Toán học dành cho sinh viên

Chia sẻ: Huỳnh Văn Phước | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:93

1
364
lượt xem
141
download

Toán học dành cho sinh viên

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đây là tạp chí được ra mắt lần đầu tiên sau những nỗ lực vượt bậc của cộng đồng các học sinh- sinh viên Việt Nam yêu Toán (mathvn.org). Tạp chí đầu tiên gồm 67 trang, được trình bày đơn giản (không màu mè theo đúng phong cách Toán), nhưng nội dung vô cùng phong phú. Tuy nhiên, nội dung tạp chí có những phần khá chuyên sâu dành cho học sinh khối chuyên Toán và sinh viên chuyên ngành Toán.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Toán học dành cho sinh viên

  1. T p chí Toán h c MathVn S 02-2009 S 02 - Năm 2009 T p chí Toán H c dành cho H c sinh - Sinh viên Vi t Nam
  2. T p chí Toán h c MathVn S 02-2009 M cl c Câu chuy n Toán h c • Gi thuy t Riemann Phan Thành Nam 03 Bài vi t chuyên đ • V đ p c a phân s Farey Nguy n M nh Dũng 09 • Câu chuy n nh v m t đ nh lý l n Hoàng Qu c Khánh 20 • B t đ ng th c Turkevici và m t s d ng m r ng Võ Qu c Bá C n 39 • Các phương pháp tính tích phân Nguy n Văn Vinh 48 • Lý thuy t các quân xe Nguy n Tu n Minh 58 Cu c thi gi i Toán MathVn • Đ Toán dành cho H c sinh 72 • Đ Toán dành cho Sinh viên 74 • Các v n đ m 74 Olympic H c sinh – Sinh viên • Olympic Sinh viên toàn Belarus 2009 75 • Olympic Sinh viên khoa Toán Đ i h c Sofia 2009 76 • VMO 2009 – Đ thi, l i gi i và bình lu n Tr n Nam Dũng 77 Góc L p trình tính toán • Đ th trong Mathematica 85 Tin t c Toán h c • Tin Th gi i 89 • Tin trong nư c 92
  3. T p chí Toán h c MathVn S 02-2009 Câu chuy n Toán h c Gi Thuy t Riemann D a theo J. Brian Conrey, American Institute of Mathematics Phan Thành Nam, Khoa Toán - Đ i h c Copenhagen, Đan M ch L i gi i thi u. Bài vi t này c a J. Brian Conrey, Director of the American Institute of Mathe- matics, đăng trên Notices of the AMS (Match 2003). Bài báo v a đư c nh n gi i thư ng 2008 AMS Levi L. Conant cho các bài vi t hay nh t trên các t Notices of the AMS và Bulletin of the AMS (http://www.ams.org/ams/press/conant-conrey-2008.html). Bài vi t cho m t cái nhìn t ng quan v gi thuy t Riemann, t l ch s bài toán đ n nh ng bư c ti n g n đây. Chúng tôi xin lư c trích n a đ u c a bài báo, và b n đ c quan tâm đư c khuy n khích đ c nguyên b n bài báo này t i đ a ch http://www.ams.org/notices/200303/fea-conrey-web.pdf. Hilbert, t i đ i h i Toán h c Th gi i năm 1990 Paris, đã đưa Gi Thuy t Riemann vào danh sách 23 bài toán dành cho nh ng nhà Toán h c c a th k 20. Bây gi thì nó đang ti p t c thách th c nh ng nhà Toán h c th k 21. Gi thuy t Riemann (RH−Riemann Hypothesis) đã t n t i hơn 140 năm, và hi n t i cũng chưa h n là th i kỳ h p d n nh t trong l ch s bài toán. Tuy nhiên nh ng năm g n đây đã ch ng ki n m t s bùng n trong nghiên c u b t ngu n t s k t h p gi a m t s lĩnh v c trong Toán h c và V t lý. Trong 6 năm qua, Vi n Toán h c M (AIM−American Institute of Mathematics) đã tài tr cho 3 đ án t p trung vào RH. Nơi đ u tiên (RHI) là Seattle vào tháng 8 năm 1996 t i đ i h c Washington (University of Washington). Nơi th hai (RHII) là Vienna vào tháng 10 năm 1998 t i .. .. Vi n Schrodinger (Erwin Schrodinger Institute), và nơi th ba (RHIII) là New York vào tháng 5 năm 2002 t i Vi n Toán Courant (Courant Institute of Mathematical Sciences). M c tiêu c a 3 đ án này là đ khích l nghiên c u và th o lu n v m t trong nh ng thách th c l n nh t c a Toán h c và đ xem xét nh ng hư ng ti p c n khác nhau. Li u chúng ta có ti n g n hơn t i l i gi i cho Gi thuy t Riemann sau các n l c đó? Li u có ph i chúng ta đã h c đư c nhi u đi u v hàm zeta (zeta-function) t các đ án đó? Đi u đó là ch c ch n! M t s thành viên trong các đ án này đang ti p t c c ng tác v i nhau trên trang web (http://www.aimath.org/WWN/rh/), nơi cung c p m t cái nhìn t ng quan cho ch đ này. đây tôi hi v ng phác th o m t s hư ng ti p c n t i RH và k nh ng đi u thú v khi làm vi c trong lĩnh v c này t i th i đi m hi n t i. Tôi b t đ u v i b n thân Gi thuy t Riemann. Năm 1859 .. trong m t báo cáo seminar "Ueber die Anzahl der Primzahlen unter eine gegebener Grosse", G. B. F. Riemann đã ch ra m t s tính ch t gi i tích căn b n c a hàm zeta ∞ 1 1 1 ζ(s) := 1 + + s + ... = . 2s 3 n=1 ns Chu i này h i t n u ph n th c c a s l n hơn 1. Riemann ch ng minh r ng ζ(s) có th m r ng b i s liên t c thành m t hàm gi i tích trên c m t ph ng ph c ngo i tr t i đi m s = 1 (simple pole). Hơn n a ông ch ng minh r ng ζ(s) th a mãn m t phương trình hàm thú v mà d ng đ i x ng c a nó là s s ξ(s) := s(s − 1)π − 2 Γ ζ(s) = ξ(1 − s) 2 trong đó Γ(s) là hàm Gamma (Gamma-function).
  4. T p chí Toán h c MathVn S 02-2009 Hình 1: ζ( 1 + it) v i 0 < t < 50 2 Th t ra hàm zeta đã đư c nghiên c u trư c đó b i Euler và m t s ngư i khác, nhưng ch như m t hàm v i bi n s th c. Nói riêng, Euler ch ra r ng 1 1 1 1 1 1 ζ(s) = 1+ + s + s + ... . 1 + s + s + ... . 1 + s + ... 2s 4 8 3 9 5 −1 1 = 1− , p ps trong đó tích vô h n (g i là tích Euler) l y trên t t c các s nguyên t . Tích này h i t khi ph n th c c a s l n hơn 1. Đây là m t phiên b n gi i tích cho đ nh lý cơ b n c a s h c, r ng m i s nguyên có th phân tích m t cách duy nh t thành các th a s nguyên t . Euler đã dùng tích này đ ch ng minh r ng t ng ngh ch đ o c a các s nguyên t là không b ch n. Chính tích Euler đã thu hút s quan tâm c a Riemann t i hàm zeta: khi đó ông đang c g ng ch ng minh m t gi thuy t c a Legendre, và trong m t d ng chính xác hơn phát bi u b i Gauss: x dt π(x) := (s các s nguyên t nh hơn x) ∼ . log(t) 2 Riemann đã t o ra m t bư c ti n l n t i gi thuy t c a Gauss. Ông nh n ra r ng s phân b các s nguyên t ph thu c vào s phân b các không đi m c a hàm zeta. Tích Euler ch ng t không có không đi m nào c a ζ(s) có ph n th c l n hơn 1; và phương trình hàm ch ra không có không đi m nào có ph n th c nh hơn 0 [Ngư i d ch: do s đ i x ng] ngoài các không đi m t m thư ng t i s = −2, −4, −6, ... Do đó m i không đi m ph c ph i n m trong d i 0 ≤ Re(z) ≤ 1. Riemann đưa ra m t công th c tư ng minh cho π(x) ph thu c vào các không đi m ph c ρ = β + iγ c a ζ(s). M t d ng đơn gi n c a công th c nói r ng xρ 1 1 Ψ(x) := Λ(n) = x − − log 2π − log 1 − 2 ρ ρ 2 x n≤x đúng n u x không ph i là lũy th a c a m t s nguyên t , trong đó hàm von Mangoldt Λ(n) = log p n u n = pk v i m t s nguyên k nào đó và Λ(n) = log 0 n u ngư c l i. Chú ý r ng t ng này không h i t tuy t đ i (n u v y thì Λ(n) ph i liên t c theo x nhưng đi u này rõ ràng không đúng). n≤x Do đó ph i có nhi u vô h n các không đi m ρ. đây t ng tính trên ρ v i s b i và đư c hi u là lim . Chú ý r ng |xρ | = |x|β ; do đó c n ch ra β < 1 đ ch ng minh r ng Λ(n) ∼ x, m t T →∞ |ρ|≤T n≤x
  5. T p chí Toán h c MathVn S 02-2009 cách phát bi u khác c a gi thuy t Gauss. Hình 2: Bi u đ vi n Re(ζ(s)), đư ng Re(ζ(s)) = 0 (đ m), Im(ζ(s)) (ch m), bi u đ vi n Im(ζ(s)) Hình 3: Bi u đ 3D c a |Re(ζ(s))|, đư ng Im(ζ(s)) (đư ng ch m) Phương trình hàm ta nói ban đ u ch ra r ng các không đi m ph c ph i đ i x ng v i đư ng th ng Re(s) = 1 . Riemann đã tính m t s không đi m ph c đ u tiên: 2 + i14.134..., 1 + i21.022... 2 1 2 và ch ng t r ng N (T ), s các không đi m v i ph n o n m gi a 0 và T , là T T 7 N (T ) = log + + S(T ) + O(1/T ) 2π 2πe 8 1 trong đó S(T ) = π arg ζ(1/2 + iT ) đư c tính b i bi n phân liên t c b t đ u t arg ζ(2) = 0 d c theo các đư ng th ng t i arg ζ(2 + iT ) = 0 r i arg ζ(1/2 + iT ) = 0. Riemann cũng ch ng minh r ng S(T ) = O(log T ). Chú ý: ta s th y sau này r ng bư c nh y gi a các không đi m là ∼ 2π/ log T . Riemann cũng d đoán r ng s N0 (T ) các không đi m c a ζ(1/2 + it) v i 0 ≤ t ≤ T là kho ng T T log và sau đó nêu ra gi thuy t r ng m i không đi m c a ζ th c s đ u n m trên đư ng 2π 2πe th ng Im(z) = 1/2; đó chính là gi thuy t Riemann.
  6. T p chí Toán h c MathVn S 02-2009 Các n l c c a Riemann đã ti n g n đ n vi c ch ng minh gi thuy t c a Gauss. Bư c cu i cùng đư c hoàn t t b i Hadamard và de la Vallée Poussin, hai ngư i đã ch ng minh đ c l p nhau trong năm 1896 r ng ζ(s) khác không khi ph n th c c a s b ng 1, và t đó d n t i k t lu n kh ng đ nh cho gi thuy t c a Gauss, bây gi đư c g i là đ nh lý s nguyên t (Prime Number Theorem). Hình 4: Bi n đ i Fourier c a ph n sai s trong Đ nh lý s nguyên t và − xρ v i |ρ| < 100 Các ý tư ng đ u tiên Không m y khó khăn đ ch ng t RH (Riemann Hypothesis) tương đương v i kh ng đ nh r ng v im iε>0 x dt π(x) = + O(x1/2+ε ). log t 2 Tuy nhiên khó khăn n m ch tìm ra m t cách ti p c n khác v i π(x) và thu các thông tin v các không đi m. M t tương đương d th y khác c a RH là kh ng đ nh M (x) = O(x1/2+ε ) v i m i ε > 0, trong đó M (x) = µ(n) n≤x và µ(n) là hàm Mobius đư c đ nh nghĩa t chu i Dirichlet sinh 1/ζ ∞ 1 µ(n) 1 = = 1− . ζ(s) n=0 ns p ps V y n u p1 , ..., pk là các s nguyên t phân bi t thì µ(p1 ...pk ) = (−1)k ; và µ(n) = 0 n u n chia h t cho p2 v i m t s nguyên t p nào đó. Chu i này h i t tuy t đ i khi Re(s) > 1. N u ư c lư ng M (x) = O(x1/2+ε ) đúng v i m i ε > 0 thì b ng cách l y các t ng riêng phân ta th y chu i h i t v i m i s có ph n th c l n hơn 1/2; nói riêng không có không đi m nào c a ζ(s) n m trên n a m t ph ng m này, b i vì không đi m c a ζ(s) là đi m kỳ d (poles) c a 1/ζ(s) [Ngư i d ch: và do tính đ i x ng nên cũng d n đ n không có không đi m nào n m trên n a m t ph ng m Re(s) < 1/2, và do đó m i không đi m đ u ch n m trên đư ng th ng Re(s) = 1/2]. Ngư c l i, RH suy ra ư c lư ng này cho M (x), đi u này cũng không khó đ ch ng minh. Thay vì phân tích tr c ti p π(s), có v s d dàng hơn khi làm vi c v i M (x) và ch ng minh ư c lư ng trên. Th t ra, Stieltjes đã thông báo r ng ông có m t ch ng minh như v y. Hadamard, trong ch ng minh n i ti ng năm 1896 v Prime Number Theorem, đã d n ra tuyên b c a Stieltjes.
  7. T p chí Toán h c MathVn S 02-2009 Hình 5: 1/|ζ(x + iy) v i 0 < x < 1 và 16502.4 < y < 16505 Hadarmard nói r ng đ nh lý c a ông y u hơn nhi u, và ch ch ng minh ζ(s) khác 0 trên đư ng th ng Re(s) = 1, nhưng hi v ng tính đơn gi n c a ch ng minh s có ích. Stieltjes, tuy nhiên, sau đó không bao gi công b ch ng minh c a mình. Mertens d đoán m t gi thuy t m nh hơn r ng √ M (x) ≤ x, Đi u rõ ràng d n đ n RH. Tuy nhiên gi √thuy t c a Mertens đã b ch ng minh là sai b i Odlyzko và te Riele năm 1985. Ư c lư ng M (x) = O( x) th m chí đã dùng RH như m t lá ch n: ông t ng g i bưu thi p t i đ ng nghi p Harald Bohr trư c khi qua English Channel trong m t đêm bão t , tuyên b là ông đã ch ng minh xong RH. Th m chí Hardy là m t ngư i vô th n, ông cũng tin m t cách tương đ i v Chúa, r ng n u Chúa t n t i, cũng ch ng đ thành t u t i trong m t hoàn c nh như v y! Hilbert có v hơi mâu thu n khi nhìn nh n v đ khó c a RH. M t l n ông so sánh ba bài toán √ m : tính siêu vi t c a 2 2 , đ nh lý l n Fermat, và gi thuy t Riemann. Theo quan đi m c a ông, RH có th s đư c gi i trong vài năm, đ nh lý l n Fermat có th đư c gi i khi ông còn s ng, và câu h i v s siêu vi t có th s không bao gi đư c tr l i. Đáng ng c nhiên là câu h i v s siêu vi t đư c gi i trong vài năm sau đó b i Gelfond và Schneider, và, dĩ nhiên, Andrew Wiles g n đây đã ch ng minh đ nh lý l n Fermat [Ngư i d ch: v y n u đ o ngư c d đoán c a Hilbert thì có th RH s không bao gi đư c gi i]. Tuy nhiên trong m t d p khác Hilbert l i nói r ng n u ông ta s ng l i sau m t gi c ng 500 năm thì câu h i đ u tiên s là: RH có đư c gi i hay chưa. Khi g n k t thúc s nghi p, Hans Rademacher, ngư i đư c bi t b i công th c chính xác cho s các cách phân ho ch m t s nguyên, nghĩ r ng ông đã có m t ph n ch ng minh cho RH. Siegel đã ki m tra k t qu này, công vi c d a trên k t lu n r ng m t hàm nh t đ nh s có m t n i r ng gi i tích b i liên t c n u RH đúng. C ng đ ng Toán h c đã c g ng làm cho T p chí Time (Time magazine) quan tâm câu chuy n. Time đã thích thú và đăng m t bài báo sau khi ngư i ta tìm ra l i sai trong ch ng minh c a Rademacher.
  8. T p chí Toán h c MathVn S 02-2009 Các ch ng c c a gi thuy t Riemann Hình 6: Công th c chính xác c a Ψ(x) s d ng 100 c p không đi m đ u tiên Sau đây là m t s lý do đ tin vào RH. • Hàng t không đi m không th sai. G n đây, van de Lune đã ch ra 10 t không đi m đ u tiên n m trên đư ng th ng Re(s) = 1/2. Ngoài ra, m t d án v i s chung s c nhi u máy tính t ch c b i Sebastian Wedeniwski, chương trình đã đư c nhi u ngư i hư ng ng, đã kh ng đ nh r ng h đã ki m tra 100 t không đi m đ u tiên n m trên đư ng th ng đó. Andrew Odlyzko đã tính hàng tri u không đi m g n các không đi m th 1020 , 1021 và 1022 (có th xem trên website c a ông). • H u h t t t c các không đi m đ u n m r t g n đư ng th ng Re(s) = 1/2. Th t s ngư i ta đã ch ng minh r ng có hơn 99 ph n trăm các không đi m ρ = β + iγ th a mãn |β − 1/2| ≤ 8/ log(γ). • Ngư i ta đã ch ng minh có r t nhi u không đi m n m trên đư ng th ng Re(s) = 1/2. Selberg đ t đư c m t t l dương, và N. Levinson ch ra ít nh t là 1/3; t l này sau đó đư c c i thi n lên 40 ph n trăm. Ngoài ra RH cũng ng ý r ng m i không đi m c a m i đ o hàm c a ζ(s) n m trên đư ng th ng Re(s) = 1/2. Ngư i ta đã ch ng minh đư c r ng có nhi u hơn 99 ph n trăm các không đi m c a đ o hàm b c ba ζ (s) n m trên đư ng th ng Re(s) = 1/2. Lúc g n cu i đ i Levinson nghĩ r ng ông có m t phương pháp cho phép đ o ngư c đ nh lý Rolle trong trư ng h p này, t c là n u ζ (s) có ít nh t m t t l dương các không đi m n m trên đư ng th ng đó thì đi u này cũng đúng v i ζ(s), và tương t v i ζ (s), ζ (s) ... Tuy nhiên chưa ai có th hi n th c hóa ý tư ng c a ông. • Phương pháp th ng kê. V i ít h u h t các dãy ng u nhiên g m −1 và +1, hàm t ng tương ng c a x b ch n b i x1/2+ε . Dãy Mobius có v khá ng u nhiên. • S đ i x ng c a các s nguyên t . RH nói r ng các s nguyên t phân b theo cách đ p nh t có th . N u RH sai thì s có nh ng đi u b t thư ng trong s phân b các s nguyên t ; không đi m đ u tiên có ph n th c khác 1/2 ch c ch n s là m t h ng s toán h c r t quan tr ng. Tuy nhiên, có v t nhiên không kh c nghi t t i như v y!
  9. T p chí Toán h c MathVn S 02-2009 V đ p c a phân s Farey Nguy n M nh Dũng, H c sinh l p 12A2 Toán, Trư ng ĐHKHTN-ĐHQG Hà N i A-M đ u Trong l ch s c a toán h c, nhi u khi nh ng l i gi i, nh ng đ nh lí m i đư c tìm ra b i nh ng ngư i nghi p dư, nh ng ngư i lĩnh v c khác. Chính đi u này đã góp ph n làm cho các khía c nh c a toán h c đa d ng hơn, thú v hơn. Trong bài vi t này, tôi xin đư c trao đ i v i các b n v phân s Farey, g n li n v i tên tu i c a nhà đ a lí h c John Farey (1766-1826) khi ông công b nh ng tính ch t thú v c a phân s Farey trên m t t p chí Tri t h c dư i d ng ph ng đoán. Đ nh nghĩa. T p h p Fn các phân s Farey b c n, g i là chu i Farey b c n, là t p h p c a các phân s t i gi n thu c kho ng [0, 1] v i m u s không vư t quá n và đư c s p x p theo th t tăng d n. Do đó h thu c Fn n u k 0 ≤ h ≤ k ≤ n, (h, k) = 1 0 1 Các s 0, 1 g i là các ph n t cơ s c a m i t p h p phân s Farey vì vi t đư c dư i d ng 1 và 1 . Ta có th bi u di n phân s Farey như sau: Ho c dư i d ng cây Stern:
  10. T p chí Toán h c MathVn S 02-2009 B - Tính ch t Chúng ta hãy cùng xét các tính ch t thú v c a phân s Farey h h Đ nh lí 1. N u k và k là hai ph n t liên ti p c a Fn thì (k + k ) > n Ch ng minh h+h h h Xét phân s k+k (phân s này đư c g i là trung bình c a và ). Khi đó k k h+h h kh − hk − = >0 k+k k k(k + k ) Và h h+h kh − hk − = >0 k k+k k (k + k ) Do đó h+h h h ∈ , k+k k k h+h h h Nên n u k + k ≤ n thì ∈ Fn . Đi u này là vô lí vì và là hai ph n t liên ti p. Đ nh k+k k k lí đư c ch ng minh. Chúng ta s quay l i tính ch t này ph n sau. Đ nh lí 2. Không có hai ph n t liên ti p nào c a Fn có m u s gi ng nhau. Ch ng minh h h N u k > 1 và , là hai ph n t liên ti p trong Fn , khi đó h + 1 ≤ h < k. M t khác k k h h h+1 h < < ≤ k k−1 k k h h h Do dó là m t ph n t n m gi a 2 ph n t liên ti p , , vô lí. Ta có đi u ph i ch ng k−1 k k minh. h h Đ nh lí 3. N u và là hai ph n t liên ti p c a Fn thì k k hh − kk = 1 Ch ng minh Đ u tiên ta c n ch ng minh m t b đ B đ 1. N u (h, k) là các s nguyên dương nguyên t cùng nhau thì khi đó t n t i các s nguyên dương (x, y) sao cho kx − hy = 1 Ch ng minh. Xét các s nguyên k, 2k, 3k, · · · , (h − 1)k
  11. T p chí Toán h c MathVn S 02-2009 và s dư c a chúng khi chia cho h. Các s dư này đ u khác nhau. Th t v y, n u k1 k = q1 h + r, k2 k = q2 h + r v i k1 , k2 ∈ {1, 2, · · · , (h − 1)} thì (k1 − k2 )k = (q1 − q2 )h ≡ 0 (mod h) Mà k1 , k2 ∈ {1, 2, · · · , (h − 1)} nên k1 − k2 < h. Do đó k1 − k2 = 0. D th y r ng kk ≡ 0 (mod h) v i m i k ∈ {1, 2, · · · , (h − 1)}. Do đó ít nh t m t s trong các s 1.k, 2.k, · · · , (h − 1)k có s dư là 1 khi chia cho h, suy ra t n t i x ∈ {1, 2, · · · , (h − 1)} và y ∈ Z+ . Quay l i đ nh lí c n ch ng minh, n u (x0 , y0 ) là m t nghi m c a phương trình trên, khi đó (x0 + rh, y0 + rh) cũng là m t nghi m v i m i s nguyên r. Chúng ta có th ch n r sao cho n − k < y0 + rk ≤ n Đ t x = x0 + rk, y = y0 + rk, khi đó (x, y) là m t nghi m c a phương trình trên và th a mãn (x, y) = 1, 0 ≤ n − k < y ≤ n x x Do đó t i gi n và y ≤ n nên là m t ph n t c a Fn . Ta cũng có y y x h 1 h = + > y k ky k x h x h x h Suy ra n m sau trong Fn . N u = thì cũng n m sau , khi đó y k y k y k x h k x−hy 1 − = ≥ y k ky ky mà h h kh − hk 1 − = ≥ k k kk kk Vì v y 1 kx − hy x h 1 1 k+y n 1 = = − ≥ + = > ≥ ky ky y k k y kk kk y kk y ky (theo Đ nh lí 1) x h Vô lí, v y = do đó kh − hk = 1. y k h h h Đ nh lí 4. N u , và là ba ph n t liên ti p c a Fn thì k k k h h+h = k k+k Ch ng minh. T Đ nh lí 3 ta thu đư c kh − hk = 1, k h −h k =1 (3.1)
  12. T p chí Toán h c MathVn S 02-2009 Gi i h phương trình trên theo n h và k ta có h+h k+k h = , k = kh − hk kh − hk Hay h h+h = k k+k Đây chính là Đ nh lí 4. Nh n xét. Chú ý r ng Đ nh lí 3 và Đ nh lí 4 là tương đương, ta có th suy ra Đ nh lí 3 t Đ nh lí 4 b ng phép quy n p như sau: Gi s r ng Đ nh lí 4 đúng v i m i Fn và Đ nh lí 3 đúng t i Fn−1 , ta s ch ng minh nó cũng đúng v i Fn . Hi n nhiên r ng nó tương đương v i vi c ch ng minh phương trình (3.1) th a mãn khi h thu c Fn nhưng không thu c Fn−1 , do đó k = n. Trong trư ng h p này, theo Đ nh lí 4, k k, k < k và h , h là hai ph n t liên ti p trong Fn−1 . T Đ nh lí 4 và gi thi t h t i gi n, ta đ t k k k h + h = λh , k + k = λk v i λ là m t s nguyên. Do k, k < k , nên λ = 1. Do đó h = h + h , k = k + k kh − hk = kh − hk = 1 Tương t k h −h k =1 Phép ch ng minh này g i ý cho ta m t l i gi i khác cho Đ nh lí 3: Đ nh lí đúng v i n = 1, gi s nó đúng t i Fn−1 ta c n ch ng minh minh nó cũng đúng v i Fn . h h h Gi s k và k là hai ph n t liên ti p trong Fn−1 nhưng b chia ra trong Fn b i k .Đ t kh − hk = r > 0, k h − h k = s > 0 Gi i h phương trình này theo n h , k v i đi u ki n kh − hk = 1 ta thu đư c h = sh + rh , k = sk + rk T đó k t h p v i (h , k ) = 1 nên (r, s) = 1. Xét t p h p S bao g m t t c các phân s có d ng p γh + λh = q γk + λk v i γ, λ là các s nguyên dương có (γ, λ) = 1. Do đó h ∈ S, M i ph n t c a t p h p S đ u n m k gi a h và h do m i ư c chung c a p và q đ u chia h t cho k k k(γh + λh ) − h(γk + λk ) = λ, h (γh + λh ) − k (γk + λk ) = γ Do đó m i ph n t c a S đ u là ph n t c a m t s chu i Farey nào đó, khi đó phân s đ u tiên xu t hi n ph i có q nh nh t. Suy ra γ = λ = 1, V y phân s này ph i là h . Nên k h = h + h ,k = k + k Đ nh lí đư c ch ng minh.
  13. T p chí Toán h c MathVn S 02-2009 Hai phép ch ng minh trên cho Đ nh lí 3 không ph i là duy nh t, các b n có th tham kh o cách ch ng minh b ng hình h c khá hay c a G.H.Hardy ho c dùng đ nh lí Pick, chi ti t các b n có th tham kh o [1]. Đ nh lí 5. T ng c a các t s b ng m t n a t ng các m u s trong chu i Farey b c n. Ch ng minh Đ u tiên ta ch ng minh m t b đ . h k−h B đ 2. N u là m t ph n t c a chu i Fn thì cũng là m t ph n t c a chu i. k k Ch ng minh h h Do (h, k) = 1 và 0 ≤ ≤ 1 nên (k − h, k) = 1 và 0 ≤ 1 − ≤ 1. Ta có đpcm. k k Quay l i bài toán, kí hi u là t ng c a t t c các ph n t c a chu i Fn . Áp d ng B đ 2, ta có h= (k − h) nên 2 h= k. Đây là chính là k t qu c a Đ nh lí 5. n Đ nh lí 6. T ng c a các ph n t c a chu i Farey Fn b ng 2 Ch ng minh h h Theo B đ 2, ta có k = 1− k nên h 2 = 1=n k Đây là đi u ph i ch ng minh. 1 Đ nh lí 7. Trong chu i Farey b c n Fn , m u s c a phân s li n trư c và li n sau phân s 2 b ng s nguyên l l n nh t không vư t quá n. Ch ng minh h 1 G i là phân s li n trư c trong Fn , khi đó k − 2h = 1 nên k l . Theo Đ nh lí 3, ta có k 2 k + 2 > n nên k ≥ n − 1, mà k ≤ n nên k là s nguyên l lơn nh t không vư t quá n. C-M r ng Phân s Farey và Phi hàm Euler Trong ph n trư c, ta đã làm quen v i m t s tính ch t cơ b n c a phân s Farey, v n đ đ t ra đây là có bao nhiêu phân s Farey trong m t chu i Farey b c n? Chúng ta xu t phát t m t nh n xét đơn gi n: Do t t c các phân s Farey đ u d ng t i gi n, nên v i m t m u s b cho trư c, s t s nh hơn b và nguyên t cùng nhau v i b là φ(b), g i là Phi-hàm Euler. (Chi ti t v các tính ch t cũng như các phép ch ng minh c a Phi-hàm Euler, các b n có th tham kh o [3].) Ta có th s d ng tính ch t này cho m i nguyên t 2 đ n n. Do đó ta có th tính đư c s phân s có trong 0 1 Fn (k c hai phân s cơ s 1 và 1 ) là N = 2 + φ(2) + φ(3) + · · · + φ(n)
  14. T p chí Toán h c MathVn S 02-2009 Ta có th tính đư c φ(n) v i n > 1 qua công th c 1 φ(n) = n 1− p p|n Ví d khi n = 7 ta có N = 2 + φ(2) + φ(3) + · · · + φ(7) = 2 + 1 + 2 + 2 + 4 + 2 + 6 = 19 Đúng v i k t qu trong b ng ph n Đ nh nghĩa. Ví d ta có th tính khi n = 100 thì N = 3045. Do φ(x) luôn là s ch n ngo i tr trư ng h p x = 1, 2 nên ta có N = 2 + φ(2) + φ(3) + · · · + φ(n) 1 luôn là m t s l . Do đó s phân s cách đ u 2 luôn b ng nhau. Đây là m t cách ch ng minh khác cho B đ 2. V i n r t l n thì vi c tính N tr nên khó khăn hơn r t nhi u. Nhưng nh m t tính ch t c a Phi hàm Euler ta có th tính toán d dàng hơn: 3n2 φ(1) + φ(2) + · · · + φ(n) ≈ π2 Do đó 3n2 N ≈1+ π2 Giá tr x p x này s ngày càng chính xác hơn khi giá tr c a n tăng. Ví d v i n = 100, theo 2 công th c trên ta tính đư c N = 1 + 3.100 ≈ 3040, 635... trong khi giá tr chính xác c a N là 3045. π2 Ta có th l p b ng tính như sau: S PH N T C A CHU I FAREY n φ(n) N = 1 + φ(n) 1 + 3n2 /π 2 1 1 2 1,30 2 1 3 2,22 3 2 5 3,74 4 2 7 5,86 5 4 11 8,60 6 2 13 11,94 7 6 19 15,90 8 4 23 20.46 9 6 29 25,62 10 4 33 30,40 15 8 73 69,39 25 20 201 190,98 50 20 775 760,91 100 40 3045 3040,63 200 80 12233 12159,54 300 80 27399 27357,72 400 160 48679 48635,17 500 200 76115 75991,89
  15. T p chí Toán h c MathVn S 02-2009 Phân s Farey và đư ng tròn Ford M t trong nh ng m r ng liên quan đ n hình h c c a phân s Farey là đư ng tròn Ford. p Đ nh nghĩa. Xét h tr c t a đ Oxy. V i m i phân s t i gi n q n m trên tr c Ox, ta d ng p 1 các đư ng tròn ti p xúc v i Ox t i đi m đó, tâm có t a d là q , 2q 2 , đư c g i là đư ng tròn Ford, kí hi u C(p, q). M t s hình nh đ p c a đư ng tròn Ford sau khi đư c cách đi u
  16. T p chí Toán h c MathVn S 02-2009 Ta có m t r t cơ b n sau c a đư ng tròn Ford: Tính ch t 1. Hai đư ng tròn Ford C(h, k) và C(h , k ) ho c ti p xúc v i nhau, ho c n m ngoài nhau. Đi u ki n đ hai đư ng tròn này ti p xúc là |hk − h k| = 1. Ch ng minh G i D là kho ng cách gi a tâm c a 2 đư ng tròn. r, R tương ng là bán kính c a đư ng tròn C(h, k), C(h , k ). Khi đó ta có 2 1 1 (r + R)2 = + 2k 2 2k 2 Xét hi u s D2 − (r + R)2 : 2 2 2 h h 1 1 1 1 (hk − h k)2 − 1 D2 − (r + R)2 = − + 2 − − + = ≥0 k k 2k 2k 2 2k 2 2k 2 k2 k 2 D u đ ng th c x y ra khi và ch khi |hk − h k| = 1. T tính ch t này ta d dàng th y đư c b t c hai phân s Farey liên ti p nào đư c bi u di n trên h tr c t a đ cũng có hai đư ng tròn Ford ti p xúc v i nhau. Ta có m t ví d minh h a sau v i chu i Farey b c 7. Tính ch t 2. Gi s h < k h k < h k là ba ph n t liên ti p c a Fn . Khi đó C(h, k) và C(h , k ) ti p xúc v i nhau t i đi m h k 1 A1 = − , 2 + k 2 ) k2 + k 2 k k (k
  17. T p chí Toán h c MathVn S 02-2009 và C(h , k ) và C(h , k ) ti p xúc v i nhau t i đi m h k 1 A2 = + , 2 + k 2) k 2 + k 2 k k (k Ch ng minh Kí hi u đ dài các đư ng như trong hình v . Áp d ng đ nh lí Thales ta có 1 a 2k2 b h = 1 1 = 1 1 k −hk 2k 2 − 2k2 2k 2 − 2k2 Do đó k k2−k 2 a= ,b = k (k 2 +k 2) 2k 2 (k 2 + k 2 ) T a đ đi m A1 = (x1 , y1 ), trong đó h h k h 1 1 1 x1 = −a= − 2 + k 2) , y1 = + 2 − 2 −b= 2 2 k k k (k k 2k 2k k +k Tương t ta cũng tính đư c to đ c a A2 . K t thúc bài vi t, tôi xin nêu ra m t s bài t p đ các b n luy n t p thêm. Bài t p 1. Hai phân s a và d đư c g i là đ ng b c n u (c − a)(d − b) ≥ 0. Ch ng minh r ng b c b t kì hai ph n t liên ti p nào c a chu i Farey b c n cũng đ ng b c. a c Bài t p 2. Cho a, b, c, d là các s nguyên dương th a mãn b < d và λ, γ là các s nguyên dương. Ch ng minh r ng λa + γc θ= λb + γd a c n m gi a hai phân s b, d và (c − dθ)(θb − a) = λ . Khi λ = γ, θ chính là trung bình c a γ a c b , d. a Bài t p 3. (Hurwitz) Cho m t s vô t θ, khi đó t n t i vô s phân s h u t b sao cho a 1 θ−
  18. T p chí Toán h c MathVn S 02-2009 Tài li u tham kh o [1] G. H. Hardy and E. M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, Fifth Edition, Oxford Science Publications, 1996. [2] J. H. Conway and R. K. Guy, The Book of Numbers, Springer-Verlag, NY, 1996. [3] David M, Burton, Elementary number theory, 6th Edition, Mc Graw Hill, 2007. [4] A. H. Beiler, Recreations in the Theory of Numbers, Dover, 1966 [5] Apostol, T. M. , Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, 1997. [6] Ford, L. R, Fractions, Amer. Math. Monthly 45, 586-601, 1938. [7] Weisstein, Eric W, Ford Circle, From MathWorld–A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/FordCircle.html
  19. T p chí Toán h c MathVn S 02-2009 Bài vi t Chuyên đ MathVn Câu chuy n nh v m t đ nh lý l n Hoàng Qu c Khánh - L p 12A10 THPT Chuyên Vĩnh Phúc, T nh Vĩnh Phúc A - Sơ lư c v đ nh lí Pascal và phép ch ng minh M t đ nh lí đư c Descartes kh ng đ nh là bao hàm đư c c b n cu n sách đ u c a Apolonius, t t nhiên là m t đ nh lí l n, đó chính là đ nh lí Pascal. Đ nh lí Pascal ch c không còn quá xa l v i nh ng b n yêu toán và đ c bi t là yêu thích hình h c và bài vi t này ch là m t tìm tòi nh c a tác gi đ c p đ n nh ng ng d ng c a đ nh lí tuy t mĩ y trong toán ph thông. Đ nh lí Pascal t ng quát đư c phát bi u cho các đư ng cônic trong m t ph ng x nh nhưng đây chúng ta s ch đ c p đ n m t trư ng h p đ c bi t c a nó, đó là v i đư ng tròn trong m t ph ng, c th như sau: Đ nh lí. Cho sáu đi m b t kì A, B, C, A , B , C cùng thu c m t đư ng tròn (O). Khi đó giao đi m n u có c a t ng c p đư ng th ng (AB , A B), (BC , B C), (CA , C A) s th ng hàng. Ch ng minh (Jan van Yzeren) Đây là m t đ nh lí đ p và cũng có r t nhi u ch ng minh đ p cho nó (Các b n có th xem thêm [1], [2], [3], [4]) đây tác gi s ch trình bày m t ch ng minh khá thú v và ít quen bi t, ch ng minh này có s d ng m t b đ sau: B đ . Cho hai đư ng tròn phân bi t c t nhau A và B. Hai đi m C, E thu c đư ng tròn th nh t, hai đi m D, F thu c đư ng tròn th hai sao cho C, A, D th ng hàng; E, B, F th ng hàng. Th thì: CE//DF . Ch ng minh b đ Nh n th y: (CE, CA) ≡ (BE, BA) ≡ (BF, BA) ≡ (DF, DA) (modπ) Suy ra CE//DF . Tr l i ch ng minh đ nh lí:
  20. T p chí Toán h c MathVn S 02-2009 G i giao đi m c a t ng c p đư ng th ng (AB , A B), (BC , B C), (CA , C A) l n lư t là M, N, P . G i (O ) là đư ng tròn đi qua C, P, C . B C và BC c t l i (O ) tương ng Q, T . S d ng b đ trên ta có: AB //QP nên M B //QP (1); BB //T Q (2); BA //P T nên BM//P T (3). T (1), (2) và (3) suy ra t n t i m t phép v t bi n tam giác BM B thành tam giác T P Q Do đó: BT, M P, B Q đ ng quy t i tâm v t y. Nói cách khác BC , B C và M P đ ng quy. T đây suy ra đi u c n ch ng minh. B-M ts ng d ng c a đ nh lí Pascal trong hình h c sơ c p I. ng d ng c a đ nh lí Pascal v i sáu đi m phân bi t Chúng ta cùng b t đ u v i m t bài toán khá quen thu c: Bài toán 1. Cho tam giác ABC n i ti p đư ng tròn (O). G i A , B , C l n lư t là các đi m chính gi a c a các cung BC, CA, AB không ch a A, B, C c a (O). Các c nh BC, CA, AB c t các c p đo n th ng C A và A B ; A B và B C ; B C và C A l n lư t các c p đi m M và N ; P và Q; R và S. Ch ng minh r ng M Q, N R, P S đ ng quy. L i gi i

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản