Tích phân dành cho học sinh lớp 12

Chia sẻ: tuyenquang01

Tích phân là một phần trong phân môn Giải tích lớp 12 và nó cũng thường có trong các đề thi tuyển sinh Đại học và Cao đẳng. Tích phân không phải đơn giản và nó thường gây lúng túng cho các bạn học sinh. Để góp phần giúp cho các bạn học sinh giảm bớt sự lúng túng khi “đụng độ” với tích phân, thầy giáo Trần Sĩ Tùng – giáo viên dạy toán của trường THPT Trưng Vương, Qui Nhơn, Bình Định đã biên soạn một e-book về chuyên đề này. Trong e-book này, thầy đã đưa ra...

Bạn đang xem 20 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: Tích phân dành cho học sinh lớp 12

Tích phân dành cho học sinh lớp 12
Traàn Só Tuøng Tích phaân

Nhaéc laïi Giôùi haïn – Ñaïo haøm – Vi phaân
1. Caùc giôùi haïn ñaëc bieät:
sin x
a) lim =1
x ®0 x

x sin u(x) u(x)
Heä quaû: lim =1 lim =1 lim =1
x ®0 sin x u(x)®0 u(x) u(x)®0 sin u(x)
x
æ 1ö
b) lim ç 1 + ÷ = e, x Î R
x ®¥ è xø
1
ln(1 + x) ex - 1
Heä quaû: lim (1 + x) x = e. lim =1 lim =1
x®0 x® 0 x x® 0 x
2. Baûng ñaïo haøm caùc haøm soá sô caáp cô baûn vaø caùc heä quaû:
(c)’ = 0 (c laø haèng soá)
(x a )' = ax a-1 (ua )' = aua-1u '
æ1ö 1 æ1ö u'
ç ÷' = - 2 ç ÷' = - 2
èxø x èuø u
( x )' = 1 ( u ) ' = u'
2 x 2 u
(e )' = ex
x
(e )' = u'.e u
u


(ax )' = a x .ln a (a u )' = a u .ln a . u '
1 u'
(ln x )' = (ln u )' =
x u
1 u'
(loga x ') = (loga u )' =
x.ln a u.ln a
(sinx)’ = cosx (sinu)’ = u’.cosu
1 u'
(tgx)' = = 1 + tg 2 x (tgu)' = = (1 + tg 2 u).u'
cos x
2
cos u 2

-1 - u'
(cot gx)' = = -(1 + cot g 2 x) (cot gu)' = = - (1 + cot g 2 u).u'
sin x
2
sin u2


3. Vi phaân:
Cho haøm soá y = f(x) xaùc ñònh treân khoaûng (a ; b) vaø coù ñaïo haøm taïi x Î (a; b) . Cho soá
gia Dx taïi x sao cho x + Dx Î (a; b) . Ta goïi tích y’.Dx (hoaëc f’(x).Dx) laø vi phaân cuûa
haøm soá y = f(x) taïi x, kyù hieäu laø dy (hoaëc df(x)).
dy = y’.Dx (hoaëc df(x) = f’(x).Dx
AÙp duïng ñònh nghóa treân vaøo haøm soá y = x, thì
dx = (x)’Dx = 1.Dx = Dx
Vì vaäy ta coù: dy = y’dx (hoaëc df(x) = f’(x)dx)




Trang 1
Tích phaân Traàn Só Tuøng


NGUYEÂN HAØM VAØ TÍCH PHAÂN

§Baøi 1: NGUYEÂN HAØM


1. Ñònh nghóa:
Haøm soá F(x) ñöôïc goïi laø nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) treân khoaûng (a ; b) neáu moïi x
thuoäc (a ; b), ta coù: F’(x) = f(x).
Neáu thay cho khoaûng (a ; b) laø ñoaïn [a ; b] thì phaûi coù theâm:
F '(a+ ) = f(x) vaø F '(b - ) = f(b)


2. Ñònh lyù:
Neáu F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) treân khoaûng (a ; b) thì :
a/ Vôùi moïi haèng soá C, F(x) + C cuõng laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) treân
khoaûng ñoù.
b/ Ngöôïc laïi, moïi nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) treân khoaûng (a ; b) ñeàu coù theå
vieát döôùi daïng: F(x) + C vôùi C laø moät haèng soá.
Ngöôøi ta kyù hieäu hoï taát caû caùc nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) laø ò f(x)dx. Do
ñoù vieát:

ò f(x)dx = F(x) + C
Boå ñeà: Neáu F¢(x) = 0 treân khoaûng (a ; b) thì F(x) khoâng ñoåi treân khoaûng ñoù.


3. Caùc tính chaát cuûa nguyeân haøm:
· ( ò f(x)dx ) ' = f(x)
· ò af(x)dx = aò f(x)dx (a ¹ 0)
· ò [ f(x) + g(x)] dx = ò f(x)dx + ò g(x)dx
· ò f(t)dt = F(t) + C Þ ò f [ u(x)] u'(x)dx = F [ u(x)] + C = F(u) + C (u = u(x))



4. Söï toàn taïi nguyeân haøm:
· Ñònh lyù: Moïi haøm soá f(x) lieân tuïc treân ñoaïn [a ; b] ñeàu coù nguyeân haøm treân ñoaïn ñoù.




Trang 2
Traàn Só Tuøng Tích phaân


BAÛNG CAÙC NGUYEÂN HAØM

Nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá sô caáp Nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá hôïp
thöôøng gaëp (döôùi ñaây u = u(x))

ò dx = x + C ò du = u + C
x a+1 ua+1
ò x dx = a + 1 + C (a ¹ -1) ò u du = a + 1 + C (a ¹ -1)
a a




dx du
ò x
= ln x + C (x ¹ 0) ò u
= ln u + C (u = u(x) ¹ 0)


ò e dx = e ò e du = e
x x u u
+C +C

ax au
ò a dx = ò a du =
x u
+C (0 < a ¹ 1) +C (0 < a ¹ 1)
ln a ln a

ò cos xdx = sin x + C ò cos udu = sin u + C
ò sin xdx = - cos x + C ò sin udu = - cos u + C
dx du
ò cos2 x = ò (1 + tg x)dx = tgx + C ò cos2 u = ò (1 + tg u)du = tgu + C
2 2




dx du
ò sin 2
x
= ò (1 + cot g 2 x)dx = - cot gx + C ò sin 2
u
= ò (1 + cot g 2 u)du = - cot gu + C

dx du
ò2 x
= x +C (x > 0) ò2 u
= u +C (u > 0)

1
ò cos(ax + b)dx = a sin(ax + b) + C (a ¹ 0)

1
ò sin(ax + b)dx = - cos(ax + b) + C
a
(a ¹ 0)

dx 1
ò ax + b = a ln ax + b + C
1
òe
ax + b
dx = eax + b + C (a ¹ 0)
a
dx 2
ò =
ax + b a
ax + b + C (a ¹ 0)




Trang 3
Tích phaân Traàn Só Tuøng


Vaán ñeà 1: XAÙC ÑÒNH NGUYEÂN HAØM BAÈNG ÑÒNH NGHÓA


Baøi toaùn 1: CMR F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) treân (a ; b)
PHÖÔNG PHAÙP CHUNG
Ta thöïc hieän theo caùc böôùc sau:
+ Böôùc 1: Xaùc ñònh F’(x) treân (a ; b)
+ Böôùc 2: Chöùng toû raèng F '(x) = f(x) vôùi "x Î (a; b)
Chuù yù: Neáu thay (a ; b) baèng [a ; b] thì phaûi thöïc hieän chi tieát hôn, nhö sau:
+ Böôùc 1: Xaùc ñònh F’(x) treân (a ; b)
Xaùc ñònh F’(a+)
Xaùc ñònh F’(b–)
ìF '(x) = f(x), "x Î (a ; b)
ï
+ Böôùc 2: Chöùng toû raèng íF '(a + ) = f(a)
ïF '(b - ) = f(b)
î
Ví duï 1: CMR haøm soá: F(x) = ln(x + x 2 + a) vôùi a > 0
1
laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) = treân R.
x2 + a
Giaûi:
2x
1+
(x + x 2 + a)' 2 x2 + a
Ta coù: F '(x) = [ln(x + x 2 + a)]' = =
x + x2 + a x + x2 + a
x2 + a + x 1
= = = f(x)
x 2 + a(x + x 2 + a) x2 + a
Vaäy F(x) vôùi a > 0 laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) treân R.
ìex
ï khi x ³ 0
Ví duï 2: CMR haøm soá: F(x) = í 2
ïx + x + 1
î khi x < 0
ìex khi x ³ 0
Laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) = í treân R.
î 2x + 1 khi x < 0
Giaûi:
Ñeå tính ñaïo haøm cuûa haøm soá F(x) ta ñi xeùt hai tröôøng hôïp:
a/ Vôùi x ¹ 0 , ta coù:
ìe x khi x > 0
F '(x) = í
î2x + 1 khi x < 0
b/ Vôùi x = 0, ta coù:

Trang 4
Traàn Só Tuøng Tích phaân

· Ñaïo haøm beân traùi cuûa haøm soá taïi ñieåm x0 = 0.
F(x) - F(0) x 2 + x + 1 - e0
F '(0 - ) = lim- = lim = 1.
x®0 x-0 x ® 0- x
· Ñaïo haøm beân phaûi cuûa haøm soá taïi ñieåm x0 = 0.
F(x) - F(0) ex - e0
F '(0 + ) = lim+ = lim+ = 1.
x®0 x-0 x®0 x
Nhaän xeùt raèng F '(0 - ) = F '(0 + ) = 1 Þ F '(0) = 1.
ìe x khi x ³ 0
Toùm laïi: F '(x) = í = f(x)
î2x + 1 khi x < 0
Vaäy F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) treân R.

Baøi toaùn 2: Xaùc ñònh caùc giaù trò cuûa tham soá ñeå F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x)
treân (a ; b).
PHÖÔNG PHAÙP CHUNG
Ta thöïc hieän theo caùc böôùc sau:
+ Böôùc 1: Xaùc ñònh F’(x) treân (a ; b)
+ Böôùc 2: Ñeå F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) treân (a ; b), ñieàu kieän laø:
F '(x) = f(x) vôùi "x Î (a; b)
Duøng ñoàng nhaát cuûa haøm ña thöùc Þ giaù trò tham soá.
Chuù yù: Neáu thay (a ; b) baèng [a ; b] thì phaûi thöïc hieän chi tieát hôn, nhö sau:
+ Böôùc 1: Xaùc ñònh F’(x) treân (a ; b)
Xaùc ñònh F’(a+)
Xaùc ñònh F’(b–)
+ Böôùc 2: Ñeå F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) treân (a ; b), ñieàu kieän laø:
ìF '(x) = f(x), "x Î (a ; b)
ï
íF '(a ) = f(a) Þ giaù trò cuûa tham soá.
+

ïF '(b - ) = f(b)
î

Baøi toaùn 3: Tìm haèng soá tích phaân
PHÖÔNG PHAÙP CHUNG
· Duøng coâng thöùc ñaõ hoïc, tìm nguyeân haøm: F(x) = G(x) + C
· Döïa vaøo ñeà baøi ñaõ cho ñeå tìm haèng soá C.
Thay giaù trò C vaøo (*), ta coù nguyeân haøm caàn tìm.




Trang 5
Tích phaân Traàn Só Tuøng

ìx2 khi x £ 1
Ví duï 3: Xaùc ñònh a , b ñeå haøm soá: F(x) = í
îax + b khi x > 1
ì2x khi x £ 1
laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá: f(x) = í treân R.
î2 khi x > 1

Giaûi:
Ñeå tính ñaïo haøm cuûa haøm soá F(x) ta ñi xeùt hai tröôøng hôïp:
ì2x khi x < 1
a/ Vôùi x ¹ 1 , ta coù: F '(x) = í
î2 khi x > 1
b/ Vôùi x = 1, ta coù:
Ñeå haøm soá F(x) coù ñaïo haøm taïi ñieåm x = 1, tröôùc heát F(x) phaûi lieân tuïc taïi x = 1, do
ñoù : lim F(x) = lim F(x) = f(1) Û a + b = 1 Û b = 1 - a
- +
(1)
x ®1 x ®1

· Ñaïo haøm beân traùi cuûa haøm soá y = F(x) taïi ñieåm x = 1.
f(x) - F(1) x2 - 1
F'(1) = lim = lim = 2.
x ®1 x -1 x ®1- x - 1


· Ñaïo haøm beân phaûi cuûa haøm soá y = f(x) taïi ñieåm x0 = 0.
F(x) - F(1) ax + b - 1 ax + 1 - a - 1
F '(1+ ) = lim = lim = lim = a.
+
x ®1 x -1 x ®1+
x -1 x ®1+
x -1
Haøm soá y = F(x) coù ñaïo haøm taïi ñieåm x = 1 Û F '(1- ) = F '(1+ ) Û a = 2. (2)
Thay (2) vaøo (1), ta ñöôïc b = –1.
Vaäy haøm soá y = F(x) coù ñaïo haøm taïi ñieåm x = 1, neáu vaø chæ neáu a = 2, b = –1.
Khi ñoù: F’(1) = 2 = f(1)
Toùm laïi vôùi a = 2, b = 1 thì F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x).
Ví duï 4: Xaùc ñònh a , b , c ñeå haøm soá: F(x) = (ax 2 + bx + c)e -2x laø moät nguyeân haøm cuûa
F(x) = - (2x 2 - 8x + 7)e-2 x treân R.
Giaûi:
Ta coù: F '(x) = (2ax + b)e-2 x - 2(ax 2 + bx + c)e -2x = é-2ax 2 + 2(a - b)x + b - 2cùe-2x
ë û
Do ñoù F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa f(x) treân R
Û F '(x) = f(x), "x Î R
Û - 2ax 2 + 2(a - b)x + b - 2c = - 2x 2 + 8x - 7, "x Î R
ìa = 1 ìa = 1
ï ï
Û ía - b = 4 Û í b = -3
ï b - 2c = -7 ïc = 2
î î
Vaäy F(x) = (x 2 - 3x + 2)e-2x .


Trang 6
Traàn Só Tuøng Tích phaân

BAØI TAÄP
æ x pö
Baøi 1. Tính ñaïo haøm cuûa haøm soá F(x) = ln tg ç + ÷
è2 4ø
1
Töø ñoù suy ra nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) = .
cos x
ì ln(x 2 + 1)
ï ,x¹0
Baøi 2. Chöùng toû raèng haøm soá F(x) = í x
ï0 ,x = 0
î
ì 2 ln(x 2 + 1)
ï 2 - ,x¹0
laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) = í x + 1 x2
ï1 ,x=0
î
Baøi 3. Xaùc ñònh a, b, c sao cho haøm soá F(x) = (ax 2 + bx + c).e- x laø moät nguyeân haøm cuûa
haøm soá f(x) = (2x 2 - 5x + 2)e- x treân R.
ÑS: a = –2 ; b = 1 ; c = –1.
x 3 + 3x 2 + 3x - 7
Baøi 4. a/ Tính nguyeân haøm F(x) cuûa f(x) = vaø F(0) = 8.
(x + 1)2
x æ pö p
b/ Tìm nguyeân haøm F(x) cuûa f(x) = sin 2 vaø F ç ÷ = .
2 è2ø 4
x2 8 1
ÑS: a/ F(x) = +x+ ; b/ F(x) = (x - sin x + 1)
2 x +1 2
Baøi 5. a/ Xaùc ñònh caùc haèng soá a, b, c sao cho haøm soá:
F(x) = (ax 2 + bx + c) 2x - 3 laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá:
20x 2 - 30x + 7 æ3 ö
f(x) = treân khoaûng ç ; + ¥ ÷
2x - 3 è2 ø
b/ Tìm nguyeân haøm G(x) cuûa f(x) vôùi G(2) = 0.
ÑS: a/ a = 4; b = -2; c = 1; b/ G(x) = (4x 2 - 2x + 10) 2x - 3 - 22.




Trang 7
Tích phaân Traàn Só Tuøng


Vaán ñeà 2: XAÙC ÑÒNH NGUYEÂN HAØM BAÈNG VIEÄC SÖÛ DUÏNG BAÛNG
CAÙC NGUYEÂN HAØM CÔ BAÛN

1
Ví duï 1: CMR , neáu ò f(x)dx = F(x) + C thì ò f(ax + b)dx = a F(ax + b) + C vôùi a ¹ 0.
Giaûi:
1
Ta luoân coù: f(ax + b)dx = f(ax + b)d(ax + b) vôùi a ¹ 0.
a
1 1
AÙp duïng tính chaát 4, ta ñöôïc: ò f(ax + b)dx = a ò (ax + b)d(ax + b) a F(ax + b) + C (ñpcm) .
Ghi chuù: Coâng thöùc treân ñöôïc aùp duïng cho caùc haøm soá hôïp:

ò f(t)dt = F(t) + C Þ ò f(u)du = F(u) + C, vôùi u = u(x)
Ví duï 2: Tính caùc tích phaân baát ñònh sau:
2e x (2 ln x + 1)2
a/ ò (2x + 3) dx
3
b/ ò cos4 x.sin xdx c/ ò dx d/ ò dx
ex + 1 x
Giaûi:
1 1 (2x + 3)4 (2x + 3)4
a/ Ta coù: ò (2x + 3) dx = ò (2x + 3) d(2x + 3) = .
3 3
+C= + C.
2 2 4 8
cos5 x
b/ Ta coù: ò cos4 x.sin xdx = - ò cos 4 xd(cos x) = - +C
5
2ex d(ex + 1)
c/ Ta coù: ò ex + 1 dx = 2 ò x
e +1
= 2 ln(e x + 1) + C

(2 ln x + 1)2 1 1
d/ Ta coù: ò dx = ò (2 ln x + 1)2 d(2 ln x + 1) = (2 ln x + 1)3 + C.
x 2 2
Ví duï 3: Tính caùc tích phaân baát ñònh sau:
x tgx
ò 2sin b/ ò cot g2 xdx c/ ò tgxdx d/ ò
2
a/ dx dx
2 cos3 x
Giaûi:
x
a/ Ta coù: ò 2sin 2 dx = ò (1 - cos x)dx = x - sin x + C
2
æ 1 ö
b/ Ta coù: ò cot g 2 xdx = ò ç 2 - 1 ÷ dx = - cot gx - x + C
è sin x ø
sin x d(cos x)
c/ Ta coù: ò tgxdx = ò dx = - ò = - ln cos x + C
cos x cos x



Trang 8
Traàn Só Tuøng Tích phaân

tgx sin x d(cos x) 1 1
d/ Ta coù: ò cos 3
x
dx = ò
cos x
4
dx = - ò
cos x
4
= - cos -3 x + C = -
3 3cos3 x
+ C.

Ví duï 4: Tính caùc tích phaân baát ñònh sau:
x 1
a/ ò 1 + x dx 2
b/ òx 2
- 3x + 2
dx

Giaûi:
x 1 d(1 + x 2 ) 1
a/ Ta coù: ò 1 + x2 dx = ò
2 1+ x 2
= ln(1 + x 2 ) + C
2
1 1 æ 1 1 ö
b/ Ta coù: òx 2
- 3x + 2
dx = ò
(x - 1)(x - 2)
dx = ò ç - ÷dx
è x - 2 x -1 ø
x-2
= ln x - 2 - ln x - 1 + C = ln + C.
x -1


BAØI TAÄP
Baøi 6. Tìm nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá:
x
a/ f(x) = cos2 ; b/ f(x) sin 3 x.
2
1 1
ÑS: a/ (x + sin x) + C ; b/ - cos x + cos3 x + C.
2 3
Baøi 7. Tính caùc tích phaân baát ñònh :
ex 2 2x.3x.5x
a/ ò e (2 - e )dx; b/ ò 2x dx ; c/ ò 10x dx .
x -x



e2-5x + 1 ex
d/ ò ex dx; e/ ò ex + 2dx
ex 6x
ÑS: a/ 2e - x + C; x
b/ + C; c/ +C
(1 - ln 2)2 x ln 6
1
d/ - e2-6 x - e- x + C; e/ ln(ex + 2) + C .
6
Baøi 8. Tính caùc tích phaân baát ñònh :
a/ ò x 4 + x -4 + 2 dx ; b/ ò x 5 x dx ; c/ òx x 2 + 1 dx ;
3



3 - 4 ln x
d/ ò (1 - 2x) dx; e/ ò dx
2001

x
x3 1 55 7 1 2
ÑS: a/ - + C; b/ x + C; c/ (x + 1) x 2 + 1 + C ;
3 x 7 3
1 (1 - 2x)2002 1
d/ - . + C; e/ (3 + 4 ln x) 3 + 4 ln x + C.
2 2002 6

Trang 9
Tích phaân Traàn Só Tuøng


Vaán ñeà 3: XAÙC ÑÒNH NGUYEÂN HAØM BAÈNG PHÖÔNG PHAÙP PHAÂN TÍCH

Phöông phaùp phaân tích thöïc chaát laø vieäc söû duïng caùc ñoàng nhaát thöùc ñeå bieán ñoåi bieåu
thöùc döôùi daáu tích phaân thaønh toång caùc bieåu thöùc maø nguyeân haøm cuûa moãi bieåu thöùc ñoù
coù theå nhaän ñöôïc töø baûng nguyeân haøm hoaëc chæ baèng caùc pheùp bieán ñoåi ñôn giaûn ñaõ bieát.
Chuù yù quan troïng: Ñieåm maáu choát laø pheùp phaân tích laø coù theå ruùt ra yù töôûng cho rieâng
mình töø moät vaøi minh hoaï sau:
· Vôùi f(x) = (x 3 - 2)2 thì vieát laïi f(x) = x 6 - 4x 3 + 4.
x 2 - 4x + 5 2
· Vôùi f(x) = thì vieát laïi f(x) = x - 3 + .
x -1 x -1
1 1 1
· Vôùi f(x) = thì vieát laïi f(x) = -
x - 5x + 6
2
x -3 x -2
1 1
· Vôùi f(x) = thì vieát laïi f(x) = ( 3 - 2x - 2x + 1)
2x + 1 + 3 - 2x 2
· Vôùi f(x) = (2 x - 3x )2 thì vieát laïi f(x) = 4 x - 2.6 x + 9 x.
· Vôùi f(x) = 8 cos3 x.sin x thì vieát laïi f(x) = 2(cos3x + 3cos x).sin x
= 2 cos3x.sin x + 6 cos x.sin x = sin 4x - sin 2x + 3sin 2x = sin 4x + 2 sin 2x.
· tg 2 x = (1 + tg 2 x) - 1
· cot g 2 x = (1 + cot g 2 x) - 1
x n (1 + x 2 ) + 1 1
· = xn + .
1+ x 2
1 + x2
Ñoù chæ laø moät vaøi minh hoaï mang tính ñieån hình.


Ví duï 1: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò x(1 - x)2002 dx.

Giaûi:
Söû duïng ñoàng nhaát thöùc : x = 1 – (1 – x)
ta ñöôïc: x(1 - x)2002 = [1 - (1 - x)](1 - x)2002 = (1 - x)2002 - (1 - x)2003 .
Khi ñoù:
I = ò (1 - x)2002 dx - ò (1 - x)2003 dx = - ò (1 - x)2002 d(1 - x) + ò (1 - x)2003 d(1 - x)
(1 - x)2003 (1 - x)2004
=- + + C.
2003 2004

Toång quaùt: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò x(ax + b)a dx, vôùi a ¹ 0
1 1
Söû duïng ñoàng nhaát thöùc: x = .ax = [(ax + b) - b]
a a

Trang 10
Traàn Só Tuøng Tích phaân

Ta ñöôïc:
1 1
x(ax + b)a = [(ax + b) - b)(ax + b)a = [ò (ax + b)a+1 d(ax + b) - ò (ax + b)a d(ax + d)]
a a
Ta xeùt ba tröôøng hôïp :
1
2 ò
· Vôùi a = 2, ta ñöôïc: I = [ (ax + b)-1 d(ax + b) - ò (ax + b)-2 d(ax + b)]
a
1 1
= [ln ax + b + ] + C.
a 2
ax + b
· Vôùi a = –1, ta ñöôïc:
1 1
2 ò
I= [ d(ax + b) - ò (ax + b)-1 d(ax + b)] = 2 [ax + b - ln ax + b ] + C.
a a
1 (ax + b)a+ 2 (ax + b)a+1
· Vôùi a Î R \ {-2; - 1}, ta ñöôïc: I= [ + ] + C.
a2 a+2 a +1

dx
Ví duï 2: Tính tích phaân baát ñònh: I = òx 2
- 4x + 3
Giaûi:
1 1 1 (x - 1) - (x - 3) 1 æ 1 1 ö
Ta coù: 2
= = . = .ç - ÷
x - 4x + 3 (x - 3)(x - 1) 2 (x - 3)(x - 1) 2 è x - 3 x -1ø
1 æ dx dx ö 1 d(x - 3) d(x - 1) 1
Khi ñoù: I = . ç ò -ò ÷ = [ò -ò ' = .(ln x - 3 - ln x - 1) + C
2 è x -3 x -1 ø 2 x -3 x -1 2
1 x -3
= ln + C.
2 x -1

dx
Ví duï 3: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò x +2 + x -3
Giaûi:
Khöû tính voâ tæ ôû maãu soá baèng caùch truïc caên thöùc, ta ñöôïc:
1 1
1 1
I = ò ( x + 2 + x - 3)dx = [ò (x + 2) d(x + 2) + ò (x - 3) 2 d(x - 3)]
2
5 5
2
= [ (x + 2)3 + (x - 3)3 ] + C.
15
dx
Ví duï 4: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò sin x.cos 2
x
.

Giaûi:
Söû duïng ñoàng nhaát thöùc: sin 2 x + cos2 x = 1,




Trang 11
Tích phaân Traàn Só Tuøng

1
1 sin 2 x + cos2 x sin x 1 sin x 1
Ta ñöôïc: = = + = + 2 . .
sin x.cos 2 x sin x.sin 2 x cos2 x sin x cos2 x cos2 x tg x
2 2
1 æ xö
d ç tg ÷
sin x d(cos x) 1 x
Suy ra: I = ò dx + ò 2 dx = - ò +ò è 2ø = + ln tg + C.
cos x
2
x x cos x
2
x cos x 2
cos2 tg tg
2 2 2
dx
Ví duï 5: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò cos 4
x
.

Giaûi:
dx
Söû duïng keát quaû: = d(tgx)
cos2 x
1 dx 1
ta ñöôïc: I = ò . = ò (1 + tg 2 x)d(tgx) = ò d(tgx) + ò tg 2 xd(tgx) = tgx + tg3x + C.
cos2 x cos2 x 3


BAØI TAÄP
Baøi 9. Tìm hoï nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá:
2 x - x 3ex - 3x 2
a/ f(x) = (1 - 2x 2 )3 ; b/ f(x) = ;
x3
(2 + x )2 1
c/ f(x) = ; d/ f(x) =
x 3x + 4 - 3x + 2
12 5 8 7 4
ÑS: a/ x - 2x 3 + x - x +C ; b/ - - e x + ln x + C;
5 7 3x x
24 6 3 1é 3ù
c/ 6 3 x 2 + x x + x 3 x 2 + C; d/ 3
ë (3x - 4) + (3x + 2) û + C.
7 5 9
Baøi 10. Tìm hoï nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá:
1 4x 2 + 6x + 1
a/ f(x) = ; b/ f(x) = ;
x - 6x + 5
2
2x + 1
4x 3 + 4x 2 - 1 -4x 3 + 9x + 1
c/ f(x) = ; d/ f(x) = ;
2x + 1 9 - 4x 2
1 x-5 1
ÑS: a/ ln + C; b/ x 2 + 2x - ln 2x + 1 + C;
4 x -1 2
2 1 1 1 x2 1 2x - 3
c/ x 3 + x 2 - x - ln 2x + 1 + C ; d/ - ln + C.
3 2 2 4 2 12 2x + 3
Baøi 11. Tìm hoï nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá:



Trang 12
Traàn Só Tuøng Tích phaân

æ pö æ pö
a/ (sin x + cos x)2 ; b/ cos ç 2x - ÷ .cos ç 2x + ÷ ; c/ cos3 x;
è 3ø è 4ø
d/ cos 4 x; e/ sin 4 x + cos4 x; f/ sin 6 2x + cos6 2x.
1 1 æ 7p ö 1 æ pö
ÑS: a/ x - cos2x + C ; b/ sin ç 5x + ÷ + sin ç x - ÷ + C
2 10 è 12 ø 2 è 12 ø
3 1 3 1 1
c/ sin x + si n3x + C; d/ x + si n2x + si n4x + C;
4 12 8 4 31
3 sin 4x 5 3
e/ x+ + C; f/ x + sin 8x + C.
4 16 8 64




Trang 13
Tích phaân Traàn Só Tuøng


Vaán ñeà 4: XAÙC ÑÒNH NGUYEÂN HAØM BAÈNG PHÖÔNG PHAÙP ÑOÅI BIEÁN SOÁ
Phöông phaùp ñoåi bieán soá ñöôïc söû duïng khaù phoå bieán trong vieäc tính caùc tích phaân baát
ñònh. Phöông phaùp ñoåi bieán soá ñeå xaùc ñònh nguyeân haøm coù hai daïng döïa treân ñònh lyù sau:
Ñònh lyù:
a/ Neáu ò f(x)dx = F(x) + C vaø u = j(x) laø haøm soá coù ñaïo haøm thì ò f(u)du = F(u) + C .
b/ Neáu haøm soá f(x) lieân tuïc thì khi ñaët x = j(t) trong ñoù j(t) cuøng vôùi ñaïo haøm cuûa noù
(j’(t) laø nhöõng haøm soá lieân tuïc, ta seõ ñöôïc: ò f(x)dx = ò f[j(t)].j '(t)dt.
Töø ñoù ta trình baøy hai baøi toaùn veà phöông phaùp ñoåi bieán nhö sau:
Baøi toaùn 1: Söû duïng phöông phaùp ñoåi bieán soá daïng 1 tích tích phaân baát ñònh I = ò f(x)dx.
PHÖÔNG PHAÙP CHUNG
Ta thöïc hieän theo caùc böôùc:
+ Böôùc 1: Choïn x = j(t), trong ñoù j(t) laø haøm soá maø ta choïn cho thích hôïp.
+ Böôùc 2: Laáy vi phaân dx = j’(t)dt
+ Böôùc 3: Bieåu thò f(x)dx theo t vaø dt. Giaû söû raèng f(x)dx = g(t)dt
+ Böôùc 4: Khi ñoù I = ò g(t)dt.
Löu yù: Caùc daáu hieäu daãn tôùi vieäc löïa choïn aån phuï kieåu treân thoâng thöôøng laø:
Daáu hieäu Caùch choïn
é p p
ê x = a sin t vôùi - 2 £ t £ 2
a2 - x 2 ê
ê x = x cos t vôùi 0 £ t £ p
ë
é a é p pù
ê x= vôùi t Î ê - ; ú \ {0}
sin t ë 2 2û
x 2 - a2 ê
ê a p
ê x = cos t vôùi t Î[0; p] \ { 2 }
ë
é p p
ê x = a tgt vôùi - < t
1
1 p 2 cos 2tdt
Ñaët: x = ;0 0 Þ í x
2 2 ïsin t = tgt.cos t =
î 1 + x2
2. Phöông phaùp treân ñöôïc aùp duïng ñeå giaûi baøi toaùn toång quaùt:
dx
I= ò (a + x 2 )2 k +1
2
, vôùi k Î Z.



Baøi toaùn 2: Söû duïng phöông phaùp ñoåi bieán soá daïng 2 tích tích phaân I = ò f(x)dx.

PHÖÔNG PHAÙP CHUNG
Ta thöïc hieän theo caùc böôùc:
+ Böôùc 1: Choïn t = y(x), trong ñoù y(x) laø haøm soá maø ta choïn cho thích hôïp
+ Böôùc 2: Xaùc ñònh vi phaân dt = y '(x)dx.
+ Böôùc 3: Bieåu thò f(x)dx theo t vaø dt. Giaû söû raèng f(x)dx = g(t)dt
+ Böôùc 4: Khi ñoù I = ò g(t)dt.

Daáu hieäu Caùch choïn
Haøm soá maãu coù t laø maãu soá
Haøm soá f(x, j(x) t = j(x)
a.sin x + b.cos x x x
Haøm f(x) = t = tg (vôùi cos ¹ 0)
c.sin x + d.cos x + e 2 2
· Vôùi x + a > 0 & x + b > 0, ñaët:
1 t = x+a + x+b
Haøm f(x) =
(x + a)(x + b) · Vôùi x + a < 0 & x + b < 0, ñaët:
t = x - a + -x - b



Trang 16
Traàn Só Tuøng Tích phaân

Ví duï 4: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò x 3 (2 - 3x 2 )8 dx.

Giaûi:
Ñaët: t = 2 - 3x . 2
Suy ra: dt = 6xdx
2-t 2-t 8 æ 1 ö 1 9
x3 (2 - 3x2 )8 dx = x2 (2 - 3x2 )8 xdx = = .t .ç - dt ÷ = (t - 2t 8 )dt.
3 3 è 6 ø 18
1 1 æ 1 10 2 9 ö 1 10 1 9
ò (t - 2t )dt = 18 ç 10 t - 9 t ÷ + C = 180 t - 81 t + C
9 8
Khi ñoù: I =
18 è ø
x 2dx
Ví duï 5: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò 1- x

Giaûi:
Ñaët: t = 1 - x Þ x = 1 - t 2
x 2 dx (1 - t 2 )2 ( -2tdt)
Suy ra: dx = - 2tdt & = = 2(t 4 - 2t 2 + 1)dt
1- x t
æ1 2 ö 2
Khi ñoù: I = 2 ò (t 4 - 2t 2 + 1)dt = -2 ç t 5 - t 3 + t ÷ + C = - (3t 4 - 10t 2 + 15)t + C
è5 3 ø 15
2 2
=- [3(1 - x)2 - 10(1 - x) + 15] 1 - x + C = - (3x 2 + 4x + 8) -1x + C
15 15

Ví duï 6: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò x 5 3 (1 - 2x 2 )2 dx.

Giaûi:
3 1 - t3
2 2 3
Ñaët: t = 1 - 2x Þ x = . Suy ra: 2xdx = - t 2 tdt,
2 2
1 - t3 2 æ 3 2 ö 3 7 4
x 5 3 (1 - 2x 2 )2 dx = x 2 3 (1 - 2x 2 )2 xdx = .t ç - t dt ÷ = (t - t )dt.
2 è 4 ø 8
3 7 4 3æ1 8 1 5 ö 3

Khi ñoù: I = (t - t )dt = ç t - t ÷+C= (5t 6 - 8t 3 )t 2 + C
8è8 5 ø 320
3
= [5(1 - 2x 2 )2 - 8(1 - 2x 2 )] 3 (1 - 2x 2 )2 + C
320
3
= (20x 4 - 4x 2 - 3) 3 (1 - 2x 2 )2 + C.
320
Ví duï 7: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò sin 3 x cos xdx.

Giaûi:
Ñaët: t = cos x Þ t 2 = cos x
dt = sinxdx,

Trang 17
Tích phaân Traàn Só Tuøng

sin 3 x cos xdx = sin 2 x cos x sin xdx = (1 - cos2 x) cos x sin x dx
= (1 - t 4 ).t.(2tdt) = 2(t 6 - t 2 )dt.
æ1 1 ö 2
Khi ñoù: I = 2 ò (t 6 - t 2 )dt = 2 ç t 7 - t 3 ÷ + C = (3t 6 - 7t 2 )t + C
è7 3 ø 21
2
= (cos3 x - 7 cos x) cos x + C.
21
cos x.sin 3 xdx
Ví duï 8: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò
1 + sin 2 x
Giaûi:
Ñaët: t = 1 - x Þ x = 1 - t 2at = 1 + sin 2 x
Suy ra: dt = 2sin x cos xdx,
cos x.sin 3 xdx sin 2 x.cos x.sin xdx (t - 1)dt 1 æ 1 ö
= = = ç 1 - ÷ dt.
1 + sin 2 x 1 + sin 2 x 2t 2è t ø
1 æ 1ö 1
ò ç1 - t ÷ dt = f12(t - ln t + C = 2 [1 + sin x - ln(1 + sin x)] + C
2 2
Khi ñoù: I =
2 è ø
cos2 xdx
Ví duï 9: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò sin8 x .
Giaûi:
Ñaët: t = cotgx
1
Suy ra: dt = - dx,
sin 2 x
cos2 xdx cos2 x dx 1 dx dx
= = cot g 2 x 4 = cot g 2 x.(1 + cot g2 x)2
sin x
8
sin x sin x
6 2
sin x sin x
2
sin 2 x
= t 2 .(1 + t 2 )2 dt.
æ1 2 1 ö
Khi ñoù: I = ò t 2 .(1 + t 2 )dt = ò (t 6 + 2t 4 + t 2 )dt = ç t 7 + t 5 + t 3 ÷ + C
è7 5 3 ø
1
= (15cot g 7 x + 42 cot g 5x + 35cot g3 x) + C.
105
dx
Ví duï 10: Tính tích phaân baát ñònh: I = òe x
- ex / 2
Giaûi:
Ñaët: t = e- x / 2
1 dx
Suy ra: dt = - ex / 2 dx Û - 2dt = x / 2 ,
2 e
dx dx e- x / 2 dx -2tdt 1
x x/2
= x -x / 2
= x/2 -x / 2
= = 2(1 + )dt
e -e e (1 - e ) e (1 - e ) 1 - t t -1

Trang 18
Traàn Só Tuøng Tích phaân

æ 1 ö
Khi ñoù: I = 2 ò ç 1 + ÷ dt = 2(e
-x / 2
+ ln e- x / 2 + 1) + C.
è t -1 ø
Chuù yù: Baøi toaùn treân ñaõ duøng tôùi kinh nghieäm ñeå löïa choïn cho pheùp ñoåi bieán t = e - x / 2 ,
tuy nhieân vôùi caùch ñaët t = ex / 2 chuùng ta cuõng coù theå thöïc hieän ñöôïc baøi toaùn.
dx
Ví duï 11: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò 1 + ex
.

Giaûi:
Caùch 1:
Ñaët: t = 1 + ex Û t 2 = 1 + e x
2tdt dx 2tdt 2tdt
Suy ra: 2tdt = e x dx Û dx = 2
& = 2 = 2 .
t -1 1 + ex t(t - 1) t - 1
dt t -1 1 + ex - 1
Khi ñoù: I = 2 ò 2 = ln + C = ln +C
t -1 t +1 1 + ex + 1
Caùch 2:
Ñaët: t = e- x / 2
1 dx
Suy ra: dt = e - x / 2dx Û - 2dt = x / 2 ,
2 e
dx dx dx -2dt
= = =
1 + ex ex (e- x + 1) ex / 2 e- x + 1 t2 + 1
dt
Khi ñoù: I = - 2 ò = - 2 ln t + t 2 + 1 + C = -2 ln e- x / 2 + e - x + 1 + C
t +1
2


dx
Ví duï 12: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò x +a
2
, vôùi a ¹ 0. .

Giaûi:
Ñaët: t = x + x + a 2



æ x ö x2 + a + x dx dt
Suy ra: dt = ç 1 + ÷ dx = dx Û =
è x +a ø
2
x +a
2
x +a
2 t
dt
Khi ñoù: I = ò = ln t + C = ln x + x 2 + a + C.
t
dx
Ví duï 13: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò .
(x + 1)(x + 2)
Giaûi:
Ta xeùt hai tröôøng hôïp:
ìx + 1 > 0
· Vôùi í Û x > -1
îx + 2 > 0
Ñaët: t = x + 1 + x + 2

Trang 19
Tích phaân Traàn Só Tuøng

æ 1 1 ö ( x + 1 + x + 2)dx dx 2dt
Suy ra: dt = ç + ÷ dx = Û =
è 2 x +1 2 x + 2 ø 2 (x + 1)(x + 2) (x + 1)(x + 2) t
dt
Khi ñoù: I = 2 ò = 2 ln t + C = 2 ln x + 1 + x + 2 + C
t
ìx + 1 < 0
· Vôùi í Û x < -2
î x+2 < 0
Ñaët: t = -(x + 1) + -(x + 2)
é 1 1 ù [ -(x + 1) + -(x + 2)]dx
Suy ra: dt = ê- - ú dx =
ë 2 -(x + 1) 2 -(x + 2) û 2 (x + 1)(x + 2)
dx 2dt
Û =-
(x + 1)(x + 2) t
dt
Khi ñoù: I = - 2 ò = -2 ln t + C = -2 ln -(x + 1) + -(x + 2) + C
t
BAØI TAÄP
Baøi 12. Tìm hoï nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá sau:
x4 x2 - x x2 - 1
a/ f(x) = x (x - 1) ; b/ f(x) = 10
2 9
; c/ f(x) = ; d/ f(x) = 4 ;
x -4 (x - 2)3 x +1
1 2 1 1 x5 - 2
ÑS: a/ (x - 1)12 + (x - 1)11 + (x - 10)10 + C. b/ ln 5 + C.
12 11 10 20 x + 2
2x - 5 1
x2 - x 2 + 1
c/ ln x - 2 - + C; d/ ln + C.
(x - 2)2 2 2 x2 + x 2 + 1
Baøi 13. Tìm hoï nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá sau:
2x 1 1
a/ f(x) = ; b/ f(x) = (a > 0) ; c/ f(x) = .
2 2 3
x + x -1 2
(x + a ) 3
x - x
2


2 3 2 x
ÑS: a/ x - (x 2 - 1)3 + C; b/ + C;
3 3 a 2
x +a
2 2


æ3x 6 ö
c/ 6 ç + x + ln 6 x - 1 ÷ + C.
è 2 ø
Baøi 14. Tìm hoï nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá sau:
cos5 x 1 sin x + cos x
a/ f(x) = 3 ; b/ f(x) = ; c/ f(x) = ;
sin x cos x 3
sin x - cos x
cos3 x 1
d/ f(x) = ; e/ f(x) = .
sin x sin 4 x
33 2 3 3
ÑS: a/ sin x + 3 sin14 x - 3 sin 8 x + C;
2 14 4


Trang 20
Traàn Só Tuøng Tích phaân

æx pö 33
b/ ln tg ç + ÷ + C; c/ 1 - si n2x + C;
è2 4ø 2
1 1
d/ ln sin x - sin 2 x + C; e/ - cot g3x - cot gx + C.
2 3
Baøi 15. Tìm hoï nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá sau:
1 x +1
a/ f(x) = ; b/ f(x) = ;
1 + e2 x x(1 + xex )
2 x.3x 1
c/ f(x) = x ; d/ f(x) = ;
9 - 4x x ln x.ln(ln x)
xe x
ÑS: a/ - ln(e- x + e-2 x + 1) + C; b/ ln + C;
1 + xex
1 3x - 2 x
c/ , ln x + C; d/ ln ln(ln x) + C.
2(ln 3 - ln 2) 3 + 2x




Trang 21
Tích phaân Traàn Só Tuøng


Vaán ñeà 5: XAÙC ÑÒNH NGUYEÂN HAØM
BAÈNG PHÖÔNG PHAÙP TÍCH PHAÂN TÖØNG PHAÀN

Coâng thöùc tính tích phaân töøng phaàn: ò udv = uv - ò vdu.
Baøi toaùn 1: Söû duïng coâng thöùc tích phaân töøng phaàn xaùc ñònh I = ò f(x)dx.

PHÖÔNG PHAÙP CHUNG
Ta thöïc hieän theo caùc böôùc sau:
+ Böôùc 1: Bieán ñoåi tích phaân ban ñaàu veà daïng: I = ò f(x)dx = ò f1 (x).f2 (x)dx.
ì u = f1 (x) ìdu
+ Böôùc 2: Ñaët: í Þí
îdv = f2 (x)dx îv
+ Böôùc 3: Khi ñoù: I = uv - ò vdu.

x ln(x + x 2 + 1)
Ví duï 1: Tích tích phaân baát ñònh: I = ò x2 + 1
.

Giaûi:
x
Vieát laïi I döôùi daïng: I = ò ln(x + x 2 + 1) dx.
x2 + 1
ì 1+ x
ì u = ln(x + x 2 + 1) ï
ï ïdu = x2 + 1 = dx
Ñaët : í x Þí
ï dv = ï x + x2 + 1 x2 + 1
î x2 + 1 ïv = x 2 + 1
î
Khi ñoù: I = x 2 + 1 ln(x + x 2 + 1) - ò dx = x 2 + 1 ln(x + x 2 + 1) - x + C.

Ví duï 2: Tích tích phaân baát ñònh: I = ò cos(ln x)dx.

Giaûi:
ì -1
ì u = cos(ln x) ïdu = sin(ln x)dx
Ñaët : í Þí x
îdv = dx ïv = x
î
Khi ñoù: I = x cos(ln x) + ò sin(ln x)dx. (1)
Xeùt J = ò sin(ln x)dx.
ì 1
ì u = sin(ln x) ïdu = cos(ln x)dx
Ñaët: í Þí x
îdv = dx ïv = x.
î
Khi ñoù: J = x.sin(ln x) - ò cos(ln x)dx = x.sin(ln x) - I (2)


Trang 22
Traàn Só Tuøng Tích phaân

x
Thay (2) vaøo (1), ta ñöôïc: I = x.cos(ln x) + x.sin(ln x) - I Û I = [cos(ln x) + sin(ln x)] + C.
2
Chuù yù: Neáu baøi toaùn yeâu caàu tính giaù trò cuûa moät caëp tích phaân:
I1 = ò sin(ln x)dx vaø I 2 = ò cos(ln x)dx

ta neân löïa choïn caùch trình baøy sau:
· Söû duïng tích phaân töøng phaàn cho I1, nhö sau:
ì 1
ì u = sin(ln x) ïdu = cos(ln x)dx
Ñaët : í Þí x
îdv = dx ïv = x
î
Khi ñoù: I1 = x.sin(ln x) - ò cos(ln x)dx = x.sin(ln x) - I 2 . (3)

· Söû duïng tích phaân töøng phaàn cho I2, nhö sau:
ì 1
ì u = cos(ln x) ïdu = - sin(ln x)dx
Ñaët : í Þí x
î dv = dx ïv = x
î
Khi ñoù: I 2 = x.cos(ln x) - ò sin(ln x)dx = x.cos(ln x) + I1 . (4)

· Töø heä taïo bôûi (3) vaø (4) ta nhaän ñöôïc:

x x
I1 = [sin(ln x) - cos(ln x)] + C. I 2 = [sin(ln x) + cos(ln x)] + C.
2 2

ln(cos x)
Ví duï 3: Tích tích phaân baát ñònh: I = ò cos2 x
dx.

Giaûi:
ì u = ln(cos x) ì sin x
ï ïdu = - dx
Ñaët : í dx Þ í cos x
ï dv = ïv = tgx
î cos2 x î
æ 1 ö
Khi ñoù: I = ln(cos x).tgx + ò tg 2 xdx = ln(cos x).tgx + ò ç 2
- 1÷dx
è cos x ø
= ln(cos x).tgx + tgx - x + C.


Baøi toaùn 2: Tính I = ò P(x)sin axdx (hoaëc ò P(x) cos axdx) vôùi P laø moät ña thöùc thuoäc
R[X] vaø a Î R * .
PHÖÔNG PHAÙP CHUNG


Trang 23
Tích phaân Traàn Só Tuøng

Ta löïa choïn moät trong hai caùch sau:
· Caùch 1: (Söû duïng tích phaân töøng phaàn). Ta thöïc hieän theo caùc böôùc sau:
ìdu = P '(x)dx
ì u = P(x) ï
+ Böôùc 1: Ñaët : í Þ í 1 .
îdv = sin axdx ïv = - a cos ax
î
1 1
+ Böôùc 2: Khi ñoù: I = - P(x) cos a + ò P '(x).cos ax.dx.
a a
+ Böôùc 3: Tieáp tuïc thuû tuïc treân ta seõ “khöû” ñöôïc ña thöùc.
· Caùch 1: (Söû duïng phöông phaùp heä soá baát ñònh). Ta thöïc hieän theo caùc böôùc sau:
+ Böôùc 1: Ta coù: I = ò P(x)cos axdx = A(x)sin ax + B(x) cos ax + C. (1)
trong ñoù A(x) vaø B(x) laø caùc ña thöùc cuøng baäc vôùi P(x).
+ Böôùc 2: Laáy ñaïo haøm hai veá cuûa (1), ta ñöôïc:
P(x).cos ax = [A '(x) + B(x)].sin a + [A(x) + B'(x)].cos x (2)
Söû duïng phöông phaùp heä soá baát ñònh ta xaùc ñònh ñöôïc caùc ña thöùc A(x) vaø B(x)
+ Böôùc 3: Keát luaän.
Nhaän xeùt: Neáu baäc cuûa ña thöùc P(x) lôùn hôn hoaëc baèng 3 ta thaáy ngay caùch 1 toû ra quaù
coàng keành, vì khi ñoù ta caàn thöïc hieän thuû tuïc laáy tích phaân töøng phaàn nhieàu hôn ba laàn.
Do ñoù ta ñi tôùi nhaän ñònh chung sau:
– Neáu baäc cuûa P(x) nhoû hôn hoaëc baèng 2, ta löïa choïn caùch 1.
– Neáu baäc cuûa P(x) lôùn hôn 2, ta löïa choïn caùch 2.
Ví duï 4: Tính : I = ò x.sin 2 xdx (ÑHL_1999)

Giaûi:
Bieán ñoåi I veà daïng cô baûn:
æ 1 - cos 2x ö 1 1 1 2 1
I = ò xç ÷ dx = ò xdx - ò x cos2xdx = x - ò x cos 2xdx (1)
è 2 ø 2 2 4 2
Xeùt J = ò x cos2xdx.
ì dx
ìu = x ïdu = dx =
ï
Ñaët : í Þí x2 + 1
îdv = cos 2xdx ïv = 1 si n2x
ï
î 2
x 1 x 1
Khi ñoù: J = sin 2x - ò sin 2xdx = sin 2x + cos 2x + C. (2)
2 2 2 4
1 x 1
Thay (2) vaøo (1) ta ñöôïc: I = x 2 + sin 2x + cos 2x + C.
4 4 8
Ví duï 5: Tính : I = ò (x 3 - x 2 + 2x - 3)sin xdx.


Trang 24
Traàn Só Tuøng Tích phaân

Giaûi:
Ta coù: I = ò (x 3 - x 2 + 2x - 3)sin xdx
= (a1x 3 + b1x 2 + c1x + d1 ) cos x + (a2 x 3 + b 2 x 2 + c2 x + d 2 )sin x + C (1)
Laáy ñaïo haøm hai veá cuûa (1), ta ñöôïc:
(x 3 - x 2 + 2x - 3)sin x = [a2 x 3 + (3a1 + b2 )x 2 + (2b1 + c2 )x + c1 + d 2 ].cos x -
-[a1x 3 - (3a2 - b1 )x 2 - (2b2 - c1 )x + c2 - d1 ].sin x (2)
Ñoàng nhaát ñaúng thöùc, ta ñöôïc:
ìa 2 = 0 ì -a 2 = 1
ï ï
ï3a1 + b2 = 0 ï3a2 - b1 = -1
í (I) vaø í (II)
ï 2b1 + c2 = 0 ï 2b 2 - c1 = 2
ïc1 + d 2 = 0
î ï- c2 + d1 = -3
î
Giaûi (I) vaø (II), ta ñöôïc: a1 = -1, b1 = 1, c1 = 4, d1 = 1, a2 = 0, b 2 = 3, c2 = -2, d 2 = -4.
Khi ñoù: I = ( -x 3 + x 2 + 4x + 1)cos x + (3x 2 - 2x + 4)sin x + C.


( )
Baøi toaùn 3: Tính I = ò eax cos(bx)dx hoaëc ò eax sin(bx) vôùi a, b ¹ 0.

PHÖÔNG PHAÙP CHUNG
Ta löïa choïn moät trong hai caùch sau:
· Caùch 1: (Söû duïng tích phaân töøng phaàn). Ta thöïc hieän theo caùc böôùc sau:
ìdu = - bsin(bx)dx
ì u = cos(bx) ï
+ Böôùc 1: Ñaët : í Þ í 1 .
î
ax
dv = e dx ï v = eax
î a
1 b
Khi ñoù: I = eax cos(bx) + ò eax sin(bx)dx. (1)
a a
+ Böôùc 2: Xeùt J = ò eax sin(bx)dx.
ìdu = b cos x(bx)dx
ì u = sin(bx) ï
Ñaët í Þí 1
ax
îdv = e dx ï v = eax
î a
1 b 1 b
Khi ñoù: J = eax sin(bx) - ò eax cos(bx)dx = eax sin(bx) - I. (2)
a a a a
1 b 1 b
+ Böôùc 3: Thay (2) vaøo (1), ta ñöôïc: I = eaõ cos(bx) + [ eax sin(bx) - I]
a a a a
[a.cos(bx) + b.sin(bx)eax
ÛI= + C.
a2 + b 2
· Caùch 2: (Söû duïng phöông phaùp haèng soá baát ñònh). Ta thöïc hieän theo caùc böôùc :
+ Böôùc 1: Ta coù: I = ò eax cos(bx)dx = [A cos(bx) + B.sin(bx)]eax + C. (3)
trong ñoù A, B laø caùc haèng soá.

Trang 25
Tích phaân Traàn Só Tuøng

+ Böôùc 2: Laáy ñaïo haøm hai veá cuûa (3), ta ñöôïc:
eax .cos(bx) = b[- A sin(bx) + Bcos(bx)]eax + a[A cos(bx) + Bsin(bx)]eax
= [(Aa + Bb).cos(bx) + Ba - Ab)sin(bx)]eax .
ì a
ìAa + Bb = 1 ï A = a2 + b 2
ï
Ñoàng nhaát ñaúng thöùc, ta ñöôïc: í Þí
îBa - Ab = 0 ïB = b
ï
î a2 + b 2
[a.cos(bx) + b.sin(bx)]eax
+ Böôùc 3: Vaäy: I = + C.
a2 + b 2
Chuù yù:
1. Neáu baøi toaùn yeâu caàu tính giaù trò cuûa moät caëp tích phaân:
I1 = ò eax cos(bx)dx vaø I 2 = ò eax sin(bx)dx.
ta neân löïa choïn caùch trình baøy sau:
· Söû duïng tích phaân töøng phaàn cho I1, nhö sau:
ìdu = - b sin(bx)dx
ì u = cos(bx) ï
Ñaët: í Þí 1
ax
îdv = e dx ï v = eax
î a
1 b 1 b
Khi ñoù: I1 = eax cos(bx) + ò eax sin(bx)dx = eax cos(bx) + I 2 . (3)
a a a a
· Söû duïng tích phaân töøng phaàn cho I1, nhö sau:
ìdu = b cos(bx)dx
ì u = sin(bx) ï
Ñaët: í Þí 1
ax
îdv = e dx ï v = eax
î a
1 b 1 b
Khi ñoù: I 2 = eax sin(bx) - ò eax cos(bx)dx = eax sin(bx) - I1 . (4)
a a a a
· Töø heä taïo bôûi (3) vaø (4) ta nhaän ñöôïc:

[a.cos(bx) + b.sin(bx)]eax [a.sin(bx) - b.cos(bx)]eax
I1 = + C. I2 = + C.
a2 + b 2 a2 + b 2
2. Phöông phaùp treân cuõng ñöôïc aùp duïng cho caùc tích phaân:
J1 = ò eax sin 2 (bx)dx vaø J 2 = ò eax cos2 (bx)dx.

Ví duï 6: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò ex .cos2 xdx.

Giaûi:
Caùch 1: Vieát laïi I döôùi daïng:
1 1 1
I = ò ex .(1 + cos2x)dx = ( ò ex dx + ò ex .cos 2xdx) = (ex + ò ex .cos2xdx) (1)
2 2 2
· Xeùt J = ò e x .cos 2xdx.

Trang 26
Traàn Só Tuøng Tích phaân

ì u = cos2x ìdu = -2 sin 2xdx
Ñaët: í x
Þ í x
îdv = e dx îv = e
Khi ñoù: J = ex cos2x + 2 ò ex sin 2xdx (2)
· Xeùt: K = ò ex sin 2xdx.
ì u = sin 2x ìdu = 2 cos 2xdx
Ñaët: í x
Þ í x
îdv = e dx îv = e
Khi ñoù: K = ex sin 2x - 2 ò e x cos 2xdx = ex sin 2x - 2J (3)
Thay (3) vaøo (2), ta ñöôïc:
1
J = e x cos 2x + 2(ex si n2x - 2J) Û J = (cos2x + 2 sin 2x)ex + C (4)
5
Thay (4) vaøo (1), ta ñöôïc:
1 1 1
I = [ex + (cos2x + 2 sin 2x)ex ] + C = (5 + cos2x + 2sin 2x)ex + C
2 5 10
1
Caùch 2: I = ò ex .(1 + cos 2x)dx = (a + b.cos2x + c.sin 2x)ex + C. (5)
2
Laáy ñaïo haøm hai veá cuûa (5), ta ñöôïc:
1 x
e (1 + cos 2x) = ( - b.sin 2x + 2c.cos2x)ex + (a + b.cos2x + c.sin 2x)e x
2
= [a + (2x + b) cos 2x + (c - 2b)sin 2x]ex . (6)
ì2a = 1 ìa = 1/ 2
ï ï
Ñoàng nhaát ñaúng thöùc, ta ñöôïc: í2(2c + b) = 1 Þ í b = 1/ 10.
ï2(c - 2b) = 0 ï c = 1/ 5
î î
1
Vaäy: I = (5 + cos 2x + 2sin 2x)ex + C.
10
Baøi toaùn 4: Tính I = ò P(x)eax dx vôùi P laø moät ña thöùc thuoäc R[X] vaø a Î R* .

PHÖÔNG PHAÙP CHUNG
Ta löïa choïn moät trong hai caùch sau:
· Caùch 1: (Söû duïng tích phaân töøng phaàn). Ta thöïc hieän theo caùc böôùc sau:
ìdu = P '(x)dx
ì u = P(x) ï
+ Böôùc 1: Ñaët : í Þ í 1 .
î dv = eax dx ï v = eax
î a
1 1
+ Böôùc 2: Khi ñoù: I = P(x)eax - ò P '(x).eax .dx.
a a
+ Böôùc 3: Tieáp tuïc thuû tuïc treân ta seõ “khöû” ñöôïc ña thöùc.
· Caùch 2: (Söû duïng phöông phaùp heä soá baát ñònh). Ta thöïc hieän theo caùc böôùc :


Trang 27
Tích phaân Traàn Só Tuøng

+ Böôùc 1: Ta coù: I = ò P(x).eax .dx = A(x)eax + C. (1)
trong ñoù A(x) laø ña thöùc cuøng baäc vôùi P(x)
+ Böôùc 2: Laáy ñaïo haøm hai veá cuûa (1), ta ñöôïc:
P(x).eax = [A '(x) + aA(x)].eax (2)
Söû duïng phöông phaùp heä soá baát ñònh ta xaùc ñònh ñöôïc A(x).
+ Böôùc 3: Keát luaän
Nhaän xeùt: Neáu baäc cuûa ña thöùc P(x) lôùn hôn hoaëc baèng 3 ta thaáy ngay caùch 1 toû ra quaù
coàng keành, vì khi ñoù ta caàn thöïc hieän thuû tuïc laáy tích phaân töøng phaàn nhieàu hôn ba laàn.
Do ñoù ta ñi tôùi nhaän ñònh chung sau:
· Neáu baäc cuûa P(x) nhoû hôn hoaëc baèng 2, ta löïa choïn caùch 1.
· Neáu baäc cuûa P(x) lôùn hôn 2, ta löïa choïn caùch 2.
Ví duï 7: Tính : I = ò xe3x dx.

Giaûi:
ìdu = dx
ìu = x ï 1 3x 1 3x 1 3x 1 3x
Ñaët: í Þ í 1 3x . Khi ñoù: I = xe - ò e .dx = xe - e + C.
3x
îdv = e dx ïv = 3 e 3 3 3 9
î
Ví duï 8: Tính : I = ò (2x 3 + 5x 2 - 2x + 4)e2 x dx

Giaûi:
Ta coù: I = ò (2x3 + 5x 2 - 2x + 4)e2 x dx = (ax 3 + bx 2 + cx + d)e2x + C. (1)
Laáy ñaïo haøm hai veá cuûa (1), ta ñöôïc:
(2x 3 + 5x 2 - 2x + 4)e2x = [2ax 3 + (3a + 2b)x 2 + (2b + 2c)x + c + 2d]e2 x (2)
ì2a = 2 ìa = 1
ï3a + 2b = 5 ïb = 1
ï ï
Ñoàng nhaát ñaúng thöùc ta ñöôïc: í Û í
ï2b + 2c = -2 ïc = -2
ïc + 2d = 4
î ïd = 3
î
Khi ñoù: I = (x 3 + x 2 - 2x + 3)e2x + C.


Baøi toaùn 5: Tính I = ò x a .ln xdx, vôùi a Î R \ {-1}.

ì 1
du = dx
ì u = ln x ï
ï x
Ñaët : í Þ í
îdv = x dx ïv = 1 x a+1
a

ï
î a +1
x a+1 xa x a+1 x a+1
Khi ñoù: I = ln x - ò dx = ln x - + C.
a +1 a +1 a +1 (a + 1)2

Trang 28
Traàn Só Tuøng Tích phaân

Ví duï 9: Tính I = ò x 2 ln 2xdx.

ì dx
ì u = ln 2x ïdu = x
ï x3 x3 x3
Ñaët : í Þ í . Khi ñoù: I = ln 2x ò x 2 dx = ln 2x - + C.
î dv = x 2 dx ïv = 1 x 3 3 3 9
ï
î 3
BAØI TAÄP
Baøi 16. Tìm hoï nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá sau:
a/ f(x) = ln x; b/ f(x) = (x 2 + 1)e2x ; c/ f(x) = x 2 sin x;

d/ f(x) = ex sin x; e/ f(x) = x.cos x; f/ f(x) = ex (1 + tgx + tg2 x).
1
ÑS: a/ x ln x - x + C b/ (2x 2 - x + 3)e2x + C;
4
1 x
c/ (2 - x)2 cos x + 2sin x + C; d/ e (sin x - cos x) + C;
2
e/ 2 x (x - 6)sin x + 6(x - 2) cos x + C; f/ ex tgx + C.
Baøi 17. Tìm hoï nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá sau:
2
x æ ln x ö
a/ f(x) = e ; b/ f(x) = ç ÷ ; c/ f(x) = (x + 1)2 cos2 x;
è x ø
d/ f(x) = e-2 x .cos3x; e/ f(x) = sin(ln x); f/ f(x) = x 2 + K , (K ¹ 0);

x ln 2 x
ÑS: a/ 2( x - 1)e + C; b/ 2 ln x - 2x - + C;
x
(x + 1)3 (x + 1)2 sin 2x (x + 1) cos2x sin 2x
c/ + + - + C;
6 4 4 8
e-2 x x
d/ (3sin 3x - 2 cos3x) + C; e/ [sin(ln x) + cos(ln x ] + C;
13 2
x 2 K
f/ x + K + ln x + x 2 + K + C.
2 2
Baøi 18. Tìm hoï nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá sau:
a/ f(x) = x 3 ln x (HVQY_1999) b/ f(x) = (x 2 + 2)sin 2x (ÑHPÑ_2000)
c/ f(x) = x sin x (ÑHMÑC_1998)
1 4 1 1 x 1
ÑS: a/ x ln x - x 4 + C; b/ - (x2 + 2)cos2x + sin2x + cos2x + C;
4 16 2 2 4
c/ -2 x 3 cos x + 6x sin x + 12 x cos x - 12 sin x + C.




Trang 29
Tích phaân Traàn Só Tuøng


Vaán ñeà 6: XAÙC ÑÒNH NGUYEÂN HAØM
BAÈNG PHÖÔNG PHAÙP DUØNG NGUYEÂN HAØM PHUÏ
YÙ töôûng chuû ñaïo cuûa phöông phaùp xaùc ñònh nguyeân haøm cuûa f(x) baèng kyõ thuaät duøng haøm phuï laø
tìm kieám moät haøm g(x) sao cho nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá f(x) ± g(x) deã xaùc ñònh hôn so vôùi
haøm soá f(x), töø ñoù suy ra nguyeân haøm F(x) cuûa haøm soá f(x).
Ta thöïc hieän theo caùc böôùc sau:
+ Böôùc 1: Tìm kieám haøm soá g(x).
+ Böôùc 2: Xaùc ñònh caùc nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá f(x) ± g(x), töùc laø:
ìF(x) + G(x) = A(x) + C1
í (I)
îF(x) - G(x) = B(x) + C2
1
+ Böôùc 3: Töø heä (I), ta nhaän ñöôïc: F(x) = [A(x) + B(x)] + C
2
laø hoï nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x).
sin x
Ví duï 1: Tìm nguyeân haøm haøm soá: f(x) = .
sin x - cos x
Giaûi:
cos x
Choïn haøm soá phuï: g(x) =
sin x - cos x
Goïi F(x) vaø G(x) theo thöù töï laø nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá f(x), g(x). Ta coù:
sin x + cos x
f(x) + g(x) =
sin x + cos x
sin x + cos x d(sin x - cos x)
Þ F(x) + G(x) = ò dx = ò = ln sin x - cos x + C1.
sin x - cos x sin x - cos x
sin x - cos x
f(x) - g(x) = = 1 Þ F(x) - G(x) = ò dx = x + C2 .
sin x - cos x
ïF(x) + G(x) = ln sin x - cos x + C1
ì 1
Ta ñöôïc: í Þ F(x) = (ln sin x - cos x + x) + C.
ïF(x) - G(x) = x + C2
î 2
cos4 x
Ví duï 2: Tìm nguyeân haøm haøm soá: f(x) =
sin 4 x + cos 4 x
Giaûi:
sin 4 x
Choïn haøm soá phuï: g(x) =
sin 4 x + cos4 x
Goïi F(x) vaø G(x) theo thöù töï laø nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá f(x), g(x). Ta coù:
sin 4 x + cs 4 x
f(x) + g(x) = = 1 Þ F(x) + G(x) = ò dx = x + C1
sin 4 x + cos 4 x
cos 4 x - sin 4 x cos2 x - sin 2 x cos 2x
f(x) - g(x) = = =
sin x + cos x (cos x + sin x) - 2 cos x.sin x 1 - 1 sin 2 2x
4 4 2 2 2 2 2

2


Trang 30
Traàn Só Tuøng Tích phaân

2 cos2x d(sin 2x) 1 sin 2x - 2
Þ F(x) - G(x) = ò dx = - ò 2 =- ln + C2
2 - sin 2x sin 2x - 2 2 2 sin 2x + 2
ìF(x) + G(x) = x + C1
ï 1æ 1 2 + sin 2x ö
Ta ñöôïc: í 1 2 + sin 2x Þ F(x) = çx + ln ÷ + C.
ï F(x) - G(x) = ln + C2 2è 2 2 2 - sin 2x ø
î 2 2 2 - sin 2x
Ví duï 3: Tìm nguyeân haøm haøm soá: f(x) = 2sin 2 x.sin 2x.
Giaûi:
2
Choïn haøm soá phuï: g(x) = 2 cos x.sin 2x.
Goïi F(x) vaø G(x) theo thöù töï laø nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá f(x), g(x). Ta coù:
f(x) + g(x) = 2(sin 2 x + cos2 x).sin 2x = 2sin 2x Þ F(x) + G(x) = 2 ò sin 2xdx = - cos2x + C1
f(x) - g(x) = 2(sin 2 x - cos2 x).sin 2x = -2 cos2x.sin 2x = - sin 4x
1
Þ F(x) - G(x) = - ò sin 4xdx = cos 4x + C2
4
ìF(x) + G(x) = - cos2x + C1
ï 1æ 1 ö
Ta ñöôïc: í 1 Þ F(x) = ç - cos2x + cos 4x ÷ + C.
ïF(x) - G(x) = 4 cos 4x + +C2 2è 4 ø
î
ex
Ví duï 2: Tìm nguyeân haøm haøm soá: f(x) = x .
e - e-x
Giaûi:
e- x
Choïn haøm soá phuï: g(x) = x .
e - e- x
Goïi F(x) vaø G(x) theo thöù töï laø nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá f(x), g(x). Ta coù:
ex + e- x
f(x) + g(x) = x
e - e- x
ex + e- x d(ex - e- x )
Þ F(x) + G(x) = ò x -x
dx = ò x -x
= ln ex - e - x + C1
e -e e -e
x -x
e -e
f(x) - g(x) = x = 1 Þ F(x) - G(x) = ò dx = x + C2 .
e - e- x
ìF(x) + G(x) = ln ex - e- x + C1
ï 1
Ta ñöôïc: í Þ F(x) = (ln e x - e- x + x) + C.
ïF(x) - G(x) = x + C2
î 2

BAØI TAÄP
Baøi 19. Tìm nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá:
sin x ex
a/ f(x) = ; b/ f(x) = sin 2 x.cos 2x. c/ f(x) =
sin x + cos x e x + e- x
1 1 1 1
ÑS: a/ (x - ln sin x + cos x + C; b/ (si n2x - si n4x - x) + C; c/ (x + ln ex + e- x ) + C.
2 4 4 2


Trang 31
Tích phaân Traàn Só Tuøng


Vaán ñeà 7: NGUYEÂN HAØM CAÙC HAØM SOÁ HÖÕU TÆ

Ñeå xaùc ñònh nguyeân haøm soá höõu tæ ta caàn linh hoaït löïa choïn moät trong caùc phöông
phaùp cô baûn sau:
1. Phöông phaùp tam thöùc baäc hai
2. Phöông phaùp phaân tích
3. Phöông phaùp ñoåi bieán
4. Phöông phaùp tích phaân töøng phaàn
5. Söû duïng caùc phöông phaùp khaùc nhau.

1. PHÖÔNG PHAÙP TAM THÖÙC BAÄC HAI
Baøi toaùn 1: Xaùc ñònh nguyeân haøm caùc haøm höõu tæ döïa treân tam thöùc baäc hai
PHÖÔNG PHAÙP CHUNG
Treân cô sôû ñöa tam thöùc baäc hai veà daïng chính taéc vaø duøng caùc coâng thöùc sau:
xdx 1 2
1. ò x2 ± a = 2 ln x ±a +C (1)

dx 1 x-a
2. ò x2 - a2 = 2a ln x + a + C, vôùi a ¹ 0 (2)

xdx
Ví duï 1: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò x 4 - 2x2 - 2
Giaûi:
dx xdx 1 d(x 2 - 1)
Ta coù: ò x 4 - 2x 2 - 2 (x - 1)2 - 3 2 (x - 1)2 - 3
=ò 2 = ò 2

1 1 x2 - 1 - 3 1 x2 - 1 - 3
= . ln +C= ln + C.
2 3 x2 - 1 + 3 4 3 x2 - 1 + 3

· Chuù yù: Cuõng coù theå trình baøy baøi toaùn töôøng minh hôn baèng vieäc ñoåi bieán soá tröôùc khi
aùp duïng caùc coâng thöùc (1), (2). Cuï theå:
xdx xdx
Bieán ñoåi tích phaân ban ñaàu veà daïng: ò x4 - 2x2 - 2 = ò (x 2 - 1)2 - 3
Ñaët t = x 2 - 1
xdx 1 dt
Suy ra: dt = 2xdx & 2 2
= . 2 .
(x - 1) - 3 2 t - 3
1 dt 1 1 t- 3 1 x2 - 1 - 3
2 ò t2 - 3 2 2 3 t + 3
Khi ñoù : I = = . ln +C = ln 2 + C.
4 3 x -1+ 3




Trang 32
Traàn Só Tuøng Tích phaân

x 3dx
Ví duï 2: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò 4
x - x2 - 2
Giaûi:
æ 2 1ö 1
x - ÷+
3
x dx 1 ç è 2ø 2 æ 2 1ö
Ta coù: I = ò 2
= ò 2
dçx - ÷
æ 2 1ö 9 2 æ 2 1ö 9 è 2ø
ç x - ÷ - ç x - ÷ -
è 2ø 4 è 2ø 4
æ 2 1ö æ 2 1ö æ 1ö
ç x - ÷d ç x - ÷ 1 d ç x2 - ÷
1 2ø è 2ø 2ø
= òè 2
+ ò è
2
2 æ 2 1ö 9 4 æ 2 1ö 9
çx - ÷ - çx - ÷ -
è 2ø 4 è 2ø 4
1 3
2 - x2 -
1 1 æ 2 1ö 9 1 1 2 2 +C
= . ln ç x - ÷ - + . ln
2 2 è 2 ø 4 4 3 x2 - 1 + 3
2 2
1 1 x2 - 2
= ln x 4 - x 2 - 2 + ln 2 + C.
4 2 x +1
2. PHÖÔNG PHAÙP PHAÂN TÍCH
Baøi toaùn 2: Xaùc ñònh nguyeân haøm caùc haøm höõu tæ baèng phöông phaùp phaân tích
PHÖÔNG PHAÙP CHUNG
Caàn hieåu raèng thöïc chaát noù laø moät daïng cuûa phöông phaùp heä soá baát ñònh, nhöng ôû ñaây ñeå
P(x)
phaân tích ta söû duïng caùc ñoàng nhaát thöùc quen thuoäc.
Q(x)
x2
Daïng 1: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò dx, vôùi a ¹ 0.
(ax + b)2
PHÖÔNG PHAÙP CHUNG
Söû duïng ñoàng nhaát thöùc:
1 1 1
x 2 = 2 .a2 x 2 = 2 [(ax + b) - b]2 = 2 [(ax + b)2 - 2b(ax + b) + b2 ]
a a a
x2 1 (ax + b)2 - 2b(ax + b) + b 2
Ta ñöôïc: = 2.
(ax + b)a a (ax + b)a
1 é 1 2b b2 ù
= 2
.ê a-2
- a-1
+ aú
a ë (ax + b) (ax + b) (ax + b) û
1 é dx 2bdx b 2dx ù
I = 2 . êò
a ë (ax + b)a-2 ò (ax + b)a-1 ò (ax + b)a û
Khi ñoù: - + ú

1 é d(ax + b) 2bd(ax + b) b 2 d(ax + b) ù
= . êò -ò +ò ú.
a3 ë (ax + b)a-2 (ax + b)a-1 (ax + b)a û



Trang 33
Tích phaân Traàn Só Tuøng

x2
Ví duï 3: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò dx.
(1 - x)39
Giaûi:
Söû duïng ñoàng nhaát thöùc: x 2 = (1 - x)2 - 2(1 - x) + 1
x2 (1 - x)2 - 2(1 - x) + 1 1 2 1
Ta ñöôïc: 39
= 39
= 37
- 37
+ .
(1 - x) (1 - x) (1 - x) (1 - x) (1 - x)39
dx 2dx dx
Khi ñoù: I = ò 37
-ò 38

(1 - x) (1 - x) (1 - x)39
1 2 1
= - + + C.
36(1 - x)36 37(1 - x)37 38(1 - x)38
Chuù yù: Môû roäng töï nhieân cuûa phöông phaùp giaûi treân ta ñi xeùt ví duï:
x3
Ví duï 4: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò dx.
(x - 1)10
Giaûi:
Söû duïng ñoàng nhaát thöùc (coâng thöùc Taylo): x 3 = 1 + 3(x - 1) + 3(x - 1)2 + (x - 1)3 .
x3 1 + 3(x - 1) + 3(x - 1)2 + (x - 1)3
Ta ñöôïc: =
(x - 1)10 (x - 1)10
1 3 3 1
= 10
+ + + .
(x - 1) (x - 1) (x - 1) (x - 1)7
9 8


é 1 3 3 1 ù
Khi ñoù: I = ò ê + + + dx
ë (x - 1)
10
(x - 1) (x - 1) (x - 1)7 ú
9 8
û
1 3 3 1
=- - - - + C.
9(x - 1) 8(x - 1) 7(x - 1) 6(x - 1)6
9 8 7


dx
Daïng 2: Tính tích phaân baát ñònh: I n = ò , vôùi a ¹ 0 vaø n nguyeân döông.
(ax + bx + c)n
2


PHÖÔNG PHAÙP CHUNG
Ta xeùt caùc tröôøng hôïp sau:
· Tröôøng hôïp 1: Neáu n = 1
Ta xeùt ba khaû naêng cuûa D = b 2 - 4ac
Ÿ Khaû naêng 1: Neáu D > 0
1 1 1 (x - x 2 ) - (x - x1 )
Khi ñoù: 2
= = .
ax + bx + c a(x - x1 )(x - x 2 ) a(x1 - x 2 ) (x - x1 )(x - x 2 )
1 æ 1 1 ö
= ç - ÷.
a(x1 - x 2 ) è x - x1 x - x 2 ø




Trang 34
Traàn Só Tuøng Tích phaân

1 æ 1 1 ö 1
Do ñoù: I1 = ò x - x x - x ÷ dx = a(x - x [ln x - x1 - ln x - x2 ] + C.
ç
a(x1 - x2 ) è
-
1 2 ø 1 2

1 x - x1
= .ln + C.
a(x1 - x 2 ) x - x2
Ÿ Khaû naêng 2: Neáu D = 0
1 1
Khi ñoù: =
ax + bx + c a(x - x 0 )2
2


1 dx 1
Do ñoù: I =
a ò (x - x )2 = - a(x - x ) + C.
0 0

Ÿ Khaû naêng 3: Neáu D < 0
æ p pö
Khi ñoù thöïc hieän pheùp ñoåi bieán x = tgt vôùi t Î ç - ; ÷ .
è 2 2ø
· Tröôøng hôïp 2: Neáu n > 1
b 1 dt
Baèng pheùp ñoåi bieán t = x + , ta ñöôïc: I n = n ò 2
2a a (t + k)n
Söû duïng phöông phaùp tích phaân töøng phaàn vôùi pheùp ñaët:
ì 1 ì 2ntdt
ïu = 2 n ïdu = - 2
í (t + k) Þ í (t + k)n +1
ïdv = dt ïv = t
î î
1 é t t 2 dt ù 1 ì t [(t 2 + k) - k]dt ü
Khi ñoù: I n = ê 2 + 2n ò 2 ú = ní 2 + 2n ò ý
an ë (t + k)
n
(t + k)n +1 û a î (t + k)n (t 2 + k)n +1 þ
1 ì t é dt dt ùü
= í 2 + 2n ê ò 2 - kò 2 n +1 ú ý
an î (t + k)
n
ë (t + k)
n
(t + k) û þ
é1 t ù t n
= ê (t 2 + k)n + 2n(I n - kI n+1 ) ú Û 2nkI n+1 = (t 2 + k)n + (2n - a )I n
an
ë û
t
Û 2(n - 1(kI n = 2 n -1
+ (2n - 2 - a n -1 )I n +1 (1)
(t + k)
Chuù yù: Vì coâng thöùc (1) khoâng ñöôïc trình baøy trong phaïm vi saùch giaùo khoa 12, do ñoù caùc
em hoïc sinh khi laøm baøi thi khoâng ñöôïc pheùp söû duïng noù, hoaëc neáu trong tröôøng hôïp ñöôïc
söû duïng thì ñoù laø moät coâng thöùc quaù coàng keành raát khoù coù theå nhôù ñöôïc moät caùch chính
xaùc, do vaäy trong töôøng hôïp n > 1 toát nhaát caùc em neân trình baøy theo caùc böôùc sau:
– Böôùc 1: Xaùc ñònh I1.
– Böôùc 2: Xaùc ñònh In theo In–1 (chöùng minh laïi (1)).
– Böôùc 3: Bieåu dieãn truy hoài In theo I1 ta ñöôïc keát quaû caàn tìm.

1
Ví duï 5: Cho haøm soá f(x) = 2
x - (m + 2)x + 2m

Trang 35
Tích phaân Traàn Só Tuøng

Tính tích phaân baát ñònh I = ò f(x)dx bieát:
a/ m = 1 b/ m = 2.
Giaûi:
dx dx dx d(x - 2) d(x - 1)
a/ Vôùi m = 1: I = ò f(x)dx = ò 2
=ò -ò =ò -ò
x - 3x + 2 x -2 x -1 x-2 x -1
x-2
= ln x - 2 - ln x - 1 + C = ln + C.
x -1
dx 1
b/ Vôùi m = 2: I = ò f(x)dx = ò 2
=- + C.
(x - 2) x-2
dx
Ví duï 6: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò
(x + 4x + 3)3
2


Giaûi:
dx
Xeùt tích phaân J n = ò , ta laàn löôït coù:
(x + 4x + 3)n
2


· Vôùi n = 1
dx dx 1 æ 1 1 ö 1 x +1
J1 = ò 2
=ò = òç - ÷ dx = ln + C.
x + 4x + 3 (x + 1)(x + 3) 2 è x + 1 x + 3 ø 3 x +3
· Vôùi n > 1
Baèng phöông phaùp tích phaân töøng phaàn vôùi pheùp ñaët:
ì 1 ì 2ntdt
ïu = 2 n ïdu = - 2
í (t - 1) Þ í (t - 1)n +1
ïdv = dt ïv = t
î î
t t 2 dt t [(t 2 - 1) + 1]dt
Khi ñoù: J n = + 2n ò 2 = 2 + 2n ò
(t 2 - 1)n (t - 1)n+1 (t - 1)n (t 2 - 1)n+1
t é dt dt ù t
= 2 n
+ 2n ê ò 2 n
+ò 2 n +1 ú
= 2 + 2n(J n + J n +1 )
(t - 1) ë (t - 1) (t - 1) û (t - 1)n
t t
Û 2nJn+1 = - 2 n
- (2n - 1)Jn Û 2(n - 1)Jn = - 2 - (2n - 3)Jn-1
(t - 1) (t - 1)n-1
1 é t ù
Û Jn = - =ê 2 + 2n - 3)Jn-1 ú
2(n - 1)n ë (t - 1)n-1 û
1æ t ö
Do ñoù: J2 = - ç 2 + J1 ÷
2 è t -1 ø
1é t ù 1ì t ì 1æ t ö üü
I = J3 = - ê 2 + 3J 2 ú = - í 2 + 3 í- ç 2 + J1 ÷ ýý
4 ë (t - 1)2 û 4 î (t - 1)2 î 2 è t -1 ø þþ
x+2 3(x + 2) 3 x +1
=- 2 2
+ 2
+ ln + C.
4(x + 4x3+) 8(x + 4x + 3) 16 x + 3


Trang 36
Traàn Só Tuøng Tích phaân

(lx + m )dx
Daïng 3: Tính tích phaân baát ñònh: I n = ò , vôùi a ¹ 0 vaø n nguyeân döông.
(ax 2 + bx + c)n
PHÖÔNG PHAÙP CHUNG
l lb
Phaân tích: lx + m = (2ax + b) + m -
2a 2a
l (2ax + b)dx lb dx
Khi ñoù: I n =
2a ò (ax2 + bx + c)n + (m - 2a )ò (ax2 + bx + c)n
l (2ax + b)dx
a/ Vôùi J n =
2a ò ((ax2 + bx + c)n thì:
Ÿ Neáu n = 1, ta ñöôïc:
l (2ax + b)dx l 2
J1 =
2a ò ax2 + bx + c = 2a ln ax + bx + c + C.
Ÿ Neáu n > 1, ta ñöôïc:
l (2ax + b)dx l 1
Jn =
2a ò (ax2 + bx + c)n = - 2a(n - 1) . (ax2 + bx + c)n-1 + C.
dx
b/ Vôùi K n = ò , ta ñaõ bieát caùch xaùc ñònh trong daïng 2.
(ax + bx + c)n
2


Toång quaùt heïp: Trong phaïm vi phoå thoâng chuùng thöôøng gaëp tích phaân baát ñònh sau:
P(x)dx
I=ò , vôùi a ¹ 0 vaø baäc cuûa P(x) lôùn hôn 1.
ax 2 + bx + c
Ta thöïc hieän theo caùc böôùc sau:
– Böôùc 1: Thöïc hieän pheùp chia ña thöùc P(x) cho ax 2 + bx + c ta ñöôïc:
P(x) lx + m
2
= Q(x) + 2
ax + bx + c ax + bx + c
l 2ax + b lb 1
= Q(x) + . 2 + (m - ). 2
2a ax + bx + c 2a ax + bx + c
l (2ax + b)dx lb dx
– Böôùc 2: Khi ñoù: I = ò Q(x)dx + ò 2 + (m - ) ò 2 .
2a ax + bx + c 2a ax + bx + c
Chuù yù: Tuy nhieân trong tröôøng hôïp ax 2 + bx + c coù D = b2 - 4ac > 0
(ta ñöôïc hai nghieäm x1, x2), chuùng ta thöïc hieän pheùp phaân tích:
lx + m 1æ A B ö
= ç + ÷.
ax 2 + bx + c a è x - x1 x - x 2 ø
(2x 3 - 10x 2 + 16x - 1)dx
Ví duï 7: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò
x 2 - 5x + 6
Giaûi:




Trang 37
Tích phaân Traàn Só Tuøng

2x 3 - 10x 2 + 16x - 1 4x - 1 A B
Bieán ñoåi: = 2x + 2 =2+ +
x 2 - 5x + 6 x - 5x + 6 x -3 x-2
Ta ñöôïc haèng ñaúng thöùc: 4x - 1 = A(x - 2) + B(x - 3) (1)
Ñeå xaùc ñònh A, B trong (1) ta coù theå löïa choïn moät hai caùch sau:
· Caùch 1: Phöông phaùp ñoàng nhaát heä soá
Khai trieån veá phaûi cuûa (1) vaø saép xeáp ña thöùc theo thöù töï baäc luøi daàn, ta coù:
4x - 1 = (A + B)x + 2A - 3B.
ìA + B = 4 ì A = 11
Ñoàng nhaát ñaúng thöùc, ta ñöôïc: í Û í
î-2A - 3B = -1 î B = -7
· Caùch 2: Phöông phaùp trò soá rieâng:
ìA = 11
Laàn löôït thay x = 2, x = 3 vaøo hai veá cuûa (1) ta ñöôïc heä: í
îB = -7
2x 3 - 10x 2 + 16x - 1 11 7
Töø ñoù suy ra: 2
= 2x + - .
x - 5x + 6 x -3 x -2
é 11 7 ù
Do ñoù: I = ò ê2x + - 2
údx = x + 11ln x - 3 - 7 ln x - 2 + C.
ë x -3 x -2û
Nhaän xeùt: Trong ví duï treân vieäc xaùc ñònh caùc heä soá A, B baèng hai caùch coù ñoä phöùc taïp
gaàn gioáng nhau, tuy nhieân vôùi baøi toaùn caàn phaàn tích thaønh nhieàu nhaân töû thì caùch 2
thöôøng toû ra ñôn giaûn hôn.

(a1x 2 + b1x + c1 )dx
Daïng 4: Tính tích phaân baát ñònh: I n = ò , vôùi a ¹ 0
(x - a )(ax 2 + bx + c)
PHÖÔNG PHAÙP CHUNG
2
Ta xeùt ba khaû naêng cuûa D = b – 4ac
· Khaû naêng 1: Neáu D > 0, khi ñoù: ax 2 + bx + c = a(x - x1 )(x - x 2 )
a1x 2 + b1x + c1 A B C
Khi ñoù phaân tích: 2
= + +
(x - a )(ax + bx + c) x - a x - x1 x - x 2
æ A B C ö
Do ñoù: I = ò ç + + ÷ dx = A ln x - a + Bln x - x1 + Cln x - x2 + C
è x - a x - x1 x - x2 ø
· Khaû naêng 2: Neáu D = 0, khi ñoù: ax 2 + bx + c = a(x - x 0 )2 .
a1x 2 + b1x + c1 A B C
Khi ñoù phaân tích: = + +
(x - a )(ax + bx + c) x - a x - x 0 (x - x 0 )2
2


é A B C ù C
Do ñoù: I = ò ê + + 2ú
dx = A ln x - a + Bln x - x 0 - + C.
ë x - a x - x 0 (x - x 0 ) û x - x0
· Khaû naêng 3: Neáu D < 0




Trang 38
Traàn Só Tuøng Tích phaân

a1x 2 + b1x + c1 A B(2x + b) C
Khi ñoù phaân tích: = + 2 + 2
(x - a )(ax 2 + bx + c) x - a ax + bx + c ax + bx + c
é A B(2ax + b C ù
Do ñoù: I = ò ê + 2 + 2 dx
ë x - a ax + bx + c ax + bx + c ú û
dx
= A ln x - a + Bln | ax 2 + bx + c | + C ò 2
ax + bx + c
dx
Trong ñoù tích phaân J = ò 2 ñöôïc xaùc ñònh baèng pheùp ñoåi bieán x = tgt vôùi
ax + bx + c
æ p pö
t Îç - ; ÷ .
è 2 2ø
Toång quaùt: Tính tích phaân baát ñònh:
P(x)dx
I=ò , vôùi a ¹ 0 vaø baäc cuûa P(x) lôùn hôn 2.
(x - a )(ax 2 + bx + c)
Ta thöïc hieän theo caùc böôùc sau:
– Böôùc 1: Thöïc hieän pheùp chia ña thöùc P(x) cho (x - a)(ax 2 + bx + c) ta ñöôïc:
P(x) a1x 2 + b1x + c1
= Q(x) +
(x - a )(ax 2 + bx + c) (x - a )(ax 2 + bx + c)
(a1x 2 + b1x + c1 )dx
– Böôùc 2: Khi ñoù: I = ò Q(x)dx + ò
(x - a )(ax 2 + bx + c)
(x 2 + 2x - 2)dx
Ví duï 8: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò
x3 + 1
Giaûi:
x 2 + 2x - 2 x 2 + 2x - 2 A B(2x - 1) C
Bieán ñoåi: 3
= 2
= + 2 + 2
x +1 (x + 1)(x - x + 1) x + 1 x - x + 1 x - x + 1
(A + 2B)x 2 - (A - B - C)x + A - B + C
=
x3 + 1
ìA + 2B = 1 ì A = -1
ï ï
Ñoàng nhaát ñaúng thöùc, ta ñöôïc: í-A + B + C = 2 Û íB = 1
ï A - B + C = -2 ïC = 0
î î
x 2 + 2x - 2 1 2x - 1
Khi ñoù: 3
=- + 2
x +1 x +1 x - x +1
æ 1 2x - 1 ö x2 - x + 1
Do ñoù: I = ò ç - + 2 ÷ dx = - ln | x + 1| + ln | x2 - x + 1| +C = ln +C
è x +1 x - x +1ø x +1


dx
Daïng 5: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò , vôùi a ¹ b
(x + a)2 (x + b)2


Trang 39
Tích phaân Traàn Só Tuøng

PHÖÔNG PHAÙP CHUNG
Söû duïng ñoàng nhaát thöùc:
é (x + a) - (x + b) ù
ê a- b ú = 1,
ë û
2 2
1 é (x + a) - (x + b) ù 1 é 1 1 ù
=ê = -
(x + a)2 (x + b)2 ë (a - b)(x + a)(x + b) ú
û (a - b)2 êx + b x + aú
ë û
1 é 1 2 1 ù
= ê (x - b)2 - (x + a)(x + b) + (x + a)2 ú
(a - b)2
ë û
1 é 1 2 (x + a) - (x - b) 1 ù
= - . +
(a - b) ë (x + b) a - b (x + b)(x + a) (x + a)2 ú
2 ê 2
û
1 é 1 2 æ 1 1 ö 1 ù
= 2 ê 2
- çx+ b - x+a÷+ 2 ú
(a - b) ë (x + b) a - b è ø (x + a) û
ta ñöôïc:
1 é 1 2 æ 1 1 1 öù
(a - b)2 ë ò (x + b)2 a - b ç ò x + b
I= ê - -ò +ò ú
è x+a (x + a)2 ÷ û
ø
1 é 1 2 1 ù
= 2 ê
- - (ln | x + b | - ln | x + a) | - +C
(a - b) ë x + a a - b x + aú
û
1 é 2 x+a 2x + a + b ù
= ê a - b ln x + b - (x + b)(x + a) ú + C.
(a - b)2
ë û
dx
Ví duï 9: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò
(x + 3)2 (x + 1)2
Giaûi:
Söû duïng ñoàng nhaát thöùc:
é (x + 3) - (x + 1) ù
ê 2 ú = 1,
ë û
2 2
1 é (x + 3) - (x + 1) ù 1é 1 1 ù
2 2
=ê ú = 4 êx +1 - x + 3ú
(x + 3) (x + 1) ë 2(x + 3)(x + 1) û ë û
1é 1 2 1 ù 1é 1 (x + 3) - (x + 1) 1 ù
= ê - + 2ú
= ê - +
2
4 ë (x + 1) (x + 1)(x + 3) (x + 3) û 4 ë (x + 1) 2
(x + 1)(x + 3) (x + 3)2 ú
û
1é dx dx dx dx ù
= ê ò (x + 1)2 - ò x + 1 + ò x + 3 + ò (x + 3)2 ú
4ë û
1é 1 1 ù 1é x+3 2x + 4 ù
= ê - x + 1 - ln | x + 1 | + ln | x + 3 | - x + 3 ú + C = 4 ê ln x + 1 - (x + 1)(x + 3) ú + C.
4ë û ë û


P(x)
Daïng 6: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò Q(x) dx

Trang 40
Traàn Só Tuøng Tích phaân

PHÖÔNG PHAÙP CHUNG
P(x)
Giaû söû caàn xaùc ñònh: I = ò Q(x) baèng phöông phaùp heä soá baát ñònh.

Ta thöïc hieän theo caùc böôùc sau:
– Böôùc 1: Phaân tích Q(x) thaønh caùc ña thöùc baát khaû quy, giaû söû laø:
Q(x) = A n (x).Bm (x).C k (x), vôùi n, m, k Î N.
trong ñoù A(x), B(x), C(x) laø ña thöùc baäc hai hoaëc baäc nhaát.
– Böôùc 2: Khi ñoù ta phaân tích:
P(x) E(x)
= D(x) + n
Q(x) A (x).Bm (x).Ck (x)
i
n é a1.A'(x) ai2 ù m é b1j .B'(x) j t
b2 ù k é c1.C'(x) t
c2 ù
= D(x) + å ê i + i ú + åê j + ú + åê + ú
i=1 ë A (x) A (x) û j=1 ë B (x) Bj (x) û t =1 ë Ct (x) C j (x) û
Xaùc ñònh ñöôïc caùc heä soá a1 , ai2 , b1j , b 2 , c1 ,ct2 baèng phöông phaùp heä soá baát ñònh.
i j t


– Böôùc 3: Xaùc ñònh:
n é i
a .A'(x) ai ù m é bj .B'(x) b2 ù k é c1.C'(x)
j t
ct ù
I = ò D(x)dx + å ò ê 1 i + i 2 ú + åò ê 1 j + j ú + åò ê t + t2 ú
i=1 ë A (x) A (x) û j=1 ë B (x) B (x) û t=1 ë C (x) C (x) û

x 3 - 3x 2 + x + 6
Ví duï 10: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò 3 dx.
x - 5x 2 + 6x
Giaûi:
Ta coù:
x 3 - 3x 2 + x + 6 2x 2 - 5x + 6 2x 2 - 5x + 6 a b c
3 2
= 1+ 3 2
= 1+ = 1+ + + .
x - 5x + 6x x - 5x + 6x x(x - 2)(x - 3) x x -2 x -3
Ta ñöôïc haèng ñaúng thöùc: 2x 2 - 5x + 6 = a(x - 3)(x - 2) + bx(x - 3) + cx(x - 2) (1)
Ñeå xaùc ñònh a, b, c trong (1) ta coù theå löïa choïn moät trong hai caùch sau:
· Caùch 1: Phöông phaùp ñoàng nhaát heä soá
Khai trieån veá phaûi cuûa (1) vaø saép xeáp ña thöùc theo thöù töï baäc luøi daàn, ta coù:
2x 2 - 5x + 6 = (a + b + c)x 2 - (5a + 3b + 2c)x + 6a
ìa + b + c = 2 ìa = 1
ï ï
Ñoàng nhaát ñaúng thöùc, ta ñöôïc: í5a + 3b + 2c = 5 Û í b = -2
ï6a = 6 ïc = 3
î î
· Caùch 2: Phöông phaùp trò soá rieâng:
ìa = 1
ï
Laàn löôït thay x = 0, x = 2, x = 3 vaøo hai veá cuûa (1) ta ñöôïc heä: í b = -2
ïc = 3
î


Trang 41
Tích phaân Traàn Só Tuøng

x 3 - 3x 2 + x + 6 1 2 3
Khi ñoù: = 1+ - +
x3 - 5x 2 + 6x x x -2 x -3
æ 1 2 3 ö
Do ñoù: I = ò ç 1 + - + ÷dx = x + ln | x | -2 ln | x - 2 | +3ln | x + 3 | +C.
è x x -2 x -3ø
7x - 4
Ví duï 11: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò 3
dx.
x - 3x + 2
Giaûi:
7x - 4 7x - 4 a b c
Ta coù: 3
= 2
= 2
+ +
x - 3x + 2 (x + 2)(x - 1) (x - 1) x -1 x + 2
(b + c)x 2 + (a + b - 2c)x + 2a - 2b + c
=
(x - 2)(x - 1)2
Ta ñöôïc haèng ñaúng thöùc: 7x - 4 = a(x + 2) + b(x - 1)(x + 2) + c(x - 1)2 (1)
Ñeå xaùc ñònh a, b, c trong (1) ta coù theå löïa choïn moät trong hai caùch sau:
· Caùch 1: Phöông phaùp ñoàng nhaát heä soá:
Khai trieån veá phaûi cuûa (1) vaø saép xeáp ña thöùc theo thöù töï baäc luøi daàn, ta coù:
7x - 4 = (b + c)x 2 + (a + b - 2c)x + 2a - 2b + c.
ìb + c = 0 ìa = 1
ï ï
Ñoàng nhaát ñaúng thöùc, ta ñöôïc: ía + b - 2c = 7 Û íb = 2
ï2a - 2b + c = -4 ï c = -2
î î
· Caùch 2: Phöông phaùp trò soá rieâng:
ìa = 1
ï
Laàn löôït thay x = 0, x = 2, x = 3 vaøo hai veá cuûa (1) ta ñöôïc heä: í b = 2
ï c = -2
î
7x - 4 1 2 2
Khi ñoù: 3
= 2
+ - .
x - 3x + 2 (x - 1) x -1 x + 2
é 1 2 2 ù 1
Do ñoù: I = ò ê 2
+ - údx = - x - 1 + 2 ln | x + 1 | -2 ln + | x + 2 | +C.
ë (x - 1) x -1 x + 2 û
x 3 - x 2 - 4x - 1
Ví duï 12: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò
x 4 + x3
Giaûi:
3 2 3 2
x - x - 4x - 1 x - x - 4x - 1 a b c d
Ta coù: 4 3
= 3
= 3+ 2+ +
x -x x (x + 1) x x x x +1
(c + d)x 3 + (b - c)x 2 + (a + b)x + a
=
x 3 (x + 1)



Trang 42
Traàn Só Tuøng Tích phaân

ìc + d = 1 ìa = -1
ï b + c = -1 ï b = -3
ï ï
Ñoàng nhaát ñaúng thöùc, ta ñöôïc: í Û í
ïa + b = -4 ïc = 2
ïa = -1
î ïd = -1
î
x 3 - x 2 - 4x - 1 1 3 2 1
Khi ñoù: 4 3
=- 3 - 2 + - .
x +x x x x x +1
æ 1 3 2 1 ö 1 3
Do ñoù: I = ò ç - 3 - 2 + - ÷ dx = 2 + + 2 ln | x | - ln | x + 1 | + C.
è x x x x +1ø 2x x

3. PHÖÔNG PHAÙP ÑOÅI BIEÁN
Baøi toaùn 3: Xaùc ñònh nguyeân haøm caùc haøm höõu tæ baèng phöông phaùp ñoåi bieán
PHÖÔNG PHAÙP CHUNG
x k -1.P(x k )dx
Neáu tích phaân caàn xaùc ñònh coù daïng: I = ò Q(x k ) .
Ta thöïc hieän theo caùc böôùc sau:
· Böôùc 1: Ñaët t = xk, suy ra : dt = kx k -1dx,
1 P1 (t)dt
k ò Q1 (t)
Khi ñoù: I = (1)

Trong ñoù P1(x), Q1(x) laø ña thöùc coù baäc nhoû hôn P(x) vaø (Q(x).
· Böôùc 2: Tính tích phaân trong (1)
j '(x).P[j(x)]dx
Chuù yù: Ta nhaän thaáy söï môû roäng töï nhieân vôùi daïng: I = ò Q[j(x)]
trong ñoù j(x) laø moät ña thöùc baäc k cuûa x.
Khi ñoù ñaët t = j(x).
x 3dx
Ví duï 13: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò 8 .
(x - 4)2
Giaûi:
Ñaët t = x4
3x 3dx 1 dt
Suy ra: dt = 4x dx & 8 2
= . 2
(x - 4) 4 (t - 4)2
1 dt
Khi ñoù: I =
4 ò (t 2 - 4)2
1
Söû duïng ñoàng nhaát thöùc: 1 = [(t + 2) - (t - 2)]2
16
1 [(t + 2) - (t - 2)]2 1 é 1 2 1 ù
Ta ñöôïc: I =
64 ò (t 2 - 4)2 dt = 64 ò ê (t - 2)2 - t 2 - 4 + (t + 2)2 ú dt
ë û


Trang 43
Tích phaân Traàn Só Tuøng

1 é 1 1 t-2 1 ù
= ê - t - 2 - 2 ln t + 2 - t + 2 ú + C
64 ë û
1 æ 2t 1 t-2 ö 1 æ 2x 4 1 x4 - 2 ö
=- ç 2 - ln ÷ + C = - 64 ç x 8 - 4 - 2 ln x 4 + 2 ÷+C
64 è t - 4 2 t + 2 ø ç ÷
è ø
(2x + 1)dx
Ví duï 14: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò x 4 + 2x3 + 3x2 + 2x - 3
Giaûi:
(2x + 1)dx
Bieán ñoåi I veà daïng: I = ò
(x + x + 1)2 - 4
2


(2x + 1)dx dt
Ñaët t = x 2 + x + 1 . Suy ra: dt = (2x + 1)dx & 2 2
= 2 .
(x + x + 1) - 4 t - 4
dt t -2 x2 + x - 1
Khi ñoù: I = ò 2 = ln + C = ln 2 + C.
t -4 t+2 x + x +3

x2 - 1
Ví duï 15: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò x 4 + 1dx.
Giaûi:
1 1
1- 2 1- 2
x dx =
Bieán ñoåi I veà daïng: I = ò 1 2
ò æ 1 x2 dx.
ö
+x
x2 çx + ÷ -2
è xø
1
1-
1 æ 1 ö x 2 = dt
Ñaët t = x + . Suy ra: dt = ç 1 - 2 ÷ dx & 2
x è x ø æ 1ö t2 - 2
çx+ ÷
è xø
1
- 2 x+
dt 1 t-2 1 x
Khi ñoù: I = ò 2 = ln +C = ln +C
t -2 2 2 t+ 2 2 2 1
x+ + 1
x
1 x2 - x 2 + 1
= ln + C.
2 2 x2 + x 2 + 1
4. SÖÛ DUÏNG PHÖÔNG PHAÙP TÍCH PHAÂN TÖØNG PHAÀN
Phöông phaùp naøy cho duø ít ñöôïc söû duïng ñoái vôùi caùc haøm soá höõu tæ, tuy nhieân trong
nhöõng tröôøng hôïp rieâng noù laïi toû ra khaù hieäu quaû.
Baøi toaùn 4: Xaùc ñònh nguyeân haøm caùc haøm höõu tæ baèng phöông phaùp tích phaân töøng
phaàn
PHÖÔNG PHAÙP CHUNG


Trang 44
Traàn Só Tuøng Tích phaân

P(x)Q '(x)dx
Neáu tích phaân caàn xaùc ñònh coù daïng: I = ò Q n (x)
Ta thöïc hieän theo caùc böôùc sau:
ì u = P(x)
ï ìdu
· Böôùc 1: Ñaët í Q '(x)dx Þ í
ïdv = Q n (x) îv
î
· Böôùc 2: Khi ñoù: I = uv - ò vdu.

x 4dx
Ví duï 16: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò (x 2 - 1)3
Giaûi:
x 3 .xdx
Bieán ñoåi I veà daïng: I = ò (x 2 - 1)3
ì u = x3 ìdu = 3x 2 dx
ï ï
Ñaët : í xdx Þ í 1
ïdv = (x 2 - 1)3 ïv = 4(x 2 - 1)3
î î
x3 3 x 2 dx
Khi ñoù: I = + ò 2 (1)
4(x 2 - 1)3 4 (x - 1)2
Xeùt tích phaân:
x 2dx 1 [(x + 1) + (x - 1)]2 dx 1 é 1 2 1 ù
J=ò 2 = ò = òê + 2 + dx
(x - 1) 2
4 2
(x - 1) 2
4 ë (x - 2) 2
x - 1 (x + 1)2 ú
û
1æ 1 x -1 1 ö 1 æ x -1 2x ö
= ç- + ln - ÷ + C = 4 ç ln x + 1 - x 2 - 1 ÷ + C (2)
4 è x -1 x +1 x +1ø è ø
x3 3 æ x -1 2x ö
Thay (2) vaøo (1), ta ñöôïc: I = - 2 3
+ ç ln - 2 ÷ + C.
4(x - 1) 16 è x + 1 x - 1 ø
Chuù yù: Ñeå xaùc ñònh tích phaân J chuùng ta cuõng coù theå tieáp tuïc söû duïng tích phaân töøng phaàn
nhö sau:
ìu = x ìdu = dx
ï ï
Ñaët: í xdx Þ í 1
ï dv = 2 ï v=-
î (x - 1)2 î 2(x 2 - 1)
x 1 dx x 1 x -1
Khi ñoù: J = - 2
2(x - 1)
+
2 ò x2 - 1 = - 2(x 2 - 1) + 4 ln x + 1 .
5. SÖÛ DUÏNG CAÙC PHÖÔNG PHAÙP KHAÙC NHAU
Trong phaàn naøy chuùng ta seõ ñi xem xeùt moät vaøi baøi toaùn ñöôïc giaûi baèng caùc phöông
phaùp khaùc nhau vaø muïc ñích quan troïng nhaát laø caàn hoïc ñöôïc phöông phaùp suy luaän
qua moãi ví duï.

Trang 45
Tích phaân Traàn Só Tuøng

x2 - 3
Ví duï 17: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò dx.
x(x 4 + 3x 2 + 2)
Giaûi:
t -3
Ñaët t = x 2 . Suy ra: dt = 2xdx & x 3 (2 - 3x 2 )8 dx = dt.
t(t + 1)(t + 2)
t -3
Khi ñoù: I = ò t(t - 1)(t + 2) dt
t -3 a b c (a + b + c)t 2 + (2a + 2b + c)t + 2a
Ta coù: = + + =
t(t + 1)(t - 2) t t + 1 t + 2 t(t + 1)(t + 2)
ìa + b + c = 0 ìa = -3/ 2
ï ï
Ñoàng nhaát ñaúng thöùc, ta ñöôïc: í3a + 2b + c = 1 Û í b = 4
ï2a = -3 ïc = -5 / 2
î î
t -3 31 4 5 1
Khi ñoù: =- + -
t(t + 1)(t + 2) 2 t t +1 2 t + 2
æ 31 4 5 1 ö 3 5
Do ñoù: I = ò ç - + - ÷ dt = - ln t + 4 ln | t + 1 | - ln | t + 2 | + C
è 2 t t +1 2 t + 2 ø 2 2
3 5
= - ln(x 2 ) + 4 ln(x 2 + 1) - ln(x 2 + 2) + C.
2 2
dx
Ví duï 18: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò t(x6 + 1)2 .
Giaûi:
dx 1 dt
Ñaët t = x 3 . Suy ra: dt = 3x 2 dx & 6 2
= . 2
x(x + 1) 3 t(t + 1)2
1 dt
Khi ñoù: I =
3 ò t(t 2 + 1)2
1 a bt ct (a + b)t 4 + (2a + b + c)t 2 + a
Ta coù: 2 = + + =
t(t + 1)2 t t 2 + 1 (t 2 + 1)2 t(t 2 + 1)2
ìa + b = 0 ìa = 1
ï ï dt 1 t t
Ñoàng nhaát, ta ñöôïc: í2a + b + c = 0 Û í b = -1 Þ 2 2
= - 2 - 2 .
ïa = 1 ï c = -1 t(t + 1) t t + 1 (t + 1)2
î î
é1 t t ù 1 1 1
Do ñoù: I = ò ê - 2 - 2 2ú
dt = ln | t | - ln | t 2 + 1 | + . 2 +C
ë t t + 1 (t + 1) û 2 2 t +1
1 t2 1 1 x6 1
= (ln 2 + 2 ) + C = (ln 6 + 6 ) + C.
2 t +1 t +1 2 x +1 x +1




Trang 46
Traàn Só Tuøng Tích phaân

1 - x4
Ví duï 19: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò dx.
x(1 + x 4 )
Giaûi:
1 - x4 1 1- t
Ñaët t = x 4 . Suy ra: dt = 4x 3dx & 4
= .
x(1 + x ) 4 t(1 + t)
1 1- t
4 ò t(1 + t)
Khi ñoù: I = dt

1- t a b (a + b)t + a
Ta coù: = + =
t(1 + t) t t + 1 t(t 2 + 1)2
ìa + b = -1 ìa = 1 1- t 1 2
Ñoàng nhaát ñaúng thöùc, ta ñöôïc: í Ûí Þ = -
îa = 1 î b = -2 t(1 + t) t t + 1

æ1 2 ö |t| x4
Do ñoù: I = ò ç - ÷dt = ln | t | -2 ln | t + 1 | + C = ln + C = ln 4 + C.
è t t +1ø (t + 1)2 (x + 1)2
(x 3 - 1)dx
Ví duï 20: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò x(x3 - 4)(x 4 - 4x + 1) .
Giaûi:
(x 3 - 1)dx
Bieán ñoåi I veà daïng: I = ò (x 4 - 4x)(x 4 - 4x + 1)
Söû duïng ñoàng nhaát thöùc: 1 = (x 4 - 4x + 1)( -(x 4 - 4x)
[(x 4 - 4x + 1) - (x 4 - 4x)](x 3 - 1)dx (x 3 - 1)dx (x 3 - 1)dx
Ta ñöôïc: I = ò =ò 4 -ò 4
(x 4 - 4x)(x 4 - 4x + 1) x - 4x x - 4x + 1
1 1 x 4 - 4x
= (ln | x 4 - 4x | - l n | x 4 - 4x + 1 |) + C = ln 4 + C.
4 4 x - 4x + 1

x2 - 1
Ví duï 21: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò 4 dx.
x + 2x 3 - x 2 + 2x + 1
Giaûi:
Chia caû töû vaø maãu cuûa bieåu thöùc döôùi daáu tích phaân cho x 2 ¹ 0, ta ñöôïc:
1 æ 1ö æ 1 ö
1- dçx + ÷ d ç x + + 1÷
x2 è xø x ø
I=ò dx = ò =ò è
2 1 æ 1ö
2
æ 1ö æ 1 ö
2
x 2 + 2x - 1 + + 2
x x çx + ÷ + 2çx + ÷ - 3 ç x + + 1÷ - 4
è xø è xø è x ø
1
1 x + x +1- 2 1 x2 - x + 1
= ln + C = ln 2 + C.
4 x + 1 +1+ 2 4 x + 3x + 1
x


Trang 47
Tích phaân Traàn Só Tuøng

BAØI TAÄP
Baøi 20. Tính tích phaân sau:
dx dx dx
a/ ò 2 ; b/ òx ; c/ ò 3x .
4x + 8x + 3 - 7x + 10
2
- 2x - 12


1 2x + 1 1 x-5 1 3x + 3
ÑS: a/ ln + C; b/ ln + C; c/ ln + C.
4 2x + 3 3 x-2 4 3x + 1
Baøi 21. Tính caùc tích phaân sau:
2x - 7 5x - 7 2x + 7 2x + 5
a/ ò 2 dx; b/ ò 2 dx; c/ ò dx; d/ ò dx;
x - 3x + 2 x - 3x + 2 x + 5x + 6
2
9x - 6x + 1 2


9 x -1
ÑS: a/ 5ln x - 1 - 3ln x - 2 + C; b/ 5ln x + 1 - ln + C;
2 x +1
2 17 æ 1 ö
c/ 3ln x + 2 - ln x + 3 + C; d/ ln 3x - 1 - . ç ÷ + C.
9 9 è 3x - 1 ø
Baøi 22. Tính caùc tích phaân sau:
xdx 2x 2 + 41x - 91 dx
a/ ò ; b/ ò dx; c/ ò 3 ;
(x + 1)(2x + 1) 2
(x - 1)(x - x - 12) 6x - 7x 2 - 3x
x3 - 1 (x 3 - 3x + 2)dx (x + 2)2 dx
d/ ò 3 dx; e/ ò ; f/ ò .
4x - x x(x 2 + 2x + 1) x(x 2 - 2x + 1)
1 1
ÑS: a/ ln x + 1 - ln x + + C; b/ 4 ln x - 1 + 5 ln x - 4 + 7 ln x + 3 + C;
2 2
1 2 3 3 1
c/ - ln x + ln x - + ln x + + C;
3 33 2 11 3
1 7 1 9 1
d/ x + ln x - ln x - - ln x + + C;
4 16 2 16 2
4 9
e/ x + 2 ln x 4 ln x + 1 - + C; f/ 4 ln x - 2 ln x - 1 - + C.
x +1 x -1
Baøi 23. Tính caùc tích phaân sau:
xdx x 7dx xdx x 5dx 2dx
a/ ò 4 ; b/ ò 4 ; c/ ò 4 ; d/ ò x6 - x3 - 2 ; e/ ò x(x 2 + 1) ;
x - 3x + 2
2
(x + 1) 2
x - 2x 2 - 1
x 5dx dx x2 - 1 x3 x 2dx
f/ ò ; g/ ò ; h/ ò 4 dx; i/ ò dx; k/ ò .
x6 - x3 - 2 x(x10 + 1)2 x +1 (x 2 + 1)2 (1 - x)10
1 x2 - 2 1æ 4 1 ö
ÑS: a/ ln + C; b/ ç ln x - 1 + 4 ÷ + C;
2 x2 - 1 4è x +1 ø
1 x 2 - (1 + 2) 1 1 x3 - 2
c/ ln + C; d/ ln x6 - x3 - 2 + ln 3 + C;
4 2 x 2 - (1 - 2) 6 18 x + 1




Trang 48
Traàn Só Tuøng Tích phaân

x2 1 x2
e/ ln + C; f/ ln 2 + C;
x2 + 1 8 x +4
é 1 ù
1 æ x10 ö 9 1 êx + x - 2 ú
g/ ln ç 10 ÷ + 10 + C; h/ ln ê ú + C;
9 è x +1ø x +1 2 2 êx + 1 + 2 ú
ë x û
1é 1 ù 1 1 1
i/ ln(x 2 + 1) + 2 ú + C; k/ - - - + C.

ë x + 1û 7(x - 1) 4(x - 1) 9(x - 1)9
7 8


2x 2 + 2x + 5
Baøi 24. Cho haøm soá f(x) =
x 2 - 3x + 2
m n p
a/ Tìm m, n, p ñeå f(x) = 2
+ +
(x - 1) x -1 x + 2
b/ Tìm hoï nguyeân haøm cuûa f(x) (ÑHTM_1994)
3
ÑS: a/ m = 3;n = 1; p = 1. b/ ln (x - 1)(x + 2) - + C.
x -1
Baøi 25. Tìm hoï nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá:
x4 - 2 1 x2 - 1
a/ f(x) = ; b/ ln + C. (ÑHTM_1994)
x3 - x 2 x2
1 2 1 1 x2 - 1
ÑS: a/ x + 2 ln x - ln x 2 - 1 + C; b/ ln + C.
2 2 2 x2
3x 2 + 3x + 3
Baøi 26. Cho haøm soá y = 3 .
x - 3x + 2
a b c
a/ Xaùc ñònh caùc haèng soá a, b, c ñeå y = 2
+ + .
(x - 1) x - 1 x - 2
b/ Tìm hoï nguyeân haøm cuûa y (ÑHQG–Haø Noäi_1995)
3
ÑS: a/ a = 3; b = 2; c = 1. b/ - + 2 ln x - 1 + ln x + 2 + C.
x -1
Baøi 27. Tìm hoï nguyeân haøm cuûa haøm soá:
x 2001 1
a/ f(x) = b/ f(x) =
(1 + x 2 )1002 x(x 1999
+ 2000)
x2 - 1
c/ f(x) =
(x 2 + 5x + 1)(x 2 - 3x + 1)
1001
1 æ x2 ö 1 x1999
ÑS: a/ ç ÷ + C; b/ ln 1999 + C;
2002 è 1 + x 2 ø 1999 - 2000 x + 2000
1 x 2 - 3x + 1
c/ ln + C.
8 x 2 - 5x + 1



Trang 49
Tích phaân Traàn Só Tuøng


Vaán ñeà 8: NGUYEÂN HAØM CAÙC HAØM LÖÔÏNG GIAÙC

Ñeå xaùc ñònh nguyeân haøm caùc haøm löôïng giaùc ta caàn linh hoaït löïa choïn moät trong caùc
phöông phaùp cô baûn sau:
1. Söû duïng caùc daïng nguyeân haøm cô baûn.
2. Söû duïng caùc pheùp bieán ñoåi löôïng giaùc ñöa veà caùc nguyeân haøm cô baûn.
3. Phöông phaùp ñoåi bieán.
4. Phöông phaùp tích phaân töøng phaàn.

1. SÖÛ DUÏNG CAÙC DAÏNG NGUYEÂN HAØM CÔ BAÛN
Baøi toaùn 1: Xaùc ñònh nguyeân haøm caùc haøm löôïng giaùc baèng vieäc söû duïng caùc daïng
nguyeân haøm cô baûn.
dx
Daïng 1: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò
sin(x + a)sin(x + b)


PHÖÔNG PHAÙP CHUNG
Ta thöïc hieän theo caùc böôùc sau:
· Böôùc 1: Söû duïng ñoàng nhaát thöùc:
sin(a - b) sin[(x + a) - (x + b)
1= =
sin(a - b) sin(a - b)
· Böôùc 2: Ta ñöôïc:
dx 1 sin[(x + a) - (x - b)]
I=ò dx = ò sin(x + a)sin(x + b) dx
sin(x + a)sin(x + b) sin(a - b)
1 sin(x + a).cos(x + b) - cos(x + a).sin(x + b)
=
sin(a - b) ò sin(x + a)sin(x + b)
dx

1 é cos(x + b) cos(x + a) ù
= ê ò sin(x + b) dx - ò sin(x + a) dx ú
sin(a - b) ë û
1
= [ln | sin(x + b)} - ln | sin(x + a) |] + C
sin(a - b)
1 sin(x + b)
= ln + C.
sin(a - b) sin(x + a)
Chuù yù: Phöông phaùp treân cuõng ñöôïc aùp duïng cho caùc daïng tích phaân sau:
dx sin(a - b)
1. I = ò , söû duïng ñoàng nhaát thöùc 1 = .
cos(x + a) cos(x + b) sin(a - b)
dx cos(a - b)
2. I = ò , söû duïng ñoàng nhaát thöùc 1 = .
sin(x + a) cos(x + b) cos(a - b)




Trang 50
Traàn Só Tuøng Tích phaân

1
Ví duï 1: Tìm hoï nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) = .
æ pö
sin x.cos ç x + ÷
è 4ø
Giaûi:
· Caùch 1: Söû duïng phöông phaùp trong daïng toaùn cô baûn
p cos éæ x + p ö - x ù
cos êç ÷ ú
4ø û éæ pö ù
Söû duïng ñoàng nhaát thöùc: 1 = 4 = ëè = 2 cos êç x + ÷ - x ú .
p 2 ëè 4ø û
cos
4 2
éæ pö ù æ pö æ pö
cos êç x + ÷ - x ú cos ç x + ÷ cosx + sin ç x + ÷ sin x
ëè 4ø û è 4ø è 4ø
Ta ñöôïc: F(x) = 2 ò dx = 2 ò
æ pö æ pö
sin x.cos ç x + ÷ sin x.cos ç x + ÷
è 4ø è 4ø
é æ pö ù
ê cos x sin ç x + ÷ ú
è 4ø
= 2 êò dx + ò dx ú
ê sin x æ pö ú
cos ç x + ÷
ê
ë è 4ø ú û
é æ pöù sin x
= 2 ê ln | sin x | - ln cos ç x + ÷ ú + C = 2 ln +C
ë è 4øû æ pö
cos ç x + ÷
è 4ø
· Caùch 2: Döïa treân ñaëc thuø cuûa haøm f(x)
dx dx
Ta coù: F(x) = 2 ò = 2ò 2
sin x.(cos x - sin x) sin x(cot gx - 1)
d(cot gx) d(cot gx - 1)
= - 2ò = - 2ò = - 2 ln cot gx - 1 + C.
cot gx - 1 cot gx - 1

dx
Daïng 2: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò
sin x + sin a
PHÖÔNG PHAÙP CHUNG
Ta thöïc hieän theo caùc böôùc sau:
dx 1 dx
· Böôùc 1: Bieán ñoåi I veà daïng: I = ò = ò (1)
sin x + sin a 2 sin x + a .cos x - a
2 2
· Böôùc 2: AÙp duïng baøi toaùn 1 ñeå giaûi (1).
Chuù yù: Phöông phaùp treân cuõng ñöôïc aùp duïng cho caùc daïng tích phaân sau:
dx
1. I = ò , vôùi | m | £ 1
sin x + m
dx dx
2. I = ò vaø I = ò , vôùi | m | £ 1 .
cos x + cos a cos x + m



Trang 51
Tích phaân Traàn Só Tuøng

1
Ví duï 2: Tìm hoï nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) = .
2 sin x + 1
Giaûi:
Bieán ñoåi f(x) veà daïng:
1 1 1 1 1
f(x) = = . = . (1)
æ 1ö 2 p 4 6x + p 6x - p
2 ç sin x + ÷ sin x + sin sin .cos
è 2ø 6 12 12
p æ 6x + p 6x - p ö
cos cos ç - ÷
Söû duïng ñoàng nhaát thöùc: 1 = 6 = è 12 12 ø = 2 cos æ 6x + p - 6x - p ö
p ç ÷
cos 3 3 è 12 12 ø
6 2
æ 3x + p 6x - p ö
cos ç - ÷
1 è 12 12 ø
Ta ñöôïc: F(x) = ò
2 3 sin 6 + p .cos 6x - p
12 12
6x + p 6x - p 6x + p 6x - p
1 cos 12 .cos 12 + sin 12 .sin 12
=
2 3
ò 6x + p 6x - p
sin .cos
12 12
é 6x + p 6x - p ù
cos sin
1 ê 12 dx + 12 ú
= êò ò 6x - p dx ú
2 3 ê sin 6x + p cos ú
ë 12 12 û
6x + p
sin
1 é 6x + p 6x + p ù 1 12 + C.
= ê ln sin 12 - ln cos 12 ú + C = ln
6x - p
2 3ë û 3 cos
12

Daïng 3: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò tgx.tg(x + a)dx.

PHÖÔNG PHAÙP CHUNG
Ta thöïc hieän theo caùc böôùc sau:
· Böôùc 1: Bieán ñoåi I veà daïng:
sin x.sin(x + a )
I = ò tgx.tg(x + a )dx = ò dx
cos x.cos(x + a )
æ cos x.cos(x + a) + sin x.sin(x + a ) ö
= òç - 1 ÷ dx
è cos x.cos(x + a ) ø
cos adx dx
=ò - ò dx = cos a ò -x (1)
cos x.cos(x + a) cos x.cos(x + a )
· Böôùc 2: AÙp duïng baøi toaùn 1 ñeå giaûi (1).
Chuù yù: Phöông phaùp treân cuõng ñöôïc aùp duïng cho caùc daïng tích phaân sau:

Trang 52
Traàn Só Tuøng Tích phaân

1. I = ò tg(x + a ).cot g(x + b)dx.
2. I = ò cot g(x + a ).cot g(x + b)dx.
æ pö
Ví duï 3: Tìm hoï nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) = tgx.tg ç x + ÷ .
è 4ø
Giaûi:
æ pö æ pö æ pö
sin x.sin ç x + ÷ cos x.cos ç x + ÷ + sin x.sin ç x + ÷
Bieán ñoåi f(x) veà daïng: f(x) = è 4ø = è 4ø è 4 ø -1
æ pö æ pö
cos x.cos ç x + ÷ cos x.cos ç x + ÷
è 4ø è 4ø
p
cos
4 2 1
= -1 = . - 1.
æ pö 2 æ pö
cos x.cos ç x + ÷ cos x.cos ç x + ÷
è 4ø è 4ø
2 dx 2 dx
Khi ñoù: F(x) =
2 ò æ pö
- ò dx = -x +
2 ò æ pö
(1)
cos x.cos ç x + ÷ cos x.cos ç x + ÷
è 4ø è 4ø
dx
Ñeå ñi xaùc ñònh : J = ò ta löïa choïn moät trong hai caùch sau:
æ pö
cos x.cos ç x + ÷
è 4ø
· Caùch 1: Söû duïng phöông phaùp trong daïng toaùn cô baûn.
p sin éæ x + p ö - x ù
sin êç ÷
4 = ëè 4ø ú û = 2 sin éæ x + p ö - x ù
Söû duïng ñoàng nhaát thöùc: 1 = êç ÷
sin
p 2 ëè 4ø ú û
4 2
Ta ñöôïc:
éæ pö ù æ pö æ pö
sin êç x + ÷ - x ú sin ç x + ÷ cos x - cos ç x + ÷ sin x
ëè 4ø û 4ø 4ø
J = 2ò dx = 2 ò è è dx
æ pö æ pö
cos x.cos ç x + ÷ cos x.cos ç x + ÷
è 4ø è 4ø
é æ pö ù
ê sin è x + 4 ø
ç ÷ sin x ú é æ pö ù
= 2 êò dx - ò dx ú = 2 ê - ln cos x ç x + ÷ + ln cos x ú + C
ê cos æ x + p ö
ç ÷
cos x ú ë è 4ø û
ê
ë è 4ø ú
û
cos x
= 2 ln + C = - 2 ln 1 - tgx + C.
æ pö
cos ç x + ÷
è 4ø
· Caùch 2: Döïa treân ñaëc thuø cuûa haøm döôùi daáu tích phaân
dx dx
Ta coù: J = 2 ò = 2ò 2
cos x.(cos x - sin x) cos x(1 - tgx)



Trang 53
Tích phaân Traàn Só Tuøng

d(tgx) d(1 - tgx)
= 2ò = - 2ò = - 2 ln 1 - tgx + C
1 - tgx 1 - tgx
Vaäy ta ñöôïc: F(x) = -x - ln 1 - tgx + C.

dx
Daïng 4: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò
asin x + b cos x
PHÖÔNG PHAÙP CHUNG
Ta coù theå löïa choïn hai caùch bieán ñoåi:
· Caùch 1: Ta coù:
1 dx 1 dx
I= ò
a2 + b2 sin(x + a )
= ò
a2 + b 2 2 sin x + a cos x + a
2 2
æ x+aö
d ç tg ÷
1 dx 1 è 2 ø
= ò
a2 + b 2 2tg x + a cos2 x + a
=
a2 + b 2
ò x+a
tg
2 2 2
1 x+a
= ln tg + C.
a2 + b 2 2
· Caùch 2: Ta coù:
1 dx 1 sin(x + a)dx
2 ò sin(x + a ) 2 ò sin 2 (x + a)
I= =
2 2
a +b a +b
1 d[cos(x + a )] 1 cos(x + a ) - 1
2 ò cos 2 (x + a ) - 1
=- =- ln + C.
2
a +b 2 a +b2 2 cos(x + a ) + 1
Chuù yù: Chuùng ta cuõng coù theå thöïc hieän baèng phöông phaùp ñaïi soá hoaù vôùi vieäc ñoåi bieán:
x
t = tg .
2
2
Ví duï 4: Tìm hoï nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) = .
3 sin x + cos x
Giaûi:
2dx dx dx
Ta coù: F(x) = ò =ò =ò
3 sin x + cos x æ pö æx p ö æx p ö
sin ç x + ÷ 2sin ç + ÷ cos ç + ÷
è 6ø è 2 12 ø è 2 12 ø
é æ x p öù
d ê tg ç + ÷ ú
dx è 2 12 ø û x p
=ò =ò ë = ln tg + + C.
æx p ö 2æx p ö æx p ö 2 12
2tg ç + ÷ cos ç + ÷ tg ç + ÷
è 2 12 ø è 2 12 ø è 2 12 ø
a1 sin x + b1 cos x
Daïng 5: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò dx.
a2 sin x + b2 cos x

PHÖÔNG PHAÙP CHUNG
Ta thöïc hieän theo caùc böôùc sau:


Trang 54
Traàn Só Tuøng Tích phaân

· Böôùc 1: Bieán ñoåi : a1 sin x + b1 cos x = A(a2 sin x + b2 cos x) + B(a2 cos x - b 2 sin x)
· Böôùc 2: Khi ñoù:
A(a2 sin x + b 2 cos x) + B(a2 cos x - b2 sin x)
I=ò dx
a2 sin x + b 2 cos x
a2 cos x - b2 sin x
= A ò dx + Bò dx = Ax + Bln a2 sin x + b 2 cos x + C
a2 sin x + b 2 cos x
4 sin x + 3cos x
Ví duï 5: Tìm hoï nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) = .
sin x + 2 cos x
Giaûi:
Bieán ñoåi: 4sin x + 3cos x = a(sin x + 2 cos x) + b(cos x - 2sin x)
= (a - 2b)sin x + (2a + b) cos x
ìa - 2b = 4 ìa = 2
Ñoàng nhaát ñaúng thöùc, ta ñöôïc: í Û í
î2a + b = 3 î b = -1
2(sin x + 2 cos x) - (cos x - 2sin x) cos x - 2sin x
Khi ñoù: f(x) = =2- .
sin x + 2 cos x sin x + 2 cos x
æ cos x - 2sin x ö d(sin x + 2 cos x)
Do ñoù: F(x) = ò ç 2 - ÷ dx = 2 ò dx -
è sin x + 2 cos x ø sin x + 2 cos x
= 2x - ln sin x + 2 cos x + C
a1 sin x + b1 cos x
Daïng 6: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò dx
(a2 sin x + b2 cos x)2
PHÖÔNG PHAÙP CHUNG
Ta thöïc hieän theo caùc böôùc sau:
· Böôùc 1: Bieán ñoåi : a1 sin x + b1 cos x = A(a2 sin x + b2 cos x) + B(a2 cosx - b2 sin x)
· Böôùc 2: Khi ñoù:
A(a2 sin x + b 2 cos x) + B(a2 cos x - b2 sin x)
I=ò dx
(a2 sin x + b 2 cos x)2
dx a cos x - b2 sin x
= Aò + Bò 2 dx
a2 sin x + b 2 cos x (a2 sin x + b 2 cos x)2
A dx B
= ò -
a2 + b2 sin(x + a ) a
2 2 2 sin x + b2 cos x

A x+a B
= ln | tg |- +C
a2 + b 2 2 a2 sin x + b 2 cos x
2 2

b2 a2
Trong ñoù sin a = vaø cos a =
a2 + b 2
2 2 a2 + b 2
2 2




Trang 55
Tích phaân Traàn Só Tuøng

8cos x
Ví duï 6: Tìm hoï nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) = .
2 + 3 sin 2x - cos2x
Giaûi:
8cos x 8cos x
Bieán ñoåi: f(x) = =
3sin x + 2 3 sin x cos x + cos x ( 3 sin x + cos x)2
2 2


Giaû söû: 8cosx = a( 3sinx + cosx) + b( 3 cosx - sinx) = (a 3 - b)sinx + (a + b 3)cosx
ìa 3 - b = 0
ï ìa = 2
ï
Ñoàng nhaát ñaúng thöùc, ta ñöôïc: í Ûí
ïa + b 3 =
î ïb = 2 3
î
2 2 3( 3 cos x - sin x)
Khi ñoù: f(x) = -
3 sin x + csx ( 3 sin x + cos x)
2dx d( 3 sin x + cos x)
Do ñoù: F(x) = ò - 2 3ò
3 sin x + cos x ( 3 sin x + cos x)2
1 æx p ö 2 3
= ln tg ç + ÷ - + C.
2 è 2 12 ø 3 sin x + cos x
Chuù yù: Trong lôøi giaûi treân ta ñaõ taän duïng keát quaû trong ví duï 4 laø:
2dx 1 æx p ö
ò = ln tg ç + ÷ + C
3 sin x + cos x 2 è 2 12 ø
dx
Daïng 7: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò
asin x + b cos x + c
PHÖÔNG PHAÙP CHUNG
Ta xeùt 3 khaû naêng sau:
1. Neáu c = a2 + b2
Ta thöïc hieän pheùp bieán ñoåi:
1 1 1 1
= = .
asin x + b cos x + c c[1 + cos(x - a)] 2c cos2 x - a
2
a b
trong ñoù sin a = vaø cos a =
a2 + b 2 a2 + b 2
æ x -a ö
dç ÷ 1 x -a
1 dx 1
Khi ñoù: I = ò = ò è 2 ø = tg + C.
2c cos2 x - a c cos2 x - a 2 2
2 2
2. Neáu c = - a2 + b 2
Ta thöïc hieän pheùp bieán ñoåi:


Trang 56
Traàn Só Tuøng Tích phaân

1 1 1 1
= = .
asin x + b cos x + c c[1 - cos(x - a )] 2c sin 2 x - a
2
a b
trong ñoù sin a = vaø cos a =
a2 + b 2 a2 + b 2
æ x -a ö
dç ÷
1 dx 1 è 2 ø 1 x-a
Khi ñoù: I = ò = ò = cot g + C.
2c sin 2 x - a c sin 2 x - a c 2
2 2
3. Neáu c2 ¹ a2 + b 2
x
Ta thöïc hieän pheùp ñoåi bieán t = tg .
2
2dt 2t 1 - t2
Khi ñoù: dx = , sin x = & cos x = .
1 + t2 1 + t2 1 + t2
2dx
Ví duï 7: Tính tích phaân baát ñònh I = ò .
2sin x - cos x + 1
Giaûi:
x 1 1 1æ xö 1 2dt
Ñaët: t = tg , ta ñöôïc: dt = . dx = ç1 + tg2 ÷ dx = (1 + t 2 )dx Þ dx =
2 2 cos2 x 2è 2ø 2 1 + t2
2
4dt x
tg - 1
1+ t 2 2dt d(t + 1) t -1
Khi ñoù: I = ò =ò 2 = 2ò = ln + C = ln 2 +C
4t 1- t 2
t + 2t 2
(t + 1) - 1 t +1 x
- +1 tg + 1
1 + t2 1 + t2 2
æ x pö
= ln tg ç - ÷ + C.
è2 4ø

a1 sin x + b1 cos x + c1
Daïng 8: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò dx.
a1 sin x + b2 cos x + c2
PHÖÔNG PHAÙP CHUNG
Ta thöïc hieän theo caùc böôùc sau:
· Böôùc 1: Bieán ñoåi:
a1 sin x + b1 cos x + c1 = A(a2 sin x + b 2 cos x + c2 ) + B(a2 cos x - b 2 sin x) + C
· Böôùc 2: Khi ñoù:
A(a2 sin x + b 2 cos x + c2 ) + B(a2 cos x - b2 sin x) + C
I=ò
a2 sin x + b2 cos x + c2
a2 cos x - b2 sin x dx
= A ò dx + Bò dx + C ò
a2 sin x + b 2 cos x + c2 a2 sin x + b2 cos x + c2


Trang 57
Tích phaân Traàn Só Tuøng

dx
= Ax + Bln a2 sin x + b2 cos x + c2 + C ò
a2 sin x + b 2 cos x + c2
dx
trong ñoù òa ñöôïc xaùc ñònh nhôø daïng 4.
2 sin x + b 2 cos x + c2

5sin x
Ví duï 8: Tìm hoï nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) = ..
2 sin x - cos x + 1
Giaûi:
Giaû söû: 5sinx = a(2sinx – cosx + 1) + b(2cosx + sinx) + c
= (2a + b)sinx + (2b – a)cosx + a + c.
ì2a + b = 5 ìa = 2
ï ï
Ñoàng nhaát ñaúng thöùc, ta ñöôïc: í2b - a = 0 Û í b = 1
ïa + c = 0 ï c = -2
î î
2(2sin x - cos x + 1) + (2 cos x + sin x) - 2
Khi ñoù: f(x) =
2 sin x - cos x + 1
2 cos x + sin x 2
=2+ -
2sin x - cos x + 1 2sin x - cos x + 1
2 cos x + sin x 2
Do ñoù: F(x) = ò 2dx + ò dx - ò dx
2sin x - cos x + 1 2sin x - cos x + 1
d(2 sin x - cos x + 1) 2dx
= 2 ò dx + -ò
2 sin x - cos x + 1 2sin x - cos x + 1
æx pö
= 2x + ln | 2sin x - cos x + 1 | - ln tg ç - ÷ + C.
è2 2ø
Chuù yù: Trong lôøi giaûi treân ta ñaõ taän duïng keát quaû trong ví duï 7 laø:
2dx æx pö
ò 2sin x - cos x + 1 = ln tg ç 2 - 4 ÷ + C.
è ø
a1 sin 2 x + b1 sin x cos x + c1 cos2 x
Daïng 9: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò dx.
a2 sin x + b2 cos x

PHÖÔNG PHAÙP CHUNG
Ta thöïc hieän theo caùc böôùc sau:
· Böôùc 1: Bieán ñoåi: a1 sin 2 x + b1 sin x.cos x + c1 cos2 x
= (A sin x + Bcos x)(a2 sin x + b 2 cos x) + C(sin 2 x + cos2 x)
· Böôùc 2: Khi ñoù:
(A sin x + Bcos x)(a2 sin x + b 2 cos x) + C
I=ò dx
a2 sin x + b 2 cos x
dx
= ò (Asinx + Bcos x)dx + C ò
a2 sin x + b 2 cos x


Trang 58
Traàn Só Tuøng Tích phaân

C dx
= - A cos x + Bsin x + ò
a2 + b2 sin(x + a)
2 2

C x+a
= - A cos x + Bsin x + ln | tg | +C
a2 + b 2
2 2
1

b2 a2
trong ñoù sin a = vaø cos a = .
2 2
a +b
2 2 a + b2
2
2 2


4sin 2 x + 1
Ví duï 9: Tìm hoï nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) = .
3 sin x + cos x
Giaûi:
Giaû söû: 4sin2 x + 1 = 5sin2 x + cos2 x = (asinx + bcosx)( 3sinx + cosx) + c(sin2 x + cos2 x)
= (a 3 + c)sin 2 x + (a + b 3)sin x.cos x + (b + c) cos2 x.
ìa 3 + c = 5 ìa = 3
ï ï
Ñoàng nhaát ñaúng thöùc, ta ñöôïc: ía + b 3 = 0 Û í b = -1
ï ïc = 2
îb + c = 1 î
2dx
Do ñoù: F(x) = ò ( 3 sin x - cos x)dx - ò
3 sin x + cos x
1 æx p ö
= - 3 cos x - sin x - ln tg ç + ÷ + C.
2 è 2 12 ø
Chuù yù: Trong lôøi giaûi treân ta ñaõ taän duïng keát quaû trong ví duï 4 laø:
2dx 1 æx p ö
ò = ln tg ç + ÷ + C.
3 sin x + cos x 2 è 2 12 ø
dx
Daïng 10: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò .
asin x + b sin x cos x + ccos2 x
2


PHÖÔNG PHAÙP CHUNG
Ta thöïc hieän theo caùc böôùc sau:
dx
· Böôùc 1: Bieán ñoåi I veà daïng: I = ò
(atg x + btgx + c) cos2 x
2


· Böôùc 2: Thöïc hieän pheùp ñoåi bieán: t = tgx
1 dx dt
Suy ra: dt = 2
dx & 2 2
= 2
cos x (atg x + btgx + c) cos x at + bt + c
dt
Khi ñoù: I = ò .
at 2 + bt + c
dx
Ví duï 10: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò
3sin x - 2sin x cos x - cos2 x
2




Trang 59
Tích phaân Traàn Só Tuøng

Giaûi:
dx
Söû duïng ñaúng thöùc: = d(tgx)
cos2 x
æ 1ö
d ç tgx - ÷
dx 1 d(tgx) 1 è 3ø
Ta coù: I=ò 2 2
= ò 2
= ò 2
(3tg x - 2tgx - 1) cos x 3 æ 1ö 4 3 æ 1ö 4
ç tgx - ÷ - ç tgx - ÷ -
è 3ø 9 è 3ø 9
1 2
tgx - -
1 3 3 + C = 1 ln tgx - 1 + C = 1 ln sin x - cos x + C.
= ln
4 tgx - 1 + 2 4 3tgx + 1 4 3sin x + cos x
3 3


2. SÖÛ DUÏNG CAÙC PHEÙP BIEÁN ÑOÅI LÖÔÏNG GIAÙC ÑÖA VEÀ CAÙC NGUYEÂN HAØM CÔ
BAÛN
Baøi toaùn 2: Xaùc ñònh nguyeân haøm caùc haøm löôïng giaùc söû duïng caùc pheùp bieán ñoåi
löôïng giaùc
PHÖÔNG PHAÙP CHUNG
Söû duïng caùc pheùp bieán ñoåi löôïng giaùc ñöa bieåu thöùc döôùi daáu tích phaân veà daïng quen
thuoäc. Caùc pheùp bieán ñoåi thöôøng duøng bao goàm:
· Pheùp bieán ñoåi tích thaønh toång (chuùng ta ñaõ thaáy trong phöông phaùp phaân tích)
· Haï baäc
· Caùc kyõ thuaät bieán ñoåi khaùc.
Chuùng ta seõ laàn löôït xem xeùt caùc ví duï maãu.

2.1. Söû duïng pheùp bieán ñoåi tích thaønh toång:
ÔÛ ñaây chuùng ta nhôù laïi caùc coâng thöùc sau:
1 1
a/ cosx.cosy = [cos(x + y) + cos(x - y)] c/ sinx.cosy = [sin(x + y) + sin(x - y)]
2 2
1 1
b/ sinx.siny = [cos(x - y) - cos(x + y)] d/ cosx.siny = [sin(x + y) - sin(x - y)]
2 2
Ví duï 11: Tìm hoï nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) = cos3x.cos5x. (ÑHAN–97)
Giaûi:
1
Söû duïng caùc pheùp bieán ñoåi tích thaønh toång, ta ñöôïc: f(x) = (cos8x + cos2x)
2
1 1æ1 1 ö
Khi ñoù: F(x) = ò (cos8x + cos2x)dx = ç sin 8x + sin 2x ÷ + C.
2 2è8 2 ø
Chuù yù: Neáu haøm f(x) laø tích cuûa nhieàu hôn 2 haøm soá löôïng giaùc ta thöïc hieän pheùp bieán
ñoåi daàn, cuï theå ta ñi xem xeùt ví duï sau:


Trang 60
Traàn Só Tuøng Tích phaân

æp ö æp ö
Ví duï 12: Tìm hoï nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) = tgxtg ç - x ÷ tg ç + x ÷
è3 ø è3 ø
Giaûi:
æp ö æp ö
sin x.sin ç - x ÷ .sin ç + x ÷
Ta coù: f(x) = è3 ø è3 ø (1)
æp ö æp ö
cos x.cos ç - x ÷ .cos ç + x ÷
è3 ø è3 ø
Söû duïng caùc pheùp bieán ñoåi tích thaønh toång, ta ñöôïc:
æp ö æp ö 1 æ 2p ö
sin x.sin ç - x ÷ .sin ç + x ÷ = sin x ç cos 2x - cos ÷
è3 ø è3 ø 2 è 3 ø
æp ö æp ö 1 æ 2p ö
cos x.cos ç - x ÷ .cos ç + x ÷ = cos ç cos + cos 2x ÷
è3 ø è3 ø 2 è 3 ø
1 1 1 1 1
= - cos x + cos 2x.cos x = - cos x + (cos3x + cos x) = cos3x.
4 2 4 4 4
Suy ra: f(x) = tg3x
1 1 sin 3x 1 d(cos3x) 1
Khi ñoù: F(x) = ò tg3xdx = ò dx = - ò = - ln cos3x + C.
4 4 cos3x 12 cos3x 12
2.2. Söû duïng pheùp haï baäc:
ÔÛ ñaây chuùng ta nhôù laïi caùc coâng thöùc sau:
1 - cos2x 3sin x - sin 3x
a/ sin 2 x = c/ sin 3 x =
2 4
1 + cos x 3 cos x + cos3x
b/ cos2 x = d/ cos3 x =
2 4
ñöôïc söû duïng trong caùc pheùp haï baäc mang tính cuïc boä, coøn haèng ñaúng thöùc:
sin 2 x + cos2 x = 1.
ñöôïc söû duïng trong caùc pheùp haï baäc mang tính toaøn cuïc cho caùc bieåu thöùc, ví duï nhö:
1 1
sin 4 x + cos4 x = (sin 2 x + cos2 x)2 - 2sin 2 x.cos2 x = 1 - sin 2 2x = 1 - (1 - cos 4x)
2 4
1 3
= cos 4x +
4 4
3
sin 6 x + cos6 x = (sin 2 x + cos2 x)3 - 3sin 2 x + cos2 x) = 1 - sin 2 2x
4
3 3 5
= 1 - (1 - cos 4x) = cos 4x + .
8 8 8

Ví duï 13: (HVQHQT_98): Tìm hoï nguyeân haøm cuûa haøm soá :
a/ f(x) = sin3 x.si n3x
b/ f(x) = sin 3 x.cos3x + cos3 x.sin 3x.
Giaûi:

Trang 61
Tích phaân Traàn Só Tuøng

a/ Bieán ñoåi f(x) veà daïng:
3sin x - sin x 3 1
f(x) = .sin 3x = sin 3x.sin x - sin 2 3x.
4 4 4
3 1 1
= ( cos 2x - cos 4x ) x - (1 - cos 6x) = (3 cos2x - 3cos 4x + cos6x - 1) .
8 8 8
1

Khi ñoù: F(x) = (3cos2x - 3cos 4x + cos 6x - 1)dx

1æ 3 3 1 ö
= ç sin 2x - sin 4x + sin 6x - x ÷ + C.
8è2 4 6 ø
b/ Bieán ñoåi f(x) veà daïng:
3sin x - sin 3x cos3x + 3 cos x
f(x) = .cos3x + .sin 3x
4 4
3 3
= (cos3x.sin x + sin 3x.cos x) = sin 4x.
4 4
3 3
Khi ñoù: F(x) =
4 ò sin 4xdx = - 16 cos 4x + C.

2.3. Söû duïng caùc pheùp bieán ñoåi löôïng giaùc khaùc nhau
ÔÛ ñaây ngoaøi vieäc vaän duïng moät caùch linh hoaït caùc coâng thöùc bieán ñoåi löôïng giaùc caùc
em hoïc sinh coøn caàn thieát bieát caùc ñònh höôùng trong pheùp bieán ñoåi.

Ví duï 14: (ÑHNT TP.HCM_99): Tìm hoï nguyeân haøm cuûa haøm soá :
sin x - cos x cos2x
a/ f(x) = ; b/ f(x) = .
sin x + cos x sin x + cos x
Giaûi:
sin x - cos x d(sin x + cos x)
a/ Ta coù: F(x) = ò = -ò = - ln(sin x + cos x) + C
sin x + cos x sin x + cos x
cos 2x cos2 x - sin 2 x
b/ Ta coù: F(x) = ò dx = ò dx
sin x + cos x sin x + cos x
= ò (cos x - sin x)dx = sin x + cos x + C.

sin 3x.sin 4x
Ví duï 15: (ÑHNT HN_97): Tính tích phaân baát ñònh: I = ò .
tgx + cot g2x
Giaûi:
Bieán ñoåi bieåu thöùc döôùi daáu tích phaân veà daïng:
sin 3x.sin 4x sin 3x.sin 4x 1
= = sin 4x.sin 3x.sin 2x = (cos x - cos 7x)sin 2x
tgx + cot g2x cos x 2
cos x.sin 2x


Trang 62
Traàn Só Tuøng Tích phaân

1 1
= (sin 2x.cos x - cos 7x.sin 2x) = (sin 3x + sin x - sin 9x + sin 5x).
2 4
1

Khi ñoù: I = (sin x + sin 3x + sin 5x - sin 9x)dx

1 1 1 1
= - (cos x + cos3x cos 5x - cos 9x) + C.
4 3 5 9
Toång quaùt: Caùch tính phaân daïng: ò sin
m
x.cos n xdx vôùi m, n laø nhöõng soá nguyeân ñöôïc
tính nhôø caùc pheùp bieán ñoåi hoaëc duøng coâng töùc haï baäc.

3. PHÖÔNG PHAÙP ÑOÅI BIEÁN
Baøi toaùn 3: Tính tích phaân caùc haøm löôïng giaùc baèng phöông phaùp ñoåi bieán
PHÖÔNG PHAÙP CHUNG
Tính tích phaân baát ñònh sau: I = ò R(sin x, cos x)dx trong ñoù R laø haøm höõu tæ.
Ta löïa choïn moät trong caùc höôùng sau:
– Höôùng 1: Neáu R(- sin x, cos x) = - R(sin x, cos x)
thì söû duïng pheùp ñoåi bieán töông öùng laø t = cosx
– Höôùng 2: Neáu R(sin x, - cos x) = - R(sin x, cos x)
thì söû duïng pheùp ñoåi bieán töông öùng laø t = sinx
– Höôùng 3: Neáu R(- sin x, - cos x) = - R(sin x, cos x)
thì söû duïng pheùp ñoåi bieán töông öùng laø t = tgx
(ñoâi khi coù theå laø t = cotgx).
Do ñoù vôùi caùc tích phaân daïng:
1. I = ò tg n xdx, vôùi n Î Z ñöôïc xaùc ñònh nhôø pheùp ñoåi bieán t = tgx.
2. I = ò cot g n xdx, vôùi n Î Z ñöôïc xaùc ñònh nhôø pheùp ñoåi bieán t = cotgx.
– Höôùng 4: Moïi tröôøng hôïp ñeàu coù theå ñöa veà tích phaân caùc haøm höõu tæ baèng pheùp ñoåi
x
bieán t = tg .
2
cos x + sin x.cos x
Ví duï 16: (ÑHNT Tp.HCM_97): Tính tích phaân baát ñònh: I = ò dx.
2 + sin x
Giaûi:
(1 + sin x)cos x
Bieán ñoåi I veà daïng: I = ò 2 + sin x
Ñaët t = sinx
(1 + sin x) cos x 1+ t
Suy ra: dt = cos xdx & dx = dt
2 + sin x 2+t


Trang 63
Tích phaân Traàn Só Tuøng

1+ t æ 1 ö
Khi ñoù: I = ò dt = ò ç 1 - ÷dt = t - ln | 2 + t | + C = sin x - ln | 2 + sin x | + C
2+t è 2+tø
Nhaän xeùt: Trong baøi toaùn treân sôû dó ta ñònh höôùng ñöôïc pheùp bieán ñoåi nhö vaäy laø bôûi
nhaän xeùt raèng: R(sinx, –cosx) = –R(sinx, cosx) do ñoù söû duïng pheùp ñoåi bieán
töông öùng laø t = sinx.
dx
Ví duï 17: (ÑHTCKT HN_96): Tính tích phaân baát ñònh: I = ò .
4 3 5
sin x.cos x
Giaûi:
dx dx
Bieán ñoåi I veà daïng: I = ò 4 tg3 x.cos8 x = cos2 x 4 tg3 x
Ñaët: t = tgx
dx dx dt
Suy ra: dt = 2
& =
cos x cos2 x 4 tg3 x 4 t 3
dt
Khi ñoù: ò 4 t3 = 4 4 t + C = 4 4 tgx + C.

1 1
Chuù yù: Nhö chuùng ta ñaõ thaáy trong vaán ñeà 8 laø 2
= ñieàu naøy raát quan troïng, khôûi
t |t|
khi ñoù ta phaûi xeùt hai tröôøng hôïp t > 0 vaø t < 0.
sin xdx
Ví duï 18: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò
cos x sin 2 x + 1
Giaûi:
dt
Ñaët t = cosx Þ dt = –sinxdx do ñoù: I = - ò
t 2 - t2
Ta caàn xeùt hai tröôøng hôïp t > 0 vaø t < 0. Cuï theå:
· Vôùi t > 0, ta ñöôïc:
æ1ö
dç ÷
dt 1 2 2 1 2 + 2 - t2
I=ò =ò ètø = ln 2 + 2 - 1 + C = ln + C.
2 2 2 t t 2 t
t2 2 - 1 -1
t t2
· Vôùi x < 0, ta ñöôïc:
æ1ö
dç ÷
dt 1 2 2
I=ò = -ò è t ø = - ln + 2 -1 + C
2 2 2 t t
t2 2 - 1 -1
t t2
1 2 + 2 - t2 1 2 + 1 + sin 2 x
=- ln +C = ln + C.
2 t 2 cos x
Toùm laïi ta ñöôïc:


Trang 64
Traàn Só Tuøng Tích phaân


1 2 + 2 - t2 1 2 + 1 + sin 2 x
I= ln +C= ln + C.
2 t 2 cos x

4. PHÖÔNG PHAÙP TÍCH PHAÂN TÖØNG PHAÀN
Baøi toaùn 3: Xaùc ñònh nguyeân haøm caùc haøm löôïng giaùc baèng phöông phaùp tích phaân
töøng phaàn.
PHÖÔNG PHAÙP CHUNG
Chuùng ta ñaõ ñöôïc bieát trong vaán ñeà: Xaùc ñònh nguyeân haøm baèng phöông phaùp tích phaân
töøng phaàn, ñoái vôùi caùc daïng nguyeân haøm:
Daïng 1: Tính: ò P(x)sin axdx hoaëc ò P(x) cos axdx vôùi P laø moät ña thöùc thuoäc R[x] vaø
a Î R* .
ì u = P(x) ì u = P(x)
Khi ñoù ta ñaët: í hoaëc í
îdv = sin axdx îdv = cos axdx
Daïng 2: Tính: ò eax cos(bx) (hoaëc ò eax sin(bx) vôùi a, b ¹ 0
ì u = cos(bx) ì u = sin(dx)
Khi ñoù ta ñaët: í ax
hoaëc í ax
îdv = e dx îdv = e dx
x
Ví duï 19: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò dx
cos2 x
Giaûi:
Söû duïng phöông phaùp tích phaân töøng phaàn, baèng caùch ñaët:
ìu = x
ï ìdu = dx
í dx Þ í
ïdv = cos2 x îv = tgx
î
sin x d(cos x)
Khi ñoù: I = x.tgx - ò tgxdx = x.tgx - ò dx = x.tgx + ò = x.tgx + ln | cos x | +C.
cos x cos x
cos2 xdx
Ví duï 20: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò .
sin 3 x
Giaûi:
cos x.d(sin x)
Bieán ñoåi I veà daïng: I = òsin3 x
.

ì u = cos x ìdu = - sin xdx
ï ï
Ñaët: í d(sin x) Þ í 1
ïdv = sin 3 x
î ï v = - sin 2 x
î
cos x dx cos x æ x ö cos x x
Khi ñoù: I = - -ò = - 2 - ò d ç ln tg ÷ = - 2 - ln tg + C.
sin 2 x sin x sin x è 2 ø sin x 2




Trang 65
Tích phaân Traàn Só Tuøng

BAØI TAÄP
Baøi 28. Tìm hoï nguyeân haøm cuûa haøm soá:
1 1
a/ f(x) = b/ f(x) =
æ pö 2 + sin x - cos x
cos x cos ç x + ÷
è 4ø
cos2 x sin x
c/ f(x) = d/ f(x) = e/ f(x) = sin x.si n2x.cos5x
sin x + 3 cos x 1 + sin 2x
æ pö
f/ f(x) = (sin 4x + cos 4x)(sin 6x + cos6x) g/ f(x) = sin ç x - ÷ . ( 2 + sin 2x )
è 4ø
1 æ x pö
ÑS: a/ - 2 ln 1 - tgx + C; b/ - cot g ç + ÷ + C;
2 è2 8ø
1 æ pö 1 æ x pö 1 æ x pö 1
c/ sin ç x + ÷ + ln tg ç + ÷ + C; d/ ln tg ç + ÷ + + C;
2 è 6ø 8 è2 6ø 2 2 è 2 8 ø 2(sin x + cos x)
1æ1 1 1 ö 1 3
e/ ç sin 2x + sin 4x - sin 8x ÷ + C; f/ (33x + 7sin 4x + si n8x) + C;
4è2 4 8 ø 64 8
1é æ pö æ pö 1 æ p öù
g/ ê -4 cos ç x - ÷ + sin ç x + ÷ - sin ç 3x - ÷ ú + C.
2ë è 4ø è 4ø 3 è 4 øû
Baøi 29. Tìm hoï nguyeân haøm cuûa haøm soá sau:
sin 3 x
a/ f(x) = (ÑHSP II Haø Noäi _1999)
3sin 4x - sin 6x - 3sin 2x
b/ I = ò cos5x.tgxdx K = ò cos3x.tgxdx (ÑHNT Tp.HCM– A_2000)
1 x cot gx
c/ f(x)= d/ f(x) = e/ f(x) =
sin 2x - 2sin x sin x
2
1 + sin x
æ pö æ pö
f/ f(x) = tg ç x + ÷ .cot g ç x + ÷ g/ f(x) = (x 2 + 2)sin 2x
è 3ø è 6ø
1 si n3x - 1
ÑS: a/ - ln + C;
48 sin 3x + 1
1
b/ I = 2sinx - 2 sin 3x + sin 5x + C; K = - cos3x + 2 cos x + C;
3
1æ 2 cos x - 1 ö
c/ ç + ln + C; d/ -x cot gx + ln sin x + C;
8 è 1 - cos x cos x - 1 ÷
ø
æ pö
cos ç x - ÷
sin x 1 è 3ø
e/ ln + C; f/ x + ln + C;
1 + sin x 3 cos æ x + p ö
ç ÷
è 3ø
1 1 3
g/ - x 2 cos2x + x sin 2x - cos2x + C.
2 2 4



Trang 66
Traàn Só Tuøng Tích phaân


Vaán ñeà 9: NGUYEÂN HAØM CAÙC HAØM SOÁ VOÂ TÆ

Ñeå xaùc ñònh nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá voâ tæ ta caàn linh hoaït löïa choïn moät trong
caùc phöông phaùp cô baûn sau:
1. Phöông phaùp ñoåi bieán.
2. Phöông phaùp tích phaân töøng phaàn.
3. Söû duïng caùc pheùp bieán ñoåi.

Hai coâng thöùc thöôøng söû duïng:
xdx
1. ò 2
x ±a
= x2 ± a + C

dx
2. ò x2 ± a
= ln x + x 2 ± a + C.


1. PHÖÔNG PHAÙP ÑOÅI BIEÁN
Baøi toaùn 1: Xaùc ñònh nguyeân haøm caùc haøm soá voâ tæ baèng phöông phaùp ñoåi bieán

ax + b
Daïng 1: Tính tích phaân baát ñònh caùc haøm höõu tæ ñoái vôùi x vaø n coù daïng:
cx + d
æ axx + b ö
I = ò R ç x, n
÷dx vôùi ad - bc ¹ 0.
è cx + d ø
PHÖÔNG PHAÙP CHUNG
Ta thöïc hieän theo caùc böôùc sau:
· Böôùc 1: Thöïc hieän pheùp ñoåi bieán:
ax + b ax + b b - dt n
Ñaët: t = n Þ tn = Û x= n
cx + d cx + d ct - a
· Böôùc 2: Baøi toaùn ñöôïc chuyeån veà: I = ò S(t)dt.

æ a+ x ö æ a-x ö
Chuù yù: Vôùi hai daïng ñaëc bieät: I = ò R ç x, ÷dx hoaëc I = ò R ç x, ÷ dx chuùng ta
è a-x ø è a+ x ø
ñaõ bieát vôùi pheùp ñoåi bieán: x = acos2t.
a+ x
Tröôøng hôïp ñaëc bieät, vôùi I = ò dx , ta coù theå xaùc ñònh baèng caùch:
a-x
a+ x
Vì coù nghóa khi -a £ x < a neân x + a > 0, do ñoù (a + x)2 = a + x.
a-x
x+x a+ x dx xdx
Khi ñoù: I = ò dx = ò dx = a ò +ò 2
a-x a2 - x 2 a2 - x 2 a - x2

Trang 67
Tích phaân Traàn Só Tuøng

dx
Trong ñoù: ò a2 + b 2
ñöôïc xaùc ñònh baèng pheùp ñoåi bieán x = asint.

xdx
ò 2
a -x 2
= -a a2 - x 2 + C.

dx
Ví duï 1: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò
3
x + 1[ 3 x + 1)2 + 1]
Giaûi:
dx 3t 2 dt 3tdt
Ñaët: t = 3 x + 1 Þ t 3 = x + 1 . Suy ra: 3t 2dt = dx & = 2
= 2
3
x + 1[ 3 (x + 1)2 + 1] t(t + 1) t + 1

3tdt 3 d(t 2 )
Khi ñoù: I = ò 2 = ò 2 = ln(t 2 + 1) + C = ln[ 3 (x + 1)2 + 1] + C.
t +1 2 t +1
dx
Ví duï 2: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò
2x 2x + 1
Giaûi:
dx tdt dt
Ñaët: t = 2x + 1 Þ t 2 = 2x + 1 . Suy ra: 2tdt = 2dx & = 2 = 2
2x 2x + 1 (t - 1)t t - 1
dt 1 t -1 1 2x + 1 - 1
Khi ñoù: I = ò t 2 - 1 = 2 ln t + 1 + C = 2 ln 2x + 1 + 1
+ C.

xdx
Ví duï 3: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò
3
x2 - 4 x
Giaûi:
1 2 1
3 2
Ta nhaän xeùt: x = x , x = x vaø x = x , töø ñoù 12 laø boäi soá chung nhoû nhaát cuûa caùc
2 3 4 4

maãu soá, do ñoù ñaët x = t12
11 xdx 12t17dt 12t14 dt æ 9 4 t4 ö
Suy ra: dx = 12t dt & = 8 3 = 5 = 12 ç t + t + 5 ÷ dt
3
x2 - 4 x t - t t -1 è t -1 ø

æ 9 4 t4 ö æ t10 t 5 1 ö
Khi ñoù: I = 12 ò ç t + t + 5 ÷dt = 12 ç + + ln | t 5 - 1 | ÷ + C.
è t -1ø è 10 5 5 ø
dx
Daïng 2: Tính tích phaân baát ñònh I = ò
(x + a)(x + b)

PHÖÔNG PHAÙP CHUNG
Ta xeùt hai tröôøng hôïp:
ìx + a > 0
· Tröôøng hôïp 1: Vôùi í
îx + b > 0

Trang 68
Traàn Só Tuøng Tích phaân

Ñaët: t = x + a + x + b
ìx + a < 0
· Tröôøng hôïp 2: Vôùi í
îx + b < 0
Ñaët: t = -(x + a) + -(x + b)

dx
Ví duï 4: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò
x 2 - 5x + 6
Giaûi:
dx
Bieán ñoåi I veà daïng: I = ò
(x - 2)(x - 3)
Ta xeùt hai tröôøng hôïp:
ìx - 2 > 0
· Vôùi í Û x > 3. Ñaët: t = x - 2 + x - 3
îx - 3 > 0

æ 1 1 ö ( x - 2 + x - 3)dx dx 2dt
suy ra : dt = ç + ÷ dx = Û =
è 2 x-2 2 x-3 ø 2 (x - 2)(x + 3) (x - 2)(x - 3) t

dt
Khi ñoù: I = 2 ò = 2 ln | t | + C = 2 ln | x - 2 + x + 3 | +C
t
ìx - 2 < 0
· Vôùi í Û x < 2. Ñaët: t = x - 2 + 3 - x
îx - 3 < 0
é 1 1 ù [ 2 - x + 3 - x]dx dx 2dt
suy ra : dt = ê + ú dx = Û =-
ë2 2 - x 2 3 - x û 2 (x - 2)(x - 3) (x - 2)(x - 3) t
dt
Khi ñoù: I = -2 ò = -2 ln | t | +C = -2 ln | 2 - x + 3 - x | +C
t

Daïng 3: Tính tích phaân baát ñònh caùc haøm höõu tæ ñoái vôùi x vaø a2 - x 2 coù daïng:
I = ò R(x, a2 - x 2 )dx, vôùi ad - bc ¹ 0.

PHÖÔNG PHAÙP CHUNG
Ta thöïc hieän theo caùc böôùc sau:
· Böôùc 1: Thöïc hieän pheùp ñoåi bieán:
é p p
ê x =| a | sin t vôùi - 2 £ t £ 2 (hoaëc coù theå t = x + a2 - x 2 )
ê
ë x =| a | cos t vôùi 0 £ t £ p
· Böôùc 2: Baøi toaùn ñöôïc chuyeån veà: I = ò S(sin t, cos t)dt.



Trang 69
Tích phaân Traàn Só Tuøng

x 3dx
Ví duï 5: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò .
1 - x2
Giaûi:
p p
· Caùch 1: Ñaët: x = sin t, - 1, ta xeùt hai tröôøng hôïp:
– Vôùi x > 1:
1 p sin tdt
Ñaët: x = , t Î [0; ) . Suy ra: dx = ,
cos t 2 cos2 t
1 sin t
. dt
xdx 2 (1 + tg 2 t)tgt.dt (1 + tg2 t)tgt.dt
= cos t cos t = =
2 2 2
2x 2 - 1 + 3 x 2 - 1 - 1 + 3tgt 2(1 + tg t) - 1 + 3tgt 2tg t + 3tgt + 1
cos2 t



Trang 73
Tích phaân Traàn Só Tuøng

(1 + tg2 t)tgt.dt
Khi ñoù: I = ò .
2tg 2 t + 3tgt + 1

dt 2 (1 + tg 2 t)tgt.dt u.du
Ñaët: u = tgt. Suy ra: du = 2
= (1 + tg t)dt & 2
= 2
cos t 2tg t + 3tgt + 1 2u + 3u + 1

æ 1 1 ö 1 1 (u + 1)2
Khi ñoù: I = ò ç - + ÷ dt = - ln 2u + 1 + ln u + 1 + C = ln +C
è 2u + 1 u + 1 ø 2 2 | 2u + 1 |

1 (tgt + 1)2 1 ( x 2 - 1 + 1)2
= ln + C = ln + C.
2 2tgt + 1 2 2 x2 - 1 + 1

– Vôùi x < –1 (töï laøm)

Daïng 6: Tính tích phaân baát ñònh caùc haøm höõu tæ ñoái vôùi x vaø ax 2 + bx + c coù daïng:
I = ò R(x, ax 2 + bx + c)dx, vôùi ad - bc ¹ 0

PHÖÔNG PHAÙP CHUNG
Ta coù theå löïa choïn moät trong hai caùch sau:
· Caùch 1: Ñöa I veà caùc daïng nguyeân haøm cô baûn ñaõ bieát.
Ta xeùt caùc tröôøng hôïp sau:
Ÿ Tröôøng hôïp 1: Neáu a > 0 vaø D < 0.
2
2 D é æ 2ax + b ö ù
– Böôùc 1: Ta coù: ax + bx + c = - ê1 + ç ú
4a ë è -D ÷ û ø
2ax + b
– Böôùc 2: Thöïc hieän pheùp ñoåi bieán: t =
-D
– Böôùc 3: Baøi toaùn ñöôïc chuyeån veà: I = ò S(t, 1 + t 2 )dt

Ÿ Tröôøng hôïp 2: Neáu a < 0 vaø D > 0.
2
2 D é æ 2ax + b ö ù
– Böôùc 1: Ta coù: ax + bx + c = - ê1 - ç ÷ ú
4a ë è D ø û
2ax + b
– Böôùc 2: Thöïc hieän pheùp ñoåi bieán: t =
D
– Böôùc 3: Baøi toaùn ñöôïc chuyeån veà: I = ò S(t, 1 - t 2 )dt
Ÿ Tröôøng hôïp 3: Neáu a > 0 vaø D > 0.
2
2 D éæ 2ax + b ö ù
– Böôùc 1: Ta coù: ax + bx + c = êç ÷ - 1ú
4a ëè D ø û
2ax + b
– Böôùc 2: Thöïc hieän pheùp ñoåi bieán: t =
D

Trang 74
Traàn Só Tuøng Tích phaân

– Böôùc 3: Baøi toaùn ñöôïc chuyeån veà: I = ò S(t, t 2 - 1)dt
· Caùch 2: Söû duïng pheùp theá Euler:
Ta xeùt caùc tröôøng hôïp sau:
1. Neáu a > 0, ñaët ax 2 + bx + c = t - x a hoaëc t + x a.

2. Neáu c > 0, ñaët ax 2 + bx + c = tx + c hoaëc tx - c.
3. Neáu tam thöùc ax 2 + bx + c coù bieät soá D > 0 thì
ax 2 + bx + c = a(x - x1 )(x - x 2 ). Khi ñoù ñaët: ax 2 + bx + c = t(x - x1 ).

Ví duï 8: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò x 2 + 2x + 2dx.
Giaûi:
· Caùch 1: Söû duïng pheùp ñoåi bieán: t = x + 1 Þ dt = dx.
Khi ñoù: I = ò t 2 + 1dt.
Tích phaân treân chuùng ta ñaõ bieát caùch xaùc ñònh trong ví duï 6.
· Caùch 2: Söû duïng pheùp ñoåi bieán:
t2 - 2 (t 2 + 2t + 2)dt
x 2 + 2x + 2 = t - x Þ x 2 + 2x + 2 = (t - x)2 Û x = Þ dx =
2(t + 1) 2(t + 1)2
é t 2 - 2 ù (t 2 + 2t + 2)dt 1 (t 4 + 4)dt
Khi ñoù: I = ò x 2 + 2x + 2dx = ò ê t - ú. = ò .
ë 2(t + 1) û 2(t + 1)2 4 (t + 1)3
Söû duïng ñoàng nhaát thöùc:
t 4 + 4 = [(t + 1) - 1]4 + 4 = (t + 1)4 - 4(t + 1)3 + 6(t + 1)2 - 4(t + 1) + 5.
1 6 4 1 t2 4
Do ñoù: I =
4 ò [t + 1 - 4 + t + 1 - (t + 1)2 ]dt = 4 [ 2 - 3t + 6 ln | t + 1 | + t + 1] + C
1 ( x 2 + 2x + 2 + x)2
= [ - 3( x 2 + 2x + 2 + x) +
4 2
4
+6 ln x 2 + 2x + 2 + x + 1 + ] + C.
x 2 + 2x + 2 + x + 1
dx
Daïng 7: Tính tích phaân baát ñònh I = ò
(lx + m) ax 2 + bx + c
PHÖÔNG PHAÙP CHUNG
Ta thöïc hieän theo caùc böôùc sau:
1
– Böôùc 1: Thöïc hieän pheùp ñoåi bieán: t =
lx + m
dt
– Böôùc 2: Baøi toaùn ñöôïc chuyeån veà: I = ò
at 2 + b t + g
Chuù yù: Phöông phaùp treân coù theå ñöôïc aùp duïng cho daïng toång quaùt hôn laø:

Trang 75
Tích phaân Traàn Só Tuøng

(Ax + B)dx
I=ò
(lx + m)n ax 2 + bx + c
dx
Ví duï 9: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò
(x + 1) x 2 + 2x + 2
Giaûi:
1 1
Ñaët: t = Þ x = -1
x +1 t
1 ì dt
t(- 2 )dt ï - khi t > 0
1 dx t dt ï 1 + t2
suy ra: dx = - 2 dt, = =- =í
t 2
(x + 1) x + 2x + 2 1 1 dt
2 +1 t. 2 + 1 ï khi t < 0
t t ï 1 + t2
î
Khi ñoù:
Ÿ Vôùi t > 0, ta ñöôïc:
dt 1 1
I = -ò = - ln t + 1 + t 2 + C = - ln + 1+ +C
1+ t 2 x +1 (x + 1)2

1 + x 2 + 2x + 2 x +1 1 - x 2 + 2x + 2
= - ln + C = ln + C = ln + C.
x +1 1 + x 2 + 2x + 2 x +1
Ÿ Vôùi t < 0, ta ñöôïc:
dt 1 1 1 - x 2 + 2x + 2
I=ò 2
= ln t + 1 + t + C = ln + 1+ + C = ln + C.
1 + t2 x +1 (x + 1)2 x +1

1 - x 2 + 2x + 2
Toùm laïi vôùi t ¹ 0 Û x ¹ -1 ta luoân coù: I = ln + C.
x +1


3. SÖÛ DUÏNG TÍCH PHAÂN TÖØNG PHAÀN
Baøi toaùn 3: Tính tích phaân caùc haøm voâ tæ baèng phöông phaùp tích phaân töøng phaàn
PHÖÔNG PHAÙP CHUNG
Vôùi caùc haøm voâ tæ, trong phaïm vi phoå thoâng phöông phaùp tích phaân töøng phaàn ít ñöôïc söû
duïng, tuy nhieân chuùng ta cuõng caàn xem xeùt.
Ví duï 10: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò x 2 + adx

Giaûi:
ì xdx
ìu = x2 + a
ï ïdu =
Ñaët: í Þ í x2 + a
ïdv = dx
î ïv = x
î



Trang 76
Traàn Só Tuøng Tích phaân

x 2 dx
Khi ñoù: I = x x 2 + a - ò (1)
2
x +a
x 2 dx [(x 2 + a) - a]dx dx
Vôùi J = ò =ò = ò x 2 + adx - a ò
x2 + a x2 + a x2 + a

= I - a ln x + x 2 + a + C. (2)
Thay (2) vaøo (1) ta ñöôïc:
x 2 a
I = x x 2 + a - (I - a ln x + x 2 + a + C) Û I = x + a + ln x + x 2 + a + C.
2 2
4. SÖÛ DUÏNG CAÙC PHEÙP BIEÁN ÑOÅI
x-a
Daïng 1: Tính tích phaân baát ñònh I = ò dx, vôùi a > 0
x+a
PHÖÔNG PHAÙP CHUNG
éx ³ a
Vì ñieàu kieän ê
ë x < -a'
Ta xeùt hai tröôøng hôïp:
x -a x-a 2xdx dx
· Vôùi x ³ a thì: ò x+a
dx = ò
x 2 - a2
dx = ò
2 x 2 - a2
- aò
x 2 - a2

= x 2 - a2 - ln x + x 2 - a2 + C.
x -a a-x dx 2xdx
· Vôùi x < –a thì: ò x+a
dx = ò
x 2 - a2
dx = a ò
x 2 - a2

2 x 2 - a2

= ln x + x 2 - a2 - x 2 - a2 + C.
x -1
Ví duï 11: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò dx
x +1
Giaûi:
éx ³ 1
Vì ñieàu kieän ê . Ta xeùt hai tröôøng hôïp:
ë x < -1
x -1 2xdx dx
· Vôùi x ³ 1 . Ta coù: I = ò dx = ò -ò = x 2 - 1 - ln x + x 2 - 1 + C
2 2 2
x -1 2 x -1 x -1
· Vôùi x < –1. Ta coù:
1- x dx 2xdx
I=ò dx = ò -ò = ln x + x 2 - 1 - x 2 - 1 + C
2 2 2
x -1 x -1 2 x -1

dx
Daïng 2: Tính tích phaân baát ñònh I = ò , vôùi a ¹ 0 vaøb - c ¹ 0.
ax + b + ax + c


Trang 77
Tích phaân Traàn Só Tuøng

PHÖÔNG PHAÙP CHUNG
Khöû tính voâ tæ ôû maãu soá baèng caùch truïc caên thöùc, ta ñöôïc:
1 1
ò ( ax + b + ax + c)dx = a(b - c) [ò (ax + b) d(ax + b) + ò (ax + c) d(ax + c)]
1/ 2 1/ 2
I=
b-c
2
= [ (ax + b)3 + (ax + c)3 ] + C
2a(b - c)
dx
Ví duï 12: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò + x -1
x +1
Giaûi:
Khöû tính voâ tæ ôû maãu soá baèng caùch truïc caên thöùc, ta ñöôïc:
1 1
I = ò ( x + 1 + x - 1)dx = [ò (x + 1)1/ 2d(x + 1) + ò (x - 1)1/ 2 d(x - 1)]
2 2
1
= [ (x + 1)3 + (x - 1)3 ] + C
3
Chuù yù: Moät pheùp bieán ñoåi raát phoå bieán ñoái vôùi caùc haøm soá voâ tæ laø phöông phaùp phaân
tích, chuùng ta seõ ñi xem xeùt caùc daïng cô baûn sau:

v(x)dx
Daïng 3: Tính tích phaân baát ñònh I = ò
u2 (x) ± a
PHÖÔNG PHAÙP CHUNG
Ta thöïc hieän theo caùc böôùc sau:
v(x) a[u2 (x) + a] bu(x) c
· Böôùc 1: Phaân tích: = + +
u2 (x) + a u2 (x) + a u2 (x) + a u2 (x) + a
Söû duïng phöông phaùp haèng soá baát ñònh ta xaùc ñònh ñöôïc a, b, c.
· Böôùc 2: AÙp duïng caùc coâng thöùc:
xdx dx
1. ò = x 2 ± a + C. 2. ò = ln x + x 2 ± a + C
2 2
x ±a x ±a
x 2 a
3. ò x 2 ± adx = x ± a ± ln x + x 2 ± a + C.
2 2
(2x 2 + 1)dx
Ví duï 13: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò
x 2 + 2x
Giaûi:
2x 2 + 1 2x 2 + 1 a[(x + 1)2 - 1] b(x + 1) c
Ta coù: = = + +
x 2 + 2x (x + 1)2 - 1 (x + 1)2 - 1 (x + 1)2 - 1 (x + 1)2 - 1




Trang 78
Traàn Só Tuøng Tích phaân

ax 2 + (2a + b)x + b + c
=
x 2 + 2x
ìa = 2 ìa = 2
ï ï
Ñoàng nhaát ñaúng thöùc, ta ñöôïc: í2a + b = 0 Û í b = -4
ïb + c = 1 ïc = 5
î î
2x 2 + 1 4(x + 1) 5
Khi ñoù: = 2 (x + 1)2 - 1 - +
x 2 + 2x (x + 1)2 - 1 (x + 1)2 - 1
4(x + 1) 5
Do ñoù: I = ò [2 (x + 1)2 - 1 - + ]dx
(x + 1)2 - 1 (x + 1)2 - 1

= (x + 1) x2 + 2x - ln x + 1 + x2 + 2x - 4 x2 + 2x + 5ln x + 1 + x2 + 2x + C

= (x + 1) x 2 + 2x + 4 ln x + 1 + x 2 + 2x - 4 x 2 + 2x + C.
BAØI TAÄP
Baøi 30. Tìm hoï nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá sau:
x +1 x x3 x3 1
a/ ; b/ ; c/ ; d/ ; e/ 3 ;
3
3x + 1 2x + 1 + 1 x+2 3 4
1+ x +1 x+ x
1 x 1
f/ ; g/ 10 h/ tgx +
3
(2x + 1)2 - 2x + 1 x +1 2x + 1 + 2x - 1
1æ1 3 ö 1 1
ÑS: a/ ç (3x + 1)5 + 3 (3x + 1)2 ÷ + C; b/ (2x + 1)3 - (2x + 1) + C;
3è 5 ø 6 4
1 33 4 3 3
c/ (x 2 + 2)3 - 2 x 2 + 2 + C; d/ (x + 1)2 - 3 x 4 + 1 + ln( 3 x 4 + 1 + 1) + C;
3 8 4 4
e/ 2 x - 3 3 x - 6 6 x + ln( 6 x + 1) + C;
36
f/ (2x + 1)2 + 3 6 2x + 1 + 3ln 6 2x - 1 - 1 + C;
2
10 10 10 1
g/ (x + 1)19 - 10 (x + 1)9 + C; h/ - ln cos x + é (2x + 1)3 - (2x - 1)3 ù + C.
19 9 3êë ú
û
Baøi 31. Tìm hoï nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá sau:
x 1 1 1
a/ ; b/ ; c/ ; d/
9x 2 - 6x x 2 + 2x + 3 x 2 + 6x + 8 x2 - x - 1
4x + 5 2x x2 + 1 x
e/ ; f/ ; g/ ; h/ .
x 2 + 6x + 1 x + x2 - 1 x x4 + 1 2 2 3
1 + x + (1 + x )
1
ÑS: a/ 9x 2 - 6x + ln 3x - 1 + 9x 2 - 6x + C; b/ ln x + 1 + x 2 + 2x + 3 + C;
9
1
c/ ln x + 3 + x 2 + 6x + 8 + C; d/ ln x - + x 2 - x - 1 + C;
2

Trang 79
Tích phaân Traàn Só Tuøng

2 2 2
e/ 4 x 2 + 6x + 1 - 7 ln x + 3 + x 2 + 6x + 1 + C; f/ x - (x 2 - 1)3 + C;
3 3
2
1 æ 1ö
g/ ln x - + ç x - ÷ + 2 + C; h/ 2 1 + 1 + x 2 + C.
x è 2ø

dx
Baøi 32a/ Bieát raèng ò x2 + 3
= ln(x + x 2 + 3) + C.

Tìm nguyeân haøm cuûa F(x) = ò x 2 + 3dx

b/ Tính ò x 2 - 4x + 8dx.
1 3
ÑS: a/ x x 2 + 3 + ln(x + x 2 + 3) + C.
2 2
1
b/ (x - 2) x 2 - 4x + 8 + 2 ln x - 2 + x 2 - 4x + 8 + C.
2
Baøi 33. Tìm hoï nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá sau:
1 1
a/ ; b/ .
(x 2 + 16)3 (1 - x 2 )3
x x
ÑS: a/ + C; b/ + C.
16 x + 16 2
1 - x2
Baøi 34. Tìm hoï nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá sau:
1 x -1 1
a/ ; b/ ; c/ ;
(x - 1) 1 - x 2 (x + 1) x 2 + 1 (x - 1) - x 2 + 2x + 3
1 x2 1
d/ ; e/ ; f/ .
x + x2 + x + 1 x2 + x + 1 1+ x + 1+ x
1+ x 2 1 - x + 2(x 2 + 1)
ÑS: a/ - + C; b/ ln x + x + 1 + 2 ln + C;
1- x 2(x + 1)

1 2 + -x 2 + 2x + 3
c/ - ln + C;
2 2(x - 1)

3 1 t4
d/ + ln 3
+ C, vôùi t = x + x 2 + x + 1.
2(1 + 2t) 2 1 + 2t
1 1 1
e/ (2x - 3) x 2 + x + 1 - ln x + + x 2 + x + 1 + C;
4 8 2
1 1 1 t -1 1+ x
f/ x + x - x.t + ln + C, vôùi t = .
2 2 4 t +1 x




Trang 80
Traàn Só Tuøng Tích phaân


Vaán ñeà 10: NGUYEÂN HAØM CAÙC HAØM SOÁ SIEÂU VIEÄT


Ñeå xaùc ñònh nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá sieâu vieät ta caàn linh hoaït löïa choïn moät
trong caùc phöông phaùp cô baûn sau:
1. Söû duïng caùc daïng nguyeân haøm cô baûn
2. Phöông phaùp phaân tích
3. Phöông phaùp ñoåi bieán
4. Phöông phaùp tích phaân töøng phaàn.

1. SÖÛ DUÏNG CAÙC DAÏNG NGUYEÂN HAØM CÔ BAÛN
Baøi toaùn 1: Xaùc ñònh nguyeân haøm caùc haøm sieâu vieät döïa treân caùc daïng nguyeân haøm
cô baûn
PHÖÔNG PHAÙP CHUNG
Baèng caùc pheùp bieán ñoåi ñaïi soá, ta bieán ñoåi bieåu thöùc döôùi daáu tích phaân veà caùc
daïng nguyeân haøm cô baûn ñaõ bieát.
Ví duï 1: Tính caùc tích phaân baát ñònh sau:
dx 2 x.ex
a/ I = ò b/ J= dx
e - e- x
x
16 x - 9 x
Giaûi:
d(ex ) 1 ex - 1
a/ Ta coù: I = ò 2x = ln +C
e - 1 2 ex + 1
b/ Chia töû vaø maãu soá cuûa bieåu thöùc döôùi daáu tích phaân cho 4x, ta ñöôïc:

æ4ö
x éæ 4 ö x ù æ4ö
x

ç ÷ d êç ÷ ú ç ÷ -1
J=ò è 3 ø dx = 1 ëè 3 ø û 1 1 è3ø
æ4ö
2x 4 ò æ 4 ö2x dx = 4 . 2 ln æ4ö
x
+C
-1 ln ln
ç ÷
è3ø 3 ç 3 ÷ -1
è ø 3 ç ÷ +1
è3ø
1 4 x - 3x
= .ln x + C.
2(ln 4 - ln 3) 4 + 3x

2. PHÖÔNG PHAÙP PHAÂN TÍCH
Baøi toaùn 2: Xaùc ñònh nguyeân haøm haøm sieâu vieät baèng phöông phaùp phaân tích
PHÖÔNG PHAÙP CHUNG
Caàn hieåu raèng thöïc chaát noù laø moät daïng cuûa phöông phaùp heä soá baát ñònh, nhöng ôû
ñaây ta söû duïng caùc ñoàng nhaát thöùc quen thuoäc.
dx
Ví duï 2: Tính tích phaân baát ñònh : I = ò .
1 - ex

Trang 81
Tích phaân Traàn Só Tuøng

Giaûi:
x x
Söû duïng ñoàng nhaát thöùc: 1 = 1 - e ) + e
1 (1 - ex ) + ex ex
Ta ñöôïc: = =1+ .
1 - ex 1 - ex 1 - ex
æ ex ö d(1 - ex )
Suy ra: I = ò ç 1 + x ÷
dx = ò dx - ò x
= x - ln 1 - ex + C.
è 1- e ø 1- e
3. PHÖÔNG PHAÙP ÑOÅI BIEÁN
Baøi toaùn 3: Xaùc ñònh nguyeân haøm haøm sieâu vieät baèng phöông phaùp ñoåi bieán
PHÖÔNG PHAÙP CHUNG
Phöông phaùp ñoåi bieán ñöôïc söû duïng cho caùc haøm soá sieâu vieät vôùi muïc ñích chuû
ñaïo ñeå chuyeån bieåu thöùc döôùi daáu tích phaân veà caùc daïng höõu tæ hoaëc voâ tæ, tuy nhieân
trong nhieàu tröôøng hôïp caàn tieáp thu nhöõng kinh nghieäm nhoû ñaõ ñöôïc minh hoaï baèng caùc
chuù yù trong vaán ñeà 4.
dx
Ví duï 3: Tính tích phaân baát ñònh : I = ò .
2x
1+ e
Giaûi:
· Caùch 1: Ñaët t = 1 + e2 x Û t 2 = 1 + e2 x
tdt dx tdt dt
Suy ra: 2tdt = 2e2 x dx Û dx = 2 & = 2 = 2
t -1 1 + e2 x t(t - 1) t - 1
dt 1 t -1 1 1 + e2x
Khi ñoù: I = ò 2 = ln + C = ln +C
t -1 2 t +1 2 1 + e2x + 1
· Caùch 2: Ñaët: t = ex
dx dx dx dx -dt
Suy ra: dt = -e-xdx Û - dt = x , = = = .
e 1 + e2x e2x (e-2x + 1) ex e-2x + 1 t2 +1
dx dt
Khi ñoù: ò = -ò = - ln t + t 2 + 1 + C = - ln e - x + e- x + 1 + C.
2x 2
1+ e t +1
dx
Ví duï 4: Tính tích phaân baát ñònh : I = ò x
e - ex / 2
Giaûi:
1 dx
Ñaët t = e- x / 2 . Suy ra: dt = e- x / 2dx Û - 2dt = x / 2 ,
2 e
dx dx e - x / 2 dx -2tdt æ 1 ö
x x/ 2
= x -x / 2
= x/ 2 -x / 2
= = 2 ç1 + ÷ dt
e -e e (1 - e ) e (1 - e ) 1- t è t -1 ø
æ 1 ö
Khi ñoù: I = 2 ò ç 1 + ÷dt = 2(e
-x / 2
+ ln e- x / 2 + 1 + C.
è t -1 ø
4. PHÖÔNG PHAÙP TÍCH PHAÂN TÖØNG PHAÀN
Baøi toaùn 4: Tìm nguyeân haøm caùc haøm sieâu vieät baèng phöông phaùp tích phaân töøng
phaàn


Trang 82
Traàn Só Tuøng Tích phaân

PHÖÔNG PHAÙP CHUNG
Baøi toaùn 1: Tính: ò eax cos(bx) (hoaëc ò eax sin(bx) vôùi a, b ¹ 0

ì u = cos(bx) ì u = sin(bx)
Khi ñoù ta ñaët: í ax
hoaëc í ax
îdv = e dx îdv = e dx
Baøi toaùn 2: Tính: ò P(x)eax dx vôùi a Î R *

ì u = P(x)
Khi ñoù ta ñaët: í ax
îdv = e dx

Ví duï 5: Tìm hoï nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) = (tg 2 x + tgx + 1)ex .
Giaûi:
Ta coù: F(x) = ò (tg 2 x + tgx + 1)e x = ò (tg2 x + 1)ex + ò ex tgxdx. (1)

Xeùt tích phaân J = e x tgxdx.
ì dx
ì u = tgx ïdu = 2
= (1 + tg2 x)dx
Ñaët: í Û í cos x
î dv = ex dx ï v = ex
î
Khi ñoù: J = e x tgx - ò (tg 2 x + 1)ex .
Thay (2) vaøo (1) ta ñöôïc F(x) = ex tgx + C. (2)

5. SÖÛ DUÏNG CAÙC PHÖÔNG PHAÙP KHAÙC NHAU
dx
Ví duï 6: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò
1 + e2 x
Giaûi:
dx dx e- x dx d(e- x )
Ta coù: = = =- (1)
1 + e2x ex e-2x + 1 e-2x + 1 e-2x + 1
d(e- x )
Khi ñoù: I = ò = - ln(e- x + e-2 x + 1) + C
-x
e +1
Chuù yù: Ta coù theå söû duïng phöông phaùp ñoåi bieán ñeå laøm töôøng minh lôøi giaûi, baèng caùch:
dt dt
Ñaët t = ex . Suy ra: dt = e x dx & =
1 + e2x t 1 + t2
æ1ö
dç ÷
dt dt è t ø = - ln 1 + 1 + 1 + C
Khi ñoù: I = ò =ò = -ò
t 1+ t 2 1 1 t t2
t2 +1 +1
t2 t2
= - ln(e- x + e-2x + 1) + C.

Trang 83
Tích phaân Traàn Só Tuøng

Ñöông nhieân cuõng coù theå ñaët t = e–x ta seõ thu ñöôïc lôøi giaûi gioáng nhö treân, xong seõ
thaät khoù giaûi thích vôùi caùc em hoïc sinh caâu traû lôøi “Taïi sao laïi nghó ra caùch ñaët aån phuï
nhö vaäy?”
Chuù yù: Neáu caùc em hoïc sinh thaáy khoù hình dung moät caùch caën keõ caùch bieán ñoåi ñeå ñöa
veà daïng cô baûn trong baøi toaùn treân thì thöïc hieän theo hai böôùc sau:
– Böôùc 1: Thöïc hieän pheùp ñoåi bieán:
Ñaët t = ex
Suy ra: dt = e x dx & ex e2x - 2e x + 2dx = t 2 - 2t + 2dt = (t - 1)2 + 1dt
Khi ñoù: I = ò (t - 1)2 + 1dt.
– Böôùc 2: Thöïc hieän pheùp ñoåi bieán:
Ñaët u = t – 1
Suy ra: du = dt & (t - 1)2 + 1dt = u2 + 1du
u 2 1
Khi ñoù: I = ò u2 + 1du = u + 1 + ln u + u2 + 1 + C
2 2
t -1 1
= (t - 1)2 + 1 + ln t - 1 + (t - 1)2 + 1 + C
2 2
ex - 1 2 x 1
= e - 2ex + 2 + ln ex - 1 + e2 x - ex + 2 + C
2 2
ex
Ví duï 8: Tìm nguyeân haøm haøm soá : f(x) = x
e + e- x
Giaûi:
-x
e
Choïn haøm soá phuï: g(x) = x
e + e- x
Goïi F(x) vaø G(x) theo thöù töï laø nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá f(x), g(x). Ta coù:
ex - e- x
f(x) - g(x) = x
e + e -x
ex - e -x d(ex + e- x )
Þ F(x) - G(x) = ò x -x
dx = ò x -x
= ln ex + e - x + C1
e +e e +e
x -x
e +e
f(x) + g(x) = x = 1 Þ F(x) + G(x) = ò dx = x + C2 .
e + e- x
ìF(x) + G(x) = ln ex + e- x + C1
ï 1
Ta ñöôïc: í Þ F(x) = (ln e x + e- x + x) + C.
ïF(x) - G(x) = x + C2
î 2


BAØI TAÄP
Baøi 35. Tìm hoï nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá sau:
1 1+ x ln x
a/ 2 x.e x ; b/ x
; c/ ; d/ ;
1+ e x(1 + x.ex ) x
x x e2 x 1 2
e/ e .sin(e ); f/ 2x ; g/ ; h/ x.ex .
e +2 x ln x

Trang 84
Traàn Só Tuøng Tích phaân

2 x.ex ex xe x
ÑS: a/ + C; b/ ln + C; c/ ln + C;
1 + ln 2 1 + ex 1 + xex
2 1
ln x. ln x + C; e/ - cos(e x ) + C;
d/ f/ ln e2x + 1 + C;
3 2
1 2
g/ ln ln x + C; h/ e x + C.
2
Baøi 36. Tìm hoï nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá sau:
e2x - 1 e2x 1 e2x
a/ ; b/ (1 + e3x )2 .e3x ; c/ ; d/ ; e/
ex 4
ex + 1 1 + ex 4 x
e +1
1 sin x 1
f/ .e x ; g/ ; h/ x .
x ecos x e (3 + e- x )
1 4 4
ÑS: a/ ex + e- x + C; b/ (1 + e3x )3 + C; c/ 4 (ex + 1)7 - 4 (ex + 1)3 + C;
9 7 3
t -1 t -1
d/ ln + C, vôùi t = ex + 1; e/ 2t + ln + C, vôùi t = 1 + ln x;
t +1 t +1
x 3ex
f/ 2e + C; g/ e- x + C; h/ ln + C.
3ex + 1
Baøi 37. Tìm hoï nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá sau:
3
2 3x 2x x æ ln x ö
a/ x e ; b/ e .cos3x; c/ e .sin x; d/ ç ÷ ; e/ x n .ln x, n ¹ -1.
è x ø
1 3x 1 2x
ÑS: a/ e (9x 2 - 6x + 2) + C; b/ e (2 cos3x + 3sin 3x) + C;
27 13
1 1 æ 3 3 3ö
c/ e x (sin x - cos x) + C; d/ - 2 ç ln 3 x + ln 2 x + ln x + ÷ + C;
2 2x è 2 2 4ø
x n +1 x n +1
e/ ln x - + C;
n +1 (n + 1)2
Baøi 38. Tìm hoï nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá sau:
x 2 ex (1 + sin x)ex 1 1+ x
a/ ; b/ c/ e x + e- x + 2; d/ ln ;
(x + 2)2 1 + cos x 1 - x2 1 - x
ln x
2 x ln(x + x 2 + 1)
e/ ln(x + x - 1); f/ ; g/ .
x 1 + ln x x2 + 1
x -2 x ex sin x
ÑS: a/ - .e + C; b/ + C; c/ e x (e3x + e2x ) + C;
x+2 1 + cos x
2
1 æ 1+ x ö
d/ ç ln ÷ + C; e/ x ln(x + x 2 - 1) - x 2 - 1 + C;
4 è 1- x ø
2
f/ (1 + ln x) 1 + ln x - 2 1 + ln x + C; g/ x 2 + 1. n x + x 2 + 1 - x + C.
3



Trang 85
Tích phaân Traàn Só Tuøng


§Baøi 2: TÍCH PHAÂN

1. Ñònh nghóa tích phaân:
Ta coù coâng thöùc Niutôn – Laipnit:
b

ò f(x)dx = F(x) = F(b) - F(a).
b
a
a

b
Chuù yù: Tích phaân ò f(x)dx chæ phuï thuoäc vaøo f, a, b maø khoâng phuï thuoäc vaøo caùch kyù
a

hieäu bieán soá tích phaân. Vì vaäy ta coù theå vieát:
b b b
F(b) - F(a) = ò f(x)dx = ò f(t)dt = ò f(u)du = ...
a a a


2. YÙ nghóa hình hoïc cuûa tích phaân:
b
Neáu haøm soá f(x) lieân tuïc vaø khoâng aâm treân [a ; b] thì tích phaân ò f(x)dx laø dieän tích
a

hình thang cong giôùi haïn bôûi ñoà thò cuûa haøm soá y = f(x, truïc Ox) vaø hai ñöôøng thaúng
x = a vaø x = b.

3. Caùc tính chaát cuûa tích phaân:
Giaû söû caùc haøm soá f(x), g(x) lieân tuïc treân khoaûng K vaø a, b, c laø ba ñieåm cuûa K, döïa
vaøo ñònh nghóa tích phaân ta coù caùc tính chaát sau:
a
Tính chaát 1. Ta coù ò f(x)dx = 0
a
b a
Tính chaát 2. Ta coù ò f(x)dx = - ò f(x)dx.
a b

b b
Tính chaát 3. Ta coù ò kf(x)dx = k ò f(x)dx, vôùi k Î R.
a a
b b b
Tính chaát 4. Ta coù ò [f(x) ± g(x)dx = ò f(x)dx ± ò g(x)dx.
a a a
c b c
Tính chaát 5. Ta coù ò f(x)dx = ò f(x)dx + ò f(x)dx.
a a a

b
Tính chaát 6. Neáu f(x) ³ 0, "x Î [a; b]thì ò f(x)dx ³ 0
a
b b
Tính chaát 7. Neáu f(x) ³ g(x), "x Î [a; b] thì ò f(x)dx ³ ò g(x)dx.
a a



Trang 86
Traàn Só Tuøng Tích phaân

b
Tính chaát 8. Neáu m £ f(x) £ M, "x Î [a; b] thì m(b - a) £ ò f(x)dx £ M(b - a).
a
t
Tính chaát 9. Cho t bieán thieân treân ñoaïn [a; b] thì G(t) = ò f(x)dx laø nguyeân haøm cuûa
a

f(t) vaø G(a) = 0.

Ví duï 1: Tính caùc tích phaân sau:
2 4 x
x 2 - 2x
a/ I = ò dx; b/ J = ò (3x - e )dx.4

1 x3 0

Giaûi:
2 2
æ1 2 ö æ 2ö
a/ Ta coù: I = ò ç - 2 ÷ dx = ç ln | x | + ÷ = (ln 2 + 1) - (ln1 + 2) = ln 2 - 1.
1è x x ø è xø 1

4
x
æ3 2 ö
b/ Ta coù: J = ç x - 4e 4 ÷ = (24 - 4e) - (0 - 4) = 28 - 4e.
è2 ø 0

Chuù yù: Trong ví duï treân ta ñaõ söû duïng ñònh nghóa cuøng caùc tính chaát 1, 3 vaø 4 ñeå tính tích
phaân Ví duï sau ñaây seõ söû duïng tính chaát 5 ñeå tính tích phaân cuûa haøm chöùa daáu trò tuyeät
ñoái.
1
x
Ví duï 2: Tính tích phaân sau: J = òe - 1 dx.
-1

Giaûi:
x
Xeùt daáu cuûa haøm soá y = e – 1
Ta coù: y = 0 Û ex - 1 = 0 Û x = 0
Nhaän xeùt raèng: x > 0 Þ ex > 1 Þ y > 0
x < 0 Þ ex < 1 Þ y < 0
Ta coù baûng xeùt daáu:
x –¥ –1 0 1 +¥
y’ – 0 +
0 1
0 1 1
Do ñoù: J = ò (1 - ex )dx + ò (ex - 1)dx = (x - e) -1 + (ex - x) 0 = e + - 2.
-1 0 2
Chuù yù: Söû duïng tính chaát 6, 7, 8 ta seõ ñi chöùng minh ñöôïc caùc baát ñaúng thöùc tích phaân.
p 3p / 4 dx p
Ví duï 3: Chöùng minh raèng: £ ò 2
£ .
4 p / 4 3 - 2sin x 2

Giaûi:



Trang 87
Tích phaân Traàn Só Tuøng

é p 3p ù
Treân ñoaïn ê ; ta coù:
ë4 4 ú û
2 1 1 1
£ sin x £ 1 Þ £ sin 2 x £ 1 Û 1 £ 3 - 2sin 2 x £ 2 Û £ - £ 1.
2 2 2 3 - 2sin 2 x
3p / 4 3p / 4 3p / 4
1 dx
Do ñoù: ò 2
dx £ ò 2
£ ò dx. (1)
p/ 4 p / 4 3 - 2sin x p/ 4

3p / 4 3p / 4 3p / 4 3p / 4
1 1 p
trong ñoù: ò 2
dx = x
2 p/ 4
= &
4 ò dx = x = 2. (2)
p/ 4 p/ 4 p/ 4

p 3p / 4 dx p
Thay (2) vaøo (1) ta ñöôïc: £ ò 2
£ (ñpcm).
4 p / 4 3 - 2sin x 2

ìx + a khi x < 0
Ví duï 4: Cho haøm soá: f(x) = í 2
îx + 1 khi x ³ 0
a/ Xeùt tính lieân tuïc cuûa haøm soá ñaõ cho taïi ñieåm x0 = 0.
1
b/ Vôùi a ñeå haøm soá lieân tuïc taïi x = 0, haõy xaùc ñònh ò f(x).dx.
-1

Giaûi:
a/ Haøm soá xaùc ñònh vôùi moïi x Î R.
Ta coù: lim f(x) = lim+ (x 2 + 1) = 1 vaø lim- f(x) = lim- (x + a) = a.
x®0+ x®0 x®0 x ®0

f(0) = 1.
Vaäy:
· Neáu a = 1 thì lim+ f(x) = lim- f(x) = f(0) = 1 Û haøm soá lieân tuïc taïi x0 = 0
x®0 x®0

· Neáu a ¹ 1 thì lim+ f(x) ¹ lim- f(x) Û haøm soá giaùn ñoaïn taïi x0 = 0
x®0 x®0

b/ Ta coù:
1 0 0 0 1
11
ò f(x)dx = ò f(x)dx + ò f(x)dx = ò (x + 1)dx + ò (x + 1)dx =
2
.
-1 -1 -1 -1 0 6
Chuù yù: Nhö vaäy chuùng ta söû duïng haàu heát caùc tính chaát ñeå giaûi caùc ví duï veà tích phaân,
duy coøn tính chaát thöù 9 ôû ñoù coù moät daïng toaùn maø caùc hoïc sinh caàn quan taâm laø “Ñaïo
haøm cuûa haøm soá xaùc ñònh bôûi tích phaân”. Ta coù caùc daïng sau:
x
Daïng 1: Vôùi F(x) = ò f(t)dt Þ F '(x) = f(x).
a
a x
Vôùi F(x) = ò f(t)dt thì vieát laïi F(x) = - ò f(t)dt Þ F '(x) = -f(x).
x a




Trang 88
Traàn Só Tuøng Tích phaân

u(x)
Daïng 2: Vôùi F(x) = ò f(t)dt Þ F¢(x) = u'(x)f[u(x)].
a
u(x )
Daïng 3: Vôùi F(x) = ò f(t)dt thì vieát laïi:
v(x)
u(x) v(x )
F(x) = ò f(t)dt - ò f(t)dt Þ F '(x) = u'(x)f[u(x)] - v'(x)f[v(x)]
a a

minh hoaï baèng ví duï sau:

Ví duï 5: Tính ñaïo haøm cuûa caùc haøm soá:
x a
a/ F(x) = ò (e + cos t )dt; t 2
b/ G(x) = ò (t
2
+ 2 + 1)dt;
a x2
x2

ò (t
3
c/ H(x) = + sin t)dt.
2x

Giaûi:
x
a/ Ta coù: F(x) = [ò (et + cos t 2 )dt]' = ex + cos x 2 .
a
a x2
b/ Ta coù: G(x) = [ ò (t + t + 1)dt]' = [- ò (t 2 + t 2 + 1)dt]' = (u)'.(u2 + u2 + 1)
2 2

x2 a

trong ñoù: u = x2, do ñoù: G '(x) = (x 2 )'.(x 4 + x 4 + 1) = 2x(x 4 + x 4 + 1).
x2 x2 2x
c/ Ta coù: H '(x) = [ ò (t + sin t)dt]' = [ ò (t + sin t)dt - ò (t 3 + sin t)dt]'
3 3

2x a a

= (u)'.(u + sin u) + (v)'.(v + sin v), trong ñoù: u = x 2 vaø v = 2x, do ñoù:
3 3


H '(x) = (x 2 )'.(x 6 + sin 2 ) + (2x)'.(8x + sin 2x) = 2x(x 6 + sin x 2 ) + 2(8x 3 + sin 2x)
TOÅNG KEÁT CHUNG:
Ñeå tính tích phaân xaùc ñònh ngoaøi caùc phöông phaùp cô baûn maø chuùng ta ñaõ bieát ñeå xaùc
ñònh nguyeân haøm, cuï theå coù:
1. Phöông phaùp söû duïng baûng nguyeân haøm cô baûn.
2. Phöông phaùp phaân tích
3. Phöông phaùp ñoåi bieán
4. Phöông phaùp tích phaân töøng phaàn.
5. Söû duïng caùc pheùp bieán ñoåi.
coøn coù theâm moät vaøi phöông phaùp khaùc ví duï nhö phöông phaùp cho lôùp tích phaân ñaët bieät.

Vaán ñeà 1: TÍNH TÍCH PHAÂN BAÈNG PHÖÔNG PHAÙP PHAÂN TÍCH

Baèng vieäc söû duïng caùc ñoàng nhaát thöùc ñeå bieán ñoåi bieåu thöùc döôùi daáu tích phaân
thaønh toång caùc bieåu thöùc maø nguyeân haøm cuûa moãi bieåu thöùc ñoù coù theå nhaän ñöôïc töø baûng
nguyeân haøm hoaëc chæ baèng caùc pheùp bieán ñoåi ñôn giaûn ñaõ bieát, töø ñoù ta xaùc ñònh ñöôïc giaù
trò cuûa tích phaân.


Trang 89
Tích phaân Traàn Só Tuøng

1
x5
Ví duï 1: (ÑHTM HN_95) Tính tích phaân: I = ò 2 dx.
0 x +1

Giaûi:
Söû duïng ñoàng nhaát thöùc: x 5 = x 5 + x 3 - x 3 - x + x = x 3 (x 2 + 1) - x(x 2 + 1) + x.
1 1
æ x ö é1 4 1 2 1 ù 1 1
Ta ñöôïc: I = ò ç x 3 - x + 2 2
÷dx = ê x - x + ln(x + 1)]ú = ln 2 - .
0è x +1 ø ë4 2 2 û0 2 4
sin x
Ví duï 2: (Ñeà 91) Cho f(x) =
cos x + sin x
æ cos x - sin x ö
a/ Tìm hai soá A, B sao cho f(x) = A + B ç ÷
è cos x + sin x ø
p/ 2
b/ Tính ò f(x)dx.
0

Giaûi:
sin x æ cos x - sin x ö (A + B) cos x + (A - B)sin x
a/ Ta coù: = A + Bç ÷=
cos x + sin x è cos x + sin x ø cos x + sin x
ìA + B = 0 1
Ñoàng nhaát ñaúng thöùc, ta ñöôïc: í Û A=B=- .
îA - B = 1 2
b/ Vôùi keát quaû ôû caâu a/ ta ñöôïc:
p/ 2 p/2 p/2
é 1 cos x - sin x ù é 1 ù p
ò f(x)dx = ò ê - 2 - 2(cos x + sin x údx = ê - 2 x - ln(cos x + sin x)ú
ë û ë û 0
=- .
4
0 0




BAØI TAÄP
Baøi 1. Tính caùc tích phaân:
4 1 1 2
dx x 2 - 2x - 3 dx
a/ ò
0 x
; b/ ò x 1 - xdx;
0
c/ ò
0
2-x
dx; d/ ò
1 x + 1 + x -1
4 1 1
ÑS: a/ 4 b/ c/ - ln 2 d/ (3 3 - 2 2 - 1)
5 2 3
Baøi 2. Tính caùc tích phaân:
p p
e3
4 sin x
2 3 8
ex dx
a/ ò ; b/ ò tg 2 2x(1 + tg 2 2x)dx; c/ ò x dx; d/ ò
0
1 + cos x 0 0
(e + 1)2 1 x 1 + ln x
1 1
ÑS: a/ 2 b/ c/ d/ 2
6 6
2 2
Baøi 3. Tìm caùc giaù trò cuûa a ñeå coù ñaúng thöùc: ò1 [a + (4 - 4a)x + 4x 3 ]dx = 12.


Trang 90
Traàn Só Tuøng Tích phaân

ÑS: a = 3
Baøi 4. Cho hai haøm soá f(x) = 4cosx + 3sinx vaø g(x) = cosx + 2sinx.
a/ Tìm caùc soá A, B sao cho g(x) = A.f(x) + B.f’(x)
p
g(x)
b/ Tính ò0
4
f(x)
dx.

2 1 p 1 7
ÑS: a/ A = ; B = - ; b/ - ln
5 5 10 5 4 2
Baøi 5. Tìm caùc haèng soá A, B ñeå haøm soá f(x) = Asinpx + B thoaû maõn ñoàng thôøi caùc ñieàu
2
kieän: f '(1) = 2 vaø ò0 f(x)dx = 4.
2
ÑS: A = - ; B = 2.
p




Trang 91
Tích phaân Traàn Só Tuøng


Vaán ñeà 2: TÍNH TÍCH PHAÂN BAÈNG PHÖÔNG PHAÙP ÑOÅI BIEÁN SOÁ

Phöông phaùp ñoåi bieán soá ñeå tính tích phaân xaùc ñònh coù hai daïng cô baûn (ngoaøi ra
coøn daïng 3) döïa treân ñònh lyù sau:
Ñònh lyù:
a. Neáu ò f(x)dx = F(x) + C vaø u = j(x) laø haøm soá coù ñaïo haøm trong [a ; b] thì:
j (b) j (b)
òj(a) f(u)du = F(u) j(a)
b. Neáu haøm soá f(x) xaùc ñònh vaø lieân tuïc treân ñoaïn [a ; b], haøm soá x = j(t) xaùc ñònh vaø
(i) Toàn taïi ñaïo haøm j’(t) lieân tuïc treân ñoaïn [a; b]
(ii) j(a) = a vaø j(b) = b.
(iii) Khi t bieán ñoåi töø a ñeán b thì x bieán thieân trong ñoaïn [a ; b]
b b
Khi ñoù: òa f(x)dx = òa f[j(t)]j '(t)dt.
b
Baøi toaùn 1: Söû duïng phöông phaùp ñoåi bieán soá daïng 1 tính tsch phaân I = ò f(x)dx.
a

Giaûi:
Ta thöïc hieän theo caùc böôùc sau:
Böôùc 1: Choïn x = j(t), trong ñoù j(t) laø haøm soá maø ta choïn cho thích hôïp.
Böôùc 2: Laáy vi phaân dx = j’(t)dt
Böôùc 3: Tính caùc caän a vaø b töông öùng theo a vaø b
Böôùc 4: Bieåu thò f(x)dx theo t vaø dt. Giaû söû raèng f(x)dx = g(t)dt
b
Böôùc 5: Khi ñoù: I = ò g(t)dt.
a

Löu yù: Chuùng ta caàn nhôù laïi caùc daáu hieäu daãn tôùi vieäc löïa choïn aån phuï kieåu treân thoâng
thöôøng laø:
Daáu hieäu Caùch choïn
é x = a sin t vôùi - p / 2 £ t £ p / 2
2 2
a -x ê
ë x = a cos t vôùi 0 £ t £ p
é a p p
ê x = sin t vôùi t Î [- 2 ; 2 ] \ {0}
x 2 - a2 ê
ê a p
ê x = cos t vôùi t Î [0; p] \ { 2}
ë
é x = a tgt vôùi - p / 2 < t < p / 2
2 2
a +x ê
ë x = a cot gt vôùi 0 < t < p



Trang 92
Traàn Só Tuøng Tích phaân

Daáu hieäu Caùch choïn
a+ x a-x
hoaëc x = acos2t
a-x a+x
(x - a)(b - x) x = a + (b - a)sin 2 t

2
x2
Ví duï 1: (ÑHTCKT_97) Tính tích phaân : I = ò 2 dx.
0
1 - x2
Giaûi:
Ñaët x = sint, khi ñoù: dx = costdt
2 p
Ñoåi caän: vôùi x= 0 Þ t = 0; x = Þt= .
2 4
x 2 dx sin 2 t.cos tdt sin 2 t.cos tdt sin 2 t cos tdt 1
Ta coù: = = = = (1 - cos2t)dt.
1 - x2 1 - sin 2 t cos t cos t 2
p/ 4
1 p/ 4 1æ 1 ö p 1
Khi ñoù: I = ò (1 - cos 2t)dt = ç t - sin 2t ÷ = - .
2 0 2è 2 ø 0 8 4
2/ 3
dx
Ví duï 2: Tính tích phaân : I = ò x x2 - 1
2

Giaûi:
1 cos t
Ñaët x = , khi ñoù : dx = - 2 dt
sin t sin t
2 p
Ñoåi caän: vôùi x= 1 Þ t = p/2; x = Þt= .
3 3
1
p/ 2 - cos tdt p/ 2
2 p
Khi ñoù: ò sin t
p/2

1
= ò dt = t p / 3 = 6
p/ 3 p/ 3
1
sin t -1
sin 2 t
2/ 3
dx
Chuù yù: Cuõng coù theå söû duïng pheùp ñoåi: I = ò 2 1
.
2
x 1- 2
x
3/2
1 dt
Töø ñoù söû duïng pheùp ñoåi bieán t =
x
, ta seõ nhaän ñöôïc: I = ò 1- t 2
.
1/ 2

p/3
p/ 3 p
Roài tieáp tuïc söû duïng pheùp ñoåi bieán t = sinu, ta ñöôïc I = ò du = u p / 6 = 6 .
p/3

Ñoù chính laø lôøi giaûi coù theå boå sung (ñeå phuø hôïp vôùi haïn cheá chöông trình cuûa Boä

Trang 93
Tích phaân Traàn Só Tuøng

GD&ÑT) haàu heát caùc taøi lieäu tham khaûo tröôùc ñaây.
0
a+ x
Ví duï 3: Tính tích phaân : I = ò dx, (a > 0)
a a-x

Giaûi:
Ñaët x = a.cos 2t, khi ñoù: dx = -2a.sin 2tdt.
p p
Ñoåi caän: vôùi x = -a Þ t = ; x=0Þ t=
2 4
a+ x a + a.cos2t
Ta coù: dx = (-2a.sin 2tdt) = cot gt (-2a.sin 2tdt)
a-x a - a.cos2t
= -4a.cos2 t.dt = -2a(1 + cos2t)dt.
p/2 p/ 2
æ 1 ö æ pö
Khi ñoù: I = -2a ò (1 + cos 2t)dt = -2a ç t - sin 2t ÷ = a ç1 - ÷ .
p/ 4 è 2 ø p/ 4 è 4ø


b
Baøi toaùn 2: Söû duïng phöông phaùp ñoåi bieán soá daïng 2 tính tích phaân I = ò f(x)dx.
a

Giaûi:
Ta thöïc hieän theo caùc böôùc sau:
Böôùc 1: Choïn x = j(t), trong ñoù j(t) laø haøm soá maø ta choïn cho thích hôïp, roài xaùc ñònh x =
y(x) (neáu coù theå).
Böôùc 2: Xaùc ñònh vi phaân dx = j’(t)dt
Böôùc 3: Tính caùc caän a vaø b töông öùng theo a vaø b
Böôùc 4: Bieåu thò f(x)dx theo t vaø dt. Giaû söû raèng f(x)dx = g(t)dt
b
Böôùc 5: Khi ñoù: I = ò g(t)dt.
a

Löu yù: Caùc daáu hieäu daãn tôùi vieäc löïa choïn aån phuï kieåu treân thoâng thöôøng laø:


Daáu hieäu Caùch choïn
Haøm coù maãu soá t laø maãu soá
Haøm f(x, j(x)) t = j(x)
a.sin x + b.cos x x x
Haøm f(x) = t = tg (vôùi cos ¹ 0)
c.sin x + d.cos x + e 2 2
· Vôùi x + a > 0 & x + b > 0, ñaët:
1 t = x+a+ x+b
Haøm f(x) =
(x + a)(x + b) · Vôùi x + a < 0 & x + b < 0, ñaët:
t = -x - a + -x - b

Trang 94
Traàn Só Tuøng Tích phaân

p/3
cos dx
Ví duï 4: Tính tích phaân : I = ò 2
p / 6 sin x - 5sin x + 6

Giaûi:
Ñaët x = sint, khi ñoù: dt = cosxdx
p 1 p 3
Ñoåi caän: vôùi x = Þt= ; x= Þt=
6 2 3 2
cosdx dt dt
Ta coù: 2
= 2 =
sin x - 5sin x + 6 t - 5t + 6 (t - 2)(t - 3)
æ A B ö [(A + B)t - 2A - 3B]dt
=ç + ÷ dt =
è t -3 t -2 ø (t - 2)(t - 3)
ìA + B = 0 ìA = 1
Töø ñoù: í Û í
î-2A - 3B = 1 î B = -1
cos xdx æ 1 1 ö
Suy ra: 2
=ç - ÷ dt.
sin x - 5sin x + 6 è t - 3 t - 2 ø
3/2 3/2
æ 1 1 ö t -3 3(6 - 3)
Khi ñoù: I = ò ç - ÷dt = ln
è t -3 t -2ø t -2 1/ 2
= ln
5(4 - 3)
1/ 2

7
x3dx
Ví duï 5: Tính tích phaân : I = ò 3
1 + x2
0

Giaûi:
3t 2dt
Ñaët t = 3 x 2 + 1 Þ t 3 = x 2 + 1, khi ñoù: 3t 2dt = 2xdx Þ dx = .
2x
Ñoåi caän: vôùi x = 0 Þ t = 1; x = 7 Þ t = 2.
3
x dx x 3 .3t 2 dt
Ta coù: = = 3t(t 3 - 1)dt = 3(t 4 - t)dt.
3
1 + x2 2xt
2
2
æ t5 t 2 ö 141
Khi ñoù: I = 3ò (t - t)dt = 3 ç - ÷
4
= .
1 è5 2ø 1 10
b
Baøi toaùn 3: Söû duïng phöông phaùp ñoåi bieán soá daïng 3 tính tích phaân I = ò f(x)dx.
a

Giaûi:
Döïa vaøo vieäc ñaùnh giaù caän cuûa tích phaân vaø tính chaát cuûa haøm soá döôùi daáu tích
phaân ta coù theå löïa choïn pheùp ñaët aån phuï, thoâng thöôøng:
a
· Vôùi I = ò f(x)dx = 0 coù theå löïa choïn vieäc ñaët x = –t
-a
p/2
p
· Vôùi I = ò f(x)dx coù theå löïa choïn vieäc ñaët t =
2
- x.
0


Trang 95
Tích phaân Traàn Só Tuøng

p
· Vôùi I = ò f(x)dx coù theå löïa choïn vieäc ñaët t = p – x
0
2p
· Vôùi I = ò f(x)dx coù theå löïa choïn vieäc ñaët t = 2p – x
0
b
· Vôùi I = ò f(x)dx coù theå löïa choïn vieäc ñaët x = a + b + t
a

Ghi chuù: Xem vaán ñeà 6
1
Ví duï 6: Tính tích phaân : I = ò x 2004 sin xdx
-1

Giaûi:
0 1
Vieát laïi I veà döôùi daïng: I = ò x 2004
sin xdx + ò x 2004 sin xdx. (1)
-1 0
0
Xeùt tích phaân J = ò x 2004 sin xdx.
-1

3t 2dt
Ñaët x = - t Þ dx = -dt khi ñoù: 3t 2dt = 2xdx Þ dx = .
2x
Ñoåi caän: x = –1 Þ t = 1; x=0Þt=0
0 1
Khi ñoù: I = - ò ( -t) 2004
sin(- t)dt = - ò x 2004 sin xdx.
1 0

Thay (2) vaøo (1) ta ñöôïc I = 0. (2)
p/2
cos 4 x
Ví duï 7: (ÑHGT Tp.HCM_99) Tính tích phaân : I = ò cos 4 x + sin 4 x
dx.
0

Giaûi:
p
Ñaët t = - x Þ dx = -dt
2
p p
Ñoåi caän: vôùi x = 0 Þ t = ; x = Þ t = 0.
2 2
p
0 cos 4 ( - t)(-dt) p/ 2 p/2
2 sin 4 tdt sin 4 x
Khi ñoù: I = ò = ò = ò dx.
p p
p / 2 cos 4 ( - t) + sin 4 ( - t)
4 4
0 cos t + sin t
4 4
0 cos x + sin x
2 2
p/2 p/2
cos 4 x + sin 4 x p p
Do ñoù: 2I = ò 4
cos x + sin x 4
dx = ò dx = Þ I = .
2 4
0 0




Trang 96
Traàn Só Tuøng Tích phaân

BAØI TAÄP
Baøi 6. Tính caùc tích phaân sau:
p
1 1 x dx 3 sin x.cos3 x
a/ ò x 5 (1 - x 3 )6 dx; b/ ò c/ ò x 5 1 - x 2 dx; d/ ò 2 dx
0 0 x + x2 + 1
4 0 0 1 + cos2 x
1 p 3 848 1 1
ÑS: a/ ; b/ c/ ; d/ - ln 2.
168 18 105 2 2
Baøi 7. Tính caùc tích phaân sau:
p
cos x.dx p
cos x
a/ ò0
6
6 - 5sin x + sin 2 x
; b/ ò0
2
7 + cos2x
dx;

cos x.dx
1 p
c/ ò-1 e x + 1 ; d/ ò0
x.sin x.cos2 xdx

10 p 2 p
ÑS: a/ ln ; b/ ; c/ sin1; d/ ;
9 12 3




Trang 97
Tích phaân Traàn Só Tuøng


Vaán ñeà 3: TÍNH TÍCH PHAÂN BAÈNG PHÖÔNG PHAÙP TÍCH PHAÂN TÖØNG PHAÀN

b b
b
Coâng thöùc: ò udv = uv a - ò vdu
a a

b
Baøi toaùn1: Söû duïng coâng thöùc tích phaân töøng phaàn xaùc ñònh I = ò f(x)dx.
a

PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI
Ta thöïc hieän theo caùc böôùc sau:
b b
Böôùc 1: Bieán ñoåi tích phaân ban ñaàu veà daïng: I = ò f(x)dx = ò f1 (x).f2 (x)dx.
a a

ì u = f1 (x) ìdu
Böôùc 2: Ñaët: í Þ í
îdv = f2 (x 2 )dx îv
b
b
Böôùc 3: Khi ñoù: I = uv a - ò vdu.
a

Chuùng ta caàn nhôù laïi caùc daïng cô baûn:
Daïng 1: I = ò P(x)sin axdx (hoaëc ò P(x) cos axdx) vôùi P laø moät ña thöùc thuoäc R[x] vaø
a Î R * khi ñoù ñaët u = P(x).
Daïng 2: I = ò eax cos(bx) (hoaëc ò eax sin(bx)) vôùi a, b ¹ 0 khi ñoù ñaët u = cos(bx) hoaëc u =
sin(bx)).
Daïng 3: I = ò P(x)eax dx (hoaëc I = ò P(x)eax dx) vôùi P laø moät ña thöùc thuoäc R[x] vaø a Î R *
khi ñoù ta ñaët u = P(x).
Daïng 4: I = ò x a .ln xdx, vôùi a Î R \ {-1} khi ñoù ñaët u = lnx.
p/2

ò (x
2
Ví duï 1: Tính tích phaân: I = + 1)sin xdx.
0

Giaûi:
ì u = (x 2 + 1) ìdu = 2xdx
Ñaët: í Û í
îdv = sin xdx îv = - cos x
p/ 2 p/2
p/ 2
2
Khi ñoù: I = - (x + 1) cos x 0 + 2 ò x cos xdx = 1 + 2 ò x cos xdx (1)
0 0
p/ 2
Xeùt tích phaân J = ò x cos xdx.
0




Trang 98
Traàn Só Tuøng Tích phaân

ìu = x ìdu = dx
Ñaët: í Û í
î dv = cos xdx îv = sin x
p/ 2
p/ 2 p p/ 2 p
Khi ñoù: J = x sin x 0 - ò sin xdx =
2
+ cos x 0 = - 1
2
(2)
0

æp ö
Thay (2) vaøo (1) ta ñöôïc: I = 1 + 2 ç - 1 ÷ = p - 1.
è2 ø
p
Ví duï 2: (Ñeà 37). Tính tích phaân: I = ò e2 x sin 2 xdx.
0

Giaûi:
p
1 p 2x
Bieán ñoåi I veà daïng: I = ò e2x sin 2 xdx =

e (1 - cos2x)dx (1)
0 0
p
p
1 e2 p 1
· Xeùt tích phaân: I1 = ò e dx = e2 x =
2x
- (2)
0 2 0 2 2
p
· Xeùt tích phaân: I 2 = ò e2 x cos2xdx
0


ì u = cos2x ìdu = -2sin 2xdx
ï
Ñaët: í 2x
Û í 1 2x
îdv = e dx ïv = 2 e
î
p
1 p
e2 p 1 p 2x
Khi ñoù: I 2 = e2x cos 2x + ò e2x sin 2xdx =
2 2 ò
- + e sin 2xdx (3)
2 0 0 0
p
· Xeùt tích phaân: I 2, 1 = ò e2x sin 2xdx
0

ìdu = 2 cos 2xdx
ì u = sin 2x ï
Ñaët: í 2x
Û í 1 2x
îdv = e dx ïv = 2 e
î
p p
1
Khi ñoù: I 2, 1 = e2x sin - ò e2x cos 2xdx = -I 2 . (4)
2 0
14 244
0 4 3
I2

e2 p 1 e2 p 1
Thay (4) vaøo (3), ta ñöôïc: I 2 = - - I2 Û I2 = - . (5)
2 2 4 4
1 e2 p 1 e2 p 1 1
Thay (2), (5) vaøo (1), ta ñöôïc: I = [ - -( - )] = (e2 p - 1).
2 2 2 4 4 8
2
ln(1 + x)
Ví duï 3: (ÑHHH Tp.HCM_2000) Tính tích phaân: I = ò dx.
1 x2


Trang 99
Tích phaân Traàn Só Tuøng

Giaûi:
ì 1
ì u = ln(1 + x) ï du = dx
ï ï 1+ x
Ñaët: í dx Û í
ï
î
dv = 2
x ïv = 1
ï
î x
2 2 2
1 1 1 æ1 1 ö
Khi ñoù: I = - ln(x + 1) + ò dx = - ln 3 + ln 2 + ò ç + ÷dx
x 1 1 x(x + 1) 2 1 è x 1+ x ø
2
1 3
= - ln 3 + ln 2 + (ln | x | - ln(x + 1)) = - ln 3 + 3ln 2.
2 1 2


BAØI TAÄP
Baøi 8. Tính caùc tích phaân sau:
p
1 e
a/ ò
0
2
ex .sin 3x dx; b/ ò (x + 1)2 e x dx;
0
c/ ò1
(x.ln x)2 dx;
p
1 e ln x
d/ ò x ln(x + 1)dx e/ ò cos x.ln(1 + cos x)dx; f/ ò1 (x + 1)2 dx.
2 2
0 0
e

3 - 2e x 5e2 - 1 7e3 - 1 1 p 2e
ÑS: a/ ; b/ ; c/ d/ ln 2 - ; e/ - 1; f/ .
13 4 27 2 2 e +1




Trang 100
Traàn Só Tuøng Tích phaân


Vaán ñeà 4: TÍNH TÍCH PHAÂN CAÙC HAØM CHÖÙA DAÁU TRÒ TUYEÄT ÑOÁI

b
Baøi toaùn: Tính tích phaân: I = ò f(x, m)dx.
a

PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI
Ta thöïc hieän theo caùc böôùc sau:
Böôùc 1: Xeùt daáu bieåu thöùc f(x, m) treân [a, b]
Töø ñoù phaân ñöôïc ñoaïn [a, b] thaønh caùc ñoaïn nhoû, giaû söû:
[a, b] = [a, c1 ] È [c1 , c2 ] È ... È [ck , b].
maø treân moãi ñoaïn f(x, m) coù moät daáu.
c1 c2 b
Böôùc 2: Khi ñoù: I = ò f(x, m) dx + ò f(x,m) dx + ... + ò f(x, m)dx.
a c1 ck

4
2
Ví duï 1: Tính tích phaân: I = òx - 3x + 2dx
-1

Giaûi:
Ta ñi xeùt daáu haøm soá f(x) = x 2 - 3x + 2 treân [–1, 4], ta ñöôïc:
x –1 1 2 4
f(x) + 0 – 0 +
1 2 4
Khi ñoù: I = ò (x 2 - 3x + 2)dx - ò (x 2 - 3x + 2)dx + ò (x 2 - 3x + 2)dx
-1 1 2
1 2 4
æ1 3 ö æ1 3 ö æ1 3 ö 19
= ç x 3 - x 2 + 2x ÷ - ç x 3 - x 2 + 2x ÷ + ç x 3 - x 2 + 2x ÷ = .
è3 2 ø -1 è 3 2 ø1 è 3 2 ø2 2
Chuù yù: Vôùi caùc baøi toaùn chöùa tham soá caàn chæ ra ñöôïc caùc tröôøng hôïp rieâng bieät cuûa tham
soá ñeå kheùo leùo chia ñöôïc khoaûng cho tích phaân, ta xeùt hai daïng thöôøng gaëp trong phaïm vi
phoå thoâng sau:
b
Daïng 1: Vôùi tích phaân: I = ò x - a dx.
a

PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI
Khi ñoù vôùi x Î [a, b] caàn xeùt caùc tröôøng hôïp:
Tröôøng hôïp 1: Neáu a ³ b thì:
b
b
æ x2 ö 1
I = ò (a - x)dx = ç ax - ÷ = (a - b)(a + b - 2a )
a è 2 øa 2
Tröôøng hôïp 2: Neáu a < a < b thì:


Trang 101
Tích phaân Traàn Só Tuøng

b a b
a
x2 x2
I = ò (a - x)dx + ò (x - a)dx = (ax - ) + ( - ax)
a a 2 a 2 a

1
= a 2 + (a + b)a + (a2 + b 2 ).
2
Tröôøng hôïp 3: Neáu a £ a thì:
b b
x2 1
I = ò (x - a )dx = ( - ax) = (a - b)(2a - a - b).
a 2 a 2
b
Daïng 2: Vôùi tích phaân: I = ò x 2 - ax + b dx.
a

PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI
Khi ñoù vôùi x Î [a, b] caàn xeùt caùc tröôøng hôïp:
b
Tröôøng hôïp 1: Neáu D = a 2 - 4b £ 0 thì: I = ò (x 2 + ax + b)dx
a
2
Tröôøng hôïp 2: Neáu D > 0 thì x + ax + b = 0 coù hai nghieäm phaân bieät x1 < x 2 .
b
· Neáu x1 < x 2 £ a hoaëc b £ x1 < x 2 thì: I = ò (x 2 + ax + b)dx.
a
b
· Neáu x1 £ a < b £ x 2 thì: I = ò (x 2 + ax + b)dx.
a
x2 b
· Neáu x1 £ a < x 2 < b thì: I = - ò (x + ax + b)dx + ò (x 2 + ax + b)dx.
2

a x2
x1 b
· Neáu a £ x1 < b £ x 2 thì: I = ò (x 2 + ax + b)dx - ò (x 2 + ax + b)dx.
a x1
x1 x2 b
· Neáu a £ x1 £ x2 £ b thì: I = ò (x + ax + b)dx - ò (x + ax + b)dx + ò (x2 + ax + b)dx.
2 2

a x1 x2

Chuù yù: Vôùi baøi toaùn cuï theå thöôøng thì caùc nghieäm x1, x2 coù theå ñöôïc so saùnh töï nhieân vôùi
caùc caän a, b ñeå giaûm bôùt caùc tröôøng hôïp caàn xeùt vaø ñaây laø ñieàu caùc em hoïc sinh caàn löu
taâm.
1
Ví duï 2: (ÑHYD TP.HCM_96) Tính tích phaân: I = ò x. x - a dx (a > 0)
0

Giaûi:
Ta ñi xeùt caùc tröôøng hôïp sau:
Tröôøng hôïp 1: Neáu a ³ 1
1
1 1
2 æ x 3 ax 2 ö a 1
Khi ñoù: I = - ò x.(x - a)dx = - ò (x - ax)dx = - ç - ÷ = - .
0 0 è 3 2 ø0 2 3
Tröôøng hôïp 2: Neáu 0 < a < 1



Trang 102
Traàn Só Tuøng Tích phaân

a 1 a 1
Khi ñoù: I = - ò x.(x - a)dx + ò x.(x - a)dx = - ò (x 2 - ax)dx + ò (x 2 - ax)dx
0 a 0 0
a 1
æ x 3 ax 2 ö æ x 3 ax 2 ö a3 a 1
= -ç - ÷ +ç - ÷ = - + .
è 3 2 ø0 è 3 2 øa 3 2 3

BAØI TAÄP
Baøi 9. Tính caùc tích phaân sau:
5 1 1 | x | dx
a/ ò (| x + 2 | - | x - 2 | dx; b/ ò (| 2x - 1 | -(x |2 )dx; c/ ò ;
-3 -1 -1 x - x 2 - 12
4

4 1 1
d/ ò1
x 2 - 6x + 9dx; e/ ò-1 4 - | x | .dx; f/ ò-1 | x | -xdx
3 x 3
g/ ò0 | 2 - 4 | dx; h/ ò0 x 3 - 2x 2 + xdx.
3 2 3 5
ÑS: a/ 8; b/ c/ ln ; d/ ;
2 7 4 2
2 2 1 24 3 + 8
e/ 2(5 - 3); f/ ; g/ 4 + ; h/ .
3 ln 2 15
Baøi 10. Tính caùc tích phaân sau:
p
p
a/ ò-
2
p
2
| sin x | dx; b/ ò0
2 + 2 cos2xdx
p 2p
c/ ò0
1 - sin 2xdx; d/ ò0
1 + sin x.dx.
ÑS: a/ 2; b/ 4; c/ 2 2; d/ 4 2.
1
Baøi 11. Cho I(t) = ò | ex - t | .dx, t Î R
0
a/ Tính I(t).
b/ Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa I(t), vôùi t Î R.
ìt + 1 - e, t ³ e
ï
ÑS: a/ í2t.ln t - 3t + e + 1, 1 < t < e b/ min I(t) = ( 3 - 1)2 , t = e.
ïe - t - 1, t £ 1
î
Baøi 12. Tính caùc tích phaân sau:
1 2 2
a/ ò0 | x - m | dx; b/ ò1 | x - (a + 1)x + a | dx.
ì 3a - 5
ï 6 ,a ³ 2
ì1 ï
ï 2 - m, m £ 0
ï ï (a - 1)3 3a - 5
ÑS: a/ í b/ í - ,1< a < 2
ïm 2 - m + 1 , 0 < m £ 1. ï 3 6
ï
î 2 ï 5 - 3a
ï , a£1
î 6




Trang 103
Tích phaân Traàn Só Tuøng

b b
Vaán ñeà 5: CAÙCH TÍNH: òa max[f(x), g(x)]dx, òa min[f(x), g(x)]dx.
Phöông phaùp:
· Ta tìm max[f(x), g(x)], min[f(x), g(x) baèng caùch xeùt hieäu:
f(x) - g(x) treân ñoaïn [a ; b]
· Giaû söû ta coù baûng xeùt daáu:
x a c b
f(x) – g(x) + 0 –
Töø baûng xeùt daáu ta coù:
– vôùi x Î [a; c] thì max[f(x), g(x)] = f(x)
– vôùi x Î [c; b] thì max[f(x),g(x)] = g(x).
b c b
· Töø ñoù: òa max[f(x),g(x)dx = òa [f(x),g(x)]dx + òc max[f(x), g(x)]dx
c b
= ò f(x).dx + ò g(x).dx
a c
· Caùch tìm min[f(x), g(x)] thöïc hieän töông töï.
2
Ví duï: Tính tích phaân: I = ò max[f(x), g(x)]dx, trong ñoù f(x) = x 2 vaø g(x) = 3x - 2.
0

Giaûi:
2
Xeùt hieäu: f(x) - g(x) = x - 3x + 2 treân ñoaïn [0 ; 2] :
x 0 1 2
f(x) – g(x) 0 + 0 –
Do ñoù:
– Vôùi x Î [0; 1] thì max[f(x); g(x)] = x 2
– Vôùi x Î [1; 2] thì max[f(x); g(x)] = 3x - 2
1 2
Ta coù: I = ò max[f(x); g(x)]dx + ò max[f(x); g(x)]dx
0 1
1 2
1 2 x3 æ3 ö
= ò x dx + ò (3x - 2)dx =
2
+ ç x 2 - 2x ÷
0 1 3 0 è2 ø1
1 3 17
= +6-4- +2 = .
3 2 6
BAØI TAÄP
Baøi 13. Tính caùc tích phaân sau:
2 2
a/ ò0 max(x; x 2 )dx; b/ ò1 min(1; x
2
)dx;
p
2 3
c/ ò0 min(x; x )dx; d/ ò0
2 (sin x, cos x)dx.
55 4 7
ÑS: a/ ; b/ ; c/ ; d/ 2 - 2.
6 3 4



Trang 104
Traàn Só Tuøng Tích phaân


Vaán ñeà 6: LÔÙP CAÙC TÍCH PHAÂN ÑAËC BIEÄT

Trong vaán ñeà naøy ta ñi chöùng minh roài aùp duïng moät soá tính chaát cho nhöõng lôùp tích
phaân ñaëc bieät.

a
Tính chaát 1: Neáu f(x) lieân tuïc vaø laø haøm leû treân [–a ; a] thì: I = ò f(x)dx = 0.
-a

PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI
a 0 a
Bieán ñoåi I veà daïng: I = ò f(x)dx = ò f(x)dx + ò f(x)dx (1)
-a -a 0
0
Xeùt tính phaân J = ò f(x)dx.
-a

Ñaët x = - t Þ dx = -dt
Ñoåi caän: x = –a Þ t = a; x = 0 Þ t = 0
Maët khaùc vì f(x) laø haøm leû Þ f(–t) = –f(t).
0 a a
Khi ñoù: J = - ò f(-t)dt = - ò f(t)dt = - ò f(x)dx.
a 0 0

Thay (2) vaøo (1) ta ñöôïc I = 0 (ñpcm).
AÙp duïng:
1/ 2
æ1- x ö
Ví duï 1: Tính tích phaân: I = ò cos x.ln ç ÷ dx.
è 1+ x ø
-1/ 2

Giaûi:
æ1- x ö
Nhaän xeùt raèng: haøm soá f(x) = cos x.ln ç ÷ coù:
è1+ x ø
é 1 1ù
· Lieân tuïc treân ê - ; ú
ë 2 2û
æ 1- x ö æ1- x ö
· f(x) + f(-x) = cos x.ln ç ÷ + cos( -x).ln ç ÷
è1+ x ø è1+ x ø
é æ1- x ö æ 1 + x öù
= ê ln ç ÷ + ln ç ÷ cos x = ln1.cos x = 0.
ë è1+ x ø è 1 - x øú
û
Þ f(- x) = - f(x).
é 1 1ù
Vaäy, f(x) laø haøm leû treân ê - ; ú , do ñoù theo tính chaát 1 ta ñöôïc I = 0.
ë 2 2û
Chuù yù quan troïng:
1. Khi gaëp daïng tích phaân treân thoâng thöôøng hoïc sinh nghó ngay tôùi phöông phaùp tích

Trang 105
Tích phaân Traàn Só Tuøng

phaân töøng phaàn, xong ñoù laïi khoâng phaûi yù kieán hay. Ñieàu ñoù cho thaáy vieäc nhìn nhaän
tính chaát caän vaø ñaëc tính cuûa haøm soá döôùi daáu tích phaân ñeå töø ñoù ñònh höôùng vieäc löïa
choïn phöông phaùp giaûi raát quan troïng.
2. Tuy nhieân vôùi moät baøi thi thì vì tính chaát 1 khoâng ñöôïc trình baøy trong phaïm vi kieán
thöùc cuûa saùch giaùo khoa do ñoù caùc em hoïc sinh leân trình baøy nhö sau:
0 1/ 2
æ1- x ö æ1- x ö
I = ò cos x.ln ç ÷ dx + ò cos x.ln ç ÷ dx . (1)
-1/ 2 è 1+ x ø 0 è1+ x ø
0
æ1- x ö
Xeùt tính chaát J = ò cos x.ln ç ÷ dx
è1+ x ø
-1/ 2

Ñaët x = - t Þ dx = -dt
1 1
Ñoåi caän: x = - Þ t = . x = 0 Þ t = 0.
2 2
Khi ñoù:
0 1/ 2 1/ 2
æ1+ t ö æ1- t ö æ1- x ö
I = - ò cos(- t).ln ç ÷ dt = - ò cos t.ln ç ÷dt = - ò cos x.ln ç ÷ dx (2)
1/ 2 è1- t ø 0 è1+ t ø 0 è1+ x ø
Thay (2) vaøo (1) ta ñöôïc I = 0.
3. Vaäy keå töø ñaây trôû ñi chuùng ta seõ ñi aùp duïng yù töôûng trong phöông phaùp chöùng minh
tính chaát ñeå giaûi ví duï trong muïc aùp duïng.

Tính chaát 2: Neáu f(x) lieân tuïc vaø laø haøm chaün treân ñoaïn [–a ; a] thì:
a a
I= ò f(x)dx = 2 ò f(x)dx.
-a 0

PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI
a 0 a
Bieán ñoåi I veà daïng: I = ò f(x)dx = ò f(x)dx + ò f(x)dx (1)
-a -a 0
0
Xeùt tính phaân J = ò f(x)dx.
-a

Ñaët x = - t Þ dx = -dt
Ñoåi caän: x = –a Þ t = a; x=0Þt=0
Maët khaùc vì f(x) laø haøm chaün Þ f(–t) = f(t)
0 a a a
Khi ñoù: J = - ò f( -t)dt = ò f(t)dt = ò f(t)dt = ò f(x)dx (2)
a 0 0 0
a
Thay (2) vaøo (1) ta ñöôïc I = 2 ò f(x)dx ñpcm.
0

Chuù yù quan troïng:
1. Trong phaïm vi phoå thoâng tính chaát treân khoâng mang nhieàu yù nghóa öùng duïng, do ñoù
a
khi gaëp caùc baøi toaùn kieåu naøy chuùng ta toát nhaát cöù xaùc ñònh: I = ò f(x)dx
-a




Trang 106
Traàn Só Tuøng Tích phaân

1
baèng caùch thoâng thöôøng, thí duï vôùi tích phaân: I = ò x 2dx.
-1

1 1
2x 3 2
Ta khoâng neân söû duïng pheùp bieán ñoåi: I = 2 ò x dx = 2
= .
0 3 0 3
bôûi khi ñoù ta nhaát thieát caàn ñi chöùng minh laïi tính chaát 2, ñieàu naøy khieán baøi toaùn trôû
1
x3 2
neân coàng keành hôn nhieàu so vôùi caùch laøm thoâng thöôøng, cuï theå: I = = .
3 -1 3
2. Tuy nhieân khoâng theå phuû nhaän söï tieän lôïi cuûa noù trong moät vaøi tröôøng hôïp raát ñaëc
bieät.
Tính chaát 3: Neáu f(x) lieân tuïc vaø laø chaün treân R thì :
a
f(x)dx a
I= ò ax + 1 = ò f(x)dx vôùi "a Î R vaø a > 0.
+

-a 0

PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI
f(x)dx 0 f(x)dx a f(x)dx
a
Bieán ñoåi I veà daïng: I = ò x = ò x +ò x
-a a + 1 -a a + 1 0 a +1
0
f(x)dx
Xeùt tính phaân I1 = òx
-a a + 1

Ñaët x = - t Þ dx = -dt
Ñoåi caän: x = 0 Þ t = 0; x = –a Þ t = a.
Maët khaùc vì f(x) laø haøm chaün Þ f)–t) = f(t).
0
f(- t)dt a a t f(t)dt a at f(t)dt
Khi ñoù: I1 = ò
a- t + 1 ò a t + 1
= =ò t
a 0 0 a +1
a
a t f(t)dt a f(x)dx a (a x + 1)f(x)dx a
Vaäy: I = ò =ò x
a +1 ò
= = ò f(x)dx.
0 at + 1 0 0 ax + 1 0

AÙp duïng:
1
x 4 dx
Ví duï 2: Tính tích phaân: I = ò x
-1 2 + 1

Giaûi:
0
x 4dx 1 x 4dx
Bieán ñoåi I veà daïng: I = ò x +ò x (1)
-1 2 + 1 0 2 +1
0
x 4 dx
Xeùt tích phaân J = ò x
-1 2 + 1

Ñaët x = –t Þ dx = –dt
Ñoåi caän: x = –1 Þ t = 1, x = 0 Þ t = 0.

Trang 107
Tích phaân Traàn Só Tuøng

0
( -t)4 dt 1 t 4 .2 t.dt 1 x 4 .2 x.dx
Khi ñoù: J = - ò
2- t + 1 ò 2 t + 1 ò 2x + 1
= = (2)
1 0 0
1
x 4 .2 x.dx 1 x 4dx 1 x 4 (2 x + 1)dx 1 4 1
Thay (2) vaøo (1) ta ñöôïc: I = ò x
+ò x =ò x
= ò x dx = .
0 2 +1 0 2 +1 0 2 +1 0 5

p/ 2 p/2
é pù
Tính chaát 4: Neáu f(x) lieân tuïc treân ê 0; ú thì: ò f(sin x)dx = ò f(cos x)dx.
ë 2û 0 0

CHÖÙNG MINH
p
Ñaët t = - x Þ dx = -dt
2
p p
Ñoåi caän: x = 0 Þ t = , x = Þ t = 0.
2 2
p/ 2 0 p/2 p/2
p
Khi ñoù: ò f(sin x)dx = - ò f(sin( - t)dt = ò f(cos t)dt = ò f(cos x)dx ñpcm.
2
0 p/ 2 0 0

Chuù yù quan troïng:
Nhö vaäy vieäc aùp duïng tính chaát 4 ñeå tính tích phaân:
p/2 p/2
I= ò f(sin x)dx (hoaëc I = ò f(cos x)dx).
0 0

thöôøng ñöôïc thöïc hieän theo caùc böôùc sau:
p
Böôùc 1: Baèng pheùp ñoåi bieán t = - x nhö trong phaàn chöùng minh tính chaát,
2
p/2
ta thu ñöôïc I = ò f(cos x)dx.
0
p/ 2 p/ 2
Böôùc 2: Ñi xaùc ñònh kI (noù ñöôïc phaân tích kI = a ò f(sin x)dx + b ò f(cos x)dx)),
0 0
p/2 p/ 2 p/ 2
thöôøng laø: 2I = ò f(sin x)dx + ò f(cos x)dx = ò [f(sin x) + f(cos x)]dx .
0 0 0

Töø ñoù suy ra giaù trò cuûa I.
AÙp duïng:
p/2
cosn xdx
Ví duï 3: Tính tích phaân: I = ò cos n x + sin n x
0

Giaûi:
p
Ñaët t = - x Þ dx = -dt
2
p p
Ñoåi caän: x=0Þ t= , x= Þ t = 0.
2 2

Trang 108
Traàn Só Tuøng Tích phaân

æp ö
0 cosn ç - t ÷ ( -dt) p/ 2 p/ 2
è2 ø sin n tdt sin n x
Khi ñoù: I = ò
ö ò cosn t + sin n t ò cosn x + sin n x
= = dx.
p / 2 cos n æ
p ö næp
ç - t ÷ + sin ç - t ÷ 0 0
è2 ø è2 ø
p/2 p/2
cos n x + sin n x p p
Do ñoù: 2I = ò cos n x + sin n x
dx = ò dx = Þ I = .
2 4
0 0

b
a+b b
Tính chaát 5: Neáu f(x) lieân tuïc vaø f(a + b – x) = f(x) thì I = ò xf(x)dx =
2 ò
f(x)dx.
a a

CHÖÙNG MINH
Ñaët x = a + b - t Þ dx = -dt
Ñoåi caän: x = a Þ t = b; x=bÞt=a
a b
Khi ñoù: I = ò (a + b - t)f(a + b - t)( -dt) - ò (a + b - t)f(t)dt
b a

b b b b b
= ò (a + b)f(t)dt - ò tf(t)dt = (a + b) ò f(t)dt - ò xf(x)dx = (a + b)ò f(t)dt - I
a a a a a
b
a+ b b
Û 2I = (a + b)ò f(t)dt Û I =
2 ò
f(x)dx.
a a
p-a
p p-a
Heä quaû 1: Neáu f(x) lieân tuïc treân [0 ; 1] thì: I = ò xf(sin x)dx =
2 aò f(sinx)dx
a

Höôùng daãn chöùng minh: Ñaët x = p – t Þ dx = –dt.
AÙp duïng:
p
x sin xdx
Ví duï 4: Tính tích phaân: I = ò 2
.
0 4 - cos x

Giaûi:
p p
x sin xdx x sin xdx p
Bieán ñoåi I veà daïng: I = ò
4 - (1 - sin 2 x) 0 3 + sin 2 x ò
=ò = xf(sin x)dx.
0 0

Ñaët x = p - t Þ dx = -dt
Ñoåi caän: x = p Þ t = 0; x = 0 Þ t = p.
0
(p - t)sin(p - t)dt p (p - t)sin tdt p p sin tdt p t sin tdt
Khi ñoù: I = - ò =ò =ò -ò
p 4 - cos2 ( p - t) 0 4 - cos2 t 2
0 4 - cos t
2
0 4 - cos t
p p p
d(cos t) d(cos t) d(cos t)
= -pò 2
- I Û 2I = -p ò 2
= pò 2
0 4 - cos t 0 4 - cos t 0 cos t - 4
p
p p d(cos t) p 1 cos t - 2 p ln 9
ÛI= ò 2
= . ln = .
2 0 cos t - 4 2 4 cos t + 2 0 8



Trang 109
Tích phaân Traàn Só Tuøng

2 p-a 2 p-a
Heä quaû 2: Neáu f(x) lieân tuïc treân [0 ; 1] thì: I = ò xf(cos x)dx = p ò f(cos x)dx.
a a

Höôùng daãn chöùng minh: Ñaët x = 2p – t Þ dx = –dt.
AÙp duïng:
2p

ò x.cos
3
Ví duï 5: Tính tích phaân: I = xdx
0

Giaûi:
Ñaët x = 2 p - t Þ dx = -dt
Ñoåi caän: x = 2p Þ t = 0; x = 0 Þ t = 2p.
0 2p

ò (2p - t).cos (2p - t)(-dt) = ò (2p - t).cos
3 3
Khi ñoù: I = tdt
2p 0
2p 2p
p 2p
= 2 p ò cos tdt - ò t cos tdt = ò (cos3t + 3cos t)dt - I
3 3

0 0 2 0
2p
pæ1 ö
Û 2I = ç sin 3t + 3sin t ÷ = 0 Û I = 0.
2è3 ø0
b
Tính chaát 6: Neáu f(x) lieân tuïc vaø f(a + b – x) = –f(x) thì I = ò f(x)dx = 0.
a

CHÖÙNG MINH
Ñaët x = a + b - t Þ dx = -dt
Ñoåi caän: x = a Þ t = b; x=bÞt=a
a b b
Khi ñoù: I = ò f(a + b - t)( -dt) = - ò f(t)dt = - ò f(x)dx = -I Û 2I = 0 Û I = 0.
b a a

AÙp duïng:
p/2
æ 1 + sin x ö
Ví duï 6: (CÑSPKT_2000) Tính tích phaân: I = ò ln ç ÷ dx.
è 1 + cos x ø
0

Giaûi:
p
Ñaët t = - x Þ dx = -dt
2
p p
Ñoåi caän: x=0Þt= , x = Þ t = 0.
2 2
æ æp öö
0 ç 1 + sin è 2 - t ÷ ÷
ç p p/ 2
ø ÷ ( -dt) = ln æ 1 + cos t ö dt = - ln æ 1 + sin t ö dt
Khi ñoù: I = ò ln ç ò ç 1 + sin t ÷ ò ç 1 + cos t ÷
p/2 ç 1 + cos æ p - t ö ÷
ç ÷÷ 0 è ø 0 è ø
ç
è è2 øø
p/ 2
æ 1 + sin x ö
=- ò ln ç ÷ dx = -I Û 2I = 0 Û I = 0.
è 1 + cos x ø
0



Trang 110
Traàn Só Tuøng Tích phaân

Chuù yù: Neáu ta phaùt bieåu laïi tính chaát 6 döôùi daïng:
b a
“Giaû söû f(x) leân tuïc treân [a ; b], khi ñoù: ò f(x)dx = ò f(a + b - x)dx"
a b

Ñieàu ñoù seõ giuùp chuùng ta coù ñöôïc moät phöông phaùp ñoåi bieán môùi, cuï theå ta xeùt
ví duï sau:
p/ 4
Ví duï 7: Tính tích phaân: I = ò ln(1 + tgx)dx.
0

Giaûi:
p
Ñaët t = - x Þ dx = -dt
4
p p
Ñoåi caän: x=0Þt= , x= Þt=0
4 4
0 p/ 4 p/ 4
p 1 - tgt 2
Khi ñoù: I = - ò ln[1 + tg( - t)dt = ò ln(1 + )dt = ò ln dt
p/ 4 4 0 1 + tgt 0 1 + tgt
p/ 4 p/ 4 p/ 4
p/ 4
= ò [ln 2 - ln(1 + tgt)]dt = ln 2 ò dt - ò ln(1 + tgt)dt = ln 2.t 0 - I
0 0 0

p ln 2 p ln 2
Û 2I = ÛI= .
4 8
Tính chaát 7: Neáu f(x) lieân tuïc treân ñoaïn [0 ; 2a] vôùi a > 0 thì
2a a

ò f(x)dx = ò [f(x) + f(2a - x)]dx.
a 0

CHÖÙNG MINH
2a a 2a
Ta coù: ò f(x)dx = ò f(x0dx + ò f(x)dx (1)
a 0 a
2a
Xeùt tích phaân I 2 = ò f(x)dx.
a

Ñaët x = 2a - t Þ dx = -dt
Ñoåi caän: x = a Þ t = a; x = 2a Þ t = 0.
0 a a
Khi ñoù: I 2 = - ò f(2a - t)dt = ò f(2a - t)dt = ò f(2a - x)dx (2)
a 0 0

Thay (2) vaøo (1) , ta ñöôïc:
2a a a a

ò f(x)dx = ò f(x)dx + ò f(2a - x)dx = ò [f(x) + f(2a - x)]dx . (ñpcm)
a 0 0 0

AÙp duïng:
3p
Ví duï 8: Tính tích phaân: I = ò sin x.sin 2x.sin 3x.cos5xdx.
0



Trang 111
Tích phaân Traàn Só Tuøng

Giaûi:
Vieát laïi I döôùi daïng:
3p / 2 3p
I= ò sin x.sin 2x.sin 3x.cos5xdx + ò sin x.sin 2x.sin 3x.cos5xdx. (1)
0 3p / 2
3p
Xeùt tích phaân J = ò sin x.sin 2x.sin 3x.cos5xdx.
3p / 2

Ñaët x = 3p - t Þ dx = -dt
3p 3p
Ñoåi caän: x= Þt= , x = 3p Þ t = 0.
2 2
0
Khi ñoù: J = - ò sin(3p - t).sin 2(3p - t).sin 3(3p - t).cos5(3p - t)dt
3p / 2
3p / 2 3p / 2
=- ò sin t.sin 2t.sin 3t.cos5tdt = - ò sin x.sin 2x.sin 3x.cos 5xdx. (2)
0 0

Thay (2) vaøo (1), ta ñöôïc: I = 0.
a+T T
Tính chaát 8: Neáu f(x) lieân tuïc treân R vaø tuaàn hoaøn vôùi chu kyø T thì : ò f(x)dx = ò f(x)dx.
a 0

CHÖÙNG MINH
T a a+ T T
Ta coù: ò f(x)dx = ò f(x)dx + ò f(x)dx + ò f(x)dx (1)
0 0 a a+ T
T
Xeùt tích phaân I3 = ò f(x)dx.
a+ T

Ñaët t = x - T Þ dx = dt
Ñoåi caän: x = a + T Þ t = a; x = T Þ t = 0.
0 a a
Khi ñoù: I3 = ò f(t + T)dt = - ò f(t)dt = - ò f(x)dx. (2)
a 0 0
T a+ T
Thay (2) vaøo (1) , ta ñöôïc: ò f(x)dx = ò f(x)dx. (ñpcm)
0 a

AÙp duïng:
2004 p
Ví duï 8: Tính tích phaân: I = ò 1 - cos2xdx.
0

Giaûi:
Vieát laïi I döôùi daïng:
2004 p 2p 4p 2004 p
I= 2 ò sin x dx = 2( ò sin x dx + ò sin x dx + ... + ò sin x dx) (1)
0 0 2p 2002 p

Theo tính chaát 8, ta ñöôïc:


Trang 112
Traàn Só Tuøng Tích phaân

2p 4p p 2p

ò sin x dx = ò sin x dx = 1002( ò sin xdx - ò sin xdx)
0 2p 0 p
p 2p
= 1002 2(cos x + cos x 0 p ) = 4008 2.
Nhaän xeùt: Nhö vaäy neáu baøi thi yeâu caàu tính tích phaân daïng treân thì caùc em hoïc sinh nhaát
thieát phaûi phaùt bieåu vaø chöùng minh ñöôïc tính chaát 8, töø ñoù aùp duïng cho tích phaân caàn tìm.
BAØI TAÄP
Baøi 14. Tính caùc tích phaân sau:
p
1 1 - x2 x + cos x p sin 2 x
p
a/ ò dx; b/ ò 2
p dx; c/ ò x.sin 3 x.dx; d/ ò dx;
1- 1 + 2x -
2
2
4 - sin x 0 -p 3x + 1

p
x 2 | sin 2 x | x 4 + sin x
1 1 2
e/ ò 2
p dx; f/ ò dx; g/ ò (ex .sin x + e2 .x 2 )dx;
-
2
1 + 2x -1 x 2 + 1 -1


1 1 dx p
sin 7 x
h/ ò ln 3 (x + x 2 + 1) dx; i/ ò ; k/ ò 2 7 dx.
-1 -1 (e x + 1)(x 2 + 1) 0 sin x + cos 7 x

p 1 3p p
ÑS: a/ ; b/ ln 9; c/ ; d/ ; e/ p + 2;
4 2 4 2
p 4 2 p p
f/ - ; g/ e2 ; h/ 0; i/ ; k/ .
2 3 3 4 4
Baøi 15. Cho lieân tuïc treân R vaø thoaû maõn: f(x) + f(- x) = 2 - 2 cos 2x , "x ÎR
3p
Tính tích phaân I = ò 2 p f(x)dx.
3 ÑS: 6.
-
2

tga x.dx cot g a dx
Baøi 16. Chöùng minh raèng: ò 1
e
2
+ ò1
x +1 e x(x 2 + 1)
= 1, (tga > 0) .

æ1ö
Baøi 17. Cho haøm soá f(x) lieân tuïc treân ñoaïn [0; + ¥) thoûa maõn f(t) = f ç ÷ , vôùi "t > 0 vaø
ètø
haøm soá.
ì p
ïf(tgx) , neáu 0 £ x £ 2
ï
g(x) = í
ïf(0) , neáu x = p
ï
î 2
Chöùng minh raèng:
p p
é pù
a/ g(x) lieân tuïc treân ê 0; ú ;
ë 2û
b/ ò
0
4 g(x).dx = ò g(x).dx.
2
p
4




Trang 113
Tích phaân Traàn Só Tuøng


Vaán ñeà 7: TÍCH PHAÂN CAÙC HAØM SOÁ HÖÕU TÆ
(xem laïi vaán ñeà 7 cuûa baøi hoïc 1)


BAØI TAÄP
Baøi 18. Tính caùc tích phaân sau:
3 x4 - 1 1x.dx 5 (2x 2 + 18)dx 9
5 2 x .dx
a/ ò dx; b/ ò ; c/ ò ; d/ ò ;
0 x2 + 9 -1 (x + 2)2 1 (x 2 - 6x + 13)2 0 (x 5 + 1)3
4 2 x15 .dx 1 1
e/ ò ; f/ ò (1 + x)n dx; g/ ò x(1 - x 2 )n dx;
0 0 0
4
(x8 + 1)2
20 p 4 11p 7 2
ÑS: a/ - 18; b/ ln 3 - ; c/ + ; d/ ;
3 3 8 4 45
35 5 25 2 n +1 - 1 1
e/ . 125 + ; f/ ; g/ .
192 192 n +1 2(n + 1)
Baøi 19. Tính caùc tích phaân sau:
1
2 x 3 .dx x 3 .dx 2 dx
a/ ò1 x8 + 1
; b/ ò
0
2
x 2 - 3x + 2
; c/ ò
0 x(x 4 + 1)
;

2
tga x.dx cot ga dx b (a - x )dx
d/ ò1 + ò1 , (tga > 0) e/ ò , (a, b > 0);
e 1 + x2 e x(1 + x 2 ) 0 (a + x 2 )2

2+ 6 1+ 5
x2 + 1 (x 2 + 1)dx
f/ ò 2 dx; g/ ò 2 .
1 x4 + 1 1 x4 - x2 + 1
p 1 21 3 7 1 32
ÑS: a/ ; b/ ln + ln ; c/ ln ; d/ 1;
16 4 2 4 2 4 17
b p p
e/ ; f/ ; g/ .
a + b2 8 4




Trang 114
Traàn Só Tuøng Tích phaân


Vaán ñeà 8: TÍCH PHAÂN CAÙC HAØM LÖÔÏNG GIAÙC
(xem laïi vaán ñeà 8 cuûa baøi hoïc 1)


BAØI TAÄP
Baøi 20. Tính caùc tích phaân sau:
p
p
cos2x.dx p
4 sin 3 x.dx dx
a/ ò0
8
sin 2x + cos2x
; b/ ò 4
0 1 + cos4 x
; c/ ò 4
0 sin x + 2sin x cosx - 8cos2 x
2
;

p
p
sin x.dx sin 6 x + cos6 x p
cos2x.dx
d/ ò0
4
sin x + cos6 x
6
; e/ ò
-
4
p
6x + 1
dx; f/ ò
0
4
(sin x + cos x + 2)3
;
4
p p
sin x + 7 cos x + 6 sin x.cos x dx
g/ ò0
2
4sin x + 3 cos x + 5
dx; h/ ò
0
2

a .cos2 x + b 2 .sin 2 x
2
dx (a, b ¹ 0)

p 1 3+2 2 1 2 2
ÑS: a/ + ln 2; b/ 2 ln ; c/ ln ; d/ ln 4;
16 8 2 6 5 3
5p 8 5+8 2 p 9 1 1
e/ ; f/ - ; g/ + ln + ; h/ .
32 27 (2 + 2 )2 2 8 6 |b|+|a|
Baøi 21. Tính caùc tích phaân sau:
p
cot g. 3 sin3 x - sin x.dx
p
cis3 x.dx p
cos x - sin x
a/ ò2
p ; b/ ò 4 dx; c/ ò2
p ;
6 sin x 0
2 + sin 2x 3
sin3 x
p
p x.sin x.dx p
d/ ò0 x.sin x.cos3 x.dx; e/ ò 3p ; f/ ò x - cos4 x.sin3 x.dx.
-
3
cos2 x 0


æ 3+ 2ö 3
9
ÑS: a/ ln( 2 + 1); b/ ln ç ÷; c/ - ;
è 2 +1 ø 24
p 4p 4p
d/ ; e/ - 2 ln(2 + 3); f/ .
3 3 35
sin 2x
Baøi 22. Tìm hai soá A, B ñeå haøm soá f(x) = coù theå bieåu dieãn döôùi daïng:
(2 + sin x)2
A.cos x B.cos x
f(x) = + .
(2 + sin)2 2 + sin x
0
Töø ñoù tính: ò -
p f(x).dx.
2

ÑS: A = –4; B = 2; ln4 – 2.
Baøi 23. Tính caùc tích phaân sau:
p
p
p2 x.dx
a/ ò 2 2
x .cos x.dx; b/ ò p2 cos ( x ).dx; c/ ò
2 3
p ;
0
4 4
sin2 x

Trang 115
Tích phaân Traàn Só Tuøng

p3
p
2x x
d/ ò 4 2
x.tg x.dx; e/ ò sin 3 x.dx;
8 f/ ò x 2 .sin .dx;
0 0 0 2
p2 3p2 1 p(9 - 4 3)
ÑS: a/ - 2; b/ + ; c/ ;
4 8 2 36
p 1 p2
d/ - ln 2 - ; e/ 3p - 6; f/ -8(p2 + 4).
4 2 32
Baøi 24. Tính caùc tích phaân sau:
p p
a/ ò0 sin
n-1
x.cos(n + 1).dx, (n Î N, n ³ 1); b/ ò cosn -1 x.sin(n - 1)x.dx;
0
p p
2 cosn
c/ ò0
x.sin(n + 1)x.dx; d/ ò cos n x.sin(n + 2)x.dx.
0
2


1
ÑS: a/ 0; b/ 0; c/ 0; d/ .
n +1
Baøi 25. Tính caùc tích phaân sau:
p p
cosn x.dx
a/ I = ò ( cos x - sin x )dx;
2 b/ I = ò 2 ;
0 0 cosn x + sin n x
p
5cosx - 4sinx p
3sin x + 4 cos x
c/ I = ò 2 ; d/ I = ò 2 dx.
0 (cosx + sin x)3 0 3sin 2 x + 4 cos2 x
p 1 p
ÑS: a/ 0; b/ ; c/ ; d/ + ln 3.
4 2 2 3
p
sin 2 x.dx p
cos2 x.dx
Baøi 26. Ñaët: I = ò 6 vaø J = ò 6 .
0
sin x + 3 cos x 0
sin x + 3.cos x
a/ Tính: I – 3J vaø I + J.
5p
cos2x.dx
b/ Töø caùc keát quaû treân haõy tính caùc giaù trò cuûa I, J vaø K : K = ò 3
3p .
2 cos x - 3 sin x
1 1 3 -1
ÑS: a/ I - 3J = 1 - 3; I + J = ln 3; b/ K = ln 3 - .
4 8 2
p p
Baøi 27.a/ Chöùng minh raèng: ò
0
2 cos6 x.cos6x.dx = ò02 cos5 x.sin x si n6x.dx
p
b/ Tính: J = ò 2 cos5 x.cos7 x.dx.
0

ÑS: b/ J = 0.




Trang 116
Traàn Só Tuøng Tích phaân


Vaán ñeà 9: TÍCH PHAÂN CAÙC HAØM SOÁ VOÂ TÆ
(xem laïi vaán ñeà 9 cuûa baøi hoïc 1)


BAØI TAÄP
Baøi 28. Tính caùc tích phaân sau:
3 æ x -1 ö dx 6 x - 4 dx 1 x
a/ ò2 3 ç x + 1 ÷ . (x - 1)2 ;
è ø
b/ ò4 .
x+2 x+2
; c/ ò0 4-x
.(x - 2).dx;

2
1+ x 1 dx
d/ ò0 2 .dx; e/ ò , m Î N*.
1- x 0
(1 + x m ).m 1 + x m
3 3
ÑS: a/ ( 3 - 3 2 ); b/ ln3 - 1; c/ p - 4;
2
1 1
d/ (p + 4 - 2 2 ); e/ - 1.
4 m
2
Baøi 29. Tính caùc tích phaân sau:
4 dx 6 dx 1
a/ ò2 x ; b/ ò2 ; c/ ò x3 . 1 + x2 dx;
3 0
16 - x 2 x x2 - 9
3
2 2
d/ ò-1 x 2 4 - x 2 .dx; e/ ò x (x 2 + 4)3 .dx; f/ ò 2 x 2 . (3 - x 2 )3 .
0 0

1 æ pö p 2
ÑS: a/ - ln ç tg ÷ ; b/ ; c/ ( 2 - 1);
4 è 12 ø 18 15
5p 3 32 9
d/ - ; e/ (4 2 - 1); f/ (4 p + 9 3).
6 4 5 64
Baøi 30. Tính caùc tích phaân sau:
1
4 x2 - 4 1 1 - x2 dx 1 x 2 .dx
a/ ò4 3
3 x
dx; b/ ò 22 x2
.dx; c/ ò2
1
x - x2
; d/ ò
0
2x - x 2
;
4
a
a 2a n x n -1.dx
e/ ò0 x 2 x 2 - x 2 .dx; f/ ò x 2ax - x 2 .dx; g/ ò0 2 (a > 0; n ³ 2).
0 2 2n
a -x
1 1 p 1
ÑS: a/ (4 3 - p); b/ (4 - p); c/ ; d/ (3p - 8);
3 4 6 4
pa4 pa3 p
e/ ; f/ ; g/ .
16 2 6n
Baøi 31. Tính caùc tích phaân sau:
p
dx 1 dx
a/ ò0
2
x + 3 + x +1
; b/ ò-1 1 + x + 1 + x2
;



Trang 117
Tích phaân Traàn Só Tuøng

2 dx 8 (2x + 1)dx
c/ ò1 x2 ( x2 + 1 + x)
; d/ ò4 x 2 - 4x + x + 2
;

19
ÑS: a/ - 3 - 2; b/ 1;
6
(2 + 5)( 2 - 1) 2 2 - 5 1
c/ ln + ; d/ 8 - 3 2 - ln(3 + 2 2).
2 2 2
a x n .dx
Baøi 32. Cho I = ò ; (a > 0,n Î N)
0
x3 + a3
a/ Vôùi giaù trò naøo cuûa n thì I khoâng phuï thuoäc vaøo a.
b/ Tính I vôùi n tìm ñöôïc.
1 2
ÑS: a/ n = ; b/ ln(1 + 2 ).
2 3




Trang 118
Traàn Só Tuøng Tích phaân


Vaán ñeà 10: TÍCH PHAÂN CAÙC HAØM SIEÂU VIEÄT
(xem laïi vaán ñeà 10 cuûa baøi hoïc 1)


BAØI TAÄP
Baøi 33. Tính caùc tích phaân sau:
ln 2 ln 5 ex . e x - 1 e dx
a/ ò 1 - e2x .dx; b/ ò0 dx; c/ ò ;
0 ex + 3 1
x 1 - ln x 2


e dx e 1 + ln 2 x e ln x 3 1 + ln 2 x
d/ ò ; e/ ò dx; f/ ò .
1 x(1 + ln 2 x 1 x 1 x
1æ 2- 3ö p
ÑS: a/ ç 3 + ln ÷; b/ 4 - p; c/ ;
2è 2+ 3ø 6
p 2 1 3 3
d/ ; e/ + ln(1 + 2); f/ ( 16 - 1).
4 2 2 8
Baøi 34. Tính caùc tích phaân sau:
2 ln x e2 æ 1 1 ö e3 ln(lnx).dx
a/ ò0 dx; b/ ò ç 2 - ÷ dx; c/ òe2 ;
x2 e è ln x ln x ø x
p
ln(x + 1).dx
1 e ln x.dx ln(sin x).dx
d/ ò ; e/ ò1 ; f/ ò 3
p .
0
x +1 (x + 1)2 6
cos2 x
1 1 27
ÑS: a/ (1 - 2 ln 2 ); b/ (2e - e2 ); c/ ln ;
2 2 4e
3 3 3 p
d/ 2 ln 4 - 4 2 + 4; e/ 0; f/ ln - .
3 2 6
Baøi 35. Tính caùc tích phaân sau:
p p
a/ ò 0
2 log 2 (1 + tgx).dx; b/ ò 4 ln(1 + tgx)dx;
0
p
(1 + sin x)1+cosx x.ex dx
1
c/ ò 0
2 ln
1 + cosx
dx; d/ ò
0 (1 + e x )3
;

p p e2 + 4e + 1 1 æ e + 1 ö
ÑS: a/ ; b/ ln 2; c/ 2 ln 2 - 1; d/ - ln ç ÷.
8 8 4(e + 1)2 2 è 2 ø




Trang 119
Tích phaân Traàn Só Tuøng


Vaán ñeà 11: PHÖÔNG TRÌNH BAÁT PHÖÔNG TRÌNH TÍCH PHAÂN

Ñeå giaûi phöông trình, baát phöông trình tích phaân thoâng thöôøng tröôùc tieân ta caàn ñi
xaùc ñònh tích phaân trong phöông trình, baát phöông trình ñoù, sau ñoù seõ thu ñöôïc moät
phöông trình, baát phöông trình ñaïi soá quen thuoäc.


BAØI TAÄP
x
Baøi 36. Giaûi vaø bieän luaän phöông trình sau vôùi aån x: 2 ò (mt - m + 2)dt = 3 - m
0

ÑS: · m > 4 : voâ nghieäm
1
· m = 4 : x1 = x 2 =
2
3
·m=0: x=
4
m-2± 4-m
· 0 ¹ m < 4 : x1, 2 =
m
x
1 1
Baøi 37. Bieän luaän theo m soá nghieäm cuûa phöông trình: ò t
(t - )dt = m -
2
1

1
ÑS: · m < : voâ nghieäm
2
1
· m= :x=1
2
1
· m > : 2 nghieäm
2
x
Baøi 38. Cho I(x) = ò (e2t + e-2t )dt.
0

a/ Tính I(x) khi x = ln2
b/ Giaûi vaø bieän luaän phöông trình: I(x) = m.
15
ÑS: a/ ; b/ x = ln m + 1 + m 2 , "m
8
Baøi 39. Giaûi caùc phöông trình sau vôùi aån x (x > 0) :
x x x
1 + ln t dt p p
a/ ò dt = 18; b/ ò = ; c/ ò et - 1.dt = 2 - ;
1 t 2
2 t t -1
2 0 2
e
x x
2 1
d/ ò (2 t -1.ln 2 - 2t + 2)dt = 2 x -x
+ . e/ ò 7 t -1 .ln 7dt = 6 log 7 (6x - 5), vôùi x ³ 1.
0 2 0




Trang 120
Traàn Só Tuøng Tích phaân

x
tdt
f/ ò = 6 - 2x(1 + 2 1 - x 2 )
3 1 - t2 . 1 + 1 - t2
2

ÑS: a/ x = e5 ; x = e-7 ; b/ x = 2; c/ x = ln2;
1
d/ x = 1; e/ x = 1; x = 2; f/ x = .
2
x
Baøi 40. Tìm m ñeå phöông trình: x + ò [3t 2 + 4(6m - 1)t - 3(2m - 1)]dt = 1
3

1

coù 3 nghieäm phaân bieät coù toång bình phöông baèng 27.
ÑS: m = 1.
Baøi 41. Giaûi caùc phöông trình sau:
x x
3
a/ ò (4sin 4 t - )dt = 0; b/ ò cos(t - x 2 )dt = sin x;
0 2 0
x
dt
c/ ò 2 3
(1 - t )
= tgx vôùi x Î [0; 1).
0

p
ÑS: a/ x = K , K Î Z;
2
é x = Kp
ê
b/ ê x = ± l2p l = 0, 1, 2,... c/ x = 0.
ê
ê x = 1 ± 1 + m8p , m = 0, 1, 2...
ë 2




Trang 121
Tích phaân Traàn Só Tuøng


Vaán ñeà 12: THIEÁT LAÄP COÂNG THÖÙC TRUY HOÀI

1. Nhaän xeùt:
Trong nhöõng tröôøng hôïp haøm döôùi daáu tích phaân phuï thuoäc vaøo tham soá n (n Î N), khi ñoù
ngöôøi ta thöôøng kyù hieäu In ñeå chæ tích phaân phaûi tính.
1. Hoaëc laø ñoøi hoûi thieát laäp moät coâng thöùc truy hoài, töùc laø coâng thöùc bieåu dieãn
In theo caùc In+K, ôû ñaây 1 £ K £ n.
2. Hoaëc laø chöùng minh moät coâng thöùc truy hoài cho tröôùc.
3. Hoaëc sau khi coù coâng thöùc truy hoài ñoøi hoûi tính moät giaù trò I n 0 cuï theå naøo
ñoù.
2. Moät soá daïng thöôøng gaëp:
p/ 2

ò sin
n
Daïng 1: I n = x.dx (n Î N)
0

· Ñaët: u = sin n -1 x Þ du = (n - 1)).sin n -2 x.dx
dv = sin x.dx Þ v = - cos x.
Þ I n = é - sin n-1 x.cos x]p / 2 + (n - 1).(I1- 2 - I n )
ë 0

p/ 2
Daïng 2: I n = ò cos n x.dx (n Î N)
0

· Ñaët: u = cos x Þ du = -(n - 1).cosn -2 x.dx
n -1


dv = cos x.dx Þ v = sin x.
Þ I n = é cosn -1 x.sin x]p / 2 + (n - 1).(I n -2 - I n )
ë 0

p/ 4
Daïng 3: I n = ò tg n x.dx.
0

æ 1 ö
· Phaân tích: tg n +2 x = tg n x.tg 2 x = tg n x. ç 2
- 1 ÷ = tg n x(1 + tg2 x - 1)
è cos x ø
1
Suy ra: I n +2 + I n = (khoâng duøng tích phaân töøng phaàn)
n +1
p/ 2 p/ 2

ò
n
Daïng 4: I n = x .cos x.dx vaø J n = ò x n .sin x.dx.
0 0
n n -1
· Ñaët: u = x Þ du = n.x .dx.
dv = cos x.dx Þ v = sin x
2
æpö
Þ I n = ç ÷ - nJ n - 1 (1)
è2ø
· Töông töï: J n = 0 + nI n -1 (2)
n
æ pö
· Töø (1) vaø (2) Þ I n + n(n - 1)I n -2 =ç ÷ .
è2ø

Trang 122
Traàn Só Tuøng Tích phaân

1
Daïng 5: I n = ò x n .ex .dx
0

· Ñaët: u = x n Þ du = nx n-1 .dx
dv = ex .dx Þ v = e x .
I n = [x n .e x ]1 - nI n -1
0

1 1
xn
Daïng 6: I n = ò x
dx hay I n = ò x n .e- x .dx
0 e 0

· Ñaët: u = x n Þ du = nx n-1 .dx
dv = e- x .dx Þ v = -e- x .
Þ I n = [-x x .e- x ]1 + nI n-1
0

e
Daïng 7: I n = ò ln n x.dx (n Î Z* )
1

1
· Ñaët: u = ln n x Þ du = n.ln n-1 x, dx
x
dv = dx Þ v = x.
Þ I n = [x.ln n x]1 - n.I n -1 Û I n = e - nI n -1.
e




BAØI TAÄP
Baøi 42. Cho I n = ò sin n x.dx vaø J n = ò cos n x.dx , vôùi n Î N, n ³ 2.
Chöùng minh caùc coâng thöùc truy hoài sau:
1 n -1 1 n -1
I n = - sin n -1 x.cos x + I n -2 . J n = sin x.cos n -1 x + J n -2 .
n n n n
AÙp duïng ta tính I3 vaø J4.
1 2
ÑS: · I3 = - sin 2 x.cos x - cos x + C.
3 3
1 3 3
· J 4 = sin x.cos3 x + x + sin 2x + C.
4 8 16
Baøi 43. Cho I n = ò x n .sin x.dx vaø J n = ò x n .cos x.dx , vôùi n Î N, n ³ 2.
Chöùng minh raèng:
I n = -x n .cos x = nx n -1.sin x - n(n - 1).I n -2.
J n = x n .sin x + n.x n -1 .cos x - n(n - 1).J n -2 .
AÙp duïng ta tính I2 vaø J2.
ÑS: · I 2 = -x 2 - cos x + 2x.sin x + 2 cos x + C.
· J 4 = x 2 sin x + 2x cos x - 2sin x + C.


Trang 123
Tích phaân Traàn Só Tuøng

Baøi 44. Cho I n = ò x n .e x .dx, n Î N, n ³ 1.

Chöùng minh raèng: I n = x n .e x - n.I n -1 .
AÙp duïng tính I5.
ÑS: I 5 = ex (x 5 - 5x 4 + 20x 3 - 60x 2 + 120x - 120) + C.
p/2
Baøi 45. Cho I n = ò sin x.dx, (n Î N)
n

0

a/ Thieát laäp coâng thöùc lieân heä giöõa In vaø In+2.
b/ Tính In.
c/ Chöùng minh raèng haøm soá f: N ® R vôùi f(n) = (n + 1)I n .I n +1.
p/ 4
d/ Suy ra J n = ò cos x.dx.
n

0

ì (n - 1)(n - 3)(n - 5)...1 p
ï n(n - 2)(n - 4)...2 . 2 , n chaün
ï
ÑS: b/ I(n) = í
ï (n - 1)(n - 3)(n - 5)...2 , n leû
ï n(n - 2)(n - 4)...3
î
p
c/ f(n) = f(0) = I 0 .I1 = . d/ Jn = In .
2
p/4
Baøi 46. Ñaët; I n = ò tg x.dx, (n Î N)
n

0

Tìm heä thöùc lieân heä giöõa In vaø In+2.
1
ÑS: I n + I n + 2 = .
n +1
1
xn
Baøi 47. Cho I n = ò dx, (n Î N* )
0 1- x
Chöùng minh raèng: (2n + 1)I n + 2n.I n -1 = 2 2.
1
e - nx
Baøi 48. Cho I n = ò dx, (n Î N* )
0
1- e -x



a/ Tính I1.
b/ Tìm heä thöùc giöõa In vaø In–1.
2e 1
ÑS: a/ I1 = ln ; b/ I n + I n -1 = (e1- n) - 1)
1+ e 1- n




Trang 124
Traàn Só Tuøng Tích phaân


Vaán ñeà 13: BAÁT ÑAÚNG THÖÙC TÍCH PHAÂN

· Cho hai haøm soá f(x) vaø g(x) lieân tuïc treân [a ; b]
b
Daïng 1: Neáu f(x) ³ 0, "x Î [a; b] thì : ò f(x) ³ 0
a

daáu “=” xaûy ra khi f(x) = 0, "x Î [a; b]
b b
Daïng 2: Ñeå chöùng minh: ò f(x).dx £ ò g(x).dx .
a a

§ ta caàn chöùng minh: f(x) £ g(x), "x Î [a; b]
§ daáu “=” xaûy ra khi f(x) = g(x), "x Î [a; b]
§ roài laáy tích phaân 2 veá.
b
Daïng 3: Ñeå chöùng minh: ò f(x).dx £ B (B laø haèng soá).
a

ìf(x) £ g(x), "x Î [a; b]
ï
§ ta tìm moät haøm soá g(x) thoûa caùc ñieàu kieän: í b
ï ò g(x).dx = B
îa
b
Daïng 4: Ñeå chöùng minh: A £ ò f(x).dx £ B .
a

§ ta tìm 2 haøm soá h(x) vaø g(x) thoûa ñieàu kieän:
ì h(x) £ f(x) £ g(x), "x Î [a; b]
ïb b
í
ï ò h(x).dx = A, ò g(x).dx = B
îa a

§ Hoaëc ta chöùng minh: m £ f(x) £ M, vôùi m = min f(x), M = max f(x)
b b
sao cho: ò m.dx = m(b - a) = A, ò M.dx = M(b - a) = B.
a a

b b
Daïng 5: ò f(x).dx £ ò | f(x) | dx .
a a

daáu “=” xaûy ra khi f(x) ³ 0, "x Î [a; b]
§ BÑT (5) ñöôïc suy ra töø BÑT daïng 2 vôùi nhaän xeùt sau: "x Î [a; b] , ta luoân coù:
- | f(x) | £ f(x) £ | f(x) |
b b b
Û - ò | f(x) | dx £ ò f(x).d(x) £ ò | f(x) | dx (laáy tích phaân 2 veá)
a a a
b b
Û ò f(x).dx
a
£ ò | f(x) | .dx.
a

Ghi chuù:

Trang 125
Tích phaân Traàn Só Tuøng

1. Thöïc chaát chöùng minh baát ñaúng thöùc tích phaân chính laø chöùng minh:
f(x) £ g(x), "x Î [a; b]. Neáu daáu “=” xaûy ra trong baát ñaúng thöùc f(x) £ g(x) chæ taïi
moät soá höõu haïn ñieåm x Î [a; b] thì ta coù theå boû daáu “=” trong baát ñaúng thöùc tích phaân.
2. Do BÑT laø moät daïng toaùn phöùc taïp, neân moãi daïng treân coù nhieàu kyõ thuaät giaûi, vì vaäy
trong phaàn baøi taäp naøy, khoâng ñi theo töøng daïng treân maø ñi theo töøng kyõ thuaät giaûi.

Kyõ thuaät 1: Duøng phöông phaùp bieán ñoåi töông ñöông hoaëc chaën treân, chaën döôùi

BAØI TAÄP
Baøi 49. Chöùng minh caùc baát ñaúng thöùc:
1 1
1 x19 .dx 1 p dx p 2
a/
0 4
200
2
x
d/ e ³ x, "x. Suy ra : ò e- x .dx £ 0, 01.
100
4
x dx
e/ 1 < ln x < , vôùi x > e. Suy ra : 0,92
1) b/ Tìm lim I(x)
x ®+¥
1

2x
ÑS: a/ ln ; b/ ln 2.
x +1
ln10
ex .dx
Baøi 63. a/ Tính I(b) = ò 3
ex - 2
; b/ Tìm lim I(b)
b ® ln 2
b

3é 1 b 2/3 ù
ÑS: a/ ê6 - 2 (e - 2) ú b/ 6.
2ë û
1
e- nx .dx
Baøi 64. Cho I n = ò -x
(n Î N* )
0 1+ e




Trang 129
Tích phaân Traàn Só Tuøng

Tính I n + I n -1 , töø ñoù tìm lim I n .
x ®+¥

t2 + 1
ÑS: a/ ln 4 + ln b/ ln4.
(t + 2)2
x
Baøi 65. a/ Tính I(x) = ò (t 2 + 2t).e t .dt. Tìm lim I(x)
x ®-¥
0
x
2t.ln t.dt
b/ Tính I(x) = ò (1 + t 2 )2 , (x > 1). Tìm xlim I(x).
®+¥
1

ÑS: a/ 0; b/ ln 2.
em
Baøi 66. a/ Tính theo m vaø x > 0 tích phaân: I m (x) = ò t.(m - ln t).dt.
x

b/ Tìm lim- I m (x). Tìm m ñeå giôùi haïn naøy baèng 1.
x®0

1 2m 1 2m
ÑS: a/ ée + 2x 2 ln x - (2m + 1)x 2 ù
ë û b/ e ; m = ln 2.
4 4




Trang 130
Traàn Só Tuøng Tích phaân


ÖÙNG DUÏNG CUÛA TÍCH PHAÂN

§Baøi 1: DIEÄN TÍCH HÌNH PHAÚNG


Vaán ñeà 1: DIEÄN TÍCH HÌNH THANG CONG

1. Dieän tích hình thang cong giôùi haïn bôûi 4 ñöôøng:
ì(c) : y = f(x)
ïy = 0 (truïc hoaønh Ox) b
ï
í
x=a
ñöôïc tính bôûi coâng thöùc: S= ò f(x) dx (1)
ï a
ïx = b (a < b)
î
2. Phöông phaùp giaûi toaùn:
ì* Ta caàn phaûi tìm ñaày ñuû 4 ñöôøng nhö treân
í
î* vaø vì caàn phaûi boû daáu giaù trò tuyeät ñoái neân ta coù 2 caùch giaûi sau:
Caùch 1. Phöông phaùp ñoà thò:
* Veõ ñoà thò (C) : y = f(x) vôùi x Î [a ; b] y
(C): y = f(x)
a/ Tröôøng hôïp 1:
Neáu ñoà thò (C) naèm hoaøn toaøn S
treân truïc hoaønh Ox (hình a) thì: 0 a b x
b (Hình a)
(1) Û S = ò f(x).dx
a
y
b/ Tröôøng hôïp 2: a b
Neáu ñoà thò (C) naèm hoaøn toaøn 0 S x
döôùi truïc hoaønh Ox (hình b) thì:
b
(Hình a)
(1) Û S = - ò f(x).dx
a
y (C): y = f(x)
c/ Tröôøng hôïp 3:
Neáu ñoà thò (C) caét truïc hoaønh Ox taïi moät ñieåm S
coù hoaønh ñoä x = x0 (nhö hình c) thì: 0 a x
S
b a
x0 b
(1) Û S = ò f(x).dx + ò -f(x) .dx S = S1 + S2 (Hình c)
a a

* Ghi chuù: Neáu f(x) khoâng ñoåi daáu treân ñoaïn [a ; b] thì ta duøng coâng thöùc sau:
b
S= ò f(x)dx
a




Trang 131
Tích phaân Traàn Só Tuøng

Caùch 2. Phöông phaùp ñaïi soá:
Ÿ Giaûi phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm : f(x) = 0 (*)
Ÿ Giaûi (*) ñeå tìm nghieäm x treân ñoaïn [a ; b].
Ÿ Neáu (*) voâ nghieäm treân khoaûng (a ; b) thì ta xeùt daáu f(x) treân ñoaïn [a ; b] ñeå boû daáu
giaù trò tuyeät ñoái hoaëc ta söû duïng tröïc tieáp coâng thöùc sau:
b
S= ò f(x)dx
a

Ÿ Neáu (*) coù nghieäm x = x0 vaø f(x)
coù baûng xeùt daáu nhö hình beân thì: x a x0 b
x0 b f(x) + 0 –
S= ò f(x)dx - ò f(x)dx.
a x0


Ghi chuù:
(1) Dieän tích S luoân laø moät giaù trò döông (khoâng coù giaù trò S £ 0).
(2) Vôùi caâu hoûi: “Tính dieän tích giôùi haïn bôûi (C): y = f(x) vaø truïc hoaønh” thì ta phaûi tìm
theâm hai ñöôøng x = a, x = b ñeå laøm caän tích phaân, hai ñöôøng naøy chính laø giao ñieåm
cuûa (C) vaø truïc Ox, laø 2 nghieäm cuûa phöông trình f(x) = 0 (theo phöông phaùp ñaïi soá).
Vôùi caâu hoûi ñôn giaûn hôn nhö: “Tính dieän tích giôùi haïn bôûi ñöôøng (C) : y = f(x) thì ta
phaûi hieåu ñoù laø söï giôùi haïn bôûi (C) vaø truïc hoaønh.
(3) Moät soá haøm coù tính ñoái xöùng nhö: parabol, ñöôøng troøn, elip, haøm giaù trò tuyeät ñoái, moät
soá haøm caên thöùc; lôïi duïng tính ñoái xöùng ta tính moät phaàn S roài ñem nhaân hai, nhaân ba,
... (cuõng coù theå söû duïng toång hoaëc hieäu dieän tích).
(4) Phaàn lôùn daïng toaùn loaïi naøy ta neân duøng phöông phaùp ñoà thò hieäu quaû hôn; moät soá ít
phaûi duøng phöông phaùp ñaïi soá nhö haøm löôïng giaùc vì veõ ñoà thò khoù.




Trang 132
Traàn Só Tuøng Tích phaân


Vaán ñeà 2: DIEÄN TÍCH HÌNH PHAÚNG GIÔÙI HAÏN BÔÛI HAI ÑÖÔØNG (C1), (C2)

1. Dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi hai ñöôøng (C1), (C2)
ì(C1 ): y = f(x)
ï(C ):y = g(x) b
ï 2
í ñöôïc tính bôûi coâng thöùc: S = ò f(x) - g(x) dx
ïx = a a
ïx = b (a < b)
î

2. Phöông phaùp giaûi toaùn:
Caùch 1. Phöông phaùp ñoà thò:
* Treân cuøng maët phaúng toaï ñoä ta veõ 2 ñoà thò: (C1 ) :y = f(x) vaø (C2 ) : y = g(x) .
a/ Tröôøng hôïp 1: (C1) khoâng caét (C2)
y
§ Xaùc ñònh vò trí: Treân ñoaïn [a ; b] thì (C1) naèm treân
(C2) hay (C2) naèm treân (C1) baèng caùch veõ moät M
(C1)
ñöôøng thaúng song song vôùi truïc tung Oy caét hai S
ñoà thò taïi M vaø N. N
(C2)
Khi ñoù neáu M ôû treân N thì ñoà thò chöùa M seõ naèm treân ñoà thò 0 a b x
chöùa N. (hình 2a)
b
§ Neáu (C1) naèm treân (C2) thì: S = ò [f(x) - g(x)]dx. (h.2a)
a y
b
§ Neáu (C2) naèm treân (C1) thì: S = ò [g(x) - f(x)]dx. (h.2b) M
(C2)
a S
§ Trong tröôøng hôïp 1, ta coù theå duøng tröïc tieáp coâng thöùc sau: N
(C1)
0 a b x
b
S = ò [f(x) - g(x)]dx . (hình 2b)
a

b/ Tröôøng hôïp 2: (C1) caét (C2) taïi ñieåm I coù hoaønh ñoä x0.
x0 b
S= ò g(x) - f(x) dx + ò f(x) - g(x) dx y
a x0
(C1): y = f(x)
Hoaëc duøng coâng thöùc sau: S1 I S2 (C2): y = g(x)
x0 b
S= ò [f(x) - g(x)]dx + ò [f(x) - g(x)]dx 0 a x0 b x
a x0


Caùch 2. Phöông phaùp ñaïi soá:
§ Laäp phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm: f(x) = g(x) (*)
§ Neáu (*) voâ nghieäm treân khoaûng (a ; b) thì ta xeùt hieäu f(x) – g(x) ñeå boû daáu “| |”.
§ Neáu (*) coù moät nghieäm x0 thuoäc khoaûng (a ; b) thì:

Trang 133
Tích phaân Traàn Só Tuøng

x0 b
S = ò f(x) - g(x) dx + ò f(x) - g(x) dx
a a

roài xeùt laïi töø ñaàu treân caùc ñoaïn [a; x 0 ] vaø [x 0 ; b].
Ghi chuù:
(1) Trong thöïc haønh ta neân duøng phöông phaùp ñoà thò.
(2) Khi giao ñieåm cuûa (C1) vaø (C2) khoâng chaéc chaén nhö soá höõu tæ hoaëc soá voâ tæ, ta neân
thöïc hieän theâm vieäc giaûi phöông trình hoaønh ñoä f(x) = g(x) cho chính xaùc.
(3) Hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (C1) vaø (C2) laø caùc caän cuûa tích phaân.
(4) Treân ñaây khi tính dieän tích ta ñaõ coi x laø bieán, y laø haøm. Tuy nhieân trong moät soá
tröôøng hôïp ta coi y laø bieán cuûa haøm x (nghóa laø x = f(y)), khi ñoù vieäc tính dieän tích seõ
ñôn giaûn hôn.




Trang 134
Traàn Só Tuøng Tích phaân


Vaán ñeà 3: DIEÄN TÍCH HÌNH PHAÚNG GIÔÙI HAÏN BÔÛI NHIEÀU ÑÖÔØNG


§ Xeùt ñaïi dieän 4 ñöôøng (C1 ), (C2 ), (C3 ), (C4 ) . y
(C1) (C2)
§ Ta duøng phöông phaùp ñoà thò (duy nhaát) (C4)

B C
§ Veõ 4 ñöôøng treân cuøng moät maët phaúng
vaø xaùc ñònh hoaønh ñoä giao ñieåm giöõa chuùng (C3) S2 S3
S
(x1, x2, x3, x4) A 1
D
§ Dieän tích hình phaúng S caàn tìm: S = S1 + S2 + S3
0 x1 x2 x3 x4 x
x1 x3 x4
Û S = ò [(C1 ) - (C3 )]dx + ò [(C4 ) - (C3 )]dx + ò [(C4 ) - (C2 )]dx.
x1 x2 x3




Trang 135
Tích phaân Traàn Só Tuøng


Vaán ñeà 4: DIEÄN TÍCH LÔÙN NHAÁT VAØ DIEÄN TÍCH NHOÛ NHAÁT

Tìm dieän tích lôùn nhaát vaø nhoû nhaát cuûa hình phaúng S.
Phöông phaùp:
§ Thieát laäp coâng thöùc tính S theo moät hoaëc nhieàu tham soá cuûa giaû thieát (giaû söû laø m), töùc
laø, ta coù: S = g(m).
§ Tìm giaù trò lôùn nhaát, giaù trò nhoû nhaát cuûa g(m) baèng moät trong caùc phöông phaùp:
+ Tam thöùc baäc hai
+ Baát ñaúng thöùc Coâsi hoaëc Bu Nhia Coâp Ski.
+ Söû duïng ñaïo haøm
Chuù yù: Caùc caän a, b thöôøng laáy töø nghieäm x1, x2 laø hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (C) vaø (d).
Ví duï 1: (Vaán ñeà 1): Tính dieän tích cuûa mieàn kín giôùi haïn bôûi ñöôøng cong
y = x 1 + x 2 , truïc Ox vaø ñöôøng thaúng x = 1.
Giaûi:
* Ñöôøng cong (C) : y = x 1 + x 2 caét truïc hoaønh Ox khi: x 1 + x 2 = 0 Û x = 0.
* Ta coù: x 1 + x 2 ³ 0, vôùi moïi x Î [0; 1] . Do ñoù dieän tích S caàn tìm laø:
1
S = ò x 1 + x 2 .dx.
0

* Ñaët: u 1 + x 2 Þ u2 = 1 + x 2 Þ 2u.du = 2xdx Þ u.du = xdx.
* Ñoåi caän: x = 0 Þ u = 1; x = 1 Þ u = 2.
2
2
æ u3 ö 1
* Ta coù: S = ò u2du = ç ÷
è 3 ø 0
=
3
(2 2 - 1) (ñvdt)
0

Ví duï 2: (vaán ñeà 1): Tính dieän hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng
1 + ln x
y= ; x = 1, x = e.
x
Giaûi:
e
1 + ln x
* Dieän tích hình phaúng S caàn tìm: S = ò x
dx
1

1
* Ñaët: u = 1 + ln x Þ u2 = 1 + ln x Þ 2u.du = dx.
x
* Ñoåi caän: x = 1 Þ u = 1; x = e Þ u = 2.
2 2
æ2 ö 2 2
* Ta coù: S = ò 2u .du = ç u3 ÷
2
= (2 2 - 1 = (2 2 - 1) (ñvdt)
1 è3 ø 1 3 3
Ví duï 3 (vaán ñeà 2): Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng:
y = x 2 - 2x vaø y = -x 2 + 4x.


Trang 136
Traàn Só Tuøng Tích phaân

Giaûi:
y
* Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa 2 ñöôøng:
(P1)
x 2 - 2x = - x 2 + 4x 4
3
Û 2x 2 - 6x = 0 Û x = 0 hay x = 3. A

* Ñoà thò (P1): y = x 2 - 2x vaø (P2 ) :y = -x 2 + 4x
nhö treân hình veõ.
– 0 1 2 3 4 x
Hai ñoà thò caét nhau taïi 2 ñieåm O(0 ; 0) vaø A(3 ; 3). 1 – (P2)
* Dieän tích hình phaúng S caàn tìm: 1

3 3 3
æ 2x 3 ö
S = ò é -x + 4x) - (x - 2x) ùdx = ò (-2x + 6x)dx = ç -
ë
2
û
2 2
+ 3x 2 ÷ = 9 (ñvdt)
0 0 è 3 ø
Ví duï 4 (vaán ñeà 2): Parabol y2 = 2x chia hình phaúng giôùi haïn bôûi ñöôøng troøn
x 2 + y2 = 8 thaønh hai phaàn. tính dieän tích moãi phaàn ñoù
Giaûi:
* Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (P): y2 = 2x vaø (C):x 2 + y2 = 8;
é x = 2 Þ y = ±2
x 2 + 2x = 8 (vôùi x ³ 0) Û x 2 + 2x - 8 = 0 Û ê
ë x = -4 (loaïi)
Toïa ñoä giao ñieåm B(2 ; 2), C(2 ; –2).
* Ta tính dieän tích tam giaùc cong OAB; y
(P)
2 2 2 B
Ñaët: S1 = SOAB = ò 2x.dx + ò 8 - x 2 .dx 2
0 2 S1 A
2 2 o 2 x
æ 2 3ö 8 2 2
vôùi: ò 2x.dx = ç 2.
è 3
x ÷ = .
ø0 3 –2
0 C
2 2
Tính: ò 8 - x 2 .dx = I.
2

Ñaët: x = 2 2.sin t Þ dt = 2 2.cos t.dt.
Ñoåi caän: x = 2 Þ t = p / 4 ; x = 2 2 Þ t = p/ 2
p/ 2 p/2 p/ 2
1 + cos 2t
ò2 ò
2
ÞI= 2.cos t.2 2.cos t.dt = 8 cos t.dt = 8 ò 2
dt
p/ 4 p/ 4 p/ 4
p/2
æ sin 2t ö
= 4çt + ÷ = p - 2.
è 2 ø p/ 4
8 2
* Do ñoù: S1 = + p-2 = p+ .
3 3
4
* Do tính ñoái xöùng neân: SOBAC = 2.SOAB = 2 p + .
3


Trang 137
Tích phaân Traàn Só Tuøng

* Goïi S laø dieän tích hình troøn (C) Þ S = p.R 2 = 8p
æ 4ö
* Goïi S2 laø phaàn dieän tích hình troøn coøn laïi Þ S2 = S - SOBAC = 8p - ç 2 p + ÷
è 3ø
4
Û S2 = 6 p - .
3
Ví duï 5 (vaán ñeà 4): Chöùng minh raèng khi m thay ñoåi thì Parabol (P): y = x2 + 1 luoân caét
ñöôøng thaúng (d): y = mx + 2 taïi hai ñieåm phaân bieät. Haõy xaùc ñònh m sao cho phaàn dieän
tích hình phaúng giôùi haïn bôûi ñöôøng thaúng vaø parabol laø nhoû nhaát.
Giaûi:
* Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (P) vaø (d):
x 2 + 1 = mx + 2 Û x 2 - mx - 1 = 0 (1)
y
D = m 2 + 4 > 0, "m (P)
* Vaäy (d): luoân caét (P) taïi 2 ñieåm phaân bieät (d)
A
A, B coù hoaønh ñoä x1, x2 laø nghieäm cuûa (1). 2
* Dieän tích hình phaúng S laø: B
x2 x2
æ x 3 mx 2 ö
S = ò (mx + 2 - x - 1)dx = ç - +
2
+ x÷
x1 è 3 2 ø x1 x1 0 x2 x

1 m
= - (x 3 - x1 ) + (x 2 - x1 ) + (x 2 - x1 )
2
3
2
2

3 2
1
= - (x 2 - x1 ). é2(x 2 + x1x 2 + x1 ) - 3m(x 2 + x1 ) - 6 ù
ë 2
2
û
6
1 1 4
=- m 2 + 4. ë2(m 2 + 1) - 3m 2 - 6 û =
é ù (m 2 + 4)3 ³ .
6 6 3
4
Vaäy: min S = khi m = 0.
3
Ví duï 6 (vaán ñeà 3): Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng:
x2 27
y = x2 , y = ,y= .
8 x
Giaûi:
2 x2 27 y
* Ñoà thò (P1 ) : y = x , (P2 ) : y = , (H) : y = (P1)
8 x
nhö treân hình veõ. 9 A
(P2)
* Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (H)

(P1) vaø (H): 9/2 B
3 S2
27
x2 = Û x 3 = 27 Û x = 3 Þ toaï ñoä A(3, 9). S1
x
* Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (P2) vaø (H): 0 3 6 9 x


Trang 138
Traàn Só Tuøng Tích phaân

x 2 27 æ 9ö
= Û x = 6 Þ toaï ñoä B ç 6, ÷ .
8 x è 2ø
* Dieän tích hình phaúng S caàn tìm:
3 6
x2 æ 27 x 2 ö
S = S1 + S2 = ò (x 2 - )dx + ò ç - ÷ dx = ... = 27 ln 2 (ñvdt) .
0 8 3è x 8 ø

Ví duï 7 (vaán ñeà 3): Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng: parabol (P):
y = 4x - x 2 vaø caùc ñöôøng tieáp tuyeán vôùi parabol naøy, bieát raèng caùc tieáp tuyeán ñoù ñi qua
M(5/2, 6).
Giaûi: y
* Phöông trình ñöôøng thaúng (d) qua M heä soá goùc K: (d2) (d1)

æ 5ö 6 M
y = Kç x - ÷ + 6
è 2ø
S1
* (d) tieáp xuùc (P) khi heä sau coù nghieäm: 4 S2

ì 2 æ 5ö A
ï4x - x = K ç x - ÷ + 6 (1) 3
í è 2ø
ï4 - 2x = K (2)
î
(P)
* Theá (2) vaøo (1) ta ñöôïc:
5
4x - x 2 = (4 - 2x)(x - ) + 6 B
2 0 1 2 5/2 4 x
éx = 1 Þ K = 1
Û x 2 - 5x + 4 = 0 Û ê
ë x = 4 Þ K = -4
* Vaäy coù 2 phöông trình tieáp tuyeán laø: (d1 ) :y = 2x + 1; (d 2 ) : y = -4x + 16
* Dieän tích hình phaúng S caàn tìm:
5/2 4
9
ò (2x + 1 - 4x + x
2
ò (-4x + 16 - 4x + x
2
S = S1 + S2 = )dx + )dx = ... = (ñvdt).
1 5/ 2 4

Ví duï 8 (vaán ñeà 3): Tính dieän tích giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng: y = x 2 - 4x + 3 vaø y = 3.
Giaûi:
y
* Veõ ñoà thò (C): y = f(x) = x 2 - 4x + 3
(C)
ì f(x), f(x) ³ 0 3
* Xeùt ñoà thò (C’) : y = f(x) = í
î -f(x), f(x) < 0
* Töø ñoà thò (C) ta suy ra ñoà thò (C’) nhö sau: 2
0 1 3 4 x
ì+ Giöõ nguyeân phaàn ñoà thò (C) naèm treân Ox –1
í
î+ Laáy ñoái xöùng phaàn ñoà thò (C) naèm döôùi Ox qua truïc hoaønh
* Ñoà thò (C’) laø hôïp cuûa 2 phaàn treân

Trang 139
Tích phaân Traàn Só Tuøng

* Ñöôøng thaúng y = 3 caét (C’) taïi A(0 ; 3), B(4 ; 3).
* Goïi S laø dieän tích hình phaúng caàn tìm.
* Do tính ñoái xöùng neân ta coù:
S = 2(S1 + S2 )
2
é1 2
ù
= 2.ò (3 - x - 4x + 3 )dx = 2 ê ò [3 - (x - 4x + 3)]dx + ò [3 - ( -x 2 + 4x - 3)]dx ú
2 2

0 ë0 1 û
...............
= 8 (ñvdt)
Baûng xeùt daáu:
x 0 1 2 3
x2–4x+3 + 0 – 0 +




Trang 140
Traàn Só Tuøng Tích phaân


BAØI TAÄP
Baøi 1. Cho Parabol (P): y = x 2 - 4x + 3 vaø ñöôøng thaúng (d) : y = x – 1.
Tính dieän tích giôùi haïn bôûi:
a/ (P) vaø truïc Ox; b/ (P), truïc Ox vaø truïc Oy;
c/ (P), truïc Ox, x = 2 vaø x = 4; d/ (P) vaø (d);
e/ (P), (d), x = 0 vaø x = 2.
4 4 9
ÑS: a/ ; b/ ; c/ 2; d/ ; e/ 3.
3 3 2
Baøi 2. Tính dieän tích giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng:
1
a/ (C) : y = x + 2 , tieäm caän xieân cuûa (C), x = 1 vaø x = 3;
2x
5
b/ y = x(x + 1) , truïc Ox, truïc Oy vaø x = 1;
c/ 2(y - 1)2 = x vaø (y - 1)2 = x - 1 ;
d/ y = x 2 - 2x + 2, y = x 2 + 4x + 5 y = x 2 - 4x + 3 vaø y = 1;
x2 1 8
e/ y = , y = , y = (vôùi x > 0).
8 x x
1 418 4 9
ÑS: a/ ; b/ ; c/ ; d/ ; e/ 7ln2.
3 35 3 4
Baøi 3. Tính dieän tích giôùi haïn bôûi:
a/ (C) : y = x 2 - 2x vaø tieáp tuyeán vôùi (C) taïi O(0 ; 0) vaø A(3 ; 3) treân (C).
b/ (C) : y = x 3 - 2x 2 + 4x - 3, y = 0 vaø tieáp tuyeán vôùi (C) taïi tieáp ñieåm coù hoaønh
ñoä x = 2.
9 5
ÑS: a/ ; b/ .
4 48
9
Baøi 4. Cho Parabol (P): y2 = x vaø ñöôøng troøn (C) : x 2 + y2 - 4x + = 0.
4
a/ Chöùng toû (P) vaø (C) tieáp xuùc nhau taïi A vaø B.
b/ Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi (P) vaø caùc tieáp tuyeán chung taïi A vaø B.
æ3 6ö 6 6 æ3 6ö 6 6 6
ÑS: a/ A ç ; ÷; y = x+ ; Bç ; - ÷; y = - x- . b/ .
è2 2 ø 6 4 è2 2 ø 6 4 2
Baøi 5. Ñöôøng thaúng (d): x – 3y + 5 = 0 chia ñöôøng troøn (C): x 2 + y2 = 5 thaønh hai phaàn,
tính dieän tích moãi phaàn.
5p 5 15p 5
ÑS: S1 = - ; S2 = + .
4 2 4 2
Baøi 6. Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng
a/ y = x 2 , y = x. b/ x - y3 + 1 = 0; x + y - 1 = 0.
c/ x 2 + y2 = 8; y2 = 2x. d/ y = 2 - x 2 ; y3 = x 2 .

Trang 141
Tích phaân Traàn Só Tuøng

x 1
e/ y = ; x = 0; x = .
1 - x4 2
1 5 4 32 p
ÑS: a/ ; b/ ; c/ 2 p + ; d/ ; e/ .
3 4 3 15 12
Baøi 7. Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng:
a/ y = x.ex ; y = 0; x = -1; x = 2. b/ y = x.ln 2 x; y = 0; x = 1; x = e.
c/ y = e x ; y = e- x ; x = 1. d/ y = 5x -2 ; y = 0; x = 0; y = 3 - x.
e/ y = (x + 1)5 ; y = ex ; x = 1.
2 1 2 1
ÑS: a/ e2 - + 2; b/ (e - 1); c/ e + - 2;
3 4 2
24 1 23
d/ + ; e/ - e.
25ln 5 2 2
Baøi 8. Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng:
x2
a/ y = + 2x vaø y = x + 4; b/ y = - x 2 + 2 x + 3 vaø 3x + 5y - 9 = 0;
2
x 1
c/ y = vaø y = 0; x = 1; x = 2; d/ y = ln x ; y = 0; x = vaø x = e.
x +1 e
26 55 2 2
ÑS: a/ ; b/ ; c/ 1 - ln ; d/ 2 - .
3 6 3 e
Baøi 9. Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng:
a/ y = sin x + cos2 x, caùc truïc toaï ñoä vaø x = p;
p
b/ y = sin 2 x + sin x + 1, caùc truïc toaï ñoä vaø x = .
2
c/ y = x + sin x; y = x; x = 0; x = 2 p.
d/ y = x + sin 2 x; y = p;x = 0; x = p.
p 3p p
ÑS: a/ 2 + ; b/ 1 + ; c/ 4; d/ .
2 2 2
Baøi 10. Dieän tích giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng thaúng x = –1; x = 2; y = 0 vaø Parabol (P) baèng
15. Tìm phöông trình cuûa (P), bieát (P) coù ñænh laø I(1 ; 2).
ÑS: y = 3x 2 - 6x + 5.
x 2 + 2x - 3
Baøi 11. Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi (C): y = , tieän caän xieân
x+2
x = 0 vaø x = m > 0. Tìm giôùi haïn cuûa dieän tích naøy khi m ®+ ¥.
æm+2ö
ÑS: S = 3ln ç ÷ ; lim S = +¥.
è 2 ø m ®+¥


Trang 142
Traàn Só Tuøng Tích phaân

2x
Baøi 12. Cho (H): y = .
x -1
a/ Chöùng minh raèng hình phaúng ñöôïc giôùi haïn bôûi (H), tieäm caän ngang vaø caùc
ñöôøng thaúng x = a + 1; x = 2a + 1 coù dieän tích khoâng phuï thuoäc vaøo tham soá a
döông.
b/ Laäp phöông trình tieáp tuyeán (d) cuûa (H) taïi goác toaï ñoä. Tính dieän tích hình
phaúng giôùi haïn bôûi (H), (d) vaø ñöôøng thaúng x = 2.
ÑS: a/ 2ln2; b/ 2ln3.
Baøi 13. Cho Parabol (P) : y = x2. Hai ñieåm A vaø B di ñoäng treân (P) sao cho AB = 2.
a/ Tìm taäp hôïp trung ñieåm I cuûa AB
b/ Xaùc ñònh vò trí cuûa A, B sao cho dieän tích cuûa phaàn maët phaúng giôùi haïn bôûi (P)
vaø caùt tuyeán AB ñaït giaù trò lôùn nhaát.
1
ÑS: a/ y = x 2 + ; b/ max S = 1; A( -1; 1);B(1; 1).
1 + 4x 2
æ1 ö
Baøi 14. Ñöôøng thaúng (D) ñi qua ñieåm M ç ; 1÷ vaø caùc baùn kính truïc döông Ox, Oy laäp
è2 ø
thaønh moät tam giaùc. Xaùc ñònh (D) ñeå dieän tích tam giaùc coù giaù trò nhoû nhaát vaø tính
giaù trò ñoù.
ÑS: (D) : y = -2x + 2.
Baøi 15. Cho Parabol (P): y = x2. Vieát phöông trình ñöôøng thaúng (d) ñi qua I(1 ; 3) sao cho
dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi (d) vaø (P) ñaït giaù trò nhoû nhaát.
ÑS: y = 2x + 1.
Baøi 16. Treân Parabol (P) : y = x 2 laáy hai ñieåm A(–1 ; 1) vaø B(3 ; 3). Tìm ñieåm M treân
»
cung AB cuûa (P) sao cho tam giaùc MAB coù dieän tích lôùn nhaát.
æ1 1ö
ÑS: M ç ; ÷
è3 9ø
Baøi 17. Xeùt hình (H) giôùi haïn bôûi ñöôøng troøn (C): y = x 2 + 1 vaø caùc ñöôøng thaúng
y = 0; x = 0; x = 1. Tieáp tuyeán taïi ñieåm naøo cuûa (C) seõ caét töø (H) ra moät hình thang
coù dieän tích lôùn nhaát.
5 æ1 5ö
ÑS: max S = ; M ç ; ÷ .
4 è2 4ø




Trang 143
Tích phaân Traàn Só Tuøng


§Baøi 2: THEÅ TÍCH VAÄT TROØN XOAY

Chuù yù: Khi tìm theå tích cuûa vaät theå troøn xoay ta caàn xaùc ñònh:
* Mieàn hình phaúng (H) sinh ra. ((H) giôùi haïn bôûi 4 ñöôøng: x =..., x = ..., y = ..., y = ...)
* (H) quay quanh truïc Ox hoaëc truïc Oy ñeå ta duøng coâng thöùc thích hôïp.
Neáu (H) quay quanh truïc Ox thì haøm döôùi daáu tích phaân laø y = f(x), bieán x vaø hai caän
laø x. Neáu (H) quay quanh truïc Oy thì haøm döôùi daáu tích phaân laø x = f(y), bieán y vaø hai
caän laø y.

Vaán ñeà 1: Theå tích vaät troøn xoay do hình phaúng (H) giôùi haïn bôûi 4 ñöôøng:
(C) :y = f(x); y = 0; x = a;x = b (a < b) sinh ra khi quay quanh truïc Ox ñöôïc tính bôûi coâng
thöùc:
b b
V = pò y .dx = pò [d(x)]2 .dx
2

a a



y y
(C)
(C)
(H) (H)
a b x a b x
b b
Dieän tích: S = ò f(x) .dx Theå tích: V = pò [f(x)]2 .dx
a a

Vaán ñeà 2: Theå tích vaät troøn xoay do hình phaúng (H) giôùi haïn bôûi 4 ñöôøng:
(C) :x = f(y), x = 0, y = a, y = b (a < b) sinh ra khi quay quanh truïc Oy ñöôïc tính bôûi coâng
thöùc:
b b
V = pò x 2 .dy = p ò [f(y)]2 .dy
a a

y
y
(C) b
b (C)
(H)
0 x
0 x a
a

b b
Dieän tích: S = ò f(y) dy. Theå tích: V = pò [f(y)]2 .dy
a a




Trang 144
Traàn Só Tuøng Tích phaân

Vaán ñeà 3: Theå tích vaät troøn xoay do hình phaúng (H) giôùi haïn bôûi 4 ñöôøng:
(C1 ) : y = f(x), (C2 ) : y = g(x), x = a, x = b (a < b) vôùi f(x) vaø g(x) cuøng daáu) sinh ra khi
quay quanh truïc Ox ñöôïc tính bôûi:
b
V = pò f 2 (x) - g 2 (x) .dx (3)
a


* f(x) vaø g(x) cuøng daáu coù nghóa laø hai phaàn ñoà thò cuøng naèm moät phía ñoái vôùi truïc Ox,
vôùi moïi x Î ñoaïn [a; b].
* Ñeå boû daáu “| |” trong coâng thöùc (3) ta chuù yù caùc tröôøng hôïp sau:

y
TH1: (C1 ) Ç (C2 ) = Æ vaø f(x) > g(x) ³ 0, "x Î [a; b]:
(C1)
b y
(H)
(3) Û V = pò [f 2 (x) - g 2 (x)].dx (C2)
a a b
0 x




y
TH2: (C1 ) Ç (C2 ) = Æ vaø f(x) < g(x) £ 0, "x Î [a; b]: 0 a b
x
b
(C2)
(3) Û V = pò [f 2 (x) - g 2 (x)].dx (H)
y
a
(C ) 1




y
TH3: (C1 ) caét (C2 ) taïi 2 ñieåm A, B coù hoaønh ñoä
x = a, x = b vaø d(x) > g(x) ³ 0, "x Î [a; b]: (H)
A B (C2)
b
(3) Û V = pò [f 2 (x) - g 2 (x)].dx 0 a b x
a
(C1)



y
TH4: (C1 ) caét (C2 ) taïi 2 ñieåm A, B coù hoaønh ñoä
(C1)
x = a vaø f(x) < g(x) £ 0, "x Î [a; b]: a b
0 x
b
(3) Û V = pò [f 2 (x) - g 2 (x)].dx A B (C2)
(H)
a




Trang 145
Tích phaân Traàn Só Tuøng

TH5: (C1 ) caét (C2 ) taïi 3 ñieåm A, B, C, trong ñoù xA = a y
(C1)
xB = b, xC = c vôùi a < c < b nhö hình beân:
B
(3) Û V = V1 + V2 V1 V2
A C
c b
= p ò [f 2 (x) - g2 (x)]dx + pò [g2 (x) - f 2 (x)]dx.
(C2)
a c
a c b x


Vaán ñeà 4: Theå tích vaät troøn xoay do hình phaúng (H) giôùi haïn bôûi 4 ñöôøng:
(C1 ) : x = f(y), (C2 ) : x = g(y), y = a, y = b (a < b) vôùi f(y) vaø g(y) cuøng daáu) sinh ra khi
quay quanh truïc Oy ñöôïc tính bôûi:
b
V = pò f 2 (y) - g 2 (x) .dy (4)
a


y
TH1: (C1 ) Ç (C 2 ) =Æ vaø x1 = f(y) > x 2 = g(y) ³ 0, C2 C1
vôùi moïi y Î [a; b]. b
b x2 (H) x1
(4) Û V = pò [f (y) - g (y)].dy
2 2
a
a 0 x


y
TH3: (C1 ) caét (C2 ) taïi 2 ñieåm A, B coù tung ñoä
C2
C1
y A = a < yB = b vaø x1 = f(y) > x 2 = g(y) ³ 0, B
b
vôùi moïi y Î [a; b]. x2 (H) x1
b
a
(4) Û V = pò [f 2 (y) - g 2 (y)].dy A
a x


* Caùc TH2, TH4 vaø TH5 thöïc hieän töông töï nhö vaán ñeà 3.

Ví duï 1: Xeùt hình phaúng giôùi haïn bôûi (P) : y2 = 8x vaø ñöôøng thaúng x = 2. Tính theå tích
khoái troøn xoay khi quay hình phaúng noùi treân:
a/ quanh truïc hoaønh
b/ quanh truïc tung.
Giaûi:
a/ (P): y 2 = 8x Û (P) : y = ± 8x (x ³ 0)
Theå tích V khoái troøn xoay sinh ra khi quay hình phaúng giôùi haïn bôûi (P) vaø x = 2 quanh
truïc Ox laø:



Trang 146
Traàn Só Tuøng Tích phaân

2 2 y
V = p ò y 2 .dx = p ò 8x.dx = 16 p (ñvtt). (P)
0 0
4
1
b/ (P) : y = 8x Û x = y 2
2

8
Theå tích V khoái ... quanh truïc tung laø: 0 2 x

4 2 4
æ1 ö æ 1 ö 899 p
V = p ò 2 - ç y2 ÷ du = p ò ç 2 2 - y 4 ÷ dy = ... =
2
(ñvtt). –
-1 è8 ø -4 è
64 ø 32
x=2
Ví duï 2: Goïi (H) laø hình phaúng giôùi haïn bôûi truïc hoaønh vaø parabol (p) : y = 2x - x 2 . Tính
theå tích cuûa khoái troøn xoay khi cho (H)
a/ quay quanh truïc hoaønh
b/ quay quanh truïc tung.
Giaûi:
a/ Theå tích V khoái troøn xoay khi quay (H) quanh truïc hoaønh laø:
2 2
16 p
V = p ò y .dx = pò (2x - x 2 )2 dx = ... =
2
(ñvtt). y
0 0
15
b/ (P) : y = 2x - x 2 Û x 2 - 2x + y = 0 (1) 1 (P)
x1
D' = 1- y ³ 0 Û 0 £ y £ 1 (H) x2

é x1 = 1 - 1 - y , (0 £ x1 £ 1) 0 1 2 x
(1) Û ê
ê x 2 = 1 + 1 - y, (1 £ x 2 £ 2)
ë
Theå tích V khoái troøn xoay khi quay (H) quanh truïc tung laø:
1 1 1
8p
V = p ò (x - x )dy = pò (x 2 + x1 )(x 2 - x1 )dy = p ò 2(2 1 - y )dy = ... =
2
2
2
1 .
0 0 0
3

x2
Ví duï 3: Cho hình giôùi haïn elip: + y 2 = 1 quay quanh truïc hoaønh. Tính theå tích cuûa
4
khoái troøn xoay ñöôïc taïo neân.
Giaûi:
y
x2 2 2 x2 1
(E) : + y = 1 Û y = 1- Û y=± 4 - x 2 , (| x |£ 2) 1
4 4 2
Theå tích V khoái troøn xoay caàn tìm laø:
–2 0 2 x
2 2
p 8p
V = p ò y 2 .dx = ò2 (4 - x ).dx = ... = 3 (ñvtt).
2
–1
-2
4-
Ví duï 4: Goïi (D) laø mieàn kín giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng: y = x, y = 2 - x vaø y = 0.
Tính theå tích vaät theå troøn xoay khi quay (D) quanh truïc Oy.
Giaûi:

Trang 147
Tích phaân Traàn Só Tuøng

· y = x Û x = x1 = 2
y
· y = 2 - x Û x = x 2 = 2 - y.
y= x
· Theå tích vaät theå troøn xoay 2
khi quay (D) quanh truïc Oy laø: A
1
1 1
V = p ò (x - x )dy = p ò [(2 - y)2 - (y 2 )2 ]
2 2
0 1 2 4
0
2 1
0
x
y = 2-x
32 p
= (ñvtt).
15


BAØI TAÄP
Baøi 18. Tính vaät theå troøn xoay sinh ra bôûi pheùp quay quanh truïc Ox cuûa mieàn (D) giôùi haïn
bôûi caùc ñöôøng:
a/ y = lnx; y = 0; x = 2. b/ x 2 + y - 5 = 0; x + y - 3 = 0.
c/ y = x 2 ; y = x. d/ y = x 2 - 4x + 6; y = -x 2 - 2x + 6.
e/ y = x(x - 1)2 . f/ y = x.e x ; x = 1; y = 0 (0 £ x £ 1)

g/ y = e x ; y =- x + 2 ; x = 0; x = 2. h/ y = x ln(1 + x 3 ); x = 1.
i/ (P) : y = x 2 (x > 0), y = -3x + 10; y = 1 (mieàn (D)) naèm ngoaøi (P)).
p
k/ y = cos 4 x + sin 4 x; y = 0; x = ; x = p.
2
153p 3p
ÑS: a/ 2 p(ln 2 - 1)2 ; b/ ; c/ ;
5 10
p p(e2 - 1)
d/ 3p e/ . f/ ;
105 4
p 56 p 3 p2
g/ p(e2 - 1)2 ; h/ (2 ln 2 - 1). i/ . k/ .
3 5 8
Baøi 19. Tính theå tích khoái troøn xoay ñöôïc taïo thaønh do quay xung quanh truïc oy hình
phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng:
a/ y = x 2 ; y = 1; y = 2. . b/ y = x 2 ; x = y2 .
c/ Ñöôøng troøn taâm I(3 ; 0), baùn kính R = 2.
3p 3p
ÑS: a/ ; b/ ; c/ 24 p2 .
2 10
1
Baøi 20. Xeùt hình (H) giôùi haïn bôûi ñöôøng cong y = ; truïc Ox; x = 1 vaø x = t
x
a/ Tính dieän tích S(t) cuûa (H) vaø theå tích V(t) sinh bôûi (H) khi quay quanh Ox.
b/ Tính: lim S(t) vaø lim V(t).
t ®+¥ t ®+¥




Trang 148
Traàn Só Tuøng Tích phaân

p
ÑS: a/ S(t) = ln t; V(t) = p - ; b/ lim S(t) = +¥; lim V(t) = p
t t ®+¥ t ®+¥


Baøi 21. Cho mieàn (D) giôùi haïn bôûi ñöôøng troøn (C): x 2 + y2 = 8 vaø parabol (p): y2 = 2x.
a/ Tính dieän tích S cuûa (D).
b/ Tính theå tích V sinh bôûi (D) khi quay quanh Ox.
4 4p
ÑS: a/ - 2 p. b/ (8 2 - 7).
3 3
Baøi 22. Tính theå tích vaät theå giôùi haïn bôûi caùc maët taïo neân khi quay caùc ñöôøng:
2/3
æxö
a/ y = b ç ÷ (0 £ x £ a) quanh truïc Ox.
èaø
b/ y = sin x; y = 0 (0 £ x £ p)
a/ quanh truïc Ox b/ quanh truïc Oy.
2
æxö x
c/ y = b ç ÷ ; y = b
èaø a
a/ quanh truïc Ox. b/ Quanh truïc Oy.
d/ y = e - x ; y = 0 (0 £ x < +¥) quanh truïc Ox vaø Oy.
3
ÑS: a/ pab 2 ;
7
p2
b/ a / Vx = ; b / Vy = 2 p2 .
2
4 pab 2
c/ a / Vx = pab 2 ; b / Vy = .
15 6
p
d/ a / Vx = ; b / Vy = 2p.
2




Trang 149
Tích phaân Traàn Só Tuøng



OÂN TAÄP TÍCH PHAÂN

Baøi 1. Tính caùc tích phaân sau:
2 1
x 2dx
a/ ò 2 + x .dx; b/ ò 4 - x2
;
-2 0
2 1
x2 - 1 dx
c/ ò x
dx; d/ ò (1 + x 2 )3
;
1 0
1 p/ 4
x 2 dx x
e/ ò 2 2
; f/ ò dx;
0 (x + 1) 0 cos2 x
p/ 2 p/ 4
sin 4 x + cos 4 x
òe
x
g/ .cos xdx; h/ ò dx;
0 -p / 4 3x + 1
p 5 p / 12
cos2x.dx dx
i/ ò sin x + cos x + 2 ; k/ ò sin 2x + 2 3 cos2 x + 2 - 3
;
0 p / 12

8 p 3 p 2
ÑS: a/ (4 - 2); - ; b/c/ 3- ; d/ ;
3 3 2 3 2
1 1 p 2 1 p/ 2 3p
e/ - + ln 2; f/ + ln ; g/ (e - 1); h/ ;
4 4 4 2 2 16
3
i/ 2ln3 – 2; k/ .
4
ì-2)x + 1), x £ 0 1
Baøi 2. Bieát f(x) = í 2
. Tìm giaù trò K ñeå ò f(x).dx = 1.
îK(1 - x ), x > 0 -1

ÑS: K = 3.
e 2x
Baøi 3. a/ Cho haøm soá f(x) = ò t.ln t.dt. Tìm hoaønh ñoä ñieåm cöïc ñaïi x.
ex
2x
æ 3p ö sin t
b/ Tìm giaù trò x Î ç 0; ÷ ñeå haøm soá f(x) = ò dt ñaït cöïc ñaïi.
è 2 ø x t
p
ÑS: a/ x = - ln 2. b/ x = .
3
x
2t + 1
Baøi 4. Cho haøm soá f(x) = ò 2
dt, - 1 £ x £ 1.
0 t - 2t + 2
Tìm giaù trò lôùn nhaát vaø giaù trò nhoû nhaát cuûa haøm soá f.
æ 1ö
ÑS: a/ min f = f ç - ÷ ; b/ max f = f(1).
è 2ø
x
Baøi 5. Cho haøm soá f(x) = ò (t - 1)(t - 2)2 dt. Tìm ñieåm cöïc trò vaø ñieåm uoán cuûa ñoà thò f.
0




Trang 150
Traàn Só Tuøng Tích phaân

æ 17 ö æ 4 ö æ 4 112 ö
ÑS: CT : ç 1; - ÷ ; Ñ.Uoán : ç 2; - ÷ ; ç ; ÷
è 12 ø è 3 ø è 3 81 ø
Baøi 6. Ñöôøng thaúng (D): x – 3y + 5 = 0 chia ñöôøng troøn (C) : x 2 + y2 = 5 thaønh 2 phaàn,
tính dieän tích cuûa moãi phaàn.
5p 5 15p 5
ÑS: S1 = - ; S2 = + .
4 2 4 2
1
Baøi 7. Xeùt hình phaúng (H) giôùi haïn bôûi ñöôøng cong (C): y = ; y = 0 ; x = 1; x = 2. Tìm
x
toaï ñoä ñieåm M treân (C) maø tieáp tuyeán taïi M seõ caét töø (H) ra moät hình thang coù
dieän tích lôùn nhaát.
æ3 2ö
ÑS: M ç ; ÷ .
è2 3ø
Baøi 8. Cho ñieåm A thuoäc (P): y = x2, (A khaùc goác O); (D) laø phaùp tuyeán taïi A cuûa (P)
((D) vuoâng goùc vôùi tieáp tuyeán taïi A vôùi (P)). Ñònh vò trí cuûa A ñeå dieän tích giôùi
haïn ñænh bôûi (P) vaø (D) laø nhoû nhaát.
4 æ1 1ö æ 1 1ö
ÑS: min S = ; A ç ; ÷ hay A ç - ; ÷ .
3 è2 4ø è 2 4ø
ì x 2 y2
ï - =1
Baøi 9. Cho hình (H) giôùi haïn bôûi: í16 4 .
ïx = 4 2
î
Tính theå tích sinh ra khi (H) quay quanh Oy.
128p
ÑS: .
3
ìy = ax 2 , a > 0
Baøi 10. Cho hình (H) giôùi haïn bôûi: í .
î y = - bx, b > 0
Quay hình (H) ôû goùc phaàn tö thöù hai cuûa heä toaï ñoä quanh truïc Ox. Tìm heä thöùc
giöõa a vaø b ñeå theå tích khoái troøn xoay sinh ra laø haèng soá, khoâng phuï thuoäc vaøo a
vaø b.
ÑS: b5 = K.a3, vôùi K laø haèng soá döông baát kyø.
Baøi 11. Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng:
y = x 2 - 4x + 3 , y = x + 3. (Ñeà thi chung cuûa Boä GDÑT–khoái A_2002)
109
ÑS: (ñvdt).
6
Baøi 12. Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng:
x2 x2
y = 4- vaø y = . (Ñeà thi chung cuûa Boä GDÑT – khoái B _ 2002)
4 4 2


Trang 151
Tích phaân Traàn Só Tuøng

4
ÑS: 2 p + (ñvdt).
3
-3x - 1
Baøi 13. Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi ñöôøng cong (C): y = vaø hai truïc
x -1
toaï ñoä. (Ñeà thi.......................................... khoái D_2002)
4
ÑS: 1 + 4 ln (ñvdt).
3
2 3
dx
Baøi 14. Tính tích phaân I = ò 2
x x +4
.
5

(Ñeà thi.......................................... khoái A_2003)
1 5
ÑS: ln .
4 3
p/2
1 - 2sin 2 x
Baøi 15. Tính tích phaân I = ò 1 + sin 2x
dx.
0

(Ñeà thi.......................................... khoái B_2003)
1
ÑS: ln 2.
2
2
Baøi 16. Tính tích phaân I = ò x 2 - x dx.
0

(Ñeà thi.......................................... khoái D_2003)
ÑS: 1.
2
x
Baøi 17. Tính tích phaân I = ò 1 + x + 1 dx.
1

(Ñeà thi.......................................... khoái A_2004)
11
ÑS: - 4 ln 2.
3
e
1 + 3 ln x.ln x
Baøi 18. Tính tích phaân I = ò x
dx
1

(Ñeà thi.......................................... khoái B_2004)
116
ÑS: .
135
3
Baøi 19. Tính tích phaân I = ò ln(x 2 - x)dx.
2

(Ñeà thi.......................................... khoái D_2004)
ÑS: 3ln3 – 2.




Trang 152
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản