ck 1  tg 2 x   d  tg x  m  p  k  k k1  tg x m1  tg x m3  tg x m 2p1  tg x m 2k 1 Ck 1  C0 1 C1 1 p k1   ...   ...  c Ck 1  k k m 1 m3 m  2p  1 m  2k  1 30
  7. Bài 4. Tích phân cơ bản c ủa các hàm số lượ ng giác 1.2. N ếu m l ẻ, n l ẻ ( m  2k  1, n  2h  1) thì bi ế n đ ổi:  tgx 2k+1 2h 2h tg x 1 1 sin x  tg x 2k  k   tg x  2   cosx   dx  dx  D4 .1 = dx     2h+1 cos 2 x  cos x  cosx  cos x  k 2h 1  1  1 1 k   u  1 2 2h  (ở đ â y u    1   ) d u du  2   cos x   cos x  cos x  cos x k 1 kp k  u 2h C0  u 2   C1  u 2   ...   1 C p  u 2   ...   1 C k  du p k  k k k k 2k  2h 1 2k  2h 1 2k  2h  2p1 2h 1 u 1u u k ku pp 0  ...   1 Ck  ...   1 Ck  Ck  Ck c 2k  2h 1 2k  2h 1 2k  2h  2p 1 2h 1 1.3. N ếu m ch ẵ n, n l ẻ ( m  2k, n  2 h  1) thì sử dụ ng b i ế n đ ổi:  tg x 2k  sin x 2k cos x  sin x 2k d  sin x  ;  u  s inx     D4.1  dx  dx     cos x 2h 1 k  h 1  cos x 2 k  h 1 1  sin 2 x  1  1  u 2  2k 2 2k 2 2k 2 2k u du u u du u du    1  u   1  u  1  u D4.1   du   k  h 1 k  h 1 k  h 1 k h  1  u 2    2 2 2 H ệ t h ứ c t r ê n l à h ệ t h ứ c truy h ồ i, k ết h ợ p v ớ i b ài t ích p h â n h àm p h â n th ứ c h ữ u t ỉ t a c ó t h ể t ính đ ư ợ c D 4.1. 2 . Các bài t ậ p m ẫ u minh h ọ a:  tg3x7 2 1 dx 1 7  2 7   tg3x 1  tg 3x 2   tg3x  d  tg3x   cos3x • D1 = dx   2 6 2   cos3x   cos3x 3 8  tg3x10  tg3x 12  1   tg3x  1  tg3x 7 1  2 tg3x2   tg3x4  d  tg3x      2   c   3 3 8 10 12   cotg5x 10 3 1 dx   10   cotg 5x   • D2 = dx   2  sin5x 8 2   sin 5 x    sin 5 x  1 3  cotg 5x 10 1  cotg 2 5x  d  cotg 5x      5 11  cotg 5x 13  cotg 5x 15  cotg 5x 17  1   cotg 5x    c 3 3  5 11 13 15 17   tg4x 7 94 tg 4 x 1 6 dx   tg 4 x     cos4x   • D3 = dx  95  cos 4 x  cos 4 x 31
  8. Chươ ng II. Nguyên hàm và t ích phân  T rần Phươ ng 3 94 1 1  1   1  1 94  2 3     1   u u  1 du  d 4   cos 4x  2   cos 4x   cos 4x  4  101 99 97 95  du  1  u  3 u  3 u  u   c 1 94  6 4 2   u u  3u  3u  1   4 4  101 99 97 95  1 1 1 3 1      c  cos 4x 95  101 99 97 4 101  cos 4x   cos 4x   cos 4x  33 97 95   cotg3x 9 40 cotg 3 x 1 8 dx   cotg 3x     sin3x   • D4 = dx  41  sin 3 x  sin 3x 4 40 1 1  1   1  1 40 2 4    u  u  1 du      2  1   d 3  sin x   sin 3x   sin 3x  3 49 47 45 43 41 1 u u 1 40  8 u u u 4 u u  4u  6u  4u  1 du    6 4 2   4 6 4  c 3 3  49 47 45 43 41  1 1 4 2 4 1        c 41  49 47 45 43 3  49  sin 3x  47  sin 3x  15  sin 3x  43  sin 3x  41 sin 3x    tgx 2 dx 2  sin x 2 cos xdx  sin x    d sin x        • D5 = 2 2  1  sin2 x  cosx  cos x   cos x  2 2  1  sin x   1  sin x   1 1    d  sin x    1  sin x  1  sin x  d  sin x      1  sin x  1  sin x     1  sin x 1 1 2 1 1   d sin x         ln c 2 2 2 1  sin x 1  sin x 1  sin x  1  sin x  1  sin x  1  sin x   tgx 4  sin x 4  sin x 4 cos xdx d  sin x     cos x   1  sin dx    • D6 = 4  cos x 2 3 cosx x 2 1  1  u 4  u 4 du 1  u2 du  1  u   1  u  1  u   du   du  I 2  I1 23 3 23 22  1  u 2    1  1  du  1 d u  2 1  u 2  du 1 u  u u   I1    c  c 2 2 2 2 1  u 1  u 2 1 u 1 1  u u u   u u  3 3 1  1  u   1  u   du 11 1  1  u   I2    1  u  1  u   du  8 1  u  1  u  du 23 8     32
  9. Bài 4. Tích phân cơ bản c ủa các hàm số lượ ng giác 1 1 1  1 3 1       du   1  u  1  u 2   1  u 1  u  3 3 8  1  u  1  u2   1  u2   2 2 du  1  1 u  1 u  1 1 1     6  3 du 1 u2   8  21  u2  8 21 u 2 21 u 2 2 2 2 1 u2       3 1 u  du 3 du 2 3 1 u u u 3        I1  ln c 2 22 2 22 8 1 u 41 u  8 16 1  u 41 u  8 1 u  2 3 1 u u 3  D6  I2  I1   I1  ln  I1 22 16 1  u 8 4 1  u  2u  5u 1  u  2 3 1 u 1 u u 5 u 3     ln c  c ln 2 2 2 16 1  u 16 1  u 8 1 u 4 1  u  8 1  u  2 2 3 5u 3  3u 5  sin x   3sin x 3 1  sin x 3 1 u   c  ln c ln 22 4 16 1  u 16 1  sin x 8  cos x  8 1  u  3 . Các bài t ậ p dành cho b ạ n đ ọ c t ự g i ả i:  tg 6x 20  cotg 3x 11  tg x 4  cotg 2x 6   cos 6x    sin 3x    cos x    cos 2x  D1  dx ; D2  dx; D3  dx ; D4  dx 8 21 3 5 33
  10. Chươ ng II. Nguyên hàm và t ích phân  T rần Phươ ng V. Dạng 5: Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng 1 . Phương pháp: E5.1   cos mx   cos nx  dx  1  cos  m  n  x  cos  m  n  x  dx  2 E5.2   sin mx   sin nx  dx  1  cos  m  n  x  cos  m  n  x dx  2 E5.3   sin mx   cos nx  dx  1   sin  m  n  x  sin  m  n  x  dx  2 E5.4   cos mx   sin nx  dx  1   sin  m  n  x  sin  m  n  x  dx  2 2 . Các bài t ậ p m ẫ u minh h ọ a: 1 cos 2 x  cos 14 x  cos 4 x    • E1 = cos2x .cos5x .cos9x dx  2 1 1  sin16x sin12x sin6x sin2x    cos16x  cos12x   cos6x  cos2x  dx       c 4 4  16 12 6 2  3 cos x  cos 3 x  3 • E 2 =  cosx  sin8x dx    sin 8 x dx 4 1  3cos x sin 8x  cos3x sin 8x  dx  1  3  sin 9x  sin 7x   1  sin11x  sin 5x  dx    4 2  4 2   13 3 1 1     cos 9x  cos 7x  cos11x  cos 5x   c 89 7 11 5  1 4 1  cos 2 x 2  sin 13x  sin 7 x  dx • E 3 =  sinx   sin3x   cos10x  dx    8 1 1  2cos 2x  cos 2x   sin13x  sin 7x  dx 2   8 1  cos 4x  1   sin13x  sin 7x  dx    1  2 cos 2x  8 2  1   3  4 cos 2x  cos 4x   sin13x  sin 7x  dx  16 1  3 sin13x  sin 7x   4cos 2x sin13x  sin 7x   cos 4x  sin13x  sin 7x  dx  16  1  3sin13x  sin 7x   2  sin15x  sin11x  sin 9x  sin 5x   16  1    sin17x  sin 9x  sin11x  sin 3x   dx  2 34
  11. Bài 4. Tích phân cơ bản c ủa các hàm số lượ ng giác 1  sin17x  4sin15x  6sin13x  3sin11x  3sin9x  6sin7x  4sin5x  sin3x dx   32 1 cos17x 4cos15x 6cos13x 3cos11x cos9x 6cos7x 4cos5x cos3x          c  32  17 15 13 11 3 7 5 3 5 3 2 • E4 =  cosx   sin5x  dx   cosx   cosx   sin 5 x  dx   cos3x  3cos x 1  cos 2x     sin 5x dx 4 2 1   cos 3x  3cos x  sin 5x   cos 3x  3cos x  cos 2x sin 5x  dx  8  sin 7x  sin 3x  dx 1       cos 3x  3cos x sin 5x  cos 3x  3cos x  8  2 1   2 sin 5x  cos 3x  3cos x    cos 3x  3 cos x   sin 7x  sin 3x  dx  16 1  2  sin 8x  sin 2x   6  sin 6x  sin 4x    sin10x  sin 4x     32    3  sin 8x  sin 6x   sin 6x  3  sin 4x  sin 2x   dx  1  sin10x  5sin 8x  10 sin 6x  10 sin 4x  5sin 2x  dx   32 1  cos10x 5 cos 8x 5 cos 6x 5 cos 4x 5 cos 2x       c  32  10 8 3 2 2   sin3x   sin4x   sin 3x   sin 4 x   sin 3x   sin 4 x     dx  dx  • E5 = dx cos  2 x  x  sin x  cos 2 x tgx + cotg2x cos x sin 2 x cosx .sin 2 x 1  sin 2x   sin 3x   sin 4x  dx  2   cos 2x  cos 6x  sin 3x dx  1  cos5x cos x cos9x cos3x  1   sin5x  sin x    sin9x  sin 3x  dx      c  4 4 5 1 9 3 3 . Các bài t ậ p dành cho b ạ n đ ọ c t ự g i ả i:  sin 8x 5 dx 4 3 5 2 E1   sin 3x   cos 2x  dx ; E 2   sin x   cos 5x  dx ; E 3      tg 3x  tg 5x  2 35
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản