TÍCH PHÂN CƠ BẢN CỦA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Chia sẻ: Abcdef_7 Abcdef_7 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:11

0
390
lượt xem
46
download

TÍCH PHÂN CƠ BẢN CỦA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'tích phân cơ bản của các hàm số lượng giác', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: TÍCH PHÂN CƠ BẢN CỦA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

  1. Bài 4. Tích phân cơ bản c ủa các hàm số lượ ng giác BÀI 4. TÍCH PHÂN CƠ BẢN CỦA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC A. C Ô NG TH Ứ C S Ử D Ụ NG 1 . K HAI TRI Ể N NH Ị T H Ứ C NEWTON  a  b n  Cn a n  Cn a n 1b  ...  Cn a n  k b k  ...  Cn 1 ab n 1  Cn b n 0 1 k n n n! k và m!  1.2....  m  1 m v ớ i q ui ư ớ c 0 !  1 t rong đ ó Cn  k ! n  k  ! 2 . CÁC CÔNG TH Ứ C NGUYÊN HÀM L Ư Ợ NG GIÁC 1 1  cos  ax  b  dx  a sin  ax  b   c  sin  ax  b  dx   a cos  ax  b   c dx 1 dx 1 tg  ax  b   c   cotg  ax  b   c  cos  sin  2 2  ax  b   ax  b  a a B. C ÁC D Ạ NG T ÍCH P H Â N n n   sinx  dx ; A1.2  cosx  dx  I. Dạng 1: A1.1 = 1 . C ô ng th ứ c h ạ b ậ c 1  cos 2x 1  cos 2x  sin 3x  3 sin x cos 3x  3 cos x sin2 x  ;cos2 x  ; sin3 x  ;cos3 x  2 2 4 4 2 . Ph ươ ng ph áp 2.1. N ếu n c h ẵ n t h ì s ử d ụ ng c ô ng th ứ c h ạ b ậ c 2.2. N ếu n  3 t h ì s ử d ụ ng c ô ng th ứ c h ạ b ậ c h o ặ c b i ế n đ ổ i t heo 2.3. 2.3. N ếu 3  n l ẻ ( n  2 p  1) th ì t h ự c h i ệ n b i ế n đ ổ i : p n 2p+1 2p dx   sin x  sin xdx   1  cos 2 x  d  cos x  A1.1 =  sinx  dx =  sinx      25
  2. Chươ ng II. Nguyên hàm và t ích phân  T rần Phươ ng k p 0    Cp  Cp cos x  ...   1 Cp  cos x   ...   1 Cp  cos x   d  cos x  kk pp 1 2 2 2     1k k  1p p 0 2p 1  11 2k 1 3 Cp  cos x  Cp  cos x    c   Cp cos x  Cp cos x  ...   ...  2k  1 2p 1 3     1  sin 2 x  p d  sin x  n 2p+1 2p A1.2 =  cosx  dx =  cosx  dx   cos x  cos xdx      k p   C0  C1 sin 2 x  ...   1 Ck  sin 2 x   ...   1 C p  sin 2 x   d  sin x  k p  p  p p p  1k k  1p p  2p 1  1 2k 1   C0 sin x  C1 sin 3 x  ...  C p  sin x  C p  sin x   ...  c p p 2k  1 2p  1 3   3  1  cos 2 x  3 • A1 =  cos xdx =   cos 2 x  dx    6  dx 2   1 1  cos 2x 3 dx  1  1  3cos 2x  3cos 2x  cos 2x  dx 2 3   4 4 3 1  2 cos 4x  cos 3x  3cos x  1    1  3 cos 2x    dx 4 2 4  1 1    7x  6 sin 2x  3sin 4x  sin 3x  3sin x   c 16  3  1 4 9 8  1  cos 5 x  d  cos 5 x  2 • A2 =  sin5x  dx   sin 5 x   sin 5 x  dx     5 1  1  4 cos 5x  6 cos 5x  4 cos 5x  cos 5x  d  cos 5x  2 4 6 8  5 1 4 6 4 1  3 5 7 9    cos 5x  cos 5x  cos 5x  cos 5x  cos 5x   c 5 3 5 7 9  II. Dạng 2: B = sin m x cos n x dx  ( m, n  N) 1 . P hương pháp : 1.1. Tr ư ờ ng h ợ p 1: m, n là các s ố nguyên a. N ếu m chẵ n, n chẵ n t hì s ử dụ ng công thứ c hạ bậ c, b i ến đ ổi tích thành t ổ ng. b. N ếu m c h ẵ n , n l ẻ ( n  2p  1) t h ì b i ế n đ ổ i : 26
  3. Bài 4. Tích phân cơ bản c ủa các hàm số lượ ng giác p m 2p+1 m 2p m dx   sin x   cos x cos xdx   sin x 1  sin2 x d  sin x B =  sinx  cosx     k p m 0    sin x  Cp  Cp sin x  ...   1 Cp  sin x   ...   1 Cp  sin x   d  sin x   kk pp 1 2 2 2     0  sin x m1 m3 2k 1 m 2p1 m  1  sin x  k k  sin x  p p  sin x   ...   1 Cp  ...   1 Cp  Cp c Cp m 1 m3 2k  1  m 2p  1  m     c. N ếu m c h ẵ n , n l ẻ ( n  2p  1) th ì b i ến đ ổ i : p 2p+1  cosx n dx   cos x n  sin x 2 p sin xdx    cos x n 1  cos2 x d  cos x B =  sinx     k p n 0     cos x  Cp  Cp cos x  ...   1 Cp  cos x   ...   1 Cp  cos x   d  cosx   kk pp 1 2 2 2     0  cosx n 1 n 3 2k 1 n 2p 1 n  1  cosx  k k  cos x  p p  cos x   ...   1 Cp  ...   1 Cp  Cp  Cp  c n 1 n 3 2k  1  n 2p  1  n     d. N ếu m l ẻ, n l ẻ t h ì s ử d ụ ng b i ến đ ổ i 1 .2. ho ặ c 1 .3. cho s ố mũ l ẻ b é h ơ n . 1.2. N ếu m, n l à các s ố hữ u tỉ t hì bi ế n đ ổi và đ ặt u  sinx ta có: n 1 m 1 B  sin m x cos n xdx   sin x   cos 2 x  cos xdx  u m 1  u 2  m    du ( *) 2 2 m 1 n 1 m  k • T ích p h â n (*) t ính đ ư ợ c  1 t rong 3 s ố là s ố n guy ê n ; ; 2 2 2 2 . Các bài t ậ p m ẫ u minh h ọ a 1 2 4  sin 2 x 2  cos x 2 dx • B1 =  sinx   cosx  dx    4 1 1  1  cos 4x  1  cos 2x  dx  16  1  cos 2x  cos 4x  cos 2x cos 4x  dx  16 1 1    1  cos 2x  cos 4x  2  cos 6x  cos 2x  dx    16 1 1 sin 2x sin 4x sin 6x    2  cos 2x  2 cos 4x  cos 6x  dx  32  2x     c 32 2 2 6  9 111 111 8 • B2 =  sin5x   cos5x  dx   cos 5 x   sin 5 x  sin 5 x dx   27
  4. Chươ ng II. Nguyên hàm và t ích phân  T rần Phươ ng 1 4  cos 5x 111 1  cos 2 5x  d  cos 5x    5 1  cos 5x 111 1  4 cos 2 5x  6 cos 4 5x  4 cos6 5x  cos8 5x  d  cos 5x    5 112 114 116 118  cos 5x 120  1   cos 5x  4  cos 5x  6  cos 5x  4  cos 5x        c 5  112 114 116 118 120   sin3x7 4 4 1 3 6  cos3x 5 1 cos2 3x d  cos3x dx   cos3x 5  sin3x  sin3xdx     • B3 = 5 3 cos4 3x 4 1  cos 3x  5 1  3 cos2 3x  3cos4 3x  cos 6 3x  d  cos 3x    3 1  15 15 5 1 11 21 31  5  cos 3x  5   cos 3x  5   cos 3x  5   cos 3x  5   c  3 11 21 31   3 dx dx 1  1  dx   sinx    • B4 =     3  cosx 5 3 tg 3 x  cos 2 x  cos 2 x  cos x  sin x 8 cos x 3 1  tg x  2 2 4 6 1  3 tg x  3 tg x  tg x d  tg x   d  tg x      tg x 3 3 tg x 3  3 1 32 14 3   tg x    3tg x  tg x d  tg x     3ln tg x  tg x  tg x  c 2 tg x 2 4   2tg x 1  sin4 x  sin4 x d  sin x  dx cos xdx  sin4 xcosx  sin4 x cos2 x  sin4 x 1 sin2 x  sin4 x 1 sin2 x d  sin x    • B5 = 2 d  sinx  1  sin x 1 1 1 sin x 1 d  sin x     1 sin     ln c 4 2 3 sin x 2 1  sin x 3  sin x  sin x x 5 1 5 4 dx   sin x   cos x  3 dx    sin x  3  cos x  3 cos x dx   • B6 = 3 3 sin 5 xcosx 2 5 2  1  u2 3 5 4 1  u  3 2 3   sin x   cos x  d  sin x   u 3    du  u  2  du 3 3   u  13 13  1  u2  cos 2 x   1  u2 2 3 2  v3  2u du  3v dv ; v   2   tg x  3 Đặt        2 u2 u  sin x   2  1  u2 3 2 3 3 3 3 dv   v  c    tg x  3  c  B6  u  2    du    2 2 2 u  28
  5. Bài 4. Tích phân cơ bản c ủa các hàm số lượ ng giác 5 2 1 dx 3   tg x  3 d  tg x     tg x  3  C ách 2: B7    c 2 2 5 cos x   sin x 3 cos x n n   tg x    cotg x  ( n N) III. Dạng 3: C 3 . 1 = dx ; C 3 . 2 = dx 1 . C ô ng th ứ c s ử d ụ ng dx  1  tg x  dx   cos x   d  tg x   tg x  c 2 • 2 dx  1  cotg x  dx    sin x    d  cotg x    cotg x  c 2 • 2 d  cos x  sin x    tg xdx  dx     ln cos x  c • cos x cos x d  sin x  cos x    cotg xdx  dx   ln sin x  c • sin x sin x 2 . Các bài t ậ p m ẫ u minh h ọ a 2k  2 2k 4 2k 6   tg x 1 tg x   tg x 1 tg x   tg x 1 tg x  2k 2 2 2   tgx dx  • C1 = 1 tg2 x  ...   1k1  tg x0 1 tg2 x    1k  dx 2k 8   tg x   2k  2 2k  4 2k  6 k 1 0 k   tg x   ...   1  tg x   d  tg x    1 dx   tg x    tg x       tg x 2k 1   tg x 2k 3   tg x 2k 5     1k 1 tg x   1k x  c  2k  1 2k  3 2k  5 1 2 k 1 2 k 3 2k +1   tg x  1  tg x    tg x  1  tg 2 x   2   tgx  dx  • C2 = 1  tg 2 x   ...   1k 1  tg x  1  tg 2 x    1k tg x  dx 2k  5   tg x   k 1 k 2k 1 2k 3 2k 5   tg x   ...   1  tg x   d  tg x    1 tg xdx   tg x    tg x      2k  2 2k  4 2k 2  tg x   tg x   tg x   tg x  k 1 k       1   1 ln cos x  c    2k  2 2k  4 2k 2 2k  2 1  co tg 2 x    cotg x 2 k 4 1  co tg 2 x   2k   cotgx    cotg x  dx  • C3 = 1  co tg 2 x   ...   1k 1  cotg x 0 1  co tg 2 x    1k  dx 2k  6   cotg x   29
  6. Chươ ng II. Nguyên hàm và t ích phân  T rần Phươ ng 2k  2 2k  4 k 1 0 k    cotg x   ...   1  cotg x   d  cotg x    1 dx   cotg x        cotg x 2k 1  cotg x 2k 3  cotg x 2k 5  k 1 cotg x k       1    1 x  c     2k  1 2k  3 2k  5 1 2 k 1 2 k 3 2k+1   cotg x  1  co tg x    cotg x  1  co tg 2 x   2   cotgx  dx  • C4 = 1  co tg2 x   ...   1k 1  cotg x 1 1  co tg2 x    1k cotg x  dx 2k 5   cotg x   k 1 k 2k 1 2k  3    cotg x   ...   1  cotg x   d  cotg x    1 cotg x dx   cotg x        cotg x  2k  cotg x 2k 2 2  k 1  cotg x  k       1    1 ln sin x  c    2k  2 2k 2   5 5 4 3 2 dx   tg x   5  tg x  cotg x  10  tg x   cotg x     tgx + cotgx   • C5 =  2 3 4 5 10  tg x   cotg x   5 tg x  cotg x    cotg x   dx  5 5 3 3   tg x    cotg x   5  tg x   5  cotg x   10 tg x  10 cotg x  dx    5 3 5 3    tg x   5  tg x   10 tg x  dx   cotg x   5  cotg x   10 cotg x  dx        tg x  1  tg x   4tg x 1  tg x   6tg x  dx 3 2 2      cotg x  1  cotg x   4cotg x 1  cotg x   6cotg x  dx 3 2 2    3 3   tg x   4tg x  d  tg x   6 tg x dx   cotg x   4cotg x  d  cotg x   6 cotg x dx         4 4  tg x   cotg x  2 2   2tg x  6ln cos x   2cotg x  6ln sin x  c 4 4  tg x  m  cotg x  m   cos x   IV. Dạng 4: D 4 . 1 = dx ; D4 . 2 = dx n  sin x n  tg x m   cos x  X ét đ ạ i d i ệ n D4.1  dx 1 . Phương pháp: n 1.1. N ếu n ch ẵ n (n  2k) thì bi ế n đ ổi:  tgx m k 1 1 dx m k 1   tg x  1  tg 2 x  d  tg x  m dx   tg x      D4.1 =  2k 2 2  cosx   cos x  cos x k 1 1 p   tg x  C0 1  C1 1  tg 2 x   ...  Ck 1  tg 2 x   ...  Ck 1  tg 2 x   d  tg x  m  p  k  k k1  tg x m1  tg x m3  tg x m 2p1  tg x m 2k 1 Ck 1  C0 1 C1 1 p k1   ...   ...  c Ck 1  k k m 1 m3 m  2p  1 m  2k  1 30
  7. Bài 4. Tích phân cơ bản c ủa các hàm số lượ ng giác 1.2. N ếu m l ẻ, n l ẻ ( m  2k  1, n  2h  1) thì bi ế n đ ổi:  tgx 2k+1 2h 2h tg x 1 1 sin x  tg x 2k  k   tg x  2   cosx   dx  dx  D4 .1 = dx     2h+1 cos 2 x  cos x  cosx  cos x  k 2h 1  1  1 1 k   u  1 2 2h  (ở đ â y u    1   ) d u du  2   cos x   cos x  cos x  cos x k 1 kp k  u 2h C0  u 2   C1  u 2   ...   1 C p  u 2   ...   1 C k  du p k  k k k k 2k  2h 1 2k  2h 1 2k  2h  2p1 2h 1 u 1u u k ku pp 0  ...   1 Ck  ...   1 Ck  Ck  Ck c 2k  2h 1 2k  2h 1 2k  2h  2p 1 2h 1 1.3. N ếu m ch ẵ n, n l ẻ ( m  2k, n  2 h  1) thì sử dụ ng b i ế n đ ổi:  tg x 2k  sin x 2k cos x  sin x 2k d  sin x  ;  u  s inx     D4.1  dx  dx     cos x 2h 1 k  h 1  cos x 2 k  h 1 1  sin 2 x  1  1  u 2  2k 2 2k 2 2k 2 2k u du u u du u du    1  u   1  u  1  u D4.1   du   k  h 1 k  h 1 k  h 1 k h  1  u 2    2 2 2 H ệ t h ứ c t r ê n l à h ệ t h ứ c truy h ồ i, k ết h ợ p v ớ i b ài t ích p h â n h àm p h â n th ứ c h ữ u t ỉ t a c ó t h ể t ính đ ư ợ c D 4.1. 2 . Các bài t ậ p m ẫ u minh h ọ a:  tg3x7 2 1 dx 1 7  2 7   tg3x 1  tg 3x 2   tg3x  d  tg3x   cos3x • D1 = dx   2 6 2   cos3x   cos3x 3 8  tg3x10  tg3x 12  1   tg3x  1  tg3x 7 1  2 tg3x2   tg3x4  d  tg3x      2   c   3 3 8 10 12   cotg5x 10 3 1 dx   10   cotg 5x   • D2 = dx   2  sin5x 8 2   sin 5 x    sin 5 x  1 3  cotg 5x 10 1  cotg 2 5x  d  cotg 5x      5 11  cotg 5x 13  cotg 5x 15  cotg 5x 17  1   cotg 5x    c 3 3  5 11 13 15 17   tg4x 7 94 tg 4 x 1 6 dx   tg 4 x     cos4x   • D3 = dx  95  cos 4 x  cos 4 x 31
  8. Chươ ng II. Nguyên hàm và t ích phân  T rần Phươ ng 3 94 1 1  1   1  1 94  2 3     1   u u  1 du  d 4   cos 4x  2   cos 4x   cos 4x  4  101 99 97 95  du  1  u  3 u  3 u  u   c 1 94  6 4 2   u u  3u  3u  1   4 4  101 99 97 95  1 1 1 3 1      c  cos 4x 95  101 99 97 4 101  cos 4x   cos 4x   cos 4x  33 97 95   cotg3x 9 40 cotg 3 x 1 8 dx   cotg 3x     sin3x   • D4 = dx  41  sin 3 x  sin 3x 4 40 1 1  1   1  1 40 2 4    u  u  1 du      2  1   d 3  sin x   sin 3x   sin 3x  3 49 47 45 43 41 1 u u 1 40  8 u u u 4 u u  4u  6u  4u  1 du    6 4 2   4 6 4  c 3 3  49 47 45 43 41  1 1 4 2 4 1        c 41  49 47 45 43 3  49  sin 3x  47  sin 3x  15  sin 3x  43  sin 3x  41 sin 3x    tgx 2 dx 2  sin x 2 cos xdx  sin x    d sin x        • D5 = 2 2  1  sin2 x  cosx  cos x   cos x  2 2  1  sin x   1  sin x   1 1    d  sin x    1  sin x  1  sin x  d  sin x      1  sin x  1  sin x     1  sin x 1 1 2 1 1   d sin x         ln c 2 2 2 1  sin x 1  sin x 1  sin x  1  sin x  1  sin x  1  sin x   tgx 4  sin x 4  sin x 4 cos xdx d  sin x     cos x   1  sin dx    • D6 = 4  cos x 2 3 cosx x 2 1  1  u 4  u 4 du 1  u2 du  1  u   1  u  1  u   du   du  I 2  I1 23 3 23 22  1  u 2    1  1  du  1 d u  2 1  u 2  du 1 u  u u   I1    c  c 2 2 2 2 1  u 1  u 2 1 u 1 1  u u u   u u  3 3 1  1  u   1  u   du 11 1  1  u   I2    1  u  1  u   du  8 1  u  1  u  du 23 8     32
  9. Bài 4. Tích phân cơ bản c ủa các hàm số lượ ng giác 1 1 1  1 3 1       du   1  u  1  u 2   1  u 1  u  3 3 8  1  u  1  u2   1  u2   2 2 du  1  1 u  1 u  1 1 1     6  3 du 1 u2   8  21  u2  8 21 u 2 21 u 2 2 2 2 1 u2       3 1 u  du 3 du 2 3 1 u u u 3        I1  ln c 2 22 2 22 8 1 u 41 u  8 16 1  u 41 u  8 1 u  2 3 1 u u 3  D6  I2  I1   I1  ln  I1 22 16 1  u 8 4 1  u  2u  5u 1  u  2 3 1 u 1 u u 5 u 3     ln c  c ln 2 2 2 16 1  u 16 1  u 8 1 u 4 1  u  8 1  u  2 2 3 5u 3  3u 5  sin x   3sin x 3 1  sin x 3 1 u   c  ln c ln 22 4 16 1  u 16 1  sin x 8  cos x  8 1  u  3 . Các bài t ậ p dành cho b ạ n đ ọ c t ự g i ả i:  tg 6x 20  cotg 3x 11  tg x 4  cotg 2x 6   cos 6x    sin 3x    cos x    cos 2x  D1  dx ; D2  dx; D3  dx ; D4  dx 8 21 3 5 33
  10. Chươ ng II. Nguyên hàm và t ích phân  T rần Phươ ng V. Dạng 5: Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng 1 . Phương pháp: E5.1   cos mx   cos nx  dx  1  cos  m  n  x  cos  m  n  x  dx  2 E5.2   sin mx   sin nx  dx  1  cos  m  n  x  cos  m  n  x dx  2 E5.3   sin mx   cos nx  dx  1   sin  m  n  x  sin  m  n  x  dx  2 E5.4   cos mx   sin nx  dx  1   sin  m  n  x  sin  m  n  x  dx  2 2 . Các bài t ậ p m ẫ u minh h ọ a: 1 cos 2 x  cos 14 x  cos 4 x    • E1 = cos2x .cos5x .cos9x dx  2 1 1  sin16x sin12x sin6x sin2x    cos16x  cos12x   cos6x  cos2x  dx       c 4 4  16 12 6 2  3 cos x  cos 3 x  3 • E 2 =  cosx  sin8x dx    sin 8 x dx 4 1  3cos x sin 8x  cos3x sin 8x  dx  1  3  sin 9x  sin 7x   1  sin11x  sin 5x  dx    4 2  4 2   13 3 1 1     cos 9x  cos 7x  cos11x  cos 5x   c 89 7 11 5  1 4 1  cos 2 x 2  sin 13x  sin 7 x  dx • E 3 =  sinx   sin3x   cos10x  dx    8 1 1  2cos 2x  cos 2x   sin13x  sin 7x  dx 2   8 1  cos 4x  1   sin13x  sin 7x  dx    1  2 cos 2x  8 2  1   3  4 cos 2x  cos 4x   sin13x  sin 7x  dx  16 1  3 sin13x  sin 7x   4cos 2x sin13x  sin 7x   cos 4x  sin13x  sin 7x  dx  16  1  3sin13x  sin 7x   2  sin15x  sin11x  sin 9x  sin 5x   16  1    sin17x  sin 9x  sin11x  sin 3x   dx  2 34
  11. Bài 4. Tích phân cơ bản c ủa các hàm số lượ ng giác 1  sin17x  4sin15x  6sin13x  3sin11x  3sin9x  6sin7x  4sin5x  sin3x dx   32 1 cos17x 4cos15x 6cos13x 3cos11x cos9x 6cos7x 4cos5x cos3x          c  32  17 15 13 11 3 7 5 3 5 3 2 • E4 =  cosx   sin5x  dx   cosx   cosx   sin 5 x  dx   cos3x  3cos x 1  cos 2x     sin 5x dx 4 2 1   cos 3x  3cos x  sin 5x   cos 3x  3cos x  cos 2x sin 5x  dx  8  sin 7x  sin 3x  dx 1       cos 3x  3cos x sin 5x  cos 3x  3cos x  8  2 1   2 sin 5x  cos 3x  3cos x    cos 3x  3 cos x   sin 7x  sin 3x  dx  16 1  2  sin 8x  sin 2x   6  sin 6x  sin 4x    sin10x  sin 4x     32    3  sin 8x  sin 6x   sin 6x  3  sin 4x  sin 2x   dx  1  sin10x  5sin 8x  10 sin 6x  10 sin 4x  5sin 2x  dx   32 1  cos10x 5 cos 8x 5 cos 6x 5 cos 4x 5 cos 2x       c  32  10 8 3 2 2   sin3x   sin4x   sin 3x   sin 4 x   sin 3x   sin 4 x     dx  dx  • E5 = dx cos  2 x  x  sin x  cos 2 x tgx + cotg2x cos x sin 2 x cosx .sin 2 x 1  sin 2x   sin 3x   sin 4x  dx  2   cos 2x  cos 6x  sin 3x dx  1  cos5x cos x cos9x cos3x  1   sin5x  sin x    sin9x  sin 3x  dx      c  4 4 5 1 9 3 3 . Các bài t ậ p dành cho b ạ n đ ọ c t ự g i ả i:  sin 8x 5 dx 4 3 5 2 E1   sin 3x   cos 2x  dx ; E 2   sin x   cos 5x  dx ; E 3      tg 3x  tg 5x  2 35
Đồng bộ tài khoản