Tổng hợp các phương pháp giải nhanh đề thi đại học

Chia sẻ: vuvu2105

Tài liệu tham khảo Các phương pháp giải nhanh đề thi đại học

Bạn đang xem 20 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: Tổng hợp các phương pháp giải nhanh đề thi đại học

Hoàng Vi t Quỳnh




Toaën hoåc phöí thöng
Các phương pháp gi i nhanh thi
ih c
Các phương pháp gi i toán i s và
gi i tích
L i nói u:
Sau 12 năm h c t p, gi ây ch còn m t kì thi duy nh t ang ch i các em ó là kì thi i
h c. ây s là kì thi khó khăn nh t trong su t 12 năm các em ng i trên gh nhà trư ng. Kì thi
i h c chính là m t bư c ngo t l n trong cu c i c a m i h c sinh vì th m i h c sinh c n
ph i chu n b ki n th c th t toàn di n vì n i dung c a thi mang tính liên t c. Có l trong các
môn, môn toán v n luôn chi m v trí quan tr ng và là v t c n l n nh t trên bư c ư ng ti n t i
gi ng ư ng i h c. Vì th tôi xin m o mu i góp chút ki n th c ã thu lư m ư c trong quá
trình h c t p vi t lên quy n sách này. Hy v ng ây s là tài li u b ích cho các em h c t p.
Quy n sách ư c chia thành sáu ơn v bài h c và hai ph l c. M i bài u là nh ng ph n
quan tr ng, xu t hi n thư ng xuyên trong thi i h c. m i bài u có nh ng c i m
sau:
• Ph n tóm t t ki n th c ã h c ư c trình bày ng n g n và t ng quát nh m khơi l i ph n
ki n th c ã quên c a các em.
• H th ng các bài làm ư c ch n l c kĩ lư ng, có tính i n hình và khai thác t i a các
góc c nh c a v n nêu ra, ng th i phương pháp gi i ng n g n, tr c quan cùng nhi u
kinh ngh m gi i giúp các em có th hi u ư c n i dung bài gi i và cách áp d ng cho các
d ng thi s g p sau này. ng th i, các ví d u ư c trình bày t cơ b n n nâng cao.
ây là nh ng bài trích ra t thi d tr c a các năm trư c và tham kh o t nh ng tài
li u c a các th y cô có nhi u năm kinh nghi m trong quá trình luy n thi nên m b o v
m c và gi i h n ki n th c. L i gi i trong các ví d ch là tư ng trưng nh m m c ích nêu
lên phương pháp gi i, các em và các th y cô khi tham kh o cu n t i li u này có th tìm ra và
trình bày cách gi i và cách trình bày h p lí hơn. Các em nên t p gi i các d ng bài trên m t
cách thu n th c và c l p. sau khi gi i xong m i xem ph n l i gi i. ó là i u mà tác gi kì
v ng nhi u nh t.
• Lí gi i các phương pháp, ưa ra thu t toán gi i chung, ưa ra b n ch t l i gi i, ó là
ph n l i bình, lưu ý cu i m i bài t p.
Ph n ph l c là 12 thi tiêu bi u theo c u trúc thi m i nh t do B GD& T công b . Các
thi có m c khó r t cao, òi h i ngư i làm ph i tư duy r t nhi u. V i m c khó ó, tôi
mong r ng khi các em gi i thu n th c các bài trong b thi này các em s có t tin và ki n
th c t i m cao khi làm bài môn toán. Ph l c 2 là m t s m o dùng máy tính oán
nghi m c nh, ph c v cho quá trình gi i các bài t p v phương trình tích như lư ng giác, h
phương trình, phương trình, cách gi i nhanh bài toán hình h c b ng máy tính… ng th i gi i
thi u thêm phương pháp chia Horner giúp các em làm nhanh bài toán có chia a th c, phân
tích thành tích…
V i d nh là s gi i thi u quy n sách cho các em trong tháng cu i cùng trư c khi thi i
h c nên sách ã gi n lư c m t s ph n không c n thi t và các ki n th c bên l , ch gi i thi u
nh ng tr ng tâm c a thi nên bài t p có th còn ít. Tôi cũng có l i khuyên cho các thì sinh là
hãy tìm thêm các thi trên m ng internet vì ây là kho ki n th c vô t n.
M c dù r t c g ng nhưng cu n sách r t có th còn nhi u thi u sót do th i gain biên so n
ng n ng th i kinh nghi m và s hi u bi t còn h n ch . R t mong ư c s góp ý c a b n c.
M i góp ý xin liên h v i tác gi qua a ch sau:
Hoàng Vi t Quỳnh
Khu 6a – Th tr n L c Th ng – B o Lâm – Lâm ng
Email: vquynh2971991@yahoo.com.vn
Blog: http://vn.myblog.yahoo.com/vquynh-qflower
Tel: 063-3960344 - 01676897717

1
Bài I: ng d ng phương trình ư ng th ng
gi i phương trình căn th c.

VD1. Nh c l i ki n th c v ư ng th ng.

1) Phương trình t ng quát:
ư ng th ng i qua M(x0;y0) và có vetơ pháp tuy n n (A;B) thì ư ng th ng ó có phương trình:
(d): A(x-x0)+B(y-y0)=0

(d): Ax+By+C=0

VD1. ư ng th ng qua M(1;2) nh n n (2;1) làm vectơ pháp tuy n.

(d): 2(x-1)+1(y-2)=0
(d): 2x+y-4=0
2) Phương trình tham s :
ư ng th ng i qua M(x0;y0) và có vectơ ch phương a (a1;a2)
 x = x0 + a1t
(d): 
 y = y0 + a2t

VD2. ư ng th ng qua M(3;4) nh n a (2;3) làm vtcp có phương trình:
 x = 3 + 2t
(d): 
 y = 4 + 3t
VD3. Cho (d): x+y=4. Vi t phương trình tham s c a (d).
Gi i:
Vectơ pháp tuy n : n (1,1)
Vectơ ch phương : a (1,-1)
i m i qua M(2;2)
x = 2 + t
(d) : 
y = 2 − t

VD2. ng d ng
VD1. Gi i phương trình : x 3 + 8 + 3 12 − x 3 = 10
Gi i:

t: x 3 + 8 =1+3t và 12 − x 3 =3-t k( -1/3 ≤t≤1/3)
3 2 3 2
x +8=(1+3t) (*) và 12-x = (3-t) (**)
2
L y (*)+(**) ta có 20=10t +10 t2=1 t=1 ho c t=-1(lo i)
3
x =8 x=2
Tip:
Có ph i b n ang t h i: thu t toán nào ã giúp ta nhìn th y ư c cách t n t ???

2
Không ph i ng u nhiên mà tôi l i trình bày l i v n ư ng th ng, m t v n tư ng ch ng như
ch ng liên quan gì n i s . Nhưng gi ây ta m i nh n ra ư c “ ư ng th ng” chính là “tuy t chiêu”
gi i phương trình d ng căn th c. M u ch t ó là:
B1: x 3 + 8 + 3 12 − x 3 = 10
X Y

T ó ta có phương trình ư ng th ng : X+3Y=10
B2: ta vi t l i phương trình: X+3Y=10 theo tham s t
 X = 1 + 3t

Y = 3 - t
Lúc này phương trình ã quy v 1 n t và vi c gi i phương trình trên là không khó. (Vì ây là ki n th c
“l p nhí”)
hi u rõ hơn v phương pháp này các b n hãy cùng tôi n v i VD2.


VD2. Gi i phương trình : x + 3 + 3 x + 2 =1
X Y

Gi i:
G i (d): X=1+t và Y=0+t
 x + 3 = 1− t
 
 x + 3 = 1 − 2t + t
2

(1) t  (t≤1) 
3 x + 2 = t
 x + 2 = t 3

L y phương trình 2 tr pt1 ta có: -1=t3-t2 +2t-1 t3-t2 +2t=0
• T=0 x=-2
Lưu ý:
Trong khi gi i thi, các b n nên trình bày t bư c(1) tr i nh m m b o tính ng n g n cho bài toán.
Bư c g i phương trình ư ng th ng ch nên làm ngoài gi y nháp.
 x+3 =u

• Trong bài trên ta có th t 3 và quy v gi i h phương trình. Các b n có th xem
 x+2 =v

cách này như m t bài t p. các b n hãy làm và so sánh s ưu vi t gi a 2 phương pháp.
• Trong bài trên ta h n ch phương pháp lũy th a vì n u mu n kh 2 căn th c khác b c trên, ta ph i
^6 phương trình. Ta s g p khó khăn và s i m t v i 1 phương trình “kinh kh ng” và ta ph i gi i
“x t khói” m i có th ra nghi m.

VD3. Gi i h phương trình :
 x + y − xy = 3
 (1)
 ( thi H năm 2005)
 x + 1 + y + 1 = 4 (2)

Gi i:
 x +1 = 2 + t
  2
 x + 1 = t + 4t + 4
t:  (-2≤t≤2) 
 y +1 = 2 − t
  y + 1 = t 2 − 4t + 4

 2
 x = t + 4t + 3

 y = t 2 − 4t + 3

Phương trình(1) tr thành: 2t2+6- (t 2 + 3 + 4t )(t 2 + 3 − 4t ) =3
3
t 4 − 10t 2 + 9 =2t2+3
ho c
t=0 x=y=3

VD4. nh m phương trình sau có nghi m:



Gi i:
phương trình có nghi m:
f ( x) = m
Min f(x)≤m ≤Max f(x)

 x + 2m = 1 + 3t

t  (-1/3≤t≤3)
 3m − x = 3 − t


 x + 2m = 1 + 6t + 9t
2

 c ng v v i v => 5m=10+10t2 2t2+2=m f(t)=m
3m − x = 9 − 6t + t 2

V i f(t)= 2t2+2 mi n xác nh: D=[-1/3;3]
F’(t)=4t =>f’(t)=0 t=0

t -∞ -1/3 0 3 +∞
F’(t) - 0 +
20/9 20
F(t)
2


M có nghi m 2≤m≤20

VD3. Bài t p t luy n


1) Gi i h phương trình:



2) Gi i h phương trình:


 2x + y +1 − x +1 = 1

3) Gi i h phương trình:  ( thi d b 1A – 2005)
3 x + 2 y = 4


4) Gi i phương trình: 1 − sin( x) + 1 + cos( x) = 1 ( thi d b 2A – 2004)




4
Bài II: Các cách gi i phương trình và b t phương trình
vô t .

1)Lũy Th a
Phương pháp lũy th a là phương pháp t ng quát nh t gi i phương trình có căn. Khi g p các phương
trình có d ng căn ph c t p nhưng khi chúng ta bi t “m o lũy th a” thì có th gi i bài toán m t cách d
dàng. ây là m t phương pháp cơ b n, các b n ph i th c t p nhu n nhuy n vì phương trình trong thi
i h c có lúc r t d nhưng ta l i không ý. các b n hãy theo dõi các ví d sau. Nhưng trư c h t hãy
lưu ý v n sau:

• t i u ki n
• Lũy th a ch n thì hai v không âm
• Các d ng cơ b n:

B ≥ 0
A=B  2
A = B
B ≥ 0
AB  A ≥ 0
 B ≥ 0

 A > B 2


VD1.
Gi i:


x ≥ 0
5 − x ≥ 0
 0 ≤ x ≤ 5
 0 ≤ x ≤ 5
10 − x ≥ 0  
 2 5 x − x 2 = 5 − x

2
4(5 x − x ) = 25 − 10 x + x
2

 x + 5 − x + 2 x(5 − x) = 10

0 ≤ x ≤ 5
 2 x=1 ∨ x=5
x − 6x + 5 = 0

VD2. 2 x − x + 3 < x −1
Gi i:
x ≥ 1
 x ≥ 1

2 x = x − 3 + x −1   2
4 x < x + 3 + x − 1 + 2 ( x + 3)( x − 1)
  x + 2x − 3 > x − 1

x ≥ 1 x ≥ 1
 2 2  x=1
x + 2x − 3 > x − 2x + 1 x > 1

5
VD3.

Gi i:
k: 2x+1>0 x>1/2
Bpt (4x2-4x+1)(x2-x+2)≥36
t t = (x2-x) bpt tr thành:
(4t+1)(t+2)≥36
4t2+9t-34≥0
t≤-17/4 ho c t≥2
x2-x≤-17/4 ho c x2-x≥2
x≤1 ho c x≥2

VD4. Gi i b t phương trình :
Gi i:
− x 2 + x = 0

 x − x > 0
2
 ⇔ x = 0∨ x =1
 2
 x − x − 2 ≥ 0


Lưu ý:
b t phương trình trên các b n không nên lũy th a tính toán vì quá trình lũy th a và nhân phân ph i
r t m t th i gian. Hơn n a, khi quy v m t phương trình h qu , chúng ta gi i r t d sai vì khi giao các
t p nghi m s không có giá tr nào th a mãn.
Trong bài trên tôi s d ng cách ánh giá theo ki u như sau:
B = 0

A B ≥0  B > 0 ó chính là m u ch t c a bài toán
 A ≥ 0



VD5. Gi i phương trình :
Gi i:




  3x − 5 
2 −  ≥0
  4 

3 x − 5 ≥ 0 x=3
 2
 x 2 − 8 =  3x − 5 
 

  4 


6
Lưu ý:
Trong phương trình trên các b n ph i “ ý” và “nhanh” m t chút vì n u như ta nguyên phương trình
cho lũy th a thì ó là m t i u “không còn gì d i b ng” ta s i m t v i chuy n lũy th a 2 l n =>
m t phương trình b c 4. Phương trình này ta không th b m máy tính. Nhưng n u gi i tay thì ph i gi i “x t
khói” m i ra trong khi th i gian không ch i ai. ng th i chúng ta không c n gi i i u ki n v i vì giám
kh o ch quan tâm n bài làm và k t qu . Chúng ta hãy ch vi t “cái sư n” c a i u ki n. sau khi gi i ra
nghi m ch vi c th vào i u ki n là xong.



2) Phương pháp t n ph :

CÁCH GI I:
(
f u ( x); n u ( x) ≥ 0 )
f (u ( x); n u ( x) ) ≤ 0 t= n u ( x) Phương trình h u t ho c h phương trình

f (u ( x); n u ( x) ) = 0

BÀI T P ÁP D NG:

VD1.

Gi i:

t t= => t>0 ; t2+2= x2 + x
3t=2(t2-1)
t=-0.5 (lo i) ho c t=2
x2+x=6 x=2 ho c x=3

VD2.

Gi i:

t ≥ 0
T= x −1 2
t + 1 = x

Phương trình tr thành:

t2+1-(t+1)=2 t2-t-2=0 t=2 ho c t=-1
x=5

VD3.
Gi i:



=>


7
pt tr thành: t2+t+2=8 t=2 ∨ t=-3


TH1: t=2




TH2: t=-3




LO I II: f (
n )
u ( x) + n v( x) { ≥0; ≤0; =0 }
Phương pháp chung:
n u ( x ) = u

 => ưa v h phương trình.
m v ( x ) = v


VD1. 23 3 x − 2 + 3 6 − 5 x − 8 = 0 ( tuy n sinh i h c 2009)
Gi i:


3 3x − 2 = u 5 3 2 8
  u +v =
 3 3
 6 − 5 x = v (v ≥ 0)
 2u + 3v − 8 = 0

5 3 8  5 3  8 − 2u  2 8
2
3 u + v = 3  u +  = (u + 2)(15u 2 − 26u + 20) = 0
 3  3  3 
   8 − 2u
v = 8 − 2u v = 8 − 2u v =
   3
 3  3

u = −2
 x=-2
v = 4
LO I III: H PHƯƠNG TRÌNH A TH C
Nh ng h phương trình này ta r t thư ng hay g p trong thi i h c. l p 10, ta thư ng g p nh ng
phương trình có tên là h i x ng, ng c p… Nh ng h này ã có cách gi i “ăn li n”. nhưng trong thi
i h c, ta không h tìm th y nh ng d ng ó. Nhưng t t c các h trên u quy v m t m i ó là “Phân
tích thành nhân t ”.




8
 1 1
x − x = y − y (1)
VD1. Gi i h phương trình:  ( H A 2003)
2 y = x 3 + 1 ( 2)

Gi i:
K: xy≠0
 1  x = y
Ta có (1) ⇔ ( x − y ) 1 + =0⇔
 xy   xy = −1

x = y = 1

x = y x = y 
x = y  x = y = −1 + 5
TH1:  ⇔ ⇔ ⇔
2 y = x + 1 2 x = x + 1 ( x − 1) ( x + x − 1) = 0
3 3 2
 2

 x = y = −1 − 5

 2
 1
y = − x  1
 xy = −1
2 2
 y = −  2 1  1 3
Mà x + x + 2 =  x −  +  x +  + > 0, ∀x ⇒ VN
4
TH2:  ⇔ ⇔ x
 2  2 2
3
2 y = x + 1 − 2 = x 3 + 1  x 4 + x + 2 = 0
 x 

 −1 + 5 −1 + 5   −1 − 5 −1 − 5 
V y nghi m c a h là ( x; y ) = (1;1) , 
 1 ; 1 ,  1 ; 1   
   
 x + 1 + y(y + x) = 4y (1)

2
VD2. Gi i h phương trình: 
2
( x, y ∈ R ) . (D b A2006)
(x + 1)(y + x − 2) = y ( 2 )

Gi i:
(1) ⇔ x 2 + 1 + y ( x + y − 4 ) = 0 (*)
t: u = x 2 + 1 > 0; v = x + y − 4
u − yv = 0 ( 3)

H ⇔ Thay (4) vào (3) ta có: ( 3) ⇔ u + u ( v + 2 ) .v = 0 ⇔ u 1 + v ( v + 2 )  = 0
 
u ( v + 2 ) = y ( 4 )

⇔ v 2 + 2v + 1 = 0 ⇔ (v + 1) 2 = 0 ⇔ v = −1 ⇔ x + y = 3
 x2 + 1 − y = 0  x = 1 ⇒ y = −2
V y (*) ⇔  ⇔ x2 + 1 − (3 − x ) = 0 ⇔ 
x = 3 − y x = 2 ⇒ y = 5
 x 3 − 8x = y3 + 2y

VD3. Gi i h phương trình 
2 2
( x, y ∈ R ) . (D b 2A 2006)
 x − 3 = 3(y + 1) (*)

Gi i:
 x3 − y 3 = 2 ( 4 x + y )
  3
3 ( x − y ) = 6 ( 4 x + 2 y ) (1)
3

H ⇔ ⇔ L y (2) thay vào (1) ta có
2 2
x − 3y = 6

2 2
x − 3 y = 6 ( 2)

⇔ 3 ( x3 − y 3 ) = ( x 2 − 3 y 2 ) ( 4 x + y ) ⇔ x3 − 12 y 2 x + x 2 y = 0 ⇔ x ( x 2 + xy − 12 y 2 ) = 0
D th y x=0 thì y=0. Th vào (*) ta th y không th a mãn. V y ây không ph i là nghi m c a phương
trình:

9
 x 2 + xy − 12 y 2 = 0
 
( x − 3 y )( x + 4 y ) = 0
⇒ 2 2
⇔ 2
x − 3y = 6
2
 x − 3y = 6

x − 3y = 0 x = 3y  y = 1⇒ x = 3
TH1:  2 ⇔ 2 ⇔
 y = −1 ⇒ x = −3
2
x − 3y = 6 6 y = 6
 78 −4 78
y = ⇒x=
 x = −4 y  x = −4 y 13 13
TH2:  2 ⇔ ⇔
2
x − 3y = 6
2
13 y = 6  78 4 78
y = − ⇒x=
 13 13
V y nghi m c a phương trình là:
 78 −4 78   − 78 4 78 
( x; y ) = (1;3) , ( −1; −3) ,

 13 ; 13  ,  13 ; 13 
  
   
( x − y ) ( x + y ) = 13 (1)
2 2

VD4. Gi i h phương trình  (D b 2005)

( x + y ) ( x 2 − y 2 ) = 25 ( 2 )
Gi i:
Nhân c 2 v c a (1) cho 25. Nhân c 2 v c a (2) cho 13. Sau ó l y (1)-(2).
⇔ 13( x + y ) 2 ( x − y ) − 25 ( x − y ) ( x 2 + y 2 ) = 0 ⇔ ( x − y ) 13 ( x + y ) − 25 ( x 2 + y 2 )  = 0
2
(1)-(2)
 
⇔ ( x − y ) ( −12 x + 26 xy − 12 y ) = 0 ⇔ −2 ( x − y ) ( −12 x + 26 xy − 12 y ) = 0
2 2 2 2


D th y x=y không th a mãn h .
 3x = 2 y
  y = −3
  25 2  − y  ⇔
 3 x = 2 y y .  = 25  x = −2
( 3x − 2 y )( 2 x − 3 y ) = 0
   9
  3 
⇒ ⇔ 2 x = 3 y ⇔

( x + y ) ( x 2 − y 2 ) = 25  2  2 x = 3 y
( x + y ) ( x − y ) = 25  
  25 y 2 .  1 y  = 25 ⇔ 
 x=3
4  

 2  y = 2
L i bình:
Làm sao ta có th phân tích nhanh ( −12 x 2
+ 26 xy − 12 y 2 ) thành nhân t ( 3x − 2 y )( 2 x − 3 y ) ??
Lúc này, công c c a chúng ta chính là máy tính b túi! Các b n hãy làm như sau:
Coi như ta không th y n y. v y nên ta có phương trình b c 2 theo x: ( −12 x 2
+ 26 x − 12 ) = 0 Ch c
h n các b n u bi t gi i phương trình b c 2 này b ng máy CASIO. Ta b m ư c nghi m:
3 2
x = ∨ x = . Lúc này ta g i l i n y b ng cách thêm y vào sau các nghi m tìm ư c.
2 3
3 2
x = y ∨ x = y . Quy ng b m u vì m u là h ng s . ta có nhân t c n phân tích. Lưu ý là
2 3
( −12 x + 26 xy − 12 y 2 ) = 0 ⇔ ( 3x − 2 y )( 2 x − 3 y ) = 0 . N u gi i b t phương trình, b n nên chú ý n
2


d u khi phân tích (Trư ng h p này là d u - : ( −12 x 2
+ 26 xy − 12 y 2 ) = −2 ( 3 x − 2 y )( 2 x − 3 y ) = 0 )
Khi g p d ng phương trình a th c có h ng s phía v ph i (ho c có th ưa c 2 phương trình
v d ng có h ng s v ph i), Ta nhân c 2 v c a phương trình trên cho s v ph i c a phương
trình dư i và nhân c 2 v c a phương trình dư i cho s phương trình trên. Sau ó tr v theo
10
v . M c ích c a phương pháp này là quy h v phương trình tích sau ó ti n hành phân tích. H u
h t các lo i phương trình a th c u gi i ư c theo cách này!

Bài t p t luy n

 x 4 − x3 y + x 2 y 2 = 1
  4 3 2 2
x + 2x y + x y = 2x + 9
Bài 1.  3 2
Bài 7.  2
 x y − x + xy = 1
  x + 2 xy = 6 x + 6

 x2 + y 2 + x + y = 4
  xy + x + 1 = 7 y
Bài 2.  Bài 8.  2 2 2
 x ( x + y + 1) + y ( y + 1) = 2
  x y + xy + 1 = 13 y
 x 2 − xy + y 2 = 3 ( x − y ) 
 x +1 − y = 8 − x
3
 Bài 9. 
Bài 3.  2 4
( x − 1) = y
2 2
 x + xy + y = 7 ( x − y )
 
log x ( x3 + 2 x 2 − 3x − 5 y ) = 3  y2 + 2
 3y =
Bài 4.   x2
log y ( y + 2 y − 3 y − 5 x ) = 3 Bài 10. 
3 2
 2
3x = x + 2
 x ( x + y + 1) − 3 = 0 
 y2

Bài 5.  2 5  1 1
( x + y ) − 2 + 1 = 0 x − x = y − y
 x Bài 11. 
x + y = 1

9 9
2 y = x3 + 1
Bài 6.  25 
25 16 16
x + y = x + y





11
Bài III: Phương trình lư ng giác.

M ts công th c lư ng giác c n nh :
1 1
1. sin 2 x + cos 2 x = 1;1 + tan 2 x = 2
;1 + cot 2 x = .
cos x sin 2 x
sin x cos x 1
2. tanx = ;cot x = ; tan x = .
cos x sin x cot x
sin(a ± b) = sin a cos b ± cos asinb
3. Công th c c ng:
cos(a ± b) = cos a cos b sin a sin b

4. Công th c nhân ôi: sin2x = 2sinxcosx


5. cos2x = cos2x – sin2x = 2 cos2x – 1 = 1 - 2 sin2x

1 + cos 2 x 1 − cos 2 x
6. Công th c h b c: cos 2 x = ;sin 2 x =
2 2
7. Công th c nhân ba: Sin3x = 3sinx – 4sin3x; cos3x = 4cos3x – 3cosx.

8. Công th c bi u di n theo tanx:
2 tan x 1 − tan 2 x 2 tan x
sin 2 x = 2
;cos 2 x = 2
; tan 2 x =
1 + tan x 1 + tan x 1 − tan 2 x
1
cos a cos b = ( cos(a − b) + cos(a + b) )
2
1
9. Công th c bi n i tích thành t ng sin a sin b = ( cos(a − b) − cos(a + b) )
2
1
sin a cos b = ( sin(a − b) + sin(a + b) )
2

x+ y x− y
sin x + sin y = 2sin cos
2 2
x+ y x− y
sin x − sin y = 2cos sin
10.Công th c bi n i t ng thành tích
2 2
x+ y x− y
cos x + cos y = 2cos cos
2 2
x+ y x− y
cos x − cos y = −2sin sin
2 2




2
Cách gi i các phương trình lư ng giác trong thi i h c:
Lưu ý trư c khi gi i :
Các phương trình lư ng giác trong thi i h c nhìn qua m t h c sinh thư ng r t khó khăn ph c t p
nhưng chúng u quy v nh ng phương trình ơn gi n. thi i h c các năm u xoay quanh bi n
i v d ng phương trình tích, t n ph . Năm 2009, thi có bi n i hơn ó là phương trình cu i
bi n i v d ng công th c c ng. Nhìn chung phương pháp gi i d ng toán này là các em h c thu c các
công th c trên ây và rèn luy n kĩ năng phân tích a th c thành nhân t …

GI I M T S THI TIÊU BI U:

 π
1. Gi i phương trình: 2 sin  2 x −  + 4 sin x + 1 = 0 (1)
 6
Gi i:
(1) 3 sin 2 x − cos 2 x + 4sin x + 1 = 0 2sin x ( )
3 cos 2 x + 2 − 2sin 2 x = 0
sinx = 0 ⇔ x = kπ

2sin x ( )
3 cos x − sin x + 2 = 0
 3 cos x − 1 sin x = −1 ⇔ cos  x + π  = cos x



 2  6

 x = kπ

 x = 5π + 2kπ
 6
 −7π
x = + 2 kπ
 6

2. Tìm nghi m trên kho ng (0; π)c a phương trình :
x 3π
4 sin 2 − 3 cos 2 x = 1 + 2 cos 2 ( x − )
2 4
Gi i:
Tìm nghi m ∈ ( 0, π )
x  3π 
Ta có 4 sin 2 − 3 cos 2x = 1 + 2 cos2  x −  (1)
2  4 
 3π 
(1) ⇔ 2 (1 − cos x ) − 3 cos 2x = 1 + 1 + cos  2x − 
 2 
(1) ⇔ 2 − 2 cos x − 3 cos 2x = 2 − sin 2x
(1) ⇔ −2 cos x = 3 cos 2x − sin 2x . Chia hai v cho 2:
3 1
(1) ⇔ − cos x = cos 2x − sin 2x
2 2
 π 5π 2π 7π
⇔ cos  2x +  = cos ( π − x ) ⇔ x = +k ( a ) hay x = − + h2π ( b )
 6 18 3 6



3
Do x ∈ ( 0, π ) nên h nghi m (a) ch ch n k=0, k=1, h nghi m (b) ch ch n h = 1. Do ó ta có ba
5π 17π 5π
nghi m x thu c ( 0, π ) là x1 = , x2 = , x3 =
18 18 6

π
3. . Gi i phương trình : 2 2 cos3 ( x − ) − 3cos x − sin x = 0 (2)
4
Gi i:
3
  π 
(2) ⇔  2 cos  x −   − 3cos x − sin x = 0
  4 
3
⇔ ( cos x + sin x ) − 3cos x − sin x = 0
⇔ cos3 x + sin3 x + 3cos2 xsin x + 3cos xsin2 x − 3cos x − sin x = 0
 cos x = 0
  cos x ≠ 0

⇔ 3 hay  2 3 2 3
sin x − sin x = 0
 1 + 3tgx + 3tg x + tg x − 3 − 3tg x − tgx − tg x = 0

π π
⇔ sin2 x = 1 hay tgx = 1 ⇔ x = + kπ hay x= + kπ
2 4

π cos 2 x − 1
4. . Gi i phương trình : tg ( + x ) − 3tg 2 x = ( d b kh i B 2005)
2 cos 2 x
Gi i:
−2sin2 x 2
(2) ⇔ − cot gx − 3tg x =
cos2 x
1 π
⇔− − tg2 x = 0 ⇔ tg3x = −1 ⇔ tgx = −1 ⇔ x = − + kπ, k ∈ Z
tgx 4



PHƯƠNG PHÁP T N PH TRONG PHƯƠNG TRÌNH LƯ NG GIÁC:

A. t t=sinx
Cos2x= 1 – sin2x = 1-t2 t ∈ [-1;1]
2 2
sin x t
Tan2x = =
cos x 1 − t 2
2

2
Cos2x = 1 − 2sin x = 1-2t2
3 3
Sin3x = 3sin x − 4sin x = 3t − 4t

B. t t = cosx
sin x = 1 − cos 2 x = 1 − t 2
2
cos 2 x = 2t 2 + 1
sin 2 x 1 − t 2
tan 2 x = = 2 cos 3 x = 4 cos3 x − 3cos x = 4t 3 − 3t
cos 2 x t

C. t t= tanx
4
1 1
cot x = cos 2 x =
t 1+ t2
2 t2 1− t2
sin x = cos 2 x =
1+ t2 1+ t2
 1  2t
s in2x=2t  2 
t an2x =
 1+ t  1+ t2
a sin x + b cos x a tan x + b at + b
= =
c sin x + d cos x c tan x + d ct + d


D. t t=sinx ± cosx t∈  − 2; 2 
 
t 2 −1
sinxcosx =
±2
(
sin2x= ± t + 1
2
)
 t 2 −1  3 − t3
3 3
( 2 2
sin x + cos x = ( sin x + cos x ) sin x + cos x − sin x cos x = t 1 −
2 
)
=
2




NGUYÊN T C CHUNG GI I PHƯƠNG TRÌNH LƯ NG GIÁC

Bi n i: tt
Phân tích thành tích
Nguyên t c :
Lũy th a H b c
Tích T ng
T ng Tích
Bi n i không ư c thì i bi n.

GI I M T S THI TIÊU BI U:
cos 2 x 1
Bài 1. cot x − 1 = + sin 2 x − sin 2 x
1 + tan x 2
Gi i:
t t=tanx, pt tr thành:
 1− t2 
 2  2
1  1 + t  + t − 1 2t t ≠ 0; t ≠ −1
−1 = ( )
t 1+ t 1+ t2 2 1+ t 2

π
⇔ 2t 3 − 3t 2 + 2t − 1 = 0 ⇔ t =1 ⇔ tan x = 1 ⇔ x = + kπ
4
Bài 2. cos 3 x + cos 2 x − cos x − 1 = 0
Gi i:
t t=cosx, pt tr thành:
⇔ 4t 3 − 3t + 2t 2 − 1 − t − 1 = 0




5
 t = ±1 cos x = ±1  x = kπ
⇔  −1 ⇔  ⇔
t = cos x = cos 2π  x = ± 2π + 2kπ
 2  3  3

Bài 3. Gi i phương trình: 1 − sin x + 1 − cos x = 1 ( thi d b 2 A – 2004) (1)
Gi i:
(1) 1 − sin x − cos x + 2 (1 − sin x)(1 − cos x) = 0
t t=sinx +cosx
t 2 −1
⇔ sin xcosx =
2
t 2 −1
Pt tr thành: 1− t + 2 1+ − t = 0 ⇔ t 2 − 2t + 1 = 4 + 2t 2 − 2 − 4t ⇔ (t − 1)2 = 0 ⇔ t = 1
2
 π  π π 
Sinx+cosx =1 2 sin  x +  = 1 sin  x +  = sin   x = kπ
 4  4 4
cos 2 x
Bài 4. sin x + + 6 tan 2 x (1 − sin x ) = 2
1 + sin x
Gi i:
t t=sinx t ∈ [ −1;1]
pt tr thành:
1− t2 t2
t+ +6 2 (
1 − t ) = 2 ⇔ 6t 2 − t − 1 = 0
1+ t 1− t
 π
 1   x = 6 + 2 kπ
t = 2  1 
⇔ ⇔ sin x = 2 ⇔  x =

+ 2 kπ
t = −1   6
 sin x = sin α 
 3  x = arccos −1 + 2kπ

 3
1
Bài 5. sin 6 x + cos 6 x = cos 8 x (1)
4
Gi i:
3 1 3  1 − cos 4 x  1
(1) 1 − sin 2 2 x = cos 8 x ⇔ 1 −   = cos8 x
4 4 4 2  4
t t=cos4x t ∈ [ −1;1] pt tr thành:
 2  π  π kπ
3 1− t  1 2 t =  4 x = 4 + kπ  x = 16 + 4
2
1−   = 2t − 1 ⇔ 
( ) ⇔ ⇔
4 2  4  − 2  4 x = 3π + kπ  x = 3π + kπ
t = 
 

 2 4 16 4




6
Bài t p t luy n
1 1
sin 2x + sin x − − = 2 cot g2x
2 sin x sin 2x

 5x π  x π 3x
sin −  − cos −  = 2 cos
 2 4 2 4 2

2 cos2 x + 2 3 sin x cos x + 1 = 3(sin x + 3 cos x)

sin 2x cos 2x
+ = tgx − cot gx
cos x sin x
1
( 2 cos x − 1)( sin x + s in2x ) − cos 2 x =
2
( 2sin x + 1)( 2 cos x − 1) = 1
sin 3 x + cos3 x = 2 (1 − sin x cos x )
x
2 sin x cos − cos x = 1
2
 π  π 3
sin 4 x + cos 4 x + cos  x −  .sin  3 x −  − = 0
 4  4 2
2sin x + cos x + 1
Cho phương trình: =a (2) ( d b kh i a 2002)
sin x − 2 cos x + 3
1
1. gi i phương trình khi a=
3
2. tìm a phương trình (2) có nghi m.

 x
tan x + cos x − cos 2 x = sin x 1 + tan x tan 
 2

tan 4
x +1 =
( 2 − sin 2
)
2 x sin 3 x
4
cos x




7
Bài IV: Tích Phân
Lưu ý trư c khi gi i thi:

Tích phân là bài toán r t thư ng xu t hi n trong thi i h c. K t năm 2002, khi b t u ti n hành thi
“Ba chung” các d ng toán tích phân và ng d ng luôn xu t hi n và là câu 1 i m. Bài t p ph n này
không quá khó nhưng v n ph i òi h i kĩ năng phán oán, phân tích , và n m rõ ư c các cách làm bài
toán tích phân cơ b n như i bi n s và tính theo tích phân t ng ph n… các em cùng theo dõi các ví d
dư i ây.

NGUYÊN T C CHUNG GI I BÀI TOÁN TÍCH PHÂN:
G m có 2 phương pháp chính:

A. I BI N:
• i bi n lo i 1:
f ( u ( x ) ) .u ' ( x ) dx t t=u(x)
Chú ý: Các bi u th c có quan h o hàm

GI I CÁC VÍ D :
π
2
sin 2 x
VD 1. Tính tích phân: I = ∫ 3 + cos
0
2
x
Gi i:
t t = 3 + cos x
2
⇒ dt = 2 cos x ( − sin x ) dx ⇒ dt = −2sin 2 xdx
X π
0
2
t 4 3

4
− dt 4 4
I =∫ = ln t ⇒ I = ln
3
t 3 3
6
dx
VD2. Tính tích phân: I = ∫ 2x + 1 + 4x + 1
( DB 1A – 2006)
2
Gi i:
1
t t= 4x +1 ⇒ t 2 = 4x + 1 ⇒ tdt = dx
2
X 2 6
t 3 5

5
( t + 1 − 1) dt = 5 dt − 5 dt  1 5 3 1
∫ ( t + 1)2 ∫ t + 1 ∫ ( t + 1)2
3 3 3
= ln t + 1 +

 3 = ln 2 − 12
t + 1

π
4
dx
VD3. Tính tích phân: I = ∫ cos
0
2
x 1 + tan x
Gi i:



8
dx
t t= 1 + tan x ⇒ t 2 = 1 + tan x ⇒ 2tdt =
cos 2 x
X π
0
4
t 1 2

2 2
2tdt 2
I= ∫
1
t
= 2 ∫ dt = 2t
1 1
= 2 2 −2


e
3 − 2 ln x
VD 4. Tính tích phân: I= ∫ x 1 + 2 ln x
dx.
1
Gi i:
dx
t t= 1 + 2 ln x ⇒ t 2 = 1 + 2 ln x ⇒ tdt =
x
X e 1
t 2 1
2
(
3 − t −1 2
)tdt = 2
10 2 − 11
∫ ∫ ( 4 − t ) dt =
2
I=
1
t 1
3

1. i bi n lo i 2:
B c t l n hơn b c m u: chia a th c
B c t nh hơn b c m u:
Xét quan h o hàm ⇒ i bi n
M u có nghi m ⇒ Tách phân th c
Hàm h u t (m u vô nghi m):
du
∫ u ( x) 2
t u(x)=atant
( ) + a2
Hàm căn th c:
2
a2 + (u ( x )) ⇒ t u(x)=atant
2
a2 − ( u ( x )) ⇒ t u(x)=asint (ho c u(x)=asint)

3
dx
VD 5. Tính tích phân: I= ∫x
0
2
+9
Gi i:
t x=3tan(t)
(
⇒ dx = 3 tan 2 t + 1 dt )
X 0 3
t π
0
4


9
π
π
I=∫
4
(
3 tan 2 t + 1 dt ) 1
= t 4=
π
0 (
9 tan 2 t + 1 ) 3
0
12

5
2
dx
VD 6. Tính tích phân: I =∫
2
1 9 − ( x − 1)
Gi i:
t x-1= 3sint
⇒ dx = 3cos tdt
X 5
1
2
t π
0
6
π π π
6 6 6 π
3cos tdt cos tdt cos tdt π
I=∫ =∫ =∫ =t 6 =
0 9 − 9sin 2 t 0 1 − sin t 0 cos t
2
0
6

3
dx
VD 7. Tính tích phân: I =∫
2
1 x x2 + 3
Gi i:
t x= 3 tan t ⇒ dx = 3 ( tan 2 x + 1) dx
X 1 3
t π π
6 3
1 π π
(
3 tan 2 t + 1 3
) dt
1 cos t 2 −1 3 cos tdt
I =∫ dx = ∫ = ∫
3 tan 2 t 3 tan 2 + 3 3 π sin 2 t 1 3 π sin 2 t
6
cos 2 t cos 2 t 6


π π
1 3 d ( sin t ) 1 3 6−2 3
I =− ∫ 2
=− =
3 π sin t 3sin t π 9
6
6




10
B. PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN T NG PH N:

Công th c:
b
b b
∫ udv = uv
a
a ∫
− vdu
a
(1)

Cách l y ph n các tích phân:
Kí hi u P(x) là a th c. Khi g p hai d ng nguyên hàm sau ây, ta thư ng dùng phương pháp tích phân
t ng ph n:
D ng 1: ∫ P ( x ) ln xdx ta t u= ln x (Do lnx không có nguyên hàm)

eax +b 
 
D ng 2: ∫ P ( x ) . sin( ax + b) dx ta t u=P(x)
cos(ax + b) 
 
V i cách y khi l y công th c 1 ta s ư c bài toán d n t i nguyên hàm ng d ng v i b c c a P(x)
th p hơn…

GI I CÁC VÍ D :
π
2
VD 1. Tính tích phân: I = ∫ (x + 1)sin2xdx. ( d b kh i D 2005)
0
Gi i:
π
u = x + 1 ⇒ du = dx π
 − ( x + 1) 12 π
t:  −1 ⇒I= cos 2 x 2 + ∫ cos 2 xdx = + 1
dv = s in2xdx ⇒ v = 2 cos 2 x

2
0
20 4

2
VD 2. Tính tích phân: I = ∫ (x − 2)lnx dx. ( d b kh i D 2006)
1
Gi i:
 1
u = ln x
 du = x dx
  x2  2 2 x  5
t:  ⇒ ⇒ I =  − 2 x  ln x − ∫  − 2  dx = − ln 4 +
dv = ( x − 2 ) dx  1 12 
2
 x
v = − 2x  2  4

 2

π2
4
VD 3. Tính tích phân: ∫ sin
0
xdx

Gi i:
t t= x ⇒ t 2 = x ⇒ 2tdt = dx
X π2
0
4
t π
0
2


11
π
2
B = 2 ∫ t sin tdt
0
π
2
Tính I = ∫ t sin tdt
0

u = t du = dt
t:  ⇒
dv = sin tdt v = − cos t
π
π 2 π
π π
I = −t cos t 2 + ∫ cos tdt = − cos + 0 cos 0 + sin t 2 = 1
2 2
0 0 0
B=2I=2

π
2

∫e
x
VD 4. Tính tích phân: A= cos xdx
0
Gi i:
u = e x du = e x dx
t:  ⇒
dv = − sin xdx v = − cos x
π π π
π 2 π 2 2
π
A = −e x cos x 2 + ∫ e x cos xdx = −e 2 cos + e0 cos 0 + ∫ e x cos xdx = 1 + ∫ e x cos xdx (1)
2
0 0 0 0

π
2
Tính K = ∫ e x cos xdx
0

u = e x du = e x dx
t:  ⇒
dv = cos xdx v = sin x
π
π 2 π
K = e sin x 2 − ∫ e sin xdx = e 2 − A
x x


0 0
π
π π
1+ e 2
Thay vào (1): A = 1+ e 2 − A ⇒ 2A = 1+ e 2 ⇒ A =
2
π

∫ x sin x cos
2
VD 5. Tính tích phân: A= xdx
0
Gi i:
u = x 
du = dx
t:  ⇒
dv = sin x cos xdx v = ∫ sin x cos xdx
2 2

Tính: v = ∫ sin x cos 2 xdx
t: t = cos x ⇒ dt = − sin xdx
12
−t 3 cos3 x
∫ t dt =
2
V= − +C = − +C
3 3
cos3 x
Ch n C=0 ⇒ v = −
3
3 π
cos x π 1 π 1
V y A = −x + ∫ cos 3 xdx = + K (1)
3 0 30 3 3
π π
Tính K = ∫ cos3 xdx = ∫ 1 − sin 2 x cos xdx
( )
0 0
t t=sin(x) ⇒ dt = cos xdx
X 0 π
t 0 0

0
K = ∫ 1 − t 2 dt = 0
( )
0

π 1 π
Thay vào (1): A= + K=
3 3 3
π
2
x + sin x
VD 6. Tính tích phân: D=∫ dx
π 1 + cos x
3
Gi i:
π u = x + sin x
 du = (1 + cos x ) dx
2
x + sin x  1 
D=∫ t:  dv = dx ⇒  x
x  2 x v = tan
π 2 cos 2 2 cos  2
3 2 
 2
π π

x 2 2 x π  π 3 3
V y: D = ( x + sin x ) tan − ∫ (1 + cos x ) tan dx =  + 1 −  +  − K (3)
2π π 2 2  3 2  3
 
3 3
π π π
2 2 2
x 2 x x
V i: K = ∫ (1 + cos x ) tan dx = ∫ 2 cos tan dx = ∫ sin xdx
π 2 π 2 2 π
3 3 3

π
2 1
= − cos x =
π 2
3

Thay vào (3) ta có: D=
(9 + 2 3 )π
18
L i bình: tích phân t ng ph n ta có cách nh t u như sau: nh t “log” – nhì “ a” ( a th c) – tam
“Lư ng” (Lư ng giác) – T “mũ”. Trong phép tính tích phân t ng ph n, g p phép nào ng trư c trong 4
phép trên, hãy t u b ng phép ó!
13
Bài t p t luy n
π
3
Tính tích phân: I = ∫ sin 2 x.tgxdx
0
7
x+2
Tính tích phân: I =∫ 3
dx
0 x +1
e
Tính tích phân: I = ∫ x 2 ln xdx
0
π
4
Tính tích phân: I = ∫ (tgx + esin x cos x)dx
0
π
Tính tích phân: I = ∫ cos x sin xdx
0
π
3
Tính tích phân: I = ∫ tan 2 x + cot 2 x − 2dx
π
6
π
2
Tính tích phân: I= ∫
−π
2 (1 + cos 2 x ) dx
2
π
3
sin 4 x sin 3x
Tính tích phân: I=∫ dx
π tan x + cot 2 x
6
10
dx
Tính tích phân: I= ∫ x−2 x −1
5
e
3 − 2 ln x
Tính tích phân: I= ∫ x 1 + 2 ln x
dx.
1
π
x sin x
Tính tích phân: I =∫
0
1 + sin 2 x
π
6
sin x + sin 3 x
Tính tích phân: I=∫
0
cos 2 x
Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i parabol (P) : y = x2 − x + 3 và ư ng th ng
d : y = 2x + 1.
2 x2 27
Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i các ư ng: ( C1) y = x ; ( C 2 ) y = ; ( C 3) y =
27 x




14
Bài V:Các bài toán liên quan n ng
d ng c a o hàm và th hàm s .
Lưu ý trư c khi gi i thi:
Các bài toán d ng này là câu chi m 1 i m, thư ng n m câu th 2 sau ph n kh o sát hàm s trong
thi i h c. Mu n gi i ư c d ng toán này ta c n n m v ng các lí thuy t v s tăng, gi m hàm s , các
v n v c c tr , s tương giao gi a hai th ( i u ki n ti p xúc c a hai ư ng cong)… Các ví d dư i
ây s trình bày m t cách có h th ng các v n nêu trên và cách gi i ơn gi n và d hi u nh t. Các
b n tham kh o các ví d sau ây:

I: S TĂNG GI M C A HÀM S :
Nh c l i ki n th c:
Cho hàm s y = f ( x ) có o hàm trên mi n I

f ( x ) ≥ 0; ∀x ∈ I Hàm s tăng

f ( x ) ≤ 0; ∀x ∈ I Hàm s gi m


1 3
VD 1. Cho hàm s : y = f ( x) =
3
( )
x − mx 2 + m2 + m − 2 x
Tìm m hàm s :
a. Tăng trên R
b. Gi m trên (0;2)
c. Tăng trên ( 4; +∞ )
d. Gi m trên o n có dài b ng 2
e. Tăng trên 2 kho ng ( −∞; 4 ) và ( 2; +∞ )
Gi i:
TX : D=R
y ' = x 2 − 2mx + m2 + m − 2 ⇒ ∆ ' = − m + 2
a. Ycbt ∆ ' ≤ 0 ⇔ −m + 2 ≤ 0 ⇔ m ≥ 2

 y '(0) ≤ 0  2
m + m − 2 ≤ 0
b. Ycbt  ⇔ 2 ⇔ m ≤1
 y ' ( 2) ≤ 0
 m − 3m + 2 ≤ 0


x -∞ 0 2 +∞
F’(x) + - +

F(x)




c. Ycbt
TH1: ∆ ' ≤ 0 ⇔ −m + 2 ≤ 0 ⇔ m ≥ 2




15

∆ ' > 0 m < 2
  2
TH2:  y ' ( 4 ) ≥ 0 ⇔  m + 9m + 14 ≥ 0
S  m < −4
 0 

 y ' ( 4) ≥ 0  −m + 2 > 0
 m ≥ 2
⇔  ⇔  m 2 + 9m + 14 ≥ 0 ⇔ 
  y ' ( −2 ) ≥ 0  2  −2 ≤ m ≤ 1
  m − 3m + 2 ≥ 0
  −4 < S < 2 
   −4 < m < 2
 2

−1 2 m2
VD 2. Cho hàm s y=
3
( )
x + mx 2 + m − m 2 x +
3
tìm m hàm s :

a. Gi m trên mi n xác nh.
b. Tăng trên (0;2)
c. Gi m trên ( 6; +∞ )
d. Tăng trên o n có dài b ng 2
e. Gi m trên 2 kho ng ( −∞; 0 ) và ( 6; +∞ )
Gi i:
MX : D=R
y ' = − x 2 + 2mx + m − m2
∆' = m
a. Gi m trên mi n xác nh.
⇔ ∆' ≤ 0 ⇔ m ≤ 0

b. Tăng trên (0;2)
 y ' ( 0) ≥ 0
  2
−m + m ≥ 0
⇔ ⇔ 2 ⇔ m =1
 y ' ( 2) ≥ 0
 − m + 5m + 4 ≥ 0

c. Gi m trên ( 6; +∞ )

TH1: ∆' ≤ 0 ⇒ m ≤ 0 (Rõ ràng vì gi m trên D cũng có nghĩa là gi m trên ( 6; +∞ ) )

16

∆ ' > 0 m > 0
  2
TH2:  y ' ( 6 ) ≤ 0 ⇔  − m + 13m − 36 ≤ 0
S m < 6
 0:
−∞ X1 X2 +∞
X
Y’ + 0 - 0 +
C
Y
CT

a. Ycbt Hàm s tc c i t i x=0
 y '(0) = 0
  2m 2 − 1 = 0 2
⇔ S ⇔ ⇔m=
0 < m > 0 2
 2
b. Ycbt :
  m 0 ⇔ 2m 2 − 2m > 0 ⇔   ⇒ −1 < m < 0
S m < 1 m > 1
 -1
  m 0 ⇔ 2m + 2m > 0 ⇔   ⇔ 0 < m −1   m < −1
 > −1  m > −1
2 
d. Hàm s tC và CT t i i m có hoành n m trong [-2;3]
∆ ' > 0  m 0 m ≥ 2 2
0 < S  
2
 2 
m > 0
f. Hàm s tC và CT t i i m có hoành trái d u nhau
 y ' ( 0) < 0
 − 2 2
⇔ ⇔ 2m 2 − 1 < 0 ⇔ 0

Ycbt ⇔  3 (1)
 P = ( x1 + x2 ) − 3x1 x2 ( x1 + x2 )  min
 →

 x1 x2 = 2m 2 − 1
 −m2 + 1 > 0

V i  V y ta có (1) ⇔  3
 x1 + x2 = 2m

2
(
 P = ( 2m ) − 3 2m − 1 .2m → min
 )
−1 < m < 1
⇔ 3
 P = 4m + 6m → min
 2
m =
2
⇒ P ' = −12m 2 + 6 ⇒ P ' = 0 ⇔ 
 2
m = −
 2
B ng bi n thiên:

2 2
X
−∞ -1 − 1 +∞
2 2

Y’ - 0 + 0 -
-2 2 2
Y

-2 2 2

− 2
Pmin = −2 2 khi m =
2
L i bình:
Có l các b n ang th c m c: “T i sao l i có nh ng l i gi i ng n g n và d dàng như v y?” Bí quy t n m
bi u th c y’ và d u c a nó. Lúc này, t t c yêu c u bài toán (ycbt) liên quan n c c tr u n m n dư i
nh ng d u + - c a y’. Và tr c quan hơn n a, ta th y ư c hư ng i c a mình qua b ng bi n thiên. Tôi s
minh h a kĩ câu d c a ví d trên ây:
Ycbt : Hàm s t C và CT t i i m có hoành n m trong [-2;3]
- có c c i và c c ti u y’=0 có hai nghi m ⇒ ∆ ' > 0
- V b ng bi n thiên:
19
S
−∞ -2 X1 X2 3 +∞
X 2

Y’ + 0 - 0 +
C
Y
CT

 y ' ( −2 ) ≥ 0

T ó ta có  . V y là i u ki n th 2 ã ư c bi u hi n r t rõ ràng trên b ng bi n
 y ' ( 3) ≥ 0

thiên. ây th c ra là xét quan h v d u c a h s a: af (α ) nhưng ây khi ta ã bi t rõ d u
c a a thì ch c n t d u ó vào trư c f (α ) là ư c. ây cũng có th là bư c rút g n th i
gian mà các em nên làm, tránh khai tri n m t th i gian.

S −b
- là t ng hai nghi m X1;X2 c a phương trình y’=0 hay b ng . Rõ ràng n u X1;X2 n m
2 2a
S −b
trong [-2;3] thì cũng ph i n m trong o n này. Vì là giá tr có th rút ra d dàng t
2 2a
phương trình g c nên ta ch n giá tr trung bình này làm i u ki n. Nút th t th 3 ư c g
b .
- L i khuyên ó là: khi g p nh ng d ng toán như trên h c sinh hãy v b ng bi n thiên như
trên ra gi y nháp sau ó tùy theo câu h i mà i n các thông s thích h p vào b ng. t ó
m i hư ng gi i u ư c phơi bày!
Tôi có tham kh o qua m t vài tài li u c a các th y cô giáo thì th y ph n l n các sách u trình bày l i
gi i m t cách máy móc, không tr c quan, nhi u lúc có th coi là lu n qu n. . Ví d : tìm m hàm s
y=f(x) tăng trên (1;+ ∞ ), các th y cô trình bày trong sách cũng như trên l p theo phương pháp Min-
Max, xét nhi u trư ng h p… Nh ng cách gi i ó không ph i là sai tuy nhiên i u ó ôi khi làm khó các
em h c sinh trong quá trình tư duy tìm trư ng h p, nh t là các em h c sinh trung bình. Phương pháp
xét d u trình bày trên ây v a ng n g n rõ ràng l i không b sót trư ng h p. bài toán ư c ơn gi n
hóa.
ax 2 + bx + c
Cách gi i trên cũng áp d ng ư c cho hàm s y= vì d ng o hàm
a ' x2 + b ' x + c '
a b 2 a c b c
x +2 x+
a' b' a' c' b' c'
y' = 2
. Trong trư ng h p này, tùy bi u th c m u có nghi m hay
(a ' x 2
+ b ' x + c)
không ta t thêm trư ng h p. Vì m u th c ≥ 0 nên khi xét d u ta ch c n xét d u t s tương t
như các ví d trình bày trên.
D ng hàm s này ã không còn thông d ng ( ch gi i thi u sơ lư c trong sách giáo khoa) nên xu
ax + b
hư ng ra ch xoay quanh 3 hàm là: b c 3, trùng phương và y= .
a'x +b'
Bài 2: Cho (Cm): y = x3 − 3mx 2 + 3 ( m − 1) x + 4
nh m :
a. C(m) có hai i m c c tr A;B sao cho AB th ng hàng v i C(1;-1)
b. C(m) có hai i m c c tr A;B sao cho AB = 2 5
c. C(m) có hai i m c c tr A;B sao cho AB cách u ∆: y = 2
Gi i:
20
MX : D=R
y' = 0
T a 2 i m c c tr th a h : 
 y = f ( x)
V y: y ' = x2 − 2 x − m + 1 = 0
( )
y = x3 − 3mx 2 + 3 ( m − 1) x + 4 ⇒ y = x 2 − 2 x − m + 1 ( cx + d ) + ax + b = ax + b
0

( 2
)
⇔ y = x − 2 x − m + 1 ( x − 1) − 2mx − m + 5
 2
 x + 2 x − m + 1 = 0 (1)
⇔
 y = −2mx − m + 5 ( 2 )

C(m) có hai c c tr (1) ph i có 2 nghi m phân bi t ⇒ ∆' ≥ 0 ⇒ m > 0

a. C(m) có hai i m c c tr A;B sao cho AB th ng hàng v i C(1;-1)
(2) ⇒ phương trình ư ng th ng qua hai i m c c tr là y = −2mx − m + 5
Vì AB th ng hàng v i C(1;-1) ⇒ C ∈ AB nên: -1=-2m.1-m+5 ⇔ m = 2
V y v i m=2 AB th ng hàng v i C(1;-1)

b. C(m) có hai i m c c tr A;B sao cho AB = 2 5
2 ∆'
(1) ⇒ x2 − x1 = =2 m
a
2 2
( 2) ⇒ y2 − y1 = −2m ( x2 − x1 ) = −4m m ⇒ AB = ( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) =2 5
m = 1
⇒ 16m + 4m = 20 ⇔ 
2
So sánh k ⇒ m = 1
m = − 5
 4
c. C(m) có hai i m c c tr A;B sao cho AB cách u ∆: y = 2
Ycbt ⇔ d ( A; ∆ ) = d ( B; ∆ ) v i ∆ : y = 2
 y1 − 2 = y2 − 2  y1 = y2
⇔ y1 − 2 = y2 − 2 ⇔  ⇔
 y1 − 2 = − ( y2 − 2 )  y1 + y2 = 4
⇔ ( −2mx1 − m + 5) + ( −2mx2 − m + 5 ) = 4 ⇔ −2m ( x1 + x2 ) − 2m + 10 = 4
⇔ −2m.2 − 2m + 10 = 4 ⇔ m = 1

Bài 3: Cho (Cm): y = x3 + 3 x 2 − 3 ( m − 1) x
nh m :
a. C(m) có hai i m c c tr A;B sao cho ∆OAB vuông t i O
b. C(m) có hai i m c c tr A;B n m khác phía v i tr c Ox
c. C(m) có hai i m c c tr A;B cùng phía v i tr c Oy
d. C(m) có hai i m c c tr A;B n m cách u ư ng th ng y=5
e. Có ư ng th ng i qua hai i m c c tr cách g c t a m t kho ng b ng 1
2 2
f. Có ư ng th ng i qua hai i m c c tr ti p xúc v i ư ng tròn ( x − 1) + ( y − 1) =4
g. Có ư ng th ng i qua hai i m c c tr t o v i hai tr c t a m t tam giác cân
h. Có ư ng th ng i qua hai i m c c tr t o v i hai tr c t a m t tam giác có di n tích =8
Gi i:
21
MX : D=R
y' = 0
T a 2 i m c c tr th a h : 
 y = f ( x)
 y' 2
 3 = x + 2x − m +1 = 0
⇔
 3 2 2
( )
 y = x + 3x − 3 ( m − 1) x = x + 2 x − m + 1 ( x + 1) − 2mx + m − 1
 x 2 + 2 x − m + 1 = 0 (1)

⇔
 y = −2mx + m − 1( ∆ )

C(m) có hai c c tr (1) ph i có 2 nghi m phân bi t ⇒ ∆ ' ≥ 0 ⇒ m > 0 (*)
a. C(m) có hai i m c c tr A;B sao cho ∆OAB vuông t i O
Ycbt ⇔ OA ⊥ OB
OA = ( x A ; y A )

⇔ OA.OB v i 
OB = ( xB ; yB )

⇔ x1 x2 + y1 y2 = 0 ⇔ x1 x2 + ( −2mx1 + m − 1)( −2mx2 + m − 1) = 0
2
( )
⇔ x1 x2 + 4m 2 x1 x2 + −2m 2 + 2m ( x1 + x2 ) + ( m − 1) = 0
2
⇔ ( − m + 1) + 4m 2 ( −m + 1) + ( −2m 2 + 2m ) . − 2 + ( m − 1) = 0
⇔ −4m3 + 9m2 − 7 m + 2 = 0 ⇔ ( −4m 2 + 5m − 2 ) ( m − 1) = 0 ⇔ m = 1 (th a i u ki n(*))
VN vì ∆=−7 y CD
b. C(m) có hai i m c c tr A;B n m khác phía v i tr c Ox
Ycbt ⇔ y1. y2 < 0 ⇔ ( −2mx1 + m − 1)( −2mx2 + m − 1) < 0
2
⇔ 4m 2 x1 x2 + ( −2m 2 + 2m ) ( x1 + x2 ) + ( m − 1) < 0 y =5
2 x1
⇔ 4m 2 ( − m + 1) − 2 ( −2m 2 + 2m ) + ( m − 1) < 0 x1 x
2
⇔ −4m3 + 9m2 − 6m + 1 < 0 ⇔ ( −4m + 1)( m − 1) < 0
≥0 CT
 1
m >
⇔ 4
m ≠ 1


c. C(m) có hai i m c c tr A;B cùng phía v i tr c Oy
Ycbt ⇔ x1 x2 > 0 ( x1 cùng d u v i x2 ) ⇔ − m + 1 > 0 ⇔ m < 1
d. C(m) có hai i m c c tr A;B n m cách u ư ng th ng y=5
 x1 + x2 
Ycbt : y=5 c t (Cm) t i trung i m AB. M là trung i m AB có t a  ; −2mx + m − 1
 2 
⇒ M ( −1;3m − 1) Ycbt ⇔ 5 = 3m − 1 ⇔ m = 2
So sánh v i i u ki n (*) ta th y m=2 là k t qu c n tìm.

e. Có ư ng th ng i qua hai i m c c tr cách g c t a m t kho ng b ng 1
∆ : y = −2mx + m − 1 ⇔ ∆ : 2mx + y − m + 1 = 0

22
2m.0 + 0 − m + 1 2 2
Ycbt ⇔ d ( O; ∆ ) = 1 ⇔ = 1 ⇔ ( − m + 1) = ( 2m ) + 12 ⇔ 3m 2 + 2m = 0
2
( 2m ) + 12
m = 0
⇔ −2 So sánh v i i u ki n m>0 ta nh n th y không có giá tr m th a mãn yêu c u bài toán.
m =
 3
2 2
f. Có ư ng th ng i qua hai i m c c tr ti p xúc v i ư ng tròn ( x − 1) + ( y − 1) =4
Ycbt ⇔ d ( I ; ∆ ) = R v i tâm I(1;1) và R=2
∆ : 2mx + y + m − 1 = 0
2m.1 + 1 − m + 1 2
⇒ = 2 ⇔ ( m + 2 ) = 16m 2 + 4 ⇔ −15m 2 + 4m = 0
2
( 2m ) + 1
m = 0
4
⇔ 4 So sánh v i (*) ta nh n m =
m = 15
 15
g. Có ư ng th ng i qua hai i m c c tr t o v i hai tr c t a m t tam giác cân

−2mx + m − 1 = 0  m −1 
G i M là giao i m c a ∆ và Ox: ⇒  ⇒M ;0 
y = 0  2m 
 y = −2m.0 + m − 1
G i N là giao i m c a ∆ và Oy: ⇒  ⇒ N ( 0; m − 1)
x = 0

m = 1
 1  
m −1 1
Ycbt ⇔ xM = y N ⇔ = m −1 ⇔ 
 2m − 1 . m − 1 = 0

⇔ m =
2m    2
 −1
m =
 2
−1 1
D th y v i m=1, ∆ i qua g c t a , v i m= không th a (*) nên lo i. V y ta ch n m =
2 2
h. Có ư ng th ng i qua hai i m c c tr t o v i hai tr c t a m t tam giác có di n tích =8
1 1 1
⇔ S ∆OMN = OM .ON ⇔ = xM y N
Ycbt:
2 8 2
 m = 2
 m 2 − 2m + 1 = m
⇔
m = 1
2
1 m −1 1 ( m − 1)  2
⇔ = . m −1 ⇔ = ⇔  2
4 2m 4 2m  −m
 m 2 − 2m + 1 = (VN )
 2
So sánh (*) v y có hai giá tr m th a mãn: m=2 và m=0.5




23
III: S TƯƠNG GIAO GI A HAI TH
Nh c l i ki n th c:

Cho: C1 : y = f ( x ); C2 : y = g ( x )
S giao i m c a C1 và C2 là s nghi m c a phương trình hoành giao i m:
f ( x) = g ( x)
c bi t khi C1 ti p xúc C2:
 f ( x) = g ( x)


 f '( x) = g '( x)

Lưu ý: Không ư c s d ng i u ki n nghi m kép làm d ng toán ti p xúc c a hai th .
hi u rõ hơn, ta hãy n v i các ví d sau:

2mx − 3m − 2
Bài 1: Cho hàm s ( Cm ) : y = ( m ≠ −2 ) và ( d ) : y = x −1
x −1
nh m (d) c t (Cm) t i hai i m phân bi t:
a) Có hoành l n hơn -1
b) Có hoành nh hơn 2
c) Có hoành n ng trong kho ng [ −2;3]
d) Có hoành dương
e) Có hoành trái d u.

Gi i:
Phương trình hoành giao i m gi a (Cm) và d:
2mx − 3m − 2
= x −1 ⇔ g ( x ) : x 2 − 2 ( m + 1) x + 3m + 3 = 0
x −1
S
−∞ x1 x2 +∞
x 2

g ( x) + 0 - 0 +


 m > 2
∆ ' > 0 ⇔ 
(d) c t (Cm) t i hai i m phân bi t g(x)=0 có hai nghi m phân bi t   m < −1 (*)
 g 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ −2
 ( )
a) Có hoành l n hơn -1
 g ( −1) > 0  −6  −6
 1 + 2 ( m + 1) + 3m + 3 > 0
 m > < m −1
  m > −2 
 2  m > 2
b) Có hoành nh hơn 2
g ( 2) > 0
 
4 − 4 ( m + 1) + 3m + 3 > 0 −m + 3 < 0 m < 3
S ⇔ ⇔ ⇔
 0
 3m + 3 > 0 ⇔ m > −1
Ycbt: ⇔  S ⇔
0 ≤  m + 1 ≥ 0 ⇔ m ≥ −1
 2

So sánh v i (*) ta suy ra: m>2

e) Có hoành trái d u.

Ycbt: g ( 0 ) < 0 ⇔ 3m + 3 < 0 ⇔ m < −1
So sánh i u ki n (*) ⇒ m ∈ ( −∞; −2 ) ∨ ( −2; −1)

x +1
Bài 2: Cho hàm s (C ) : y = và ( d ) : y = mx + 1
x −1
Tìm m d c t (C):
a) T i 2 i m phân bi t n m trên 2 nhánh c a th .
b) T i 2 i m phân bi t n m trên cùng 1 nhánh c a th

Gi i:
Phương trình hoành giao i m c a (C) và d:
x +1
= mx + 1 ( x ≠ 1) ⇔ g ( x ) = mx 2 − mx − 2 = 0 (1)
x −1
a) T i 2 i m phân bi t n m trên 2 nhánh c a th . (Hình 1)
Ycbt: phương trình (1) có hai nghi m phân bi t th a x1 < 1 < x2
−∞ x1 1 x2 +∞
x tiem can dung



g ( x) Cùng d u m 0 Trái d u m 0 Cùng d u m


⇔ m.g (1) < 0 ⇔ m ( m − m − 2 ) < 0 ⇔ −2m < 0 ⇔ m > 0




25
y




Lưu ý: Trư ng h p này không c n ph i xét bi t th c ∆ vì khi d c t

C v 2 phía c a ti m c n ng x=1 thì m c nhiên phương trình ã
x
có 2 nghi m, không c n thi t ph i xét ∆

b) T i 2 i m phân bi t n m trên cùng 1 nhánh c a th
(Hình 2)

Phương trình (1) có hai nghi m phân bi t th a:
 x1 < x2 < 1 Hình1
1 < x < x
 1 2
y
m < 0

∆ > 0  m + 8m < 0 2

⇔ ⇔ ⇔ m > 0
m.g (1) > 0
  −2 m > 0   m < −8

⇔ m < −8

Bài 3: Vi t phương trình ư ng th ng c t th :
3
(C ) : y = x − 3x + 2 t i 3 i m phân bi t A,B,C sao cho xA=2 và
x
BC= 2 2 .
Gi i: (hình 3)
xA = 2 ⇒ y A = 4
Phương trình ư ng th ng qua A(2;4) là
∆ : y = k ( x − xA ) + y A ⇒ ∆ : y = k ( x − 2 ) + 4 Hình 2
L p phương trình hoành giao i m c a (C) và ∆:
3 3
x − 3x + 2 = k ( x − 2 ) + 4 ⇔ x − 3x − 2 = k ( x − 2 )
⇔ x3 − ( k + 3) x + 2k − 2 = 0 ⇔ ( x − 2 ) ( x 2 + 2 x − k + 1) = 0
y
x = 2
⇔ 2
 g ( x) = x + 2x − k + 1
i u ki n có BC:
∆ ' > 0
 k > 0 k > 0
 ⇔ ⇔ Khi ó t a
 g ( 2) ≠ 0
 4 + 4 − k + 1 ≠ 0 k ≠ 9 B ( x1 ; y1 ) ; C ( x2 ; y2 ) th a
2 2
h :
 x + 2 x − k + 1 = 0 (1)

2
x

 y = kx − 2k + 4
 ( 2)
2 ∆'
(1) ⇔ x2 − x1 = =2 k
a
Hình 3
(2) ⇔ y2 − y1 = k ( x2 − x1 ) = 2k k
2 2
BC = ( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) =2 2

⇔ 4k + 4k 3 = 2 2 ⇔ 4 k 3 + 4 k − 8 = 0 ⇔ k = 1
26
V y ∆ : y = 1( x − 2 ) + 4

Bài 3: Cho (C) y = f ( x ) = x 3 − 3 x 2 + 2 . Tìm trên ư ng th ng (d):y=-2 nh ng i m mà t ó có th v
ư c n (C) :
a. Ba ti p tuy n phân bi t
b. Ba ti p tuy n phân bi t trong ó có 2 ti p tuy n vuông góc v i nhau

Gi i:
a. Ba ti p tuy n phân bi t
Xét A( a; −2) ∈ d : y = −2 .
Phương trình ư ng th ng ∆ qua A(a; −2) và có h s góc :
y = k ( x − a) − 2 (∆) .
∆ ti p xúc v i (C) H phương trình sau có nghi m:
 3 2
 x − 3x + 2 = k ( x − a ) − 2 (1)
 2
3x − 6 x = k ( 2 )

Thay k t (2) vào 1 ta ư c:
x − 3x + 2 = ( 3x 2 − 6 x ) ( x − a ) − 2
3 2
( 3)
⇔ 2 x 3 − 3 ( a + 1) x 2 + 6ax − 4 = 0
⇔ ( x − 2 )  2 x 3 − ( 3a − 1) x + 2  = 0
 
x = 2
⇔ 2
 g ( x ) = 2 x − ( 3a − 1) x + 2 = 0 ( 4)
T Ak ư c ba ti p tuy n phân bi t n (C)
phương trình (3) có 3 nghi m phân bi t
phương trình (4) có 2 nghi m phân bi t khác 2
 2  5
∆g > 0
 ( 3a − 1) − 16 > 0 a < −1 ∨ a >
⇔ ⇔ ⇔ 3 ( *)
 g ( 2) ≠ 0
 
2
2.2 − ( 3a − 1) .2 + 2 ≠ 0 a ≠ 2

b. Ba ti p tuy n phân bi t trong ó có 2 ti p tuy n vuông góc v i nhau
Khi ó phương trình (3) có 3 nghi m phân bi t:
x0 = 2; x1 ; x2 ( v i x1;x2 là hai nghi m c a phương trình g(x)=0) và 3 ti p tuy n ng v i h s góc là:
k0 = f ' ( 2 ) = 0; k1 = f ' ( x1 ) = 3x12 − 6 x1 ; 2
k2 = f ' ( x2 ) = 3x2 − 6 x2
Vì k0 = 0 nên : Ycbt k1.k2=-1.

⇔ ( 3 x12 − 6 x1 )( 3 x2 − 6 x2 ) = −1 ⇔ 9  x12 x2 − 2 x1 x2 ( x1 + x2 ) + 4 x1 x2  = −1 (**)
2

2

Áp d ng nh lí Viet cho phương trình (4) ta có:
3a − 1
x1 + x2 = và x1 x2 = 1
x
  3a − 1   55
Do ó (**) ⇔ 9 1 − 2   + 4  = −1 ⇔ a = (th a i u ki n (*)).
  2   27
 55 
V y i m c n tìm là A  ; −2  .
 27 

27
D NG TOÁN: H Ư NG CONG TI P XÚC V I M T Ư NG C NH
Phương pháp:
D ng 1: Cho h ư ng cong ( Cm ) :y=f(x;m). ch ng minh ( Cm ) luôn ti p xúc v i m t ư ng (C) c nh .
◊ TH1:
( Cm ) :y=f(x;m). là hàm a th c.
n
ưa : y = f ( x; m ) v d ng: y = ± ( ax + bm ) + g ( x ) ( n : nguyên ≥ 2 ) .

Xét ư ng cong ( C ) : y = g ( x ) và ch ng minh h :

± ( ax + bm ) n + g ( x ) = g ( x )

 n −1
Có nghi m ∀m
± na ( ax + bm ) + g ' ( x ) = g ' ( x )

◊ TH2:
( Cm ) :y=f(x;m). là hàm h u t : (D ng t ng quát)
( ∆ ) ti p xúc v i (C) h sau có nghi m
 c
ax + b + x + d = k ( x − x0 ) + y0 (1)

 c
a − 2
= k ( x ≠ a) ( 2)
 (x + d)

Gi i hê trên qua 3 bư c:
B1: nhân 2 v c a phương trình (2) cho: x+d
c
ax + ad − = k (x + d) ( 3)
x+d
B2: (1)-(3):
2c 2c
b − ad + = k ( − x0 − d ) + y0 ⇔ = k ( − x0 − d ) + y0 + ad + b ( 4)
x+d x+d
B3: Thay (4) vào (2) s có 1 phương trình theo k. gi i phương trình này và tìm m sao cho phương trình
úng ∀m .
ax + b
Lưu ý: cách gi i trên có th áp d ng i v i hàm s
cx + d
D ng 2: Tìm i u ki n h ư ng cong ti p xúc v i 1 ư ng c nh:
Dùng i u ki n ti p xúc.

II/ M t s ví d :
Bài 1: Cho ( Cm ) : y = x3 + 2 x 2 + ( 2m + 1) x + m2 + 2 . Ch ng minh r ng (Cm) luôn ti p xúc v i m t ư ng
cong c nh.

Gi i:
2
Ta có: ( Cm ) : y = x3 + 2 x 2 + ( 2m + 1) x + m2 + 2 ⇔ ( x + m ) + x3 + x2 + x + 2
3 2
Xét ư ng cong ( C ) : y = x + x + x + 2

( Cm ) luôn ti p xúc v i (C): h sau có nghi m:
( x + m )2 + x3 + x 2 + x + 2 = x3 + x 2 + x + 2

 (1)

 2 ( x + m ) + 3x 2 + 2 x + 1 = 3x 2 + 2 x + 1


28
 2
( x + m ) = 0
Ta có: (1) ⇔  Rõ ràng v i m i m , h (1) luôn có nghi m x=-m
2 ( x + m ) = 0

3 2
Vây ∀m , (Cm) luôn ti p xúc v i 1 ư ng cong c nh: ( C ) : y = x + x + x + 2 .
Bài 2:
( m − 2 ) x − ( m 2 − 2m + 4 )
Cho ( Cm ) : y = . Ch ng minh (Cm) luôn ti p xúc v i hai ư ng th ng c nh.
x−m
Gi i:
( m − 2 ) x − ( m 2 − 2m + 4 ) 4
( Cm ) : y = ⇔ y = ( m − 2) −
x−m x−m
(Cm) luôn ti p xúc v i ư ng th ng ( ∆ ) : y = ax + b
⇔ H phương trình sau có nghi m ∀m :
 4
( m − 2 ) − x − m = ax + b (1)

 4 (I )
 2
=a ( 2)
( x − m)

◊ Nhân 2 v c a phương trình (2) cho: x-m
4
⇒ = a ( x − m) ( 3)
x−m
◊ L y (1)-(3):
8 −8
⇔ ( m − 2) − = b + am ⇔ = ( a − 1) m + b + 2 ( 4)
x−m x−m
◊ Thay (4) vào (2):
2
⇔ ( a − 1) m + ( b + 2 )  = 16a
 
2 2
⇔ ( a − 1) m2 + 2 ( a − 1)( b + 2 ) m + ( b − 2 ) − 16a = 0 ( *)
H (1) có nghi m ∀m ⇔ (*) úng ∀m :
( a − 1) 2 = 0

 a = 1
⇔ 2 ( a − 1)( b + 2 ) = 0 ⇔ 
 2 b = 2 ∨ b = −6
(
 b + 2 ) − 16a = 0
V y (Cm) luôn ti p xúc v i 2 ư ng th ng c nh y=x+2 và y=x-6




29
Bài t p t luy n

1 1
1. Cho hàm s y = x 3 − ( m + 1) x 2 + 2 ( m 2 + m ) x − . nh m hàm s :
3 3
a) Tăng trên R
b) Gi m trên (0;1)
c) Tăng trên (-∞;2)
d) Gi m trên o n có dài b ng 3
e) Tăng trên 2 kho ng (-∞;0) và (2; +∞)
2. Cho hàm s ( Cm ) : y = x3 + 3mx 2 + 3 ( −m2 + m + 1) x + m3 + 1 . Tìm m :
a) (Cm) có i m c c i n m trên x=5
b) Hàm s tc c i và c c ti u t i nh ng i m có hoành >1
x x −14
c) Hàm s tc c i và c c ti u t i x1 và x2 sao cho: 1 + 2 =
x2 x1 5
3. Cho hàm s ( Cm ) : y = x3 − 3x + 2 .
a) Vi t phương trình ti p tuy n có h s góc nh nh t
b) Vi t phương trình ti p tuy n i qua M(1;0)
c) Tìm trên Ox nh ng i m mà t ók ư c trên C úng:
◊ m t ti p tuy n ◊ hai ti p tuy n
◊ Ba ti p tuy n ◊ hai ti p tuy n vuông góc v i nhau
d) Tìm trên ư ng th ng x=1 nh ng i m mà t ók ư c trên C úng:

◊ m t ti p tuy n ◊ hai ti p tuy n
◊ Ba ti p tuy n
e) Tìm trên (C) nh ng i m mà t ók ư c trên C úng 1 ti p tuy n.

4. Cho hàm s ( Cm ) : y = x 4 − 2mx 2 + 2m − 1 . Tìm m (Cm) c t Ox t i b n di m phân bi t có hoàn l p
thành c p s c ng.
5. Xác nh m phương trình có nghi m duy nh t: x3 + mx 2 − 1 = 0
6. Cho hàm s ( Cm ) : y = x3 − 3mx 2 + 3 ( m2 − 1) x − m3 . Tìm m (Cm) c t Ox t i 3 i m phân bi t trong ó
có úng 2 i m có hoành âm.
3
7. Cho hàm s ( Cm ) : y = x + k ( x + 1) + 1 . Tìm k (Ck) ti p xúc v i ư ng th ng (∆) : y = x +1
8. Cho hàm s ( Cm ) : y = x3 − 3mx 2 + 4m3 . Tìm m (Cm) c t ư ng th ng (d ) : y = x t i A,B,C sao cho
AB=BC.
2x + 1
9. Cho hàm s ( Cm ) : y = . Ch ng t r ng ư ng th ng y=-x+m luôn luôn c t th t i hai i m
x+2
phân bi t AB. Tìm m o n AB ng n nh t.
( 3m + 1) x − m2 + m
10. Cho hàm s ( Cm ) : y = (1) . Trong ó m là tham s khác 0:
x+m
a) Tìm nh ng i m mà th không i qua ∀m .
b) Ch ng minh r ng th c a (1) luôn ti p xúc v i 2 ư ng th ng c nh.
3 2
11. Cho hàm s ( Cm ) : y = ( m + 3) x − 3 ( m + 1) x − ( 6m + 1) x + m + 1 (1) . Ch ng minh r ng h th (Cm)
luôn luôn i qua 3 i m c nh th ng hàng.




30
Bài VI: M t s d ng toán khác c n lưu ý.
I/ Gi i h n:
D ng toán này ã t ng xu t hi n trong thi i h c t r t lâu (năm 2002 – 2003) Tuy nhiên ã r t lâu
không th y xu t hi n trong thi i h c. Tuy nhiên ta cũng nên chú ý n d ng toán này.
âu tôi xin trình bày phương pháp t ng quát làm bài d ng này là “ G i s h ng v ng b ng h s b t
nh”.
5 − x3 − 3 x2 + 7
Bài 1. Tìm lim
x →1 x2 − 1
Gi i:
5 − x3 − 3 x2 + 7  5 − x3 − 2 3 x2 + 7 − 2 
Ta có: lim = lim  −  (1)
x →1 x2 − 1 x →1  x2 −1 x2 − 1 
 

5 − x3 − 2 1 − x3 − ( x 2 + x + 1) −3
lim = lim = lim = ( 2)
x →1 2
x −1 x →1
( )
( x2 − 1) 5 − x3 + 2 x→1 ( x + 1) 5 − x3 + 2 8 ( )
3
x2 + 7 − 2 x2 − 1 1 1
lim = lim = lim = ( 3)
( x − 1)  3 ( x2 + 7 ) + 2 3 x2 + 7 + 4 
x2 − 1  12
x →1 x →1 2 x →1 2

2 3
(x 2
+ 7) + 2 x + 7 + 4
3 2

 
−3 1 11
Thay (2),(3) vào (1) có: A = − =
8 12 24
Lưu ý:
Trong l i gi i ta ã thêm s 2 vào t th c f(x). Có l b n ang t h i:
● T i sao ph i thêm s 2 ?
● Làm cách nào nh n ra s 2 ?
S 2 là h ng t ã b xóa! Mu n làm d ng bài này, ta ph i khôi ph c nó. Mu n khôi ph c s 2 này ta
làm như sau:
 5 − x3 − c 3 x 2 + 7 − c 
B1: ∀c ∈ R luôn có: f ( x ) =  − 
 x2 − 1 x2 − 1 
 
B2: Trong các s c ó. Ta tìm s c sao cho x2-1 có cùng nhân t chung v i f1 ( x ) = 5 − x 3 − c và
f 2 ( x ) = 3 x 2 + 7 − c . i u ó x y ra khi và ch khi c là nghi m c a tuy n:
  f1 (1) = 0

 c = 2
 f 2 (1) = 0
 
 ⇔  c = 6 ⇔ c = 2
 ó chính là lí do t i sao 2 xu t hi n trong bài gi i.

 f1 ( −1) = 0  c = 2
  f −1 = 0 
  2( )

ây là vi c nên làm trong gi y nháp. Không nh t thi t trình bày trong bài làm.
Qua ví d trên ta nêu lên thu t toán sau:
f ( x) 0
Gi s F ( x) = có gi i h n
g ( x) 0


31
f1 ( x ) + c f2 ( x ) − c
B1: Phân tích f ( x) = + .
g ( x) g ( x)
B2: (Tìm c): G i α i ( i = 1; 2;...) là nghi m c a h g(x)=0

 f1 (α i ) + c = 0

Khi ó c là nghi m c a h :  ( i = 1; 2;...)
 f1 (α i ) − c = 0

f1 ( x ) + c f2 ( x ) − c
V i c tìm ư c thì lim và lim s ho c là d ng xác nh ho c là d ng quen thu c.
x →α i g ( x) x →α i g ( x)
Sau khi tìm c, vi c trình bày l i gi i như ã làm.

BÀI T P ÁP D NG:
3
3x 2 − 1 + 2 x 2 + 1
A= lim ( d b 2002)
x →0 1 − cos x
1 + 2 x − 3 1 + 3x
B= lim
x →0 x2
II/Phương trình và b t phương trình mũ và logarit:
ây là d ng toán cũng r t thư ng xuyên xu t hi n trong thi. Nhìn chung, d ng toán này không
khó. T t c các phép bi n i ch xoay quanh các công th c ã nêu trong sách giáo khoa. ph n
này, tôi không nêu l i các công th c trên. Xin trình bày cách gi i c a 1 s thi g n ây.
Bài làm qua 2 bư c:
B1: t i u ki n. (N u i u ki n quá ph c t p thì có th n bư c 2 r i th nghi m vào i u ki n)
B2: Bi n i phương trình hay b t phương trình v d ng ơn gi n cùng cơ s c 2v :
• Mũ: Chia
log b x
• Logarit: log a x =
log b a
m
log an x n = log a x
n
• t n ph : t = log a f ( x ) phương trình h u t ho c phương trình mũ
f ( x)
t=a phương trình h u t .
• Phương pháp hàm s

2 2 2 x 2 −3 x +1
Bài 1. 81.42 x −3 x +1
− 78.62 x −3 x +1
+ 16.9 ≤0 (1)
Gi i:
2 x 2 −3 x +1 2 x 2 − 3 x +1 2 x 2 − 3 x +1 ( )
2. 2 x 2 −3 x +1
6 9 3 3
(1) ⇔ 81 − 78   + 16   ≤ 0 ⇔ 81 − 78   + 16   ≤0
4 4 2 2
2 x 2 − 3 x +1
3
t t =  k: t>0
2
 3 27 
Phương trình tr thành: 16t 2 − 78t + 81 ≤ 0 ⇔ t ∈  ; 
2 8 
2 x 2 −3 x +1
3 3 27
⇔ ≤  ≤ ⇔ 1 ≤ 2 x 2 − 3x + 1 ≤ 3
2 2 8

32
 3
 x ≥ 2
 x ≥ 2
2 x 2 − 3x + 1 ≥ 1
 2 x 2 − 3x ≥ 0
  x ≤ 0
 2 ⇔ 2 ⇔ ⇔
2 x − 3x + 1 ≤ 3 2 x − 3x − 2 ≤ 0
   x ≤ 1 x ≤ 1
 2
 2
 x ≥ 2

Bài 2. Gi i b t phương trình: e x+ x −1
− e1+ x −1
≤ x −1

Gi i:
u = x + x − 1


t: ⇔ u − v = x −1
v = 1 + x − 1

u v
Phương trình tr thành: e − e = u − v
⇔ f (u ) ≤ f ( v )
V i f ( x ) = e x − x; x ≥1
⇒ f ' ( x ) = e x + 1 > 0 ⇒ f ( x ) tăng.
Do ó u ≤ v ⇔ x + x − 1 ≤ 1 + x − 1 ⇔ x ≤ −1
Bài 3. Gi i phương trình: ( )
log 2 1 + x = log 3 x
Gi i:
t log 3 x = t ⇔ x = 3t
t
Do ó: ( )
log 2 1 + x = t ⇔ 1 + x = 2t ⇔ 1 + ( 3) = 2 t


t t 2
1  3 1  3 1  3
t t 2

  +  =1⇔   +  =  + 
2  2 
  2  2  2  2 
   
t
1  3
t

⇔ f ( t ) = f ( 2 ) ⇔ t = 2 (Vì f ( x ) =   +   là hàm gi m)
2  2 
 
⇔t =2⇔ x=9

Bài 4. Gi i b t phương trình: log x log 2 ( 4 x +1 − 8)  ≥ 1
  (1)
Gi i:
2( x −1) 5
K: 4 x −1 − 8 > 0 ⇔ 2 > 23 ⇔ 2 ( x − 1) > 3 ⇔ x >
2
(1) ⇔ log x log 2 ( 4 − 8 ) ≥ log x x ⇔ log 2 ( 4 − 8) ≥ x ⇔ log 2 ( 4 x −1 − 8 ) ≥ log 2 2 x

x +1

x −1



x −1 4x
x x
 2 x ≤ 0 ( loai )
⇔4 −8 ≥ 2 ⇔ − 2 −8 ≥ 0 ⇔  x ⇔ x≥3
4 2 ≥ 8


 x −1 + 2 − y = 1
 (1)
Bài 5. Gi i h phương trình:  ( H A 2005)
3log 9 ( 9 x ) − log 3 y = 3
2 3
 ( 2)
33
Gi i:

x ≥ 1
k: 
0 < y ≤ 2
( 2 ) ⇔ 3 (1 + log 3 x ) − 3log 3 y = 3 ⇔ log3 x = log3 y ⇔ x = y
Thay x=y vào (1) ta có:
x −1 + 2 − x = 1 ⇔ x −1 + 2 − x + 2 ( x − 1)( 2 − x ) = 1
⇔ ( x − 1)( 2 − x ) = 0 ⇔ x = 1, x=2
V y h có hai nghi m là (x;y)=(1;1) và (x;y)=(2;2)

1 1
Bài 6. Gi i phương trình: log 4 ( x − 1) + = + log 2 x + 2 (1) (D b 1A – 2007)
log 2 x +1 4 2
Gi i:
K: x>1
1
(1) ⇔ log 4 ( x − 1) + log 4 ( 2 x + 1) − log 4 ( x + 2 ) =
2
 ( x − 1)( 2 x + 1)  1
⇔ log 4  = và x > 1
 x+2  2
2 x2 − x − 1
⇔ = 2 và x > 1
x+2
5
⇔ 2 x 2 − 3 x − 5 = 0 và x > 1 ⇔ x =
2
BÀI T P ÁP D NG:
log 2 ( x 2 + 6 x − 7 ) ) ( )
1) ≥2
4) (
log 3 x + x 2 − 15 log 5 x − x 2 − 45 = 2
 1
1 + log 4  x 2 − x +  5) log 0.2 ( x − 2 ) + log3 x ≥ log 5 ( x + 2 )
 4
2) log 2 x + log 3 x ≥ log 2 x log 3 x 6) ( x + 3) log 2 2 ( x + 2 ) + 4 ( x + 2 ) log 3 ( x + 2 ) = 16
3) x log 2 3 + x 2 = x log 2 5
1
7) log 2 ( 3 x − 1) + = 2 + log 2 ( x + 1)
log x +3 2

8) CMR: v i m i a>0, h phương trình sau có nghi m duy nh t:
e x − e y = ln (1 + x ) − ln (1 + y )


x − y = a

log 2 ( x 2 + y 2 ) = 1 + log 2 ( xy )

9) Gi i h phương trình:  2 2
( x, y ∈ R ) ( H A 2009)
3x − xy + y = 81





34
10) Tìm m phương trình sau có úng 1 15) Tìm m phương trình sau có úng 1
nghi m: nghi m:
x x 2 2

( )
5 + 1 + 2m ( )
5 −1 = 2x 9sin x + 9cos x = m
3x 2x 2x 3x
16) log 3 x − x 2 ( 3 − x ) > 1
11) 7 + 9.5 = 5 + 9.7
7x 5x 17) 16 x −3 + ( x − 6 ) 4 x −3 + 8 − 2 x = 0
12) ( 5) = (7)
18) Cho b t phương trình:
x x −10
13) ( 3) + ( 3)
5 10
− 84 = 0 log 2 ( )
x 2 + 1 < log 2 ( ax + a ) (1)
14) 16 x −3 + ( x − 6 ) 4 x −3 + 8 − 2 x = 0 a) Gi i b t phương trình khi a=2
b) Tìm t t c giá tr c a a b t phương
trình có nghi m

x2 − x
19) x −3 = 9 − 6x + x2 23) 2 ( 5x + 4 ) − 5x − 3 ≤ 5x + 3
20) 3.25x − 2 + ( 3x − 10 ) .5x − 2 + 3 − x = 0 24) Tìm m h có nghi m:
21) Tìm m phương trình có 2 nghi m trái log 2 ( x + y ) + log m ( x − y ) = 1

d u:  2 2
x − y = m

( m + 3)16 x + ( 2m − 1) 4 x + m + 1 = 0
22) Tìm m phương trình có nghi m:
x x
9 − m.3 + 2m + 1 = 0
26) Gi i b t phương trình
25) Gi i b t phương trình:   x +1 
 3x − 1  
  15   log 3  log 4    ≤ log 1  log 1 
log 2 log 0.5  2 x −   ≤ 2   x +1  3  4 3x − 1 
  16  




2
PH L C: M T S THI C N THAM KH O (Theo c u trúc thi c a B GD& T 2010)

1:

A. PH N CHUNG:
1 2
Câu 1: Cho hàm s (C) y=
4
( x − m )( x 2 + 1) , m là tham s .
1. Kh o sát và v th (C) khi m =3
2. nh m bi t th hàm s (C) c t Ox t i A và B sao cho 2 ti p tuy n t i A và B vuông góc.
Câu 2:
7
1. Gi i phương trình: cos3 2 x + sin 2 x = 2sin x
2
2. Gi i phương trình: x x + ( x − 4 ) 4 − x = 4 ( x − 2 )

x 2 + log 2 ( cos x )
Câu 3: Tính gi i h n: lim
x →0
2 x sin x − x 2 + 1
Câu 4: Cho hình nón nh S có thi t di n qua tr c SO=a là m t tam giác vuông. M t ph ng qua S và c t
ư ng tròn áy t i A và B sao cho ∆ SAB u. Tình th tích hình c u ngo i ti p hình chóp SOAB.

2 2 2
Câu 5: Cho x,y,z ∈ [ 0;1] . Tìm giá tr l n nh t: A = ( x − y ) + ( y − z ) + ( z − x )


B. PH N T CH N: (Thí sinh ch ư c ch n Câu 6 ho c Câu 7
Câu 6: (Chương trình chu n)
a. Trong Oxy cho ∆ ABC có A(0;2), B(2;6), và C ∈ d : x − 3 y + 1 = 0 sao cho phân giác k t A song song
v i d. Tìm t a C.
x y −1 z −1
b. Trong Oxyz vi t phương trình ư ng th ng ∆ qua A(0;1;2) c t d1 : = = và h p v i
−1 1 1
x +1 y − 2 z − 4
d2 = = = m t góc 600
2 1 −1
n n −1 n
c. Cho an ( x − 1) + an −1 ( x − 1) + ... + a1 ( x − 1) + a0 = x , ∀x ∈ R . Tìm n bi t a2 + a3 + a1 = 231
Câu 7: (Chương trình nâng cao)
x2 y2
a. Trong Oxy tìm M ∈(E) : + = 1 bi t kho ng cách t M n d: x+y=0 là l n nh t
6 3
b. Trong Oxyz vi t phương trình m t ph ng qua M(1;2;2) và c t Ox, Oy, Oz t i A,B,C sao cho:
1 1 1 1
2
+ 2
+ 2
=
OA OB OC OM 2
2n n nπ
c. B ng cách khai tri n: (1 + i ) hãy ch ng minh: C2 n − C22n + C24n − ... + ( −1) C2 nn = 2n cos
0 2
,
2
( n ∈ N , n > 0) .



2
2:

A. PH N CHUNG:
2 2
Câu 1: Cho hàm s (C) y = − x4 + x
9
1. Kh o sát và v th (C)
2. Tìm trên th (C) các i m A bi t ti p tuy n t i A c t (C) t i B và C sao cho AB=AC ( B,C khác A)
Câu 2:
1. Gi i phương trình: (1 − )
3 cos x sin x + ( )
3 − cos x cos x = 1
 x + 2y − x − 2y = 2

2. Gi i h phương trình: 3 2 2
 x + 3 + x − 4y = 5

e
dx
Câu 3: Tính tích phân: ∫ x+x
1 1 − ln 2 x
Câu 4: Cho lăng tr ng ABC.A’B’C’ có AB’=a; BC’=b và ∆ ABC vuông cân t i A. Tính th tích lăng
tr . (a < b < a 2 )
Câu 5: Cho x, y ∈ [1; 2] . Tính giá tr l n nh t và nh nh t:
 1 1  1 1
A = ( x2 + y 2 )  2 + 2  + 4 ( x − y )  − 
x y  x y

B. PH N T CH N: (Thí sinh ch ư c ch n Câu 6 ho c Câu 7

Câu 6: (Chương trình chu n)
x2 y2
a. Trong Oxy tìm M ∈(E) :
+ = 1 bi t góc F1MF2 b ng 600.
6 3
b. Trong Oxyz vi t phương trình tham s ư ng th ng ∆ song song v i (P): 2x+2y-z-3=0 và c t hai
x − 2 y z −1 x −1 y +1 z
ư ng th ng d1 : = = và d 2 : = = t i A và B sao cho AB=3
−2 1 1 1 −2 1
c. Gieo ng th i 3 con xúc x c, tính xác su t tích 3 s n t xu t hi n là 1 s ch n.

Câu 7: (Chương trình nâng cao)
a. Trong Oxy vi t phương trình chính t c hypebol qua M(2;1) th a góc F1MF2 b ng 600

b. Trong Oxyz vi t phương trình m t ph ng h p v i (Oxy) m t góc 450, song song v i Ox và cách Ox m t
kho ng b ng 2

c. Cho z= 3 + i . Tìm s t nhiên n>0 sao cho z n là s nguyên dương bé nh t.




3
3:

A. PH N CHUNG:
mx + 2
Câu 1: Cho hàm s (C) y=
x+m
1. Kh o sát và v th (C) khi m =-1
2. Tìm trên th (C) c t Ox t i A, C t Oy t i B sao cho 2 ti p tuy n t i A và B song song
Câu 2:
1
3. Gi i phương trình: cos 2 x + cos x + 3 sin x =
2
4. Gi i phương trình: ( ) (
log 2 x + x 2 − 12 .log 3 x − x 2 − 12 = 2 )
π
2
sin 3xdx
Câu 3: Tính tích phân: ∫ (1 + cos x )
0
4


Câu 4: Tính th tích hình chóp S.ABCD có áy là hình ch nh t, chi u cao SA=a h p v i (SBC) và
(SBD) các góc 450 và 300

 2 y2 1
 x − xy + =
Câu 5: nh m h sau có nghi m:  2 4
 x2 + x − y = m


B. PH N T CH N: (Thí sinh ch ư c ch n Câu 6 ho c Câu 7)

Câu 6: (Chương trình chu n)
a. Vi t phương trình ư ng tròn i qua g c t a và c t Ox, Oy t i A,B sao cho AB= 4 2 . Bi t r ng
tâm ư ng tròn thu c d:x+y-4=0
x −3 y z
b. Trong Oxyz vi t phương trình m t ph ng (P) qua M(1;1;0), song song v i d: = = và cách
4 −5 3
g ct a m t kho ng b ng 1.
a b 5i
c. Tìm a, b ∈ R bi t phương trình + = 3 có 1 nghi m z1 = . Tìm nghi m còn l i.
z +1 z − 5 1 + 2i

Câu 7: (Chương trình nâng cao)
a. Tìm t a 3 nh ∆ ABC vuông cân t i A có tr c i x ng là x-2y+1=0; A ∉ Ox; B ∈ Oy và
C ∈ d : x + y −1 = 0 .
b. Vi t phương trình tham s c a ư ng th ng d qua M(1;2;0), song song v i (P):2x-y+z-1=0 và h p v i
(Q): x+y+2z-1=0 m t góc 600
c. Trong h p ng 15 viên bi g m 4 bi , 5 bi xanh và 6 bi vàng. Tính xác su t ch n ư c 4 viên bi
c 3 màu.




4
4:

A. PH N CHUNG:
x3
Câu 1: Cho hàm s y = − + x 2 có th (C)
3
1. Kh o sát và v th (C)
2. Vi t Phương trình ư ng th ng d qua g c t a O và c t (C) t i A và B (khác O) saocho 2 ti p
tuy n c a (C) t i A và B vuông góc.
Câu 2:
5. Gi i phương trình: 4tan x + 2tan x +sin 2 x = 21+ 2sin 2x
2 + 2x − 3 x
6. Gi i b t phương trình: ≥x
2 − 2x − 5 x
π
4
sin 4 x
Câu 3: Tính tích phân: ∫ sin 4 x + cos4 xdx
0
Câu 4: Tính th tích hình chóp S.ABCD có áy là hình vuông chi u cao SA. Bi t SC=2a h p v i (SAB)
m t góc 300.
a 2 + b2 + c 2
Câu 5: Cho a,b,c>0 và a+b+c=1. Tìm giá tr nh nh t: A = a 3 + b3 + c 3 −
3
B. PH N T CH N: (Thí sinh ch ư c ch n Câu 6 ho c Câu 7)

Câu 6: (Chương trình chu n)

I/ Trong Oxyz cho A(2;3;-1), B(5;-3;2) và (P): x+y+z-3=0:
a. Vi t phương trình tham s ư ng th ng d vuông góc v i (P) và c t ư ng th ng AB t i I sao cho
AI + 2 BI = 0
b. Tìm M ∈ ( P ) sao cho AM2+2BM2 nh nh t
II/ Hãy phân ph i 2010 i m lên 2 ư ng th ng song song sao cho t ng s tam giác thu ư c là l n
nh t.

Câu 7: (Chương trình nâng cao)
I/
a Vi t phương trình ư ng tròn trong Oxy i qua A(2;1), Tâm thu c Oy và c t Ox t i B và C sao cho góc
BAC b ng 600
b. Trong Oxyz cho A(0;1;2), B(1;-1;1), C(-1;3;0). Vi t phương trình tham s ư ng th ng d vuông góc
v i (ABC) và c t (ABC) t i tr c tâm H c a ∆ ABC.
x 2 − ( m + 1) x + 2m − 1
II/ nh m bi t th hàm s y= ti p xúc v i Ox.
x−m




5
5:

A. PH N CHUNG:
x −3
Câu 1: Cho hàm s y= có th (C)
x +1
1. Kh o sát và v th (C)
2. Cho A(0;2). Tìm trên (C) i m M sao cho AM ng n nh t.
Câu 2:
3
1. Gi i phương trình: cos 2 x − cos x cos 3 x + cos 2 3 x =
4
 2 1 2 1
 x + 2 + y + 2 =3
 x y
2. Gi i h phương trình: 
 1 + 1 =1
 x + y xy

4
3
x ln x
Câu 3: Tính tích phân: ∫
3 1 + x2
dx
4
Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có (SAB) ⊥ (ABC), ∆ ABC u và ∆ ABC vuông cân t i A. Tính th tích
m t c u ngo i ti p hình chóp Bi t SC= a 2
1 1 a b 25ab
Câu 5: Cho a,b,>0 và + = 1 . Tìm giá tr nh nh t: A = + +
a b a − 1 b − 1 4 ( a 2 + b2 )
B. PH N T CH N: (Thí sinh ch ư c ch n Câu 6 ho c Câu 7)

Câu 6: (Chương trình chu n)

I/ Trong Oxyz cho A(2;-1;2), B(3;-3;3); C(1;-2;4) và (P): 2x-3y+z+1=0:
a. Vi t phương trình tham s ư ng th ng d i qua tâm ư ng tròn ngo i ti p ∆ ABC và vuông góc
v i (P)
b. Tìm M ∈ ( P ) sao cho AM2+2BM2+CM2 nh nh t
a b
II/ Tìm a, b ∈ R bi t Z = i − i 2 + i 3 − i 4 + ... + i 2009 là nghi m c a phương trình + = 1 . Tìm
1+ z 1− z
nghi m còn l i.

Câu 7: (Chương trình nâng cao)
x = t
 x −1 y z
I/ Trong Oxyz cho d1 :  y = 1 + 2t ; d 2 : = =
2 + t 1 −1 1

a Tìm A ∈ d1 bi t kho ng cách t A n d2 b ng 6
b. Vi t phương trình m t ph ng (P) ch a d2 và h p v i d1 m t góc 300
2log3 x + y log3 2 = 6

II/ Gi i h phương trình: log y + log x = 1
 x

y
x3




6
6:

A. PH N CHUNG:
x4
Câu 1: Cho hàm s (C) y = − mx 2 + m + 1 , m là tham s .
4
1. Kh o sát và v th (C) khi m =1
2. nh m bi t th hàm s (C) có 3 i m c c tr t o thành tam giác có tr c tâm là g c t a
Câu 2:
 π  π  π
1. Gi i phương trình:sin  2 x +  + cos  2 x +  = tan  x + 
 6  3  4
 3 3  1 1  1 1
( x + y )  3 + 3  + ( x + y )  +  = 8
 x y  x y
2. Gi i h phương trình: 
log x log y = 1
 22 33

3
xdx
Câu 3: Tính tích phân: I= ∫e
0
1+ x 2

Câu 4: Tính th tích hình lăng tr u ABCD.A’B’C’D’ bi t AC’=a và góc gi a BD và CD’ b ng 600.

1 1 1 b+c c+a a+b
Câu 5: Cho a,b,c>0 và + + = 1 . Tìm giá tr l n nh t: A = 3 3 + 3 3
+ 3 3
a b c b +c c +a a +b


B. PH N T CH N: (Thí sinh ch ư c ch n Câu 6 ho c Câu 7
Câu 6: (Chương trình chu n)
a. Trong Oxy cho ∆ ABC vuông cân t i A có di n tích b ng 2, bi t A ∈ d1 = 2 x − y + 1 = 0 và
B, C ∈ d 2 : x + y − 2 = 0 . Tìm t a A,B,C v i xA, xB>0.
b. Trong Oxyz vi t phương m t ph ng (P) qua A(0;1;2), B(1;3;3) và h p v i (Q ) : x − y − 2z = 0 m t góc
nh nh t.
1 3
c. Tìm s t nhiên n th a: Cn +1 − Cn2+1 =
3
An
7
Câu 7: (Chương trình nâng cao)
a. Trong Oxy cho hai ư ng tròn ( Cm ) : x 2 + y 2 − 2mx − my + m − 2 = 0 và ( C ) : x 2 + y 2 − 3x + 1 = 0 . nh m
bi t s ti p tuy n chung c a hai ư ng tròn là m t s l .
b. Trong Oxyz vi t phương trình ư ng th ng d song song v i ( P) : x + 2 y + z −1 = 0 và c t 2 ư ng th ng
x − 2 y +1 z
Ox và ∆: = = t i 2 i m A,B sao cho AB ng n nh t.
2 1 −1
4 2
c. Gi i phương trình: z + z + 1 = 0 , z ∈ C .




7
7:

A. PH N CHUNG:
Câu 1: Cho hàm s (C) y = x3 − 3ax 2 + b , (1) ( a, b > 0 )
1. Kh o sát và v th (C) khi a=1 b=4
2. nh a,b bi t th hàm s (C) có 2 i m c c tr A và B sao cho ∆ OAB vuông cân.
Câu 2:
 x 2
3. Gi i phương trình:tan2 x  1 + tan x. tan  =
 2  sin 3 x
 1 1 1
 x + y + xy = 2

4. Gi i h phương trình: 
 5 − 2 =1
 x2 + y2 x2 y 2 2

ex − x +1
Câu 3: Tính gi i h n: lim
x → 0 ln (1 + sin x )

Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD chi u cao SA=2a, áy là hình thang vuông t i A và B có AB=BC=a,
AD=2a. M t ph ng qua trung i m M c a SA ch a CD, c t SB t i N. Tính di n tích t giác CDMN.

Câu 5: nh m b t phương trình có nghi m:
1
+ ln ( x + x − m + 2 x − m ) ≤ 1 . Tìm nghi m tương ng
2 mx − x 2


B. PH N T CH N: (Thí sinh ch ư c ch n Câu 6 ho c Câu 7
Câu 6: (Chương trình chu n)
a. Trong Oxy cho A ( 7;1) , B ( −3; −4 ) , C (1; 4 ) . Vi t phương trình ư ng tròn n i ti p ∆ ABC.
x −1 y +1 z − 2
b. Trong Oxyz vi t phương trình m t ph ng (P) qua g c t a , song song v i d: = = và
1 2 −1
x +1 y − 2 z
h pv i ∆: = = m t góc 600
2 1 1
6
c. Tìm h s c a x3 trong khai tri n thành a th c c a bi u th c: ( x 2 + x − 1) .
Câu 7: (Chương trình nâng cao)
a. Trong Oxy cho ư ng tròn ( C ) : x 2 + y 2 − 6 x + 5 = 0 . Tìm M thu c tr c tung sao cho qua M k ư c hai
0
ti p tuy n c a (C) mà góc gi a hai ti p tuy n b ng 60
x −1 y + 1 z
b. Trong Oxyz Cho M ( 2;1;0 ) và ư ng th ng d có phương trình = = . Vi t phương trình
−2 1 −1
chính t c c a ư ng th ng i qua i m M, c t và vuông góc v i ư ng th ng d.
5
c. Tìm h s c a x3 trong khai tri n thành a th c c a bi u th c: ( x 2 + x − 1) .




8
8:

A. PH N CHUNG:
mx + 1
Câu 1: Cho hàm s (C) y=
x +1
1. Kh o sát và v th (C) khi m =-1
2. nh m bi t ti p tuy n t i i m c nh c a h th (C) cách I(1;0) m t kho ng l n nh t
Câu 2:
1. Gi i phương trình: sin 2 x + sin 2 x.sin 4 x = cos 2 2 x
2. Gi i b t phương trình : 2
2 +3 x
+ 22 −3 x − 7 ( 2 x + 2− x ) ≤ 15
1 1
Câu 3: Tính th tích v t th tròn xoay sinh ra b i hình ph ng t o b i (C ) : y = 1+ + 1 − , tr c Ox
x x
và 2 ư ng th ng x=1; x=2 quay quanh Ox.
Câu 4: Cho hình vuông ABCD c nh a và hai ư ng th ng d1 ; d 2 l n lư t qua A và C và vuông góc v i
m t ph ng (ABCD). L y M ∈ d1 , N ∈ d 2 sao cho AM , CN cùng chi u và có t ng dài b ng 6a. Tính
th tích t di n MNBD

 1 2 1
 xy + x = x + 1 + y ln y

Câu 5: Gi i h phương trình: 
 xy + 1 = y 2 + 1

 y 1 + x ln x

B. PH N T CH N: (Thí sinh ch ư c ch n Câu 6 ho c Câu 7)

Câu 6: (Chương trình chu n)
a. Trong Oxy cho A,B là hai i m trên ( P) : y2 = x sao cho ∆ OAB vuông t i A. Tìm t a A,B

( y A < 0 ) bi t OB ng n nh t.
x −1 y −1 z − 2
b. Trong Oxyz vi t phương trình m t ph ng (P) qua g c t a và song song v i d: = =
2 2 1
và cách d m t kho ng b ng 1.
c. Cho a giác l i n nh, bi t r ng s tam giác có nh và c nh chung v i a giác là 70. Tìm s tam
giác có nh chung và không có c nh chung v i a giác.

Câu 7: (Chương trình nâng cao)
a. Trong Oxy vi t phương trình chính t c elip (E) qua M(2;1) sao cho MF1.MF2 nh nh t.
b. Trong Oxyz vi t phương trình m t ph ng (P) qua g c t a và l n lư t h p v i 2 m t ph ng
( Q ) : x + z − 1 = 0 và ( R ) : x + 2 y − z + 1 = 0 các góc 300 và 600
c. Tính giá tr : Z = (1 + 2i + 3i 2 + ... + 2009i 2008 )(1 − 2i + 3i 2 − 4i 3 + ... + 2009i 2008 ) .




9
9:

A. PH N CHUNG:
Câu 1: Cho hàm s (C) y = ( x − m ) ( x 2 − x + 1)
1. Kh o sát và v th (C) khi m =3
2. nh m bi t (Cm) c t Ox t i A, c t Oy t i B sao cho hai ti p tuy n c a (Cm) t i A và B vuông góc.
Câu 2:
1 − sin x + cos x
1. Gi i phương trình: tan x =
1 + sin x + cos x
2
log 2 log 2 x + log 2 x 0.25
2. Gi i b t phương trình : ( 7+5 2 ) x
(
= 3− 2 2 )
Câu 3: Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i: (C ) : y = x 2 − 2 x − 3 và d : y = x + 1
Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD chi u cao SA=a, áy là hình vuông c nh a. ch ng minh AI ⊥ (SBD) av2
tính th tích t di n SIBD, bi t I là trung i m SC.

1 1
 x + y2 = 3
Câu 5: Tìm giá tr nh nh t tham s m h :  có nghi m x,y>0. Tìm nghi m tương
2 x 2 + y = m

ng.

B. PH N T CH N: (Thí sinh ch ư c ch n Câu 6 ho c Câu 7)

Câu 6: (Chương trình chu n)
a. Trong Oxy cho ∆ ABC có ư ng cao và trung tuy n k t A là hA = 2 x + y + 4 = 0 , mA = y − 2 = 0 và
ư ng trung tuy n k t B là mB : 3x + 11y + 21 = 0 . Tính góc C
x = t
x − 2 y −1 z − 2 
b. Trong Oxyz cho d1 : = = ,d 2 :  y = 2t Ch ng minh r ng có vô s m t ph ng (P) ch a
1 2 1 z = 1+ t

d2 và song song v i d1. Vi t phương trình (P) sao cho d2 là hình chi u vuông góc c a d1 lên (P)

c. Tìm x, y ∈ R th a:
1 1 1
− =
x + ( 2 − y ) i 2 + y + xi (1 + i ) 2

Câu 7: (Chương trình nâng cao)
x2 y 2
a. Trong Oxy cho (H ):− = 1 ( a, b > 0 ) có hai tiêu i m là F1 ; F2 . ư ng th ng d qua ; F2 vuông góc
a 2 b2
Ox và c t (H) t i M và N sao cho ∆F1MN u. Tìm tâm sai c a (H) và vi t phương trình (H) n u bi t di n

tích ∆F1MN = 4 3
b. Trong Oxyz cho A(-1;2;2), B(0;3;0). Hãy tìm trong (P) sao cho ∆ ABC u.
3x 3
c. M t ư ng th ng ti p xúc v i th hàm s y= + và c t 2 ư ng ti m c n t i A và B. Tính di n
4 x
tích ∆ OAB.

10
10:

A. PH N CHUNG:
− x4
Câu 1: Cho hàm s y= + ( m + 1) x 2 − m, (1) có th (C) . m là tham s .
2
1. Kh o sát và v th (C) khi m=0
2. Ch ng minh r ng th hàm s (1) luôn i qua 2 i m A và B c nh. nh m bi t 2 ti p tuy n t i
A và B h p nhau góc 600
Câu 2:
 π
3. Gi i phương trình: 4 sin 2 x sin  x +  = 1 + 3 sin 2 x − cos 2 x
 3
 2
 x − xy + 4 y = 8
4. Gi i h phương trình: 
2
 xy + y + 3 x = 12

x
Câu 3: Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i: y = , tr c Ox và hai ư ng th ng x=1;x=4.
x + ln x
e
Câu 4: Tính th tích hình chóp S.ABC bi t SA, SB, SC ôi m t h p v i nhau góc 600 và có dài l n
lư t là a, 2a, 3a.
Câu 5: nh m phương trình log 2 ( 2 x − 4 + m ) = 1 + log 3  m − ( x − 1)( x − 3)  có nghi m duy nh t. Tìm
 
nghi m duy nhât ó.

B. PH N T CH N: (Thí sinh ch ư c ch n Câu 6 ho c Câu 7)

Câu 6: (Chương trình chu n)

x + 2 y z −1
I/ Trong Oxyz cho d: = = và (P): x-y-1=0:
2 1 1
a. Vi t phương trình tham s ư ng th ng d’ là hình chi u vuông góc c a d lên (P). Tính góc gi a
d và d’.
b. G i A là giao i m c a (P) và d. Vi t phương trình các m t c u ti p xúc (P) t i A và c t d t i B
sao cho AB= 6
3  x3  1
II/ Gi i phương trình: log 3   log 2 x − log 3   = + log 2 x
x  3 2

Câu 7: (Chương trình nâng cao)
x = t

I/ Trong Oxyz cho A là giao i m c a d1 :  y = 1 + 2t và m t ph ng (P):x-2y+z=0
2 + t

a Vi t phương trình chính t c ư ng th ng ∆ qua A vuông góc v i d và h p v i (P) m t góc 300
b. Vi t phương trình m t c u có tâm I thu c d, i qua A và c t P m t ư ng tròn dài 2π 2

x 2 + ( 2 + cos ϕ ) x + 3 sin ϕ
II/ Tìm φ ∈ ( 0; 2π ) bi t th hàm s y= có hai i m c c tr là A và B
x −1

sao cho AB dài nh t, ng n nh t.


11
11:

A. PH N CHUNG:
2x
Câu 1: Cho hàm s y= , (1) có th (C) .
x −1
1. Kh o sát và v th (C) c a hàm s (1)
2. Tìm M trên (C) bi t ti p tuy n t i M t o v i 2 ti m c n c a (C) m t tam giác có chu vi bé nh t.
Câu 2:
5. Gi i phương trình: 16sin 2 x + 4 cos 4 x = 3 cos x + sin x
3
6. Gi i phương trình: x−5 ( x − x−5 ) =2
2 2
Câu 3: Tính th tích v t th tròn xoay sinh ra b i hình tròn ( C ) : ( x − 3) + ( y − 1) = 1 quay quanh tr c
Oy.
Câu 4: Cho t di n ABCD có AB=a, AC= a 2 , AD=2a. ư ng th ng AC h p v i AB,AD các góc 450 ,
AB h p v i AD góc 600. Tính t s th tích c a t di n và hình c u ngo i ti p t di n.
Câu 5: Cho a 2 + b 2 + c 2 = 1. Ch ng minh r ng: a 3 + b3 + c 3 − 3abc ≤ 1 .

B. PH N T CH N: (Thí sinh ch ư c ch n Câu 6 ho c Câu 7)

Câu 6: (Chương trình chu n)

a. Trong Oxyz vi t phương trình m t ph ng (P) i qua H(1;2;3) và c t Ox, Oy, Oz l n lư t t i A, B, C


sao cho H là tr c tâm ∆ABC




b. Trong Oxyz vi t phương trình m t c u tâm I ∈ Oz, i qua A(1;1;1) và c t (Oxy) m t ư ng tròn dài 2π



c. Gi i phương trình : C2 + C3 + C42 + .... + Cxx − 2 = 120 , x ∈ N
0 1




Câu 7: (Chương trình nâng cao)
I/ Trong Oxyz cho A(3;0;0) B(1;-2;8) và m t ph ng (P):x-2y+2z+6=0


a Tìm M∈(P) sao cho AM + BM nh nh t.

b. Vi t phương trình m t ph ng (Q) qua A, B và c t (P) theo giao tuy n d h p v i AB góc 900
 x
2 2
x −y x− y
4 y + 2 xy = 5.4 xy
II/ Gi i h phương trình : 
log 3 x + log 5 y = log 5 x.log 3 y





12
12:

A. PH N CHUNG:
− x3 16
Câu 1: Cho hàm s (C) y = + mx 2 − 2 ( m − 2 ) x + (1)
3 3
1. Kh o sát và v th (C) khi m =0
2. Ch ng minh r ng (Cm) luôn ti p xúc v i 1 ư ng th ng c nh t i 1 i m c nh.
Câu 2:
3. Gi i phương trình: sin 3x + sin x = 3 ( cos x − 1)
4
4. Gi i b t phương trình : log + log 0, 25 ≥ log 0.5 x 2
2
x2 2x

1
4
x
Câu 3: Tính tích phân: I =∫ dx
0
1 − 2x
Câu 4: Cho hình tr có chi u cao b ng bán kính áy và b ng a. L y trên các ươgn tròn áy (O) và
(O’) các i m A, B sao cho AB=2a. tính góc gi a hai ư ng th ng OA, O’B và th tích t di n O’OAB

1 1 a2 + b2 ab
Câu 5: Cho a,b>0 và + = 1 . Tìm giá tr nh nh t: P = +
a + b ab ab a+b

B. PH N T CH N: (Thí sinh ch ư c ch n Câu 6 ho c Câu 7)

Câu 6: (Chương trình chu n)


a. Trong Oxy cho ∆ ABC có tâm ư ng tròn ngo i ti p là I(2;1), A∈Oy và ư ng th ng


BC: 3x − y − 10 = 0 . Tìm t a A,B,C bi t góc BAC b ng 450 và y A > 0 > yB
b. Trong Oxyz cho A(0;1;0), B(1;-2;2). Hãy vi t phương trình m t ph ng (P) qua O, B và cách A m t
2
kho ng b ng
2

c. Gi i phương trình : 4z 4 + 1 = 0


Câu 7: (Chương trình nâng cao)
a. Trong Oxy cho ( P ) : y 2 = 2 x có hai tiêu i m là F . ư ng th ng d quay quanh F c t (P) t i M,N.
1 1
Ch ng minh r ng + không i.
MF NF
b. Trong Oxyz vi t phương trình tham s ư ng th ng qua M(1;-2;2). d ⊥ OM và d h p v i Oy m t góc
450
n +1 n
c. Tìm h s c a x 6 trong khai tri n thành a th c c a bi u th c: P = ( x + 1) (x 2
+ x + 1) . Bi t h s c a
x10 b ng 10.


13
PH L C II: Cách gi i nhanh bài toán b ng máy tính b túi.Phép chia theo sơ
Horner.
Trong các kì thi quan tr ng có môn toán, máy tính b túi ư c phép s d ng và tr thành công c không
th thi u i v i thí sinh. Tuy nhiên ít ai có th t n d ng ư c t i a các ch c năng c a máy tính trong
gi i toán. Nay tôi xin gi i thi u m t s phương pháp tìm nghi m b ng ch c năng SOLVE c a máy tính. Bài
vi t ư c vi t v i máy fx-570ES và tôi cũng khuyên các em t p làm quen s d ng máy này trong quá
trình gi i toán.


VD1. Tìm nghi m c nh: 2 x 3 − 3 ( a + 1) x 2 + 6ax − 4 = 0 (1)
Gi i:
So n phương trình (1) vào máy tính. 2 x 3 − 3 ( A + 1) x 2 + 6 Ax − 4 = 0 . D u = so n b ng cách nh n: ALPHA
+ CALC
Nh n ti p: Shift + SOLVE
Sau ó, máy h i: A=? ta cho ng u nhiên A=2 r i nh n phím =
Ti p n, d a vào “linh c m” mách b o, ta oán x=-3, nh n ti p phím =
Máy hi n nghi m x=0.5. Ta ghi nghi m này ra gi y. có th ây s là nghi m c nh c n tìm??!!
Nh n ti p Shift + SOLVE v i A=2
L n này ta th v i x=10
Máy hi n x=2 .
Thay A=-3;4;5.. và làm tương t ta ch th y máy báo x=2
V y ta k t lu n x=2 là nghi m c nh.
ây chính là cách tìm nghi m c nh trong bài t p trang 35

VD2. Tìm m sao cho: y = x3 − 3 ( m + 1) x 2 + 2 ( m 2 + 4m + 1) x − 4m ( m + 1) c t Ox t i 3 i m phân bi t
có hoành >1
Gi i:
So n phương trình x3 − 3 ( A + 1) x 2 + 2 ( A2 + 4 A + 1) x − 4 A ( A + 1) = 0 vào máy và nh n Shift + SOLVE.
Máy h i giá tr c a A. Ta cho a=3
Tai l i ti p t c oán nghi m x=-5
Máy hi n x=1.732281591 . Ta không quan tâm n nghi m này vì ây là nghi m “x u”. M c ích c a
ta là tìm nghi m h u t phân tích thành nhân t . Nh n ti p Shift + SOLVE.
L n này ta cho A=9 và x=10
Máy hi n x=10. Ta ghi nh n nghi m này
V i A=9 cho x=-5 ta nh n ư c k t qu x=2
Th tương t v i A b ng 1 vài giá tr và th x=2, x=10 vào ta u nh n ư c thông báo x=2. V y x=2
là nghi m c nh c a phương trình.
VD3. Gi i phương trình: sin 2 x + cos 2 x − cos x + 3sin x = 2 (1)
Gi i:
Lúc này “lí trí” mách b o ta r ng. C n phân tích phương trình v phương trình tích. Hơn n a, ph i có
nghi m “ p” m i có th phân tích ư c. Ta dùng Shift + SOLVE tìm nghi m này.
Nh p phương trình trên vào máy
Nh n Shift + SOLVE.
π π π
Ta l n lư t th x b ng các góc c bi t như: ± ;± ;± ...
3 6 2
π π
Khi th n các nghi m là và thì máy hi n r t nhanh. ki m tra ta nn n: sin( _ ALPHA _X_)
2 6


14
1
Máy hi n =1 và = . Và n u coi sin(x) là bi n thì có th phân tích phương trình qua 2 nhân t là
2
( sin x − 1) hay ( 2sin x − 1) . Ta ch n phân tích theo hư ng ( sin x − 1) .
(1) ⇔ 3sin x − 3 + 1 − cos x + sin 2x + cos 2 x = 0
⇔ 3(sin x − 1) + 1 + (1 − 2sin 2 x ) + sin 2 x − cos x = 0
⇔ 3 ( sin x − 1) + 2(1 − sin 2 x) + sin 2 x − cos x = 0
⇔ ( sin x − 1)(1 − 2sin x ) + 2sin x cos x − cos x = 0
( sin x − 1)(1 − 2sin x ) + cos x ( 2sin x − 1) = 0 ⇔ ( sin x − 1)(1 − 2sin x + cos x ) = 0
n ây, ta ã hoàn thành ư c ý ưa phương trình u tiên v phương trình tích. Vi c gi i phương
trình u gi ây ã tr nên d dàng.

GI I CÁC BÀI TOÁN HÌNH H C GI I TÍCH B NG MÁY TÍNH B TÚI FX – 570ES

 x = 2 + 2t x = 1
 
Câu 1: Trong Oxyz cho: d1 :  y = −1 + t ; d 2 :  y = 1 + t
z = 1 z = 3 − t
 
a) Tính kho ng cách gi a d1 và d2.
b) Vi t phương trình m t ph ng (P) ch a d1 và song song v i d2.

Gi i:
s d ng ch c năng vectơ c a máy ta nh n: MODE + 8 (vector)
Ch n vectơ A máy h i ta ch n h vectơ nào (Vct A(m) m?)
Ch n 1:3
Nh p t a vecto ch phương c a d1. (2;1;0) Nh n ti p Shift + STO + B copy các thông s c a vextơ
A vào vectơ B.
S at a c a vectơ B thành (0;1;-1)
Ta có M (2; −1; 0) ∈ d1 ; N (1;1;3) ∈ d 2 ⇒ MN ( −1; 2;3) (Bư c này ghi ra gi y)
Nh n Shift+5(vector) Nh n 1 (Dim) 3(Vct C) sau ó nh p thông s c a vector MN ( −1; 2;3)
 d1 ; d 2  .MN  A; B  .C
   
a) Theo công th c: d ( d1 ;d 2 ) = tương ng v i: là các vec tơ ư c lưu trong máy
 d1 ; d 2   A; B 
   
tính.
tính tích có hư ng c a hai vectơ A & B ta nh n: ON Shift+5 3(vct A) x Shift+5 4 =
tính dài vector ta dùng ch c năng ABS(. b ng cách nh n phím Shift+hyp
tính tích vô hư ng A & B c a ta nh n ON Shift+5 3(vct A) Shift+5 7:●(dot) Shift+5 4(vct
B) =
V y nên tính dài c n tìm ta so n vào màn hình máy tính như sau:
(Abs((VctAxVctB)●VctC))÷(Abs(VctAxVctB))
11
K t qu máy hi n: .
3
b) Vi t phương trình m t ph ng (P) ch a d1 và song song v i d2:




15
Vi c u tiên c n làm ó là ta ph i tìm 1 vectơ pháp tuy n c a m t ph ng (α ) . g i vector pháp tuy n

a ⊥ d1

c n tìm là a ta th y:  (d 1 = A ; d2 = B )
a ⊥ d 2

Nên a c n tìm là  d1 ; d 2  .
  tìm a b ng máy tính ta làm như sau:
ON Shift+5 3(vct A) x Shift+5 4 =
Màn hình so n th o hi n như sau:
VctAxVctB nh n phím = xem k t qu
Máy hi n: Vct Ans (-1;2;2)
V y a = ( −1; 2; 2 ) . Mp (α ) i qua M(2;-1;0)
Nên (α ) : − ( x − 2 ) + 2 ( y + 1) + 2 ( z ) = 0 ⇔ − x + 2 y + 2 z + 3 = 0
Thí sinh ch c n gi các bư c làm vào bài làm, công vi c còn l i hãy cho máy tính. Ta th y hoàn thành 1
bài hình h c gi i tích trong thi th t nh nhàng.
Các b n có th th làm các bài toán có l i gi i trong sách giáo khoa hình h c 12 hay trong các sách tham
kh o b ng chi c máy tính c a mình. S có nhi u b t ng ang ch các b n khám phá!

SƠ HORNER VÀ NG D NG:
Chia a th c P ( x ) = a0 x n + a1 x n −1 + .... + an cho ( x − c ) ta có:
P ( x ) = ( x − c ) ( b0 x n −1 + b1 x n − 2 + .... + bn −1 x + bn )
Trong ó bi ( i = 0;1; 2;3;...; n ) nh b i sơ Horner:
a0 a1 a2 a3 …
c b0 b1 =cb0+ a1 b2 =cb1+ a2 b3 =cb2+ a3 bi =cbi-1+ ai

Áp d ng:
VD1. Tính thương và s dư trong phép chia:
P ( x ) = 2 x 4 + x3 − 8 x 2 − x + 6 cho x+2
Gi i:
Ta có sơ Horner:
2 1 -8 -1 6
-2 2 -3 -2 3 0
V y P ( x ) = ( x + 2 ) ( 2 x3 − 3 x 2 − 2 x + 3) + 0
n ây, chúng ta ã hi u ph n nào công d ng c a sơ horner. Trong bài toán liên quan n tham
s , vi c tìm ư c nghi m c nh và phân tích thành tích s làm công vi c gi i toán nh nhàng r t
nhi u. Nghi m c nh ã có máy tính, còn vi c chia a th c: Hãy sơ Horner làm cho b n.
Ta quay l i v i ví d u ph n ph l c:
VD2. Phân tích thành tích: 2 x 3 − 3 ( a + 1) x 2 + 6ax − 4 = 0 (1)
Gi i:
2 x3 − 3 ( a + 1) x 2 + 6ax − 4 = 0 Ta ã có ư c nghi m c nh x=2. v y nên
2 -3(a+1) 6a -4
2 2 -(3a-1) 2 0

V y (1) ⇔ ( x − 2 )  2 x − ( 3a − 1) x + 2  = 0
3
 
ây chính là m t ph n trong bài làm Bài3 trang 35.
VD3. nh m phương trình: mx − ( 3m − 4 ) x 2 + ( 3m − 7 ) x − m + 3 = 0
3
( A)
có 3 nghi m dương phân bi t.
16
Gi i:
Ta d dàng nh n ra: a+b+c+d=0 ⇒ phương trình (A) có 1 nghi m x=1
Sơ Horner:
m -3m-4 3m+7 -m+3
1 m -2(m-2) m-3 0
Nên ( A ) ⇔ ( x − 1)  mx 2 − 2 ( m − 2 ) x + m − 3 = 0
 
2
(A) Có 3 nghi m dương phân bi t ⇔ g ( x ) = mx − 2 ( m − 2 ) x + m − 3 = 0 có hai nghi m dương phân
bi t u khác 1

m ≠ 0
 2
∆ ' = ( m − 2 ) − m ( m − 3) > 0

 m−2
⇔ S = >0 ⇔ m ∈ ( −∞;0 ) ∪ ( 3; 4 )
 m
 m−3
P = m > 0

 g (1) = m − 2 ( m − 2 ) + m − 3 ≠ 0

VD4. nh m phương trình có 3 nghi m phân bi t:
x3 − 1 − m ( x − 1) = 0 (1)
Gi i:
(1) ⇔ x3 − mx + m − 1
Dùng máy tính ta “mò” ư c nghi m: x=1
Sơ Horner:
1 0 -m m-1
1 1 1 1-m 0
V y (1) ⇔ ( x − 1) (x 2
+ x +1− m) = 0
(1) Có 3 nghi m phân bi t: g ( x) = x 2 + x + 1 − m = 0 có hai nghi m phân bi t khác 1
 ∆ = 4m − 3 > 0  3
 m > 3
⇔ ⇔ 4 ⇔
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản