Toán cao cấp 2- Bài 8: Dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gian Euclid

Chia sẻ: Nguyen Minh Phung | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:20

0
575
lượt xem
138
download

Toán cao cấp 2- Bài 8: Dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gian Euclid

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Khái niệm về dạng song tuyến tính và dạng toàn phương. Biết cách đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng hai phương pháp: Phương pháp Lagrange, phương pháp Jacobi và tiêu chuẩn Sylvester. Khái niệm về không gian Euclid, hệ trực giao và hệ trực chuẩn. Biết cách đưa đường mặt bậc hai ở dạng toàn phương về dạng trục chính. Giải được các bài toán trong các nội dung nêu trên.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Toán cao cấp 2- Bài 8: Dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gian Euclid

  1. Bài 8: Dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gian Euclid Bài 8: DẠNG SONG TUYẾN TÍNH, DẠNG TOÀN PHƯƠNG, KHÔNG GIAN EUCLID Mục tiêu Nội dung • Khái niệm về dạng song tuyến tính và Dạng song tuyến tính là cơ sở để ta nghiên cứu dạng toàn phương và tích vô dạng toàn phương. hướng. Áp dụng dạng toàn phương và • Biết cách đưa dạng toàn phương về dạng không gian Euclid vào Hình học giải tích chính tắc bằng hai phương pháp: Phương ta có thể đưa các đường và mặt bậc hai về pháp Lagrange, phương pháp Jacobi và dạng chính tắc. tiêu chuẩn Sylvester. • Khái niệm về dạng song tuyến tính và • Khái niệm về không gian Euclid, hệ trực dạng toàn phương. giao và hệ trực chuẩn. • Biết cách đưa dạng toàn phương về • Biết cách đưa đường mặt bậc hai ở dạng dạng chính tắc bằng hai phương pháp: toàn phương về dạng trục chính. Phương pháp Lagrange, phương pháp • Giải được các bài toán trong các nội Jacobi và tiêu chuẩn Sylvester. dung nêu trên. • Khái niệm về không gian Euclid, hệ trực giao và hệ trực chuẩn. Thời lượng • Biết cách đưa đường mặt bậc hai ở Bạn đọc nên để 15 giờ để nghiên cứu LT + dạng toàn phương về dạng trục chính. 8 giờ làm bài tập. • Giải được các bài toán trong các nội dung nêu trên. 101
  2. Bài 8: Dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gian Euclid Bài toán mở đầu : Bài toán phân phối tối ưu công suất giữa thủy điện và nhiệt điện Cho trước biểu đồ phụ tải trong một ngày đêm (24 giờ) tức là cho công suất phụ tải Ppt (k), k = 1, 2,..., 24, tính bằng MW. Giả sử năng lượng thủy điện có thể khai thác trong một ngày đêm là A(MWh). Vấn đề là hãy xác định công suất của các nhà máy điện Pk, k = 1, 2,..., 24 sao cho đường biểu diễn công suất là bằng phẳng nhất có thể được (để giảm bớt chi phí cho việc điều chỉnh công suất) và sao cho sử dụng hết năng lực của thủy điện. Từ yêu cầu ta có thể thiết lập mô hình như sau: Xác định các công suất Pk , k = 1, 2,..., 24 sao cho ⎛ ⎞ 24 ∑p 24 ⎜ ⎟ k ∑ ⎜ Pk − ⎟ → min k =1 k = 1⎜ 24 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 24 ∑ ⎣P ⎡ ⎤ (k) − Pk ⎦ = A pt k =1 Pmin ≤ Pk ≤ Pmax, k = 1, 2,…, 24. Hàm mục tiêu của bài toán có dạng toàn phương. Dạng song tuyến tính là cơ sở để ta nghiên cứu dạng toàn phương và tích vô hướng. Áp dụng dạng toàn phương và không gian Euclid vào Hình học giải tích ta có thể đưa các đường và mặt bậc hai về dạng chính tắc. 8.1. Dạng song tuyến tính và dạng toàn phương 8.1.1. Dạng song tuyến tính , ánh xạ f: V × V → Định nghĩa 8.1: Cho V là không gian véc tơ trên gọi là một dạng song tuyến tính trên V nếu f(x1 + x2, y) = f(x1, y) + f(x2, y) x1, x2, y ∈ V f(λx, y) = λf(x, y) x, y ∈ V, ∀ λ ∈ f(x, y1 + y2) = f(x, y1) + f(x, y2) ∀ x, y1, y2 ∈ V f(x, λy) = λf(x, y) x, y ∈ V, ∀ λ ∈ 2 2 × → Ví dụ: Ánh xạ f: xác định bởi 2 f(u, v) = x1x2 + y1y2 trong đó u = (x1, y1), v = (x2, y2) là một dạng song tuyến tính trên . Dạng song tuyến tính f(x, y) trên V gọi là đối xứng nếu f(x, y) = f(y, x) ∀x, y ∈ V. Dạng song tuyến tính trong ví dụ trên là đối xứng. 8.1.2. Dạng toàn phương Giả sử f(x, y) là một dạng song tuyến tính trên V, {e1, e2,…, en} là một cơ sở của V. Khi đó, ta có 102
  3. Bài 8: Dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gian Euclid ⎛n ⎞ n n n f(x, y) = f ⎜ ∑ x i ei , ∑ y e ⎟ = ∑∑ x y f (e , e ). j i j (8.1) j i j ⎝ i =1 ⎠ j=1 i =1 j =1 Đặt f(ei, ej) = aij (i, j = 1, 2,..., n), ta có ⎛ a11 a12 ... a1n ⎞ ⎜ ⎟ a a ... a 2n ⎟ A = ⎜ 21 22 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ a n1 a n 2 ... a nn ⎠ Ma trận A gọi là ma trận của dạng song tuyến tính f theo cơ sở {e1, e2,…, en}. Nói chung, A không phải là một ma trận đối xứng A ≠ A′. Trong trường hợp f là dạng song tuyến tính đối xứng, nghĩa là aij = f(ei, ej) = f(ej, ei) = aji, (i, j = 1,2,…,n) thì A là ma trận đối xứng. Nếu {f 1, f 2,…, f n} là một cơ sở khác của V với n ∑t fk = e m (k = 1, 2,…, n) mk m =1 và f(f i, f k) = bik, ta có ⎛n ⎞ n n n ∑ t mi ∑ t lk f (em , el ) bik = f(f i, f k) = f ⎜ ∑ t mi e m , ∑1 t ik ei ⎟ = ⎝ m =1 ⎠ l= m =1 l =1 n n ∑ t ∑t a ml (i = 1, 2,…, n). mi lk m =1 l =1 Từ đây, ta có B = T–1AT, trong đó ⎛ b11 b12 ... b1n ⎞ ⎛ t11 t12 ... t1n ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ b 21 b 22 ... b 2n ⎟ , T = ⎜ t 21 t 22 ... t 2n ⎟ B= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ b n1 b n 2 ... b nn ⎠ ⎝ t n1 t n 2 ... t nn ⎠ Định nghĩa 8.2: Nếu f(x, y) là một dạng song tuyến tính đối xứng trên không gian véc tơ V thì f(x, x) gọi là một dạng toàn phương. n ∑x e và đặt f(ei, ej) = aij = aji (i, j = 1, 2,..., n). Nếu x = i i i =1 n ∑a xx Ta có f (x, x) = ij i j i, j = 1 = a11x1 + 2a12 x1x 2 + ... + 2a1n x1x n + a 22 x 2 + 2a 23 x 2 x 3 + ... + a nn x n . (8.2) 2 2 2 Trong trường hợp aij = 0 (i ≠ j; i, j = 1, 2,..., n) thì dạng toàn phương được gọi là dạng toàn phương ở dạng chính tắc, khi đó f (x, x) = a11x1 ± a 22 x 2 ± ... ± a nn x 2 . 2 2 n 103
  4. Bài 8: Dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gian Euclid 8.1.3. Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc Ta đã biết biểu thức của dạng song tuyến tính f(x, x) qua các tọa độ của véc tơ x phụ thuộc vào việc chọn cơ sở (hệ tọa độ) trong đó dạng toàn phương có dạng đơn giản f(x, x) = λ1ξ1 + λ 2 ξ2 + ... + λ n ξ2 2 2 n 8.1.3.1. Phương pháp Lagrange Giả sử trong một cơ sở f1, f2,…, fn nào đó ta có ∑a x x f(x, x) = i, j = 1, n (8.3) ij i j i, j Trong đó x1, x2,…, xn là các tọa độ véc tơ x trong cơ sở này. Ta sẽ dần dần biến đổi cơ sở sao cho trong dạng (8.3) mất đi các số hạng chéo (các tích tọa độ với hệ số khác nhau). Vì mỗi biến số cơ sở ứng với một phép biến đổi xác định các tọa độ và ngược lại nên ta sẽ viết các công thức biến đổi các tọa độ. Để dẫn dạng toàn phương f(x, x) về dạng chính tắc, ta cần có ít nhất một trong các hệ số aii (hệ số của x i2 ) khác 0. Điều đó luôn luôn có thể đạt được. Thật vậy, giả sử dạng f(x, x) không đồng nhất bằng 0, nhưng không chứa một biến bình phương nào, khi đó, nó chứa dù chỉ một tích, chẳng hạn như 2a12x1x2. Ta thay các tọa độ x1, x2 bởi x1 = x1 + x ′ ′ 2 x 2 = x1 − x ′ ′ 2 và không thay đổi các biến còn lại. Khi đó, số hạng 2a12x1x2 chuyển thành 2a12 (x12 − x′2 ) . Theo giả thiết a11 = a22 = 0 nên số hạng thu được không bao giờ bị ′ 2 ′ triệt tiêu, nghĩa là hệ số x12 khác 0. Vậy ta giả sử rằng trong (8.3) có a11 ≠ 0. Ta tách ra trong dạng toàn phương các số hạng chứa x1 a11x1 + 2a12 x1x 2 + ... + 2a1n x1x n 2 Ta bổ sung tổng này đến một bình phương đầy đủ của tổng, nghĩa là viết nó dưới dạng a11x1 + 2a12 x1x 2 + ... + 2a1n x1x n 2 1 (a11x1 + ... + a1n x n ) 2 − B. (8.4) = a11 Trong đó qua B ta ký hiệu các số hạng chỉ chứa các bình phương và tích từng đôi một của các số hạng a12x2,…, a1nxn. Sau khi thay (8.4) vào (8.3) thì dạng toàn phương đã cho có dạng 1 (a11x1 + ... + a1n x n ) 2 + ... f(x, x) = a11 trong đó các số hạng không viết ra chỉ chứa các biến x2,…, xn. 104
  5. Bài 8: Dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gian Euclid Ta đặt η1 = a11x1 + a12x2 +…+ a1nxn η2 = x2 ……………….. ηn = xn Khi đó, dạng toàn phương trở thành n 12 ∑ b ηη . f (x, x) = η1 + ij i j a11 i, j = 2 n ∑ b ηη Biểu thức hoàn toàn giống dạng (8.3) chỉ có khác là bớt tọa độ x1. Bây ij i j i, j = 2 giờ, ta giả sử b22 ≠ 0. Khi đó tiến hành phép biến đổi mới các biến tương tự như trên theo các công thức η1 = η1 * η* = b 22 η2 + b 23η3 + ... + b 2n ηn 2 η* = η3 3 ........................... η* = ηn n Trong các biến mới ta có n 1 *2 1* ∑ c ηη. f (x, x) = η1 + η2 + ** ij ij a11 b 22 i, j = 3 Tiếp tục quá trình này, sau một số hữu hạn bước, ta đến các biến ξ1, ξ2,…, ξn trong đó f(x, x) = λ1ξ1 + λ 2 ξ 2 + ... + λ n ξ 2 . 2 2 n Như vậy, ta đi đến định lý sau. n Định lý 8.1: Giả sử trong không gian n chiều cho dạng toàn phương bất kỳ f(x, x). n Khi đó, trong tồn tại cơ sở e1, e2,..., en sao cho với cơ sở đó f(x, x) = λ1ξ1 + λ 2ξ 2 + ... + λ n ξ n . 2 2 2 Trong đó ξ1, ξ2,…, ξn là các tọa độ của véc tơ x trong cơ sở e1, e2,..., en. 3 Ví dụ: Giả sử trong không gian với cơ sở f1, f2, f3 cho dạng toàn phương f(x, x) = 2x1x2 + 4x1x3 – x 2 – 8x 3 . 2 2 Ta đặt x1 = x ′ 2 ′ x 2 = x1 x 3 = x′ 3 105
  6. Bài 8: Dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gian Euclid Khi đó, ta được f(x, x) = − x12 + 2x1 2x ′ + 4x′ x ′ − 8x′2 . ′ ′2 23 3 Tiếp đó, ta đặt η1 = − x1 + x ′ ′ 2 η2 = x ′ 2 η3 = x ′ . 3 Ta sẽ được biểu thức mới cho dạng toàn phương f(x, x) = − η1 + η2 + 4η2 η3 − 8η3 . 2 2 2 Phép biến đổi ξ1 = η1 ξ2 = η2 + 2η3 ξ3 = η3. cho ta dạng chính tắc f (x, x) = − ξ1 + ξ 2 − 12ξ3 . 2 2 2 8.1.3.2. Phương pháp Jacobi và tiêu chuẩn Sylvester Ta cần đặt điều kiện đối với dạng toàn phương f(x, y) với cơ sở xuất phát như sau: Giả sử ma trận a ik của dạng song tuyến tính f(x, y) trong cơ sở f1, f2,…, fn có các định thức con khác 0 a11 a12 Δ1 = a11 ≠ 0 ; Δ 2 = ≠0 a 21 a 22 a11 a12 ... a1n a 21 a 22 ... a 2n ≠ 0. Δn = (8.5) ... ... ... ... a n1 a n 2 ... a nn Trong cơ sở f1, f2,…, fn dạng toàn phương f(x, x) có dạng n ∑a f (x, x) = ξξ ik i k i, k = 1 với aik = f(fi, fk). Mục đích của ta là xác định các véc tơ e1, e2,…, en sao cho f(ei, ek) = 0 với i ≠ k (i, k = 1, n ). (8.6) Quá trình tiến hành tương tự như quá trình trực giao hóa. Ta sẽ tìm các véc tơ e1, e2,..., en dưới dạng 106
  7. Bài 8: Dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gian Euclid e1 = α11f1 ⎫ ⎪ e 2 = α 21f 2 + α 22 f 2 ⎪ (8.7) ⎬ ............................ ⎪ e n = α n1f1 + α n 2 f 2 + ... + α nn f n ⎪ ⎭ Các hệ số αik có thể tìm như sau: Nếu f(ek, fi) = 0 với i = 1, 2,... k – 1 thì f(ek, ei) = 0 đối với i = 1, 2,…, k – 1. Thật vậy, thay ei bởi biểu thức αi1f1 + αi2f2 +…+ αiifi ta được f(ek, ei) = f(ek, αi1f1 + αi2f2 +...+ αiifi) = αi1f(ek, f1) + αi2f(ek, f2) +...+ αiif(ek, fi). Như vậy, nếu f(ek, fi) = 0 đối với bất kỳ k và bất kỳ i < k thì f(ek, ei) đối với i < k và do đó, tính đối xứng của dạng song tuyến tính, ta có đối với cả i > k, nghĩa là e1, e2,…, en là cơ sở cần tìm. Do đó, bài toán của ta dẫn tới bài toán sau: Xác định các hệ số αk1, αk2,…, αkk sao cho véc tơ ek = αk1f1 + αk2f2 +…+ αkkfk thỏa các điều kiện f(ek, fi) = 0 với i = 1, 2,…, k – 1. (8.8) Với các điều kiện đó, véc tơ ek được xác định chính xác đến phần tử xác định. Ta cố định phần tử đó nhờ đòi hỏi f(ek, fk) = 1. (8.9) Ta sẽ thấy ngay với các điều kiện (8.8) và (8.9), véc tơ ek đã được xác định một cách đơn trị. Thay (8.8) vào (8.9) biểu thức cho ek ta nhận được hệ phương trình bậc nhất sau đây đối với αki ⎫ α k1f (f1 , f1 ) + α k 2 f (f1 , f 2 ) + ... + α kk f (f1 , f k ) = 0 ⎪ α k1f (f 2 , f1 ) + α k 2 f (f 2 , f 2 ) + ... + α kk f (f 2 , f k ) = 0 ⎪ ⎪ ............................................................................ (8.10) ⎬ α k1f (f k − 1 , f1 ) + α k 2 f (f k − 1 , f 2 ) + ... + α kk f (f k − 1 , f k ) = 0 ⎪ ⎪ ⎪ α k1f (f k , f1 ) + α k 2 f (f k , f 2 ) + ... + α kk f (f k , f k ) = 1 ⎭ Định thức của hệ phương trình này là f (f1 , f1 ) f (f1 , f 2 ) ... f (f1 , f k ) f (f 2 , f1 ) f (f 2 , f 2 ) ... f (f 2 , f k ) Δ= (8.11) ... ... ... ... f (f k , f1 ) f (f k , f 2 ) ... f (f k , f k ) 107
  8. Bài 8: Dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gian Euclid Và theo điều kiện (8.5), định thức trên khác 0. Vì vậy, nghiệm của (8.10) tồn tại và duy nhất. Như vậy, bài toán tìm véc tơ ek đã được giải cho k bất kỳ. Bây giờ, ta tìm các hệ số bik của dạng toàn phương f(x, x) trong cơ sở e1, e2,..., en như ta đã biết bik = f(ei, ek). Theo cách dựng cơ sở này, f(ei, ek) = 0 khi i ≠ k, nghĩa là bik = 0 khi i ≠ k. Ta tính bkk = f(ek, ek) f(ek, ek) = f(ek, αk1f1 + αk2f2 +…+ αkkfk) = αk1f(ek, f1) + αk2f(ek, f2) +…+ αkkf(ek, fk) và theo (8.8) và (8.9) f(ek, ek) = αkk. Số αkk có thể tìm từ hệ (8.10) theo quy tắc Crame Δk − 1 α kk = Δk trong đó Δk – 1 là định thức tương đương với (8.11) bậc k – 1, trong đó đặt Δ0 = 1. Như vậy Δk − 1 b kk = f (e k , e k ) = Δk và do đó định lý sau đây đã được chứng minh. Định lý 8.2: Giả sử trong cơ sở f1, f2,…, fn dạng toàn phương có dạng n ∑a f (x, x) = ξξ ik i k i, k = 1 với aik = f(fi, fk). Tiếp theo, giả sử các định thức a11 a12 Δ1 = a11, Δ 2 = a 21 a 22 a11 a12 ... a1n a 21 a 22 ... a 2n Δn = ... ... ... ... a n1 a n 2 ... a nn đều khác 0. Khi đó, tồn tại các cơ sở e1, e2,..., en trong đó f(x, x) được viết dưới dạng chính tắc như sau Δn − 1 2 Δ 0 2 Δ1 2 f (x, x) = ξ1 + ξ2 + ... + ξn (8.12) Δ1 Δ2 Δn với ξk là các tọa độ của véc tơ x trong cơ sở e1, e2,…, en. Ví dụ: Xét dạng toàn phương f(x, x) = 2x1 + 3x1x 2 + 4x1x 3 + x 2 + x 3 2 2 2 108
  9. Bài 8: Dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gian Euclid Ta có 3 2 2 2 3 Δ= 10 2 201 3 2 2 = −1 Δ0 = 1; Δ1 = 2; Δ 2 = 3 4 1 2 9 9 17 Δ3 = Δ = 2 + 0 + 0 − 4 − − 0 = −2 − = − 4 4 4 1 − 12 12 12 f (x, x) = ξ1 + 2(−4)ξ 2 + 4 ξ3 = ξ1 − 8ξ 2 + ξ3 . 2 2 2 17 2 2 17 − 4 Từ định lý trên cho ta khả năng tìm các hệ số dương và hệ số âm của các số hạng bình phương. Chính là, nếu Δi – 1 và Δi có cùng dấu thì hệ số của ξi2 là dương, nếu chúng khác dấu thì hệ số âm, nghĩa là số các hệ số âm bằng số các thay đổi dấu của dãy 1, Δ1, Δ2,…, Δn. Và như vậy, ta có định lý sau: Định lý 8.3: Số các hệ số âm trong dạng (8.12) của dạng toàn phương bằng số các thay đổi dấu của dãy 1, Δ1, Δ2,…, Δn. Giả sử, trong trường hợp riêng Δ i > 0, i = 1, n . Khi đó, tồn tại cơ sở e1, e2,..., en trong đó dạng toàn phương có dạng f (x, x) = λ1ξ1 + λ 2 ξ 2 + ... + λ n ξ 2 2 2 n Với λ i > 0, ∀i = 1, n , do đó f(x, x) ≥ 0 đối với x bất kỳ. Hơn nữa, đẳng thức n ∑λ ξ f (x, x) = =0 2 ii i =1 Nếu ξ1 = ξ2 = … = ξn = 0. Nói cách khác, nếu Δ1 > 0, Δ2 > 0,…, Δn > 0 thì dạng toàn phương f(x, x) là xác định dương. Có thể chứng minh phần đảo rằng, nếu f(x, x) là xác định dương thì Δk > 0, ∀k. Định lý 8.4: (Tiêu chuẩn Sylvester) n Giả sử f(x, y) là dạng song tuyến tính đối xứng và f1, f2,…, fn là cơ sở của . Khi đó, dạng toàn phương f(x, x) là xác định dương khi và chỉ khi λ i > 0, ∀i = 1, n . 109
  10. Bài 8: Dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gian Euclid 8.2. Không gian Euclid 8.2.1. Tích vô hướng và không gian Euclid 8.2.1.1. Định nghĩa 8.3 Cho V là không gian véc tơ thực, tích vô hướng của hai véc tơ x, y ∈ V là một số thực, ký hiệu <x, y> thỏa mãn các tính chất sau: ∀x, y ∈ V 1. <x, y> = <y, x> 2. <λx, y> = λ<x, y> ∀x, y ∈ V 3. <x1 + x2, y> = <x1, y> + <x2, y> ∀x1, x2, y ∈ V 4. <x, x> ≥ 0 ∀x ∈ V Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = 0. Không gian véc tơ thực hữu hạn chiều V trên đó xác định một tích vô hướng gọi là không gian Euclid, ký hiệu là E. Nhận xét: Tích vô hướng trên không gian véc tơ V thực chất là một dạng song tuyến tính, đối xứng f(x, y) = <x, y> trên V, thỏa mãn f(x, x) là một dạng toàn phương xác định dương. 8.2.1.2. Độ dài một véc tơ Giả sử E là một không gian Euclid. Khi đó, x ∈ E thì x xác định bởi 1 x = < x, x > 2 gọi là chuẩn của véc tơ x. n , ta định nghĩa tích vô hướng Chú ý: Trong n ∑ x y , x = (x ,..., x < x, y > = ), y = (y1 ,..., y n ) . i i 1 n i =1 Khi đó n ∑x 2 = 2 x i i =1 8.2.1.3. Góc giữa hai véc tơ < a , b > = a . b cos(a, b) <a, b> , nếu a ≠ 0, b ≠ 0. ⇒ cos(a, b) = a.b Chuyển sang không gian Euclid <x, y> cos(x, y) = xy Hai véc tơ x, y gọi là trực giao nếu <x, y> = 0. 110
  11. Bài 8: Dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gian Euclid 8.2.1.4. Hai không gian con trực giao Cho E là một không gian Euclid. Hai không gian con E1, E2 ⊂ E gọi là trực giao nếu <x, y> = 0, ∀x ∈ E1, ∀y ∈ E2. 8.2.1.5. Hệ trực giao và hệ trực giao chuẩn Cho E là một không gian Euclid. Hệ cơ sở {e1; e2;…; en} gọi là hệ cơ sở trực giao nếu <ei, ei> = 0 với i ≠ j (i, j = 1, 2,…, n) Hệ cơ sở trực giao {e1; e2;... en} gọi là hệ cơ sở trực chuẩn nếu ei = 1, (i = 1, 2,..., n). n Ví dụ: Trong , tích vô hướng xác định bởi n ∑x y <x, y> = i i i =1 thì hệ cơ sở tự nhiên e1 = (1, 0,…, 0) ; e2 = (0, 1,…, 0); en = (0, 0,…, 1) là một hệ trực chuẩn. 8.2.1.6. Trực giao hóa Gram – Smit Từ một cơ sở {f 1, f 2,…, f n} của E, hãy xây dựng một cơ sở trực chuẩn {e1, e2,…, en}. Bước 1: Xây dựng cơ sở trực giao {e1, e2,…, en}. 1′ 1 + Đặt e = f 2′ 1′ 2 + Tìm e = f + α21e sao cho <e1′, e2′> = 0 ⇒ <e1′, f2 > + α21< e1′, e1′> = 0 < e1' , f 2 > ⇒ α 21 = − 1' 1' <e , e > 3′ 2′ 1′ 3′ 2′ 3′ 3 + Tìm e = f + α32e sao cho <e , e > = 0 và <e , e > = 0. Từ đây ta có hệ < e1′ , f 3 > ⎧ α 31 = − 1′ 1′ ⎪ ⎧< e1′ , f 3 > + α31 < e1′ , e1′ > = 0 <e , e > ⎪ ⎪ ⇒⎨ ⎨ 2′ 3 2′ 2′ 2′ ⎪< e , f > + α32 < e , e > = 0 ⎪α = − < e , f > 3 ⎩ ⎪ 32 < e 2′ , e 2′ > ⎩ Tiếp tục quá trình này ek′ = fk + αk1e1′ + αk2e2′ +…+ αkk – 1ek′ sao cho <ej′, ek′> = 0, j = 1, 2,..., k – 1. Từ đó nhận được < e j′ , f k > α jk = , j = 1, 2,..., k – 1. < e j′ , e j′ > Bước 2: Từ hệ cơ sở trực giao {e1, e2,…, en}, ta xây dựng cơ sở trực chuẩn theo quy e j' t ắc e j = , j = 1, 2,..., n. j′ a 111
  12. Bài 8: Dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gian Euclid 8.2.2. Không gian hình học Euclid 8.2.2.1. Khái niệm Định nghĩa 8.3: Tập U ≠ ∅ được gọi là không gian hình học Euclid n chiều trên E nếu như mỗi cặp (M × N) ∈ U × U ứng với một véc tơ MN của E thỏa mãn hai tiên đề (1) MN + NP = MP, ∀M, N, P ∈ U (2) Với mỗi M ∈ U và a ∈ E, tồn tại duy nhất N ∈ U để MN = a . Khi U là không gian hình học Euclid thì các phần tử của U gọi là các điểm. Định nghĩa 8.4: (1) U là không gian hình học Euclid tựa trên E, O là một điểm của U. f 1, f 2,…, f n là một cơ sở trực chuẩn của E thì bộ {O, (f 1, f 2,…, f n)} được gọi là hệ tọa độ trực chuẩn của U với gốc tọa độ O. (2) Theo hệ tọa độ trực chuẩn trên, mỗi điểm M ∈ U sẽ tương ứng với véc tơ OM của E và tọa độ của véc tơ OM theo cơ sở f 1, f 2,…, f n của E được gọi là tọa độ của điểm M theo hệ tọa độ {O, (f 1, f 2,…, f n)} , ta viết M(x1, x2,…, xn). Ví dụ: Ta xét minh họa cho hai phần của định nghĩa trên: x3 x2 j k j x2 i O O x1 x1 i (b) (a) Hình 8.1 (1) Hệ tọa độ trong mặt phẳng gốc O là bộ {O, i, j} trong đó i , j là hai véc tơ đơn vị vuông góc (xem Hình 8.1(a)). x = (x1, x2) có biểu diễn duy nhất x = x1 i + x 2 j . (2) Hệ tọa độ trong không gian gốc O là bộ {O, (i, j, k)} trong đó i , j, k là ba véc tơ đơn vị trong không gian từng đôi một vuông góc (xem Hình 8.1(b)). 8.2.2.2. Đường thẳng và mặt phẳng Một đường thẳng trong mặt phẳng có phương trình là a1x1 + a2x2 = b với a1, a2 không đồng thời bằng 0. Một mặt phẳng trong không gian ba chiều có phương trình là a1x1 + a2x2 + a3x3 = b 112
  13. Bài 8: Dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gian Euclid với a1, a2, a3 không đồng thời bằng 0. Trong không gian n chiều, một siêu phẳng có phương trình a1x1 + a2x2 +…+ anxn = b với a1, a2,…, an không đồng thời bằng 0. 8.2.2.3. Đường cong và mặt cong Các đường Conic trong mặt phẳng là các đường cong bậc 2 có phương trình tổng quát ax1 + bx 2 + cx1x 2 + dx1 + ex 2 + f = 0 2 2 với a2 + b2 + c2 ≠ 0. Các mặt cong bậc 2 trong không gian ba chiều có phương trình tổng quát ax1 + bx 2 + cx 3 + a1x1x 2 + b1x1x 3 + c1x 2 x 3 + a 2 x1 + b 2 x 2 + c3 x 3 + d = 0 2 2 2 với a, b, c, a1, b1, c1 không đồng thời bằng 0. 8.2.2.4. Phép biến đổi trực giao Định nghĩa 8.5: Phép biến đổi tuyến tính f trong không gian Euclid E được gọi là phép biến đổi trực giao nếu nó bảo toàn tích vô hướng của hai véc tơ, tức là <f(x), f(y)> = <x, y>. Tính chất: (1) Phép biến đổi trực giao bảo toàn độ dài véc tơ. (2) Phép biến đổi trực giao bảo toàn góc giữa hai véc tơ. (3) Mọi phép biến đổi tuyến tính bảo toàn độ dài véc tơ đều là phép biến đổi trực giao. (4) Phép biến đổi tuyến tính f là trực giao khi và chỉ khi nó biến đổi mọi cơ sở trực chuẩn của E thành một cơ sở trực chuẩn. Định nghĩa 8.6: Ma trận vuông A được gọi là ma trận trực giao nếu AA′ = E. Tính chất: Phép biến đổi tuyến tính f trong không gian Euclid E là phép biến đổi trực giao khi và chỉ khi ma trận của nó trong một cơ sở trực chuẩn là trực giao. Hệ quả: Ma trận chuyển từ cơ sở trực chuẩn này sang cơ sở trực chuẩn khác là một ma trận trực giao. Ngược lại, mọi ma trận trực giao đều có thể coi là ma trận chuyển từ cơ sở này sang một cơ sở trực chuẩn khác. Ví dụ: ⎛a b⎞ (1) A = ⎜ ⎟ ⎝c d ⎠ là ma trận trực giao khi và chỉ khi ⎧a 2 + b 2 = 1 ⎛a b⎞⎛a c ⎞ ⎪ ⎟ = E ⇔ ⎨ac + bd = 0 ⎜ ⎟⎜ ⎝c d ⎠⎝ b d⎠ ⎪2 ⎩c + d = 1 2 Từ đó rút ra ⎛ a b⎞ 2 2 A=⎜ ⎟ trong đó a + b = 1 ⎝ −b a ⎠ 113
  14. Bài 8: Dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gian Euclid Do đó a2 + b2 = 1 nên tồn tại ϕ để ⎧a = cosϕ ⎨ ⎩b = sinϕ. Vì vậy, A trực giao khi và chỉ khi ⎛ cosϕ sinϕ ⎞ A=⎜ ⎟ (*) ⎝ −sinϕ cosϕ ⎠ (2) Giả sử f là phép biến đổi trực giao trong không gian véc tơ Euclid bao gồm các véc tơ trong mặt phẳng tương ứng với ma trận (*) theo một cơ sở trực chuẩn nào đó. Khi đó, phép quay tâm O bởi f: (O, f) trong mặt phẳng chính là phép quay tâm O với góc quay ϕ: x = x′cosϕ – y′sinϕ y = x′sinϕ + y′sinϕ. 8.2.3. Đưa đường (mặt) bậc hai ở dạng toàn phương về dạng trục chính Bài toán: Giả sử S là một đường (mặt) bậc hai trong không gian hình học Euclid n chiều U tựa trên E. Giả sử trong hệ tọa độ trực chuẩn {O, e1, e2,…, en)}, S có phương trình là [x1, x2,…, xn]A[x1, x2,…, xn]′ = c. Trong đó A là ma trận đối xứng thực cấp n × n và c là hằng số. Giải bài toán trên phải nhờ đến kết quả sau Định lý 8.5: Nếu A là ma trận thực đối xứng cấp n thì A có các tính chất sau: (1) Phương trình đặc trưng ⏐A – λE⏐ = 0 có n nghiệm thực kể cả nghiệm bội. (2) Giả sử λ1, λ2,..., λk là k nghiệm phân biệt của phương trình đặc trưng có số bội tương k ∑d ứng là d1, d2,..., dk: = n và nếu E λ1 , E λ2 ,..., E λn là các không gian con tương ứng i i =1 của toán tử tuyến tính f trong không gian Euclid n chiều nhận A làm ma trận của nó thì dim E λ1 = di, i = 1, 2,..., k, đồng thời các E λ1 , E λ2 ,..., E λn trực giao từng đôi một. Dựa vào Định lý 8.5, ta có thể giải bài toán nêu trên theo các bước sau: Bước 1: Giải phương trình đặc trưng ⏐A – λE⏐ = 0, tìm ra các nghiệm khác nhau λ1, λ2,..., λk tương ứng với các số bội là d1, d2,..., dk. Bước 2: Coi A là ma trận của toán tử tuyến tính f trong không gian Euclide E theo cơ sở trực chuẩn e1, e2,..., en. Từ mỗi cơ sở của không gian con E λ1 , dùng phương pháp Gram – Smidt ta tìm cho E λ1 một cơ sở trực chuẩn (i = 1, 2,..., k). Kết quả là tìm được cho toán tử f đủ n véc tơ riêng f 1, f 2,..., f n lập thành một cơ sở trực chuẩn của E. Bước 3: Lập ma trận chuyển T từ cơ sở e1, e2,..., en sang cơ sở f 1, f 2,..., f n và giả sử ⎛ t 11 t12 ... t1n ⎞ ⎜ ⎟ t t 22 ... t 2n ⎟ T = ⎜ 21 ⎜ ... ... ... ... ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ t n1 t n 2 ... t nn ⎠ 114
  15. Bài 8: Dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gian Euclid Khi đó, T là ma trận trực giao, đồng thời nếu điểm M ∈ U có tọa độ (x1, x2,…, xn) trong hệ tọa độ {O, e1, e2,…, en)} thì M sẽ có tọa độ là (x1 , x′ ,..., x′ ) = [x1, x2,…, xn].T ′2 n trong hệ tọa độ {O, (f 1, f 2,…, f n)}. Bước 4: Trong hệ tọa độ O, (f1, f2,…, fn)} phương trình của S là n ∑ λ x′ = c. 2 i i i =1 Ví dụ: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ trực chuẩn {O, (e1, e2)}, đường cong S có phương trình 5x1 − 4x1x 2 + 8x 2 = 36 . 2 2 Hãy tìm một tọa độ trực chuẩn gốc O để trong hệ tọa độ đó S có phương trình ở dạng trục chính. Giải: ⎛ 5 − 2 ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ = 36. S : [x1 , x 2 ] ⎜ ⎝ −2 8 ⎠ ⎝ x 2 ⎠ 5 − λ −2 = 0 có 2 nghiệm là λ1 = 4 và λ2 = 9. Phương trình −2 8 − λ ⎧ t − 2t 2 = 0 • λ1 = 4 ⇒ ⎨ 1 ⎩−2t1 + 4t 2 = 0 ⎛2 1⎞ ⇔ t1 – 2t2 = 0 có nghiệm cơ bản là (2, 1) hay nghiệm cơ bản trực chuẩn là ⎜ , ⎟ ⎝5 5⎠ ⎧−4t1 − 2t 2 = 0 • λ2 = 9 ⇒ ⎨ ⎩−2t1 − t 2 = 0 ⎛1 2⎞ ⇔ 2t1 + t2 = 0 và có nghiệm cơ bản trực chuẩn là ⎜ − , ⎟. ⎝ 5⎠ 5 Ta có hệ tọa độ cần tìm là {O, (e1′, e2′) với ⎛ 1⎞ ⎧ 1′ 2 21 12 − ⎪e = 5 e + 5 e ⎜ ⎟ ⎪ 5 5⎟ (e1′, e2′) = (e1, e2) ⎜ ⇔⎨ ⎜ 2⎟ 1 ⎪e 2′ = − 1 e1 + 2 e 2 ⎜ ⎟ ⎪ ⎝ 5⎠ ⎩ 5 5 5 Và trong hệ tọa độ này, phương trình của S là x12 x′2 ′ 4x12 + 9x′2 = 36 ⇔ ′ + 2 = 1 → elip 2 9 4 Ma trận đổi biến là ⎛ 1⎞ 2 ⎜ 5⎟ 5 T=⎜ ⎟ ⎜ 2⎟ 1 ⎜− ⎟ ⎝ 5⎠ 5 115
  16. Bài 8: Dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gian Euclid Chú ý: Vì T là ma trận trực giao nên ta có ⎧ 2 ⎪cos ϕ = 5 ⎪ ⎨ ⎪sin ϕ = 1 ⎪ ⎩ 5 với cos2ϕ + sin2ϕ = 1. Đó là một phép quay trục một góc ϕ. Có trường hợp ta còn phải làm phép tịnh tiến. Ví dụ: Hãy nhận dạng đường cong phẳng S 20 80 5x1 − 4x1x 2 + 8x 2 + x1 − x2 + 4 = 0 . 2 2 5 5 Giải ⎛ 5 − 2⎞ ⎛ 20 −80 ⎞ Xét A = ⎜ ⎟, K = ⎜ , ⎟ ⎝ −2 8 ⎠ ⎝5 5⎠ Ta có ⎛ 1⎞ 2 ⎜ 5⎟ 5 T= ⎜ ⎟ ⎜ 2⎟ 1 ⎜− ⎟ ⎝ 5⎠ 5 và ta đã có các nghiệm của phương trình đặc trưng λ1 = 4, λ2 = 9 để làm các hệ số cho x12 , x′2 . ′ 2 * Tìm các hệ số của x1 , x′ . ′2 Ta có ⎛ 1 ⎞ ⎛ 20 ⎞ ⎛ 40 2 80 ⎞ − ⎜ ⎟⎜ 5 ⎟ ⎜ 5 ⎟ ⎛ −8 ⎞ 5 5 ⎟⎜ ⎟=⎜ 5 T.K′ = ⎜ ⎟=⎜ ⎟ 2 ⎟ ⎜ 80 ⎟ ⎜ 20 160 ⎟ ⎝ −36 ⎠ ⎜ 1 ⎜− − − − ⎟⎜ ⎟ ⎟⎜ 5⎠ ⎝ 5 5⎠ ⎝ 5 ⎠⎝ 5 Vì vậy, ta có phương trình của S: 4x12 + 9x′2 − 8x1 − 36x′ + 4 = 0 ′ ′ 2 2 ⇔ 4(x12 − 2x1 + 1) + 9(x ′2 − 4x′ + 4) = 4 + 36 − 4 ′ ′ 2 2 ⇔ 4(x1 − 1) 2 + 9(x′ − 2) 2 = 36 ′ 2 ′ ⎧ X = x1 − 1 Đặt ⎨ 1 ⎩X 2 = x′ − 2 2 Ta có phương trình 2 X2 X1 4X1 + 9X 2 = 36 ⇔ + 2 = 1. 2 2 9 4 Đây là elip. 116
  17. Bài 8: Dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gian Euclid Ví dụ: Trong không gian với hệ tọa độ trực chuẩn {O, (e1, e2, e3)}, mặt cong S có phương trình 2x1 + 2x 2 + 3x 3 − 2x1x 2 − 2x 2 x 3 = 16. 2 2 2 Hãy tìm hệ tọa độ trực chuẩn gốc O để S có phương trình ở dạng trục chính và xác định phép biến đổi cùng với dạng trục chính đó. Giải: Ta có ma trận đối xứng của S là ⎛ 2 0 − 1⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ 0 2 − 1⎟ ⎜ −1 − 1 3 ⎟ ⎝ ⎠ Phương trình đặc trưng của A có 3 nghiệm phân biệt • λ1 = 1, λ2 = 2, λ3 = 4. ⎧ t1 − t 3 = 0 ⎪ • λ1 = 1 ⇒ ⎨ t 2 − t 3 = 0 ⎪− t − t + 2t = 0 ⎩1 2 3 ⎛1 1⎞ 1 và dễ dàng thấy rằng nghiệm cơ bản trực chuẩn của hệ là ⎜ , , ⎟. ⎝3 3⎠ 3 • λ2 = 2. Tương tự ta cũng tìm được nghiệm cơ bản trực chuẩn của hệ phương trình ⎛1 ⎞ 1 ,− tương ứng là ⎜ , 0⎟ . ⎝2 2⎠ ⎛1 2⎞ 1 • λ3 = 4. Véc tơ nghiệm là ⎜ ,− , ⎟. ⎝6 6⎠ 6 Ta nhận được ma trận đổi biến là ⎛ 1⎞ 1 1 ⎜ ⎟ 3 2 6⎟ ⎜ ⎜ 1⎟ 1 1 T=⎜ − ⎟ 3 2 6⎟ ⎜ ⎜ 2⎟ 1 0− ⎜ ⎟ ⎝ 6⎠ 3 Hệ tọa độ cần tìm {O, (f 1, f 2, f 3)} với (f 1, f 2, f 3) = (e1, e2, e3)T, tức là ⎧1 11 12 13 ⎪f = 3 e + e+ e 3 3 ⎪ ⎪2 11 12 ⎨f = e− e 2 2 ⎪ ⎪3 11 12 23 ⎪f = e+ e− e ⎩ 6 6 6 117
  18. Bài 8: Dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gian Euclid Trong hệ tọa độ mới {O, (f 1, f 2, f 3)}, phương trình của S là x12 x′2 x′2 ′ x12 + 2x ′2 + 4x′2 = 16 ⇔ ′ + 2 + 3 =1 2 3 16 8 4 Đó là một elipsoit có các bán trục là 4, 8 và 2. 8.3. Ý nghĩa hình học của phương trình Ta thấy rằng mỗi mặt cong trong không gian xem như quỹ tích của các điểm, có thể biểu diễn bởi phương trình giữa các tọa độ những điểm của nó. Ngược lại, mỗi phương trình giữa những biến số x, y, z nói chung xác định một mặt cong xem như quỹ tích của những điểm có tọa độ x, y, z thỏa mãn phương trình đó. Do những điều đã biết, ta thấy có hai bài toán cơ bản: (1) Cho một mặt cong xem như quỹ tích của các điểm, thành lập phương trình của mặt đó. (2) Cho phương trình giữa các tọa độ x, y, z khảo sát dạng của mặt cong xác định bởi phương trình này. 118
  19. Bài 8: Dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gian Euclid TÓM LƯỢC CUỐI BÀI Các bạn đã được học về Dạng song tuyến tính – Dạng toàn phương và không gian Euclid. Các bạn cần ghi nhớ các vấn đề sau: • Khái niệm về dạng song tuyến tính và dạng toàn phương. • Biết cách đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng hai phương pháp: Phương pháp Lagrange, phương pháp Jacobi và tiêu chuẩn Sylvester. • Khái niệm về không gian Euclid, hệ trực giao và hệ trực chuẩn. • Biết cách đưa đường mặt bậc hai ở dạng toàn phương về dạng trục chính. • Giải được các bài tập. 119
  20. Bài 8: Dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gian Euclid BÀI TẬP 1. Đưa dạng toàn phương f (x, x) = 27x1 − 10x1x 2 + 3x 2 về dạng chính tắc bằng phương pháp 2 2 trực chuẩn hóa. 2. Đưa dạng toàn phương f = 6x1 + 3x 2 + 3x 3 + 4x1x 2 + 4x1x 3 − 8x 2 x 3 2 2 2 về dạng chính tắc. 3. Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng phép biến đổi tuyến tính 17x2 + 12xy + 8y2 – 46x – 28y + 17 = 0 (1) 4. Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc f = 2x1x2 – 6x2x3 + 2x3x1 (1) 5. Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng phương pháp Lagrange f (x, x) = 2x1 + 3x1x 2 + 4x1x 3 + x 2 + x 3 . 2 2 2 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 2 1. Họ nào dưới đây là cơ sở trong ? A. (2, 0), (3, 0) B. (4, 1), (–7, –8) C. (0, 0), (1, 3) D. (3, 9), (–4, –12). 3 2. Xét u = (u1, u2, u3), v = (v1, v2, v3) ∈ . Hỏi biểu thức nào dưới đây có thể là tích vô hướng 3 trong ? B. = <u, v> = u1 v1 + u 2 v 2 + u 3 v3 22 22 A. <u, v> = u1 v1 + u3v3 22 C. = <u, v> = 2u1v1 + u2v2 + 4u3 D. <u, v> = u1v1 + u2v2 + u3v3. 120
Đồng bộ tài khoản