Tích phân suy rộng (Phần 1)

Chia sẻ: loitrian_2008

Tài liệu học môn toán tham khảo trình bày kiến thức về tích phân suy rộng. Tài liệu học tập hay và bổ ích. Mời các bạn cùng tham khảo.

Bạn đang xem 10 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: Tích phân suy rộng (Phần 1)

TÍCH PHÂN SUY RỘNG
Tích phân suy rộng loại 1

(cận vô hạn)

Cho f(x) khả tích trên [a, b], ∀ b ≥ a

+∞ b
∫a ∫a f ( x )dx
f ( x )dx = lim
b →+∞

gọi là tích phân suy rộng loại 1 của f trên [a, +∞ )

Nếu giới hạn tồn tại hữu hạn ta nói tích phân hội
tụ, ngược lại ta nói tích phân phân kỳ.
Giới hạn trên còn được gọi là giá trị của tpsr.
Nhận dạng tpsr loại 1

Nếu f(x) liên tục trên [a, +∞ ) hoặc chỉ có hữu
hạn các điểm gián đoạn loại 1 trên [a, +∞ ) thì
+∞
∫a f ( x )dx là tích phân suy rộng loại 1

dx
+∞
+∞ sin x
∫−2
∫0
VD: dx là tpsr loại 1
2
x + x +1
x
x x +1
+∞ +∞
∫0 ∫0
dx dx
sin x 2
x + 2x − 3
không là tpsr loại 1
ĐỊNH NGHĨA

b b
∫−∞ f ( x )dx = alim ∫a f ( x )dx
→−∞



+∞ +∞
a
∫−∞ f ( x )dx = ∫−∞ f ( x )dx + ∫a f ( x )dx

Lưu ý: tích phân vế trái hội tụ khi và chỉ khi
các tp vế phải hội tụ.
(chỉ cần 1 tp vế phải phân kỳ là tp vế trái phân
kỳ, không cần biết tp còn lại)
Ví dụ
Khảo sát sự hội tụ và tính giá trị nếu tính phân hội tụ

+∞
dx

I= 2
1+ x
0
b
dx b
ϕ (b ) = ∫ = arctan x 0 = arctan b
2
1+ x
0

π +∞ dx
b →+∞
=∫
→
0 1+ x2
2
+∞ b
I=∫ ϕ (b) = ∫ cos xdx = sin b
cos xdx
0 0

Không có gh khi b →+∞
⇒ Phân kỳ


+∞ ln x
I=∫
x
e
b ln x 1 2
ln b
= ln b − 1
ϕ (b ) = ∫ =∫ tdt 
x 2
e 1
b →+∞ ⇒ Phân kỳ
→+∞
Tính chất của tích phân suy rộng


1. f khả tích trên [a, b], ∀ b ≥ a. Khi đó ∀ α > a

+∞ +∞
∫a ∫α
f ( x )dx và f ( x )dx
cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ (cùng bản chất)
Tính chất của tích phân suy rộng


1. f khả tích trên [a, b], ∀ b ≥ a. Khi đó ∀ α ≠ 0

+∞ +∞
∫a ∫a α f ( x )dx
f ( x )dx và
cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ (cùng bản chất)
Tính chất của tích phân suy rộng

1. f, g khả tích trên [a, b], ∀ b ≥ a.

+∞
+∞
∫a
∫a g ( x )dx
f ( x )dx và hội
*
tụ
+∞
( f + g ) dx
⇒∫ hội
a
tụ
+∞ +∞
∫a ∫a
f ( x )dx hội tụ và g ( x )dx phân kỳ
*

+∞
( f + g ) dx
⇒∫ phân kỳ
a
Công thức Newton-Leibnitz

f khả tích trên [a, b], ∀ b ≥ a, F là nguyên hàm
của f trên [a, +∞ ), khi đó

+∞ +∞
∫a = F (x) a = F (+∞) − F (a)
f ( x )dx

F (+∞) = lim F ( x )
trong đó
x →∞


Lưu ý: các phương pháp tính tích phân xác
định vẫn sử dụng được cho tp suy rộng.
Ví dụ

x +1 +∞  1 
x
+∞
dx = ∫  − 2
∫1  dx
2
x + x +1
1 x
x ( x + x + 1)
 
 
 − 1 2x + 1 + 1
+∞ 1 1 
=∫
1 x
1 3 
2 x2 + x +1 2  2

x +  + 

 2 4 

+∞
 ln x − 1 ln x 2 + x + 1 + 1 2 arctan 2 ( x + 1 / 2) 
( )
=
3 1
 
2 23
+∞
 ln x − 1 ln x 2 + x + 1 + 1 2 arctan 2 ( x + 1 / 2) 
( )
=
3 1
 
2 23

+∞
 ( x + 1 / 2) 
x 1
= ln + arctan 2 
3 3 1
2
 x + x +1
1  ln 1 + 1 arctan 3 
= 0 + .arctan(+∞) −  
 
3 3 3
π 1
= + ln 3
63 2
Ví dụ
π
dx dt
+∞ 1 1
I=∫ =∫ 2
π
tan t 1 + tan 2 t cos 2 t
3 2
x 1+ x 3


π
2 dt
=∫ π
sin t
3
π
 tan t 1
2
= ln   π = − ln
 2 3
3
Ví dụ

+∞ − x +∞ +∞ − x
−x
∫0 +∫
x.e dx = − xe e dx
0
0



− x  +∞
−x
=  − xe −e =1
 0
TÍCH PHÂN HÀM KHÔNG ÂM

Cho f(x) không âm và khả tích trên [a, b], ∀ b ≥ a.
Khi đó
b
ϕ (b) = ∫ f ( x )dx là hàm tăng theo biến b.
a

⇒ ϕ (b) hội tụ khi và chỉ khi ϕ (b) bị chận trên.
TÍCH PHÂN HÀM KHÔNG ÂM

Tiêu chuẩn so sánh 1:

Cho f(x), g(x) không âm và khả tích trên [a, b], ∀ b ≥ a
f ( x ) ≤ kg ( x ),  ∀x ≥ α ≥ a
 
Nếu
+∞ +∞
∫a ∫a
g ( x )dx hội tụ thì f ( x )dx hội tụ

+∞ +∞
∫a ∫a
f ( x )dx phân kỳ thì g ( x )dx phân kỳ
TÍCH PHÂN HÀM KHÔNG ÂM

Tiêu chuẩn so sánh 2:

Cho f(x), g(x) không âm và khả tích trên [a, b], ∀ b ≥ a
f (x)
k = lim
Đặt
x →+∞ g ( x )
+∞ +∞ Cùng hội tụ
∫a f ( x )dx , ∫ g ( x )dx
• 0≠k≠ ∞
hoặc phân kỳ
a
+∞ +∞
∫a g ( x )dx hội tụ ⇒ ∫ f ( x )dx hội tụ
•k=0
a
+∞
+∞
∫a
∫a g ( x )dx phân kỳ ⇒ f ( x )dx phân kỳ
•k=∞
Chứng minh tiêu chuẩn so sánh 1

f(x) ≤ kg(x) ⇔ ϕ f(b) ≤ kϕ g(b)

+∞
g ( x )dx hội tụ ⇒ ϕg (b) bị chận trên
∫a
⇒ ϕf (b) bị chận trên

+∞
⇒∫ f ( x )dx hội tụ
a
Chứng minh tiêu chuẩn so sánh 1

f(x) ≤ kg(x) ⇔ ϕ f(b) ≤ kϕ g(b)

+∞
∫a f ( x )dx phân kỳ ⇒ ϕf (b) không bị chận trên

⇒ ϕg ( b ) không bị chận trên


+∞
⇒∫ g ( x )dx phân kỳ
a
Chứng minh tiêu chuẩn so sánh 2.

f (x)
= K ≠ 0, ∞
lim
x →+∞ g ( x )


f (x) K
− K < , ∀x > α

g (x) 2

K 3K
g ( x ), ∀x > α
⇒ g (x) < f (x)
α
=0 ⇒
lim
x →+∞ g ( x ) g (x)

⇒ f ( x ) < g ( x ), ∀x > α

⇒ Kết luận như tiêu chuẩn so sánh 1
f (x) g (x)
= ∞ ⇒ lim =0
lim
x →+∞ g ( x ) x →+∞ f ( x )

Lưu ý: tiêu chuẩn so sánh 2 dùng được cho hàm âm
Tích phân cơ bản

+∞ dx
∫a a>0 Hội tụ ⇔ α > 1
với
α
x

(Nghĩa là: α > 1 thì tp hội tụ, α ≤ 1 thì tp phân kỳ)
Chứng minh:
ln b − ln a,α = 1

b dx
ϕ (b ) = ∫ = 1  1 1
α
 α −1 − α −1  ,α ≠ 1
a x α − 1 b a

Nguyên tắc khảo sát sự hội tụ

1. Kiểm tra loại tpsr ( tính liên tục của hàm f(x) lấy tp).

2. Nếu hàm f(x) liên tục, cố gắng so sánh với tp cơ
bản (thường dùng tiêu chuẩn so sánh 2, bằng phép
thay tương đương VCB và VCL).

3. Nếu f có vài điểm gián đoạn loại 1, hoặc thay đổi
dấu trên 1 đoạn nhỏ, ngắt bỏ đoạn có chứa các
điểm gián đoạn hoặc thay đổi dấu, trên đoạn còn
lại làm giống bước 2.
+∞
∫a f ( x ) dx
4. Nếu f(x) đổi dấu xét
Ví dụ

x −1
+∞
I=∫ dx
Khảo sát sự hội tụ: 3
x + 3x + 2
1

Hàm dưới dấu tp liên tục trên [1, +∞ ), đây là
tpsr loại 1.
x −1
0 ≤ f (x) = 3 , ∀x ∈ [1, +∞)
x + 3x + 2
x 1
Cách 1: f ( x ) < = 2 , ∀x ∈ [1, +∞)
3
x x
+∞ dx
∫1 x 2 hội tụ nên I hội tụ
Cách 2:
x −1 x 1
f (x) = 3 : 3 = 2 , khi  → +∞
 x
x + 3x + 2 x x
1
Chọn g ( x ) = 2
x
3 2
x −1 x −x
f (x) 1 x →+∞
=3 : 2= 3 →1
g ( x ) x + 3x + 2 x x + 3x + 2

+∞ dx
+∞
+∞
f ( x )dx cùng bản chất với ∫ g ( x )dx = ∫
∫1 2
1 1 x
Ví dụ

x −1
+∞
I=∫ dx
Khảo sát sự hội tụ: 3
x + 3x + 2
0

Hàm dưới dấu tp liên tục trên [0, +∞ ), đây là
tpsr loại 1

Lưu ý: 1. Hàm dưới dấu tích phân thay đổi dấu.
+∞ dx
∫0
2. Không thể so sánh I với
x2
x −1
+∞
3. I cùng bản chất với J = ∫ dx
3
1 x + 3x + 2
⇒ I hội tụ
Tính chất của tích phân suy rộng


1. f khả tích trên [a, b], ∀ b ≥ a. Khi đó ∀ α > a

+∞ +∞
∫a ∫α
f ( x )dx và f ( x )dx
cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ (cùng bản chất)
 cos 1 − 1 dx
+∞
I=∫ x  Tiêu chuẩn so sánh 2
 x
1
dùng được cho hàm âm.
 cos 1 − 1 < 0, ∀x ∈ [1, +∞)
x 
 x
 cos 1 − 1 : x  − 1  = − 1
f (x) = x    2
 x  2x  2x
1
Chọn g ( x ) =
x
f (x) 2 1  x →+∞ 1
= x  cos − 1 →−
 x
g (x) 2
f (x) 2 1  x →+∞ 1
= x  cos − 1 →−
 x
g (x) 2

+∞ dx
+∞ +∞
∫1 ∫1 g ( x )dx = ∫
f ( x )dx cùng bản chất với
x
1

Vậy I phân kỳ.
+∞  1 1
I=∫  − sin  dx
x x
1


Khai triển Maclaurin cho f theo u = 1/x trong lân cận ∞

1 1 1 1  1   : 1. 1
f (x) = −  − . 3 + o  3  
6 x3
 x 
x x 6 x

1 f ( x ) x →+∞ 1
Chọn g ( x ) = 3 , →
g (x) 6
x
+∞ dx
+∞
∫1 g ( x )dx = ∫ : hội tụ
I cùng bản chất với 3
1 x
Tìm tất cả các giá trị của α để tp sau hội tụ.
+∞
2x + 3

I= dx
(4+ x )
α 34
x +1
0

1. f(x) liên tục trên [0, +∞ ), I là tpsr loại 1

1. Ngắt bỏ đoạn [0, 1], I cùng bản chất với
+∞
2x + 3

J= dx
(4+ x ) α 34
x +1
1

1. f(x) > 0 trên [1, +∞ ), sử dụng tiêu chuẩn so sánh.
2x + 3
f (x) =
(4+ x ) α3 4
x +1
2x 1
,α > 0
=2 (1)
4 1
+α +α
x3 x3
2x 11
,α < 0
= (2)
: 4
21
4x 3 x3
2x 21
,α = 0
= (3)
4 1
5
5x 3 x3
1
,α > 0
f (x) : 2
(1) 1

x3
1 2
+α >1 ⇔α >
I hội tụ ⇔
3 3

11
,α < 0
(2) f (x) : ⇒ I phân kỳ
21
x3
21
,α = 0
(3) f ( x ) : ⇒ I phân kỳ
51
x3
+∞ (không thay tương
−x
I=∫ 2
x .e dx đương được)
1

1
Xét g ( x ) = α
x
2 +α
2 −x
f ( x ) x .e x x →+∞
= =x → 0, ∀α
1
g (x) e
α
x
+∞
∫1
α ≤1 g ( x )dx phân kỳ. Không có kết luận cho I
+∞
∫1
α >1 g ( x )dx hội tụ ⇒ I hội tụ
+∞
∫1
α >1 g ( x )dx hội tụ ⇒ I hội tụ

Vậy chỉ cần chọn α = 2, ta kết luận được I hội tụ.
Tức là
−x
2 4
f ( x ) x .e x
= = x → 0(= k )
1
g (x) e
Trong bài
làm chỉ 2
x
viết như
1
+∞
bên cạnh
∫1 dx hội tụ ⇒ I hội tụ
2
x
+∞ ln x (không thay tương
I=∫ dx đương được)
x2
1

1
Xét g ( x ) = α
x

nếu 2 − α > 0 (1)
ln x 0
f (x) x 2 ln x
= = 2 −α
1
g (x) x
+∞ nếu 2 − α ≤ 0 (2)

Lưu ý: phải chọn α sao cho có thể kết luận I
hội tụ hay phân kỳ.
α < 2: k = 0
(1)

+∞ +∞
> 1: ∫ g ( x )dx hội tụ ⇒ ∫
(a) α f ( x )dx hội tụ
1 1

+∞
(b) α ≤ 1: ∫1 g ( x )dx phân kỳ

⇒không có kết luận cho I

+∞
∫1
α ≥ 2: k = ∞ g ( x )dx hội tụ
(2) và

⇒không có kết luận cho I
+∞
∫1
α < 2 g ( x )dx hội tụ
⇒ k = 0 và
(1) (a) 
α > 1 +∞
⇒∫ f ( x )dx hội tụ
1
chọn α = 3/2

ln x
Trong
f (x) x = ln x
2
x →+∞
= → 0
bài làm
1 1/2
g (x) x
chỉ viết
x 3/ 2
như bên
cạnh
+∞ +∞
∫1 g ( x )dx hội tụ ⇒ ∫ f ( x )dx hội tụ
1
Sự hội tụ tuyệt đối
(hàm có dấu tùy ý)

+∞
∫a f
Cho f(x) khả tích trên [a, b], ∀ b ≥ a, nếu
+∞ +∞
∫a ∫a
f hội tụ. Khi đó ta nói f
hội tụ thì

hội tụ tuyệt đối.

• Sự hội tụ tuyệt đối là sự hội tụ của tích phân |f|

• Hội tụ tuyệt đối ⇒ hội tụ
Ví dụ
+∞ −x2
I=∫
Khảo sát sự hội tụ: x.e cos x.dx
1

−x2
f ( x ) = x.e cos x thay đổi dấu trên [1, +∞ )

+∞ +∞ −x2
I1 = ∫ f ( x ) dx = ∫ x.e cos x dx
Xét
1 1

−x2
f ( x ) ≤ x.e
−x2
f ( x ) ≤ x.e (Các hàm không âm)

−x2
x3
x.e x →+∞
= → 0
1 x2
e
2
x
+∞ dx +∞ −x2
∫1 ⇒∫ x.e dx
hội tụ hội tụ
2
x 1

+∞
⇒∫ f ( x ) dx
hội
1
tụ
⇒ I hội tụ tuyệt đối
+∞ cos x
I=∫ dx
2
1 x

Hàm lấy tích phân thay đổi dấu trên [1, +∞ )

cos x
+∞ +∞
I1 = ∫ f ( x ) dx = ∫ dx
2
1 1 x
1 +∞ dx
f (x) ≤ 2 , ∫1 ⇒ I1 hội tụ
hội tụ
2
x x
⇒ I hội tụ tuyệt đối
+∞ cos x
I=∫ dx
x
1


Hàm lấy tích phân thay đổi dấu trên [1, +∞ )

cos x
+∞ +∞
I1 = ∫ f ( x ) dx = ∫ dx
x
1 1

1 +∞ dx
f (x) ≤ , ∫1 phân kỳ
x x
⇒ Không có kết luận cho I1
+∞ cos x
Dùng tích phân từng phần cho I
I=∫ dx
x
1
u = 1 ⇒ du = − dx
 2
x
 x
dv = cos xdx , v = sin x

+∞
cos x +∞ sin xdx
+∫
I=− 2 2
1
x1 x
+∞ sin xdx
+∫
= sin1 2
1 x
const hội tụ tuyệt đối ⇒ I hội tụ
Tích phân cần nhớ

+∞ cos ax +∞ sin ax
I=∫ dx    J = ∫ dx
   
α α
1 1
x x
Với mọi α > 0, I và J luôn luôn hội tụ
Phương pháp khảo sát:
1. Nếu α > 1 : dùng sự hội tụ tuyệt đối
(chận bỏ cos, sin)
2. Nếu 0
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản