TOÁN KINH TẾ - HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

Chia sẻ: quanghoa25

1.2. Điều kiện tồn tại nghiệm: • Định lý (Định lý Kronecker – Capelli): Hệ phương trình tuyến tính (1) có nghiệm khi và chỉ khi hạng của ma trận A bằng hạng của ma trận bổ sung .

Bạn đang xem 10 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: TOÁN KINH TẾ - HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

C2. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

1
1 Các khái niệm

2
2 HPTTT Crame

3
3 Phương pháp Gauss

4
4 HPTTT Thuần nhất

4
4 Một số ứng dụng



1
I. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
I.1. Dạng tổng quát hệ phương trình tuyến tính:
1. Định nghĩa: là một hệ phương trình đại số bậc nhất
gồm m phương trình n ẩn có dạng:
 a x1 + a x 2 + =
... a1n xn b1 xj là biến
 11 12
 a21x1 + a22 x 2 + ... a2n xn = b2 aij được gọi là

... hệ số (của ẩn)
... ... ... ...

a x + a x + ... amn xn = bm bi: được gọi là
 m1 1 m2 2
hệ số tự do



2
I. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
 a11 a12 ... a1n 
 a21 a22 ... a2n 
2. Ma trận các hệ số: A =  
... ... ... ...
 
am1 am2 ... amn 
 
3. Ma trận cột của ẩn và ma trận cột của hệ số tự
do:
 x1  b1 
x  b 
 2  = [ x1 x 2 ... xn ] T B =  2  = [ b1 b2 ... bm ] T
X=
...  ... 
 
 xn  bm 
Hệ phương trình (1) có thể viết: AX = B
3
I. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
4. Ma trận bổ sung:
 a11 a12 ... a1n b1 
a a2n b2 
a22 ...
 21 
A=
 ... ... ... 
... ...
 
am1 am2 ... amn bm 




4
I. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
1.2. Điều kiện tồn tại nghiệm:
• Định lý (Định lý Kronecker – Capelli): Hệ phương
trình tuyến tính (1) có nghiệm khi và chỉ khi hạng của ma
trận A bằng hạng của ma trận bổ sung .
Ví dụ: Xác định tham số a để phương trình có nghiệm:
ax1 + x 2 + x3 = 1

x1 + ax 2 + x3 = 1
x + x + ax = 1
1 2 3



5
II.HỆ PHƯƠNG TRÌNH CRAME
2.1. Định nghĩa: Hệ phương trình Crame là một hệ
phương trình tuyến tính n phương trình, n ẩn và định
thức của ma trận hệ số khác không.
2.2. Định lý Crame: Hệ phương trình Crame có nghiệm
duy nhất tính bằng công thức X = A-1B, tức là:
det( A j )
xj =
det( A )
Trong đó Aj là ma trận thu được từ A bằng cách thay cột
thứ j bằng cột các phần tử tự do.

6
II.HỆ PHƯƠNG TRÌNH CRAME
Ví dụ: Giải hệ phương trình:
 x1 + 2x 3 = 6

− 3 x1 + 4 x 2 + 6 x3 = 30
 − x − 2x + 3 x = 8
 1 2 3




7
III.PHƯƠNG PHÁP GAUSS
3.1. Định nghĩa: Hệ phương trình tuyến tính có số
phương trình và số ẩn khác nhau hoặc định thức ma trận
các hệ số bằng không.
3.2. Phương pháp: Sử dụng các phép toán sơ biến ma
trận bổ sung về dạng ma trận bậc thang.
 a11 a12 ... a1n b1 
a ... a2n b2 
a22
 21 
A=
 ... 
... ... ...
 
am1 am2 ... amn bm 

8
III.PHƯƠNG PHÁP GAUSS
• m = n:
a'11 a'12 ... a'1n b'1 
 0 a' ... a'2n b'2 
 
22
A→
 ... 
... ... ...
 
0 0 ... a'nn b'm 


a11x1 + a12 x 2 + ... a1n xn = b'1
' ' '

a'22 x 2 + ... a'2n xn = b'2


... ... ... ... ...

 '
... ann xn = b'n

9
III.PHƯƠNG PHÁP GAUSS
Ví dụ: Giải hệ phương trình:
2x1 + 4 x 2 + 3 x3 = 4

3 x1 + x 2 − 2x3 = − 2
4 x + 11x + 7 x = 7
1 2 3




10
IV.HỆ PTTT THUẦN NHẤT
4.1. Định nghĩa:
 a x1 + a x 2 + a1n xn =0
...
 11 12
 a21x1 + a22 x 2 ... + a2n xn =0

 ... ... ... ...
a x + a x ... + amn xn =0
 m1 1 m2 2
Hệ luôn có nghiệm tầm thường
0 
0 
  = [ 0 0 ... 0] T
X=
...
0 
 11
IV.HỆ PTTT THUẦN NHẤT
4.2. Phương pháp giải:
Trường hợp 1: Nếu rankA = n, hệ phương trình chỉ có
nghiệm tầm thường.
Trường hợp 2: Nếu rankA = k < n thì hệ phương trình
tuyến tính thuần nhất có vô số nghiệm, phụ thuộc n-k
tham số.
Ví dụ:
 x1 + 2x 2 + 4 x3 − 3x 4 = 0
3 x + 5 x + 6 x3 − 4x 4 = 0
1 2

4 x1 + 5 x 2 − 2x3 + 3 x3 = 0
3 x1 + 8 x 2 + 24 x3 − 19 x 4 = 0
 12
IV.HỆ PTTT THUẦN NHẤT
4 − 3
4 − 3 −3H1+H2  1 2
1 2
 − 4H1+H3 0 − 1 − 6 5
3 6 − 4 −3H1+H4 
5 
    →
0 − 3 − 18 15 
5 −2
4 3
0 12 − 10 
3 
8 24 − 19  2
 

2H2 +H1
0 −8 7 
1
−3H2 +H3
2H2 +H4
0 1 6 − 5
−H2
   → 

0 0
00
0 0
00
 
13
IV.HỆ PTTT THUẦN NHẤT
RankA = 2, số ẩn là 4 nên hệ phương trình có vô số
nghiệm phụ thuộc vào 2 tham số X1, X2.
 x1 − 8 x3 + 7 x 4 = 0

x 2 + 6 x 3 + − 5 x 4 = 0

 x1 = 8 x3 − 7 x 4

x 2 = − 6 x 3 + 5 x 4




14
IV.HỆ PTTT THUẦN NHẤT
4.3. Hệ nghiệm cơ bản: Giả sử rankA = k < n. Ta có hệ
có vô số nghiệm phụ thuộc n-k tham số. Giả sử n-k tham
số đó là xk+1, … xn.
x1 x2 ... xk xk+1 xk+2 … xn
c11 c12 … c1k 1 0 ... 0
c11 c12 … c1k 0 1 ... 0
... ... ... ...
cn-k,1 cn-k,2 … cn-k,k 0 0 ... 1
Hệ này được gọi là hệ nghiệm cơ bản của hệ phương
trình tuyến tính thuần nhất.
15
IV.HỆ PTTT THUẦN NHẤT
Áp dụng: Sử dụng ví dụ trên ta tìm được hệ nghiệm
cơ bản như sau:
x1 = 8x3 – 7x4 x2 = -6x3 + 5x4 x3 x4
8 -6 1 0
-7 5 0 1




16
V.MỘT VÀI ỨNG DỤNG
5.1. Mô hình cân bằng thị trường:
1. Thị trường 1 loại hàng hóa:
Hàm cung : Qs = -a0 + a1P
Hàm cầu : Qd = b0 - b1P
ai,bi ≥ 0, P giá sản phẩm
• Mô hình cân bằng: Qs = Qd => (a1+b1)P = (a0+b0)
Ví dụ: Một sản phẩm trên thị trường có các thông tin:
Hàm cung : Qs = -1 + P
Hàm cầu : Qd = 3 - P
17
V.MỘT VÀI ỨNG DỤNG
2. Thị trường 2 loại hàng hóa:
• Sản phẩm 1:
Qs1 = a10 + a11P1 + a12P2
Qd1 = b10 + b11P1 + b12P2
• Sản phẩm 2:
Qs2 = a20 + a21P1 + a22P2
Qd2 = b20 + b21P1 + b22P2

Qs1 = Qd1

Mô hình cân bằng: 
Qs2 = Qd2

18
V.MỘT VÀI ỨNG DỤNG
• Hệ phương trình cân bằng:
(a11 − b11)P1 + (a12 − b12 )P2 = −(a10 − b10 )

(a21 − b21)P1 + (a22 − b22 )P2 = −(a20 − b20 )
c11P1 + c12P2 = −c10

c 21P1 + c 22P2 = −c 20
Ví dụ: Thị trường có 2 sản phẩm như sau:
• Sản phẩm 1: Qs = − 2 + 3P1
1
Qd1 = 10 − 2P1 + P2
• Sản phẩm 2: Qs2 = − 1 + 2P1
Qd2 = 15 + P1 − P2 19
V.MỘT VÀI ỨNG DỤNG
3. Thị trường n loại hàng hóa:
• Sản phẩm i:
Qsi = ai0 + ai1P1 + ai2P2 + ... + ainPn


Qdi = bi0 + bi1P1 + bi2P2 + ... + binPn

• Hệ phương trình cân bằng: cij = (aij – bij)
c11P1 + c12P2 + ... + c1nPn = −c10
c P + c P + ... + c P = −c
 21 1 22 2 2n n 20

.......... .......... .......... .......... .........
cn1P1 + c n2P2 + ... + cnnPn = −cn0

20
V.MỘT VÀI ỨNG DỤNG
Ví dụ: Giả sử thị trường có 3 sản phẩm:
Qs1 = 8 − 2P1 + P2 + P3


Qd1 = −5 + 4P1 − P2 − P3

Qs2 = 10 + P1 − 2P2 + P3


Qd2 = −2 − P1 + 4P2 − P3

Qs3 = 14 + P1 + P2 − 2P3


Qd3 = −1 − P1 − P2 + 4P3


21
V.MỘT VÀI ỨNG DỤNG
5.2.Mô hình cân đối liên ngành (I/O):
Giả sử một quốc gia có nhiều ngành sản xuất
Tổng cầu ngành:
- Cầu trung gian: sản phẩm dịch vụ hàng hoá ngành này là
yếu tố đầu vào phục vụ ngành khách.
- Cầu tiêu dùng và xuất khẩu (cầu cuối cùng): phục vụ
cho hộ gia đình, chính phù và xuất khẩu.




22
V.MỘT VÀI ỨNG DỤNG
xi : tổng cầu của ngành I
xịj : là giá trị sản phẩm hàng hóa, dịch vụ của ngành I mà
ngành j làm yếu tố đầu vào.
bi : giá trị sản phẩm hàng hóa dịch vụ ngành i cho tiêu dùng
và xuất khẩu.
Tổng cầu của ngành i:
xi = xi1 + xi2 + ... + xin + bi
xi1 x i2 xin
xi = x1 + x 2 + ... + xn + bi
x1 x2 xn



23
V.MỘT VÀI ỨNG DỤNG
x1 = a11x1 + a12 x 2 + ... + a1n xn + b1
x = a x + a x + ... + a x + b
xij 2 21 1 22 2 2n n 2
Đặt: aij = 
.......... .......... .......... .......... .......... ....
xi
xn = an1x1 + an2 x 2 + ... + ann xn + bn


(1 − a11)x1 − a12 x 2 − ... − a1n xn = b1
− a x + (1 − a )x − ... − a x = b
 21 1 22 2 2n n 2

.......... .......... .......... .......... .......... ....
− an1x1 − an2 x 2 − ...(1 − ann )xn = bn

24
V.MỘT VÀI ỨNG DỤNG
 a11 a12 ... a1n 
a21 a22 ... a2n 
= >(I − A )X = B
A= 
 ... ... ... ...

 an1 am2 ... ann 
 

• A: ma trận hệ số kỹ thuật hay ma trận chi phí trực tiếp
• aij: hệ số chi phí cho nhập lượng hay hệ số kỹ thuật
• Dòng i: giá trị sản phẩm ngành i bán cho mỗi ngành
• Cột j: giá trị sản phẩm ngành j mua mỗi ngành để sử
dụng
• [I-A] là ma trận Leontief.
25
V.MỘT VÀI ỨNG DỤNG
 a11 a12 ... a1n 
a21 a22 ... a2n 
= >(I − A )X = B
A= 
 ... ... ... ...

 an1 am2 ... ann 
 

• A: ma trận hệ số kỹ thuật hay ma trận chi phí trực tiếp
• aij: hệ số chi phí cho nhập lượng hay hệ số kỹ thuật
• Dòng i: giá trị sản phẩm ngành i bán cho mỗi ngành
• Cột j: giá trị sản phẩm ngành j mua mỗi ngành để sử
dụng
• [I-A] là ma trận Leontief.
26
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản