Tích phân và ứng dụng

Chia sẻ: Mai Linh | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:6

Thêm vào BST

Báo xấu

255
lượt xem 79
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tích phân là một khái niệm toán học có thể hiểu như là diện tích hoặc diện tích tổng quát hóa. tích phân và vi phân là những khái niệm cơ bản của giải tích. Mọi định nghĩa tích phân đều...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tích phân và ứng dụng

Chuyeân ñeà 13: TÍCH PHAÂN VAØ ÖÙNG DUÏNG TOÙM TAÉT GIAÙO KHOA I. Baûng tính nguyeân haøm cô baûn: Baûng 1 Baûng 2 Haøm soá f(x) Hoï nguyeân haøm F(x)+C Haøm soá f(x) Hoï nguyeân haøm F(x)+C a ( haèng soá) ax + C (ax + b)α xα +1 1 (ax + b)α +1 α +C +C x α +1 α +1 a 1 1 1 ln x + C ln ax + b + C ax + b x a ax ax +C lna e ax + b 1 ax + b ex ex + C +C e a sinx -cosx + C sin(ax+b) 1 − cos(ax + b) + C a cosx Sinx + C cos(ax+b) 1 sin(ax + b) + C a tgx + C 1 1 1 tg(ax + b) + C cos2 x cos2(ax + b) a -cotgx + C 1 1 1 − cot g(ax + b) + C sin2 x 2 sin (ax + b) a 1 x −a ln u(x ) + C 1 u' ( x ) +C ln x − a2 2 2a x + a u(x ) tgx 1 − ln cos x + C ln x + x 2 + a2 + C 2 2 x +a cotgx ln sin x + C Phöông phaùp 1: • Phaân tích tích phaân ñaõ cho thaønh nhöõng tích phaân ñôn giaûn coù coâng thöùc trong baûng nguyeân haøm cô baûn • Caùch phaân tích : Duøng bieán ñoåi ñaïi soá nhö muõ, luõy thöøa, caùc haèng ñaúng thöùc ... vaø bieán ñoåi löôïng giaùc baèng caùc coâng thöùc löôïng giaùc cô baûn. Ví duï : Tìm hoï nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá sau: 1 2x − 5 f (x ) = cos3 x + f(x) = 1. 2. x + 1− x x − 4x + 3 2 Phöông phaùp 2: Söû duïng caùch vieát vi phaân hoùa trong tích phaân 1+ ln x tgx ∫ cos ∫ cos x dx ∫ 5 x sin xdx dx Ví duï: Tính caùc tích phaân: 1. 2. 3. x I. TÍNH TÍCH PHAÂN BAÈNG CAÙCH SÖÛ DUÏNG ÑN VAØ CAÙC TÍNH CHAÁT TÍCH PHAÂN [ a; b] . Giaû söû 1. Ñònh nghóa: Cho haøm soá y=f(x) lieân tuïc treân F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) thì: b ∫ f (x )dx = [ F(x )] a = F (b) − F (a) b ( Coâng thöùc NewTon - Leiptnitz) a 2. Caùc tính chaát cuûa tích phaân: b ∫ f (x )dx = 0 • Tính chaát 1: Neáu haøm soá y=f(x) xaùc ñònh taïi a thì : a b a ∫ f (x )dx = − ∫ f (x )dx • Tính chaát 2: a b
b [ a; b] ∫ cdx = c(b − a) • Tính chaát 3: Neáu f(x) = c khoâng ñoåi treân thì: a b [ a; b] ∫ f (x )dx ≥ 0 f (x ) ≥ 0 thì • Tính chaát 4: Neáu f(x) lieân tuïc treân vaø a [ a; b] f (x ) ≥ g(x ) ∀x ∈ [ a;b] • Tính chaát 5: Neáu hai haøm soá f(x) vaø g(x) lieân tuïc treân vaø thì b b ∫ f (x )dx ≥ ∫ g(x )dx a a [ a; b] vaø m ≤ f (x ) ≤ M ( m,M laø haèg soá thì hai n ) • Tính chaát 6: Neáu f(x) lieân tuïc treân b m(b − a) ≤ ∫ f (x )dx ≤ M (b − a) a [ a; b] • Tính chaát 7: Neáu hai haøm soá f(x) vaø g(x) lieân tuïc treân thì b b b ∫[ f (x ) ± g(x )] dx = ∫ f (x )dx ± ∫ g(x )dx a a a [ a; b] • Tính chaát 8: Neáu haøm soá f(x) lieân tuïc treân vaø k laø moät haèng soá thì b b ∫ k . f (x )dx = k.∫ f (x )dx a a [ a; b] • Tính chaát 9: Neáu haøm soá f(x) lieân tuïc treân vaø c laø moät haèng soá thì b c b ∫ f (x )dx = ∫ f (x )dx + ∫ f (x )dx a a c [ a; b] • Tính chaát 10: Tích phaân cuûa haøm soá treân cho tröôùc khoâng phuï thuoäc vaøo bieán soá , nghóa laø : b b b ∫ f (x )dx = ∫ f (t )dt = ∫ f (u)du = ... a a a 1 1 1 x x ∫ (2x + 1)3dx ∫ ∫x 1− xdx dx Baøi 1: Tính caùc tích phaân sau:1) 2) 3) 4) 2x + 1 0 0 0 π π 1 1 3 4x + 11 2x − 5 x3 4sin3 x 6 2 ∫ x2 + 5x + 6dx ∫ x2 − 4x + 4dx ∫ x2 + 2x + 1dx ∫ (sin x + cos x)dx ∫ 1+ cosxdx 6 6 5) 6) 7) 8) 9) 0 0 0 0 0 π π π π π 1 1+ sin2x + cos2x 1 2 1+ sin2x 4 2 12) ∫ x cos 2xdx 11) ∫ sinx + cosx dx cos 2 x dx . 13) 4 (cos 4 x − sin 4 x)dx 4 ∫ cos2 x dx ∫ 4 10) 14) dx ∫ ∫ e +1 0 1 + 2 sin 2 x π 0 0 0 0 6 π π 4 dx 0 1 sin 3 x cos x 2 2 dx ∫ ∫ 15) 16) ) 18) dx dx ∫ ∫ x + 2x − 3 x + 2x + 5 2 2 0 2 cos 3 x + 1 0 5 − 2 sin x −2 −1 Baøi 2: 2 1 π 3 5 3 4 ∫ ( x + 2 − x − 2)dx 4) ∫ x2 + − 2dx ∫x ∫2 ∫ ∫x − 1dx − 4dx 1+ cos2xdx 2 x − 3x + 2dx 2 1) 2) 3) 5) 6) 7) x2 1 −3 −3 −1 0 0 2 2π 2 ∫ 1+ sinxdx ∫ x − x dx 2 8) 0 0 Baøi 3: f (x) = A sinπx + B 1) Tìm caùc haèng soá A,B ñeå haøm soá thoûa maõn ñoàng thôøi caùc ñieàu kieän
2 ∫ f(x)dx = 4 f (1 = 2 ' ) vaø 0 2 ∫ [a + (4 − 4a)x + 4x3]dx = 12 2 2) Tìm caùc giaù trò cuûa haèng soá a ñeå coù ñaúng thöùc : 0 II. TÍNH TÍCH PHAÂN BAÈNG PHÖÔNG PHAÙP ÑOÅI BIEÁN SOÁ : b ∫ f[u(x)].u(x)dx baèng caùch ñaët t = u(x) ' 1) DAÏNG 1:Tính I = a u (b ) b ∫ f [ u ( x )].u ' ( x)dx = ∫ f (t )dt Coâng thöùc ñoåi bieán soá daïng 1: a u (a) Caùch thöïc hieän: t = u ( x) ⇒ dt = u ' ( x) dx Böôùc 1: Ñaët x=b t = u (b ) ⇒ Böôùc 2: Ñoåi caän : x=a t = u (a ) Böôùc 3: Chuyeån tích phaân ñaõ cho sang tích phaân theo bieán t ta ñöôïc u (b ) b I = ∫ f [ u ( x)].u ' ( x)dx = ∫ f (t )dt (tieáp tuïc tính tích phaân môùi) a u(a) Tính caùc tích phaân sau: π π π π π 1 2 2 4 2 4 sin4x 1 ∫ cos xsin xdx 2) ∫ cos xdx 3) ∫ 1+ cos xdx 4) ∫ x 1− x dx 5) sin2x(1+ sin2 x)3dx 3 2 ∫ ∫ cos xdx 3 2 5 1) 6) 7) 2 4 0 0 0 0 0 0 π π 1 e 1+ ln2 x e 3 1+ lnx tg4x 6 4 1 cosx ∫ x (1− x ) dx ∫ cosxdx ∫ x dx ∫ ∫ 5 36 dx dx ∫ 6− 5sinx + sin2 xdx 8) 9) 10) 11) 2) x cos2x 0 1 1 0 0 0 π π π π dx ln(tgx) ln 5 3 cos x + sin x sin 2 x 4 sin 2 x 2 2 dx ∫x ∫ ∫ 3+ sin2x dx 13) 14) 15) 16) 17) 18) dx dx ∫ ∫ −x ln 3 e + 2e −3 π sin 2 x 0 ( 2 + sin x ) 2 cos x + 4 sin x 2 2 0 0 4 π π π π π sin x − cos x 2 sin 2 x + sin x sin 2 x cos x 2 4 2 2 dx 20) ∫ 19) ∫ ∫ (1 − tg x)dx π 21) 22) + cos x) cos xdx 23) 8 sin x dx dx ∫ (e ∫ 1 + sin 2 x 0 1 + cos x 1 + 3 cos x 0 0 0 4 π x dx 24) ∫ 1 + 3 ln x ln x dx 2 1 − 2 sin 2 x e 4 ∫ 25) dx ∫ 11+ x −1 x 0 1 + sin 2 x 1 b ∫ f(x)dx baèng caùch ñaët x = ϕ(t) 2) DAÏNG 2: Tính I = a β b I = ∫ f ( x)dx = ∫ f [ϕ (t )]ϕ ' (t )dt Coâng thöùc ñoåi bieán soá daïng 2: α a Caùch thöïc hieän: x = ϕ (t ) ⇒ dx = ϕ ' (t )dt Böôùc 1: Ñaët t=β x=b ⇒ Böôùc 2: Ñoåi caän : t =α x=a Böôùc 3: Chuyeån tích phaân ñaõ cho sang tích phaân theo bieán t ta ñöôïc β b I = ∫ f ( x)dx = ∫ f [ϕ (t )]ϕ ' (t )dt (tieáp tuïc tính tích phaân môùi) α a Tính caùc tích phaân sau:
π 2 1 1 1 1 1 1 1 1 x 2 1 ∫ ∫ 1+ x2dx ∫ dx 4) ∫ 2 dx 5) ∫ 4 2 dx x2 2 1− x dx 2)2 ∫ 1+ cos x + sin x dx ∫ 1) 3) 6) 7) 8) dx x − x+1 x + x +1 4 − x2 1− x 2 0 0 0 0 0 0 0 π 2 2 1 1 1− x 2 3 9 + 3x2 ∫ 2 3 cos x dx 13) ∫ ∫ x 4− x dx 9) 1 ∫ 2 2 dx dx 11) ∫ ∫ x x2 − 1dx 10) 12) dx x x2 −1 x2 (1+ x ) 5 2 7+ cos2x 0 1 1 0 2 3 π 1 1+ x 4 cos x dx dx x x −1 1 0 2 ∫ 1+ x ∫ dx dx 17) ∫ ∫ dx ∫ 14) 15) 16) 18) 6 −1 x + 2 x + 2 0 1 + 1 + 3x 2 1+ cos x 1 x−5 2 0 0 II. TÍNH TÍCH PHAÂN BAÈNG PHÖÔNG PHAÙP VI PHAÂN: Tính caùc tích phaân sau: 7 ln2 2 8 7 3 dx 1 x3 1 23 x +1 3 ∫ ∫ x x + 1dx ∫x ∫ ∫ 2 3 dx 1+ x dx 5 2 ∫ dx dx x ∫ 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) dx x x2 + 4 ex + 2 x2 +1 1+ x 2 3 3x + 1 3 5 0 0 0 0 3 0 III. TÍNH TÍCH PHAÂN BAÈNG PHÖÔNG PHAÙP TÍCH PHAÂN TÖØNG PHAÀN: Coâng thöùc tích phaân töøng phaàn: b b b b ∫ u ( x ).v ' ( x )dx = [ u ( x).v( x)] a − ∫ v( x).u ' ( x )dx ∫ udv = [ u.v ] a − ∫ vdu b b Hay: a a a a Caùch thöïc hieän: u = u ( x) du = u ' ( x) dx ⇒ Böôùc 1: Ñaët dv = v' ( x)dx v = v( x) b b ∫ udv = [ u.v ] a − ∫ vdu b Böôùc 2: Thay vaøo coâng thöùc tích phaân töøng töøng phaàn : a a b [ u.v] ba ∫ vdu Böôùc 3: Tính vaø a Tính caùc tích phaân sau: π π π π2 1 2 e lnx x + sinx 3 2 ∫ x5 dx 2) ∫ xcos2 xdx 3) ∫ e sinxdx 4) ∫ cos2 x dx 7) ∫ xsinxcos xdx ∫ xln xdx ∫ sin xdx x 2 2 1) 5) 6) 0 0 1 1 0 0 0 π π e ln x 1 2 e ln(1+ x) ∫ (x + 1) 4 2 dx ∫ x2 dx 10) ∫ (x + 1) e dx ∫ (xlnx) dx 2 2x 2 ∫ x(2cos x − 1)dx ∫ cosx.ln(1+ cosx)dx 2 8) 9) 11) 12) 13) 2 1 0 1 1 0 0 e π 1 ln x e 1 1 2 ∫ xtg xdx 2 ∫ ( x − 2)e dx 16) ∫ x ln(1 + x )dx ∫ (2 x + 7) ln( x + 1)dx 2x 2 2 dx 18) ∫ 14) 15) 17) ∫ ( x + cos x) sin xdx 19) 3 x 1 0 0 0 0 0 3 ∫ ln( x − x )dx 2 20) 2 MOÄT SOÁ BAØI TOAÙN TÍCH PHAÂN QUAN TROÏNG VAØ ÖÙNG DUÏNG a ∫ f(x)dx = 0 Baøi 1: 1) CMR neáu f(x) leû vaø lieân tuïc treân [-a;a] (a>0) thì : −a a a ∫ f(x)dx = 2∫ f(x)dx 2) CMR neáu f(x) chaün vaø lieân tuïc treân [-a;a] (a>0) thì : −a 0 Baøi 2: 1) CMR neáu f(t) laø moät haøm soá lieân tuïc treân ñoïan [0,1] thì: π π π π π 2 2 ∫ xf(sinx)dx = 2∫ f(sinx)dx ∫ f(sinx)dx = ∫ f(cosx)dx a) b) 0 0 0 0 AÙP DUÏNG: Tính caùc tích phaân sau:
π π π π π x + cosx 2 cosn x cos4 x sin6 x 2 2 2 ∫ sin6 x + cos6 xdx 4) ∫ xsin xdx ∫ 4− sin 5 dx ∫ cosn x + sinn xdx vôùn∈ Z 2) ∫ cos4 x + sin4 xdx + 1) 3) 5) i 2 x π 0 − 0 0 0 2 π π 1 x 4 + sin x xsinx ∫ 4− cos2 xdx 8) ∫ x cos x sin xdx ∫1 x 2 + 1 dx 7) 4 3 6) − 0 0 α α f (x ) ∫α a x + 1dx = ∫ f (x )dx vôùα ∈ R+ vaø >0 ; a ≠ 1 i a Baøi 3:CMR neáu f(x) lieân tuïc vaø chaün treân R thì − 0 AÙP DUÏNG : Tính caùc tích phaân sau: π 1 sin2 x x4 1 1− x 2 ∫ 3x + 1 dx ∫1 2x + 1dx ∫ dx 1) 2) 3) 1+ 2x −π − −1 IV .ÖÙNG DUÏNG TÍCH PHAÂN TÍNH DIEÄN TÍCH HÌNH PHAÚNG: Coâng thöùc: (C1 ) : x = f ( y ) (C ) : x = g ( y ) (C1 ) : y = f ( x) 2 (C ) : y = g ( x ) (H ) :  2 ∆ 1 : y = a (H ) :  ∆1 : x = a ∆ 2 : y = b y (C 2 ) : x =  g ( y) y x=b ∆ 2 : x = b b b S = ∫ [ f (x ) − g ( x)] dx S = ∫ [ f ( y ) − g ( y )] dy x= a  y=b (C1 ) : y = f ( x) ab a yC yC xC xC (H ) 1 2 1 2 (C 2 ) : y = g ( x) (H ) Tính dieän tích cuûa caùc hình phaúng sau: −3x − 1 a  y=a  y= x2 x x y = 4− x−1  4 O (H )a:  y = x − 4x + 3 3) (H ):  y = x O (H ):  y = x 2 2     b y = 0 1) (H ):    5) (H ):  2) 4) 6) (H ): 1 2 3 4 5 6  x = − y 1 ) : x = f ( y )  y = 2 − x2 2 y = x + 3 x2  y = x = 0   (C    42   lnx y = 2 x  3 3  y = x + x −  y = x2 − 2x 2  y2 + x − 5 = 0  y2 − 2y + x = 0   y= 0 2 2 10) (H ):   7) (H ):  8) (H ) :  9) (H ):  11) 7 8 9 10 x + y − 3 = 0 x + y = 0  y = − x + 4x 2  x = e y = x   x=1   (C ) : y = x (C ) : y = e x   (d ) : y = 2 − x 12) (d ) : y = 2 (Ox) (∆) : x = 1   V. ÖÙNG DUÏNG TÍCH PHAÂN TÍNH THEÅ TÍCH VAÄT THEÅ TROØN XOAY. Coâng thöùc: y y x=b b y=b x=a (C ) : y = f ( x) x=0 (C ) : x = f ( y ) y=a a 2 2 x b b V = π ∫ [ f ( y )] dy V = O ∫ [ f a x)] dx = 0 x π ( y b O a a Tính theå tích khoái troøn xoay ñöôïc taïo neân do D quay Baøi 1: Cho mieàn D giôùi haïn bôûi hai ñöôøng : x2 + x - 5 = 0 ; x + quanh truïc Oy y-3=0 Tính theå tích khoái troøn xoay ñöôïc taïo neân do D quay y = (x − 2)2 Baøi 3: Cho mieàn D giôùi haïn bôûi hai ñöôøng : vaø quanh truïc Ox y=4 Baøi 2: Cho mieàn D giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng : Tính theå tích khoái troøn xoay ñöôïc taïo neân do D quay quanh: y = x;y = 2 − x;y = 0 a) Truïc Ox b) Truïc Oy
Baøi 4: Cho mieàn D giôùi haïn bôûi hai ñöôøng : Baøi 5: Cho mieàn D giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng : y = 4− x ; y = x + 2 . 2 2 x2 1 y= ;y = Tính theå tích khoái troøn xoay ñöôïc taïo neân do D quay x2 +1 2 quanh truïc Ox Tính theå tích khoái troøn xoay ñöôïc taïo neân do D quay quanh truïc Ox ------------------------------Heát-------------------------------