Toán cao cấp 2- Bài 5: Không gian véc tơ

Chia sẻ: dinhlan0501

Nắm được khái niệm về không gian véctơ. Nắm được khái niệm về không gian con và hệ sinh. Nắm được khái niệm về không gian hữu hạn chiều. Giải được các bài toán về không gian véctơ.

Bạn đang xem 7 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: Toán cao cấp 2- Bài 5: Không gian véc tơ

 

  1. Bài 5: Không gian véc tơ Bài 5 : KHÔNG GIAN VÉCTƠ Mục tiêu Nội dung • Nắm được khái niệm về không gian véctơ; Không gian véc tơ là một khái niệm được • Nắm được khái niệm về không gian con xây dựng trên một tập khác rỗng và một và hệ sinh; trường. Cấu trúc không gian véctơ là một • Nắm được khái niệm về không gian hữu cấu trúc rất cơ bản của toán học và là nền hạn chiều; tảng cho nhiều lý thuyết khác nhau • Giải được các bài toán về không gian véctơ. • Cấu trúc của không gian véc tơ • Không gian con và hệ sinh • Không gian hữu hạn chiều Thời lượng Bạn đọc nên để 10 giờ để nghiên cứu LT + 6 giờ làm bài tập. 65
  2. Bài 5: Không gian véc tơ Bài toán mở đầu: Không gian trạng thái của nền kinh tế quốc dân Ký hiệu K(t) là vốn, Y(t) là tổng sản phẩm, L(t) là lao động, I(t) là vốn đầu tư thêm, s(t) là tỷ trọng tích lũy ở năm t đều là các véc tơ có nhiều thành phần. Ta có các hệ thức sau : Hàm sản xuất Y(t) = F[L(t), K(t)] K(t + 1) – K(t) = I(t) – μ K(t), μ là hệ số hao mòn vốn 0 < μ < 1 I(t) = s(t) Y(t). Từ các hệ thức trên suy ra : K(t + 1) = K(t) + s(t) F[L(t), K(t)] – μ K(t). Coi K(t) là trạng thái, s(t) là biến điều khiển. Phương trình trên gọi là phương trình trạng thái. Biết K(0) là trạng thái ở thời điểm ban đầu và luật tác động s(t), L(t) ta sẽ suy được K(t) tại mọi thời điểm, tức là biết quỹ đạo của nền kinh tế trong không gian trạng thái. 5.1. Định nghĩa không gian véc tơ 5.1.1. Định nghĩa và tính chất Định nghĩa 5.1: Xét tập V khác rỗng, trong đó mỗi phần tử ta quy ước gọi là một véc tơ và trường số thực . Tập V được gọi là một không gian véc tơ trên trường số thực , nếu tập V được trang bị hai phép toán: phép cộng hai véc tơ và phép nhân véc tơ với một số thực sao cho các điều kiện sau đây được thỏa mãn: • (V,+) là một nhóm Abel • α(x + y) = αx + αy, ∀α ∈ , x, y ∈ V • (α + β)x = αx + βx, ∀α ∈ , x ∈ V • α(βx) = (αβ)x, ∀α, β ∈ , x ∈ V • 1x = x, ∀x ∈ V Phần tử trung hòa của nhóm Abel (A,+) gọi là véc tơ không, ký hiệu là θ. Phần tử đối của phần tử x trong nhóm Abel (V,+) gọi là véc tơ đối của véc tơ x, ký hiệu là –x. Ta có : x+θ=x x + (–x) = θ, ∀x ∈ V Các tính chất : • θx = θ, ∀ x ∈ V • αθ = θ, ∀α ∈ V • αx = θ ⇔ (α = 0) ∨ (x = 0) • α(–x) = –(αx), ∀α ∈ , x ∈ V 5.1.2. Ví dụ n Xét là tập mà mỗi phần tử là một bộ n số thực có thứ tự x = (x1, x2,..., xn) còn gọi là một véc tơ n thành phần. Xét x = (x1, x2,..., xn) và y = (y1, y2,…, yn) 66
  3. Bài 5: Không gian véc tơ Phép cộng véc tơ và phép nhân với một số thực được định nghĩa như sau: x + y = (x1 + y1, x2 + y2,…, xn + yn) (5.1) αx = (αx1, αx2,…, αxn), ∀α ∈ . (5.2) Ngoài ra, x = y ⇔ xi = yi ∀i. n là một không gian véc tơ. Chú ý: 2 – Mỗi cặp số (a1; a2) ∈ có hai ý nghĩa hình học: Có thể biểu diễn nó bằng một điểm M trong mặt phẳng tọa độ, trong đó a1 là hoành độ, còn a2 là tung độ. Mặt khác, cũng có thể biểu diễn nó như là một véc tơ mà a1 là thành phần thứ nhất và a2 là thành phần thứ hai. Ta viết a(a1 ; a 2 ) . x2 x2 M a2 a2 (a1, a2) a a1 x1 O a1 x1 O Hình 5.1 Hình 5.2 3 – Mỗi bộ ba số (a1; a2; a3) ∈ có thể biểu diễn bằng một điểm M(a1; a2; a3) với a1 là hoành độ, a2 là tung độ và a3 là cao độ. Ta cũng có thể biểu diễn như một véc tơ a với ba thành phần x3 x3 a3 (a1; a2; a3) M a a2 O O x2 x2 a1 x1 x1 Hình 5.4 Hình 5.3 n – Mỗi bộ n số (a1; a2;...; an) ∈ có thể xem là điểm M có n tọa độ, hay véc tơ a có n thành phần. 67
  4. Bài 5: Không gian véc tơ 5.2. Không gian con và hệ sinh 5.2.1. Không gian con Định nghĩa 5.2: Bộ phận W khác rỗng của không gian véc tơ V gọi là một không gian con của V nếu các điều kiện sau đây được thỏa mãn : a. x, y ∈ W ⇒ x + y ∈ W b. α ∈ , x ∈ W ⇒ αx ∈ W. Vì W khác rỗng nên tồn tại x ∈ W. Theo điều kiện b) ta có θ = 0x ∈ W, do đó mỗi không gian con đều chứa véc tơ θ. Nếu x ∈ W thì theo điều kiện b) ta có –x = (–1)x ∈ W. Vậy mỗi không gian con của không gian véc tơ V cũng là một không gian véc tơ. Định lý 5.1: Để bộ phận khác rỗng W của không gian véc tơ V là một không gian con của V thì điều kiện cần và đủ là điều kiện sau được thỏa mãn.: Với mọi x, y ∈ W ⇒ αx + βy ∈ W, đối với mọi α, β ∈ . Chứng minh * Điều kiện cần: Giả sử x, y ∈ W, theo điều kiện b) của định nghĩa không gian con ta có αx, βy ∈ W và theo điều kiện a) ta có αx + βy ∈ W. * Điều kiện đủ: Nếu lấy α = β = 1 ta có điều kiện a) được thỏa mãn. Nếu lấy β = 0 ta có điều kiện b) được thỏa mãn. Vậy W là một không gian con. 2 Ví dụ: Mỗi phần tử của là một cặp số x = (x1, x2) biểu diễn bằng một điểm trong mặt phẳng tọa độ O x1x2. Xét tập 2 W = {(x1; x2) ∈ | ax1 + bx2 = 0}. W là tập điểm thuộc đường thẳng đi qua gốc tọa độ có phương trình ax1 + bx2 = 0 a và b không đồng thời bằng 0. x2 x2 x O x1 x1 Hình 5.5 Giả sử x = (x1; x2), y = (y1; y2) ∈ W và α ∈ . Ta có ⎧ax1 + bx 2 = 0 ⇒ a(x1 + y1 ) + b(x 2 + y 2 ) = 0 , ⎨ ⎩ay1 + by 2 = 0 68
  5. Bài 5: Không gian véc tơ nghĩa là x + y ∈ W. a(αx1) + b(αx2) = 0, nghĩa là αx ∈ W. 2 Do đó, W là không gian con của . 5.2.2. Không gian con sinh bởi một họ véc tơ Định nghĩa 5.3: V là một không gian véc tơ, S là một họ véc tơ của V S = {x1; x2;...; xn}. Biểu thức c1x1 + c2x2 + … + cnxn là một véc tơ thuộc V và được gọi là một tổ hợp tuyến tính của các véc tơ của họ S, ci ∈ , i = 1, n . Tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính của họ S được gọi là bao tuyến tính của họ S, ký hiệu là span(S). Định lý 5.2: W = span(S) là một không gian con của V. Chứng minh: Vì x1 = 1.x1 nên x1 ∈ W. Do đó, W ≠ ∅. Giả sử x = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn ∈ W y = d1x1 + d2x2 + ... + dnxn ∈ W, di ∈ (i = 1, n ). Khi đó: x + y = (c1 + d1)x1 + (c2 + d2)x2 +...+ (cn + dn)xn ∈ W αx = (αc1)x1 +...+ (αcn)xn ∈ W. Vậy W đóng kín đối với hai phép tính trong V. Vậy W là không gian con của V. Ta gọi span(S) là không gian con sinh bởi hệ S, còn S được gọi là hệ sinh của không gian con đó. 2 , xét các véc tơ e1 = (1; 0) và e2 = (0; 1), mọi x ∈ 2 Ví dụ: Trong có dạng x = (x1; x2) nên viết được như sau x = (x1; x2) = x1(1; 0) + x2(0; 1) = x1e1 + x2e2 là một tổ hợp tuyến tính của e1 và e2. nghĩa là 0 Vậy họ S = {e1; e2} là một hệ sinh của 2 . 5.2.3. Họ véc tơ độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính Định nghĩa 5.4: Cho V là một không gian véc tơ, S = {x1; x2;...; xn}. Xét điều kiện c1x1 + c2x2 +...+ cnxn = θ (5.3) trong đó cj ∈ , ∀j = 1, n . Nếu điều kiện (5.3) chỉ xảy ra khi c1 = 0, c2 = 0,..., cn = 0 thì ta nói họ S độc lập tuyến tính (không biểu diễn qua nhau được). 69
  6. Bài 5: Không gian véc tơ Nếu tồn tại các số thực c1, c2,..., cn không đồng thời bằng 0 để (5.3) thỏa mãn thì ta nói họ S phụ thuộc tuyến tính. Ví dụ: Xét họ S = {e1; e2}, e1 = (1; 0), e2 = (0; 1) trong 2 . 70
  7. Bài 5: Không gian véc tơ Điều kiện (5.3) viết c1(1; 0) + c2 (0; 1) = (0; 0) ⇔ (c1; c2) = (0; 0). Vậy điều kiện (5.3) chỉ xảy ra khi c1 = 0, c2 = 0. Do đó, e1, e2 là độc lập tuyến tính 2 trong . 5.3. Không gian hữu hạn chiều 5.3.1. Khái niệm về không gian hữu hạn chiều và cơ sở của nó 5.3.1.1. Định nghĩa 5.5 Không gian véc tơ V được gọi là không gian n chiều (n ∈ *) nếu trong V tồn tại n véc tơ độc lập tuyến tính (đltt) và không tồn tại quá n véc tơ độc lập tuyến tính. Khi đó, ta nói số chiều của không gian V là n và ký hiệu là dim(V). 5.3.1.2. Cơ sở của không gian n chiều • Định nghĩa 5.6 Trong không gian n chiều V, một họ gồm n véc tơ độc lập tuyến tính gọi là một cơ sở của V. • Các tính chất Định lý 5.3: Giả sử V là một không gian véc tơ, S = {v1, v2,..., vn} là một họ gồm n véc tơ của V. (1) Nếu V là không gian n chiều và S là một cơ sở thì x ∈ V có biểu diễn duy nhất x = c1v1 +...+ cnvn . (5.4) (2) Nếu mọi x ∈ V có biểu diễn duy nhất (5.4) thì S là cơ sở của V. Chứng minh: Ta sẽ chứng minh phần (1). Giả sử V là không gian n chiều và S là một cơ sở của V. Lúc đó, họ S là độc lập tuyến tính và mọi họ gồm n + 1 véc tơ của V là phụ thuộc tuyến tính. Xét x bất kỳ của V, họ {x; v1; v2;...; vn} gồm n + 1 véc tơ nên phụ thuộc tuyến tính. Do đó, tồn tại các số ci không đồng thời bằng 0 để c0x + c1v1 +...+ cnvn = θ. Số c0 phải khác 0, vì nếu c0 = 0 thì tồn tại các số ci không đồng thời bằng 0 để c1v1 + c2v2 + ... + cnvn = θ. Trái với giả thiết S là độc lập tuyến tính. ⎛ c⎞ ⎛ c⎞ x = ⎜ − 1 ⎟ v1 + ... + ⎜ − n ⎟ v n . Do đó ⎝ c0 ⎠ ⎝ c0 ⎠ Vậy mọi x ∈ V đều có biểu diễn (5.4). Bây giờ, ta chứng minh biểu diễn đó là duy nhất. Giả sử có một biểu diễn khác x = c1v1 + ... + c′ v n . ′ (5.5) n Trừ từng vế (5.4) cho (5.5), ta có (c1 − c1 )v1 + ... + (c n − c′ )v n = θ . ′ n 71
  8. Bài 5: Không gian véc tơ Vì họ S độc lập tuyến tính nên đẳng thức này chỉ xảy ra khi c1 − c1 = 0,..., c n − c′ = 0, ′ n tức là c1 = c1 ,..., c n = c′ . ′ n Vậy biểu thức (5.4) là duy nhất. n Ví dụ: Trong không gian , các véc tơ e1 = (1, 0,…, 0) e2 = (0, 1,…, 0) ………………. en = (0, 0,…, 1) n là độc lập tuyến tính và chúng tạo thành một cơ sở của . n Mọi véc tơ x = (x1; x2;…; xn) ∈ đều có biểu diễn duy nhất x = x1e1 + x2e2 + … + xnen. Ví dụ: Cho V là không gian véc tơ n chiều S = {v1; v2;…; vn} ∈ V. Hãy tìm điều kiện để S độc lập tuyến tính, tức là điều kiện để S là một cơ sở của V. Giả sử ⎛ a11 ⎞ ⎛ a12 ⎞ ⎛ a1n ⎞ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜ ⎟ a 21 a 22 ⎜ a 2n ⎟ v1 = ⎜ ⎟ ; v 2 = ⎜ ⎟ ;...; vn = ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜ ⎟ ⎜ an ⎟ ⎜ an ⎟ ⎝ a nn ⎠ ⎝ 1⎠ ⎝ 2⎠ Khi đó, các véc tơ này có thể viết thành các cột của ma trận A. ⎛ a11 a12 ... a1n ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ a 21 a 22 ... a 2n ⎟ A= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ a n1 a n 2 ... a nn ⎠ Định lý 5.4: Các véc tơ v1, v2,…, vn là độc lập tuyến tính khi và chỉ khi n véc tơ cột của A là độc lập tuyến tính, hoặc hạng của A bằng n, tức là det A ≠ 0. 2 Ví dụ: Xét ba véc tơ thuộc . v1 = (1; 2; 1); v2 = (2 ; 1; 4); v3 = (3 ; 2 ; 1). ⎡1 2 3 ⎤ Ta lập ma trận A: A = ⎢ 2 1 2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢1 4 1 ⎥ ⎣ ⎦ Ta có det A = 15 ≠ 0. Vậy họ {v1, v2, v3} là độc lập tuyến tính. Định lý 5.5: Cho V là một không gian n chiều, nếu S = {v1, v2,…, vr} ∈ V là một họ độc lập tuyến tính thì r ≤ n, trường hợp r < n có thể tìm được n – r véc tơ vr + 1,…, vn sao cho họ {v1, v2,…, vn} là một cơ sở của V. 72
  9. Bài 5: Không gian véc tơ Trở lại hệ phương trình đại số với định lý Croneker Capelli : Giả sử Aj là các véc tơ cột của ma trận A. Hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ khi tồn tại x 0 , j = 1, n sao j n ∑x A = h, hoặc h là tổ hợp tuyến tính của A1, A2,…, An. Vì vậy, nó tương 0 cho j j j=1 đương với r(A) = r(A, h) = r. 5.3.2. Hạng của họ véc tơ Định nghĩa 5.7: Cho S = {u1, u2,..., un} là một họ gồm n véc tơ thuộc không gian véc tơ V. Hạng của họ S ký hiệu là rank S = r là số tối đa các véc tơ độc lập tuyến tính mà ta có thể chọn từ họ đó. Dĩ nhiên r ≤ n. Định lý 5.6: Nếu S = {u1, u2,..., up} có hạng r và W là không gian con sinh bởi S của không gian véc tơ V thì dimW = r. Chứng minh: Giả sử M = {u i1 , u i2 ,..., u ik } là hệ con lớn nhất gồm các véc tơ độc lập tuyến tính của S. Ta chỉ cần chứng minh M sinh ra W. Thật vậy, mỗi véc tơ của hệ S đều là tổ hợp tuyến tính của các véc tơ của hệ M, thành thử mỗi véc tơ của không gian con W, vốn là tổ hợp tuyến tính của các véc tơ thuộc S (do S sinh ra W) cũng là tổ hợp tuyến tính của véc tơ thuộc M. Hệ M là hệ độc lập tuyến tính và sinh ra W. Vậy là một cơ sở của W, suy ra k = r. Bởi vậy, theo Định lý 5.3, ta có dimW = r. Ta có, phương pháp thực hành để tính hạng của hệ véc tơ bằng biến đổi sơ cấp. 3 3 , xét họ S = {u1, u2, u3, u4} ⊂ Ví dụ: Trong . u1 = (1, 3, 0); u2 = (0, 2, 4); u3 = (1, 5, 4); u4 = (1, 1, –4). Ta lập ma trận A có 4 hàng là 4 véc tơ trên rồi thực hiện biến đổi. ⎡1 0⎤ ⎡1 ⎤ ⎡1 0⎤ 3 30 3 ⎢0 4 ⎥ L3 − L1 ⎢0 2 4 ⎥ L3 − L1 ⎢0 ⎥ 4⎥ 2 2 A=⎢ ⎥ ⎯⎯⎯ ⎢ ⎯⎯⎯→ ⎢ ⎥ → ⎢1 4 ⎥ L4 − L1 ⎢0 2 4 ⎥ L4 + L2 ⎢ 0 0⎥ 5 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ − 4⎦ − 2 − 4⎦ ⎣1 1 ⎣0 ⎣0 0 0⎦ Vậy r(S) = 2. 5.3.3. Biến đổi tọa độ khi cơ sở thay đổi Cho B = {v1; v2;...; vn} và B′ = {f1; f2;...; fn} là hai cơ sở khác nhau của không gian véc tơ V. Với x ∈ V, ta có n ∑c v x= (1) j j j =1 nghĩa là tọa độ của x theo cơ sở B là xB = (c1, c2,..., cn). n ∑d f Ta cũng có x = (2) ii i =1 nghĩa là tọa độ của x theo cơ sở B′ là xB′ = (d1; d2;...; dn). 73
  10. Bài 5: Không gian véc tơ n ∑ P v , i = 1, n. fi = Mặt khác (3) ji j j=1 Biểu diễn xB qua xB′. Với (2) sử dụng (3), ta có ⎡n ⎤ n n n n ∑1 ⎢∑1 Pjidi ⎥ v j. ∑ di fi = ∑ di ∑ Pji v j = x= (4) j = ⎣i = ⎦ i =1 i =1 j=1 Từ (1) và (4), ta suy ra n ∑ P d , j = 1, n cj = ji i i =1 ⎛ c1 ⎞ ⎛ P11 P12 ... P1n ⎞ ⎛ d1 ⎞ ⎜⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ c 2 ⎟ ⎜ P21 P22 ... P2n ⎟ ⎜ d 2 ⎟ ⎜⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ c j ⎟ ⎜ Pj1 Pj2 ... Pjn ⎟ ⎜ d j ⎟ ⎜⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜c ⎟ ⎜P Pn 2 ... Pnn ⎟ ⎜ d n ⎟ ⎝ n ⎠ ⎝ n1 ⎠⎝ ⎠ x T = Px T ′ . (5) B B Trong đó P được gọi là ma trận chuyển từ cơ sở {e1; e2;...; en} sang cơ sở {f1; f2;...; fn}. x T ′ = P −1x T . Từ (5) ta có (6) B B 2 Ví dụ: Cho các cơ sở trong . B = {e1; e2}, B’ = {f1; f2}. Các véc tơ viết ở dạng cột ⎛1 ⎞ ⎛0⎞ ⎛1⎞ ⎛ 2⎞ e1 = ⎜ ⎟ , e 2 = ⎜ ⎟ , f1 = ⎜ ⎟ , f 2 = ⎜ ⎟ ⎝0⎠ ⎝1 ⎠ ⎝1⎠ ⎝1 ⎠ ⎛7⎞ Cho x = ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠ a. Hãy tìm tọa độ của x qua cơ sở B: xB. b. Tìm ma trận chuyển cơ sở từ B sang B′. c. Tìm tọa độ của x qua cơ sở B′: xB′. Giải: ⎛7⎞ a. Ta có ngay xB = ⎜ ⎟ ; ⎝ 2⎠ f1 = e1 + e 2 ⎫ ⎛1 2 ⎞ ⎬⇒ P=⎜ b. ⎟ f 2 = 2e1 + e 2 ⎭ ⎝1 1 ⎠ ⎛ −1 2 ⎞ ⎛ −1 2 ⎞⎛ 7 ⎞ ⎛ −3 ⎞ c. x T ′ = P −1x T ; P −1 = ⎜ ⎟ ; x B′ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ nghĩa là x = –3f1 + 5f2. T B B ⎝ 1 −1 ⎠ ⎝ 1 − 1⎠⎝ 2 ⎠ ⎝ 5 ⎠ 74
  11. Bài 5: Không gian véc tơ TÓM LƯỢC CUỐI BÀI Các bạn đã được học về Không gian véc tơ. Các bạn cần ghi nhớ các vấn đề sau: • Nắm được khái niệm về không gian véc tơ; • Nắm được khái niệm về không gian con và hệ sinh; • Nắm được khái niệm về không gian hữu hạn chiều; • Giải được các bài toán về không gian véc tơ. Bài tiếp theo các bạn sẽ được học về Ánh xạ tuyến tính và Ma trận. 75
  12. Bài 5: Không gian véc tơ BÀI TẬP 1. a. Tập hợp các đa thức hệ số thực có bậc nhỏ hơn hoặc bằng n có lập thành một không gian véc tơ trên trường với phép cộng đa thức thông thường và phép nhân đa thức với một số thực không? Nếu có hãy tìm một cơ sở của nó. b. Cũng với câu hỏi như trên, nếu xét tập hợp các đa thức hệ số thực có bậc bằng n ? ⎧⎛ a b ⎞ ⎫ 2. Ký hiệu M 2 = ⎨⎜ ⎟ , a, b, c, d ∈ ⎬. ⎩⎝ c d ⎠ ⎭ Chứng minh rằng M2 là không gian véc tơ trên với phép cộng ma trận thông thường và phép nhân ma trận với một số thực thông thường. ⎛1 0 ⎞ 2 ⎛ 0 1⎞ ⎛0 0⎞ 4 ⎛0 0⎞ Chứng minh rằng e1 = ⎜ ⎟, e = ⎜ ⎟, e = ⎜ ⎟, e = ⎜ 3 ⎟ lập nên một cơ sở ⎝0 0⎠ ⎝0 0⎠ ⎝1 0 ⎠ ⎝0 1 ⎠ ⎛2 1⎞ của M2 và tìm tọa độ của véc tơ X = ⎜ ⎟ theo cơ sở đó. ⎝1 3⎠ 2 3. Xét véc tơ x = (1; 2) và y = (1; 1) của . 2 a. Hỏi rằng họ {x ; y} có sinh ra không? b. Họ (x; y) có độc lập tuyến tính không? 3 . Chứng minh rằng các véc tơ v1(2; 1; 1), v2(1; 3; 1), v3(–2; 1; 3) lập thành một cơ sở. 4. Cho Hãy tìm tọa độ của véc tơ x(–2; –4; 2) theo cơ sở đó. 5. Chứng minh rằng các véc tơ a = (1; 0; 1); b(–1; –1; 0) và c = (–1; 1; 1) tạo thành một cơ sở 3 của . Biểu diễn các tọa độ của véc tơ v = (2; 2; 3) trong cơ sở này. 6. a. Trong không gian véc tơ V4(Q ), ta xét hai véc tơ ξ1 = (3; –2; 0; 0) và ξ2 = (0; 1; 0; 1). Chứng minh rằng các véc tơ này là độc lập tuyến tính. b. Xác định (nếu có thể được) một cơ sở chứa các véc tơ ξ1 và ξ2 . 5 7. Một không gian véc tơ sinh bởi các véc tơ sau đây của v1 = (2; 0; 1; 3; –1); v2 = (0; –2; 1; 5; –3) v3 = (1; 1; 0; –1; 1); v4 = (1; –3; 2; 9; –5). Hãy tìm cơ sở và số chiều của không gian này. 4 , cho các véc tơ v1 = (1; 0; 1; –2) ; v2 = (1; 1; 3; –2) ; v3 = (2; 1; 5; –1). Tìm số chiều 8. Trong 4 sinh bởi {v1; v2; v3}. và một cơ sở của không gian con của 9. Chứng minh rằng tập W = {(α – β; 2α; α + 2β; –β)⎜α; β ∈ } 4 là một không gian con của mà ta phải xác định số chiều và một cơ sở của nó. 76
  13. Bài 5: Không gian véc tơ 3 10. Cho E1 là không gian véc tơ con của , sinh bởi các véc tơ u = (2; 1; 0), v(–1; 0; 1), w = (4; 1; –2). 1. Xác định một cơ sở và số chiều của E1. Viết dạng tổng quát một véc tơ của E1. 2. Cho E2 = {(0, α + β, –β) ⎜α và β ∈ }. 3 a. Chứng minh rằng E2 là không gian véc tơ con của mà ta phải xác định số chiều và một cơ sở của nó. b. Hãy cho một cơ sở và số chiều của các không gian con E1 ∩ E2 và E1 + E2. c. Tổng của E1 + E2 có phải là trực tiếp không? CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 3 1. Họ nào dưới đây là cơ sở trong . A. (1; 0; 0) , (2; 2; 0), (3; 3; 3) B. (3; 1; –4) , (2; 5; 6), (1; 4; 8) C. (2; –3; 1) , (4; 1; 1) , (0; –7; 1) D. (1; 6; 4) , (2; 4; –1) , (–1; 2; 5) 4 2. Xét xem các tập con sau đây của không gian véc tơ , tập nào là không gian con. 4 A. {x = (x1; x2; x3; x4) ∈ ⎜ x1 + x2 + x3 + x4 = 1} 4 B. {x = (x1; x2; x3; x4) ∈ ⎜ x1 + x2 + x3 + x4 = 0} 4 C. {x = (x1; x2; x3; x4) ∈ ⎜ x1 + x2 = x3 + x4 = 1} 4 D. {x = (x1; x2; x3; x4) ∈ ⎜ xi ∈ Q, i = 1, 2} 3. Giả sử {f1; f2;...; fn} là một hệ véc tơ độc lập tuyến tính trong không gian véc tơ V trên trường số . Xét hệ véc tơ ui = fi + fi + 1, i = 1,..., n – 1; un = fn + fi. Khi đó, hệ {u1;...; un} độc lập tuyến tính nếu A. n lẻ B. n chẵn C. n chẵn lớn hơn 0 D. n chẵn nhỏ hơn 0. 77
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản