Tổng hợp các bộ lọc số có đáp ứng xung chiều dài hữu hạn (IIR) - Phần 1

Chia sẻ: Le Ngoc Thin | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:18

0
179
lượt xem
82
download

Tổng hợp các bộ lọc số có đáp ứng xung chiều dài hữu hạn (IIR) - Phần 1

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bộ lọc số có độ dài đáp ứng xung vô hạn (IIR = Infinitive Impulse Response) có phương trình sai phân được viết dưới dạng :

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Tổng hợp các bộ lọc số có đáp ứng xung chiều dài hữu hạn (IIR) - Phần 1

  1. Chöông 6 - Toång Hôïp Caùc Boä Loïc Soá Coù Ñaùp Öùng Xung Chieàu Daøi Voâ Haïn (I I R) CHÖÔNG VI TOÅNG HÔÏP CAÙC BOÄ LOÏC SOÁ COÙ ÑAÙP ÖÙNG XUNG CHIEÀU DAØI VOÂ HAÏN ( I I R) 6.1 Môû Ñaàu Boä loïc soá coù ñoä daøi ñaùp öùng xung voâ haïn (IIR = Infinitive Impulse Response) coù phöông trình sai phaân ñöôïc vieát döôùi daïng : N M ∑ a k y(n – k) = k =0 ∑b r =0 r x(n – r) (6.1) Ñaây laø moät phöông trình ñeä quy bôûi vì ta coù theå ruùt ra ñöôïc : 1 M N  y(n) = ∑ a o  r =0 b r x ( n − r ) − ∑ a k y( n − k )  k =1  Tín hieäu ñaàu ra khoâng nhöõng phuï thuoäc caùc tín hieäu ñaàu vaøo x(n) maø coøn phuï thuoäc caùc maãu tín hieäu ra tröôùc ñoù : y(n – 1), y(n -2). . . Vì vaäy loïc IIR coøn goïi laø loïc ñeä quy vaø loïc FIR coøn goïi laø loïc khoâng ñeä quy. Thöïc hieän bieán ñoåi Z phöông trình (6.1), ta coù haøm tryeàn ñaït H(z) : M Y(z) ∑b z r −r H(z) = = r =0 N (ta chuaån hoaù ao = 1) X(z) 1+ ∑ akz −k k =1 Trong chöông naøy ta seõ nghieân cöùu caùc phöông phaùp toång hôïp boä loïc soá, töùc laø tìm ra caùc heä soá cuûa boä loïc soá IIR sao cho thoûa maõn caùc chæ tieâu kyõ thuaät cuûa boä loïc. 6.2 Caùc Tính Chaát Toång Quaùt Cuûa Boä Loïc Ñeå thöïc hieän ñöôïc veà maët vaät lyù, boä loïc soá phaûi coù tính chaát oån ñònh vaø nhaân quaû, nghóa laø ta coù ñieàu kieän sau ñaây : h(n) = 0 vôùi n
  2. Chöông 6 - Toång Hôïp Caùc Boä Loïc Soá Coù Ñaùp Öùng Xung Chieàu Daøi Voâ Haïn (I I R) Ñaùp öùng taàn soá H(ejω) chính laø H(z) khi z = ejω . Neáu ak vaø br laø caùc soá thöïc thì ta coù theå vieát : 2 jω [ H(e jω ) = H(e ). H(e jω ) = H(e ).H(e ) ] * jω -jω M M ∑ b r e − jrω ∑b e k − jkω maø H(ejω) = r =0 N = k =0 N ∑a e k =0 k − jkω ∑a k =0 k e − jkω ta thaáy ngay : M  M  M  ∑ b k e − jkω  ∑ b k e jkω  ∑ B cos iω i H(e jω ) =  kN0  k =0  = 2 • = i =0   N  N  ∑ a k e − jkω  ∑ a k e jkω  ∑A i cos iω  k =0  k =0  i =0 Trong ñoù caùc heä soá Bi , Ai ñöôïc xaùc ñònh nhö sau : M M −i B0 = ∑b k =0 2 k , Bi = 2 ∑b b k =0 k i+ k (i ≠ 0) N N −i A0 = ∑a k =0 2 k , Ai = 2 ∑a k =0 a k i+ k (i ≠ 0) Caàn löu yù laø ñeå thoûa maõn ñieàu kieän oån ñònh, caùc ñieåm cöïc cuûa H(z) phaûi naèm beân trong voøng troøn ñôn vò. Ñoái vôùi boä loïc IIR caàn thieát keá vaø thöïc hieän rieâng reõ ñaëc tuyeán bieân ñoä vaø ñaëc tuyeán pha. • Goùc pha cuûa H(ejω) laø ϕ (ω), ta coù : H(ejω) = H(e jω ) e jϕ (ω ) H*(ejω) = H(e-jω) = H(e jω ) e − jϕ (ω ) j2ϕ(ω) H(e jω ) Suy ra e = H ( e − jω )  H ( e jω )  2j ϕ (ω) = ln  − jω   H (e )  1  H ( e jω )  ϕ (ω) = ln  − jω  2j  H (e )  • Thôøi gian truyeàn nhoùm T(ω) ñöôïc ñònh nghóa nhö sau : dϕ (ω ) 1 d  H ( e jω )  1 d  H ( e jω )  T(ω) = − =- ln  − jω  = - jejω ln  − jω  dω 2 j dω  H (e )  2j d ( e jω )  H (e )  Xöû Lyù Tín Hieäu Soá 213
  3. Chöông 6 - Toång Hôïp Caùc Boä Loïc Soá Coù Ñaùp Öùng Xung Chieàu Daøi Voâ Haïn (I I R) 1 jω  d ln[H(ω )] − d ln[H(je )] e jω − jω = - e  d (e j )  d (e ω )   2  jω − jω  1 jω  H' (ejω ) + 1 2 H' (e− jω )  = - e  H(e ) (e jω ) H(e )    2   dH(e jω ) vôùi H’(ejω) = d ( e jω ) dH(e − jω ) H’(e-jω) = d ( e − jω ) jω − jω   1  H' (ejω ) e jω + e − jω H' (e− jω )  Vaäy T(ω) = –  H(e ) H (e )  2 1  H ' ( e jω )   H ' ( e jω ) jω   *  =–  jω e + e   2  H (e )  jω  H (e ) jω    H' (e jω ) jω   d[ln H(z)] T(ω) = – Re  jω e  = - Re  Z  jω  H (e )   dz  Z=e Vì ñaëc tuyeán pha cuûa boä loïc IIR khoâng tuyeán tính, neân thôøi gian truyeàn nhoùm ñöôïc duøng ñeå ñaëc tröng cho söï phuï thuoäc vaøo taàn soá cuûa haøm truyeàn toát hôn laø duøng pha. 6.3 Thieát Keá Boä Loïc IIR Baèng Phöông Phaùp Bieán Ñoåi Töø Boä Loïc Töông Töï Thieát keá boä loïc ñôn giaûn nhaát laø xuaát phaùt töø boä loïc töông töï roài töø ñoù duøng caùc pheùp bieán ñoåi xaùc ñònh caùc heä soá loïc cuûa boä loïc IIR. Moät maïch loïc töông töï coù theå bieåu dieãn bôûi haøm truyeàn ñaït : M B(s) ∑β s k k • Ha(s) = = k =0 N vôùi {αk} vaø { β k} laø caùc heä soá cuûa maïch loïc. A(s) ∑α s k =0 k k • Hoaëc coù theå bieåu dieãn bôûi ñaùp öùng xung ñöôïc tính töø haøm truyeàn ñaït baèng bieán ñoåi Laplace : ∞ -st Ha(s) = ∫ h ( t ) e dt (6.2) −∞ • Cuõng coù theå bieåu dieãn baèng phöông trình vi phaân tuyeán tính heä soá haèng : N d k y( t ) M d k x(t ) ∑ α k dt k = k =0 ∑ β k dt k k =0 (6.3) Vôùi x(t) laø tín hieäu taùc ñoäng ngoõ vaøo, vaø y(t) laø ngoõ ra cuûa maïch loïc. Ba phöông trình treân cho ta 3 caùch chuyeån ñoåi 1 maïch loïc töông töï thaønh 1 maïch loïc soá. Xöû Lyù Tín Hieäu Soá 214
  4. Chöông 6 - Toång Hôïp Caùc Boä Loïc Soá Coù Ñaùp Öùng Xung Chieàu Daøi Voâ Haïn (I I R) • Coâng cuï toaùn hoïc duøng ñeå khaûo saùt tính chaát maïch loïc töông töï laø pheùp bieán ñoåi Laplace : ∞ -st ha(t) → Ha(s) = ∫ h a ( t ) e dt (6.4) −∞ vôùi s = σ+ jωa jωa Maët phaúng S trong bieán σ ñoåi Laplace 0 σ0 • Coâng cuï toaùn hoïc Hình 6.1 duøng ñeå khaûo saùt tính chaát maïch loïc soá laø pheùp bieán ñoåi Z : Im(Z) Maët phaúng Z trong Voøng troøn 1 ∞ bieán ñoåi Z ñôn vò h(n) → H(z) = ∑ h(n) z-n n = −∞ –1 1 Re(Z) • Maïch loïc töông töï vôùi haøm truyeàn 0 ñaït H(s) laø oån ñònh neáu taát caû caùc ñieåm cöïc cuûa noù naèm beân traùi maët phaúng S. Vì vaäy ta caàn löu yù nhöõng ñaëc ñieåm sau : –1 → Truïc jωa trong maët phaúng S coù aùnh xaï Hình 6.2 laø voøng troøn ñôn vò trong maët phaúng Z. Vì vaäy coù theå thieát laäp quan heä tröïc tieáp giöõa 2 bieán taàn soá treân 2 mieàn. → Maët phaúng traùi cuûa maët phaúng S coù aùnh xaï laø mieàn naèm trong voøng troøn ñôn vò treân maët phaúng Z. Vì vaäy maïch loïc töông töï oån ñònh seõ ñöôïc chuyeån ñoåi thaønh maïch loïc soá oån ñònh. 6.3.1 Thieát Keá Baèng Phöông Phaùp Baát Bieán Xung Phöông phaùp naøy döïa treân quan heä cuûa ñaùp öùng xung hA(t) cuûa loïc töông töï vaø daõy h(n) rôøi raïc ñöôïc xaùc ñònh bôûi laáy maãu hA(t) : h(n) = hA(nT) Coù nghóa laø daõy ñaùp öùng xung cuûa boä loïc rôøi raïc ñöôïc nhaän töø vieäc laáy maãu ñaùp öùng xung cuûa boä loïc töông töï, T laø chu kyø laáy maãu. ∞ Theo treân ta coù : h(n) = hA(nT) = ∑ n = −∞ hA(t) δ (t – nT) Xöû Lyù Tín Hieäu Soá 215
  5. Chöông 6 - Toång Hôïp Caùc Boä Loïc Soá Coù Ñaùp Öùng Xung Chieàu Daøi Voâ Haïn (I I R) Vôùi haøm hA(t) ta coù aûnh Laplace laø HA(s) , δ (t – nT) laø haøm xung Dirac. Vôùi haøm h(n) ta coù aûnh Z laø H(z) vaø bieán ñoåi Fourrier laø H(ejω) ∞ ∞ h(n) = ∑ n = −∞ hA(t) δ (t – nT) = hA(t) ∑ n = −∞ δ (t – nT) Trong mieàn thôøi gian lieân tuïc, goïi : – Bieán ñoåi Fourier cuûa hA(t) laø Ha(ωa) ∞ – Bieán ñoåi Fourier cuûa ∑ δ (t – nT) laø n = −∞ hA(t) 1 ∞ n 2π T ∑ n = −∞ δ (ωa - T ) Nhö vaäy goïi bieán ñoåi Fourier cuûa h(n) laø 0 t jω H(e ), ta coù : ∑ δ(t − nT ) H(ejω) = Ha(ωa)*  1 ∞ n 2π   T ∑ δ (ω a − T  )  n = −∞ t 1 ∞ n 2π -T 0 T 2T 3T = T ∑ n = −∞ Ha(ωa) * δ (ωa - T ) n 2π h(n) Maø Ha(ωa) * δ (ωa - ) T ∞ 2πn n = ∫ δ (Ω − ).Ha(ωa - Ω)dΩ −∞ T -2 -1 0 1 2 3 n 2π = Ha(ωa - ) Hình 6.3 T 1 ∞ n 2π Vaäy H(ejω) = T ∑ n = −∞ Ha(ωa - T ) (6.5) Veà moái quan heä giöõa 2 taàn soá ω vaø ωa ta nhaän xeùt : → Ñoái vôùi tín hieäu soá : x(n) = Acosnω thì n ñöôïc hieåu laø soá nguyeân khoâng ñôn vò neân ω phaûi coù ñôn vò goùc laø radian, ω goïi laø taàn soá soá → Ñoái vôùi tín hieäu töông töï : x(t) = Acosωat, trong ñoù ωa laø taàn soá goùc rad s , khi ( ) laáy maãu ñeàu ôû caùc thôøi ñieåm t = nT (vôùi T laø chu kyø laáy maãu) thì ta ñöôïc tín hieäu soá: x(n) = AcosnωaT. Vaäy ñoái chieáu vôùi tín hieäu soá : x(n) = Acosnω Ta coù quan heä: ω = ωaT Trôû laïi keát quaû treân ta coù caùc ñoà thò sau : Xöû Lyù Tín Hieäu Soá 216
  6. Chöông 6 - Toång Hôïp Caùc Boä Loïc Soá Coù Ñaùp Öùng Xung Chieàu Daøi Voâ Haïn (I I R) Ha(ωa) ωa – ωamax 0 ωamax H(ejω) 2π – ωamax T ωa – ωamax 0 ωamax 2π 4π T T Hình 6.4 • Ñeå traùnh hieän töôïng choàng phoå ta phaûi coù ñieàu kieän : 2π ωa max ≤ - ωa max T π π ωa max ≤ ⇒ Ha(ωa) = 0 khi ωa ≥ T T • Luùc ñoù ñoái vôùi ñaùp öùng taàn soá H(ejω) cuûa boä loïc rôøi raïc, ta coù theå vieát : 1 ω H(ejω) = HA( ) vaø laø haøm soá tuaàn hoaøn chu kyø 2π. T T • Thieát keá xung baát bieán coù theå toùm taét theo caùc böôùc sau : → Caàn ñaët chæ tieâu cho boä loïc rôøi raïc baèng ñaëc tuyeán taàn soá H(ejω), vaø caàn thieát laäp chæ tieâu töông töï töông öùng vôùi vieäc löïa choïn taàn soá laáy maãu ñuùng π ωs (ωa ≤ = hay laø fs ≥ 2fa) fs laø taàn soá laáy maãu, fa laø taàn soá tín hieäu lieân tuïc vaøo. T 2 → Caàn tìm haøm truyeàn ñaït töông töï HA(s) thoûa maõn caùc chæ tieâu töông töï ñaõ ñaët ra. Trong nhieàu tröôøng hôïp HA(s) coi nhö ñöôïc cho vaø chæ caàn thöïc hieän caùc böôùc sau : → Töø haøm HA(s) vôùi bieán ñoåi ngöôïc Laplace caàn xaùc ñònh haøm ñaùp öùng xung töông töï hA(t) → Töø hA(t) xaùc ñònh daõy h(n) sau ñoù xaùc ñònh aûnh H(z) coù theå thöïc hieän ñöôïc bôûi moät maïch chuaån naøo ñoù Ñeå xeùt söï aùnh xaï giöõa maët phaúng Z vaø maët phaúng S trong quaù trình laáy maãu, ta xeùt baøi toaùn sau ñaây : Xeùt haøm lieân tuïc f(t), ta seõ coù haøm rôøi raïc f(nT) vôùi chu kyø laáy maãu T. Xöû Lyù Tín Hieäu Soá 217
  7. Chöông 6 - Toång Hôïp Caùc Boä Loïc Soá Coù Ñaùp Öùng Xung Chieàu Daøi Voâ Haïn (I I R) ∞ f(nT) = ∑ f (t ) δ (t – nT) n = −∞ vôùi δ (t – nT) laø haøm xung Dirac. Bieán ñoåi Laplace cuûa haøm f(nT), kyù hieäu laø : F*(s) ∞ ∞  ∞  -st F*(s) = ∫−∞ n∑ f (t ).δ (t − nT) e dt -st ∫ f (nt ) e dt = −∞  =−∞  ∞ ∞ = ∑∫ n = −∞ −∞ f ( t ) δ (t – nT) e-stdt ∞ * F (s) = ∑ f (nT) e-snT n = −∞ Ñaët z = esT vôùi s = σ + jω Ta coù bieán ñoåi Z cuûa haøm f(t) taïi thôøi ñieåm t = nT (haøm rôøi raïc) : F*(s) = F(z) ∞ = ∑ f (nT) z-n n = −∞ Vaäy pheùp aùnh xaï thöïc hieän treân ñaëc ñieåm chung laø bieán ñoåi bieán giöõa 2 mieàn z = e . Thay s = σ+ jωa vaø bieåu dieãn z theo daïng toaï ñoä cöïc z = r ejω. Ta coù : sT r ejω = eσT e jω T ⇒ r = eσT , ω = ωaT a Vaäy khi σ < 0 töông öùng vôùi 0 < r < 1 σ > 0 töông öùng vôùi r > 1 σ = 0 töông öùng vôùi r = 1 Töø keát quaû naøy ta ruùt ra keát luaän : jωa Voøng troøn Im(Z) ñôn vò 1 ω ReZ σ 0 0 Maët phaúng Z Maët phaúng S Hình 6.5 Xöû Lyù Tín Hieäu Soá 218
  8. Chöông 6 - Toång Hôïp Caùc Boä Loïc Soá Coù Ñaùp Öùng Xung Chieàu Daøi Voâ Haïn (I I R) • Nöõa maët phaúng traùi trong mieàn S seõ cho keát quaû aùnh xaï trong mieàn Z laø mieàn naèm trong voøng troøn ñôn vò. • Nöõa maët phaúng phaûi trong mieàn S cho keát quaû aùnh xaï trong mieàn Z laø mieàn naèm ngoaøi voøng troøn ñôn vò • Caùc ñieåm treân truïc jωa seõ chieáu leân voøng troøn ñôn vò trong maët phaúng Z • Tuy nhieân pheùp aùnh xaï naøy khoâng phaûi laø moät_moät vì ω laø ñôn trò treân khoaûng (–π , π), pheùp aùnh xaï ω = ωaT töông öùng vôùi khoaûng : π π − ≤ ωa≤ seõ chieáu leân caùc giaù trò töông öùng trong khoaûng – π ≤ ω ≤ π. Hôn nöõa T T π 3π khoaûng taàn soá ≤ ωa≤ cuõng cho keát quaû cuûa pheùp aùnh xaï laø chieáu caùc ñieåm leân T T khoaûng – π ≤ ω ≤ π. Noùi chung laø caùc giaù trò trong khoaûng π π (2k – 1) ≤ ωa≤ (2k+1) ñeàu chieáu leân khoaûng -π ≤ ω ≤ π vôùi k laø soá nguyeân. Hình T T veõ sau minh hoaï keát quaû naøy : jωa π (2k+1) T π (2k–1) Im(Z) T π ≈ 1 T Mieàn oån ñònh σ Mieàn 1 Re(Z) oån ñònh π – T Hình 6.6 Ñeå khai thaùc heát hieäu quaû cuûa phöông phaùp ñaùp öùng xung baát bieán, ta bieåu dieãn haøm truyeàn ñaït cuûa maïch loïc töông töï H(s) döôùi daïng khai trieån thaønh caùc phaân thöùc toái giaûn nhö sau : N Ak HA(s) = ∑ k =1 s − s pk spk : laø caùc ñieåm cöïc ñôn cuûa HA(s) Laáy bieán ñoåi ngöôïc Laplace, ta coù : Xöû Lyù Tín Hieäu Soá 219
  9. Chöông 6 - Toång Hôïp Caùc Boä Loïc Soá Coù Ñaùp Öùng Xung Chieàu Daøi Voâ Haïn (I I R) N ha(t) = ∑ Ak e u(t) u(t) : laø haøm nhaûy baäc ñôn vò s pk t k =1 Neáu ta laáy maãu ha(t) vôùi chu kyø laáy maãu laø T, ta coù : N h(n) = ha(nT) = ∑ Ak e u(nT) s pk nT k =1 Haøm truyeàn ñaït H(z) cuûa maïch loïc soá IIR trôû thaønh : ∞ ∞ N H(z) = ∑ h(n) z-n = ∑ ∑ Ak e u(nT) z-n s pk nT n = −∞ n = −∞ k =1 0 khi n< 0 Vì u(nT) = 1 khi n≥ 0 N ∞ s pk nT -n N s T ∞ n Neân H(z) = ∑ ∑ Ak e z = ∑ Ak ∑  e pk z −1    k =1 n =0 k =1 n=0   Vì ñieàu kieän hoäi tuï khi ñieåm cöïc naèm beân traùi maët phaúng S, nghóa laø spk< 0 neân : ∑ (e ) = 1 − e1 ∞ s pk T −1 n z s pk T −1 n =0 z N Ak Vaäy H(z) = ∑ k =1 s T 1 − e pk z −1 (6.6) Vaäy maïch loïc soá coù caùc ñieåm cöïc laø zk= e (k = 1, 2, . . .N) s pk T Ví duï 6.1 : Haõy xaùc ñònh haøm H(z) baèng bieán ñoåi xung baát bieán töø haøm truyeàn ñaït boä loïc töông töï : 2 HA(s) = (s + 1)(s + 3) 2 1 1 Giaûi : HA(s) = = - (s + 1)(s + 3) s + 1 s + 3 Theo coâng thöùc (6.6), ta suy ra : 1 1 z −1 (e − T − e −3T ) H(z) = - = 1 − e −T z −1 1 − e −3T z −1 1 − z −1 (e −T + e −3T ) + e −4 T z −2 6.3.2 Thieát Keá Baèng Phöông Phaùp Bieán Ñoåi Song Tuyeán Tính Bieán ñoåi song tuyeán tính laø coâng cuï ñaéc löïc nhaát cuûa thieát keá boä loïc IIR. Pheùp chieáu duøng trong bieán ñoåi song tuyeán tính laø pheùp chieáu deã duøng nhaát, chieáu truïc jωa treân maët phaúng S leân voøng troøn ñôn vò trong maët phaúng Z, chieáu nöõa maët phaúng traùi baûo ñaûm oån ñònh cuûa maët phaúng S thaønh beân trong voøng troøn ñôn vò baûo ñaûm oån ñònh cuûa maët phaúng Z, chieáu nöõa maët phaúng phaûi cuûa maët phaúng S thaønh beân ngoaøi cuûa voøng troøn ñôn vò cuûa maët phaúng Z. Pheùp bieán ñoåi naøy cho pheùp aùnh xaï caùc giaù trò treân truïc Xöû Lyù Tín Hieäu Soá 220
  10. Chöông 6 - Toång Hôïp Caùc Boä Loïc Soá Coù Ñaùp Öùng Xung Chieàu Daøi Voâ Haïn (I I R) jωa leân voøng troøn ñôn vò trong maët phaúng Z maø khoâng bò choàng chaäp taàn soá nhö pheùp bieán ñoåi xung baát bieán. • Bieán ñoåi song tuyeán tính gaén caùc haøm truyeàn ñaït töông töï HA(s) vaø haøm truyeàn ñaït soá H(z) treân cô sôû tích phaân caùc phöông trình vi phaân vaø tính tích phaân gaàn ñuùng baèng phöông phaùp soá. • Ñeå xaùc ñònh quan heä, chuùng ta baét ñaàu töø phöông trình vi phaân baäc 1 coù daïng : C1 dy A ( t ) + C0yA(t) = D0xA(t) (6.7) dt Haøm truyeàn töông töï : YA (s) D0 HA(s) = = (6.8) X A (s) sC1 + C 0 Coù theå xaùc ñònh haøm yA(t) baèng caùch laáy tích phaân ñaïo haøm cuûa noù : dy A ( t ) t yA(t) = ∫ dt + yA(t0) to dt Neáu chuùng ta laáy tích phaân treân ñoaïn ngaén, hoaëc trong khoaûng thôøi gian giöõa hai maãu tín hieäu keá tieáp nhau, luùc ñoù vôùi caùc bieán : t = nT vaø t0 = (n – 1)T ,ta coù phöông trình : nT dy A ( t ) yA(nt) = ∫ dt + yA[(n-1)T] ( n −1) T dt Thay vì laáy tích phaân, chuùng ta choïn caùch tính gaàn ñuùng theo quy taét hình thang, ta coù : dy A (t) dt dyA(nT ) dt dyA(n − 1)T dt 0 t (n–1)T nT T Hình 6.7 Xöû Lyù Tín Hieäu Soá 221
  11. Chöông 6 - Toång Hôïp Caùc Boä Loïc Soá Coù Ñaùp Öùng Xung Chieàu Daøi Voâ Haïn (I I R) T  dy A (nT ) dy A (n − 1)T  yA(nT) = +  + yA[(n-1)T] (6.9) 2  dt  dt  töø (6.7) thay t = nT vaøo, ta coù : dy ( nT ) C0 D A =− yA(nT) + 0 xA(nT) (6.10) dt C1 C1 thay (6.10) vaøo (6.9), ta coù phöông trình sai phaân sau : T  C0 D C D  yA(nt) = − y A (nT) + 0 x A (nT) − 0 y A [(n − 1)T ] + 0 x A [(n − 1)T ] + yA[(n-1)T] 2  C1 C1 C1 C1  (6.11) Duøng kyù hieäu ñôn giaûn hoaù : y(n) = yA(nT) , x(n) = xA(nT)  C0 T   C0 T  D T (6.11) thaønh : 1 +   y(n) - 1 −  y(n – 1) = 0 [x(n) + x(n-1)]  C1 2      C1 2  C1 2 Bieán ñoåi Z cuûa phöông trình sai phaân naøy :  C0 T   C 0 T  -1 D T 1 +   Y(z) - 1 −  z Y(z) - 0 [X(z) + z-1X(z)]  C1 2      C1 2  C1 2 Y(z) D0 T C1 2 1 + z −1 ( ) D0 H(z) = = = (6.12) X(z) C T 1 − z −1 + 0 1 + z −1 (  ) 2C1  1 − z −1   + C0 C1 2 T  1 + z −1    So saùnh (6.12) vôùi (6.8), ta coù : 2 1 − z −1 s= (6.13) T 1 + z −1 pheùp bieán ñoåi naøy goïi laø song tuyeán tính. • Caùc tính chaát cô baûn cuûa pheùp bieán ñoåi song tuyeán tính Thay theá z = rejω , s = σ+ jωa 2  re jω − 1  2  r2 −1 2r sin ω  (6.13) trôû thaønh: s=  jω  = 1 + r 2 + 2r cos ω + j 1 + r 2 + 2r cos ω  T  re + 1 T   2  r2 −1  Vaäy σ=   1 + r + 2r cos ω  2 T 2  2r sin ω  ωa = 1 + r 2 + 2r cos ω  T   Xöû Lyù Tín Hieäu Soá 222
  12. Chöông 6 - Toång Hôïp Caùc Boä Loïc Soá Coù Ñaùp Öùng Xung Chieàu Daøi Voâ Haïn (I I R) Vaäy khi r < 1 thì σ < 0 Khi r > 1 thì σ > 0 Do vaäy nöõa traùi cuûa maët phaúng S aùnh xaï vaøo trong voøng troøn ñôn vò vaø nöõa phaûi cuûa maët phaúng S aùnh xaï vaøo ngoaøi voøng troøn ñôn vò. Khi r =1 thì σ = 0 ω ω 2 sin cos Vaø ωa = 2 sin ω = 2 2 2 = 2 tg ω T 1 + cos ω T ω T 2 2 cos 2 2 Ñöôøng bieåu dieãn ω theo ωaT ñöôïc cho bôûi hình veõ sau : ω T=2 π T=1 T=0.5 0 ωaT -20 -15 -10 -5 10 15 20 -π Hình 6.8 Coù theå thaáy laø vôùi caùc giaù trò nhoû cuûa ωaT (ωaT < 0,3) thì pheùp chieáu ñöôïc coi gaàn nhö tuyeán tính. → Töø tính chaát khoâng tuyeán tính cuûa pheùp bieán ñoåi song tuyeán tính ta thaáy raèng ñaëc tuyeán taàn soá boä loïc töông töï caàn coù daïng baèng phaúng theo töøng ñoaïn ñeå cho meùo taàn soá khoâng laøm hoûng daïng ñaëc tuyeán taàn soá vaø caùc tính chaát cuûa noù. Nhö vaäy tröôøng hôïp boä loïc baèng phaúng töøng ñoaïn (thoâng thaáp, thoâng cao, thoâng daûi, chaén daûi) chuùng ta hoaøn toaøn coù theå duøng pheùp bieán ñoåi song tuyeán tính, chæ coù ñieàu laø vò trí töông ñoái giöõa caùc ñieåm caét seõ thay ñoåi do meùo taàn soá khi chieáu. Ñieàu naøy phaûi chuù yù ñeå töø caùc chæ tieâu rôøi raïc, ta taïo ra caùc chæ tieâu töông töï ñöôïc laøm meùo tröôùc ñeå sau ñoù khi duøng pheùp chieáu song tuyeán tính, noù seõ ñöôïc chieáu veà daïng mong muùoân. Taát nhieân pheùp chieáu ngoaøi vieäc laøm meùo ñaëc tuyeán bieân ñoä maø coøn laøm thay ñoåi ñaëc tuyeán pha cuûa haøm truyeàn thôøi gian thöïc hieän. → Taïo vaø thöïc hieän haøm H(z): Ñeå chuaån bò cho quaù trình thieát keá, ta xeùt quan heä ngöôïc : Xöû Lyù Tín Hieäu Soá 223
  13. Chöông 6 - Toång Hôïp Caùc Boä Loïc Soá Coù Ñaùp Öùng Xung Chieàu Daøi Voâ Haïn (I I R) 2 +s T 2 + sT 2 − sT z= = ⇒ z-1 = 2 − s 2 − sT 2 + sT T Ta deã daøng suy ra : 1  2 2 2 2   T + σ  + ωa  r =    2 −σ 2 +ω2   T    a   ωaT ω = 2arctg (6.14) 2 Töø (6.14) ta nhaän thaáy : Neáu • ωa = 0 thì ω =0 • ωa → ∞ thì ω →π • ωa → -∞ thì ω → -π Nhaän xeùt : • Ñieåm goác toaï ñoä ñöôïc chieáu leân z = 1+j0. • Truïc aûo jωa döông ñöôïc chieáu leân nöõa treân voøng troøn ñôn vò. • Truïc aûo jωa aâm ñöôïc chieáu leân nöõa döôùi voøng troøn. • Bieán ñoåi song tuyeán baûo toaøn tính chaát ñaëc tuyeán taàn soá beân caïnh caùc tính chaát oån ñònh. • Vì meùo khoâng tuyeán tính neân caùc ñaëc tuyeán khoâng gioáng heät nhau maø laø ñoàng daïng. Vaäy pheùp bieán ñoåi naøy khoâng thöïc hieän ñöôïc thay theá maø chæ thöïc hieän ñöôïc moâ phoûng. Ví duï : ñaëc tuyeán bieân ñoä töông töï coù k ñieåm giaùn ñoaïn, khi ta ñi treân truïc taàn soá töø ωa = 0 ñeán ∞ thì ñaùp öùng taàn soá cuûa boä loïc rôøi raïc cuõng seõ chöùa k ñieåm giaùn ñoaïn trong luùc chuùng ta ñi treân voøng troøn ñôn vò töø ω = 0 ñeán ω = π. H A ( jω a ) ( ) H e jω 0 ωa 0 ω ωa1 ω1 ω ω ωa ω 0 0 Hình 6.9 : Thieát keá maïch loïc vôùi pheùp chieáu song tuyeán tính Xöû Lyù Tín Hieäu Soá 224
  14. Chöông 6 - Toång Hôïp Caùc Boä Loïc Soá Coù Ñaùp Öùng Xung Chieàu Daøi Voâ Haïn (I I R) 6.3.3 Thieát Keá Baèng Phöông Phaùp Töông Ñöông Vi Phaân – Ta bieát raèng moät boä loïc töông töï ñöôïc ñaëc tröng bôûi moät phöông trình vi phaân tuyeán tính heä soá baèng, coøn moät boä loïc soá IIR ñöôïc ñaëc tröng bôûi moät phöông trình sai phaân tuyeán tính heä soá baèng. – Euler xaáp xæ caùc ñaïo haøm lieân tuïc baèng caùc vi phaân höõu haïn vaø ñöa ra caùc phöông trình sai phaân töø caùc phöông trình vi phaân. Ta goïi caùc pheùp chieáu Euler laø pheùp chieáu vi phaân. Ta phaân bieät pheùp chieáu Euler tieán hoaëc luøi tuyø theo ta laáy maãu thöù hai ñeå caáu taïo hieäu soá laø maãu phía tröôùc hay maãu phía sau maãu coù chæ soá n. – Tröôùc heát ta haõy xaáp xæ ñaïo haøm theo t cuûa xA(t) baèng sai phaân höõu haïn luøi, coù nghóa laø : dx A ( t ) x (n ) − x (n − 1) → dt T dx A ( t ) • Ñaïo haøm tín hieäu ngoõ vaøo coù haøm truyeàn ñaït H(s) = s dt dx A (t) H(s) xA(t) dt H(s) = s • Trong khi ñoù öùng vôùi heä thoáng soá : x(n) − x(n − 1) H(z) y(n) = x(n) T Coù haøm truyeàn ñaït H(z) ñöôïc xaùc ñònh bôûi : Y(z) = X(z) − z −1X(z) = ( X(z) 1 − z −1 ) T T H(z) = Y(z) = ( 1 − z −1 ) X(z) T Nhö vaäy pheùp chieáu Euler luøi cho caùc bieåu thöùc neâu quan heä giöõa caùc bieán s vaø z : s = F(z) = (1 − z ) = −1 z −1 T zT 1 hay z= 1 − sT • Ñaïo haøm baäc hai : x (n ) − x (n − 1) x (n − 1) − x (n − 2) − d 2 x A (t ) d  dx ( t )  T T 2 =  A  → dt dt  dt  T x (n ) − 2 x (n − 1) + x (n − 2) = T2 Xöû Lyù Tín Hieäu Soá 225
  15. Chöông 6 - Toång Hôïp Caùc Boä Loïc Soá Coù Ñaùp Öùng Xung Chieàu Daøi Voâ Haïn (I I R) Trong mieàn taàn soá ta coù söï töông ñöông : 2 2 1 − 2z −1 + z −2  1 − z −1  s = =  T   T2   suy ra ñaïo haøm baäc k : k k  1 − z −1  s =  T     1 − z −1 • Vaäy quan heä s = chính laø aùnh xaï cuûa maët phaúng S vaøo maët phaúng Z. T H(z) = H a (s) s=1−z −1 T • Truïc aûo jωa cuûa maët phaúng S chieáu leân maët phaúng Z theo phöông trình: 1 z = thay s= jωa vaøo ta ñöôïc : 1 − sT 1  1 + jω a T  z = 1 1 − jω a T = 1 + 2 1  1 − jω T  = 2 1 + e  ( j 2 arctg (ωa T ) ) a  ÔÛ ñoù veõ leân ñöôøng cong coù toaï ñoä sau : 1 1 Re(z) = + cos[2arctgωaT] 2 2 1 Im(z) = sin[2arctgωaT] 2 2 2  1 1 Re(z) − 2  + [I m (z)] =  2  Ñaây laø phöông trình voøng troøn trong maët 2     1 1 phaúng Z coù taâm taïi ñieåm z = vaø baùn kính baèng . Vaäy truïc jΩ ñöôïc 2 2 chieáu leân voøng troøn nhoû, tieáp xuùc vôùi voøng troøn ñôn vò taïi z=1. • Ñoä oån ñònh : Baây giôø ta xeùt ñieàu kieän oån ñònh ñoái vôùi phöông phaùp 1 töông ñöông vi phaân naøy. Ta coù quan heä z = thay s= 1 − sT σ + jωa vaøo ta coù : 1 1 z= ⇒ z = 1 − σ T − jω a T (1 − σT )2 + (ω a T )2 – Neáu boä loïc töông töï laø oån ñònh thì σ < 0 (caùc ñieåm cöïc H(s) naèm beân traùi maët phaúng S) daãn ñeán σT < 0 vaø 1-σT > 1. Vaäy luoân luoân ta coù z < 1. Xöû Lyù Tín Hieäu Soá 226
  16. Chöông 6 - Toång Hôïp Caùc Boä Loïc Soá Coù Ñaùp Öùng Xung Chieàu Daøi Voâ Haïn (I I R) – Do ñoù caùc ñieåm cöïc cuûa Ha(s) naèm beân traùi maët phaúng S thì aùnh xaï cuûa noù vaøo maët phaúng Z seõ naèm trong voøng troøn ñôn vò. Nhö vaäy töø moät boä loïc töông töï oån ñònh seõ bieán ñoåi thaønh moät boä loïc soá oån ñònh töông öùng baèng phöông phaùp töông ñöông vi phaân. Baây giôø ta xeùt chi tieát hôn nöõa beân traùi maët phaúng S seõ aùnh xaï vaøo ñaâu treân voøng troøn ñôn vò trong maët phaúng Z. ω jωa Im(Z) 1/2 Re(Z) σ 0 1 0 Maët phaúng Z Maët phaúng S Hình 6.10 1 – Ta bieát raèng truïc aûo jωa (σ = 0) bieán thanøh voøng troøn taâm taïi ñieåm z = , baùn 2 1 kính trong maët phaúng Z. 2 1 Va z σ =0 =
  17. Chöông 6 - Toång Hôïp Caùc Boä Loïc Soá Coù Ñaùp Öùng Xung Chieàu Daøi Voâ Haïn (I I R) Hay z = 1 +sT • Truïc aûo jωa cuûa maët phaúng S chieáu leân maët phaúng Z theo phöông trình z = 1 + sT thay s = jωa vaøo ta ñöôïc z = 1 + jωaT Trong maët phaúng Z ñaây laø ñöôøng thaúng song song truïc tung caét truïc hoaønh taïi ñieåm z = 1 jωa Im(Z) σ 1 ReZ 1 1 0 0 Maët phaúng S Maët phaúng Z Hình 6.11 Thay theá s = σ + jωa coù theå thaáy xuaát hieän caùc vaán ñeà oån ñònh, luùc naøy : z = 1+ σT+ jωaT Caùc ñieåm cöïc cuûa heä oån ñònh phaûi thoaû z < 1 ⇒ (1 + σT)2 + (ωaT)2 < 1 Pheùp chieáu Euler tieán raéc roái hôn pheùp chieáu Euler luøi. Nhö vaäy caùch thay theá caùc giaù trò tieáp noái naøy khoâng thuaän lôïi nhö khi thay theá caùc giaù trò giaät luøi. • Loïc töông töï oån ñònh khoâng phaûi luùc naøo cuõng coù theå chuyeån ñoåi thaønh moät loïc soá neáu söû duïng pheùp thay theá tieán tôùi. Do ñoù ñaây khoâng phaûi laø phöông phaùp toát nhaát ñeå chuyeån ñoåi moät maïch loïc töông töï thaønh moät maïch loïc soá. 6.3.4 Thieát Keá Baèng Phöông Phaùp Bieán Ñoåi Z Phoái Hôïp – Trong tröôøng hôïp loïc thoâng cao vaø loïc thoâng daûi ngöôøi ta thöôøng duøng bieán ñoåi Z phoái hôïp. Ñaây laø môû roäng cuûa phöông phaùp baát bieán xung, trong ñoù ta seõ bieán ñoåi caû ñieåm 0 vaø ñieåm cöïc vôùi pheùp chieáu z = esT . Nhö vaäy vôùi haøm truyeàn ñaït töông töï coù daïng : M ∏ (s − z k ) HA(s) = H k =1 N ∏ (s − s k =1 k ) Thì ta seõ coù haøm truyeàn ñaït rôøi raïc döôùi daïng sau : Xöû Lyù Tín Hieäu Soá 228
  18. Chöông 6 - Toång Hôïp Caùc Boä Loïc Soá Coù Ñaùp Öùng Xung Chieàu Daøi Voâ Haïn (I I R) M ∏ (z − e Zk T ) H(z) = H k =1 N ∏ (z − e k =1 Sk T ) T : Chu kyø laáy maãu, do ñoù moãi phaàn töû (s – a) trong HA(s) ñöôïc aùnh xaï thaønh phaàn töø (1 - e z −1 ) S T pk Ví duï 6.2 : s(s + 1) HA(s) = (s + 2)(s + 3) Giaûi : Duøng phöông phaùp bieán ñoåi Z phoái hôïp, haøm truyeàn ñaït cuûa heä thoáng soá töông öùng laø : (1 − z −1 )(1 − e −1T z −1 ) H(z) = (1 − e −2 T z −1 )(1 − e −3T z −1 ) 6.4 Caùc Bieán Ñoåi Taàn Soá Soá Ñeå nghieân cöùu moät maïch loïc soá thoâng cao, thoâng daûi chuùng ta coù hai phöông phaùp chính : → Phöông phaùp 1 : Thöïc hieän caùc bieán ñoåi taàn soá trong maët phaúng töông töï ñeå Thieát keá loïc Bieán ñoåi taàn Rôøi Chæ tieâu Loïc rôøi raïc thoâng thaáp soá töông töï raïc töông töï hoùa (töø töông töï sang töông töï) Hình 6.12 (pheùp chieáu s → z) nhaän ñöôïc ñaëc tuyeán thoâng cao, thoâng daûi töø ñaëc tuyeán loïc thoâng thaáp. Sau ñoù chieáu ñaëc tuyeán loïc töông töï sang loïc soá töông öùng baèng caùc phöông phaùp ñaõ moâ taû ôû treân. Phöông phaùp naøy ñöôïc minh hoaï trong hình 6.12 : → Phöông phaùp 2 : phöông phaùp naøy baøn ñeán khaû naêng thöïc hieän caùc bieán ñoåi taàn soá ngay trong mieàn Z. Noäi dung cuûa phöông phaùp naøy laø xuaát phaùt töø loïc thoâng thaáp töông töï baèng pheùp chieáu ta nhaän ñöôïc loïc thoâng thaáp rôøi raïc. Töø ñoù baèng pheùp bieán ñoåi taàn soá soá, ta xaùc ñònh haøm truyeàn ñaït rôøi raïc mong muoán. Thieát keá loïc Rôøi Bieán ñoåi taàn Loïc rôøi raïc Chæ tieâu thoâng thaáp raïc soá töông töï hoùa (pheùp chieáu s → z) (töø mieàn rôøi raïc sang rôøi raïc) Hình 6.13 Xöû Lyù Tín Hieäu Soá 229

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản