Tìm nguyên hàm bằng định nghĩa và các tính chất

Chia sẻ: Tạ Tuấn Anh | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:22

Thêm vào BST

Báo xấu

643
lượt xem 164
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'tìm nguyên hàm bằng định nghĩa và các tính chất', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tìm nguyên hàm bằng định nghĩa và các tính chất

I. Tìm nguyên hàm bằng định nghĩa và các tính chất 1/ Tìm nguyên hàm của các hàm số. 1 x 3 3x 2 1. f(x) = x2 – 3x + ĐS. F(x) = − + ln x + C x 3 2 2x 4 + 3 2x3 3 2. f(x) = ĐS. F(x) = − +C x2 3 x x −1 1 . f(x) = 2 ĐS. F(x) = lnx + + C x x ( x 2 − 1) 2 x 3 1 4. f(x) = ĐS. F(x) = − 2x + + C x2 3 x 3 4 5 ĐS. F(x) = 2 x + 3x + 4 x + C 2 3 4 5. f(x) = x + x + x 3 4 3 4 5 1 2 6. f(x) = − ĐS. F(x) = 2 x − 33 x 2 + C x 3 x ( x − 1) 2 7. f(x) = ĐS. F(x) = x − 4 x + ln x + C x x −1 5 2 8. f(x) = 3 ĐS. F(x) = x 3 − x 3 + C x x 9. f(x) = 2 sin 2 ĐS. F(x) = x – sinx + C 2 10. f(x) = tan2x ĐS. F(x) = tanx – x + C 1 1 11. f(x) = cos2x ĐS. F(x) = x + sin 2 x + C 2 4 12. f(x) = (tanx – cotx)2 ĐS. F(x) = tanx - cotx – 4x + C 1 13. f(x) = ĐS. F(x) = tanx - cotx + C sin x. cos 2 x 2 cos 2 x 14. f(x) = ĐS. F(x) = - cotx – tanx + C sin x. cos 2 x 2 1 15. f(x) = sin3x ĐS. F(x) = − cos 3x + C 3 1 16. f(x) = 2sin3xcos2x ĐS. F(x) = − cos 5 x − cos x + C 5 1 17. f(x) = ex(ex – 1) ĐS. F(x) = e 2 x − e x + C 2 e−x 18. f(x) = ex(2 + ) ĐS. F(x) = 2ex + tanx + C cos 2 x 2a x 3 x 19. f(x) = 2ax + 3x ĐS. F(x) = + +C ln a ln 3 1 20. f(x) = e3x+1 ĐS. F(x) = e 3 x +1 + C 3 2/ Tìm hàm số f(x) biết rằng 1. f’(x) = 2x + 1 và f(1) = 5 ĐS. f(x) = x2 + x + 3 x3 2. f’(x) = 2 – x2 và f(2) = 7/3 ĐS. f(x) = 2 x − +1 3
8 x x x 2 40 3. f’(x) = 4 x − x và f(4) = 0 ĐS. f(x) = − − 3 2 3 1 x 2 1 3 4. f’(x) = x - + 2 và f(1) = 2 ĐS. f(x) = + + 2x − x2 2 x 2 5. f’(x) = 4x3 – 3x2 + 2 và f(-1) = 3 ĐS. f(x) = x4 – x3 + 2x + 3 b x2 1 5 6. f’(x) = ax + 2 , f ' (1) = 0, f (1) = 4, f (−1) = 2 ĐS. f(x) = + + x 2 x 2 II. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM 1.Phương pháp đổi biến số. Tính I = ∫ f [u ( x)].u ' ( x)dx bằng cách đặt t = u(x) ặ Đặt t = u(x) ⇒ dt = u ' ( x)dx ⇒ I = ∫ f [u ( x)].u ' ( x)dx = ∫ f (t )dt BÀI TẬP Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: dx dx 1. ∫ (5 x − 1)dx 2. ∫ (3 − 2 x) 5 3. ∫ 5 − 2 x dx 4. ∫ 2x −1 x ∫ (2 x + 1) 7 xdx ∫ (x + 5) 4 x 2 dx ∫ 8. ∫ 2 2 3 5. 6. 7. x 2 + 1.xdx dx x +5 3x 2 dx ln 3 x 9. ∫ 5 + 2x 3 dx 10. x (1 + x ) ∫ 2 11. ∫ x dx 12. ∫ x.e x 2 +1 dx sin x tgxdx 13. ∫ sin x cos xdx 14. ∫ 5 dx ∫ cot gxdx ∫ cos 4 15. 16. 2 cos x x x dx dx e 17. ∫ sin x 18. ∫ cos x 19. ∫ tgxdx 20. ∫ x dx e x dx e tgx dx 21. ∫ e −3x 22. ∫ cos 2 x dx 23. ∫ 1 − x 2 .dx 24. ∫ 4 − x2 dx x 2 dx dx 25. ∫ x 1 − x .dx 2 2 26. ∫ 1+ x2 27. ∫ 1− x2 28. ∫x 2 + x +1 dx ∫ cos ∫x x − 1.dx 31. ∫ x ∫x 3 29. x sin 2 xdx 30. 32. 3 x 2 + 1.dx e +1 2. Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần. Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên I ∫ u( x).v' ( x)dx = u ( x).v( x) − ∫ v( x).u ' ( x)dx Hay ∫ udv = uv − ∫ vdu ( với du = u’(x)dx, dv = v’(x)dx) Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: 1. ∫ x. sin xdx 2. ∫ x cos xdx 3. ∫ ( x + 5) sin xdx 4 ∫ ( x + 2 x + 3) cos xdx 2 2 ∫ x sin 2 xdx ∫ x cos 2 xdx ∫ x.e ∫ ln xdx x 5. 6. 7. dx 8.
ln xdx ∫ x ln xdx ∫ ln ∫ ∫e 2 x 9. 10. xdx 11. 12. dx x x ∫ cos x dx ∫ xtg ∫ sin x dx ∫ ln( x + 1)dx 2 2 13. 2 14. xdx 15. 16. ∫ e . cos xdx ∫ x e dx 19. ∫ x ln(1 + x 20. ∫ 2 xdx 2 x 3 x 2 x 17. 18. )dx ln(1 + x) ∫ x lg xdx ∫ 2 x ln(1 + x)dx 23. ∫ x dx 24. ∫ x cos 2 xdx 2 21. 22. 2 TÍCH PHÂN I. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VÀ NGUYÊN HÀM CƠ BẢN: 1 e 1 1 1. ∫ ( x + x + 1)dx 2. ∫ ( x + + + x 2 )dx 3 0 1 x x2 3 2 2. ∫ 1 x − 2 dx 3. ∫ 1 x + 1dx π 2 1 4. ∫ (2 sin x + 3cosx + x)dx ∫ (e + x )dx x 5. π 0 3 1 2 ∫ (x + x x )dx 7. ∫ ( x + 1)( x − x + 1)dx 3 6. 0 1 π 2 1 1 8. ∫ (3sin x + 2cosx + ) dx ∫ (e + x 2 + 1)dx x 9. π x 0 3 2 2 10. ∫ ( x + x x + 3 x )dx 11. ∫ ( x − 1)( x + x + 1)dx 2 1 1 3 2 x.dx ∫ (x + 1). ∫1 x + 2 3 12. dx 13. 2 −1 2 5 e 7x − 2 x − 5 dx 14. ∫ x dx 15. ∫ 2 x+ 2 + x − 2 1 π 2 ( + 1)dx x . 3 cos x.dx2 16. ∫ 2 17. ∫ 3 1 x + xl x n π snx i 6 π 1 4 tgx . dx e x − e− x 19. ∫ x dx 18. ∫ 0 cos2 x 0 e + e− x 1 2 ex . dx dx 20. ∫ ex + e− x 21. ∫ 1 4x 2 + 8x 0 π l 3 n dx . 2 dx 22. ∫ 0 e + e− x x 22. ∫ 1 + si x n 0
1 2 2 24. ∫ (2 x + x + 1) dx ∫ 25. ( 2 x − x − )dx 2 3 −1 0 3 2 4 ∫ ∫ 27. ( x − 4)dx 2 26. x( x − 3)dx −2 −3 2 2  1 1  x 2 − 2x 28. ∫  2 + 3 dx 29. ∫ dx 1 x x  1 x3 1 e 16 dx 30. ∫ 1 x 31. ∫ 1 x .dx e e2 2 x + 5 − 7x 8  1 32. ∫ x dx  ∫ 33.  4 x − 1 dx  33 x 2  1 II. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ: π π 2 2 ∫ sin ∫ sin 3 1. xcos 2 xdx 2. 2 xcos 3 xdx π π 3 3 π π 2 4 3. sin x 3. ∫ 1 + 3cosx dx 0 ∫ tgxdx 0 π π 4 6 4. ∫ cot gxdx π 5. ∫ 1 + 4sin xcosxdx 0 6 1 1 6. ∫ x x + 1dx ∫x 1 − x 2 dx 2 7. 0 0 1 1 x2 8. ∫ x x + 1dx ∫ 3 2 9. dx 0 0 x3 + 1 1 2 1 ∫x 1 − x 2 dx ∫x 3 10. 11. dx 0 1 x3 + 1 1 1 1 1 12. ∫ 1+ x 2 dx 13. ∫ 2 x + 2x + 2 dx 0 −1 1 1 1 1 14. ∫ 0 x2 + 1 dx 15. ∫ (1 + 3x 0 2 2 ) dx π π 2 2 16. ∫ e cosxdx 17. ∫ e sin xdx sin x cosx π π 4 4 π 1 2 ∫e ∫ sin x2 + 2 3 18. xdx 19. xcos 2 xdx 0 π 3 π π 2 2 ∫e ∫e sin x cosx 20. cosxdx 21. sin xdx π π 4 4
π 1 2 ∫e 23. ∫ sin 3 xcos 2 xdx 2 x +2 22. xdx 0 π 3 π π 2 2 24. ∫ sin xcos xdx 2 3 sin x π 25. ∫ 1 + 3cosx dx 0 3 π π 4 4 27. ∫ cot gxdx ∫ 26. tgxdx 0 π 6 π 1 6 28. ∫ 1 + 4sin xcosxdx 29. ∫x 0 x 2 + 1dx 0 1 1 ∫ x 1 − x dx ∫x x 2 + 1dx 2 3 30. 31. 0 0 1 2 1 x ∫ ∫x 1 − x 2 dx 3 32. dx 33. 0 x +1 3 0 2 e 1 1 + ln x 34. ∫x x +1 1 3 dx 35. ∫ x dx 1 e e sin(ln x) 1 + 3ln x ln x 36. ∫ dx 37. ∫ dx 1 x 1 x e 2ln x +1 e2 e 1 + ln 2 x 38. ∫ 1 x dx 39. ∫ x ln x dx e 2 e 2 1 x 40. ∫ cos 2 (1 + ln x) dx 41. ∫ 1+ 1 x −1 dx e 1 1 x 42. ∫ 0 2x +1 dx 43. ∫x 0 x + 1dx 1 1 1 1 44. ∫ 0 x +1 + x dx 45. ∫ 0 x +1 − x dx 3 e x +1 1 + ln x 46. ∫ 1 x dx 46. ∫ 1 x dx e e sin(ln x) 1 + 3ln x ln x 47. ∫ 1 x dx 48. ∫ x dx 1 e 2ln x +1 e2 e 1 + ln 2 x 49. ∫ 1 x dx 50. ∫ x ln x dx e 1 ∫ e2 1 51. ∫ cos dx 52. x 2 x 3 + 5dx e 2 (1 + ln x) 0
π 4 ∫ 2 ∫ ( sin x + 1) cos xdx 4 − x 2 dx 53. 4 54. 0 0 4 1 dx 55. ∫ 0 4 − x 2 dx 56. ∫ 0 1 + x2 0 1 ∫ ∫ 2 x +3 −x 57. e dx 58. e dx −1 0 1 1 x x 59. ∫ (2x + 1)3dx 60. ∫ dx 0 0 2x + 1 1 1 4x + 11 61. ∫ x 1− xdx 62. ∫ x2 + 5x + 6dx 0 0 1 3 2x − 5 x3 63. ∫ x2 − 4x + 4dx 64. ∫ x2 + 2x + 1dx 0 0 π π 6 2 3 65. ∫ (sin6 x + cos6 x)dx 66. ∫ 4sin x dx 0 0 1+ cosx π π 67. ∫ 1+ sin2xdx 4 2 2 68. ∫ cos4 2xdx 0 cos x 0 π 1 1+ sin2x + cos2x 2 1 69. ∫ dx 70. ∫ ex + 1dx . π sinx + cosx 0 6 π π 72. ∫ cos 2 x dx 4 4 71. ∫ (cos 4 x − sin 4 x)dx 0 0 1 + 2 sin 2 x π π 73. ∫ sin 3x dx cos x 2 2 74. ∫ dx 0 2 cos 3 x + 1 0 5 − 2 sin x 0 2x + 2 1 dx 75. ∫ 2 dx 76. ∫ 2 −2 x + 2x − 3 −1 x + 2x + 5 π π 2 2 77. ∫ cos3 xsin2 xdx 78. ∫ cos xdx 5 0 0 π 1 4 79. ∫ sin4x dx 80. ∫ x 1− x dx 3 2 0 1+ cos2 x 0 π π 2 4 81. ∫ sin2x(1+ sin2 x)3dx 82. 1 0 ∫ cos xdx 0 4 π e 1+ lnx 4 1 83. ∫ 1 x dx 84. ∫ cosxdx 0
e 1 1+ ln2 x 85. ∫ 86. ∫ x (1− x ) dx 5 3 6 dx 1 x 0 π 3 6 cosx tg4x 87. ∫ 6 − 5sinx + sin2 x dx 88. ∫ 0 cos2x dx 0 π π 89. ∫ cos x + sin x dx sin 2 x 4 2 90. ∫ dx 0 3+ sin2x 0 cos x + 4 sin 2 x 2 π ln 5 dx 2 sin 2 x 91. ∫ x −x 92. ∫ dx ln 3 e + 2e −3 0 ( 2 + sin x ) 2 π π ln(tgx ) 3 4 93. π ∫ dx 94. ∫ (1 − tg 8 x)dx sin 2 x 0 4 π π 2 sin x − cos x 96. ∫ sin 2 x + sin x dx 2 95. ∫ dx π 1 + sin 2 x 0 1 + 3 cos x 4 π π 97. ∫ sin 2 x cos x dx 2 2 98. ∫ (e sin x + cos x) cos xdx 0 1 + cos x 0 2 x e 1 + 3 ln x ln x 99. ∫ dx 100. ∫ dx 11+ x −1 1 x π 1 101. ∫ 1 − 2 sin x dx 2 ∫ 1− x2 dx 4 102. 0 1 + sin 2 x 0 1 1 1 1 103. ∫ 1+ x2 dx 104. ∫ dx 0 4 − x2 0 1 1 1 x 105. ∫ x2 − x + 1dx 106. ∫ x4 + x2 + 1dx 0 0 π 2 2 107. ∫ 1 108. 2 x2 0 1+ cos x + sin x dx ∫ 0 1− x2 dx 2 2 3 109. ∫ x 4− x dx 1 2 2 110. 1 ∫x 2 x2 − 1 dx 1 3 9 + 3x2 1− x 101. ∫ x2 dx 112. ∫ 0 (1+ x)5 dx 1 2 π 1 ∫ 2 113. dx 114. cos x 2 x x2 − 1 ∫ 0 7+ cos2x dx 3 1 π 1+ x 4 cos x 115. ∫ 1+ x6 dx 116. ∫ dx 0 0 1+ cos2 x 0 dx 1 dx 117. ∫ 118. ∫ −1 x + 2x + 2 1 + 1 + 3x 2 0
8 x x −1 2 1 119. ∫ dx 120. ∫ dx 1 x−5 3 x x +1 2 7 3 x3 ∫ ∫x 1+ x2 dx 5 121. dx 122. 0 3 1+ x 2 0 7 ln2 1 3 x+ 1 123. ∫ e +2 dx x 124. ∫ dx 0 0 3 3x + 1 2 2 3 dx 125. ∫ x x + 1dx 2 3 126. ∫ 0 5 x x2 + 4 II. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN: b b Công thức tích phân từng phần : ∫ u( x)v'(x)dx = u ( x)v( x) a − ∫ v( x)u '( x)dx b a a Tich phân cac ham số dễ phat hiên u và dv ́ ́ ̀ ́ ̣ sin ax β   ̣ @ Dang 1 ∫ f ( x) cosax dx α e ax    u = f ( x) du = f '( x)dx    sin ax   sin ax     ⇒    dv = cos ax  dx v = ∫ cosax  dx  e ax   e ax        β ̣ @ Dang 2: ∫ f ( x) ln(ax)dx α  dx u = ln(ax ) du = x Đăt  ̣ ⇒  dv = f ( x)dx v = f ( x)dx  ∫ β ax sin ax  @ Dang 3: ∫ e .  ̣ dx α cosax  Ví dụ 1: tinh cac tich phân sau ́ ́ ́ 1 2 x u = x 2 e x 3 8 u = x 5 xe  x dx  a/ ∫ dx đăt  ̣ dx b/ ∫ 4 3 đăt  ̣ x3 dx 0 ( x + 1) 2  dv = ( x + 1) 2 2 ( x − 1)  dv = 4   ( x − 1)3 1 1 1 1 dx 1 + x2 − x2 dx x 2 dx c/ ∫ =∫ dx = ∫ −∫ = I1 − I 2 0 (1 + x 2 ) 2 0 (1 + x 2 ) 2 0 1 + x 2 0 (1 + x 2 ) 2 1 dx Tinh I 1 = ∫ ́ băng phương phap đôi biên số ̀ ́ ̉ ́ 0 1 + x2
1 u = x x 2 dx  Tinh I 2 = ∫ ́ băng phương phap từng phân : đăt ̀ ́ ̀ ̣  x (1 + x 2 ) 2  dv = dx 0  (1 + x 2 ) 2 Bài tập e e ln 3 x 1. ∫ 3 dx 2. ∫ x ln xdx 1 x 1 1 e ∫ x ln( x + 1)dx ∫x 2 2 3. 4. ln xdx 0 1 e 3 e ln x 5. ∫ 1 x3 dx 6. ∫ x ln xdx 1 1 e ∫ x ln( x + 1)dx ∫x 2 2 7. 8. ln xdx 0 1 π e 2 1 ∫ 9. ( x + cosx) s inxdx 10. ∫ x 1 ( x + ) ln xdx 0 π 2 3 ∫ ln( x + x )dx ∫ x tan 2 2 11. 12. xdx 1 π 4 π 2 ln x ∫ 2 13. 1 x5 dx 14. ∫ x cos xdx 0 π 1 ∫ 2 15. 0 xe x dx 16. ∫ 0 e x cos xdx Tính các tích phân sau π π π 1 2 6 2 ∫ 3x 1) x.e dx ( x − 1) cos xdx (2 − x) sin 3 xdx 4) x. sin 2 xdx 0 2) 3) ∫ 0 ∫ 0 ∫ 0 e e 3 1 ∫ ∫ ∫ x ln xdx 6) (1 − x ). ln x.dx 4 x. ln x.dx 8) x. ln(3 + x ).dx ∫ 2 2 5) 7) 1 1 1 0 π π 2 π 2 2 ∫ 9) ( x + 1).e .dx 10) x. cos x.dx ∫ 2 x 1 11) x 2 . cos x.dx 0 ∫ 12) ( x 2 + 2 x ). sin x.dx 0 ∫ 0
π 2 1 π2 lnx 2 13) ∫ 5 dx 14) xcos2 xdx ∫ ∫ x 15) e sinxdx 16) sin xdx 1 x ∫ 0 0 0 π π e π x + sinx 19) xsinxcos xdx 3 4 ∫ ∫ 2 2 17) xln xdx 18) 1 dx ∫ 0 2 cos x 0 ∫ 20) x(2cos2 x − 1)dx 0 π 2 1 e ln(1+ x) 2 21) ∫ dx 22) ∫ (x + 1)2 e2xdx 23) ∫ (xlnx) dx 24) cosx.ln(1+ cosx)dx 2 1 x2 0 1 ∫ 0 e ln x 1 25) ∫ (x+ 1) 1 1 dx 26) ∫ xt xdx 27) ∫ ( x − 2)e dx 28) ∫ x ln(1 + x )dx g2 2x 2 1 2 0 0 0 e π e ln x 2 3 31) ∫ (2 x + 7) ln( x + 1)dx 32) ∫ ln( x − x) dx 2 29) ∫ dx 30) ( x + cos 3 x) sin xdx ∫ 2 1 x 0 0 2 III. TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ: 5 b 2x −1 1 1. ∫ 2 dx 2. ∫ dx 3 x − 3x + 2 a ( x + a )( x + b) 1 1 x3 + x + 1 x3 + x + 1 3. ∫ dx 4. ∫ dx 0 x +1 0 x2 +1 1 1 x2 1 5. ∫ dx 6. ∫ ( x + 2) dx 0 (3 x + 1) ( x + 3) 2 3 2 0 2 0 1− x 2008 2x 3 − 6x 2 + 9x + 9 7. ∫ x(1 + x 2008 ) dx 1 8. ∫ x 2 − 3x + 2 dx −1 x 2 n −3 3 1 x4 9. ∫ 2 dx 10. ∫ dx 2 ( x − 1) 2 0 (1 + x 2 ) n 2 2 x2 − 3 1 11. ∫ dx 12. ∫ x(1 + x dx 1 x ( x + 3 x + 2) 4 2 4 1 ) 2 1 1 x 13. ∫4+ x 0 2 dx 14. ∫1+ x 0 4 dx 2 1 1 x 15. ∫ 2 dx 16. ∫ (1 + x dx 0 x − 2x + 2 2 3 0 ) 4 3 1 3x 2 + 3 x + 3 17. ∫ x 3 − 2 x 2 + x dx 2 18. ∫ x 3 − 3x + 2 dx 2 2 1 1− x2 1 19. ∫ 1+ x4 dx 20. ∫1+ x 0 3 dx 1 1 1 x +x +x +2 6 5 4 2 − x4 21. ∫ dx 22. ∫ dx 0 x6 + 1 0 1+ x 2 1 4 x + 11 ∫ 1 23. 1 + x dx 4 24. ∫ 1 + x6 dx 0 0 x2 + 5x + 6
1 dx ∫ 3 x+2 25. x2 + x + 1 26. ∫ x − 1 dx 2 0 1  2x − 2 0   x−2  27. ∫  − 3 dx 28.  ∫  2 x − 1 − 2 x + 1dx 0 x +1  −1  2 1  3x − 1  x 2 + 2x + 3 29. ∫  − x − 1dx 30. ∫ dx 0 x+2  0 x+3  x2 + x +1 0   2x 2 + x − 2 1  31. ∫   x − 1 − 2 x + 1dx  32. ∫   − x + 1dx  −1  0 x +1  1 dx 33. ∫x 0 2 + 4x + 3 IV. TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC: π π 2 2 ∫ 1. sin 2 x cos 4 xdx 0 ∫ 2. sin 2 x cos 3 xdx 0 π π 2 2 3. sin 4 x cos 5 xdx 4. (sin 3 x + cos 3 ) dx ∫ 0 ∫ 0 π π 2 2 5. cos 2 x(sin 4 x + cos 4 x)dx 6. (2 sin 2 x − sin x cos x − cos 2 x) dx ∫ 0 ∫ 0 π π 2 1 2 7. ∫ dx 8. (sin 10 x + cos10 x − cos 4 x sin 4 x)dx π sin x ∫ 0 3 π π 2 2 9. dx 10. 1 ∫ 2 − cos x 0 ∫ 2 + sin x dx 0 π π 3 2 sin 3 x dx 11. ∫ 1 + cos 2 x dx 12. ∫ π sin 4 x. cos x 0 6 π π 4 2 13. dx 14. cos x ∫ sin 0 2 x + 2 sin x cos x − cos 2 x ∫ 1 + cos x dx 0 π π 2 2 15. cos x 16. sin x ∫ 2 − cos x dx 0 ∫ 2 + sin x dx 0 π π 17. 2 cos 3 x 18. 2 1 ∫ 1 + cos x dx 0 ∫ sin x + cos x + 1 dx 0
π π 2 cos xdx 2 sin x − cos x + 1 19. ∫ π (1 − cos x ) 2 20. ∫π sin x + 2 cos x + 3 dx − 3 2 π π 4 4 22. ∫ cot g xdx 3 ∫ 21. tg 3 xdx 0 π 6 π π 3 4 23. ∫ tg xdx 1 4 24. π ∫ 1 + tgx dx 0 4 π π 4 dx sin x + 7 cos x + 6 ∫ 2 25. 26. 0 cos x cos( x + π ) ∫ 4 sin x + 5 cos x + 5 dx 0 4 π 2π 4 27. ∫ 1 + sin x dx 28. dx ∫ 2 sin x + 3 cos x + 0 0 13 π π 4 sin 3 x 30. 1 + cos 2 x + sin 2 x dx 4 2 29. ∫ 1 + cos 4 x dx 0 ∫ sin x + cos x 0 π π 2 2 dx 31. sin 3x ∫ 1 + cos x dx 32. ∫ π sin 2 x − sin x 0 4 π π 33. 4 sin 3 x 2 34. sin 2 x(1 + sin 2 x) 3 dx ∫ cos 2 x dx 0 ∫ 0 π π 3 3 sin 3 x − sin x 35. ∫ cos x sin x dx 36. ∫ dx 0 π sin 3 xtgx 4 π π 2 2 37. dx 38. dx ∫ 1 + sin x + cos x 0 ∫ 2 sin x + 1 0 π π 2 4 39. ∫ cos x sin xdx sin 4 xdx 3 5 40. π ∫ 1 + cos 0 2 x 4 π π 6 2 dx dx 2. ∫ 41. ∫ 5 sin x + 3 0 π 4 sin x cos x 6 π π 3 3 dx dx 43. ∫ π 4. ∫ π π sin x sin( x + ) π sin x cos( x + ) 6 6 4 4
π π 3 sin xdx 2 3 π 45. ∫ π cos 6 x 46. ∫ tgxtg ( x + )dx π 6 4 6 π 0 sin 2 x 47. 3 4 sin xdx 48. ∫π (2 + sin x) ∫ (sin x + cos x) 3 2 − 0 2 π π 2 2 49. sin 3 x dx 50. ∫ ∫x 2 cos xdx 0 0 π π 2 51. sin 2 x.e 2 x +1 dx 52. 2 1 + sin x ∫ ∫ 1 + cos x e x dx 0 0 π π 4 sin 3 x sin 4 x 2 53. ∫ dx 54. sin 2 xdx π tgx + cot g 2 x ∫ sin 0 2 x − 5 sin x + 6 6 π 2 3 ln(sin x ) 55. ∫ cos(ln x )dx 56. π ∫ cos 2 x dx 1 6 π π 2 ∫ x sin x cos 2 57. (2 x − 1) cos 2 xdx 58. xdx ∫ 0 0 π π 4 60. ∫ e sin xdx 2x 2 59. ∫ xtg xdx 2 0 0 π π 2 4 ∫ 61. e sin 2 x sin x cos 3 xdx 0 ∫ 62. ln(1 + tgx )dx 0 π π 4 dx 2 (1 − sin x ) cos x 63. ∫ (sin x + 2 cos x) 0 2 64. ∫ (1 + sin x)(2 − cos 0 2 x) dx π π 2 ∫ sin 2 x sin 7 xdx 2 65. − π 66. ∫0 cos x(sin 4 x + cos 4 x) dx 2 π π 2 2 3 4sin x 67. ∫ 0 1 + cos x dx 68. ∫ cos 5 x. cos 3xdx − π 2 π π 2 4 ∫π 69. sin 7 x. sin 2 xdx 70. sin x cos xdx ∫ − 0 2 2 π 4 ∫ 71. sin 2 xdx 0
V. TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ: b ∫ R( x, f ( x))dx a Trong ®ã R(x, f(x))cã c¸c d¹ng: a−x π +) R(x, ) Æt = cos2t, t ∈ [0; ] § x a a+x 2 +) R(x, a 2 − x 2 ) Æt = a sin t Æ c = a cos t § x ho x ax + b ax + b +) R(x, n ) Æt n § t= cx + d cx + d 1 αx + βx + γ )’= 2 +) R(x, f(x))= Víi ( k(ax+b) (ax + b) αx + β x + γ 2 1 Khi Æ t αx 2 + βx + γ , ho Æ c Æ t ®ã ® t= ® t= ax + b π π +) R(x, a 2 + x 2 ) Æt = a tgt , t ∈ [− § x ; ] 2 2 a π +) R(x, x 2 − a 2 ) Æt = § x , t [0; π ] \ { } ∈ cos x 2 +) R ( n1 n .. n x ; 2 x ;.; i x ) G äi k = B C N H ( n 1 ; n 2 ; ...;n i) § Æt = k x t 2 2 3 dx 2. ∫ dx 1. ∫ x x2 + 4 2 x x2 −1 5 3 1 2 2 dx dx 3. ∫ (2 x + 3) 1 4 x 2 + 12 x + 5 4. ∫x 1 x3 + 1 − 2 2 2 dx 5. ∫ x 2 + 2008dx 6. ∫ 1 x 2 + 2008 1 1 1 ∫ 1 + x dx ∫ (1 − x 2 ) 3 dx 2 2 7. x 8. 0 0 2 3 x2 +1 2 1+ x 9. ∫x 2 x2 +1 dx 10. ∫ dx 1 0 1− x 2 1 dx 2 11. ∫ (1 + x 2 ) 3 12. ∫ dx 0 0 (1 − x 2 ) 3 2 1 2 x 2 dx ∫ 1 + x dx 2 13. 0 14. ∫ 0 1− x2 π π 2 2 cos xdx 15. ∫ 0 7 + cos 2 x ∫ 16. sin x cos x − cos 2 x dx 0
π π 18. sin 2 x + sin x dx 2 2 cos xdx 17. ∫ 0 2 + cos x 2 ∫ 0 1 + 3 cos x 7 3 x 3 dx ∫ ∫ 20. x 10 − x dx 3 2 19. 0 3 1+ x 2 0 1 1 xdx x 3 dx 21. ∫ 0 2x + 1 22. ∫ x+ 0 x2 +1 7 1 dx ∫ ∫ 24. x 1 + 3 x dx 15 8 23. 2 2x + 1 + 1 0 π ln 3 25. 2 26. dx ∫ 6 1 − cos 3 x sin x cos 5 xdx ∫ 0 ex +1 0 1 ln 2 dx e 2 x dx 27. ∫1+ x + −1 x2 +1 28. ∫ 0 ex +1 1 e 1 + 3 ln x ln x 29. ∫ 12 x − 4 x 2 − 8dx 5 30. ∫ 1 x dx 4 3 4 x5 + x3 31. ∫ 1+ x2 dx 32. ∫ 0 x 3 − 2 x 2 + x dx 0 0 ln 3 ln 2 x 33. ∫ x (e + x + 1)dx ∫ 2x 3 34. dx −1 ln 2 x ln x + 1 π cos 2 x ln 2 + 2 3tgx e x dx 35. 3 ∫ cos 2 x dx 36. ∫ (e x + 1) 3 0 cos 2 x 0 π π 3 2 cos xdx cos xdx 37. ∫ 0 2 + cos 2 x 38. ∫ 0 1 + cos 2 x 7 2a x+2 39. ∫ 0 3 x+3 dx 40. ∫ 0 x 2 + a 2 dx VI. MỘT SỐ TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT: Bµi to¸n ë Ç u : Hµ m f(x) liªn tôc m ® sè trªn a; [ a], khi ®ã: a a ∫ f ( x)dx = ∫ [ f ( x) + f (− x)]dx −a 0 3π 3π VÝ dô: Cho +) f(x) liªn tôc trªn [ ; ] tháa m∙n f(x) + x) f( = 2 2 2 − 2 cos 2 x , 3π 2 TÝnh: ∫π f ( x)dx 3 − 2
1 x 4 + sin x +) TÝnh ∫ dx −1 1 + x 2 a Bµi to¸n : Hµ m y 1 sè = f(x) liªn tôc vµ lÎtrªn a, [ a], khi ®ã: ∫ f ( x )dx = 0. −a π 1 2 VÝ dô: TÝnh: ∫ ln( x + 1 + x 2 )dx ∫π cos x ln( x + 1 + x 2 )dx −1 − 2 a Bµi to¸n : Hµ m y 2 sè = f(x) liªn tôc ½ n vµ ch [ a], khi ã: ∫ f ( x )dx trªn a, ® = 2 −a a ∫ f ( x)dx 0 π 2 x + cos x ∫ 1 x dx VÝ dô: TÝnh ∫x −1 4 − x2 +1 4 − sin 2 x dx π − 2 Bµi to¸n : Cho m y 3 hµ sè = f(x) liªn tôc, ch ½ n trªn a, [ a], khi ®ã: a a f ( x) ∫a1 + b x dx = ∫ f ( x)dx (1 ≠ b>0, ∀ a) − 0 π 3 x2 +1 2 sin x sin 3 x cos 5 x VÝ dô: TÝnh: ∫ dx ∫π dx −3 1+ 2x 1+ ex − 2 π π π 2 2 Bµi to¸n : N Õ u = 4 y f(x) liªn tôc [0; 2 ∫ ∫ trªn ],th× f (sin x ) = f (cos x )dx 0 0 π π 2 sin 2009 x 2 sin x VÝ dô: TÝnh ∫ sin 2009 x + cos 2009 x dx 0 ∫ 0 sin x + cos x dx π ππ Bµi to¸n : Cho 5 f(x) x¸c Þ n h ® trªn 1; [ 1], khi ®ã: ∫ xf (sin x)dx = ∫ f (sin x)dx 0 20 π π x x sin x VÝ dô: TÝnh ∫ 1 + sin x dx 0 ∫ 2 + cos x dx 0 b b b b Bµi to¸n : ∫ f (a + b − x )dx = ∫ f ( x )dx 6 ⇒ ∫ f (b − x)dx = ∫ f ( x)dx a a 0 0 π π x sin x 4 VÝ dô: TÝnh ∫ 1 + cos 0 2 x dx ∫ sin 4 x ln(1 + tgx)dx 0 Bµi to¸n : N Õ u 7 f(x) liªn tôc trªn R vµ tuÇn hoµn víichu k× T th×: a +T T nT T ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx a 0 ⇒ ∫ f ( x)dx = n ∫ f ( x)dx 0 0
2008π VÝ dô: TÝnh ∫ 0 1 − cos 2 x dx C¸c bµi tËp dông: ¸p π 1 1− x 2 4 x7 − x5 + x3 − x + 1 1. ∫ dx 2. ∫π cos 4 x dx −1 1 + 2 x − 4 π 1 dx 2 x + cos x 3. ∫ (1 + e x )(1 + x 2 ) 4. ∫π 4 − sin 2 x dx −1 − 2 1 2π 2 1− x 5. ∫ cos 2 x ln( )dx ∫ 6. sin(sin x + nx)dx 1 1+ x 0 − 2 π tga cot ga 2 sin 5 x xdx dx 8. ∫ 1 + x 2 ∫ + =1 7. ∫ 1 + cos x dx 1 1 x(1 + x 2 ) (tga>0) −π 2 e e VII. TÍCH PHÂN HÀM GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI: 3 2 ∫ x 2 − 1dx ∫ 2. x − 4 x + 3 dx 2 1. −3 0 π 1 2 ∫ 3. x x − m dx 0 ∫π 4. sin x dx − 2 π π 3 5. − ∫π 1 − sin x dx 6. ∫ π tg 2 x + cot g 2 x − 2dx 6 3π 4 2π 7. ∫ sin 2 x dx 8. ∫ 1 + cos x dx π 0 4 5 3 ∫ ∫ 10. 2 − 4 dx x 9. ( x + 2 − x − 2 )dx −2 0 π 3 4 ∫π 11. cos x cos x − cos x dx ∫ 12. 2) x − 3x + 2dx 3 2 −1 − 2 2 5 1 14. ∫ x2 + − 2dx 13. ∫ ( x + 2 − x − 2)dx x2 1 −3 2 3 π ∫ 15. 2 − 4dx ∫ 1+ cos2xdx x 16. 0 0 2π 2 ∫ 1+ sinxdx 18. ∫ x − x dx 2 17. 0 0
VIII. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN: TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Ví dụ 1 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi a/ Đồ thị hàm số y = x + x -1 , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x = 1 b/ Đồ thị hàm số y = ex +1 , trục hoành , đường thẳng x = 0 và đường thẳng x =1 c/ Đồ thị hàm số y = x3 - 4x , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x=4 d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trục hoành , trục tung và đường thẳng x = 2 π Ví dụ 2 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi a/ Đồ thị hàm số y = x + x -1 , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x = 1 b/ Đồ thị hàm số y = ex +1 , trục hoành , đường thẳng x = 0 và đường thẳng x =1 c/ Đồ thị hàm số y = x3 - 4x , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x=4 d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trục hoành , trục tung và đường thẳng x = 2 π Bµi Cho : 1 (p) = 2 + vµ êng : y x 1 ® th¼ng (d):y x T× m Ó = m + 2. m ® diÖn tÝch h×nh ¼ n g ph giíih¹n bëi hai êng ® trªn diÖn cã tÝch nhá nhÈt 4 2 Bµi Cho = m m Ó 2: y x 4x + (c) T× m ® h×nh ¼ n g ph giíih¹n bëi cã (c) vµ 0x diÖn tÝch phÝa ë trªn vµ 0x phÝa b»ng díi0x nhau Bµi 3: X¸c Þ n h ® tha m m sè sao cho = x y m chia h×nh ¼ n g ph giíih¹n bëi x − x 3  y = o ≤ x ≤ 1 y = 0  Cã hai Ç n ph diÖn tÝch b»ng nhau 4: (p):y2 =2x Bµi chia ph giíibëi 2 +y 2 thµnh h×nh ¼ n g x = 8 hai Ç n.T Ýnh ph diÖn tÝch çi Ç n m ph  x 2 + 2ax + 3a 2  y=  1+ a4 Bµi 5: Cho > a 0 TÝnh diÖn tÝch h×nh ¼ n g ph giíih¹n bëi   y = a − ax 2   1+ a4 T× m ® Ó a diÖn tÝch lín nhÊt 6: Tính Bµi diện tích của các hình phẳng sau:   −3x − 1 x2  y= y = 4−  y = x2 − 4x + 3 x−1  4   1) (H1):  2) (H2) :  3) (H3):  y= 0 y = x + 3 2 y = x  x = 0   4 2    y = x2  y = x   y2 + x − 5 = 0 4) (H4):  5) (H5):  6) (H6):  x = −y x + y − 3 = 0 2 y = 2− x 2  
 lnx y = 2 x   3 3  y = x2 − 2x y = x + x − 2   7) (H7): y = 0 8) (H8) :  9) (H9):  2 2  y = − x + 4x 2 x = e  y = x   x = 1  (C ) : y = x (C ) : y = e x  y − 2y + x = 0 2   10) (H10):  11) (d ) : y = 2 − x 12) (d ) : y = 2 x + y = 0 (Ox) (∆) : x = 1   y = x  y 2 = 2x + 1 y = − 4 − x2   13)  14)  2 15) x + y − 2 = 0 y = x −1 x + 3 y = 0  y = 0   x2  y=  y = ln x, y = 0  2  y 2 = 2x  16  17  18)  1 y = 1  y = x, y = 0, y = 3 x = e , x = e    1+ x 2  1 1  y = sin 2 x ; y = cos 2 x  19.  20): y – 2 = 4x x ; (p) vµ tiÕp tuyÕn cña (p) qua ®i π x = ; x = π   6 3 M(5/6,6) y = x  y = x − 4x + 5 2  y = −x + 6x − 5 2    y = 1  21)  y = −2 x + 4 22)  y = − x + 4 x − 3 2 23)  x  y = 4 x − 11  y = 3 x − 15 y = 0    x = e   y = / x 2 − 1/  y = x 3  y = −3 x 2 − / x / + 2 24)  25)  2 26)   y = / x /+ 5 y = x  y = 0  y = x 2 − 2x + 2 y = x + 2 2   y = / x 2 − 1/  28)  y = x + 4 x + 5 2 27)  29)  y = 4 − x y = 1 y = −x2 + 7   y = x 3  y = sin x − 2 cos x  2   y = x + 3 + 30)  y = 0 31)  y = 3 32)  x  x = −2; x = 1  x = 0; x = π y = 0     y = 2x 2 − 2x  y = x + 2x 2   y = / x 2 − 5x + 6 / 34)  y = x + 3 x − 6 2 33)  35)  y = x + 2  x = 0; x = 4 y = 6 
 y = 2x 2   y = / x 2 − 3x + 2 / 36)  y = x 2 − 2x − 1 37)  y = 2 y = 2   y = / x 2 − 5x + 6 /   y = / x − 3x + 2 / 2  y = / x 2 − 4x + 3 / 38)  39)  40)  y = x +1 y = −x2  y = 3 y = eÏ  x2  −x  y=  y = sin/ x / 41)  y = e 42)  x2 − x6 43)  x = 1  x = 0; x = 1  y = / x /− π    y = 2x 2  y 2 = 2x    y 2 = x 2 (a 2 − x 2 ) 44)  y = x 2 − 4x − 4 45)  2 x + 2 y + 1 = 0 46)  y = 8 y = 0 a  0    y = ( x + 1) 2  y 2 = / x − 1/ x = / y 2 − 1/ 47)  48)  49)  32)  x = sin πy x = 2 x = 2     x = ( y + 1) 2 y = 4 − x2  x = 0;   4  1  y = sin x 33)  2 34)  x = x = 0 y = x  2    x  4 2 y = ;y =0  1− x4  y = x 2 y = 5 x −2    y 2 = 6x   x2  y 2 = (4 − x) 3  35)  y=0 36)  2 37)  y= 38)  2 39)  x = 0; y = 3 − x  x + y = 16  2  27  y = 4x    27 y = x    y = / log x /  y = 0  1  x = , x = 10  10 y = x ax = y 2    y 2 = 2x  (a>0) 41)  y = sin x + x 42)  2 40)  2 43) 2 /25+y 2 /9 vµ x = 1 ay = x  0 ≤ x ≤ π 27 y 2 = 8( x − 1) 2   hai tiÕp tuyÕn qua ®i A(0;15/4) 2 44) Cho (p):y = x vµ ®iÓ m A(2;5) êng ® th¼ng (d) qua h Ö gãc ®i A cã sè k .X¸c Þ n h ® Ó ® k diÖn tÝch h×nh ¼ n g ph giíih¹n bëi (p) vµ (d) nhá nhÊt  y = x3 − 2x 2 + 4x − 3 45)  y = 0 TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY