Toán xác suất_ Chương 4

Chia sẻ: Truong An | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:8

0
125
lượt xem
83
download

Toán xác suất_ Chương 4

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo Môn kinh tế lượng, toán xác suất thống kê_ Chương " Lẫy mẫu và phân phối mẫu" dành cho sinh viên chuyên ngành kinh tế.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Toán xác suất_ Chương 4

  1. CHÖÔNG 4 LAÁY MAÃU VAØ PHAÂN PHOÁI MAÃU (Sampling and Sampling Distribution) 4.1. LAÁY MAÃU TÖØ TAÄP HÔÏP CHÍNH (Sampling from a Population) 4.1.1. Taäp hôïp chính (Population) Taäp hôïp chính laø taäp hôïp taát caû caùc ñoái töông maø ta quan taâm nghieân cöùu trong moät vaán ñeà naøo ñoù. Soá phaàn töû cuûa taäp hôïp chính ñöôïc kyù hieäu laø N. • Neáu N laø soá höõu haïn ta coù taäp hôïp chính höõu haïn (finite population) • Neáu N laø soá voâ haïn ta coù taäp hôïp chính voâ haïn (infinite population) 4.1.2. Maãu (Sample) Maãu laø taäp hôïp con cuûa taäp hôïp chính. Soá phaàn töû cuûa maãu ñaõ kyù hieäu laø n vaø ñöôïc goïi laø côõ maãu. 4.1.3. Laáy maãu ngaãu nhieân ñôn giaûn (Simple Random Sampling) Ñoù laø caùch choïn n phaàn töû töø taäp hôïp chính goàm N phaàn töû sao moãi toå hôïp trong C n toå N hôïp ñeàu coù cuøng khaû naêng ñöôïc choïn nhö nhau. Keát quaû cuûa vieäc choïn naøy cho ta caùc maãu ngaãu nhieân (random sample). Vieäc laáy maãu ngaãu nhieân coù theå tieán haønh theo caùch laáy maãu khoâng hoaøn traû laïi (sampling without replacement) hay theo caùch laáy maãu coù hoaøn traû laïi (sampling with replacement). 4.1.4. Phaân phoái maãu (Sampling Distribution) Caùc maãu ñeàu coù caùc ñaëc tröng thoáng keâ cuûa maãu nhö soá trung bình X, phuông sai S2 . x Phaân phoái xaùc suaát cuûa caùc ñaëc tröng thoáng keâ cuûa maãu ñöôïc goïi laø phaân phoái maãu. Trong chöông naøy ta khaûo saùt phaân phoái maãu cuûa X , S2 . x Suy dieãn thoáng keâ (Statistic Inference) Döïa vaøo caùc ñaëc tröng thoáng keâ cuûa maãu ta coù theå suy roäng ra cho caùc ñaëc tröng thoáng keâ cuûa taäp hôïp chính. 4.2. PHAÂN PHOÁI MAÃU CUÛA SOÁ TRUNG BÌNH CUÛA MAÃU X (Sampling Distribution of the Sample Mean) Phaân phoái maãu cuûa soá trung bình cuûa maãu laø phaân phoái xaùc suaát cuûa ñaïi löôïng X 4.2.1. Kyø voïng cuûa soá trung bình maãu E ( X ) Giaû söû taäp hôïp chính coù N phaân töû, coù trung bình laø µx vaø phöông sai laø σ 2 . Ta coù: x Gv. Cao Haøo Thi
  2. N ∑ Xi i =1 µx = N N ∑ ( X i − µ) 2 2 i =1 σx = N Goïi X1, X2 ... Xn laø maãu ngaãu nhieân coù côõ maãu laø n, ñöôïc choïn töø taäp hôïp chính. Soá trung bình cuûa maãu laø : 1 X= ∑ Xi n • Kyø voïng cuûa soá trung bình maãu cuûa soá trung bình maãu E ( X ) laø giaù trò trung bình cuûa taäp hôïp chính µx. Noùi caùch khaùc, phaân phoái maãu cuûa X coù soá trung bình laø µx. E( X ) = µx Thí duï: Giaû söû taäp hôïp chính goàm 5 hoïc sinh coù soá tuoåi laø 2, 4, 6, 8 vaø 10. Trong tröôøng hôïp naøy soá trung bình cuûa taäp hôïp chính seõ laø µx = 1/5(2+4+6+8+10) = 6 Giaû söû laáy maãu ngaãu nhieân khoâng hoaøn laïi vôùi côõ maãu laø 2. Ta seõ coù C 5 = 10 maãu khaùc 2 nhau (vôùi côõ maãu laø 2). Vaø moãi maãu seõ coù soá trung bình cuûa maãu X nhö sau : Sample 2,4 2,6 2,8 2,10 4,6 4,8 4,10 6,8 6,10 8,10 X 3 4 5 6 5 6 7 7 8 9 Phaân phoái maãu cuûa soá trung bình X laø : (Phaân phoái xaùc suaát cuûa ñaëc tröng thoáng keâ cuûa maãu X Sample 3 4 5 6 7 8 9 10 X 0.1 0.1 0.2 0.2 0.2 0.1 0.1 0.1 Kyø voïng cuûa X E( X ) = Σ X * p( X ) = 3 * 0.1 + 4 * 0.1 + 5 * 0.2 + 6 * 0.2 + 7 * 0.2 + 8 * 0.1 + 9 * 0.1 E( X ) = 6 = µx 4.2.2. Phöông sai cuûa soá trung bình maãu ( σ 2 ) X Tröôøng hôïp taäp hôïp chính voâ haïn (Infinite Polulation) 2 Phöông sai cuûa soá trung bình maãu X ñöôïc kyù hieäu laø σx 2 Gv. Cao Haøo Thi
  3. σ2 Var ( X ) = σ2 = x x Ñuùng khi n < N n 2 Vôùi σx laø phöông sai cuûa taäp hôïp chính, n laø côõ maãu. 2 σ2 N − n Var ( X ) = σx = x ( ) n N −1 Tröôøng hôïp taäp hôïp chính höõu haïn (Finite Population) Thí duï: Tính phöông sai cuûa X trong thí duï treân Phöông sai cuûa taäp hôïp chính 2 σx = E[(Xi - µx)² = Σ(xi - µx)² * P(Xi) µx = 6; P(Xi) = 1/5 = 1/5[(2-6)² + (4 - 6)² + (6 -6 )² + (8-6)² + (10 - 6)²] 2 σx = 8 Phöông sai cuûa X tính töø ñònh nghóa Var ( X ) = E [( X - E( X ))2] = E [( X - 6)2] vì E ( X ) = µx = 6 = [(3-6)2 * 0.1 + (4-6)2 * 0.1 + (5-6)2 * 0.2 + (6-6)2 * 0.2 + (7-6)2 * 0.2 +( 8-6)2 * 0.1 + (9-6)2 * 0.1] 2 Var ( X ) = σx = 3 Neáu aùp duïng coâng thöùc : σ2 N − n 8 5 − 2 x Var ( X ) = σ2 = X * = * = 3 n N −1 2 5 −1 4.2.3. Ñoä leäch chuaån cuûa soá trung bình maãu ( σ X ) Ñoä leäch chuaån cuûa X ñöôïc kyù hieäu ( σ X ) σx σx = σ2 x = Ñoái vôùi taäp hôïp chính voâ haïn n hay σx N −n σx = * Ñoái vôùi taäp hôïp chính höõu haïn n N−1 σ x ñöôïc xem nhö sai soá chuaån (Standard Error) cuûa soá trung bình maãu X . 4.2.4. Laáy maãu töø taäp hôïp chính tuaân theo phaân phoái chuaån (Sampling From Normal Population) Luaät phaân phoái cuûa soá trung bình maãu X 3 Gv. Cao Haøo Thi
  4. Neáu taäp hôïp chính cuûa bieán X tuaân theo phaân phoái chuaån vôùi soá trung bình laø µx vaø phöông sai σx thì soá trung bình maãu X seõ tuaân theo phaân phoái chuaån vôùi soá trung trình laø µx vaø phöông sai laø σ 2 / n . x σ2 X ~ N(µ X ,σ 2 ) x ==> X ~ N (µ X , X ) n 4.2.5. Chuaån hoùa soá trung bình maãu X X − µX Ñaët : Z = σX Neáu X coù soá trung bình laø µx vaø phöông sai laø σ2 thì Z coù soá trung bình laø 0 vaø X phöông sai laø 1. ( Neáu X ~ N µ x , σ2 X ) ==> Z ~ N(0,1) 4.2.6. Ñònh lyù giôùi haïn trung taâm (Central Limit Theorem) X−µ X Khi n lôùn thì Z = seõ gaàn ñuùng coù phaân phoái chuaån chuaån hoùa hay X coù phaân σX n 2 phoái chuaån vôùi soá trung bình hoaù laø µx phöông sai σ x n  σ2  Khi n lôùn ==> Z ~ N(0, 1) hay X ~ N  µ X , X   n  Thí duï : Chieàu daøi cuûa caùc caây thöôùc keû trong daây chuyeàn saûn xuaát thöôùc tuaân theo phaân phoái chuaån vôùi µ = 30cm. Ñoä leäch chuaån xung quanh soá trung trung bình laø δ = 0.1cm. Nhaân vieân thanh tra laáy maãu vôùi côõ maã n = 4 vaø nhaän thaáy soá trung bình cuûa maãu laø X = 29875cm. Tìm xaùc suaát ñeå soá trung bình cuûa maãu nhoû hôn hoaëc baèng 29875cm. Giaûi :     X −30  29875−30  ( P X 〈 29875 = P  )  ≤ 0.1       4    n  = P (Z ≤ - 350) = 0.062 Thí duï : Moät nhaø saûn xuaát phuï tuøng xe oâtoâ cho bieát tuoåi thoï cuûa phuï tuøng xe tuaân theo luaät phaân phoái chuaån vôùi soá trung bình laø 36,000 daëm vaø ñoä leäch chuaån laø 4,000 daëm. Ñoái vôùi moät 4 Gv. Cao Haøo Thi
  5. maãu ñöôïc choïn moät caùch ngaãu nhieân vôùi côõ maãu laø 16 thì tuoåi thoï trung bình cuûa maãu laø 34,500 daëm. Neáu nhaø saûn xuaát noùi ñuùng thì xaùc suaát ñeå soá trung bình maãu nhoû hôn hoaëc baèng giaù trò cuûa maãu ñaõ ño laø bao nhieâu. Giaûi :     ( P X 〈 34,500 = P) X − µ X 〈 34,500 − 36,000   σ 4000   X   16  = P (Z < -1.5) = 0.0668 Thí duï: Giaû söû taäp hoïp chính tuaân theo phaân phoái chuaån vôùi soá trung bình laø 40 vaø phöông sai laø 100. fx(x) 20 40 60 Giaù trò cuûa bieán X Phaân phoái xaùc suaát chuaån vôùi µ = 40, σ 2 = 100 Laáy 1,000 maãu ngaãu nhieân vôùi côõ maãu 5. Goïi X laø soá trung bình cuûa maãu. X tuaân theo σ2 100 phaân phoái vôùi soá trung bình laø µ = 40 phöông sai = = 20 . n 5 Laáy 1,000 maãu ngaãu nhieân vôùi côõ maãu 10. Goïi laø soá trung bình cuûa maãu. X tuaân theo σ2 100 phaân phoái vôùi soá trung bình laø µ = 40, phöông sai = = 10 . n 10 N = 10 FX ( X ) N=5 X 20 40 60 Phaân phoái maãu cuûa X 5 Gv. Cao Haøo Thi
  6. Nhaän xeùt : Phöông sai cuûa phaân phoái maãu seõ giaûm khi côõ maãu taêng. 4.3. PHAÂN PHOÁI MAÃU CUÛA PHÖÔNG SAI MAÃU S2 . x (Sampling Distribution Of The Sample Variance) Phaân phoái maãu cuûa phöông sai maãu laø phaân phoái xaùc suaát cuûa phöông sai maãu S2 . x 4.3.1. Kyø voïng cuûa phöông sai maãu E ( S2 ) x Phöông sai maãu kyù hieäu laø S2x. 2 S2 X = 1 n ∑ X −X N − 1 I =1 i ( ) Kyø voïng cuûa phöông sai maãu E(S2x) chính laø phöông sai cuûa taäp hôïp chính δ 2 . Noùi caùch X khaùc, phaân phoái maãu cuûa ( S2 ) coù soá trung bình laø σ 2 . x X E( S2 ) = σ 2 x X Ñieàu kieän : n < < N 4.3.2. Phöông sai cuûa phöông sai maãu Phöông sai cuûa phöông sai maãu ñöôïc kyù hieäu Var( S2 ). x Var( S2 ) tuøy thuoäc vaøo luaät phaân phoái cuûa taäp hôïp chính. Neáu taäp hôïp chính tuaân theo x phaân phoái chuaån thì 2σ 4 X ( ) Var S 2 = X n −1 4.3.3. Phaân phoái χ2 (Chi - squared Distribution) Bieán ngaãu nhieân X2 tuaân theo luaät phaân phoái χ2 coù ñoä töï do laø ν (degree of freedom) neáu haøm maät ñoä xaùc suaát cuûa X2 coù daïng  2 ν −1 x2  1 x  2 −  *e 2    neáu x > 0 f X 2 ( x 2 ) =  2Γ  ν   2     2  0 neáu x ≤ 0 6 Gv. Cao Haøo Thi
  7. Ghi chuù : F(X²) ν1 < ν2 ν2 ∞ 2 1 x 2 2 −1 − x2 dx 2 v P( x , v ) = 2 ∫ ( ) e p( v / 2) 2 x2 0 χ2 Ngöôøi ta laäp baûng tính saün caùc giaù trò dieän tích P(x², ν) • Bieán ngaãu nhieân X tuaân theo luaät phaân phoái χ2 vôùi ñoä töï do laø ν ñöôïc kyù hieäu. X² ~ χ2v (n − 1)S2 x 4.3.4. Luaät phaân phoái cuûa = χ²n-1 σ2 x Ta coù: n 2 ∑ ( X i − X) (n − 1)S2 X²n-1= x = i =1 n : côõ maãu 2 σx σ X2 (n − 1)S2 x Neáu taäp hôïp chính tuaân theo luaät phaân phoái chuaån thì tuaân theo luaät phaân σ2 x phoái χ² vôùi ñoä töï do laø (n-1) (n − 1)S2 X ~ N(µx, σ 2 ) => x x ~ χ²n-1 σ2 x Thí duï : Moät nhaø saûn xuaát söõa hoäp muoán troïng löôïng trung bình cuûa caùc hoäp söõa saûn xuaát ra phaûi gaàn baèng troïng löôïng ñaõ ñöôïc quaûng caùo. Giaû söû phaân phoái troïng löôïng cuûa taäp hôïp chính tuaân theo phaân phoái chuaån. Neáu laáy ngaãu nhieân 20 hoäp ñem ñi kieåm tra. Tìm 2 soá K1 vaø K2 sao cho : S2 x a) P( < K 1 ) = 0.05 σ2 x S2 x b) P( > K 2 ) = 0.05 σ2 x 7 Gv. Cao Haøo Thi
  8. Giaûi : S2 x (n − 1)S2 x a. 0.05 = ( < K 1 ) = P[ < (n-1)K1] σ2 x σ2 x = P[χ²n-1 < (n-1) K1] Vôùi côõ maãu n =20 vaø χ²n-1 laø bieán ngaãu nhieân coù ñoä töï do n-1 = 19. Ta coù : 0.05 = P[χ²n-1 ( n − 1) K2] σx 2 σX 2 = P[χ²n-1 >(n-1)K2] 0.05= P[χ²19> 19K2] Tra baûng ta coù : 19K2 = 30.14 K2 = 1.586 YÙ nghóa : Vôùi saûn xuaát 5%, phöông sai cuûa maãu soá seõ lôùn hôn 58.6% phöông sai cuûa taäp hôïp chính. f(χ²19) 2 2 P( Sx >1.586 σ x = 0.05 Dieän tích 0.05 Dieän tích 0.05 0 10.12 30.14 χ²19 8 Gv. Cao Haøo Thi
Đồng bộ tài khoản