Toán cao cấp 2- Bài 8: Dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gian Euclid

Chia sẻ: dinhlan0501

Khái niệm về dạng song tuyến tính và dạng toàn phương. Biết cách đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng hai phương pháp: Phương pháp Lagrange, phương pháp Jacobi và tiêu chuẩn Sylvester. Khái niệm về không gian Euclid, hệ trực giao và hệ trực chuẩn. Biết cách đưa đường mặt bậc hai ở dạng toàn phương về dạng trục chính. Giải được các bài toán trong các nội dung nêu trên.

Bạn đang xem 7 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: Toán cao cấp 2- Bài 8: Dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gian Euclid

Bài 8: Dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gian Euclid

Bài 8: DẠNG SONG TUYẾN TÍNH, DẠNG TOÀN PHƯƠNG,
KHÔNG GIAN EUCLID




Mục tiêu Nội dung

• Khái niệm về dạng song tuyến tính và Dạng song tuyến tính là cơ sở để ta
nghiên cứu dạng toàn phương và tích vô
dạng toàn phương.
hướng. Áp dụng dạng toàn phương và
• Biết cách đưa dạng toàn phương về dạng
không gian Euclid vào Hình học giải tích
chính tắc bằng hai phương pháp: Phương
ta có thể đưa các đường và mặt bậc hai về
pháp Lagrange, phương pháp Jacobi và
dạng chính tắc.
tiêu chuẩn Sylvester.
• Khái niệm về dạng song tuyến tính và
• Khái niệm về không gian Euclid, hệ trực
dạng toàn phương.
giao và hệ trực chuẩn.
• Biết cách đưa dạng toàn phương về
• Biết cách đưa đường mặt bậc hai ở dạng
dạng chính tắc bằng hai phương pháp:
toàn phương về dạng trục chính.
Phương pháp Lagrange, phương pháp
• Giải được các bài toán trong các nội
Jacobi và tiêu chuẩn Sylvester.
dung nêu trên.
• Khái niệm về không gian Euclid, hệ
trực giao và hệ trực chuẩn.
Thời lượng
• Biết cách đưa đường mặt bậc hai ở
Bạn đọc nên để 15 giờ để nghiên cứu LT + dạng toàn phương về dạng trục chính.
8 giờ làm bài tập. • Giải được các bài toán trong các nội
dung nêu trên.




101
Bài 8: Dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gian Euclid

Bài toán mở đầu : Bài toán phân phối tối ưu công suất giữa thủy điện và nhiệt điện
Cho trước biểu đồ phụ tải trong một ngày đêm (24 giờ) tức là cho công suất phụ tải Ppt (k), k = 1,
2,..., 24, tính bằng MW. Giả sử năng lượng thủy điện có thể khai thác trong một ngày đêm là
A(MWh). Vấn đề là hãy xác định công suất của các nhà máy điện Pk, k = 1, 2,..., 24 sao cho
đường biểu diễn công suất là bằng phẳng nhất có thể được (để giảm bớt chi phí cho việc điều
chỉnh công suất) và sao cho sử dụng hết năng lực của thủy điện.
Từ yêu cầu ta có thể thiết lập mô hình như sau: Xác định các công suất Pk , k = 1, 2,..., 24 sao cho
⎛ ⎞
24

∑p
24 ⎜ ⎟ k

∑ ⎜ Pk − ⎟ → min
k =1

k = 1⎜ 24 ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
24

∑ ⎣P
⎡ ⎤
(k) − Pk ⎦ = A
pt
k =1


Pmin ≤ Pk ≤ Pmax, k = 1, 2,…, 24.
Hàm mục tiêu của bài toán có dạng toàn phương.
Dạng song tuyến tính là cơ sở để ta nghiên cứu dạng toàn phương và tích vô hướng. Áp dụng
dạng toàn phương và không gian Euclid vào Hình học giải tích ta có thể đưa các đường và mặt
bậc hai về dạng chính tắc.

8.1. Dạng song tuyến tính và dạng toàn phương

8.1.1. Dạng song tuyến tính
, ánh xạ f: V × V →
Định nghĩa 8.1: Cho V là không gian véc tơ trên gọi là một
dạng song tuyến tính trên V nếu
f(x1 + x2, y) = f(x1, y) + f(x2, y) x1, x2, y ∈ V

f(λx, y) = λf(x, y) x, y ∈ V, ∀ λ ∈

f(x, y1 + y2) = f(x, y1) + f(x, y2) ∀ x, y1, y2 ∈ V

f(x, λy) = λf(x, y) x, y ∈ V, ∀ λ ∈
2 2
× →
Ví dụ: Ánh xạ f: xác định bởi
2
f(u, v) = x1x2 + y1y2 trong đó u = (x1, y1), v = (x2, y2) là một dạng song tuyến tính trên .
Dạng song tuyến tính f(x, y) trên V gọi là đối xứng nếu
f(x, y) = f(y, x) ∀x, y ∈ V.
Dạng song tuyến tính trong ví dụ trên là đối xứng.

8.1.2. Dạng toàn phương
Giả sử f(x, y) là một dạng song tuyến tính trên V, {e1, e2,…, en} là một cơ sở của V.
Khi đó, ta có

102
Bài 8: Dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gian Euclid

⎛n ⎞
n n n
f(x, y) = f ⎜ ∑ x i ei , ∑ y e ⎟ = ∑∑ x y f (e , e ).
j i j
(8.1)
j i j
⎝ i =1 ⎠
j=1 i =1 j =1


Đặt f(ei, ej) = aij (i, j = 1, 2,..., n), ta có
⎛ a11 a12 ... a1n ⎞
⎜ ⎟
a a ... a 2n ⎟
A = ⎜ 21 22
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ a n1 a n 2 ... a nn ⎠
Ma trận A gọi là ma trận của dạng song tuyến tính f theo cơ sở {e1, e2,…, en}.
Nói chung, A không phải là một ma trận đối xứng A ≠ A′.
Trong trường hợp f là dạng song tuyến tính đối xứng, nghĩa là
aij = f(ei, ej) = f(ej, ei) = aji, (i, j = 1,2,…,n)
thì A là ma trận đối xứng.
Nếu {f 1, f 2,…, f n} là một cơ sở khác của V với
n

∑t
fk = e m (k = 1, 2,…, n)
mk
m =1


và f(f i, f k) = bik, ta có
⎛n ⎞ n n
n

∑ t mi ∑ t lk f (em , el )
bik = f(f i, f k) = f ⎜ ∑ t mi e m , ∑1 t ik ei ⎟ =
⎝ m =1 ⎠
l= m =1 l =1

n n

∑ t ∑t a ml (i = 1, 2,…, n).
mi lk
m =1 l =1


Từ đây, ta có B = T–1AT, trong đó

⎛ b11 b12 ... b1n ⎞ ⎛ t11 t12 ... t1n ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ b 21 b 22 ... b 2n ⎟ , T = ⎜ t 21 t 22 ... t 2n ⎟
B=
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ b n1 b n 2 ... b nn ⎠ ⎝ t n1 t n 2 ... t nn ⎠
Định nghĩa 8.2: Nếu f(x, y) là một dạng song tuyến tính đối xứng trên không gian véc
tơ V thì f(x, x) gọi là một dạng toàn phương.
n

∑x e và đặt f(ei, ej) = aij = aji (i, j = 1, 2,..., n).
Nếu x = i
i
i =1

n

∑a xx
Ta có f (x, x) = ij i j
i, j = 1


= a11x1 + 2a12 x1x 2 + ... + 2a1n x1x n + a 22 x 2 + 2a 23 x 2 x 3 + ... + a nn x n . (8.2)
2 2 2



Trong trường hợp aij = 0 (i ≠ j; i, j = 1, 2,..., n) thì dạng toàn phương được gọi là dạng
toàn phương ở dạng chính tắc, khi đó
f (x, x) = a11x1 ± a 22 x 2 ± ... ± a nn x 2 .
2 2
n



103
Bài 8: Dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gian Euclid

8.1.3. Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc
Ta đã biết biểu thức của dạng song tuyến tính f(x, x) qua các tọa độ của véc tơ x phụ
thuộc vào việc chọn cơ sở (hệ tọa độ) trong đó dạng toàn phương có dạng đơn giản

f(x, x) = λ1ξ1 + λ 2 ξ2 + ... + λ n ξ2
2
2 n



8.1.3.1. Phương pháp Lagrange
Giả sử trong một cơ sở f1, f2,…, fn nào đó ta có

∑a x x
f(x, x) = i, j = 1, n (8.3)
ij i j
i, j


Trong đó x1, x2,…, xn là các tọa độ véc tơ x trong cơ sở này.
Ta sẽ dần dần biến đổi cơ sở sao cho trong dạng (8.3) mất đi các số hạng chéo (các
tích tọa độ với hệ số khác nhau).
Vì mỗi biến số cơ sở ứng với một phép biến đổi xác định các tọa độ và ngược lại nên
ta sẽ viết các công thức biến đổi các tọa độ.
Để dẫn dạng toàn phương f(x, x) về dạng chính tắc, ta cần có ít nhất một trong các hệ
số aii (hệ số của x i2 ) khác 0. Điều đó luôn luôn có thể đạt được. Thật vậy, giả sử dạng
f(x, x) không đồng nhất bằng 0, nhưng không chứa một biến bình phương nào, khi đó,
nó chứa dù chỉ một tích, chẳng hạn như 2a12x1x2. Ta thay các tọa độ x1, x2 bởi
x1 = x1 + x ′
′ 2


x 2 = x1 − x ′
′ 2


và không thay đổi các biến còn lại. Khi đó, số hạng 2a12x1x2 chuyển thành
2a12 (x12 − x′2 ) . Theo giả thiết a11 = a22 = 0 nên số hạng thu được không bao giờ bị
′ 2


triệt tiêu, nghĩa là hệ số x12 khác 0. Vậy ta giả sử rằng trong (8.3) có a11 ≠ 0. Ta tách
ra trong dạng toàn phương các số hạng chứa x1

a11x1 + 2a12 x1x 2 + ... + 2a1n x1x n
2



Ta bổ sung tổng này đến một bình phương đầy đủ của tổng, nghĩa là viết nó dưới dạng

a11x1 + 2a12 x1x 2 + ... + 2a1n x1x n
2



1
(a11x1 + ... + a1n x n ) 2 − B. (8.4)
=
a11

Trong đó qua B ta ký hiệu các số hạng chỉ chứa các bình phương và tích từng đôi một
của các số hạng a12x2,…, a1nxn.
Sau khi thay (8.4) vào (8.3) thì dạng toàn phương đã cho có dạng
1
(a11x1 + ... + a1n x n ) 2 + ...
f(x, x) =
a11

trong đó các số hạng không viết ra chỉ chứa các biến x2,…, xn.


104
Bài 8: Dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gian Euclid

Ta đặt
η1 = a11x1 + a12x2 +…+ a1nxn

η2 = x2

………………..
ηn = xn
Khi đó, dạng toàn phương trở thành
n
12
∑ b ηη .
f (x, x) = η1 + ij i j
a11 i, j = 2

n

∑ b ηη
Biểu thức hoàn toàn giống dạng (8.3) chỉ có khác là bớt tọa độ x1. Bây
ij i j
i, j = 2

giờ, ta giả sử b22 ≠ 0. Khi đó tiến hành phép biến đổi mới các biến tương tự như trên
theo các công thức
η1 = η1
*


η* = b 22 η2 + b 23η3 + ... + b 2n ηn
2

η* = η3
3

...........................
η* = ηn
n

Trong các biến mới ta có
n
1 *2 1*
∑ c ηη.
f (x, x) = η1 + η2 + **
ij ij
a11 b 22 i, j = 3


Tiếp tục quá trình này, sau một số hữu hạn bước, ta đến các biến ξ1, ξ2,…, ξn trong đó
f(x, x) = λ1ξ1 + λ 2 ξ 2 + ... + λ n ξ 2 .
2
2 n


Như vậy, ta đi đến định lý sau.
n
Định lý 8.1: Giả sử trong không gian n chiều cho dạng toàn phương bất kỳ f(x, x).
n
Khi đó, trong tồn tại cơ sở e1, e2,..., en sao cho với cơ sở đó

f(x, x) = λ1ξ1 + λ 2ξ 2 + ... + λ n ξ n .
2 2 2



Trong đó ξ1, ξ2,…, ξn là các tọa độ của véc tơ x trong cơ sở e1, e2,..., en.
3
Ví dụ: Giả sử trong không gian với cơ sở f1, f2, f3 cho dạng toàn phương

f(x, x) = 2x1x2 + 4x1x3 – x 2 – 8x 3 .
2
2


Ta đặt
x1 = x ′
2


x 2 = x1
x 3 = x′
3




105
Bài 8: Dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gian Euclid

Khi đó, ta được
f(x, x) = − x12 + 2x1 2x ′ + 4x′ x ′ − 8x′2 .
′ ′2 23 3


Tiếp đó, ta đặt
η1 = − x1 + x ′
′ 2

η2 = x ′
2

η3 = x ′ .
3


Ta sẽ được biểu thức mới cho dạng toàn phương
f(x, x) = − η1 + η2 + 4η2 η3 − 8η3 .
2 2
2


Phép biến đổi
ξ1 = η1
ξ2 = η2 + 2η3
ξ3 = η3.
cho ta dạng chính tắc
f (x, x) = − ξ1 + ξ 2 − 12ξ3 .
2 2
2



8.1.3.2. Phương pháp Jacobi và tiêu chuẩn Sylvester
Ta cần đặt điều kiện đối với dạng toàn phương f(x, y) với cơ sở xuất phát như sau: Giả
sử ma trận a ik của dạng song tuyến tính f(x, y) trong cơ sở f1, f2,…, fn có các định
thức con khác 0
a11 a12
Δ1 = a11 ≠ 0 ; Δ 2 = ≠0
a 21 a 22

a11 a12 ... a1n
a 21 a 22 ... a 2n
≠ 0.
Δn = (8.5)
... ... ... ...
a n1 a n 2 ... a nn

Trong cơ sở f1, f2,…, fn dạng toàn phương f(x, x) có dạng
n

∑a
f (x, x) = ξξ
ik i k
i, k = 1


với aik = f(fi, fk).
Mục đích của ta là xác định các véc tơ e1, e2,…, en sao cho

f(ei, ek) = 0 với i ≠ k (i, k = 1, n ). (8.6)

Quá trình tiến hành tương tự như quá trình trực giao hóa.
Ta sẽ tìm các véc tơ e1, e2,..., en dưới dạng


106
Bài 8: Dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gian Euclid

e1 = α11f1 ⎫

e 2 = α 21f 2 + α 22 f 2 ⎪
(8.7)

............................ ⎪
e n = α n1f1 + α n 2 f 2 + ... + α nn f n ⎪

Các hệ số αik có thể tìm như sau:
Nếu f(ek, fi) = 0 với i = 1, 2,... k – 1 thì f(ek, ei) = 0 đối với i = 1, 2,…, k – 1.
Thật vậy, thay ei bởi biểu thức
αi1f1 + αi2f2 +…+ αiifi
ta được
f(ek, ei) = f(ek, αi1f1 + αi2f2 +...+ αiifi)
= αi1f(ek, f1) + αi2f(ek, f2) +...+ αiif(ek, fi).
Như vậy, nếu f(ek, fi) = 0 đối với bất kỳ k và bất kỳ i < k thì f(ek, ei) đối với i < k và do
đó, tính đối xứng của dạng song tuyến tính, ta có đối với cả i > k, nghĩa là e1, e2,…, en
là cơ sở cần tìm.
Do đó, bài toán của ta dẫn tới bài toán sau:
Xác định các hệ số αk1, αk2,…, αkk sao cho véc tơ
ek = αk1f1 + αk2f2 +…+ αkkfk
thỏa các điều kiện
f(ek, fi) = 0 với i = 1, 2,…, k – 1. (8.8)
Với các điều kiện đó, véc tơ ek được xác định chính xác đến phần tử xác định. Ta cố
định phần tử đó nhờ đòi hỏi
f(ek, fk) = 1. (8.9)
Ta sẽ thấy ngay với các điều kiện (8.8) và (8.9), véc tơ ek đã được xác định một cách
đơn trị.
Thay (8.8) vào (8.9) biểu thức cho ek ta nhận được hệ phương trình bậc nhất sau đây
đối với αki

α k1f (f1 , f1 ) + α k 2 f (f1 , f 2 ) + ... + α kk f (f1 , f k ) = 0

α k1f (f 2 , f1 ) + α k 2 f (f 2 , f 2 ) + ... + α kk f (f 2 , f k ) = 0 ⎪

............................................................................ (8.10)

α k1f (f k − 1 , f1 ) + α k 2 f (f k − 1 , f 2 ) + ... + α kk f (f k − 1 , f k ) = 0 ⎪


α k1f (f k , f1 ) + α k 2 f (f k , f 2 ) + ... + α kk f (f k , f k ) = 1 ⎭
Định thức của hệ phương trình này là
f (f1 , f1 ) f (f1 , f 2 ) ... f (f1 , f k )
f (f 2 , f1 ) f (f 2 , f 2 ) ... f (f 2 , f k )
Δ= (8.11)
... ... ... ...
f (f k , f1 ) f (f k , f 2 ) ... f (f k , f k )


107
Bài 8: Dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gian Euclid

Và theo điều kiện (8.5), định thức trên khác 0. Vì vậy, nghiệm của (8.10) tồn tại và
duy nhất. Như vậy, bài toán tìm véc tơ ek đã được giải cho k bất kỳ.
Bây giờ, ta tìm các hệ số bik của dạng toàn phương f(x, x) trong cơ sở e1, e2,..., en như
ta đã biết
bik = f(ei, ek).
Theo cách dựng cơ sở này, f(ei, ek) = 0 khi i ≠ k, nghĩa là bik = 0 khi i ≠ k.
Ta tính bkk = f(ek, ek)
f(ek, ek) = f(ek, αk1f1 + αk2f2 +…+ αkkfk)
= αk1f(ek, f1) + αk2f(ek, f2) +…+ αkkf(ek, fk)
và theo (8.8) và (8.9)
f(ek, ek) = αkk.
Số αkk có thể tìm từ hệ (8.10) theo quy tắc Crame
Δk − 1
α kk =
Δk
trong đó Δk – 1 là định thức tương đương với (8.11) bậc k – 1, trong đó đặt Δ0 = 1.
Như vậy
Δk − 1
b kk = f (e k , e k ) =
Δk
và do đó định lý sau đây đã được chứng minh.
Định lý 8.2: Giả sử trong cơ sở f1, f2,…, fn dạng toàn phương có dạng
n

∑a
f (x, x) = ξξ
ik i k
i, k = 1


với aik = f(fi, fk). Tiếp theo, giả sử các định thức
a11 a12
Δ1 = a11, Δ 2 =
a 21 a 22

a11 a12 ... a1n
a 21 a 22 ... a 2n
Δn =
... ... ... ...
a n1 a n 2 ... a nn
đều khác 0. Khi đó, tồn tại các cơ sở e1, e2,..., en trong đó f(x, x) được viết dưới dạng
chính tắc như sau
Δn − 1 2
Δ 0 2 Δ1 2
f (x, x) = ξ1 + ξ2 + ... + ξn (8.12)
Δ1 Δ2 Δn
với ξk là các tọa độ của véc tơ x trong cơ sở e1, e2,…, en.
Ví dụ: Xét dạng toàn phương
f(x, x) = 2x1 + 3x1x 2 + 4x1x 3 + x 2 + x 3
2 2
2




108
Bài 8: Dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gian Euclid

Ta có
3
2 2
2
3
Δ= 10
2
201


3
2
2 = −1
Δ0 = 1; Δ1 = 2; Δ 2 =
3 4
1
2
9 9 17
Δ3 = Δ = 2 + 0 + 0 − 4 − − 0 = −2 − = −
4 4 4
1

12 12 12
f (x, x) = ξ1 + 2(−4)ξ 2 + 4 ξ3 = ξ1 − 8ξ 2 + ξ3 .
2 2
2
17
2 2 17

4
Từ định lý trên cho ta khả năng tìm các hệ số dương và hệ số âm của các số hạng bình
phương. Chính là, nếu Δi – 1 và Δi có cùng dấu thì hệ số của ξi2 là dương, nếu chúng
khác dấu thì hệ số âm, nghĩa là số các hệ số âm bằng số các thay đổi dấu của dãy 1,
Δ1, Δ2,…, Δn.
Và như vậy, ta có định lý sau:
Định lý 8.3: Số các hệ số âm trong dạng (8.12) của dạng toàn phương bằng số các
thay đổi dấu của dãy 1, Δ1, Δ2,…, Δn.
Giả sử, trong trường hợp riêng Δ i > 0, i = 1, n . Khi đó, tồn tại cơ sở e1, e2,..., en trong
đó dạng toàn phương có dạng

f (x, x) = λ1ξ1 + λ 2 ξ 2 + ... + λ n ξ 2
2
2 n


Với λ i > 0, ∀i = 1, n , do đó f(x, x) ≥ 0 đối với x bất kỳ. Hơn nữa, đẳng thức
n

∑λ ξ
f (x, x) = =0
2
ii
i =1

Nếu ξ1 = ξ2 = … = ξn = 0.
Nói cách khác, nếu Δ1 > 0, Δ2 > 0,…, Δn > 0 thì dạng toàn phương f(x, x) là xác định
dương.
Có thể chứng minh phần đảo rằng, nếu f(x, x) là xác định dương thì Δk > 0, ∀k.
Định lý 8.4: (Tiêu chuẩn Sylvester)
n
Giả sử f(x, y) là dạng song tuyến tính đối xứng và f1, f2,…, fn là cơ sở của . Khi đó,
dạng toàn phương f(x, x) là xác định dương khi và chỉ khi
λ i > 0, ∀i = 1, n .


109
Bài 8: Dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gian Euclid

8.2. Không gian Euclid

8.2.1. Tích vô hướng và không gian Euclid
8.2.1.1. Định nghĩa 8.3
Cho V là không gian véc tơ thực, tích vô hướng của hai véc tơ x,
y ∈ V là một số thực, ký hiệu thỏa mãn các tính chất sau:
∀x, y ∈ V
1. =
2. = λ ∀x, y ∈ V
3. = + ∀x1, x2, y ∈ V
4. ≥ 0 ∀x ∈ V
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = 0.
Không gian véc tơ thực hữu hạn chiều V trên đó xác định một tích vô hướng gọi là
không gian Euclid, ký hiệu là E.
Nhận xét:
Tích vô hướng trên không gian véc tơ V thực chất là một dạng song tuyến tính,
đối xứng f(x, y) = trên V, thỏa mãn f(x, x) là một dạng toàn phương xác
định dương.

8.2.1.2. Độ dài một véc tơ
Giả sử E là một không gian Euclid. Khi đó, x ∈ E thì x xác định bởi
1
x = < x, x > 2


gọi là chuẩn của véc tơ x.
n
, ta định nghĩa tích vô hướng
Chú ý: Trong
n

∑ x y , x = (x ,..., x
< x, y > = ), y = (y1 ,..., y n ) .
i i 1 n
i =1


Khi đó
n

∑x
2
= 2
x i
i =1



8.2.1.3. Góc giữa hai véc tơ

< a , b > = a . b cos(a, b)


, nếu a ≠ 0, b ≠ 0.
⇒ cos(a, b) =
a.b

Chuyển sang không gian Euclid

cos(x, y) =
xy
Hai véc tơ x, y gọi là trực giao nếu = 0.

110
Bài 8: Dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gian Euclid

8.2.1.4. Hai không gian con trực giao
Cho E là một không gian Euclid. Hai không gian con E1, E2 ⊂ E gọi là trực giao nếu
= 0, ∀x ∈ E1, ∀y ∈ E2.

8.2.1.5. Hệ trực giao và hệ trực giao chuẩn
Cho E là một không gian Euclid. Hệ cơ sở {e1; e2;…; en} gọi là hệ cơ sở trực giao nếu
= 0 với i ≠ j (i, j = 1, 2,…, n)
Hệ cơ sở trực giao {e1; e2;... en} gọi là hệ cơ sở trực chuẩn nếu ei = 1, (i = 1, 2,..., n).
n
Ví dụ: Trong , tích vô hướng xác định bởi
n

∑x y
= i i
i =1

thì hệ cơ sở tự nhiên
e1 = (1, 0,…, 0) ; e2 = (0, 1,…, 0); en = (0, 0,…, 1)
là một hệ trực chuẩn.

8.2.1.6. Trực giao hóa Gram – Smit
Từ một cơ sở {f 1, f 2,…, f n} của E, hãy xây dựng một cơ sở trực chuẩn {e1, e2,…, en}.
Bước 1: Xây dựng cơ sở trực giao {e1, e2,…, en}.
1′ 1
+ Đặt e = f
2′ 1′
2
+ Tìm e = f + α21e sao cho
= 0 ⇒ + α21< e1′, e1′> = 0

< e1' , f 2 >
⇒ α 21 = − 1' 1'

3′ 2′ 1′ 3′ 2′ 3′
3
+ Tìm e = f + α32e sao cho = 0 và = 0. Từ đây ta có hệ
< e1′ , f 3 >

α 31 = − 1′ 1′

⎧< e1′ , f 3 > + α31 < e1′ , e1′ > = 0
⎪ ⎪
⇒⎨
⎨ 2′ 3 2′ 2′ 2′
⎪< e , f > + α32 < e , e > = 0 ⎪α = − < e , f >
3

⎪ 32 < e 2′ , e 2′ >

Tiếp tục quá trình này
ek′ = fk + αk1e1′ + αk2e2′ +…+ αkk – 1ek′ sao cho
= 0, j = 1, 2,..., k – 1. Từ đó nhận được

< e j′ , f k >
α jk = , j = 1, 2,..., k – 1.
< e j′ , e j′ >
Bước 2: Từ hệ cơ sở trực giao {e1, e2,…, en}, ta xây dựng cơ sở trực chuẩn theo quy
e j'
t ắc e j = , j = 1, 2,..., n.
j′
a


111
Bài 8: Dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gian Euclid

8.2.2. Không gian hình học Euclid

8.2.2.1. Khái niệm
Định nghĩa 8.3: Tập U ≠ ∅ được gọi là không gian hình học Euclid n chiều trên E
nếu như mỗi cặp (M × N) ∈ U × U ứng với một véc tơ MN của E thỏa mãn hai tiên đề
(1) MN + NP = MP, ∀M, N, P ∈ U
(2) Với mỗi M ∈ U và a ∈ E, tồn tại duy nhất N ∈ U để MN = a .
Khi U là không gian hình học Euclid thì các phần tử của U gọi là các điểm.
Định nghĩa 8.4:
(1) U là không gian hình học Euclid tựa trên E, O là một điểm của U. f 1, f 2,…, f n là
một cơ sở trực chuẩn của E thì bộ {O, (f 1, f 2,…, f n)} được gọi là hệ tọa độ trực
chuẩn của U với gốc tọa độ O.
(2) Theo hệ tọa độ trực chuẩn trên, mỗi điểm M ∈ U sẽ tương ứng với véc tơ OM của
E và tọa độ của véc tơ OM theo cơ sở f 1, f 2,…, f n của E được gọi là tọa độ của điểm
M theo hệ tọa độ {O, (f 1, f 2,…, f n)} , ta viết M(x1, x2,…, xn).
Ví dụ: Ta xét minh họa cho hai phần của định nghĩa trên:


x3


x2



j k
j x2
i
O O
x1 x1
i


(b)
(a)
Hình 8.1


(1) Hệ tọa độ trong mặt phẳng gốc O là bộ {O, i, j} trong đó i , j là hai véc tơ đơn vị
vuông góc (xem Hình 8.1(a)).
x = (x1, x2) có biểu diễn duy nhất x = x1 i + x 2 j .

(2) Hệ tọa độ trong không gian gốc O là bộ {O, (i, j, k)} trong đó i , j, k là ba véc tơ
đơn vị trong không gian từng đôi một vuông góc (xem Hình 8.1(b)).

8.2.2.2. Đường thẳng và mặt phẳng
Một đường thẳng trong mặt phẳng có phương trình là
a1x1 + a2x2 = b
với a1, a2 không đồng thời bằng 0.
Một mặt phẳng trong không gian ba chiều có phương trình là
a1x1 + a2x2 + a3x3 = b

112
Bài 8: Dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gian Euclid

với a1, a2, a3 không đồng thời bằng 0.
Trong không gian n chiều, một siêu phẳng có phương trình
a1x1 + a2x2 +…+ anxn = b
với a1, a2,…, an không đồng thời bằng 0.

8.2.2.3. Đường cong và mặt cong
Các đường Conic trong mặt phẳng là các đường cong bậc 2 có phương trình tổng quát
ax1 + bx 2 + cx1x 2 + dx1 + ex 2 + f = 0
2
2

với a2 + b2 + c2 ≠ 0.
Các mặt cong bậc 2 trong không gian ba chiều có phương trình tổng quát
ax1 + bx 2 + cx 3 + a1x1x 2 + b1x1x 3 + c1x 2 x 3 + a 2 x1 + b 2 x 2 + c3 x 3 + d = 0
2 2 2


với a, b, c, a1, b1, c1 không đồng thời bằng 0.

8.2.2.4. Phép biến đổi trực giao
Định nghĩa 8.5: Phép biến đổi tuyến tính f trong không gian Euclid E được gọi là
phép biến đổi trực giao nếu nó bảo toàn tích vô hướng của hai véc tơ, tức là
= .
Tính chất:
(1) Phép biến đổi trực giao bảo toàn độ dài véc tơ.
(2) Phép biến đổi trực giao bảo toàn góc giữa hai véc tơ.
(3) Mọi phép biến đổi tuyến tính bảo toàn độ dài véc tơ đều là phép biến đổi trực giao.
(4) Phép biến đổi tuyến tính f là trực giao khi và chỉ khi nó biến đổi mọi cơ sở trực
chuẩn của E thành một cơ sở trực chuẩn.
Định nghĩa 8.6: Ma trận vuông A được gọi là ma trận trực giao nếu AA′ = E.
Tính chất: Phép biến đổi tuyến tính f trong không gian Euclid E là phép biến đổi
trực giao khi và chỉ khi ma trận của nó trong một cơ sở trực chuẩn là trực giao.
Hệ quả: Ma trận chuyển từ cơ sở trực chuẩn này sang cơ sở trực chuẩn khác là một
ma trận trực giao. Ngược lại, mọi ma trận trực giao đều có thể coi là ma trận chuyển
từ cơ sở này sang một cơ sở trực chuẩn khác.
Ví dụ:
⎛a b⎞
(1) A = ⎜ ⎟
⎝c d ⎠
là ma trận trực giao khi và chỉ khi
⎧a 2 + b 2 = 1
⎛a b⎞⎛a c ⎞ ⎪
⎟ = E ⇔ ⎨ac + bd = 0
⎜ ⎟⎜
⎝c d ⎠⎝ b d⎠ ⎪2
⎩c + d = 1
2



Từ đó rút ra
⎛ a b⎞ 2 2
A=⎜ ⎟ trong đó a + b = 1
⎝ −b a ⎠


113
Bài 8: Dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gian Euclid

Do đó a2 + b2 = 1 nên tồn tại ϕ để
⎧a = cosϕ

⎩b = sinϕ.
Vì vậy, A trực giao khi và chỉ khi
⎛ cosϕ sinϕ ⎞
A=⎜ ⎟ (*)
⎝ −sinϕ cosϕ ⎠
(2) Giả sử f là phép biến đổi trực giao trong không gian véc tơ Euclid bao gồm các véc
tơ trong mặt phẳng tương ứng với ma trận (*) theo một cơ sở trực chuẩn nào đó. Khi
đó, phép quay tâm O bởi f: (O, f) trong mặt phẳng chính là phép quay tâm O với góc
quay ϕ:
x = x′cosϕ – y′sinϕ
y = x′sinϕ + y′sinϕ.

8.2.3. Đưa đường (mặt) bậc hai ở dạng toàn phương về dạng trục chính
Bài toán: Giả sử S là một đường (mặt) bậc hai trong không gian hình học Euclid n
chiều U tựa trên E. Giả sử trong hệ tọa độ trực chuẩn {O, e1, e2,…, en)}, S có phương
trình là
[x1, x2,…, xn]A[x1, x2,…, xn]′ = c.
Trong đó A là ma trận đối xứng thực cấp n × n và c là hằng số.
Giải bài toán trên phải nhờ đến kết quả sau
Định lý 8.5: Nếu A là ma trận thực đối xứng cấp n thì A có các tính chất sau:
(1) Phương trình đặc trưng ⏐A – λE⏐ = 0 có n nghiệm thực kể cả nghiệm bội.
(2) Giả sử λ1, λ2,..., λk là k nghiệm phân biệt của phương trình đặc trưng có số bội tương
k

∑d
ứng là d1, d2,..., dk: = n và nếu E λ1 , E λ2 ,..., E λn là các không gian con tương ứng
i
i =1

của toán tử tuyến tính f trong không gian Euclid n chiều nhận A làm ma trận của nó thì
dim E λ1 = di, i = 1, 2,..., k, đồng thời các E λ1 , E λ2 ,..., E λn trực giao từng đôi một.
Dựa vào Định lý 8.5, ta có thể giải bài toán nêu trên theo các bước sau:
Bước 1: Giải phương trình đặc trưng ⏐A – λE⏐ = 0, tìm ra các nghiệm khác nhau λ1,
λ2,..., λk tương ứng với các số bội là d1, d2,..., dk.
Bước 2: Coi A là ma trận của toán tử tuyến tính f trong không gian Euclide E theo cơ
sở trực chuẩn e1, e2,..., en. Từ mỗi cơ sở của không gian con E λ1 , dùng phương pháp
Gram – Smidt ta tìm cho E λ1 một cơ sở trực chuẩn (i = 1, 2,..., k). Kết quả là tìm được
cho toán tử f đủ n véc tơ riêng f 1, f 2,..., f n lập thành một cơ sở trực chuẩn của E.
Bước 3: Lập ma trận chuyển T từ cơ sở e1, e2,..., en sang cơ sở f 1, f 2,..., f n và giả sử
⎛ t 11 t12 ... t1n ⎞
⎜ ⎟
t t 22 ... t 2n ⎟
T = ⎜ 21
⎜ ... ... ... ... ⎟
⎜ ⎟
⎝ t n1 t n 2 ... t nn ⎠


114
Bài 8: Dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gian Euclid

Khi đó, T là ma trận trực giao, đồng thời nếu điểm M ∈ U có tọa độ (x1, x2,…, xn)
trong hệ tọa độ {O, e1, e2,…, en)} thì M sẽ có tọa độ là (x1 , x′ ,..., x′ ) = [x1, x2,…, xn].T
′2 n

trong hệ tọa độ {O, (f 1, f 2,…, f n)}.
Bước 4: Trong hệ tọa độ O, (f1, f2,…, fn)} phương trình của S là
n

∑ λ x′ = c.
2
i i
i =1

Ví dụ: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ trực chuẩn {O, (e1, e2)}, đường cong S có
phương trình
5x1 − 4x1x 2 + 8x 2 = 36 .
2
2

Hãy tìm một tọa độ trực chuẩn gốc O để trong hệ tọa độ đó S có phương trình ở dạng
trục chính.
Giải:
⎛ 5 − 2 ⎞ ⎛ x1 ⎞
⎟ ⎜ ⎟ = 36.
S : [x1 , x 2 ] ⎜
⎝ −2 8 ⎠ ⎝ x 2 ⎠
5 − λ −2
= 0 có 2 nghiệm là λ1 = 4 và λ2 = 9.
Phương trình
−2 8 − λ
⎧ t − 2t 2 = 0
• λ1 = 4 ⇒ ⎨ 1
⎩−2t1 + 4t 2 = 0
⎛2 1⎞
⇔ t1 – 2t2 = 0 có nghiệm cơ bản là (2, 1) hay nghiệm cơ bản trực chuẩn là ⎜ , ⎟
⎝5 5⎠
⎧−4t1 − 2t 2 = 0
• λ2 = 9 ⇒ ⎨
⎩−2t1 − t 2 = 0
⎛1 2⎞
⇔ 2t1 + t2 = 0 và có nghiệm cơ bản trực chuẩn là ⎜ − , ⎟.
⎝ 5⎠
5
Ta có hệ tọa độ cần tìm là {O, (e1′, e2′) với
⎛ 1⎞ ⎧ 1′
2 21 12
− ⎪e = 5 e + 5 e
⎜ ⎟

5 5⎟
(e1′, e2′) = (e1, e2) ⎜ ⇔⎨
⎜ 2⎟
1 ⎪e 2′ = − 1 e1 + 2 e 2
⎜ ⎟ ⎪
⎝ 5⎠ ⎩
5 5 5
Và trong hệ tọa độ này, phương trình của S là
x12 x′2

4x12 + 9x′2 = 36 ⇔
′ + 2 = 1 → elip
2
9 4
Ma trận đổi biến là
⎛ 1⎞
2
⎜ 5⎟
5
T=⎜ ⎟
⎜ 2⎟
1
⎜− ⎟
⎝ 5⎠
5

115
Bài 8: Dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gian Euclid

Chú ý: Vì T là ma trận trực giao nên ta có
⎧ 2
⎪cos ϕ = 5


⎪sin ϕ = 1

⎩ 5
với cos2ϕ + sin2ϕ = 1. Đó là một phép quay trục một góc ϕ.
Có trường hợp ta còn phải làm phép tịnh tiến.
Ví dụ: Hãy nhận dạng đường cong phẳng S
20 80
5x1 − 4x1x 2 + 8x 2 + x1 − x2 + 4 = 0 .
2 2

5 5
Giải
⎛ 5 − 2⎞ ⎛ 20 −80 ⎞
Xét A = ⎜ ⎟, K = ⎜ , ⎟
⎝ −2 8 ⎠ ⎝5 5⎠
Ta có
⎛ 1⎞
2
⎜ 5⎟
5
T= ⎜ ⎟
⎜ 2⎟
1
⎜− ⎟
⎝ 5⎠
5
và ta đã có các nghiệm của phương trình đặc trưng λ1 = 4, λ2 = 9 để làm các hệ số
cho x12 , x′2 .
′ 2

* Tìm các hệ số của x1 , x′ .
′2
Ta có
⎛ 1 ⎞ ⎛ 20 ⎞ ⎛ 40
2 80 ⎞

⎜ ⎟⎜ 5 ⎟ ⎜
5 ⎟ ⎛ −8 ⎞
5 5 ⎟⎜ ⎟=⎜ 5
T.K′ = ⎜ ⎟=⎜ ⎟
2 ⎟ ⎜ 80 ⎟ ⎜ 20 160 ⎟ ⎝ −36 ⎠
⎜ 1
⎜− − − −
⎟⎜ ⎟
⎟⎜
5⎠ ⎝ 5 5⎠
⎝ 5 ⎠⎝
5
Vì vậy, ta có phương trình của S:
4x12 + 9x′2 − 8x1 − 36x′ + 4 = 0
′ ′
2 2


⇔ 4(x12 − 2x1 + 1) + 9(x ′2 − 4x′ + 4) = 4 + 36 − 4
′ ′ 2 2


⇔ 4(x1 − 1) 2 + 9(x′ − 2) 2 = 36
′ 2



⎧ X = x1 − 1
Đặt ⎨ 1
⎩X 2 = x′ − 2
2

Ta có phương trình
2
X2
X1
4X1 + 9X 2 = 36 ⇔ + 2 = 1.
2
2
9 4
Đây là elip.

116
Bài 8: Dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gian Euclid

Ví dụ: Trong không gian với hệ tọa độ trực chuẩn {O, (e1, e2, e3)}, mặt cong S có
phương trình

2x1 + 2x 2 + 3x 3 − 2x1x 2 − 2x 2 x 3 = 16.
2 2
2


Hãy tìm hệ tọa độ trực chuẩn gốc O để S có phương trình ở dạng trục chính và xác
định phép biến đổi cùng với dạng trục chính đó.
Giải:
Ta có ma trận đối xứng của S là

⎛ 2 0 − 1⎞
⎜ ⎟
A = ⎜ 0 2 − 1⎟
⎜ −1 − 1 3 ⎟
⎝ ⎠

Phương trình đặc trưng của A có 3 nghiệm phân biệt
• λ1 = 1, λ2 = 2, λ3 = 4.
⎧ t1 − t 3 = 0

• λ1 = 1 ⇒ ⎨ t 2 − t 3 = 0
⎪− t − t + 2t = 0
⎩1 2 3


⎛1 1⎞
1
và dễ dàng thấy rằng nghiệm cơ bản trực chuẩn của hệ là ⎜ , , ⎟.
⎝3 3⎠
3
• λ2 = 2. Tương tự ta cũng tìm được nghiệm cơ bản trực chuẩn của hệ phương trình
⎛1 ⎞
1
,−
tương ứng là ⎜ , 0⎟ .
⎝2 2⎠
⎛1 2⎞
1
• λ3 = 4. Véc tơ nghiệm là ⎜ ,−
, ⎟.
⎝6 6⎠
6
Ta nhận được ma trận đổi biến là

⎛ 1⎞
1 1
⎜ ⎟
3 2 6⎟

⎜ 1⎟
1 1
T=⎜ − ⎟
3 2 6⎟

⎜ 2⎟
1
0−
⎜ ⎟
⎝ 6⎠
3

Hệ tọa độ cần tìm {O, (f 1, f 2, f 3)} với (f 1, f 2, f 3) = (e1, e2, e3)T, tức là

⎧1 11 12 13
⎪f = 3 e + e+ e
3 3

⎪2 11 12
⎨f = e− e
2 2

⎪3 11 12 23
⎪f = e+ e− e
⎩ 6 6 6

117
Bài 8: Dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gian Euclid

Trong hệ tọa độ mới {O, (f 1, f 2, f 3)}, phương trình của S là

x12 x′2 x′2

x12 + 2x ′2 + 4x′2 = 16 ⇔
′ + 2 + 3 =1
2 3
16 8 4

Đó là một elipsoit có các bán trục là 4, 8 và 2.

8.3. Ý nghĩa hình học của phương trình
Ta thấy rằng mỗi mặt cong trong không gian xem như quỹ tích của các điểm, có thể
biểu diễn bởi phương trình giữa các tọa độ những điểm của nó. Ngược lại, mỗi
phương trình giữa những biến số x, y, z nói chung xác định một mặt cong xem như
quỹ tích của những điểm có tọa độ x, y, z thỏa mãn phương trình đó.
Do những điều đã biết, ta thấy có hai bài toán cơ bản:
(1) Cho một mặt cong xem như quỹ tích của các điểm, thành lập phương trình của
mặt đó.
(2) Cho phương trình giữa các tọa độ x, y, z khảo sát dạng của mặt cong xác định bởi
phương trình này.




118
Bài 8: Dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gian Euclid


TÓM LƯỢC CUỐI BÀI

Các bạn đã được học về Dạng song tuyến tính – Dạng toàn phương và không gian Euclid.
Các bạn cần ghi nhớ các vấn đề sau:
• Khái niệm về dạng song tuyến tính và dạng toàn phương.
• Biết cách đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng hai phương pháp: Phương pháp
Lagrange, phương pháp Jacobi và tiêu chuẩn Sylvester.
• Khái niệm về không gian Euclid, hệ trực giao và hệ trực chuẩn.
• Biết cách đưa đường mặt bậc hai ở dạng toàn phương về dạng trục chính.
• Giải được các bài tập.




119
Bài 8: Dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gian Euclid


BÀI TẬP

1. Đưa dạng toàn phương f (x, x) = 27x1 − 10x1x 2 + 3x 2 về dạng chính tắc bằng phương pháp
2 2


trực chuẩn hóa.
2. Đưa dạng toàn phương

f = 6x1 + 3x 2 + 3x 3 + 4x1x 2 + 4x1x 3 − 8x 2 x 3
2 2 2



về dạng chính tắc.

3. Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng phép biến đổi tuyến tính
17x2 + 12xy + 8y2 – 46x – 28y + 17 = 0 (1)

4. Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc
f = 2x1x2 – 6x2x3 + 2x3x1 (1)

5. Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng phương pháp Lagrange

f (x, x) = 2x1 + 3x1x 2 + 4x1x 3 + x 2 + x 3 .
2 2
2



CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
2
1. Họ nào dưới đây là cơ sở trong ?

A. (2, 0), (3, 0) B. (4, 1), (–7, –8)
C. (0, 0), (1, 3) D. (3, 9), (–4, –12).
3
2. Xét u = (u1, u2, u3), v = (v1, v2, v3) ∈ . Hỏi biểu thức nào dưới đây có thể là tích vô hướng
3
trong ?

B. = = u1 v1 + u 2 v 2 + u 3 v3
22 22
A. = u1 v1 + u3v3 22


C. = = 2u1v1 + u2v2 + 4u3 D. = u1v1 + u2v2 + u3v3.




120
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản