Tín Hiệu và Hệ Thống - Bài 7: Phép biến đổi Laplace và Miền hội tụ Biến đổi Laplace ngược, Các tính chất

Chia sẻ: dvad11

Tham khảo bài thuyết trình 'tín hiệu và hệ thống - bài 7: phép biến đổi laplace và miền hội tụ biến đổi laplace ngược, các tính chất', công nghệ thông tin, kỹ thuật lập trình phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Bạn đang xem 10 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: Tín Hiệu và Hệ Thống - Bài 7: Phép biến đổi Laplace và Miền hội tụ Biến đổi Laplace ngược, Các tính chất

Tín Hiệu và Hệ Thống
Bài 7: Phép biến đổi Laplace và Miền hội tụ
Biến đổi Laplace ngược, Các tính chất

Đỗ Tú Anh
tuanhdo-ac@mail.hut.edu.vn


Bộ môn Điều khiển tự động, Khoa Điện
Chương 6: Phép biến đổi Laplace


6.1 Dẫn xuất phép biến đổi Laplace
6.2 Phép biến đổi Laplace ngược
6.3 Các tính chất của phép biến đổi Laplace
6.4 Hàm truyền đạt




2
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Tổ chức




3
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Chương 6: Phép biến đổi Laplace

6.1 Dẫn xuất phép biến đổi Laplace
6.1.1 Phép biến đổi Laplace
6.1.2 Một số ví dụ biến đổi Laplace và miền hội tụ
6.1.3 Các tính chất của miền hội tụ
6.2 Phép biến đổi Laplace ngược
6.3 Các tính chất của phép biến đổi Laplace
6.4 Hàm truyền đạt




4
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Pierre Simon de Laplace (1749-1827)
5
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Tại sao cần phép biến đổi Laplace?

Ta có




Khi phân tích trong miền thời gian, ta phân tích tín hiệu x(t) thành các
xung và cộng các đáp ứng của hệ thống với các xung đó.

Khi phân tích trong miền tần số, ta phân tích tín hiệu x(t) thành các
thành phần mũ phức có dạng est trong đó s là tần số phức
s = σ + jω


6
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Định nghĩa phép biến đổi Laplace
Biiến đổi Laplace của một tín hiệu x(t) được định nghĩa là




Giải thích bằng phép biến đổi Fourier




Phép biến đổi Laplace có thể được coi là phép biến đổi Fourier của
tín hiệu x(t) sau khi nhân với hàm mũ thực e−σ t
7
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Chương 6: Phép biến đổi Laplace

6.1 Dẫn xuất phép biến đổi Laplace
6.1.1 Phép biến đổi Laplace
6.1.2 Một số ví dụ biến đổi Laplace và miền hội tụ
6.1.3 Các tính chất của miền hội tụ
6.2 Phép biến đổi Laplace ngược
6.3 Các tính chất của phép biến đổi Laplace
6.4 Hàm truyền đạt




8
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Biến đổi Laplace: Ví dụ 1
Ảnh Fourier của tín hiệu mũ thực nhân quả

chỉ tồn tại khi a > 0



Tuy nhiên, từ định nghĩa biến đổi Laplace, ta có




Do đó với bất kỳ giá trị nào của a, biến đổi Laplace tồn tại với mọi
giá trị σ > -a



9
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Biến đổi Laplace: Ví dụ 1
Do s = σ+jω, ta viết lại thành




Nếu a > 0, X(s) tồn tại với σ = Re{s} = 0, khi đó trở thành X(jω).
Ngược lại, biến đổi Laplace X(s) không bao gồm biến đổi Fourier X(jω).

Miền hội tụ: Miền các giá trị của s để biến đổi Laplace hội tụ



Biến đổi
Laplace
bao gồm
biến đổi
Fourier


10
10
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Biến đổi Laplace: Ví dụ 2
Xét tín hiệu mũ thực phản nhân quả

Ảnh Laplace của nó là




Miền hội tụ

Biến đổi
Laplace
bao gồm
biến đổi
Fourier



11
11
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Sơ đồ điểm không/điểm cực
Ảnh Laplace thường có dạng phân thức của s, tức là
B( s)
X ( s) = với s thuộc miền hội tụ (MHT)
,
A( s )
trong đó B(s) và A(s) tương ứng là các đa thức bậc M và N của biến s

M nghiệm của tử thức B(s) đgl các điểm không của ảnh Laplace
N nghiệm của mẫu thức A(s) đgl các điểm cực của ảnh Laplace.

Chú ý: các điểm cực của B(s)/A(s) nằm ngoài MHT, còn các điểm
không có thể nằm trong hoặc nằm ngoài MHT.

Mô tả một cách cô đọng đặc tính của ảnh Laplace trong mặt phẳng
s bao gồm cả việc chỉ ra vị trí các điểm không và điểm cực, ngoài
MHT.
12
12
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Biến đổi Laplace: Ví dụ 3
Xét tín hiệu x(t) là tổng của hai tín hiệu mũ nhân quả


có ảnh Laplace là




Biểu diễn X(s) thành dạng phân thức Điểm
c ực




Điểm
không
13
13
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Chương 6: Phép biến đổi Laplace

6.1 Dẫn xuất phép biến đổi Laplace
6.1.1 Phép biến đổi Laplace
6.1.2 Một số ví dụ biến đổi Laplace và miền hội tụ
6.1.3 Các tính chất của miền hội tụ
6.2 Phép biến đổi Laplace ngược
6.3 Các tính chất của phép biến đổi Laplace
6.4 Hàm truyền đạt




14
14
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Các tính chất của miền hội tụ
Với tín hiệu một phía phải
x(t )
x(t ) = 0, t > t1.
Re {s} > σ max ,
MHT:
t
trong đó σmax là phần thực lớn nhất t1 0
của các điểm cực


Với tín hiệu một phía trái
x(t )
x(t ) = 0, t < t2 .
Re {s} < σ min ,
MHT:
t
t2 0
trong đó σmin là phần thực nhỏ nhất
của các điểm cực
15
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Các tính chất của miền hội tụ
Với tín hiệu khoảng hữu hạn (tín hiệu vừa là một phía phải, vừa là
một phía trái x(t )

x(t ) = 0, t < t1 ∪ t > t2 .

MHT: toàn bộ mặt phẳng s t
t1 0 t2




Với tín hiệu hai phía (không phải là các tín hiệu trên)
x(t )
σ 1 < Re {s} < σ 2 ,
MHT:

trong đó σ1 và σ2 là các phần thực t
của (ít nhất) hai điểm cực 0



16
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Miền hội tụ: Ví dụ
x(t ) = e− at u (t ) −dfssdfdsfs
sdfssdf s e at u (−t )
Xét tín hiệu hai phía
x2 (t )
x1 (t )
Từ các ví dụ trên ta có
1 1
Re {s} > − a Re {s} < a jω
X1 ( s) = X 2 ( s) =

, ,
s+a s−a
Do đó 1 1
X ( s) = + , − a < Re < a,
s+a s−a
× ×a σ
2s −a
=2 − a < Re < a,
s −a 2

x(t )
x(t )

(a < 0)
(a > 0)

t
t
0
0



17
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Chương 6: Phép biến đổi Laplace

6.1 Dẫn xuất phép biến đổi Laplace
6.1.1 Phép biến đổi Laplace
6.1.2 Một số ví dụ biến đổi Laplace và miền hội tụ
6.1.3 Các tính chất của miền hội tụ
6.2 Phép biến đổi Laplace ngược
6.3 Các tính chất của phép biến đổi Laplace
6.4 Hàm truyền đạt




18
18
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Biến đổi Laplace ngược
Để tìm lại tín hiệu x(t) từ ảnh Laplace của nó, ta sử dụng biến đổi
Fourier ngược.

⎡ x(t )e−σ t ⎤e− jωt dt ,

X (σ + jω ) =
Do
⎣ ⎦
−∞

nên có thể viết ảnh Fourier ngược của nó là

1
x(t )e−σ t X (σ + jω )e jωt d ω

=
2π −∞
Nhân cả hai vế với eσt, ta có

1
X (σ + jω )e(σ + jω )t d ω

x(t ) =
2π −∞
nằm trong MHT
Thay s = σ+jω và ds=jdω,
σ + j∞
1

x(t ) = X ( s )e st ds
2π j σ − j∞
19
19
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Biến đổi Laplace ngược: Ví dụ
Cho hàm phân thức bậc 2


được phân tích thành tổng các phân thức đơn giản



Có 3 khả năng của MHT





20
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Biến đổi Laplace ngược: Ví dụ
Trường hợp MHT là

tín hiệu x(t) phải là tín hiệu một phía phải

Ta có




Do đó ảnh Laplace của





21
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Biến đổi Laplace ngược: Ví dụ
Trường hợp MHT là

tín hiệu x(t) phải là tín hiệu hai phía

Ta có




Do đó ảnh Laplace của






22
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Biến đổi Laplace ngược: Ví dụ
Trường hợp MHT là

tín hiệu x(t) phải là tín hiệu phía trái

Ta có




Do đó ảnh Laplace của






23
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Các cặp biến đổi Laplace




24
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Chương 6: Phép biến đổi Laplace

6.1 Dẫn xuất phép biến đổi Laplace
6.1.1 Phép biến đổi Laplace
6.1.2 Một số ví dụ biến đổi Laplace và miền hội tụ
6.1.3 Các tính chất của miền hội tụ
6.2 Phép biến đổi Laplace ngược
6.3 Các tính chất của phép biến đổi Laplace
6.4 Hàm truyền đạt




25
25
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Tính tuyến tính

Cho các tín hiệu x1(t) và x2(t) có các ảnh Laplace là X1(jω) và X2(jω)
với các MHT tương ứng R1 và R2

Ta có ax1 (t ) + bx2 (t ) ↔ aX1 ( s ) + bX 2 ( s )

R′ ⊃ R1 ∩ R2
MHT:

Thông thường, khi không có sự triệt tiêu điểm cực/điểm không
R′ = R1 ∩ R2

Khi R1 và R2 không giao nhau, R’ là tập rỗng
ảnh Laplace của ax1 (t ) + bx2 (t ) không tồn tại



26
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Tính tuyến tính: Ví dụ
Xét hai tín hiệu x1(t) và x2(t) sau
1
X1 ( s) = Re{s}> − a
,
− at
x1 (t ) = e s+a
u (t ),

x2 (t ) = e− at u (t ) − eat u (−t ) 2s
X 2 ( s) = − a < Re{s} − a
Ví dụ − at
u (t ) ↔
e ,
s+a
1
Re {s} > − a + a
u (t ) ↔ ,
(s − a) + a
1
Re {s} > 0
↔,
u (t )
s
29
29
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Tính co giãn
Ảnh Laplace của x(at)
1 s
R′ = aR
x(at ) ↔ X ( ),
a a
jω jω


R′
R

σ σ
c ac
b ab




Đặc biệt khi a = -1, ta có
Tính đảo
R′ = − R
x(−t ) ↔ X (− s ),
thời gian

30
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Đạo hàm và tích phân
Đạo hàm hai vế của biến đổi Laplace ngược theo thời gian t, ta suy ra
dx(t )
R′ ⊃ R
↔ sX ( s ),
dt

MHTsẽ không thay đổi (R’ = R) nếu không có sự triệt tiêu điểm
không/điểm cực tại s = 0

1
Ví dụ: Re {s} > 0
u (t ) ↔ ,
s
du (t )
= δ (t ) ↔ 1, ∀s
dt

Theo tính chất đối ngẫu
dX ( s )
R′ = R
−tx(t ) ↔ ,
ds
31
31
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Đạo hàm và tích phân
Ảnh Laplace của tích phân của tín hiệu x(t)
1
R′ ⊃ R ∩ Re {s} > 0
t
∫−∞ x(τ )dτ ↔ X ( s ),
s

Ví dụ:
Đáp ứng xung
1
Re {s} > − a
h(t ) = e − at u (t ) ↔ H ( s ) = ,
s+a
1
Re {s} > 0
s (t ) = ↔ S ( s ) = ,
s( s + a)
Đáp ứng bước nhảy với a > 0



32
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Tích chập
Hệ LTI

y (t ) = x(t ) ∗ h(t ) = ∫ x(τ )h(t − τ )dτ
x(t ) h(t )
−∞


y (t )e − st
Y ( s) = ∫
Ta có
−∞

⎡ ∞ x(τ )h(t − τ )dτ ⎤ e− st dt
=∫ ∫
−∞ ⎢ −∞ ⎥
⎣ ⎦
∞ ∞
x(τ ) ⎡ ∫ h(t − τ )e − st dt ⎤ dτ = H ( s ) ∫ x(τ )e − sτ dτ

=∫
⎢ −∞ ⎥
⎣ ⎦
−∞ −∞


e − sτ H ( s )
Do đó
Y ( s ) = H ( s ) X ( s ), R y ⊃ Rh ∩ Rx

Thông thường R y = Rh ∩ Rx nếu không có sự triệt tiêu điểm
không/điểm cực
33
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Tích chập: Ví dụ
Xét đáp ứng của hệ bậc 1 (có thể không ổn định) với tín hiệu vào x(t)



Lấy biến đổi Laplace



Do đó biến đổi Laplace của tín hiệu ra của hệ thống là




và biến đổi Laplace ngược là

34
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Các tính chất của biến đổi Laplace
Miền thời gian
Tính chất Ảnh Laplace MHT

R′ ⊃ R1 ∩ R2
aX 1 ( s ) + bX 2 ( s )
Tuyến tính ax1 (t ) + bx2 (t )
x(t − t0 ) R′ = R
e− st0 X ( s )
Dịch thời gian

R′ = R + Re {s0 }
X ( s − s0 )
e s0t x(t )
Điều chế
1 s
R′ = aR
Co giãn trục x(at ) X( )
a a
R′ = − R
x ( −t ) X (− s)
Đảo trục
dx(t )
R′ ⊃ R
Đạo hàm sX ( s )
dt
dX ( s ) R′ = R
−tx(t )
ds
t
∫−∞ x(τ )dτ R′ ⊃ R ∩ Re {s} > 0
Tích phân 1
X ( s)
s
R′ ⊃ R1 ∩ R2
x1 (t ) ∗ x2 (t )
Tích chập X1 ( s) X 2 ( s)
35
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản