Vui lòng download xuống để xem tài liệu đầy đủ.

Tóm tắt lý thuyết Toán 12

Chia sẻ: | Ngày: doc 27 p | 97

1
274
views

Tham khảo tài liệu 'tóm tắt lý thuyết toán 12', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Tóm tắt lý thuyết Toán 12
Nội dung Text

  1. PHẦN MỘT: ÔN TẬP TÓM TẮT CHƯƠNG TRÌNH THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN I- GIẢI TÍCH TỔ HỢP 1. Giai thừa : n! = 1.2...n 0! = 1 n! /(n – k)! = (n – k + 1).(n – k + 2) ... n Nguyên tắc cộng : Trường hợp 1 có m cách chọn, trường hợp 2 có n cách chọn; 2. mỗi cách chọn đều thuộc đúng một trường hợp. Khi đó, tổng số cách chọn là : m + n. Nguyên tắc nhân : Hiện tượng 1 có m cách chọn, mỗi cách chọn này lại có n 3. cách chọn hiện tượng 2. Khi đó, tổng số cách chọn liên tiếp hai hiện tượng là : m x n. Hoán vị : Có n vật khác nhau, xếp vào n chỗ khác nhau. Số cách xếp : Pn = n !. 4. n! k Tổ hợp : Có n vật khác nhau, chọn ra k vật. Số cách chọn : Cn = 5. k!(n − k)! Chỉnh hợp : Có n vật khác nhau. Chọn ra k vật, xếp vào k chỗ khác nhau số cách 6. n! : An = , A n = Cn.Pk k k k (n − k)! Chỉnh hợp = tổ hợp rồi hoán vị 7. Tam giác Pascal : C0 1 0 1 1 C1 C1 0 1 1 2 1 C2 C2 C2 0 1 2 1 3 3 1 C3 C3 C3 C3 0 1 2 3 1 4 6 4 1 C4 C4 C4 C4 C 4 0 1 2 3 4 Tính chất : C0 = Cn = 1 Cn = Cn−k ,k n n n Cn−1 + Cn = Cn+1 k k k 8. Nhị thức Newton : * (a + b)n = C0anb0 + C1an−1b1 + ...+ Cna0bn n n n a = b = 1 : ... C0 + C1 + ... + Cn = 2n n n n Với a, b ∈ {± 1, ± 2, ...}, ta chứng minh được nhiều đẳng thức chứa : C0,C1 ,..., nCn n n * (a + x)n = C0an + C1an−1x + ...+ Cnxn n n n Ta chứng minh được nhiều đẳng thức chứa C0,C1 ,..., n bằng cách : Cn n n - Đạo hàm 1 lần, 2 lần, cho x = ± 1, ± 2, ... a = ± 1, ± 2, ... - Nhân với xk , đạo hàm 1 lần, 2 lần, cho x = ± 1, ± 2, ... , a = ± 1, ± 2, ... ±1 ±2 β ∫ hay ∫ ... hay ∫ - Cho a = ± 1, ± 2, ..., α 0 0 T RANG 1
  2. Chú ý : * (a + b)n : a, b chứa x. Tìm số hạng độc lập với x : Ck a n −k b k = Kx m n Giải pt : m = 0, ta được k. * (a + b)n : a, b chứa căn . Tìm số hạng hữu tỷ. m r k n −k b = Kc d k p q Can m/ p∈ Z Giải hệ pt :  , tìm được k r / q∈ Z k k Giải pt , bpt chứa A n ,Cn ...: đặt điều kiện k, n ∈ N* ..., k ≤ n. Cần biết đơn * giản các giai thừa, qui đồng mẫu số, đặt thừa số chung. Cần phân biệt : qui tắc cộng và qui tắc nhân; hoán vị (xếp, không bốc), tổ hợp * (bốc, không xếp), chỉnh hợp (bốc rồi xếp). Áp dụng sơ đồ nhánh để chia trường hợp , tránh trùng lắp hoặc thiếu tr ường * hợp. Với bài toán tìm số cách chọn thỏa tính chất p mà khi chia trường hợp, ta thấy * số cách chọn không thỏa tính chất p ít trường hợp hơn, ta làm như sau : số cách chọn thỏa p. = số cách chọn tùy ý - số cách chọn không thỏa p. Cần viết mệnh đề phủ định p thật chính xác. Vé số, số biên lai, bảng số xe ... : chữ số 0 có thể đ ứng đ ầu (tính t ừ trái sang * phải). Dấu hiệu chia hết : * - Cho 2 : tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8. - Cho 4 : tận cùng là 00 hay 2 chữ số cuối hợp thành số chia hết cho 4. - Cho 8 : tận cùng là 000 hay 3 chữ số cuối hợp thành số chia hết cho 8. - Cho 3 : tổng các chữ số chia hết cho 3. - Cho 9 : tổng các chữ số chia hết cho 9. - Cho 5 : tận cùng là 0 hay 5. - Cho 6 : chia hết cho 2 và 3. - Cho 25 : tận cùng là 00, 25, 50, 75. II- ĐẠI SỐ b = c = 0 a + b = c ⇔ a = c – b; ab = c ⇔  b ≠ 0 1. Chuyển vế :   a = c/ b  a = bc a2n+1 = b ⇔ a = 2n+1 b a/b = c ⇔  ;  b≠ 0  b = a 2n a 2n = b ⇔ a = ± 2n b, a = 2n b ⇔  a ≥0  b = ±a ,a = logα b ⇔ b = α a a= b ⇔   a≥ 0 T RANG 2
  3. b = 0,c > 0  b> 0 a + b < c ⇔ a < c − b ; ab< c ⇔   a < c/ b  b< 0   a > c/ b 2. Giao nghiệm : x> a x< a ⇔ x > max{, b ;  ⇔ x < min{, b a} a}  x> b x< b p  Γ x> a a < x < b(neá a < b)  p ∨ q u ⇔ ⇔ ;   x< b Γ VN(neá a ≥ b) u q  Γ Nhiều dấu v : vẽ trục để giao nghiệm. 3. Công thức cần nhớ : a. : chỉ được bình phương nếu 2 vế không âm. Làm mất phải đặt điều kiện. b ≥ 0 b ≥ 0 a = b⇔  , a ≤ b⇔  2 2 a = b 0 ≤ a ≤ b b < 0 b ≥ 0 a ≥ b⇔  ∨ a ≥ 0 a ≥ b2  a. b (neáub≥ 0) a, ab = − a. − b (neáub < 0) a, . : phá . bằng cách bình phương : a 2 = a2 hay bằng định nghĩa : b. a (neáu≥ 0) a a= − a(neáu< 0) a b ≥ 0 a = b⇔  ; a = b ⇔ a = ±b a = ± b a ≤ b ⇔ −b ≤ a ≤ b b ≥ 0 a ≥ b ⇔ b < 0hay  a ≤ − b ∨ a ≥ b a ≤ b ⇔ a2 − b2 ≤ 0 c. Mũ : y = ax , x ∈ R,y > 0,y ↑ neáu> 1 y ↓ neáu< a < 1. a, 0 a0 = 1; a− m/ n = 1/ n am ; am.an = am+n am / an = am−n ; (am)n = am.n ; an / bn = (a/ b)n an.bn = (ab)n ; am = an ⇔ (m = n,0 < a ≠ 1 ∨ a =1 ) T RANG 3
  4. m < n(neáu> 1) a , α = aloga α am < an ⇔ m > n(neáu< a < 1) 0 d. log : y = logax , x > 0 , 0 < a ≠ 1, y ∈ R α y↑ nếu a > 1, y↓ nếu 0 < a < 1, α = logaa loga(MN) = logaM + logaN ( ⇐ ) loga(M/N) = logaM – logaN ( ⇐ ) loga M 2 = 2loga M ,2loga M = loga M 2 (⇒) logaM3 = 3logaM, logac = logab.logbc 1 logbc = logac/logab, logaα M = loga M α loga(1/M) = – logaM, logaM = logaN ⇔ M = N 0 < M < N(neáa > 1) u loga M < loga N ⇔ M > N > 0(neá 0 < a < 1 u ) Khi làm toán log, nếu miền xác định nới rộng : dùng điều kiện chặn lại, tránh dùng công thức làm thu hẹp miền xác định. Mất log phải có điều kiện. 4. Đổi biến : a. Đơn giản : t = ax+ b∈ R, t = x2 ≥ 0, t = x ≥ 0,t = x ≥ 0,t = ax > 0,t = loga x ∈ R N?u trong ?? bài có ?i?u ki?n c?a x, ta chuy?n sang ?i?u ki?n c?a t b?ng cách bi?n ?? i tr?c ti?p b?t ??ng th?c. b. Hàm số : t = f(x) dùng BBT để tìm điều kiện của t. Nếu x có thêm điều kiện, cho vào miền xác định của f. c. Lượng giác : t = sinx, cosx, tgx, cotgx. Dùng phép chiếu lượng giác để tìm điều kiện của t. d. Hàm số hợp : từng bước làm theo các cách trên. 5. Xét dấu : a. Đa thức hay phân thức hữu tỷ, dấu A/B giống dấu A.B; bên phải cùng dấu hệ số bậc cao nhất; qua nghiệm đơn (bội lẻ) : đổi dấu; qua nghiệm kép (bội chẵn) : không đổi dấu. b. Biểu thức f(x) vô tỷ : giải f(x) < 0 hay f(x) > 0. c. Biểu thức f(x) vô tỷ mà cách b không làm được : xét tính liên tục và đơn điệu của f, nhẩm 1 nghiệm của pt f(x) = 0, phác họa đồ thị của f , suy ra dấu của f. 6. So sánh nghiệm phương trình bậc 2 với α : (a ≠ 0) f(x) = ax2 + bx + c = 0 * S = x1 + x2 = – b/a ; P = x1x2 = c/a Dùng S, P để tính các biểu thức đối xứng nghiệm. Với đẳng thức g(x 1,x2) = 0  g= 0  không đối xứng, giải hệ pt :  S = x1 + x2  P = x .x  12 Biết S, P thỏa S2 – 4P ≥ 0, tìm x1, x2 từ pt : X2 – SX + P = 0 * Dùng ∆ , S, P để so sánh nghiệm với 0 : T RANG 4
  5. ∆ >0  x1 < 0 < x2 ⇔ P < 0, 0 < x1 < x2 ⇔  P > 0  S> 0  ∆ >0  x1 < x2 < 0 ⇔  P > 0  S< 0  * Dùng ∆ , af(α), S/2 để so sánh nghiệm với α : x1 < α < x2 ⇔ af(α) < 0 ∆ >0 ∆ >0   α < x1 < x2 ⇔  a.f (α ) > 0 ; x1 < x2 < α ⇔  a.f (α ) > 0  α < S/ 2  S/ 2 < α    a.f(β) < 0  a.f (α ) < 0   α < x1 < β < x2 ⇔  a.f(α) > 0 ; x1 < α < x2 < β ⇔  a.f (β) > 0 α <β α<β   7. Phương trình bậc 3 : a. Viête : ax3 + bx2 + cx + d = 0 x1 + x2 + x3 = – b/a , x1x2 + x1x3 + x2x3 = c/a , x1.x2.x3 = – d/a Biết x1 + x2 + x3 = A , x1x2 + x1x3 + x2x3 = B , x1.x2.x3 = C thì x1, x2, x3 là 3 nghiệm phương trình : x3 – Ax2 + Bx – C = 0 b. Số nghiệm phương trình bậc 3 : • x = α ∨f(x) = ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) : ∆ > 0 3 nghiệm phân biệt ⇔  f (α ) ≠ 0 ∆ > 0 ∆ = 0 ∨ 2 nghiệm phân biệt ⇔  f (α ) = 0 f (α) ≠ 0 ∆ =0 ∆ <0hay  ⇔ 1 nghiệm f ( α ) =0 • Phương trình bậc 3 không nhẩm được 1 nghiệm, m tách được sang 1 vế : dùng sự tương giao giữa (C) : y = f(x) và (d) : y = m. • Phương trình bậc 3 không nhẩm được 1 nghiệm, m không tách được sang 1 vế : dùng sự tương giao giữa (Cm) : y = f(x, m) và (Ox) : y = 0 ∆ y' > 0 3 nghiệm ⇔  yCÑ .yCT < 0 ∆ y' > 0 2 nghiệm ⇔  yCÑ .yCT = 0 ∆ y' > 0 1 nghiệm ⇔ ∆ y' ≤ 0 ∨  yCÑ .yCT > 0 T RANG 5
  6. c. Phương trình bậc 3 có 3 nghiệm lập thành CSC : ∆ y' > 0 ⇔ = yuoán 0 d. So sánh nghiệm với α : • x = xo ∨f(x) = ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) : so sánh nghiệm phương trình bậc 2 f(x) với α. • Không nhẩm được 1 nghiệm, m tách được sang 1 vế : dùng sự tương giao của f(x) = y: (C) và y = m: (d) , đưa α vào BBT. • Không nhẩm được 1 nghiệm, m không tách được sang 1 vế : dùng sự tương giao của (Cm) : y = ax3 + bx2 + cx + d (có m) ,(a > 0) và (Ox)  ∆ y' > 0 αx  x2 x  yCÑ .yCT < 0 3 1 α < x1 < x2 < x3 ⇔   y(α) < 0 α< x  CÑ  ∆ y' > 0  y .y < 0 αx x x1  CÑ CT x1 < α < x2 < x3 ⇔  2  y(α) > 0 3  α < xCT   ∆ y' > 0 α  y .y < 0  CÑ CT x1 x2 x3 x1 < x2 < α < x3 ⇔   y(α) < 0  xCÑ < α   ∆ y' > 0 α  x1 x2  yCÑ .yCT < 0 x3 x1 < x2 < x3 < α ⇔   y(α) > 0 x <α  CT 8. Phương trình bậc 2 có điều kiện : f(x) = ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0), x ≠ α ∆ >0   f (α) = 0  f (α) ≠ 0 2 nghiệm ⇔  , 1 nghiệm ⇔ ∆ >0 ∆ =0   f (α) ≠ 0 ∆ =0 Vô nghiệm ⇔ ∆ < 0 ∨   f (α) = 0 Nếu a có tham số, xét thêm a = 0 với các trường hợp 1 nghiệm, VN. 9. Phương trình bậc 4 : T RANG 6
  7.  t = x2 ≥ 0 a. Trùng phương : ax + bx + c = 0 (a ≠ 0) ⇔  4 2  f (t) = 0 t = x2 ⇔ x = ± t ∆ >0 P=0  4 nghiệm ⇔  P > 0 ; 3 nghiệm ⇔   S> 0  S> 0  P=0 P<0   S< 0  ∆ = 0 ; 1 nghiệm ⇔ 2 nghiệm ⇔ ∆ =0   S/ 2 > 0   S/ 2 = 0 ∆ ≥0    VN ⇔ ∆ < 0 ∨  P > 0 ⇔ ∆ < 0 ∨  P > 0 S <0  S< 0    0 < t1 < t2 4 nghiệm CSC ⇔   t2 = 3 t1  t2 = 9t1  Giải hệ pt :  S = t1 + t2  P = t .t  12 1 . Tìm đk của t bằng BBT : t ≥ 2 b. ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0. Đặt t = x + x 1 c. ax4 + bx3 + cx2 – bx + a = 0. Đặt t = x – . Tìm đk của t bằng BBT : t ∈ R. x d. (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = e với a + b = c + d. Đặt : t = x2 + (a + b)x. Tìm đk của t bằng BBT. a+ b e. (x + a)4 + (x + b)4 = c. Đặt : t = x + , t ∈ R. 2  ax+ by = c 10. Hệ phương trình bậc 1 :  . Tính :  a'x + b'y = c' ab cb ac D= , Dx = , Dy = a' b' c' b' a' c' D ≠ 0 : nghiệm duy nhất x = Dx/D , y = Dy/D. D = 0, Dx ≠ 0 ∨Dy ≠ 0 : VN D = Dx = Dy = 0 : VSN hay VN (giải hệ với m đã biết). 11. Hệ phương trình đối xứng loại 1 : Từng phương trình đối xứng theo x, y. Đạt S = x + y, P = xy. ĐK : S2 – 4P ≥ 0. Tìm S, P. Kiểm tra đk S2 – 4P ≥ 0; Thế S, P vào pt : X2 – SX + P = 0, giải ra 2 nghiệm là x và y. T RANG 7
  8. (α, β) là nghiệm thì (β, α) cũng là nghiệm; nghiệm duy nhất ⇒α = β ⇒m = ? Thay m vào hệ, giải xem có duy nhất nghiệm không. 12. Hệ phương trình đối xứng loại 2 : Phương trình này đối xứng với phương trình kia. Trừ 2 phương trình, dùng các hằng đẳng thức đưa về phương trình tích A.B = 0. Nghiệm duy nhất làm như hệ đối xứng loại 1.  ax2 + bxy+ cy2 = d 13. Hệ phương trình đẳng cấp :  2 2  a'x + b'xy + c'y = d' Xét y = 0. Xét y ≠ 0 : đặt x = ty, chia 2 phương trình để khử t. Còn 1 phương trình theo y, giải ra y, suy ra t, suy ra x. Có thể xét x = 0, xét x ≠ 0, đặt y = tx. 14. Bất phương trình, bất đẳng thức : , . , log, mũ có * Ngoài các bất phương trình bậc 1, bậc 2, dạng cơ bản của thể giải trực tiếp, các dạng khác cần lập bảng xét dấu. Với bất phương trình dạng tích AB < 0, xét dấu A, B rồi AB. * Nhân bất phương trình với số dương : không đổi chiều số âm : có đổi chiều Chia bất phương trình : tương tự. * Chỉ được nhân 2 bất pt vế theo vế , nếu 2 vế không âm. * Bất đẳng thức Côsi : a+ b ≥ ab a, b ≥ 0 : 2 Dấu = xảy ra chỉ khi a = b. a+ b+ c 3 ≥ abc a, b, c ≥ 0 : 3 Dấu = xảy ra chỉ khi a = b = c. * Bất đẳng thức Bunhiacốpxki : a, b, c, d (ac + bd)2 ≤ (a2 + b2).(c2 + d2); Dấu = xảy ra chỉ khi a/b = c/d 15. Bài toán tìm m để phương trình có k nghiệm : Nếu tách được m, dùng sự tương giao của (C) : y = f(x) và (d) : y = m. Số nghiệm bằng số điểm chung. Nếu có điều kiện của x ∈ I, lập BBT của f với x ∈ I. 16. Bài toán tìm m để bất pt vô nghiệm, luôn luôn nghiệm, có nghiệm x ∈ I : Nếu tách được m, dùng đồ thị, lập BBT với x ∈ I. f(x) ≤ m : (C) dưới (d) (hay cắt) f(x) ≥ m : (C) trên (d) (hay cắt) III- LƯỢNG GIÁC + 0 1. Đường tròn lượng giác : −2π 2π Trên đường tròn lượng giác, góc α đồng nhất với cung AM, đồng nhất với điểm M. Ngược lại, 1 điểm trên đường tròn −2π 2π 0 lượng giác ứng với vô số các số thực x + k2π. T RANG 8
  9. Trên đường tròn lượng giác, nắm vững các góc đặc biệt : M π1 π1 α bội của ( cung phần tư) và ( cung phần tư) 63 42 A0 2kπ x=α+ : α là 1 góc đại diện, n : số điểm cách đều trên x+k2 n tg sin đường tròn lượng giác. M cotg 2. Hàm số lượng giác : M cos 3. Cung liên kết : chiếu xuyên chiếu * Đổi dấu, không đổi hàm : đối, bù, hiệu π (ưu tiên không đổi dấuâm bù, cos t : sin đối, tg cotg hiệu π). * Đổi hàm, không đổi dấu : phụ π * Đổi dấu, đổi hàm : hiệu (sin lớn = cos nhỏ : không đổi dấu). 2 4. Công thức : a. Cơ bản : đổi hàm, không đổi góc. b. Cộng : đổi góc a ± b, ra a, b. c. Nhân đôi : đổi góc 2a ra a. d. Nhân ba : đổi góc 3a ra a. e. Hạ bậc : đổi bậc 2 ra bậc 1. Công thức đổi bậc 3 ra bậc 1 suy từ công thức nhân ba. a f. Đưa về t = tg : đưa lượng giác về đại số. 2 g. Tổng thành tích : đổi tổng thành tích và đổi góc a, b thành (a ± b) / 2. h. Tích thành tổng : đổi tích thành tổng và đổi góc a, b thành a ± b. 5. Phương trình cơ bản : sinα = 0⇔ cosα = – 1 hay cosα = 1⇔ α = kπ, π π sinα = 1 ⇔ α = + k2π; sinα = –1 ⇔ α = – + k2π, 2 2 π cosα = 0 ⇔ sinα = –1 hay sinα = 1 ⇔ α = + kπ, 2 cosα = 1 ⇔ α = k2π, cosα = – 1 ⇔ α = π + k2π sinu = sinv ⇔ u = v + k2π ∨u = π – v + k2π cosu = cosv ⇔ u = ± v + k2π tgu = tgv ⇔ u = v + kπ cotgu = cotgv ⇔ u = v + kπ 6. Phương trình bậc 1 theo sin và cos : asinu + bcosu = c * Điều kiện có nghiệm : a2 + b2 ≥ c2 * Chia 2 vế cho a2 + b2 , dùng công thức cộng đưa về phương trình cơ bản. u (cách khác : đưa về phương trình bậc 2 theo t = tg ) 2 7. Phương trình đối xứng theo sin, cos : T RANG 9
  10. Đưa các nhóm đối xứng về sin + cos và sin.cos. π t2 − 1  2sin u + ÷, − 2 ≤ t ≤ 2,sinu.cosu = Đặt : t = sinu + cosu = 4 2  8. Phương trình chứa sinu + cosu và sinu.cosu : π t 2 −1  Đặt : t = sin u + cos u = 2 sin  u + ÷ , 0 ≤ t ≤ 2 ,sin u.cos u =  4 2 9. Phương trình chứa sinu – cosu và sinu.cosu : π 1− t2  Đặt : t = sinu − cosu = 2sin u − ÷, − 2 ≤ t ≤ 2,sinu.cosu = 4 2  10. Phương trình chứa sinu – cosu và sinu.cosu : π 1− t2  Đặt : t = sin u − cos u = 2 sin  u − ÷ , 0 ≤ t ≤ 2 ,sin u.cos u =  4 2 11. Phương trình toàn phương (bậc 2 và bậc 0 theo sinu và cosu) : Xét cosu = 0; xét cosu ≠ 0, chia 2 vế cho cos2u, dùng công thức 1/cos2u = 1 + tg2u, đưa về phương trình bậc 2 theo t = tgu. 12. Phương trình toàn phương mở rộng : * Bậc 3 và bậc 1 theo sinu và cosu : chia 2 vế cho cos3u. * Bậc 1 và bậc – 1 : chia 2 vế cho cosu. 13. Giải phương trình bằng cách đổi biến : Nếu không đưa được phương trình về dạng tích, thử đặt : * t = cosx : nếu phương trình không đổi khi thay x bởi – x. * t = sinx : nếu phương trình không đổi khi thay x bởi π – x. * t = tgx : nếu phương trình không đổi khi thay x bởi π + x. * t = cos2x : nếu cả 3 cách trên đều đúng x * t = tg : nếu cả 3 cách trên đều không đúng. 2 14. Phương trình đặc biệt :  u= 0 * u2 + v2 = 0 ⇔  v= 0  u= v  u= C  *  u≤ C ⇔  v= C  v≥ C   u≤ A  u= A  *  v≤ B ⇔  u+ v = A + B  v = B   sinu = 1  sinu = −1 ∨ * sinu.cosv = 1 ⇔   cos = 1  cos = −1 v v  sinu = 1  sinu = −1 ∨ * sinu.cosv = – 1 ⇔   cos = −1  cos = 1 v v Tương tự cho : sinu.sinv = ± 1, cosu.cosv = ± 1. T RANG 10
  11. 15. Hệ phương trình : Với F(x) là sin, cos, tg, cotg  F(x) ± F(y) = m (1) a. Dạng 1 :  . Dùng công thức đổi + thành nhân,  x± y = n (2)  x+ y = a thế (2) vào (1) đưa về hệ phương trình :   x− y = b  F(x).F(y) = m b. Dạng 2 :  . Tương tự dạng 1, dùng công thức đổi nhân thành  x± y = n +.  F(x) / F(y) = m c. Dạng 3 :  .  x± y = n a+ c a− c ac Dùng tỉ lệ thức : = ⇔ = biến đổi phương trình (1) rồi dùng b+ d b− d bd công thức đổi + thành x. d. Dạng khác : tìm cách phối hợp 2 phương trình, đưa về các pt cơ bản. 16. Toán ∆ : * Luôn có sẵn 1 pt theo A, B, C : A + B + C = π * A + B bù với C, (A + B)/2 phụ với C/2. * A, B, C ∈ (0, π) ; A/2, B/2, C/2 ∈ (0, π/2) A + B ∈ (0, π) ; (A + B)/2 ∈ (0, π/2) ; A – B ∈ (– π, π) , (A – B)/2 ∈ (– π/2, π/2) Dùng các tính chất này để chọn k. * Đổi cạnh ra góc (đôi khi đổi góc ra cạnh) : dùng định lý hàm sin : a = 2RsinA hay định lý hàm cos : a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA 1 1 abc * S = ah = absinC = = pr a 2 2 4R = p(p − a)(p − b)(p − c) 1 2b2 + 2c2 − a2 * Trung tuyến : ma = 2 A 2bccos * Phân giác : ℓa = 2 b+ c IV- TÍCH PHÂN 1. Định nghĩa, công thức, tính chất : * F là 1 nguyên hàm của f ⇔ f là đạo hàm của F. Họ tất cả các nguyên hàm của f : ∫ f (x)dx= F(x) + C (C ∈ R) uα+1 * ∫ du = u + C ; ∫ u du = α +C, α ≠ – 1 α +1 T RANG 11
  12. du ∫ u = ln u + C; ∫ e du = e + C; ∫ a du= a / lna+ C u u u u ∫ sin udu = − cos u + C ; ∫ cosudu= sinu + C ∫ du/ sin u = − cotgu+ C ∫ du/ cos u = tgu+ C 2 2 ; b ∫ f(x)dx = F(x) = F(b) − F(a) b * a a a b a c b c ∫a = 0 ; ∫a = −∫b , ∫a= ∫a + ∫b * b b b b b ∫ (f + g) = ∫ f + ∫ g ; ∫ kf = k∫ f a a a a a 2. Tích phân từng phần : ∫ udv = uv − ∫ vdu Thường dùng khi tính tích phân các hàm hỗn hợp. a. ∫ xnex , ∫ xn sinx ; ∫ xn cos : u = xn x ∫ x lnx : u = lnx n b. ∫ e sinx , ∫ e cosx : u = e haydv= e dx x x x x c. từng phần 2 lần, giải phương trình ẩn hàm ʃ 3. Các dạng thường gặp : a. ∫ sinm x.cos n+1 x 2 : u = sinx. ∫ cos x.sin x : 2n+1 m u = cosx. ∫ sin x.cos x 2m 2n hạ bậc về bậc 1 : ∫ tg x / cos x 2m 2n (n ≥ b. : u = tgx 0) ∫ cotg x / sin x : 2m 2n (n ≥ u = cotgx 0) ∫ chứa a – u2 2 c. : u = asint ∫ chứa u – a2 2 : u = a/cost ∫ chứa a + u2 2 : u = atgt ∫ R(sinx,cosx) , R : hàm hữu tỷ d. R(–sinx, cosx) = – R(sinx, cosx) : u = cosx R(sinx, –cosx) = – R(sinx, cosx) : u = sinx : u = tgx ∨u = cotgx R(–sinx,–cosx) = R(sinx, cosx) x R đơn giản : u = tg 2 T RANG 12
  13. π/2 π ∫ :thöû u = −x ñaët 2 0 π ∫ :thöû u = π − x ñaët 0 ∫ x (a+ bx ) , (m+ 1) / n∈ Z : u = a+ bx m n p/ q q n e. n p/ q m+ 1 p ∫ x (a+ bx ) , n + q ∈ Z : u x = a+ bx m qn n f. 1 ∫ dx/[(hx+ k) ax + bx+ c : hx+ k = u 2 g. ∫ R(x, (ax+ b) /(cx+ d) , R là hàm hữu tỷ : u = (ax+ b) /(cx+ d) h. ∫ chứa (a + bx ) : thử đặt u = a + bx . k m/n n k i. 4. Tích phân hàm số hữu tỷ : ∫ P(x) / Q(x) : bậc P < bậc Q Đưa Q về dạng tích của x + a, (x + a)n, ax2 + bx + c (∆ < 0) * Đưa P/Q về dạng tổng các phân thức đơn giản, dựa vào các thừa số của Q : * A A A2 An , (x + a)n → 1 + x + a→ + ...+ 2 (x + a)n x+ a x + a (x + a) A (2ax+ b) B  dx  ∫ 2 (∆ < 0) = ∫ du/(u2 + a2) :ñaët= atgt ax2 + bx+ c(∆ < 0) → +2 u  2 ax + bx+ c ax + bx+ c  ax + bx+ c  5. Tính diện tích hình phẳng : b a. D giới hạn bởi x = a, x = b, (Ox), (C) : y = f(x) : SD = ∫ f (x) dx a f(x) : phân thức hữu tỉ : lập BXD f(x) trên [a,b] để mở  f(x) : hàm lượng giác : .; xét dấu f(x) trên cung [a, b] của đường tròn lượng giác. b. D giới hạn bởi x = a, x = b , (C) : y = f(x) b SD = ∫ f (x) − g(x) dx (C') : y = g(x) : a Xét dấu f(x) – g(x) như trường hợp a/. c. D giới hạn bởi (C1) : f1(x, y) = 0 , (C2) : f2 (x, y) = 0 f(x) b SD = ∫ f(x) − g(x) dx α/ g(x a ) x= x= b a b y= SD = ∫ f(y) − g(y) dy β/ b g(y f(y) a ) y= a T RANG 13
  14. Với trường hợp α) : nếu biên trên hay biên dưới bị gãy, ta cắt D bằng các đường thẳng đứng ngay chỗ gãy. Với trường hợp β) : nếu biên phải hay biên trái bị gãy, ta cắt D bằng các đường ngang ngay chỗ gãy. Chọn tính ∫ theo dx hay dy để ∫ dễ tính toán hay D ít bị chia cắt. Cần giải các hệ phương trình tọa độ giao điểm. Cần biết vẽ đồ thị các hình thường gặp : các hàm cơ bản, các đường tròn, (E) , (H), (P), hàm lượng giác, hàm mũ, hàm . . Cần biết rút y theo x hay x theo y từ công thức f(x,y) = 0 và biết chọn + ( y = ...+ ) hay − : treân = ...− : döôùi = ...+ : phaûi = ...− ,y ,x ,x : traùi 6. Tính thể tích vật thể tròn xoay : f(x a. D như 5.a/ xoay quanh (Ox) : ) b V = π ∫ [ f (x)] 2dx ab a b f(y a b ) V = π ∫ [ f (y)] 2dy b. f(x) a g(x b V = π ∫ [f (x) − g (x)]dx 2 2 c. a) b a b b f(y V = π ∫ [f 2(y) − g2(y)]dy g(y) d. ) a a f(x f(x) -g(x) )b c b a V = π ∫ f 2(x)dx+ π ∫ g2(x)dx e. a c c a b g(x 0) c b b f(y) V = π ∫ g (y)dy+ π ∫ f 2(y)dy 2 f. c a c -g(y) a Chú ý : xoay quanh (Ox) : ∫ ...dx ; xoay quanh (Oy) : ∫ ... dy. T RANG 14
  15. V- KHẢO SÁT HÀM SỐ 0 ∞ 1. Tìm lim dạng , dạng 1 : 0 (x − a)P1(x) P(x) P = lim 1 (daïng/ 0) = lim a. Phân thức hữu tỷ : lim 0 x→a (x − a)Q1(x) x→a Q(x) x→a Q1 f (x) sinu =1 b. Hàm lg : lim (daïng/ 0),duøng thöùc 0 coâng lim x→a g(x) u→0 u f (x) c. Hàm chứa căn : lim (daïng/ 0) , dùng lượng liên hiệp : 0 x→a g(x) 3 a2 – b2 = (a – b)(a + b) để phá , a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) để phá 1/ u d. Hàm chứa mũ hay log (dạng 1 ) : dùng công thức u→0(1+ u) = e lim ∞ 2. Đạo hàm : f (x) − f (xo ) a. Tìm đạo hàm bằng định nghĩa : f '(x0) = lim x − xo x→xo Tại điểm xo mà f đổi công thức, phải tìm đạo hàm từng phía : / / f+ (xo ) = lim ,f− (xo ) = lim . Nếu f / (x ) = f / (x ) thì f có đạo hàm tại xo. + − + − o o x→xo x→xo b. Ý nghĩa hình học : k = tgα = f/(xM) α c. f/ + : f ↑ , f/ – : f ↓ f(x M f// – : f lồi f// + : f lõm , )  f / (xM ) = 0 d. f đạt CĐ tại M ⇔  //  f (xM ) < 0  f / (xM ) = 0 f đạt CT tại M ⇔  //  f (xM ) > 0 M là điểm uốn của f ⇔ f//(xM) = 0 và f// đổi dấu khi qua xM. α α e. Tính đạo hàm bằng công thức : C/ = 0, (x )/ = αx –1 , (lnx)/ = 1/x , 1 ( loga x) ′ = , (ex)/ = ex xlna (ax)/ = ax.lna, (sinx)/ = cosx , (cosx)/ = – sinx, (tgx)/ = 1/cos2x, (cotgx)/ = –1/sin2x, (ku)/ = ku/ , (u ± v)/ = u/ ± v/, (uv)/ = u/v + uv/ , (u/v)/ = (u/v – uv/)/v2 * Hàm hợp : (gof)/ = g/[f(x)] . f/(x) * Đạo hàm lôgarit : lấy log (ln : cơ số e) 2 vế , rồi đ ạo hàm 2 vế; áp d ụng v ới hàm [f(x)]g(x) hay f(x) dạng tích, thương, chứa n ... f. Vi phân : du = u/dx 3. Tiệm cận : x a y RANG ∞ 5 T∞1
  16. limy = ∞ ⇒ x = a : tcđ x→a −∞ +∞ x lim y = b ⇒ y = b : tcn x→∞ y b b −∞ +∞ x lim[y − (ax+ b)] = 0 ⇒ y = ax + b : tcx x→∞ ∞ ∞ y Vẽ đồ thị có tiệm cận : * - t c đ : khi y càng tiến về ± ∞ thì đường cong càng gần đường t c . - t c x :khi x và y càng tiến về ± ∞ thì đường cong càng gần đường t c. - t c n :khi x càng tiến về ± ∞ thì đường cong càng gần đường t c. P(x) Xét y = * Q(x) • Có tcđ x = a khi Q(a) = 0, P(a) ≠ 0 • Có tcn khi bậc P ≤ bậc Q : với x → ∞ , tìm lim y bằng cách lấy số hạng bậc cao nhất của P chia số hạng bậc cao nhất của Q. P1(x) • Có tcx khi P hơn Q 1 bậc, khi đó chia đa thức ta có : f (x) = ax+ b + , tcx Q(x) là y = ax + b. Nếu Q = x – α, có thể chia Honer. * Biện luận tiệm cận hàm bậc 2 / bậc 1 : c y = ax + b + (d≠ 0) dx + e • a ≠ 0, c ≠ 0 : có tcđ, tcx • a = 0, c ≠ 0 : có tcn, tcđ. • c = 0 : (H) suy biến thành đt, không có tc. 4. Đồ thị các hàm thường gặp : a< a= a/ y = ax + b : a> 0 2 b/ y = ax + bx + c 0 0 c/ y = ax3 + bx2 + c + d a>0 a<0 a> 0 : =0 <0 >0 a<0: d/ y = ax4 + bx2 + c ab < Tb > a RANG 16 0 0
  17. a>0 a<0 e/ y = (ax + b) / (cx + d) (c ≠ 0) ad - bc > 0 ad - bc < 0 ax2 + bx+ c (ad ≠ 0) f/ y = dx+ e ad > 0 >0 =0 ad < 0 <0 5. ĐỐI XỨNG ĐỒ THỊ : x= y> g(x) = f(–x) : đx qua (Oy) a y= b g(x) = – f(x) : đx qua (Ox) b y< b x < ax > b (C/) : y = f (x) : giữ nguyên phần (C) bên trên y = 0, lấy phần (C) bên dưới y = 0 a a đối xứng qua (Ox). (C/) : y = f ( x ) : giữ nguyên phần (C) bên phải x = 0, lấy phần (C) bên phải x = 0 đối xứng qua (Oy). 6. ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA (Cm) : y = f(x, m) a/ Điểm cố định : M(xo, yo) ∈ (Cm), ∀m ⇔ yo = f(xo, m), ∀m ⇔ Am + B = 0, ∀m A =0 A =0  (hay  B = 0 ). Giải hệ, được M. (hay Am2 + Bm + C = 0, ∀m) ⇔  B=0 C= 0  b/ Điểm (Cm) không đi qua, ∀m : M(xo, yo) ∉ (Cm), ∀m ⇔ yo ≠ f(xo,m), ∀m ⇔ yo A = 0 = f(xo, m) VN m ⇔ Am + B = 0 VN m (hay Am2 + Bm + C = 0 VN m) ⇔  B≠ 0 A =0 A ≠ 0  (hay  B = 0 ∨  ). Giải hệ , được M. ∆ < 0 C≠ 0  T RANG 17
  18. B ≠ 0 A = C VN ⇔ B = 0 ∨  Chú ý : A = BC VN B c/ Điểm có n đường cong của họ (Cm) đi qua : Có n đường (Cm) qua M(x o, yo) ⇔ yo = f(xo, m) có n nghiệm m. Cần nắm vững điều kiện có n nghiệm của các loại phương trình : bậc 2, bậc 2 có điều kiện x ≠ α, bậc 3, trùng phương. 7. TIẾP XÚC, PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN : yC = yC/ a. (C) : y = f(x), tx (C/) : y = g(x) khi hệ phương trình sau có nghiệm :  / . / y C = y C/ Nghiệm x của hệ là hoành độ tiếp điểm. b. Tìm tiếp tuyến với (C) : y = f(x) * Tại M(xo, yo) : y = f'(xo)(x – xo) + yo. * Qua M (xo, yo): viết phương trình đường thẳng qua M : (d) : y = k(x – x o) + yo. Dùng điều kiện tx tìm k. Số lượng k = số lượng tiếp tuyến (nếu f bậc 3 hay bậc 2 / bậc 1 thì số nghiệm x trong hệ phương trình đk tx = số lượng tiếp tuyến). * // (∆ ) : y = ax + b : (d) // (∆ ) ⇒ (d) : y = ax + m. Tìm m nhờ đk tx. 1 * ⊥ (∆ ) : y = ax + b (a ≠ 0) : (d) ⊥ (∆ ) ⇒ (d) : y = − x + m. Tìm m nhờ đk tx. a c. Bài toán số lượng tiếp tuyến : tìm M ∈ (C ) : g(x, y) = 0 sao cho từ M kẻ được / đến (C) đúng n tiếp tuyến (n = 0, 1, 2, ...), M(xo,yo) ∈ (C/) ⇔ g(xo,yo) = 0; (d) qua yC = yd (1). Thế k vào (1) được phương trình M : y = k(x – xo) + yo; (d) tx (C) :  / y C = k ẩn x, tham số xo hay yo. Đặt đk để phương trình này có n nghiệm x (số nghiệm x = số tiếp tuyến), tìm được xo hay yo. 8. TƯƠNG GIAO : * Phương trình hđ điểm chung của (C) : y = f(x) và (C/) : y = g(x) là : f(x) = g(x). Số nghiệm pt = số điểm chung. * Tìm m để (Cm) : y = f(x, m) và (C/m) : y = g(x, m) có n giao điểm : Viết phương trình hoành độ điểm chung; đặt đk để pt có n nghiệm. Nếu pt hoành độ điểm chung tách được m sang 1 vế : F(x) = m : đặt điều kiện để (C) : y = F(x) và (d) : y = m có n điểm chung. * Biện luận sự tương giao của (Cm) và (C/m) : • Nếu pt hđ điểm chung dạng : F(x) = m : lập BBT của F; số điểm chung của (Cm) và (C/m) = số điểm chung của (C) và (d). • PThđ điểm chung, không tách được m, dạng f(x) = ax 2 + bx + c = 0 (x ≠ α) hay dạng bậc 3 : x = α ∨f(x) = 0 : lập ∆ , xét dấu ∆ , giải pt f(x) = 0 để biết m nào thì α là nghiệm của f, với m đó, số nghiệm bị bớt đi 1. 9. CỰC TRỊ : * f có đúng n cực trị ⇔ f/ đổi dấu n lần.  f / (xo ) = 0 * f đạt cực đại tại xo ⇔  //  f (xo ) < 0 T RANG 18
  19.  f / (xo ) = 0 f đạt cực tiểu tại xo ⇔  //  f (xo ) > 0 * f bậc 3 (hay bậc 2 / bậc 1) có cực trị ⇔ f có CĐ và CT ⇔ ∆ f / > 0 * f bậc 3 (hay bậc 2 / bậc 1) có cực trị : • Bên phải (d) : x = α ⇔ y/ = 0 có 2 nghiệm α < x1 < x2. • Bên trái (d) : x = α ⇔ y/ = 0 có 2 nghiệm x1 < x2 < α . ∆f/ >0  • 1 bên (Ox) ⇔   yCD .yCT > 0   ∆f/ > 0  • 2 bên (Ox) ⇔   yCD .yCT < 0  * Với hàm bậc 2 / bậc 1, các điều kiện yCĐ.yCT < 0 (>0) có thể thay bởi y = 0 VN (có 2 nghiệm.). * Tính yCĐ.yCT : • Hàm bậc 3 : y = y/ (Ax + B) + (Cx + D) yCĐ.yCT = (CxCĐ + D).(CxCT + D), dùng Viète với pt y/ = 0. u • Hàm bậc 2/ bậc 1 : y = v u (xCÑ ).u/ (xCT ) / , dùng Viète với pt y/ = 0. yCĐ.yCT = / v (xCÑ ).v/ (xCT ) * Đường thẳng qua CĐ, CT : • Hàm bậc 3 : y = Cx + D • Hàm bậc 2 / bậc 1 : y = u/ / v/ * y = ax4 + bx2 + c có 1 cực trị ⇔ ab ≥ 0, 3 cực trị ⇔ ab < 0 10. ĐƠN ĐIỆU : a. Biện luận sự biến thiên của hàm bậc 3 : i) a > 0 và y’ = 0 vô nghiệm ⇒ hàm số tăng trên R (luôn luôn tăng) ii) a < 0 và y’ = 0 vô nghiệm ⇒ hàm số giảm (nghịch biến) trên R (luôn luôn giảm) iii) a > 0 và y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 với x1 < x2 ⇒ hàm số đạt cực đại tại x1 và đạt cực tiểu tại x2. Ngoài ra ta còn có : + x1 + x2 = 2x0 với x0 là hoành độ điểm uốn. + hàm số tăng trên (−∞, x1) + hàm số tăng trên (x2, +∞ ) + hàm số giảm trên (x1, x2) iv) a < 0 và y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 với x1 < x2 ⇒ hàm đạt cực tiểu tại x 1 và đạt cực đại tại x 2 thỏa điều kiện x1 + x2 = 2x0 (x0 là hoành độ điểm uốn). Ta cũng có : + hàm số giảm trên (−∞, x1) + hàm số giảm trên (x2, +∞ ) + hàm số tăng trên (x1, x2) baäc 2 b. Biện luận sự biến thiên của y = baäc 1 i) Nếu a.m > 0 và y/ = 0 vô nghiệm thì hàm tăng ( đồng biến) trên từng khỏang xác định. T RANG 19
  20. ii) Nếu a.m < 0 và y/ = 0 vô nghiệm thì hàm giảm ( nghịch biến) trên từng khỏang xác định. iii) Nếu a.m > 0 và y / = 0 có 2 nghiệm phân biệt x 1, x2 thì hàm đạt cực đại tại x 1 và đạt cực x1 + x2 p =− . tiểu tại x2 thỏa x1 < x2 và 2 m iv) Nếu a.m < 0 và y/ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thì hàm đạt cực tiểu tại x1 và đạt cực x1 + x2 p =− . đại tại x2 thỏa x1 < x2 và 2 m c. Tìm m để hàm số bậc 3, bậc 2/bậc 1 đồng biến (nghịch biến) trên miền x ∈ I : đặt đk để I nằm trong miền đồng biến (nghịch biến) của các BBT trên; so sánh nghiệm pt bậc 2 y/ = 0 với α. 11. BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM PT BẰNG ĐỒ THỊ : a. Cho pt : F(x, m) = 0; tách m sang 1 vế : f(x) = m; lập BBT của f (nếu f đã khảo sát thì dùng đồ thị của f), số nghiệm = số điểm chung. , . , lượng giác : đổi biến; cần biết mỗi biến mới t được mấy b. Với pt mũ, log, biến cũ x; cần biết đk của t để cắt bớt đồ thị f. 12. QUỸ TÍCH ĐIỂM DI ĐỘNG M(xo, yo) : Dựa vào tính chất điểm M, tìm 2 đẳng thức chứa x o, yo, m; khử m, được F(xo, yo) = 0; suy ra M ∈ (C) : F(x, y) = 0; giới hạn quỹ tích : M tồn tại ⇔ m ? ⇔ xo ? (hay yo ?) • Nếu xo = a thì M ∈ (d) : x = a. • Nếu yo = b thì M ∈ (d) : y = b. 13. TÂM, TRỤC, CẶP ĐIỂM ĐỐI XỨNG : a. CM hàm bậc 3 có tâm đx (điểm uốn), hàm bậc 2/bậc 1 có tâm đx (gđ 2 tc) tại I : đổi tọa độ : x = X + xI, y = Y + yI; thế vào hàm số : Y = F(X), cm : F(–x) = – F(x), suy ra F là hàm lẻ, đồ thị có tđx là gốc tọa độ I. b. CM hàm bậc 4 có trục đx // (Oy) : giải pt y/ = 0; nếu x = a là nghiệm duy nhất hay là nghiệm chính giữa của 3 nghiệm : đổi tọa độ x = X + a, y = Y; thế vào hàm số : Y = F(X); cm F(–X) = F(X); suy ra F là hàm chẵn, đồ thị có trục đối xứng là trục tung X = 0, tức x = a. c. Tìm trên (C) : y = f(x) cặp điểm M, N đối xứng qua I : giải hệ 4 pt 4 ẩn :  xM + xN = 2xI  y + y = 2y M N I   yM = f(xM )  yN = f(xN )  d. Tìm trên (C) : y = f(x) cặp điểm đ/x qua đt (d) : y = ax + b : dt ⊥ (d) là 1 (d') : y = – x + m; lập pt hđ điểm chung của (C) và (d'); giả sử pt có 2 nghiệm x A, a xB, tính tọa độ trung điểm I của AB theo m; A, B đối xứng qua (d) ⇔ I ∈ (d) ⇔ m?; thay m vào pthđ điểm chung, giải tìm xA, xB, suy ra yA, yB. T RANG 20
Đồng bộ tài khoản