Tích phân đường theo tọa độ

Chia sẻ: Lao Thi Thu Thuy | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:3

0
578
lượt xem
140
download

Tích phân đường theo tọa độ

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo về tích phân đường theo tọa độ trong vật lý phổ thông

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Tích phân đường theo tọa độ

  1. Tích phân đường theo tọa độ (Tp đường loại 2)   Để lại phản hồi   Go to comments   I. Bài toán dẫn đến khái niệm tích phân đường loại 2: Công của 1 lực biến đổi. Trong Vật lý phổ thông, ta đã biết công A của 1 lực   tác dụng lên 1 chất điểm M chuyển  động trên đoạn đường thẳng từ B đến C được tính bởi công thức: , với  (1.1) Hay ta có:   (tích vô hướng giữa vectơ F và vectơ BC). Bây giờ, bài toán đặt ra là cần tính công A của một lực   tác dụng lên 1 chất điểm M  chuyển động trên đoạn đường cong   từ B đến C. Lực   biến thiên liên tục dọc theo cung BC và có thành phần theo  phương ngang (hình chiếu xuống trục Ox) là P(x,y) và thành phần theo phương đứng (hình  chiếu xuống trục Oy) là Q(x,y) (chúng là những hàm số liên tục trên cung BC). Ta có: (1.2) trong đó   là các vectơ đơn vị trên hai trục Ox và Oy. Chia   cung   BC   1   cách   tùy   ý   thành   n   cung   nhỏ   bởi   các   điểm  chia   có các độ dài tương ứng là   . Xét cung nhỏ thứ i:  . Trên cung đó, vì độ dài   khá bé nên có thể xem như cung   trùng với đoạn  thẳng   và chất điểm M coi như chuyển động thẳng trên cung này. Ngoài ra, có thể  xem như lực   không đổi và bằng   với   là 1 điểm tùy ý trên cung thứ i.  Do đó, công của lực F tạo nên khi chất điểm M chuyển động dọc theo cung   gần  đúng bằng: (1.3) trong   đó   và  ,  ,   là   các  hình chiếu của   xuống hai trục Ox và Oy. Do đó, công A của lực F tạo nên khi chất  điểm chuyển động dọc theo cung phẳng từ B đến C được tính gần đúng bằng: (1.4) Khi tăng số phần chia n lên sao cho các cung   càng nhỏ lại thì sự sai biệt giữa An  và A càng bé. Do đó, hiển nhiên công A do lực   tạo ra được xem là giới hạn của An  khi   sao cho  . Vậy: Hay:  (1.5) II. Tích phân đường loại 2: 1. Định nghĩa tích phân đường loại 2: Cho các hàm P(x,y), Q(x,y) xác định trên cung   thuộc mặt phẳng (Oxy).
  2. Từ biểu thức (1.5) nếu tổng An tiến đến 1 giới hạn xác định, không phụ thuộc vào cách  chia cung BC và cách chọn điểm   trên mỗi cung nhỏ   thì giới hạn đó được gọi  là tích phân đường loại 2 (tích phân theo tọa độ) của hai hàm số P(x,y) và Q(x,y) dọc theo  cung BC và được ký hiệu là: 2. Khái niệm cung trơn: Giả sử cung   có phương trình  Cung   được gọi là cung trơn nếu tồn tại các đạo hàm   liên tục và không  đồng thời bằng 0. Cung AB được gọi là trơn từng khúc nếu ta có thể chia thành hữu hạn các cung trơn. 3. Định lý tồn tại: Nếu các hàm số P(x,y) và Q(x,y) liên tục trong miền mở chứa cung   trơn từng khúc thì  tồn tại tích phân đường loại 2 của P(x,y) và Q(x,y) dọc theo cung AB. (ta công nhận kết quả này) 4. Tính chất: 1. Từ định nghĩa dễ thấy rằng: nếu ta đổi chiều trên cung từ C đến B thì các hình chiếu  của   vectơ   lên   hai   trục   Ox,   Oy   đổi   dấu,   do  đó:  2. Nếu P, Q khả tích trên cung AB và   được chia thành 2 cung   thì P, Q cũng  khả   tích   trên   2   cung   đó   và   khi   ấy   ta  có:  3. Tích phân đường có các tính chất như tích phân xác định. Chú ý: Hướng dương trên miền đa liên ­ Trong trường hợp cung   là đường cong kín L (điểm đầu trùng điểm cuối), ta có 2  hướng đi dọc theo cung đường cong kín trên. Khi đó, L là biên giới hạn của miền kín D, ta  quy ước chọn chiều dương trên L là chiều sao cho 1 người đi  dọc trên biên sẽ thấy miền  giới hạn D nằm về phía tay trái. Hướng ngược lại là hướng âm.
  3. Trong trường hợp miền D là miền đơn liên, thì chiều dương chính là chiều ngược chiều kim  đồng hồ. Khi đó, ta thường ký hiệu tích phân đường dọc theo đường cong kín L theo chiều dương  là:  ­   Trong   vật   lý,   thường   ta   hay   gọi   tích   phân   đường   loại   2   là tích   phân   công và   ký  hiệu   , trong đó   và  5. Cách tính (tính trực tiếp): Để tính tích phân đường   ta đưa về tích phân xác định (tích  phân 1 biến). Giả sử   là cung trơn, các hàm số P(x,y), Q(x,y) liên tục trên  . Ta có các trường hợp  sau: Th1: cung AB có phương trình tổng quát:  . Điểm A ứng với   , điểm B ứng  với   . Khi đó, ta có công thức sau: Th2: cung AB có phương trình tổng quát:  . Điểm A ứng với   , điểm B ứng  với   . Khi đó, ta có công thức sau: Th3: cung AB có phương trình tham số:  . Điểm A ứng với  , điểm  B ứng với   . Khi đó, ta có công thức sau: Nhận xét: Từ 3 trường hợp trên, nếu cung AB không có cùng 1 phương trình đường cong  khi đi từ A đến B thì ta phải chia nhỏ cung AB thành các cung sao cho trên mỗi cung có  cùng 1 pt đường cong. 11 Lượt bình chọn Trang: 1 2   Phản hồi (5)   Để lại phản hồi   Trackbacks (0)   Trackback   1. AnHa 01.08.2009 lúc 16:52 | #1 Trả lời | Trích dẫn Nhờ Thầy hướng dẫn giúp em bài này:  với  L:   đi từ A (1;0) đ
Đồng bộ tài khoản