Tóm tắt lý thuyết Toán 12

Chia sẻ: buitrinhptit

Tham khảo tài liệu 'tóm tắt lý thuyết toán 12', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Bạn đang xem 10 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: Tóm tắt lý thuyết Toán 12

PHẦN MỘT: ÔN TẬP TÓM TẮT CHƯƠNG TRÌNH THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN
I- GIẢI TÍCH TỔ HỢP
1. Giai thừa : n! = 1.2...n
0! = 1
n! /(n – k)! = (n – k + 1).(n – k + 2) ... n
Nguyên tắc cộng : Trường hợp 1 có m cách chọn, trường hợp 2 có n cách chọn;
2.
mỗi cách chọn đều thuộc đúng một trường hợp. Khi đó, tổng số cách chọn là :
m + n.
Nguyên tắc nhân : Hiện tượng 1 có m cách chọn, mỗi cách chọn này lại có n
3.
cách chọn hiện tượng 2. Khi đó, tổng số cách chọn liên tiếp hai hiện tượng là : m
x n.
Hoán vị : Có n vật khác nhau, xếp vào n chỗ khác nhau. Số cách xếp : Pn = n !.
4.
n!
k
Tổ hợp : Có n vật khác nhau, chọn ra k vật. Số cách chọn : Cn =
5.
k!(n − k)!
Chỉnh hợp : Có n vật khác nhau. Chọn ra k vật, xếp vào k chỗ khác nhau số cách
6.
n!
: An = , A n = Cn.Pk
k k k

(n − k)!
Chỉnh hợp = tổ hợp rồi hoán vị
7. Tam giác Pascal :
C0
1 0
1 1 C1 C1
0
1
1 2 1 C2 C2 C2
0 1
2
1 3 3 1
C3 C3 C3 C3
0 1 2
3
1 4 6 4 1
C4 C4 C4 C4 C 4
0 1 2 3
4
Tính chất :
C0 = Cn = 1 Cn = Cn−k
,k
n n n

Cn−1 + Cn = Cn+1
k k k

8. Nhị thức Newton :
* (a + b)n = C0anb0 + C1an−1b1 + ...+ Cna0bn
n n n
a = b = 1 : ... C0 + C1 + ... + Cn = 2n
n n n

Với a, b ∈ {± 1, ± 2, ...}, ta chứng minh được nhiều đẳng thức chứa :
C0,C1 ,..., nCn
n n
* (a + x)n = C0an + C1an−1x + ...+ Cnxn
n n n
Ta chứng minh được nhiều đẳng thức chứa C0,C1 ,..., n bằng cách :
Cn
n n
- Đạo hàm 1 lần, 2 lần, cho x = ± 1, ± 2, ... a = ± 1, ± 2, ...
- Nhân với xk , đạo hàm 1 lần, 2 lần, cho x = ± 1, ± 2, ... , a = ± 1, ± 2, ...
±1 ±2 β

∫ hay ∫ ... hay ∫
- Cho a = ± 1, ± 2, ...,
α
0 0



T RANG 1
Chú ý :
* (a + b)n : a, b chứa x. Tìm số hạng độc lập với x : Ck a n −k b k = Kx m
n
Giải pt : m = 0, ta được k.
* (a + b)n : a, b chứa căn . Tìm số hạng hữu tỷ.
m r
k n −k
b = Kc d
k p q
Can

m/ p∈ Z
Giải hệ pt :  , tìm được k
r / q∈ Z
k k
Giải pt , bpt chứa A n ,Cn ...: đặt điều kiện k, n ∈ N* ..., k ≤ n. Cần biết đơn
*
giản các giai thừa, qui đồng mẫu số, đặt thừa số chung.
Cần phân biệt : qui tắc cộng và qui tắc nhân; hoán vị (xếp, không bốc), tổ hợp
*
(bốc, không xếp), chỉnh hợp (bốc rồi xếp).
Áp dụng sơ đồ nhánh để chia trường hợp , tránh trùng lắp hoặc thiếu tr ường
*
hợp.
Với bài toán tìm số cách chọn thỏa tính chất p mà khi chia trường hợp, ta thấy
*
số cách chọn không thỏa tính chất p ít trường hợp hơn, ta làm như sau :
số cách chọn thỏa p.
= số cách chọn tùy ý - số cách chọn không thỏa p.
Cần viết mệnh đề phủ định p thật chính xác.
Vé số, số biên lai, bảng số xe ... : chữ số 0 có thể đ ứng đ ầu (tính t ừ trái sang
*
phải).
Dấu hiệu chia hết :
*
- Cho 2 : tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8.
- Cho 4 : tận cùng là 00 hay 2 chữ số cuối hợp thành số chia hết cho 4.
- Cho 8 : tận cùng là 000 hay 3 chữ số cuối hợp thành số chia hết cho 8.
- Cho 3 : tổng các chữ số chia hết cho 3.
- Cho 9 : tổng các chữ số chia hết cho 9.
- Cho 5 : tận cùng là 0 hay 5.
- Cho 6 : chia hết cho 2 và 3.
- Cho 25 : tận cùng là 00, 25, 50, 75.
II- ĐẠI SỐ
b = c = 0
a + b = c ⇔ a = c – b; ab = c ⇔  b ≠ 0
1. Chuyển vế :

 a = c/ b
 a = bc
a2n+1 = b ⇔ a = 2n+1 b
a/b = c ⇔  ;
 b≠ 0
 b = a 2n
a 2n = b ⇔ a = ± 2n b, a = 2n b ⇔ 
a ≥0
 b = ±a
,a = logα b ⇔ b = α a
a= b ⇔ 
 a≥ 0




T RANG 2
b = 0,c > 0
 b> 0
a + b < c ⇔ a < c − b ; ab< c ⇔ 
 a < c/ b
 b< 0

 a > c/ b
2. Giao nghiệm :
x> a x< a
⇔ x > max{, b ;  ⇔ x < min{, b
a} a}

x> b x< b
p

Γ
x> a a < x < b(neá a < b)  p ∨ q
u
⇔ ⇔
;

 x< b Γ
VN(neá a ≥ b)
u q

Γ
Nhiều dấu v : vẽ trục để giao nghiệm.
3. Công thức cần nhớ :
a. : chỉ được bình phương nếu 2 vế không âm. Làm mất phải đặt điều kiện.
b ≥ 0 b ≥ 0
a = b⇔  , a ≤ b⇔ 
2 2
a = b 0 ≤ a ≤ b
b < 0 b ≥ 0
a ≥ b⇔  ∨
a ≥ 0 a ≥ b2

a. b (neáub≥ 0)
a,
ab =
− a. − b (neáub < 0)
a,
. : phá . bằng cách bình phương : a 2 = a2 hay bằng định nghĩa :
b.
a (neáu≥ 0)
a
a=
− a(neáu< 0)
a
b ≥ 0
a = b⇔  ; a = b ⇔ a = ±b
a = ± b
a ≤ b ⇔ −b ≤ a ≤ b
b ≥ 0
a ≥ b ⇔ b < 0hay 
a ≤ − b ∨ a ≥ b
a ≤ b ⇔ a2 − b2 ≤ 0
c. Mũ : y = ax , x ∈ R,y > 0,y ↑ neáu> 1 y ↓ neáu< a < 1.
a, 0
a0 = 1; a− m/ n = 1/ n am ; am.an = am+n
am / an = am−n ; (am)n = am.n ; an / bn = (a/ b)n
an.bn = (ab)n ; am = an ⇔ (m = n,0 < a ≠ 1 ∨ a =1
)



T RANG 3
m < n(neáu> 1)
a
, α = aloga α
am < an ⇔
m > n(neáu< a < 1)
0
d. log : y = logax , x > 0 , 0 < a ≠ 1, y ∈ R
α
y↑ nếu a > 1, y↓ nếu 0 < a < 1, α = logaa
loga(MN) = logaM + logaN ( ⇐ )
loga(M/N) = logaM – logaN ( ⇐ )
loga M 2 = 2loga M ,2loga M = loga M 2 (⇒)
logaM3 = 3logaM, logac = logab.logbc
1
logbc = logac/logab, logaα M = loga M
α
loga(1/M) = – logaM, logaM = logaN ⇔ M = N
0 < M < N(neáa > 1)
u
loga M < loga N ⇔
M > N > 0(neá 0 < a < 1
u )
Khi làm toán log, nếu miền xác định nới rộng : dùng điều kiện chặn lại, tránh
dùng công thức làm thu hẹp miền xác định. Mất log phải có điều kiện.
4. Đổi biến :
a. Đơn giản :
t = ax+ b∈ R, t = x2 ≥ 0, t = x ≥ 0,t = x ≥ 0,t = ax > 0,t = loga x ∈ R

N?u trong ?? bài có ?i?u ki?n c?a x, ta chuy?n sang ?i?u ki?n c?a t b?ng cách bi?n ??
i tr?c ti?p b?t ??ng th?c.
b. Hàm số : t = f(x) dùng BBT để tìm điều kiện của t. Nếu x có thêm điều kiện, cho
vào miền xác định của f.
c. Lượng giác : t = sinx, cosx, tgx, cotgx. Dùng phép chiếu lượng giác để tìm điều
kiện của t.
d. Hàm số hợp : từng bước làm theo các cách trên.
5. Xét dấu :
a. Đa thức hay phân thức hữu tỷ, dấu A/B giống dấu A.B; bên phải cùng dấu hệ số
bậc cao nhất; qua nghiệm đơn (bội lẻ) : đổi dấu; qua nghiệm kép (bội chẵn) :
không đổi dấu.
b. Biểu thức f(x) vô tỷ : giải f(x) < 0 hay f(x) > 0.
c. Biểu thức f(x) vô tỷ mà cách b không làm được : xét tính liên tục và đơn điệu của
f, nhẩm 1 nghiệm của pt f(x) = 0, phác họa đồ thị của f , suy ra dấu của f.
6. So sánh nghiệm phương trình bậc 2 với α :
(a ≠ 0)
f(x) = ax2 + bx + c = 0
* S = x1 + x2 = – b/a ; P = x1x2 = c/a
Dùng S, P để tính các biểu thức đối xứng nghiệm. Với đẳng thức g(x 1,x2) = 0
 g= 0

không đối xứng, giải hệ pt :  S = x1 + x2
 P = x .x
 12
Biết S, P thỏa S2 – 4P ≥ 0, tìm x1, x2 từ pt : X2 – SX + P = 0
* Dùng ∆ , S, P để so sánh nghiệm với 0 :


T RANG 4
∆ >0

x1 < 0 < x2 ⇔ P < 0, 0 < x1 < x2 ⇔  P > 0
 S> 0

∆ >0

x1 < x2 < 0 ⇔  P > 0
 S< 0

* Dùng ∆ , af(α), S/2 để so sánh nghiệm với α : x1 < α < x2 ⇔ af(α) < 0
∆ >0 ∆ >0
 
α < x1 < x2 ⇔  a.f (α ) > 0 ; x1 < x2 < α ⇔  a.f (α ) > 0
 α < S/ 2  S/ 2 < α
 
 a.f(β) < 0  a.f (α ) < 0
 
α < x1 < β < x2 ⇔  a.f(α) > 0 ; x1 < α < x2 < β ⇔  a.f (β) > 0
α 0 ∆ = 0
∨
2 nghiệm phân biệt ⇔ 
f (α ) = 0 f (α) ≠ 0
∆ =0
∆ 0
2 nghiệm ⇔ 
yCÑ .yCT = 0

∆ y' > 0
1 nghiệm ⇔ ∆ y' ≤ 0 ∨ 
yCÑ .yCT > 0

T RANG 5
c. Phương trình bậc 3 có 3 nghiệm lập thành CSC :
∆ y' > 0
⇔
=
yuoán 0
d. So sánh nghiệm với α :
• x = xo ∨f(x) = ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) : so sánh nghiệm phương trình bậc 2 f(x)
với α.
• Không nhẩm được 1 nghiệm, m tách được sang 1 vế : dùng sự tương giao của
f(x) = y: (C) và y = m: (d) , đưa α vào BBT.
• Không nhẩm được 1 nghiệm, m không tách được sang 1 vế : dùng sự tương
giao của (Cm) : y = ax3 + bx2 + cx + d (có m) ,(a > 0) và (Ox)
 ∆ y' > 0
αx
 x2 x
 yCÑ .yCT < 0 3
1
α < x1 < x2 < x3 ⇔ 
 y(α) < 0
α< x
 CÑ

 ∆ y' > 0
 y .y < 0
αx x
x1
 CÑ CT
x1 < α < x2 < x3 ⇔  2

 y(α) > 0
3


 α < xCT

 ∆ y' > 0
α
 y .y < 0
 CÑ CT x1
x2 x3
x1 < x2 < α < x3 ⇔ 
 y(α) < 0
 xCÑ < α

 ∆ y' > 0
α
 x1 x2
 yCÑ .yCT < 0 x3
x1 < x2 < x3 < α ⇔ 
 y(α) > 0
x 0

 f (α) = 0
 f (α) ≠ 0
2 nghiệm ⇔  , 1 nghiệm ⇔
∆ >0 ∆ =0

 f (α) ≠ 0
∆ =0
Vô nghiệm ⇔ ∆ < 0 ∨ 
 f (α) = 0
Nếu a có tham số, xét thêm a = 0 với các trường hợp 1 nghiệm, VN.
9. Phương trình bậc 4 :


T RANG 6
 t = x2 ≥ 0
a. Trùng phương : ax + bx + c = 0 (a ≠ 0) ⇔ 
4 2

 f (t) = 0
t = x2 ⇔ x = ± t
∆ >0
P=0

4 nghiệm ⇔  P > 0 ; 3 nghiệm ⇔ 
 S> 0
 S> 0

P=0
P 0 
 S/ 2 = 0
∆ ≥0 
 
VN ⇔ ∆ < 0 ∨  P > 0 ⇔ ∆ < 0 ∨  P > 0
S 0
* f bậc 3 (hay bậc 2 / bậc 1) có cực trị ⇔ f có CĐ và CT ⇔ ∆ f / > 0
* f bậc 3 (hay bậc 2 / bậc 1) có cực trị :
• Bên phải (d) : x = α ⇔ y/ = 0 có 2 nghiệm α < x1 < x2.
• Bên trái (d) : x = α ⇔ y/ = 0 có 2 nghiệm x1 < x2 < α .
∆f/ >0

• 1 bên (Ox) ⇔ 
 yCD .yCT > 0

 ∆f/ > 0

• 2 bên (Ox) ⇔ 
 yCD .yCT < 0

* Với hàm bậc 2 / bậc 1, các điều kiện yCĐ.yCT < 0 (>0) có thể thay bởi y = 0 VN
(có 2 nghiệm.).
* Tính yCĐ.yCT :
• Hàm bậc 3 : y = y/ (Ax + B) + (Cx + D)
yCĐ.yCT = (CxCĐ + D).(CxCT + D), dùng Viète với pt y/ = 0.
u
• Hàm bậc 2/ bậc 1 : y =
v
u (xCÑ ).u/ (xCT )
/
, dùng Viète với pt y/ = 0.
yCĐ.yCT = /
v (xCÑ ).v/ (xCT )
* Đường thẳng qua CĐ, CT :
• Hàm bậc 3 : y = Cx + D
• Hàm bậc 2 / bậc 1 : y = u/ / v/
* y = ax4 + bx2 + c có 1 cực trị ⇔ ab ≥ 0, 3 cực trị ⇔ ab < 0
10. ĐƠN ĐIỆU :
a. Biện luận sự biến thiên của hàm bậc 3 :
i) a > 0 và y’ = 0 vô nghiệm ⇒ hàm số tăng trên R (luôn luôn tăng)
ii) a < 0 và y’ = 0 vô nghiệm ⇒ hàm số giảm (nghịch biến) trên R (luôn luôn giảm)
iii) a > 0 và y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 với x1 < x2
⇒ hàm số đạt cực đại tại x1 và đạt cực tiểu tại x2.
Ngoài ra ta còn có :
+ x1 + x2 = 2x0 với x0 là hoành độ điểm uốn.
+ hàm số tăng trên (−∞, x1)
+ hàm số tăng trên (x2, +∞ )
+ hàm số giảm trên (x1, x2)
iv) a < 0 và y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 với x1 < x2
⇒ hàm đạt cực tiểu tại x 1 và đạt cực đại tại x 2 thỏa điều kiện x1 + x2 = 2x0 (x0 là hoành độ
điểm uốn). Ta cũng có :
+ hàm số giảm trên (−∞, x1)
+ hàm số giảm trên (x2, +∞ )
+ hàm số tăng trên (x1, x2)
baäc
2
b. Biện luận sự biến thiên của y =
baäc
1
i) Nếu a.m > 0 và y/ = 0 vô nghiệm thì hàm tăng ( đồng biến) trên từng khỏang xác định.


T RANG 19
ii) Nếu a.m < 0 và y/ = 0 vô nghiệm thì hàm giảm ( nghịch biến) trên từng khỏang xác định.
iii) Nếu a.m > 0 và y / = 0 có 2 nghiệm phân biệt x 1, x2 thì hàm đạt cực đại tại x 1 và đạt cực
x1 + x2 p
=− .
tiểu tại x2 thỏa x1 < x2 và
2 m
iv) Nếu a.m < 0 và y/ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thì hàm đạt cực tiểu tại x1 và đạt cực
x1 + x2 p
=− .
đại tại x2 thỏa x1 < x2 và
2 m
c. Tìm m để hàm số bậc 3, bậc 2/bậc 1 đồng biến (nghịch biến) trên miền x ∈ I :
đặt đk để I nằm trong miền đồng biến (nghịch biến) của các BBT trên; so sánh
nghiệm pt bậc 2 y/ = 0 với α.
11. BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM PT BẰNG ĐỒ THỊ :
a. Cho pt : F(x, m) = 0; tách m sang 1 vế : f(x) = m; lập BBT của f (nếu f đã khảo sát
thì dùng đồ thị của f), số nghiệm = số điểm chung.
, . , lượng giác : đổi biến; cần biết mỗi biến mới t được mấy
b. Với pt mũ, log,
biến cũ x; cần biết đk của t để cắt bớt đồ thị f.
12. QUỸ TÍCH ĐIỂM DI ĐỘNG M(xo, yo) :
Dựa vào tính chất điểm M, tìm 2 đẳng thức chứa x o, yo, m; khử m, được F(xo, yo)
= 0; suy ra M ∈ (C) : F(x, y) = 0; giới hạn quỹ tích : M tồn tại ⇔ m ? ⇔ xo ? (hay
yo ?)
• Nếu xo = a thì M ∈ (d) : x = a.
• Nếu yo = b thì M ∈ (d) : y = b.
13. TÂM, TRỤC, CẶP ĐIỂM ĐỐI XỨNG :
a. CM hàm bậc 3 có tâm đx (điểm uốn), hàm bậc 2/bậc 1 có tâm đx (gđ 2 tc)
tại I : đổi tọa độ : x = X + xI, y = Y + yI; thế vào hàm số : Y = F(X), cm :
F(–x) = – F(x), suy ra F là hàm lẻ, đồ thị có tđx là gốc tọa độ I.
b. CM hàm bậc 4 có trục đx // (Oy) : giải pt y/ = 0; nếu x = a là nghiệm duy nhất hay
là nghiệm chính giữa của 3 nghiệm : đổi tọa độ x = X + a, y = Y; thế vào hàm
số : Y = F(X); cm F(–X) = F(X); suy ra F là hàm chẵn, đồ thị có trục đối xứng là
trục tung X = 0, tức x = a.
c. Tìm trên (C) : y = f(x) cặp điểm M, N đối xứng qua I : giải hệ 4 pt 4 ẩn :
 xM + xN = 2xI
 y + y = 2y
M N I

 yM = f(xM )
 yN = f(xN )

d. Tìm trên (C) : y = f(x) cặp điểm đ/x qua đt (d) : y = ax + b : dt ⊥ (d) là
1
(d') : y = – x + m; lập pt hđ điểm chung của (C) và (d'); giả sử pt có 2 nghiệm x A,
a
xB, tính tọa độ trung điểm I của AB theo m; A, B đối xứng qua (d) ⇔ I ∈ (d)
⇔ m?; thay m vào pthđ điểm chung, giải tìm xA, xB, suy ra yA, yB.




T RANG 20
c
14. Tìm điểm M ∈ (C) : y = ax + b + có tọa độ nguyên (a, b, c, d, e ∈ Z) : giải
dx+ e
 c
 yM = axM + b + dx + e
 c
 yM = axM + b +  M
dxM + e ⇔ 
hệ  c
 xM ,yM ∈ Z  xM , ∈Z
  dxM + e

c

 yM = axM + b +
dxM + e
⇔
 xM ∈ Z,dxM + e = öôùc cuûa
soá c

15. Tìm min, max của hàm số y = f(x)
Lập BBT, suy ra miền giá trị và min, max.
16. Giải bất phương trình bằng đồ thị :
f
 x< a
f < g ⇔ a < x < b, f > g ⇔ 
 b< x
g
 x≤ a
f ≤ g ⇔a ≤ x ≤ b , f ≥ g ⇔ 
 x≥ b a b
VI- HÌNH HỌC GIẢI TÍCH
1. Tọa độ , vectơ :
* (a,b) ± (a/, b/) = (a ± a/, b ± b/)
k(a, b) = (ka, kb)
 a = a/
(a, b) = (a , b ) ⇔ 
/ /
/
 b= b
(a, b).(a/,b/) = aa/ + bb/
(a, b) = a2 + b2
rr
v.v /
rr
cos( v ,v / ) = r r/
v .v

AB = (xB − xA ,yB − yA ),AB = AB
M chia AB theo tỉ số k ⇔ MA = kMB
x − kxB y − kyB
⇔ xM = A , yM = A (k ≠ 1)
1− k 1− k
x + xB y + yB
M : trung điểm AB ⇔ xM = A , yM = A
2 2
xA + xB + xC

xM = 3
M : trọng tâm ∆ ABC ⇔  yA + yB + yC
yM =
 3
(tương tự cho vectơ 3 chiều).
* Vectơ 3 chiều có thêm tích có hướng và tích hỗn hợp :

T RANG 21
/
v = (a, b,c),v = (a', b',c')

[ ] b c c a a b 
rr
v,v/ =  / / , / / , / / 
b c c a a b 
 
rr rr rr
[ v ,v / ] = v . v / .sin( v ,v / )
rr rr
[v,v/ ] ⊥ v,v/
r r/ r r/ rr r
rr rr
* v ⊥ v/ ⇔ v.v/ = 0 ; v // v ⇔ [ v ,v ] = 0 ; v,v/ ,v// đồng phẳng
rr r
⇔ [v,v/ ].v// = 0
[ ]
1
S ABC = AB,AC
∆ 2
[ ]
1
VS.ABC = AB,AC .AS
6
/
V ABCD.A 'B'C'D' = [AB,AD].AA
uuu uuu
r r
A, B, C thẳng hàng ⇔ AB // AC
 AH.BC = 0

* ∆ trong mp : H là trực tâm ⇔ 
 BH.AC = 0

 AH.BC = 0

H là chân đường cao ha ⇔ 
 BH // BC

AB

M là chân phân giác trong A ⇔ MB = − MC
AC
AB

M là chân phân giác ngòai A ⇔ MB = + MC
AC
I là tâm đường tròn ngoại tiếp ⇔ IA = IB = IC.

I là tâm đường tròn nội tiếp ⇔ I là chân phân giác trong B của ∆ ABM với M

là chân phân giác trong A của ∆ ABC.
2. Đường thẳng trong mp :
* Xác định bởi 1 điểm M(xo,yo) và 1vtcp v = (a,b) hay 1 pháp vectơ (A,B) :
x = xo + at x − xo y − yo
=
, (d) :
(d) : 
y = yo + bt a b

(d) : A(x – xo) + B(y – yo) = 0
xy
* (d) qua A(a, 0); B(0,b) : + = 1
ab
x − xA y − yA
=
* (AB) :
xB − xA yB − yA
* (d) : Ax + By + C = 0 có v = (−B,A ) ; n = (A ,B)
* (d) // (∆ ) : Ax + By + C = 0 ⇒ (d) : Ax + By + C′ = 0


T RANG 22
* (d) ⊥ (∆ ) ⇒ (d) : – Bx + Ay + C/ = 0
* (d), (d/) tạo góc nhọn ϕ thì :
uu uur
ru
nd .nd / uu uur
ru
( ≠ cos( n ,n ))
cosϕ = uu uuu
rr d d/
nd . nd /
AxM + ByM + C
* d(M,(d)) =
A 2 + B2
* Phân giác của (d) : Ax + By + C = 0 và (d/) : A/x + B/y + C/ = 0 là :
A / x + B/ y + C/
Ax + By + C

A 2 + B2 A / 2 + B/ 2
nd.n / > 0 : phân giác góc tù + , nhọn –
d

nd.n < 0 : phân giác góc tù – , nhọn +
d/
* Tương giao : Xét hpt tọa độ giao điểm.
3. Mặt phẳng trong không gian :
* Xác định bởi 1 điểm M(xo, yo, zo) và 1 pháp vectơ : n = (A, B, C) hay 2 vtcp
v , v' .
(P) : A(x – xo) + B(y – yo) + C(z – zo) = 0
n = [ v , v' ]
(P) : Ax + By + Cz + D = 0 có n = (A, B, C).
(P) qua A(a,0,0); B(0,b,0); C(0,0,c) ⇔ (P) : x/a + y/b + z/c = 1
* Cho M(xo, yo, zo), (P) : Ax + By + Cz + D = 0
Axo + Byo + Czo + D
d(M,(P)) =
A 2 + B2 + C2
* (P) , (P/) tạo góc nhọn ϕ thì : cos ϕ = cos( (P) ,n(P') )
n

* (P) ⊥ (P/) ⇔ n(P) ⊥ n(P') , (P) // (P/) ⇔ n(P) // n(P')
4. Đường thẳng trong không gian :
* Xác định bởi 1 điểm M (xo, yo, zo) và 1 vtcp v = (a, b, c) hay 2 pháp vectơ :
n , n' :
 x = xo + at
x − xo y − yo z − zo

(d) :  y = yo + bt , (d) : = =
a b c
 z = z + ct
 o

v = [ n , n' ]
x − xA y − yA z − zA
= =
* (AB) :
xB − x A y B − y A z B − z A
 Ax + By + Cz + D = 0
* (d) = (P) ∩ (P/) : 
 A' x + B' y + C' z + D' = 0



T RANG 23
* (d) qua A, vtcp v thì :
[AM , v ]
d(M,(d)) =
v
* ϕ là góc nhọn giữa (d), (d/) thì :
cosϕ = cos(vd , vd/ )
* ϕ là góc nhọn giữa (d), (P) thì :
sinϕ = cos(vd , np)
* (d) qua M, vtcp v , (P) có pvt n :
(d) cắt (P) ⇔ v . n ≠ 0
(d) // (P) ⇔ v . n = 0 và M ∉ (P)
(d) ⊂ (P) ⇔ v . n = 0 và M ∈ (P)
* (d) qua A, vtcp v ; (d /) qua B, vtcp v' :
(d) cắt (d/) ⇔ [ v , v' ] ≠ 0 , [ v , v' ] AB = 0
(d) // (d/) ⇔ [ v , v' ] = 0 , A ∉ (d/)
(d) chéo (d/) ⇔ [ v , v' ] ≠ 0 , [ v , v' ] AB ≠ 0
(d) ≡ (d/) ⇔ [ v , v' ] = 0 , A ∈ (d/)
[ v , v' ] AB
/ /
* (d) chéo (d ) : d(d, d ) =
[ v , v' ]

* (d) chéo (d/) , tìm đường ⊥ chung (∆ ) : tìm n = [ v , v' ] ; tìm (P) chứa (d), // n ;
tìm (P/) chứa (d/), // n ; (∆ ) = (P) ∩ (P/).
* (d) ⊥ (P), cắt (d/) ⇒ (d) nằm trong mp ⊥ (P), chứa (d/).
* (d) qua A, // (P) ⇒ (d) nằm trong mp chứa A, // (P).
* (d) qua A, cắt (d/) ⇒ (d) nằm trong mp chứa A, chứa (d/).
* (d) cắt (d/), // (d//) ⇒ (d) nằm trong mp chứa (d/), // (d//).
* (d) qua A, ⊥ (d/) ⇒ (d) nằm trong mp chứa A, ⊥ (d/).
* Tìm hc H của M xuống (d) : viết pt mp (P) qua M, ⊥ (d), H = (d) ∩ (P).
* Tìm hc H của M xuống (P) : viết pt đt (d) qua M, ⊥ (P) : H = (d) ∩ (P).
* Tìm hc vuông góc của (d) xuống (P) : viết pt mp (Q) chứa (d), ⊥ (P);
(d/) = (P) ∩ (Q)
* Tìm hc song song của (d) theo phương (∆ ) xuống (P) : viết pt mp (Q) chứa (d)
// (∆ ); (d/) = (P) ∩ (Q).
5. Đường tròn :
* Đường tròn (C) xác định bởi tâm I(a,b) và bk R : (C) : (x – a)2 + (y – b)2 = R2
* (C) : x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0 có tâm I(–A,–B), bk R = A 2 + B2 − C
* (d) tx (C) ⇔ d(I, (d)) = R, cắt ⇔ < R, không cắt ⇔ > R.

T RANG 24
* Tiếp tuyến với (C) tại M(xo,yo) : phân đôi t/độ trong (C) :
(xo–a)(x–a) + (yo–b)(y–b) = R hay xox + yoy + A(xo + x) + B(yo + y) + C = 0
* Cho (C) : F(x,y) = x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0 thì P M/(C) = F(xM, yM) =
MA .MB = MT2 = MI2 – R2 với MAB : cát tuyến, MT : tiếp tuyến ; M ∈ (C) ⇔
PM/(C) = 0 , M trong (C) ⇔ PM/(C) < 0, ngoài ⇔ > 0.
* Trục đẳng phương của (C) và (C/) :2(A – A/)x + 2(B – B/)y + (C – C/) = 0
* (C), (C/) ngoài nhau ⇔ II/ > R + R/ : (có 4 tiếp tuyến chung); tx ngoài ⇔ = R +
/
R/ (3 tiếp tuyến chung); cắt ⇔ R − R < II/ < R + R/ (2 tt chung); tx trong ⇔ =
R − R / (1 tt chung là trục đẳng phương) chứa nhau ⇔ < R − R / (không có tt
chung).
6. Mặt cầu :
* Mc (S) xđ bởi tâm I (a, b, c) và bk R : (S) : (x – a)2 + (y – b2) + (z – c)2 = R2.
* (S) : x2 + y2 + z2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0 có tâm I(–A,–B,–C), bk R =
A 2 + B2 + C2 − D
* (P) tx (S) ⇔ d(I,(P)) = R, cắt ⇔ < R, không cắt ⇔ > R.
* Pt tiếp diện với (S) tại M : phân đôi tđộ (S).
* Cho (S) : F(x, y, z) = 0. PM/(S) = F (xM, yM, zM); PM/(S) = 0 ⇔ M ∈ (S), < 0
⇔ M trong (S), > 0 ⇔ M ngoài (S).
* Mặt đẳng phương của (S) và (S/) :
2(A – A/)x + 2(B – B/)y + 2(C – C/)z + (D – D/) = 0
* Tương giao giữa (S), (S/) : như (C), (C/).
* Khi (S), (S/) tx trong thì tiết diện chung là mặt đẳng phương.
* Khi (S), (S/) cắt nhau thì mp qua giao tuyến là mặt đẳng phương.
7. Elip : * cho F1, F2, F2F2 = 2c, cho a > c > 0
M ∈ (E) ⇔ MF1 + MF2 = 2a.
2 2
xy
* (E) : 2 + 2 = 1 (a > b > 0) : tiêu điểm : F1(–c,0), F2(c,0); đỉnh A1(–a,0);
ab
A2(a,0); B1(0,–b); B2(0,b); tiêu cự : F1F2 = 2c, trục lớn A1A2 = 2a; trục nhỏ
B1B2 = 2b; tâm sai e = c/a; đường chuẩn x = ± a/e; bk qua tiêu : MF1 = a + exM,
MF2 = a – exM; tt với (E) tại M : phân đôi tọa độ (E),
(E) tx (d) : Ax + By + C = 0 ⇔ a2A2 + b2B2 = C2 ; a2 = b2 + c2.
x2 y2
* (E) : 2 + 2 = 1 (a > b > 0) : không chính tắc; tiêu điểm : F1(0,–c), F2(0,c); đỉnh
ba
A1(0,–a), A2(0,a), B1(–b,0), B2(b,0), tiêu cự : F1F2 = 2c; trục lớn A1A2 = 2a; trục
nhỏ B1B2 = 2b; tâm sai e = c/a; đường chuẩn y = ± a/e; bán kính qua tiêu MF1 = a
+ eyM, MF2 = a – eyM; tiếp tuyến với (E) tại M : phân đôi tọa độ (E); (E) tiếp xúc
(d) : Ax + By + C = 0 ⇔ a2B2 + b2 A2 = C2; a2 = b2 + c2 (Chú ý : tất cả các kết quả
của trường hợp này suy từ trường hợp chính tắc trên bằng cách thay x bởi y, y
bởi x).
8. Hypebol :
* Cho F1, F2, F2F2 = 2c, cho 0 < a < c.
M ∈ (H) ⇔ MF1 − MF2 = 2a


T RANG 25
x2 y2
− = 1 (pt chính tắc)
(H) :
a2 b2
tiêu điểm F1(–c,0), F2(c,0); đỉnh tr.thực A1(–a,0), A2(a,0); đỉnh trục ảo
B1(0,–b), B2(0,b); tiêu cự F1F2 = 2c; độ dài trục thực A1A2 = 2a; độ dài trục ảo
B1B2 = 2b; tâm sai : e = c/a; đường chuẩn : x = ± a/e; bán kính qua tiêu : M ∈ nhánh
phải MF1 = exM + a , MF2 = exM – a , M ∈ nhánh trái MF1 = – exM – a,
MF2 = –exM + a; tiếp tuyến với (H) tại M : phân đôi tọa độ (H);
b
(H) tx (d) : Ax + By + C = 0 ⇔ a2A2 – b2B2 = C2 > 0; tiệm cận y = ± x
a
hình chữ nhật cơ sở : x = ± a, y = ± b; c = a + b .
2 2 2


y2 x2
(H) : 2 − 2 = 1 (pt không chính tắc)
a b
tiêu điểm F1(0,–c), F2(0,c); đỉnh trục thực A1(0,–a), A2(0,a); đỉnh trục ảo B1(–
b,0), B2(b,0); tiêu cự F1F2 = 2c; độ dài trục thực A1A2 = 2a; độ dài trục ảo B1B1 =
2b; tâm sai : e = c/a; đường chuẩn : y = ± a/e; bán kính qua tiêu : M ∈ nhánh trên
MF1 = eyM + a, MF2 = eyM – a; M ∈ nhánh dưới MF1 = –eyM – a, MF2 = – eyM + a;
tiếp tuyến với (H) tại M : phân đôi tọa độ (H);
b
(H) tx (d) : Ax + By + C = 0 ⇔ a2B2 – b2A2 = C2 > 0; tiệm cận x = ± y
a
hình chữ nhật cơ sở : y= ± a, x = ± b; c = a + b (chú ý : tất cả các kết quả của
2 2 2

trường hợp này suy từ trường hợp chính tắc bằng cách thay x bởi y, y bởi x).
* Cho F, F ∉ (∆ )
9. Parabol :
M ∈ (P) ⇔ MF = d(M,(∆ ))
(P) : y2 = 2px (p > 0) (phương trình chính tắc).
tiêu điểm (p/2, 0), đường chuẩn x = – p/2; bán kính qua tiêu MF = p/2 + xM; tâm
sai e = 1, tiếp tuyến với (P) tại M : phân đôi tọa độ; (P) tx (d) : Ax + By + C = 0
⇔ pB2 = 2AC (p : hệ số của x trong (P) đi với B : hệ số của y trong (d)); tham số
tiêu : p.
(P) : y2 = – 2px (p > 0) (phương trình không chính tắc).
tiêu điểm (–p/2, 0), đường chuẩn x = p/2; bán kính qua tiêu MF = p/2 – x M; tâm
sai e = 1, tiếp tuyến với (P) tại M : phân đôi tọa độ; (P) tx (d) : Ax + By + C = 0
⇔ pB2 = – 2AC.
(P) : x2 = 2py (p > 0) (phương trình không chính tắc).
tiêu điểm (0, p/2), đường chuẩn y = – p/2; bán kính qua tiêu MF = p/2 + yM; tâm
sai e = 1, tiếp tuyến với (P) tại M : phân đôi tọa độ; (P) tx (d) : Ax + By + C = 0
⇔ pA2 = 2BC (p : hệ số của y trong (P) đi với A : hệ số của x trong (d)).
(P) : x2 = – 2py (p > 0) (phương trình không chính tắc).
tiêu điểm (0, – p/2), đường chuẩn y = p/2; bán kính qua tiêu MF = p/2 – y M; tâm
sai e = 1, tiếp tuyến với (P) tại M : phân đôi tọa độ;
(P) tx (d) : Ax + By + C = 0 ⇔ pA2 = – 2BC .
CHÚ Ý :
* Cần có quan điểm giải tích khi làm toán hình giải tích : đặt câu hỏi cần tìm gì?
(điểm trong mp M(xo,yo) : 2 ẩn ; điểm trong không gian (3 ẩn); đường thẳng trong
mp Ax + By + C = 0 : 3 ẩn A, B, C - thực ra là 2 ẩn; đường tròn : 3 ẩn a, b, R hay


T RANG 26
A, B, C; (E) : 2 ẩn a, b và cần biết dạng ; (H) : như (E); (P) : 1 ẩn p và c ần bi ết
dạng; mp (P) : 4 ẩn A, B, C, D; mặt cầu (S) : 4 ẩn a, b, c, R hay A, B, C, D;
đường thẳng trong không gian (d) = (P) ∩ (Q); đường tròn trong không gian (C) =
(P) ∩ (S).
* Với các bài toán hình không gian : cần lập hệ trục tọa độ.

HÀ VĂN CHƯƠNG- PHẠM HỒNG DANH-NGUYỄN VĂN NHÂN.
(TRUNG TÂM LUYỆN THI ĐẠI HỌC VĨNH VIỄN)




T RANG 27
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản