Toán cao cấp 1-Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục

Chia sẻ: Nguyen Minh Phung | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:22

0
2.015
lượt xem
213
download

Toán cao cấp 1-Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

BÀI 1: HÀM SỐ, GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC Thời lượng Mục tiêu Trên cơ sở các kiến thức của chương trình phổ thông, mục đích của bài này là ôn tập, hệ thống hóa và nâng cao các kiến thức về hàm số một biến số: Giới hạn, tính liên tục của hàm số. Hướng dẫn học • Đây là bài học nhằm ôn tập và hệ thống hóa lại các kiến thức toán học đã học trong chương trình phổ thông nên bạn cần đọc kỹ lại các lý thuyết về hàm số....

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Toán cao cấp 1-Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục

  1. Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục BÀI 1: HÀM SỐ, GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC Thời lượng Mục tiêu • Hiểu được khái niệm hàm số, giới hạn, sự Bạn nên học và làm bài tập của bài này trong hai tuần, mỗi tuần khoảng 3 đến 4 liên tục giờ đồng hồ. • Giải được các bài tập về hàm số, giới hạn, tính liên tục • Áp dụng phần mềm toán để tính toán với hàm số, giới hạn Nội dung Trên cơ sở các kiến thức của chương trình phổ thông, mục đích của bài này là ôn tập, hệ thống hóa và nâng cao các kiến thức về hàm số một biến số: Giới hạn, tính liên tục của hàm số. Hướng dẫn học • Đây là bài học nhằm ôn tập và hệ thống hóa lại các kiến thức toán học đã học trong chương trình phổ thông nên bạn cần đọc kỹ lại các lý thuyết về hàm số, giới hạn. • Sau khi đọc kỹ lý thuyết bạn cần làm bài tập càng nhiều càng tốt để củng cố và nâng cao kiến thức. 1
  2. Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục 1.1. Hàm số một biến số 1.1.1. Định nghĩa hàm số một biến số Cho X là tập hợp khác rỗng của R . Ta gọi ánh xạ f :X → R y = f (x) x là hàm số một biến số trên tập hợp X , trong đó x là biến số độc lập, y là đại lượng phụ thuộc hay hàm số của x . Tập hợp X gọi là miền xác định của hàm số f . Tập hợp f (X) = {y ∈ , y = f (x) : x ∈ X} gọi là miền giá trị của f Nếu hàm số một biến số cho trong dạng biểu thức: y = f (x) mà không nói gì thêm thì ta hiểu miền xác định của hàm số là tập hợp những giá trị thực của biến số x làm cho biểu thức có nghĩa. Ví dụ 1: Biểu thức y = 1 − x 2 xác định khi : 1 − x 2 ≥ 0 ⇔ x ≤ 1 ⇔ −1 ≤ x ≤ 1. Do đó miền xác định của hàm số y = 1 − x 2 là [ −1,1] . Dễ dàng thấy rằng miền giá trị của hàm y là [0,1]. Miền xác định của một hàm số có thể gồm nhiều tập con rời nhau, trên mỗi tập con đó lại có một quy tắc riêng để xác định giá trị của hàm số. Hàm số có thể được xác định bởi nhiều công thức khác nhau tùy thuộc vào giá trị của biến. Ví dụ 2: ⎧ x 2 + 1 khi x ≥ 0 f (x) = ⎨ ⎩1 − 2x khi x < 0 Hàm f (x) là một hàm số xác định trên R . Nếu x không âm thì giá trị của hàm số được tính theo công thức: f (x) = x 2 + 1 . Nếu x âm, giá trị của hàm số được tính bởi: f (x) = 1 − 2x. 1.1.2. Đồ thị của hàm số Giả sử hàm số y = f(x) có miền xác định là X ⊂ R . Ứng với mỗi giá trị x 0 ∈ X ta có giá trị y 0 = f (x 0 ) của hàm số. Trong hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc, xét điểm M 0 = (x 0 , y0 ) . Khi x 0 thay đổi và “quét” hết tập xác định X thì M 0 cũng thay đổi theo và vạch nên một đường cong trong mặt phẳng tọa độ Oxy . Đường cong này được gọi là đồ thị của hàm số y = f(x). Như vậy, đồ thị của hàm số y = f(x) là tập hợp những điểm trong mặt phẳng có tọa độ M ( x; y ) , ở đó y = f(x), x thuộc miền xác định X. 2
  3. Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục CHÚ Ý: Đồ thị của hàm số có thể là tập hợp các điểm rời rạc, cũng có thể gồm một số cung liền Ví dụ 3: ⎧ ⎪x 2 khi x ≤ 0 ⎪ Đồ thị của hàm số y = ⎨ x khi 0 < x ≤ 1 được biểu diễn như sau: ⎪3 ⎪ khi x > 1 ⎩2 Hình 1.1 Việc vẽ phác họa đồ thị của hàm số f với miền xác định là một khoảng số thực thường được xác định theo trình tự như sau: Lấy các số x1 , x 2 ,..., x n từ miền xác định của hàm số (càng nhiều điểm và các điểm càng gần nhau càng tốt). • Tính các giá trị tương ứng của hàm số y1 = f (x1 ),..., y n = f (x n ) • Xác định các điểm • M1 = (x1 , y1 ),..., M n = (x n , y n ) • Nối các điểm đã xác định nói trên ta có hình ảnh phác họa của đồ thị hàm số. Cách vẽ như trên không hoàn toàn chính xác mà chỉ cho hình dáng của đồ thị hàm số. Đồ thị của hàm số được dùng để minh họa Hình 1.2 các đặc trưng cơ bản, sự phụ thuộc của giá trị của hàm số và biến số. Nhìn vào đồ thị có thể dễ dàng quan sát xu hướng thay đổi của giá trị hàm số khi biến độc lập thay đổi. 1.1.3. Hàm số đơn điệu. Hàm số chẵn, lẻ, tuần hoàn 1.1.3.1. Hàm số đơn điệu Hàm số f (x) xác định trong khoảng (a, b) • Được gọi là đơn điệu tăng trong khoảng (a, b) nếu với mọi x1 , x 2 ∈ (a, b), x1 < x 2 kéo theo: f (x1 ) ≤ f (x 2 ) . 3
  4. Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục (Nếu điều kiện trên vẫn đúng khi bỏ dấu đẳng thức, tức là: ∀x1 , x 2 ∈ (a, b), x1 < x 2 ⇒ f (x1 ) < f (x 2 ) thì ta nói hàm f tăng ngặt (hay đồng biến) trên (a, b) ). • Được gọi là đơn điệu giảm trong khoảng (a, b) nếu với mọi x1 , x 2 ∈ (a, b), x1 < x 2 kéo theo: f (x1 ) ≥ f (x 2 ) . (Nếu điều kiện trên vẫn đúng khi bỏ dấu đẳng thức: ∀x1 , x 2 ∈ (a, b), x1 < x 2 ⇒ f (x1 ) > f (x 2 ) thì ta nói hàm f giảm ngặt (hay nghịch biến) trên (a, b) ). Hàm số f được gọi là đơn điệu trên (a, b) nếu nó chỉ đơn điệu tăng hoặc chỉ đơn điệu giảm trong khoảng này. Đồ thị của hàm số tăng là một đường “đi lên”, ngược lại đồ thị hàm số giảm là đường “đi xuống” nếu nhìn từ trái sang phải. Hình 1.3 1.1.3.2. Hàm số chẵn, hàm số lẻ Hàm số f xác định trên một tập hợp D đối xứng ( x ∈ D ⇔ − x ∈ D ) , chẳng hạn khoảng (−l, l) , đoạn [ −a, a ] , tập (−b, −a) ∪ (a, b)(0 < a < b) ,… Được gọi là hàm chẵn nếu: f (x) = f (− x) với mọi x ∈ D . • Nói một cách đơn giản khi x đổi dấu thì y vẫn không thay đổi. Được gọi là hàm lẻ nếu: f (x) = −f (− x) với mọi x ∈ D . • Nói một cách đơn giản khi x đổi dấu thì y cũng đổi dấu. Ví dụ 4: Các hàm số f (x) = x 2 , g(x) = cos x là các hàm chẵn trên R vì: ⎫ f (− x) = (− x) 2 = x 2 = f (x) ⎬ ∀x ∈ R g(− x) = cos(− x) = cos x = g(x) ⎭ 4
  5. Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục còn hàm số h(x) = x 3 , k(x) = sin x là các hàm lẻ trên R vì: ⎫ h(− x) = ( − x)3 = ( − x)3 = −h(x) ⎬ ∀x ∈ R k(− x) = sin( − x) = − sin x = −k(x) ⎭ Đồ thị của hàm chẵn nhận trục Oy làm trục đối xứng, còn đồ thị hàm lẻ nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng (hình 1.4) Hàm chẵn: Hàm lẻ: 1.1.3.3. Hàm số tuần hoàn Định nghĩa: Hàm số f được gọi là tuần hoàn trên miền xác định D (thông thường xét D ≡ R ) nếu tồn tại số thực p ≠ 0 sao cho: ∀x ∈ D thì x ± p ∈ D và f (x + p) = f (x). Số p gọi là chu kỳ của hàm f . 5
  6. Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục Nếu trong các số p nói trên, tồn tại một số dương nhỏ nhất – ký hiệu bởi T – thì T được gọi là chu kỳ cơ bản của f . Ví dụ 5: Các hàm sin x, cos x đều tuần hoàn với chu kỳ 2π vì: sin(x + 2π) = sin x, cos(x + 2π) = cos x ∀x ∈ R Các hàm tgx,cotgx đều tuần hoàn với chu kỳ π vì: π tg ( x + π ) = tgx,∀x ≠ + kπ;cotg(x + π) = cotg,∀x ≠ kπ 2 Hơn nữa các chu kỳ nói trên đều là các chu kỳ cơ bản. Thật vậy, chẳng hạn xem xét hàm y = sin x , giả sử tồn tại số dương T < 2π để: sin ( x + T ) = s inx ∀x ∈ . Khi đó với x = 0 ta phải có: sin T = sin 0 = 0 ⇒ T = kπ (k ∈ Z) mà T < 2π nên T = π . π ⎛π ⎛π⎞ ⎞ Khi đó với x = thì sin ⎜ + π ⎟ = sin ⎜ ⎟ , hay 1 = −1 . 2 ⎝2 ⎝2⎠ ⎠ Về mặt hình học, đồ thị của hàm tuần hoàn là một họ đường lặp đi lặp lại trong từng khoảng có độ dài bằng chu kỳ. Do đó để vẽ đồ thị của hàm tuần hoàn, ta chỉ cần vẽ đồ thị trong một chu kỳ cơ bản T , sau đó thực hiện liên tiếp các phép tịnh tiến theo các vectơ song song với trục hoành và có độ dài bằng T. Hình 1.5: Đồ thị hàm số y = tgx 1.1.4. Hàm số hợp Giả sử ta có hai hàm số y = f (u) biểu diễn sự phụ thuộc của y theo u u = ϕ(x) biểu diễn sự phục thuộc của u theo x . Thêm vào đó, khi x thay đổi trong miền X , các giá trị của hàm số u = ϕ(x) luôn thuộc vào miền xác định của hàm y = f (u) . Khi đó mỗi giá trị của biến x được cho tương ứng với duy nhất một giá trị của biến y theo quy tắc: x ⎯ϕ → u ⎯⎯ y , hay y = f (ϕ(x)) . ⎯ → f 6
  7. Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục Hàm số g biến x thành y theo quy tắc trên gọi là (hàm số) hợp của hai hàm f và ϕ . Ký hiệu: g = f (ϕ(x)) . (Nhớ rằng trong cách ký hiệu trên, hàm nào đứng sau lại có tác động trước đến biến x ). Ví dụ 6: Hàm số y = sin 5 x là hàm hợp của hai hàm y = u 5 và u = sin x . Cách nói sau cũng được chấp nhận: “Hàm số g(x) = sin 5 x là hàm hợp của hai hàm f (x) = x 5 và ϕ(x) = sin x ”. 1.1.5. Hàm số ngược Xét hàm số y = f (x) có miền xác định X , miền giá trị Y = f (X) . Nếu với mỗi y 0 ∈ Y tồn tại duy nhất x 0 ∈ X để f (x 0 ) = y0 (hay phương trình f (x) = y0 có nghiệm duy nhất trong X ) thì quy tắc biến mỗi số y ∈ Y thành nghiệm duy nhất của phương trình f (x) = y là một hàm số đi từ Y đến X gọi là hàm ngược của hàm f , ký hiệu f −1 f −1 (y) = x ⇔ f (x) = y. Khi đó, dễ dàng thấy rằng f là hàm ngược của f −1 . Ví dụ 7: Hàm số y = x 3 ( R → R ) có hàm ngược là hàm số x = 3 y ( R → R ) vì: • y = x3 ⇔ x = 3 y Hàm số y = a x ( a > 0, a ≠ 1) ( R → R* ) có hàm ngược là hàm số x = log a y + • ( R* → R ) vì: + y = a x ⇔ x = log a x. • Các hàm lượng giác quen thuộc đều có hàm ngược với cùng một cách ký hiệu: ⎛ ⎡ π π⎤ ⎞ Hàm số y = sin x ⎜ ⎢ − , ⎥ → [ − 1,1] ⎟ có hàm ngược, ta ký hiệu hàm ngược o ⎝⎣ 2 2⎦ ⎠ đó là: ⎛ ⎡ π π⎤⎞ x = arcsin y ⎜ [ − 1,1] → ⎢ − , ⎥ ⎟ . ⎣ 2 2⎦⎠ ⎝ ([0, π] → [ − 1,1]) Hàm số y = cos x có hàm ngược, ta ký hiệu hàm ngược o đó là: x = arccos y ([ − 1,1] → [ 0, π]) . ⎛⎛ π π ⎞ ⎞ Hàm số y = tgx ⎜ ⎜ − , ⎟ → R ⎟ có hàm ngược, ta ký hiệu hàm ngược đó là: o ⎝⎝ 2 2 ⎠ ⎠ ⎛ ⎛ π π ⎞⎞ x = arctgy ⎜ → ⎜ − , ⎟ ⎟. ⎝ 2 2 ⎠⎠ ⎝ 7
  8. Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục ( ( 0, π ) → R ) có hàm ngược, ta ký hiệu hàm ngược đó là: Hàm số y =cotgx o x = arccotgy ( → ( 0.π ) ) ( R → ( 0, π ) ) CHÚ Ý : • Do thường ký hiệu x để chỉ biến độc lập và y để chỉ biến phụ thuộc nên khi biểu diễn hàm ngược thay vì x = f −1 (y) có viết y = f −1 (x) . Chẳng hạn y = log a x là hàm ngược của hàm: y = a x • Đồ thị của hai hàm ngược nhau không thay đổi như khi đổi vai trò x,y cho nhau thì nó đối xứng nhau qua đường phân giác thứ nhất. Thật vậy, gọi (C) và (C’) lần lượt là đồ thị của hai hàm f (x) và f −1 (x) thì theo định nghĩa: M = (x, y) ∈ (C) ⇔ M ' = (y, x) ∈ (C ') Hình 1.6: Hàm mũ, hàm logarit 1.1.6. Các hàm số sơ cấp 1.1.6.1. Các hàm số sơ cấp cơ bản • Hàm lũy thừa y = x α (α ∈ R) Miền xác định (MXĐ) của hàm phụ thuộc vào số α . o Nếu α ≥ 0 , MXĐ là R . o Nếu α nguyên âm. MXĐ là R \ {0} . 1 Nếu α = , p ∈ R* thì MXĐ là R + nếu o p p chẵn và R nếu p lẻ. Hình 1.7: Đồ thị hàm số y = x 3 Nếu α vô tỷ, MXĐ được quy ước là R + . o • Hàm mũ: f (x) = a x (0 < a ≠ 1) + MXĐ: R , MGT: R* ; Hàm số đồng biến nếu a > 1 và nghịch biến nếu 0 < a < 1 . • Hàm số lôgarit: f (x) = log a x ( 0 < a ≠ 1 ) + MXĐ: R* , MGT: R ; Hàm số đồng biến nếu a > 1 và nghịch biến nếu o 0 < a <1. • Hàm lượng giác y = sin x : Có MXĐ là R , MGT [ − 1,1] ; cho tương ứng mỗi số thực x với o tung độ điểm biểu diễn cung x radian trên đường tròn lượng giác. Hàm sin là hàm lẻ, tuần hoàn với chu kỳ cơ bản 2π . 8
  9. Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục y = cos x : Có MXĐ là R , o MGT [ − 1,1] ; cho tương ứng mỗi số thực x với hoành độ điểm biểu diễn cung x radian trên đường tròn lượng giác. Hàm cos là hàm chẵn, tuần hoàn với chu kỳ cơ bản 2π . y = tgx : Có MXĐ là o π ⎧ ⎫ R \ ⎨(2k+1) , k ∈ Z ⎬ , ⎩ 2 ⎭ MGT R ; cho tương ứng mỗi số thực x với tung độ của giao Hình 1.8: Quy tắc xác định các hàm lượng giác điểm tia OM ( M là điểm biểu diễn cung x radian trên đường tròn lượng giác) với trục tan là đường thẳng có phương trình: x = 1 . Hàm tgx là hàm lẻ, tuần hoàn với chu kỳ cơ bản π . y = cotgx: Có MXĐ là R \ {kπ, k ∈ Z} , MGT R ; cho tương ứng mỗi số thực x o với hoành độ của giao điểm tia OM ( M là điểm biểu diễn cung x radian trên đường tròn lượng giác) với trục cotg là đường thẳng có phương trình y = 1 . Hàm cotgx là hàm lẻ, tuần hoàn với chu kỳ cơ bản π . Hình 1.9: Đồ thị các hàm số lượng giác 9
  10. Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục • Hàm lượng giác ngược ⎡ π π⎤ y = arcsin x : Có MXĐ là [ − 1,1] , MGT ⎢ − , ⎥ là hàm ngược của hàm sin. o ⎣ 2 2⎦ Hàm y = arcsin x là hàm lẻ, đồng biến. y = arccos x : Có MXĐ là [ − 1,1] , MGT [ 0, π] là hàm ngược của hàm cos. o Hàm y = arccos x là hàm nghịch biến. o ⎛ π π⎞ y = arctgx : Có MXĐ là R , MGT ⎜ − , ⎟ là hàm ngược của hàm tg. o ⎝ 2 2⎠ Hàm y = arctgx là hàm lẻ, đồng biến. ⎛ π π⎞ y = arccotgx : Có MXĐ là R , MGT ⎜ − , ⎟ là hàm ngược của hàm cotgx. o ⎝ 2 2⎠ Hàm y = arccotgx là hàm lẻ, nghịch biến. Hình 1.10: Đồ thị các hàm lượng giác ngược 1.1.6.2. Định nghĩa Hàm số sơ cấp là một hàm số được thành lập từ các hàm số sơ cấp cơ bản và hàm hằng cùng với một số hữu hạn các phép toán số học (cộng, trừ, nhân chia) và các phép toán lấy hàm hợp. Ví dụ 8: Các hàm số sau đều là các hàm sơ cấp: • Hàm bậc nhất: y = ax + b . 10
  11. Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục • Hàm bậc hai: y = ax 2 + bx + c . ) ( • Hàm lôgarit: log a x + x 2 + 1 . 1 + sin x • Hàm lượng giác: y = + arctg(2x + 3) . 1− x2 x • Hàm phân thức hũu tỷ: y = . 1− x2 1.2. Dãy số và giới hạn của dãy số 1.2.1. Khái niệm 1.2.1.1. Dãy số Ta gọi dãy số là một tập hợp các số (gọi là các số hạng) được viết theo một thứ tự, hay được đánh số bằng các số tự nhiên. Để cho một dãy số, người ta có thể dùng các cách thức như liệt kê, công thức tổng quát và công thức truy hồi. • Liệt kê: Viết tất cả các số hạng theo đúng thứ tự (nếu không viết được hết thì dùng dấu “…” để biểu thị dãy còn tiếp tục). • Công thức tổng quát: Chỉ rõ cách xác định một số hạng bất kỳ chỉ cần biết thứ tự của số hạng đó trong dãy. • Công thức truy hồi: Chỉ rõ cách xác định một số hạng khi biết các số hạng liền trước nó trong dãy. • Liệt kê chỉ có ý nghĩa mô tả và thích hợp nhất với dãy hữu hạn, có thể xem là cách biểu diễn bằng quy nạp không hoàn toàn. Còn hai cách kia đảm bảo có thể tìm được số hạng với thứ tự bất kỳ trong dãy. Ví dụ 9: Dãy Fibonacci và 3 cách biểu diễn nêu trên • Liệt kê: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, … • Công thức tổng quát: Số hạng thứ n là: n n ⎛ 1− 5 ⎞ ⎛ 1+ 5 ⎞ ⎜ 2 ⎟ +⎜ 2 ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ • Công thức truy hồi: Hai số hạng đầu tiên đề bằng 1, tiếp đó, số hạng sau được tính bằng tổng hai số hạng liền trước. Công thức tổng quát của dãy số là cách biểu diễn tốt nhất để có thể định nghĩa dãy số. Nhờ nó, dãy số được định nghĩa một cách hết sức đơn giản mà chặt chẽ. Định nghĩa: Dãy số là một ánh xạ (hàm số) có miền xác định là (hoặc một tập con các số tự nhiên liên tiếp của ) và lấy giá trị trong tập các số thực R . Ta thường ký hiệu dãy số bởi {x n }n =1 hay gọn hơn {x n } . ∞ 11
  12. Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục Ví dụ 10: ∞ ⎧1⎫ ⎧11 1⎫ ⎨ ⎬ = ⎨1, , ,..., ,...⎬ (A) ⎩ n ⎭n =1 ⎩ 2 3 n⎭ {(−1) } = {−1,1, −1,..., (−1) n ,...} n∞ (B) n =1 {n } = {1, 4,9,..., n 2 ,...} 2∞ (C) n =1 ∞ ⎧n⎫ ⎧1 2 3 ⎫ n ⎬ = ⎨ , , ,..., (D) ,...⎬ ⎨ ⎩ n + 1 ⎭n =1 ⎩ 2 3 4 n +1 ⎭ 1.2.1.2. Dãy tăng, dãy giảm, dãy bị chặn Dãy {x n } gọi là • Dãy tăng nếu x n < x n +1 ∀n ∈ • Dãy giảm nếu x n > x n +1 ∀n ∈ • Dãy đơn điệu nếu nó là dãy tăng hoặc dãy giảm. • Bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho x n ≤ M, ∀n ∈ • Bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao cho x n ≥ m, ∀n ∈ • Bị chặn nếu vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới. Trong ví dụ 10 • Dãy (A) là dãy số giảm, bị chặn dưới bởi 0 và bị chặn trên bởi 1. • Dãy (B) không đơn điệu, bị chặn dưới bởi −1 và bị chặn trên bởi 1. • Dãy (C) là dãy tăng, bị chặn dưới bởi 1 không bị chặn trên nên không bị chặn. • Dãy (D) là dãy tăng, bị chặn dưới bởi 0 và bị chặn trên bởi 1. 1.2.2. Giới hạn của dãy số ∞ ⎧ 1⎫ ⎧1 1 1⎫ Xét dãy số ⎨ x n = n ⎬ = ⎨ , 2 ,..., n ,...⎬ . Khoảng cách giữa x n và 0 là: 2 ⎭n =1 ⎩ 2 2 2 ⎩ ⎭ 1 xn − 0 = 2n Ta thấy: Cho trước một số ε > 0 bé tùy ý thì sẽ tìm được một số N sao cho ∀n > N thì khoảng cách giữa x n và 0 sẽ bé hơn số ε đó. 1 Chẳng hạn, cho trước khoảng ε = 0, 05 thì chỉ cần n = 8 thì x n − 0 = < 0, 05 . 256 Ta nói dãy {x n } dần tới 0 khi n tiến tới vô cùng. Định nghĩa: Dãy {x n } có giới hạn a hữu hạn khi n tiến tới vô cùng nếu với mọi số ε > 0 cho trước (bé tùy ý), tồn tại số tự nhiên n 0 sao cho với mọi n > n 0 thì x n − a < ε . 12
  13. Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục Ta viết: lim x n = a hay x n → a khi n → ∞ . n →∞ Dãy {x n } được gọi là dãy hội tụ nếu tồn tại số a để lim x n = a . Trong trường hợp n →∞ ngược lại, ta nói dãy phân kỳ. Trong định nghĩa trên, số n 0 phụ thuộc vào ε nên ta viết n 0 = n 0 (ε) . Ví dụ 11: 1 = 0. lim n →∞ n Thật vậy, ta có: 1 xn − 0 = . n ⎡1 ⎤ Với mỗi ε > 0 bất kỳ chỉ cần chọn n 0 = ⎢ ⎥ + 1 thì khi n > n 0 có ngay ⎣ε⎦ 1 1 xn − 0 = < =ε. 1 n ε Định nghĩa: Dãy {x n } được nói là có giới hạn ∞ khi n tiến tới vô cùng nếu với mọi số M > 0 cho trước (lớn tùy ý), tồn tại số tự nhiên n 0 sao cho với mọi n > n 0 thì x n > M ; ta cũng viết lim x n = ∞ và là dãy phân kỳ. n →∞ Trên đây chỉ phát biểu định nghĩa giới hạn vô cùng nói chung, ta có thể phát biểu chi tiết hơn về giới hạn +∞, −∞ . 1.2.3. Tiêu chuẩn tồn tại giới hạn 1.2.3.1. Tính duy nhất của giới hạn Định lý: Nếu một dãy có giới hạn (hữu hạn) thì • Dãy đó là dãy bị chặn . • Giới hạn là duy nhất. 1.2.3.2. Nguyên lý giới hạn kẹp Nếu có ba dãy số {x n } , { y n } , {z n } thỏa mãn: • x n ≤ yn ≤ zn lim x n = lim z n = a ( a có thể hữu hạn, +∞ hoặc −∞ ) thì { y n } có giới hạn và • n →∞ n →∞ lim y n = a . n →∞ 1.2.3.3. Định lý Weierstrass Dãy số tăng và bị chặn trên (hoặc giảm và bị chặn dưới) thì hội tụ. 13
  14. Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục 1.2.4. Các định lý về giới hạn của dãy số Cho {x n } , { y n } là các dãy có giới hạn hữu hạn. Dùng định nghĩa có thể chứng minh các kết quả sau: lim(x n ± y n ) = lim x n ± lim y n n →∞ n →∞ n →∞ lim(x n y n ) = lim x n lim y n n →∞ n →∞ n →∞ x n lim x n = n →∞ (khi lim y n ≠ 0) . lim n →∞ y lim y n n →∞ n n →∞ Chú ý rằng khi cả {x n } , { y n } có các giới hạn vô cực thì nhìn chung không sử dụng 0∞ , , ∞ − ∞, 0.∞ . Khi đó ta được các kết quả nói trên. Các dạng vô định thường gặp là 0∞ phải dùng các phép biến đổi để khử dạng vô định. Ví dụ 12: 12 1+ − 2 ⎛∞⎞ n2 + n − 2 n n = 1. = lim ⎜ ⎟ : n →∞ lim 1 ⎝∞⎠ 2n + 1 2 2 n →∞ 2+ 2 n ⎛ ⎞ 2 3− ⎜ ⎟3 ) ( ⎛ ⎞ 3n − 2 n = lim ⎜ ⎟= . (∞ − ∞) : lim n 2 + 3n − 2 − n = lim ⎜ ⎟ n →+∞ ⎜ ⎟2 32 ⎝ n + 3n − 2 + n ⎠ n →+∞ n →+∞ 2 ⎜ 1+ − 2 +1 ⎟ ⎝ ⎠ nn 1.3. Giới hạn và sự liên tục của hàm số 1.3.1. Định nghĩa 1.3.1.1. Định nghĩa (giới hạn hàm số) Giả sử hàm số f (x) xác định ở lân cận điểm x 0 (có thể trừ tại x 0 ). Ta nói hàm số f (x) có giới hạn là A khi x dần tới x 0 nếu: Với mọi số ε > 0 cho trước, đều tồn tại một số δ > 0 sao cho khi: x − x 0 < δ thì f (x) − A < ε . Kí hiệu là: lim f (x) = A hay f (x) → A khi x → a . x →x0 Một cách tương đương ta có thể định nghĩa f ( x ) có giới hạn là A khi x → x 0 khi và chỉ khi với mọi {x n } → x 0 ta có {f ( x n )} → A . 1.3.1.2. Định nghĩa (giới hạn một phía) Trong định nghĩa nêu trên, chúng ta xét quá trình x → x 0 không phân biệt x > x 0 hay x < x 0 . Khi xem xét giới hạn, nhiều khi ta phải xét riêng hai quá trình này với kí hiệu như sau: 14
  15. Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục • Quá trình x tiến đến x 0 về phía bên phải, tức là x → x 0 với điều kiện x > x 0 , được kí hiệu là: x → x 0 + 0 hoặc đơn giản hơn là x → x 0 + • Quá trình x tiến đến x 0 về phía bên trái, tức là x → x 0 với điều kiện x < x 0 , được kí hiệu là: x → x 0 − 0 hoặc đơn giản hơn là x → x 0 − • Giới hạn của hàm số f (x) khi x → x 0 + hoặc khi x → x 0 − được gọi tương ứng là giới hạn bên phải và giới hạn bên trái của hàm số tại điểm x 0 . • Giới hạn bên phải: lim f (x) = f (x) . lim x →x0 + x → x 0 ,x > x 0 • Giới hạn bên trái: lim f (x) = f (x) . lim x →x0 − x → x 0 ,x < x 0 Từ định nghĩa trên ta suy ra: Định lý: Điều kiện cần và đủ để lim f (x) = L là: lim f (x) = lim f (x) = L . x →x0 x →x0 + x →x0 − 1.3.2. Tính chất 1.3.2.1. Tính chất các hàm có giới hạn Giới hạn của hàm số cũng có một số tính chất tương tự như giới hạn của dãy số Định lý: Nếu hàm số f (x) có giới hạn khi x → a thì giới hạn đó là duy nhất. Định lý: Nếu hàm số f (x) có giới hạn hữu hạn khi x → a thì nó bị chặn trong miền X = {x ∈ R : 0 < x − a < δ} , với δ là một số dương đủ nhỏ. Định lý: Nếu lim f (x) = L và L > b (L < b) thì, với δ là một số dương đủ nhỏ ta cũng có x →a f (x) > b (f (x) < b) ∀x ∈ {x ∈ R : 0 < x − a < δ} . Định lý: Nếu f (x) ≥ g(x) ( f (x) > g(x) ) với mọi x ∈ {x ∈ R : 0 < x − a < δ} và cả hai hàm số f (x), g(x) có giới hạn hữu hạn khi x → a thì lim f (x) ≥ lim g(x) . x →a x →a 1.3.2.2. Các quy tắc tính giới hạn Sử dụng định nghĩa giới hạn của hàm số bằng ngôn ngữ dãy số và các quy tắc tương ứng về giới hạn của dãy số ta dễ dàng chứng minh được các quy tắc sau đây: Định lý: Nếu khi x → a các hàm số f (x) và g(x) lần lượt có giới hạn là các số thực L1 và L 2 thì: lim ( f (x) + g(x) ) = L1 + L 2 • x →a lim ( kf (x) ) = kL1 • x →a 15
  16. Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục lim ( f (x)g(x) ) = L1L 2 • x →a f (x) L1 = • khi L 2 ≠ 0 . lim g(x) L 2 x →a Định lý: Giả sử ϕ( x) và f (u) thỏa mãn các điều kiện: lim ϕ(x) = b và lim f (u) = f ( b ) = L • x →a u →b • tồn tại số δ > 0 sao cho khi x ∈ (a − δ;a + δ) và x ≠ a ta luôn có: u = ϕ(x) ≠ b thì: lim f ( ϕ(x) ) = L . x →a Định lý: Nếu hàm số sơ cấp f (x) xác định trong khoảng chứa điểm x = a thì lim f (x) = f (a) . x →a Định lý: Nếu tồn tại số δ > 0 sao cho u(x) ≤ f (x) ≤ v(x) với mọi x ∈ {x ∈ R : 0 < x − a < δ} và lim u(x) = lim v(x) = b thì lim f (x) = b . x →a x →a x →a Định lý: Giả sử các hàm số f (x) và g(x) có giới hạn hữu hạn khi x → a : lim f (x) = b > 0, lim g(x) = α . Khi đó: lim [ f (x) ] g(x ) = bα . x →a x →a x →a Ví dụ 13: 3x 2x − 1 ⎛ 2x − 1 ⎞ x −5 3x = 2 và lim = 3. ⎟ = 2 = 8 , do lim 3 lim ⎜ x →∞ x + 1 x →∞ x − 5 ⎝ x +1 ⎠ x →∞ Định lý: Nếu lim f (x) = 0 và g(x) là một hàm số bị chặn thì lim f (x).g(x) = 0 . x →a x →a 1 1 = 0 vì lim x 2 = 0 và sin là hàm bị chặn. Ví dụ: lim x 2 sin x x x →0 x →0 1.3.3. Vô cùng lớn, vô cùng bé 1.3.3.1. Khái niệm • Đại lượng f(x) gọi là một vô cùng bé (viết tắt là VCB) khi x → a nếu lim f (x) = 0 . x →a Ở đây, a có thể là hữu hạn hay vô cùng. Từ định nghĩa giới hạn của hàm số, ta suy ra rằng nếu: f (x) → A khi x → a thì f (x) = A + α(x) Trong đó α(x) là một VCB khi x → a • Đại lượng F(x) gọi là một vô cùng lớn (viết tắt là VCL) khi x → a nếu lim F(x) = +∞ x →a 16
  17. Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục 1 • Có thể dễ dàng thấy rằng nếu f(x) là một VCB khác không khi x → a thì là VCL f (x) 1 và ngược lại nếu F(x) là một VCL khác không khi x → a thì là một VCB F(x) khi x → a . Chú thích: • Một hàm hằng khác không dù nhỏ bao nhiêu cũng không là một VCB khi x → a • Một hàm hằng lớn bao nhiêu cũng không thể là một VCL khi x → a 1.3.3.2. Tính chất • Nếu f1 (x), f 2 (x) là hai VCB khi x → a thì f1 (x) ± f 2 (x), f1 (x).f 2 (x) cũng là những VCB khi x → a . • Nếu f1 (x), f 2 (x) cùng dấu và là hai VCL khi x → a thì f1 (x) + f 2 (x) cũng là một VCL khi x → a . Tích của hai VCL khi x → a cũng là một VCL khi x → a . 1.3.3.3. So sánh các vô cùng bé • Bậc của các VCB Định nghĩa: Giả sử α( x), β(x) là hai VCB khi x → a . α(x) = 0 ; ta nói rằng α( x) là VCB bậc cao hơn β( x) . Nếu lim o β(x) x →a α(x) = ∞ ; ta nói rằng α(x) là VCB bậc thấp hơn β(x) . Nếu lim o β(x) x →a α(x) = A (≠ 0, ≠ ∞) ; ta nói rằng α(x) và β(x) là hai VCB cùng bậc. Nếu lim o x → a β(x) α(x) không tồn tại, ta nói rằng không thể so sánh hai VCB α(x) và Nếu lim o x → a β(x) β( x) . Ví dụ 14: 1 − cos x và 2x đều là những VCB khi x → 0 . x x sin 2 sin 1 − cos x 2 = lim sin x .lim 1 . 2 =0 = lim Vì: lim x 2x x 2 2 x →0 x →0 x →0 2 nên 1 − cos x là VCB bậc cao hơn 2x . Ví dụ 15: 1 x.sin và 2x là những VCB khi x → 0 . x 1 1 x sin sin x = 1 lim sin 1 . x = lim Vì: lim 2x 2 2 x →0 x x →0 x →0 17
  18. Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục 1 1 nên x sin và 2x là hai VCB khi x → 0 không Nhưng không tồn tại lim sin x x x →0 so sánh được với nhau. • VCB tương đương Định nghĩa: Hai VCB α ( x ) và β ( x ) khác 0 khi x → a gọi là tương đương với nhau nếu α(x) =1. lim β(x) x →a Kí hiệu: α( x) ~ β ( x ) Nhận xét: 2VCB tương đương là trường hợp đặc biệt của 2 VCB cùng bậc. Định lý: Nếu α(x) và β(x) là hai VCB khi x → a , α(x) ~ α1 (x), β(x) ~ β1 (x) khi x → a thì: α (x) α(x) = lim 1 lim . x → a β(x) x → a β (x) 1 α(x) β(x) Thật vậy, vì α(x) ~ α1 (x), β(x) ~ β1 (x) ; ta có: lim = 1; lim = 1. α1 (x) x → a β (x) x →a 1 1.3.3.4. Các vô cùng bé tương đương thường gặp Nếu α(x) → 0 khi x → a thì : ⎧sin α(x) ~ α(x), tgα(x)~α(x), ⎨ ⎩arcsinα(x) ~ α(x), arctgα(x) ~ α(x). 1.3.4. Hàm số liên tục 1.3.4.1. Định nghĩa f là một hàm số xác định trong khoảng (a, b), x 0 là một điểm thuộc (a, b) .Ta nói rằng hàm số f liên tục tại x 0 nếu: limf(x) =f(x0). (1.1) x→x0 Nếu hàm số f không liên tục tại x 0 , ta nói rằng nó gián đoạn tại x 0 . Nếu đặt: x = x 0 + Δx, Δy = f (x) − f (x 0 ) thì đẳng thức (1.1) có thể viết là: lim [ f (x) − f (x 0 ) ] = 0 hay lim Δy = 0 . x →x0 Δx →0 Chú thích: Ta cũng có thể nói rằng f liên tục tại x 0 ∈ (a, b) nếu: lim f (x) = f ( lim x) . x →x0 x →x0 Ví dụ 16: Hàm số y = x 2 liên tục tại mọi x 0 ∈ R . Thật vậy, ta có: y 0 = x 0 2 , y0 + Δy = (x 0 + Δx) 2 , Δy = (x 0 + Δx) 2 − x 0 2 = 2x 0 Δx + (Δx) 2 ; lim Δy = 2x 0 . lim Δx + lim Δx. lim Δx = 0. Δx → 0 Δx → 0 Δx → 0 Δx →0 Tương tự như vậy, có thể chứng minh được rằng mọi hàm số sơ cấp cơ bản đều liên tục tại những điểm thuộc miền xác định của nó. 18
  19. Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục Định nghĩa: f(x) được gọi là: liên tục trong khoảng (a, b) nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó. liên tục trên đoạn [ a, b ] , nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng (a, b) , đồng thời liên tục phải tại a (tức là lim f (x) = f (a) ) và liên tục trái tại b (tức là: lim f (x) = f (b) ). x →a + 0 x →b −0 1.3.4.2. Các phép toán về hàm liên tục Từ các định lý về giới hạn của tổng, tích, thương và từ định nghĩa của hàm số liên tục tại một điểm, có thể dễ dàng suy ra: Định lý: Nếu f và g là hai hàm số liên tục tại x 0 thì: • f (x) + g(x) liên tục tại x 0 • f (x).g(x) liên tục tại x 0 f (x) • liên tục tại x 0 nếu g(x 0 ) ≠ 0 . g(x) Định lý: Nếu hàm số u = ϕ(x) liên tục tại x 0 , hàm số y = f (u) liên tục tại u 0 = ϕ(x 0 ) thì hàm số hợp y = (f ϕ)(x) = f [ ϕ(x) ] liên tục tại x 0 . Chứng minh: Ta có lim ϕ(x) = ϕ(x 0 ) = u 0 vì ϕ liên tục tại x 0 . x →x0 Hàm số: y = f (u) liên tục tại u 0 . Do đó: lim f (u) = f (u 0 ) u →u0 1.3.4.3. Tính chất của hàm số liên tục Các định lý sau đây (không chứng minh) nêu lên những tính chất cơ bản của hàm số liên tục. Định lý: Nếu hàm số f (x) liên tục trên đoạn [ a; b ] thì nó bị chặn trên đoạn đó, tức là tồn tại hai số m và M sao cho m ≤ f (x) ≤ M ∀x ∈ [ a; b ] . Định lý: Nếu hàm số f (x) liên tục trên đoạn [ a; b ] thì nó đạt giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của nó trên đoạn ấy, tức là tồn tại hai điểm x1 , x 2 sao cho: f (x 1 ) = m ≤ f (x) ∀x ∈ [ a, b ] ; f (x 2 ) = M ≥ f (x) ∀x ∈ [ a, b ] Định lý (về giá trị trung gian): Nếu hàm số f (x) liên tục trên đoạn [ a; b ] ; m và M là các giá trị nhỏ nhất và lớn nhất trên đoạn đó thì với mọi số μ nằm giữa m và M luôn tồn tại ξ ∈ [ a, b ] sao cho: f ( ξ) = μ . Hệ quả: Nếu f(x) liên tục trên [ a, b ] , f(a)f(b) < 0 thì trong khoảng (a, b) tồn tại điểm ξ sao cho: f ( ξ ) = 0 19
  20. Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục TÓM LƯỢC CUỐI BÀI Trong bài này chúng ta nghiên cứu ba vấn đề là: • Những vấn đề cơ bản về hàm số một biến số • Dãy số và giới hạn của dãy số • Giới hạn của hàm số Phần đầu tiên hệ thống hóa lại các khái niệm cơ bản về hàm số một biến số, một số tính chất của hàm số như tính đơn điệu, tính chẵn lẻ, tính tuần hoàn. Tiếp theo, học viên sẽ tìm hiểu các khái niệm về dãy số và giới hạn của dãy số, các định lý áp dụng để tính giới hạn của dãy số. Phần cuối cùng trình bày về giới hạn hàm số, hàm số liên tục và các khái niệm vô cùng lớn, vô cùng bé. 20
Đồng bộ tài khoản