Tổng hợp đề thi cao học

Chia sẻ: Trần Bá Trung4 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:14

0
506
lượt xem
255
download

Tổng hợp đề thi cao học

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tổng hợp đề thi cao học là tài liệu mang tính chất tham khảo, giúp ích cho các bạn tự học, ôn thi,có tài liệu ôn tập, luyện tập nhằm nắm vững được những kiến thức, kĩ năng cơ bản, đồng thời vận dụng kiến thức để giải các bài tập một cách thuận lợi Tác giả hy vọng tài liệu này sẽ giúp ích cho các bạn.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Tổng hợp đề thi cao học

  1. Tr n M u Quý - http://quyndc.blogspot.com Đ THI CH NG CH CAO H C CƠ S GI I TÍCH HI N Đ I - KHÓA 15 Th i gian làm bài: 150 phút Câu I. Cho (X, T ) là m t không gian tôpô. Ch ng minh r ng 1. V i m i t p A trù m t trong X và m i t p m U ⊂ X ta có U = U ∩ A. 2. V i m i t p đóng F ⊂ X và m i t p A ⊂ X ta có int(F ∪ intA) = int(F ∪ A). 3. V i m i t p A ⊂ X ta có X\A = X\intA. Câu II. Kí hi u X = R, F = { k | k ∈ Z∗ }. V i m i n ∈ N∗ , m i x ∈ X , ta đ t 1 1 1 Vn (x) = (x − n , x + n ) và {Vn (x) | n ∈ N∗ } n ux=0 B(x) = ∗} n u x = 0 {Vn (x)\F | n ∈ N Ch ng minh r ng h {B(x) | x ∈ X} xác đ nh m t tôpô trên X sao cho B(x) là m t cơ s lân c n c a đi m x, và v i tôpô này X là T2 − không gian nhưng không ph i là T3 −không gian. Câu III. Cho X = {x = (xn )∞ | xn ∈ Rv i m in ∈ N∗ }. n=1 1. V i m i n ∈ N∗ ta đ t pn (x) = |xn | v i m i x ∈ X . Ch ng minh r ng P = {pn | n ∈ N∗ } là h các n a chu n trên X và tách. Suy ra X v i tôpô T sinh b i h n a chu n P là l i đ a phương. 2. V i x = (xn )n , y = (yn )n ∈ X ta đ t ∞ |xn − yn | d(x, y) = 2−n 1 + |xn − yn | n=1 Ch ng minh r ng (X, d) là m t không gian mêtric. 3. G i T∞ là tôpô sinh b i mêtric d. Ch ng minh r ng m i dãy trong X h i t theo T∞ thì h i t theo tôpô T . Hai tôpô T và T∞ có tương đương không? Câu IV. Cho µ là m t đ đo và f là m t hàm kh tích ng v i đ đo µ. V i m i t p đo đư c E ta đ t ν(E) = f dµ. E Ch ng minh ν là m t đ đo có d u và liên t c tuy t đ i đ i v i µ. ——————————————————————————————– Ghi chú: H c viên đư c s d ng tài li u khi làm bài.
  2. Tr n M u Quý - http://quyndc.blogspot.com B GIÁO D C & ĐÀO T O Đ THI CH NG CH CAO H C - K15 Đ I H C HU Môn thi: MAPLE - L TEXA TRƯ NG Đ I H C SƯ PH M Th i gian làm bài: 120 phút Câu I. Cho đa th c f = x3 − 5x2 + 4x + 5 ∈ Q[x] 1. Dùng Maple đ ch ng t f b t kh quy 2. G i α là m t nghi m c a f . Tìm d ng nhân t hóa c a f trong Q(α)[x] 3. Ch ng t f có 3 nghi m th c. Xác đ nh 3 nghi m th c đó. Câu II. Vi t ít nh t m t th t c b ng Maple đư c ch n trong b ng các đ tài l p trình đã cho. N p file .mws ch y trong Maple 9.5. Câu III. So n th o văn b n trang 2 b ng L TEX. N p file tex ch y trong A MikTex, dùng gói ti ng Vi t \usepackage[tcvn]{vietnam} Câu IV. Trình chi u văn b n trang 2 b ng đ nh d ng pdf. N p file pdf. ————————————————H t———————————————— Ghi chú: Sinh viên đư c s d ng tài li u khi làm bài. 1
  3. Tr n M u Quý - http://quyndc.blogspot.com 1 ĐA T P AFIN 1.1 Đ NH LÍ KHÔNG ĐI M HILBERT Đ nh lí 1 (Không đi m Hilbert, d ng 2). Cho m r ng trư ng K ⊂ L và l √ đóng đ i s . Khi đó m i iđêan J ⊂ K[x1 , x2 , ..., xn ], ta có I(Z(J)) = J . √ ng minh. Ta ch ng minh r ng đ nh lí trên tương đương v i (7). Ta đa bi t Ch J ⊂ I(Z(J)). V i f ∈ I(Z(J)) và f = 0. Xét iđêan J1 c a K[x1 , x2 , ..., xn , t] sinh ra b i J và f t−1. N u có (a1 , a2 , ..., an , t) ∈ An+1 thu c Z(J1 ) thì (a1 , a2 , ..., an ) ∈ Z(J) L và do đó t0 f (a1 , a2 , ..., an ) − 1 = −1. M t khác, do (a1 , a2 , ..., an , t0 ) ∈ Z(J1 ) ta có t0 f (a1 , a2 , ..., an ) − 1 = 0. Vô lí. V y Z(J1 ) = ∅ . Suy ra J1 = (1). T n t i bi u di n n 1= gi fi + (tf − 1)g, v i fi ∈ J, g, gi ∈ K[x1 , x2 , ..., xn , t] i=1 Xét ánh x β : K[x1 , x2 , ..., xn , t] −→ K(x1 , x2 , ..., xn , t) xi −→ xi 1 t −→ f n hi Khi đó 1 = β(gi )fi . Đ t β(gi ) = f ni v i hi ∈ K[x1 , x2 , ..., xn ] và r = max{n1 , n2 , ..., nm }. i=1 √ Khi đó f r ∈ (f1 , ..., fm ) ⊂ J . V y f ∈ J . Ngư c l i, t (9), n u Z(J) = 0 thì ta √ có J = I(∅) = K[x1 , x2 , ..., xn ]. Suy ra J = K[x1 , x2 , ..., xn ]. Vô lí. Đ nh lí 2 (Không đi m Hilbert). Cho J ⊂ K[x1 , x2 , ..., xn ] là m t iđêan và f ∈ I(Z(J)). Khi đó t n t i r ∈ N sao cho f r ∈ J . 1.2 CHI U C A (T A) ĐA T P AFIN M nh đ 3. (i) Các ánh x I và Z đ o ngư c th t bao hàm. (ii) V i m i Y1 , Y2 ⊂ An , ta có I(Y1 ∪ Y2 ) = I(Y1 ) ∩ I(Y2 ) . √ (iii) Cho J là m t iđêan tùy ý c a K[x1 , ..., xn ]. Khi đó I(Z(J)) = J. (iv) Cho Y ⊂ An . Khi đó Z(I(Y )) = Y . 2
  4. Tr n M u Quý - http://quyndc.blogspot.com B GIÁO D C & ĐÀO T O Đ THI CH NG CH CAO H C - K16 Đ I H C HU Môn thi: MAPLE - L TEXA TRƯ NG Đ I H C SƯ PH M Th i gian làm bài: 120 phút Câu I. Cho đa th c f = x3 + 5x2 + 2x − 5 ∈ Q[x] 1. Dùng Maple đ ch ng t f b t kh quy. 2. Ch ng t f có 3 nghi m th c. Xác đ nh 3 nghi m th c (g n đúng) đó. 3. G i α là m t nghi m c a f , hãy bi u di n (α2 − 1)−1 ∈ Q(α) như m t đa th c theo α có b c không quá 2. 4. Phân tích f thành tích các nhân t b c nh t trong m t trwongf m r ng c a Q. S n ph m n p là file .mws ch y trong Maple 9.5. Câu II. Hãy đưa ra vài ng d ng c a Maple trong gi ng d y toán ph thông và đ i h c. Nêu các bình lu n v vi c s d ng Maple trong nghiên c u và gi ng d y. Câu III. So n th o văn b n sau (đ thi m u)1 b ng L TEX. N p file tex ch y A trong MikTex, dùng gói ti ng Vi t \usepackage[utf8]{vietnam} Câu IV. Trình chi u văn b n sau (đ thi m u) b ng đ nh d ng pdf. N p file pdf. ———————————————H t——————————————— Ghi chú: Sinh viên đư c s d ng tài li u khi làm bài. 1 Xem văn b n trang 4 - C.M.Q 3
  5. Tr n M u Quý - http://quyndc.blogspot.com B GIÁO D C & ĐÀO T O H và tên thí sinh:..................................... Đ I H C HU S báo danh: ............................................. TRƯ NG Đ I H C SƯ PH M Đ THI M U Môn thi: Đ I S Th i gian làm bài: 120 phút ————————————————————————————————————— Câu I. Trên t p h p G = [0, 1) = {x ∈ R|0 ≤ x < 1}, xét phép toán ⊕ đ nh b i ∀x, y ∈ G, x ⊕ y = x + y − [x + y] ( đây [x + y] là ph n nguyên c a x + y ). Ch ng minh: 1) (G,⊕) là m t nhóm aben; 2) Ánh x f : G −→ C∗ đ nh b i f = cos(2πx) + isin(2πx), là m t đ ng c u nhóm t G vào nhóm nhân các s ph c khác 0. Câu II. Cho A và B là các iđêan c a vành R. Vành R đư c g i là t ng tr c ti p c a các iđêan A và B , kí hi u R = A ⊕ B , n u R = A + B và A ∩ B = {0}. Ch ng minh r ng: 1) R = A ⊕ B n u và ch n u m i ph n t x ∈ R đ u bi u th duy nh t dư i d ng x = a + b trong đó a ∈ A, b ∈ B . 2) Vành s nguyên Z ch có s phân tích t m thư ng, t c là n u Z = A ⊕ B thì A = {0} ho c B = {0}. Câu III. Cho T là m t phép bi n đ i tuy n tính c a khôg gian vec tơ V và x ∈ V . Ch ng minh r ng n u t n t i s m nguyên dương sao cho T m (x) = 0 và T m−1 (x) = 0 thì h (x, T (x), ..., T m−1 (x)) đ c l p tuy n tính. Câu IV. Cho A ∈ M (n, K), v i n ≥ 2, là m t ma tr n vuông c p n l y h t trong trư ng K . Kí hi u A là ma tr n ph h p c a A. Ch ng minh r ng: 1) N u A không suy bi n thì A không suy bi n. 2) N u rank(A) = n − 1 thì rank(A) = 1. 3) N u rank(A) ≤ n − 2 thì A = 0. Câu V. Cho A là m t ma tr n vuông c p n trên trư ng F . Ch ng minh r ng: rank(A) − rank(A2 ) ≥ rank(A2 ) − rank(A3 ). Hãy t ng quát hóa k t qu trên. ———————————————————————————————– Ghi chú: Cán b coi thi không gi i thích gì thêm. 4
  6. Tr n M u Quý - http://quyndc.blogspot.com Đ THI CH NG CH CAO H C PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN - KHÓA 15 Th i gian làm bài: 150 phút Câu I. Phát bi u và ch ng minh đ nh lý t n t i và duy nh t nghi m đ a phương c a bài toán Cauchy cho h phương trình vi phân c p m t. Câu II. Gi i các phương trình vi phân sau: 1. y + 2y = y 2 ex 2. y(x + y)dx + (xy + 1)dy = 0 Câu III. Gi i h phương trình vi phân sau b ng cách tìm h tích phân đ u đ y đ y 1 = y1 x y2 y2 = y1 + x Câu IV. Tìm nghi m t ng quát c a h phương trình vi phân sau   y1 = 2y1 − y2 + y3 y = y1 + 2y2 − y3  2 y3 = y1 − y2 + 2y3 —————————————————————————————— Ghi chú: H c viên đư c s d ng tài li u khi làm bài.
  7. Tr n M u Quý - http://quyndc.blogspot.com Đ THI CH NG CH CAO H C PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN - KHÓA 16 Th i gian làm bài: 150 phút Câu I. Phát bi u và ch ng minh đ nh lý t n t i và duy nh t nghi m đ a phương c a bài toán Cauchy cho h phương trình vi phân thư ng. Câu II. Gi i các phương trình vi phân sau: 1. (1 − 2xy)y = y(y − 1) y+2 2. y = 2( x+y−1 )2 Câu III. Gi i h phương trình vi phân sau   x1 = −3x1 + 4x2 − 2x3 x = x1 + x3  2 x3 = 6x1 − 6x2 + 5x3 Câu IV. Gi i phương trình vi phân sau y − 2y + 5y = 2xex + ex sin2x. ——————————————————————————————– Ghi chú: H c viên đư c s d ng tài li u khi làm bài.
  8. www.mathvn.com -Eˆ ´. D` THI CHU NG CHI CAO HOC, Kh´a 13 ’ o . e a ´ Chuyˆn ng`nh TOAN, Mˆn thi : Giai tı o ’ ´ch ham ` - ` sˆ : 01. Th`.i gian l`m b`i: 150 ph´t e ´ Dˆ o o a a u ` o ¯. ’ Cˆu I. Cho X, Y la hai khˆng gian d inh chuˆ n v` (Aα )α∈I ⊂ L(X, Y ). a a a ´ e . ´ ` 1. Ky hiˆu Cn = {x ∈ X| sup Aα x < n}, n ∈ N. Biˆ t r˘ ng sup Aα = +∞. e a α∈I α∈I ◦ Ch´.ng minh r˘ ng u ` a Cn = ∅, v´.i moi n ∈ N. o . ’ ’ 2. Gia su n . A ∈ L(X, Y ) la mˆt da y sao cho v´.i moi x ∈ X ta co A x → 0, n → ` o ˜ o ´ n . . u. d ˆy co suy ra d u.o.c A → 0 khˆng? Tai sao? +∞. T` ¯a ´ ¯ . o n . . a o ¯. ’ a a a ´ Cˆu II. K´ hiˆu X = C[0,1] l` khˆng gian d inh chuˆ n c´c h`m sˆ liˆn tuc trˆn a y e o e . e [0, 1] v´ o.i chuˆ n “max”. a’ 1. Ky hiˆu P la tˆp tˆ t ca ca c d a th´.c p(x) xa c d inh trˆn [0, 1] co bˆc ≤ n. ´ e . . ´ ` a a ’ ´ ¯ u ´ ¯. e ´ a . Ch´ u.ng minh r˘ ng P la mˆt tˆp d ´ng trong C ` a ` o a ¯o . . . [0,1] a ’ 2. X´t to´n tu e . tuyˆn t´ A : X → X x´c d inh bo.i cˆng th´.c ´ e ınh a ¯. ’ o u t x → Ax, (Ax)(t) = x(τ )dτ, ∀t ∈ [0, 1], ∀x ∈ C[0,1]. 0 Ch´.ng minh A l` mˆt to´n tu. compact va ∀α ∈ (0, 1) th` I + αA l` mˆt ph´p u a o. a ’ ` ı a o . e d` ng phˆi tuyˆn t´ t` ¯ˆ o o ´ e ınh u . X lˆn X (I l` ´nh xa d` ng nhˆ t). To´n tu. I + A c´ e aa ¯ˆ o ´ a a ’ o . ’ a a ’ phai l` to´n tu. compact khˆng? o Cˆu III. Cho X l` mˆt khˆng gian d inh chuˆ n. a a o . o ¯. a’ 1. Ch´.ng minh r˘ ng phˆn trong cua hı u ` a ` a ` ¯o ` `nh cˆu mo. ’ `nh cˆu d´ ng B (x0 , r) la hı a `a ’ B(x0 , r). 2. Cho f ∈ X ∗ , N = Ker f va x ∈ X \ N. Gia su. tˆn tai y ∈ N sao cho d(x, N ) = ` ’ ’ ` . o u x − y . Ch´.ng minh r˘ ng tˆn tai x ∈ X, x = 1 sao cho f = |f (x )|. ` a ` . 0 o 0 0 Cˆu IV. Cho H l` khˆng gian Hilbert trˆn tru.`.ng K va A ∈ L(H). a a o e o ` 1. Ch´.ng minh r˘ ng A la mˆt toa n tu. compact khi va chı khi, v´.i moi (xn )n ⊂ u ` a ` o. ´ ’ ` ’ o . w w H, (yn )n ⊂ H, nˆ ´u xn → x va yn → y thı Axn , yn → Ax, y khi n → +∞. e ` ` ’ ’ 2. Gia su . A = A∗ va λ ∈ K khˆng phai la mˆt gia tri riˆng cua A. Ch´.ng minh ` o ’ ` o ´ . e ’ u . ` r˘ ng R(A − λI) tru mˆt kh˘ p no a ` a ´ a .i trong H. . 3. Cu ng gia su. r˘ ng A = A∗ va thˆm Am la mˆt toa n tu. compact v´.i m la mˆt ˜ ’ ’ a ` ` e ` o . ´ ’ o ` o. ´ sˆ nguyˆn du o e .o.ng nao d´ . Ch´.ng minh r˘ ng A cu ng la mˆt toa n tu. compact. ` ¯o u ` a ˜ ` o ´ ’ . ————————————————————————————– Ghi ch´: Hoc viˆn d u.o.c ph´p su. dung t`i liˆu dˆ l`m b`i nhu.ng khˆng d u.o.c u . e ¯ . e ’ . a e ¯e a . ’ a o ¯ . trao d ˆ ¯o’i, thao luˆn v´ ’ a o .i nhau. . 22
  9. www.mathvn.com ˆ -E ´. D` THI CHU NG CHI CAO HOC ’ . Chuyˆn ng`nh TOAN, K.14 Mˆn thi : GIAI T´ e a ´ o ’ ` ICH HAM Dˆ sˆ : 1. Th`.i gian l`m b`i: 150 ph´ t -` o e ´ o a a u a ´ e . ` o ¯i ’ Cˆu I. Ky hiˆu X = C[0,2] la khˆng gian d .nh chuˆ n ca c ham liˆn tuc trˆn d oan a ´ ` e . e ¯ . [0, 2] v´ o.i chuˆ n “max”. a’ 1 2 1. D˘t f : X → R xa c d .nh bo.i cˆng th´.c f (x) = -a . ´ ¯i ’ o u x(t)dt − x(t)dt. Ch´.ng u 0 1 minh r˘ ng f ∈ X ∗ va ha y tı ` a ` ˜ ´nh f . 2. Xe t toa n tu. A ∈ L(X) xa c d inh bo.i X ´ ´ ’ ´ ¯. ’ x → Ax, trong d´ (Ax)(t) = ¯o t x(τ )dτ + tx(1), v´.i moi t ∈ [0, 2]. Ch´.ng minh A la mˆt toa n tu. compact. o . u ` o . ´ ’ 0 D˘t v = I − A v´.i I = idX la toa n tu. d` ng nhˆ t. Ch´.ng minh r˘ ng nˆ u E la tˆp -a. o ` ´ ’ ¯ˆo ´ a u ` a ´ e ` a. −1 compact trong X thı v (E) ∩ BX (0, 1) la tˆp compact trong X. ` ` a . Cˆu II. V´.i p ≥ 1, k´ hiˆu p l` khˆng gian Banach ca c da y (xn )n ⊂ K sao cho a o y e . a o ´ ˜ ∞ |xn |p < +∞. Ky hiˆu ei = (0, . . . , 0, 1 , 0, . . . ) ∈ ´ e . p , i = 1, 2, . . . (i) n=1 1. Kiˆ m tra r˘ ng {en | n = 1, 2, . . . } la mˆt co. so. Schauder cua khˆng gian p . e’ ` a ` o. ’ ’ o ’ ’. (c ) la mˆt da y sˆ du.o.ng. Ky hiˆu Π = {x = (x ) ∈ p | |x | ≤ 2. Gia su n n ` o ˜ o ´ ´ e . . n n n ∞ cn , n = 1, 2, . . . }. Ch´.ng minh r˘ ng Π la tˆp compact khi va chı khi u ` a ` a. ` ’ cp < +∞. n n=1 Cˆu III. Ky hiˆu H l` mˆt khˆng gian Hilbert. a ´ e . a o . o 1. Gia su. (An )n ⊂ L(H) la mˆt da y thoa d iˆu kiˆn ’ ’ ` o ˜ . ’ ¯` e e . ∀x, y ∈ H : sup | An x, y | < +∞. n∈N Ch´.ng minh u sup An < +∞ n∈N 2. Cho a ∈ H, a = 0 va d ˘t A = {a} ` ¯a. ⊥. Ch´.ng minh r˘ ng v´.i moi x ∈ H, ta co u ` a o . ´ | x, a | d(x, A) := inf { x − u } = . u∈A a 3. Cho A ∈ L(H). Ch´.ng minh (ImA)⊥ = KerA∗ . u 4. Bˆy gi` a o. ta gia thiˆ t A ∈ L(H) sao cho A∗ A la toa n tu. compact. Ch´.ng minh ’ ´ e ` ´ ’ u ` a ˜ r˘ ng A cu ng la toa n tu ` ´ ’. compact. ————————————————————————————– Ghi ch´ : Hoc viˆn d u.o.c ph´p su. dung t`i liˆu dˆ l`m b`i nhu.ng khˆng d u.o.c trao u . e ¯ . e ’ . a e ¯e a . ’ a o ¯ . ’ ’ d ˆi, thao luˆn v´ ¯o a o .i nhau. . 23
  10. www.mathvn.com -Eˆ ´. D` THI CHU NG CHI CAO HOC’ . Ca c chuyˆn ng`nh TOAN, K.15 Mˆn thi : GIAI T´ ´ e a ´ o ’ ` ICH HAM -` o e ´ Dˆ sˆ : 1. Th`o.i gian l`m b`i: 150 ph´ t a a u Cˆu I. Cho (X, · ) la mˆt khˆng gian d .nh chuˆ n trˆn tru.`.ng K. a ` o . o ¯i a’ e o .ng minh r˘ ng X la mˆt khˆng gian Banach khi va chı khi moi da y (y ) ⊂ X ` ` ’ 1. Ch´u a ` o . o . ˜ n n ∞ ’ ¯` −n ˜ thoa d iˆu kiˆn yn ≤ 2 e e . thı chuˆi ` o yn hˆi tu. o . . n=1 2. Gia su. (X, · ) la khˆng gian Banach va · 1 la mˆt chuˆ n khac trˆn X sao cho ’ ’ ` o ` ` o . a’ ´ e ˜ ` a’ (X, · 1 ) cu ng la Banach va 2 chuˆ n · , · 1 khˆng tu ` o .o.ng d .o.ng v´.i nhau. Ch´.ng ¯u o u ` minh r˘ ng ´ nh xa d` ng nhˆ t id: (X, · ) → (X, · 1 ) khˆng liˆn tuc. a a . ¯ˆ o ´ a o e . a y e . ` o . o ¯i ’ a ` ` o ˜ Cˆu II. K´ hiˆu X la mˆt khˆng gian d .nh chuˆ n va (xn )n la mˆt da y trong X. . 1. Cho xn → x va (fn )n ⊂ X sao cho fn → f khi n → ∞. Ch´.ng minh r˘ ng ∗ w ` u ` a fn (xn ) → f (x) khi n → ∞. ◦ 2. Gia su. f (xn ) → 0, (n → ∞) v´.i moi f ∈ M trong d´ M ⊂ X ∗ va M = ∅. Ch´.ng ’ ’ o . ¯o ` u w minh r˘` ng xn → 0. a Cˆu III. Gia su. {en | n ∈ N} la mˆt co. so. Schauder cua khˆng gian Banach (X, · ). a ’ ’ ` o. ’ ’ o ∞ V´.i moi x ∈ X ta co biˆu diˆn x = o . ´ e ’ ˜ e ηi ei . i=1 n -a 1. D˘t x 1 = sup . ηi ei . Ch´.ng minh r˘ ng u ` a · 1 ’ ’ la mˆt chuˆ n trˆn X va chuˆ n ` o. a e ` a n∈N i=1 nay tu.o.ng d .o.ng v´.i chuˆ n ` ¯u o a’ · . ∞ n 2. Ky hiˆu Pn : (X, · ) → (X, · ) la ´ nh xa xac d .nh bo.i Pn x = Pn ( ´ e . `a . ´ ¯i ’ ηi ei ) = ηi ei . i=1 i=1 Ch´.ng minh r˘ ng Pn ∈ L(X). u ` a Cˆu IV. Cho H l` khˆng gian Hilbert trˆn tru.`.ng K. a a o e o 1. Gia su. U, V, W la 3 khˆng gian con d´ ng trong H va chung tru.c giao v´.i nhau t`.ng ’ ’ ` o ¯o ` ´ . o u d oi mˆt. Ch´.ng minh r˘ ng tˆ ng U + V + W cu ng la mˆt khˆng gian con d´ ng trong ¯ˆ o . u ` a o’ ˜ ` o . o ¯o H. 2. Cho A ∈ L(H). Ch´.ng minh r˘ ng (ImA∗ )⊥ = KerA. u ` a a ` o . o ¯i ’ Cˆu V. Cho X la mˆt khˆng gian d .nh chuˆ n va A ∈ L(X). a ` 1. Gia su. e1 , e2 la 2 vecto. riˆng u.ng v´.i 2 gia tri riˆng khac nhau cua A. Ch´.ng minh ’ ’ ` e ´ o ´ . e ´ ’ u ` ¯ˆ a . . ´ {e1 , e2 } la d oc lˆp tuyˆ n tı e ´nh. . cho A la toan tu. compact va λ = 0 la mˆt sˆ . Gia su. 2. Bˆy gi` a o ` ´ ’ ` . ´ ` o o ’ ’ inf x∈X, x =1 { Ax−λx } = 0. Ch´.ng minh r˘ ng λ la mˆt gia tri riˆng cua A. u ` a ` o ´ . e . ’ ————————————————————————————– Ghi ch´ : Hoc viˆn d u.o.c ph´p su. dung t`i liˆu d e l`m b`i nhu.ng khˆng d .o.c trao d o i, u . e ¯ . e ’ . a e ¯ˆ a . ’ a o ¯u . ¯ˆ ’ ’ thao luˆn v´ a o .i nhau. . 24
  11. Tr n M u Quý - http://quyndc.blogspot.com Đ THI CH NG CH CAO H C GI I TÍCH TRÊN ĐA T P - KHÓA 16 Th i gian làm bài: 120 phút Câu I. 1. Cho A là m t t p m trong Rn sao cho biên b(A) là m t đa t p (n−1)−chi u. Ch ng minh r ng N = A ∪ b(A) là m t đa t p n−chi u v i b . Hãy cho m t ví d trong đó b ∂N không trùng v i biên b(A). 2. Cho c là m t hình l p phương kì d k−chi u và p : [0, 1]k −→ [0, 1]k là m t ánh x 1 − 1 sao cho p([0, 1]k ) = [0, 1]k và det p (x) ≥ 0 v i m i x ∈ [0, 1]k . Ch ng minh r ng đ i v i m i k−d ng ω ta có ω= ω c c◦p Câu II. Cho M là m t đa t p 3−chi u compact, đ nh hư ng v i b trong R3 và α, β, γ : M −→ R là các hàm kh vi liên t c trên M . Ch ng minh r ng ∂α ∂β ∂γ ( + + )dx ∧ dy ∧ dz = αdy ∧ dz + βdz ∧ dx + γdx ∧ dy. M ∂x ∂y ∂z ∂M Câu III. Cho M là m t đa t p k−chi u v i đ nh hư ng µ trong Rn . V i m i x ∈ M , kí hi u ω(x) ∈ Λk (Mx ) là ph n t th tích trên Mx xác đ nh b i đ nh hư ng µx và tích vô hư ng chính t c Tx , t c là ω(x)(v1 , ..., vk ) = 1 v i b t kì cơ s tr c chu n v1 , .., vk c a Mx sao cho [v1 , .., vk ] = µx . Khi đó k−d ng vi phân ω tương ng đư c g i là ph n t th tích trên M và kí hi u là dV . 1. Ch ng minh r ng n u M là m t đa t p n−chi u trong Rn mang đ nh hư ng chu n t c thì dV = dx1 ∧ dx2 ∧ ... ∧ dxn . 2. Cho M là m t đa t p compact, đ nh hư ng hai chi u trong R3 và n(x) = (n1 (x), n2 (x), n3 (x)) là m c tiêu pháp tuy n ngoài t i x ∈ M . Ch ng minh r ng dV = n1 dy ∧ dz + n2 dz ∧ dx + n3 dx ∧ dy . ——————————————————————————————– Ghi chú: H c viên đư c s d ng tài li u khi làm bài.
  12. Tr n M u Quý - http://quyndc.blogspot.com Đ THI CH NG CH CAO H C CƠ S Đ I S HI N Đ I - KHÓA 15 Th i gian làm bài: 120 phút T t c các vành đư c xét là vành có đơn v 1 = 0. Câu 1. Cho E, E là các không gian Euclid khác 0. Ánh x tuy n tính f : E −→ E đư c g i là đ ng d ng n u có s th c k = 0 sao cho f (x)f (y) = kxy v i m i x, y ∈ E . Ch ng minh r ng: 1. Ánh x ϕ : E −→ E là tuy n tính đ ng d ng n u có s th c k = 0 sao cho ϕ(x)ϕ(y) = kxy v i m i x, y ∈ E . 2. M i ánh x tuy n tính đ ng d ng ϕ đ u có th vi t dư i d ng ϕ = αγ , trong đó γ có d ng λid, λ ∈ R, còn α là đ ng c u tr c giao. Câu 2. Cho M là R-môđun h u h n sinh, n là m t s nguyên dương, φ : M −→ Rn là m t toàn c u R-môđun. Ch ng minh r ng Ker(φ) là R-môđun h u h n sinh . Câu 3. Cho M là R-môđun , R là m t vành giao hoán. Cho I là m t iđêan c a R. Ch ng minh r ng: (R/I) ⊗R M ∼ M/(IM ) = Câu 4. Cho X là R-môđun h u h n sinh. Ch ng minh r ng X là m t R-môđun x nh khi và ch khi có s nguyên dương n sao cho: X ⊕ Y ∼ Rn = Câu 5. M t R-môđun M g i là chia đư c n u v i m i a ∈ R\{0}, v i m i x ∈ M , t n t i y ∈ M sao cho ay = x. Cho R là m t mi n nguyên chính và M là m t R-môđun. Ch ng minh r ng M là chia đư c khi và ch khi M là R-môđun n i x . ——————————————————————————————– Ghi chú: H c viên không đư c s d ng tài li u khi làm bài.
  13. Tr n M u Quý - http://quyndc.blogspot.com Đ THI CH NG CH CAO H C CƠ S Đ I S HI N Đ I - KHÓA 16 Th i gian làm bài: 120 phút Câu 1. Cho M là R-môđun h u h n sinh, n là m t s nguyên dương, φ : M −→ Rn là m t toàn c u R-môđun. Ch ng minh r ng Ker(φ) là R-môđun h u h n sinh . Câu 2. Ch ng minh r ng m i không gian véctơ trên trư ng K đ u là K -môđun t do. Câu 3. Cho 2Z, Z2 là các Z-môđun. Ch ng t r ng 2 ⊗ 1 = 0 trong 2Z ⊗Z Z2 . f g Kh ng đ nh ”N u 0 −→ A − B → C là m t dãy kh p các đ ng c u R-môđun thì → − f ⊗id g⊗id v i m i R-môđun M ta có dãy kh p 0 −→ A ⊗R M − − B ⊗R M − − C ⊗R M ” −→ −→ có đúng không ? T i sao? Câu 4. Ch ng minh r ng n u dãy các R-đ ng c u môđun ϕ ψ 0 −→ A − B − C → → là kh p thì v i m i R-môđun M ta có dãy ϕ∗ ψ∗ 0 −→ Hom(M, A) − Hom(M, B) − Hom(M, C) → → cũng kh p. Câu 5. Ch ng minh r ng m i R-môđun đ u có m t phép gi i n i x . ——————————————————————————————– Ghi chú: H c viên không đư c s d ng tài li u khi làm bài.
  14. Tr n M u Quý - http://quyndc.blogspot.com Đ THI CH NG CH CAO H C CƠ S GI I TÍCH HI N Đ I - KHÓA 16 Th i gian làm bài: 120 phút Câu I. Cho (X, T ) là m t không gian tôpô. 1. Cho t p m U ⊂ X và t p con A ⊂ X . Ch ng minh r ng U ∩ A ⊂ U ∩ A. 2. Cho B, C là hai t p con đóng khác r ng c a X và f : B ∪ C −→ R. Gi s f|B và f|C liên t c. Ch ng minh r ng f liên t c trên B ∪ C . Cho m t ví d ch ng t k t qu trên không còn đúng khi B, C không cùng đóng. Câu II. Ch ng minh r ng m i không gian Lindelof chính quy là không gian chu n t c. Câu III. Cho X = C[0,1] là t p t t c các hàm giá tr th c liên t c trên [0, 1]. 1. V i m i t ∈ [0, 1] ta đ t pt (x) = |x(t)| v i m i x ∈ X . Ch ng minh r ng P = {pt | t ∈ [0, 1]} là h các n a chu n trên X . 2. V i x, y ∈ X ta đ t 1 |x(t) − y(t)| d(x, y) = dt 1 + |x(t) − y(t)| 0 Ch ng minh r ng (X, d) là m t không gian mêtric. 3. G i T là tôpô sinh b i h n a chu n P và T∞ là tôpô sinh b i mêtric d. Ch ng minh r ng m i dãy trong X h i t theo T thì h i t theo tôpô T∞ . 4. Hai tôpô T và T∞ có tương đương không? T i sao? Câu IV. Cho µ là m t đ đo d u trên σ -đ i s các t p con c a X , f, g là các hàm đo đư c trên X . V i m i t p đo đư c E ta đ t ν(E) = f dµ. E Gi s |ν|(E) = gd|µ|. Ch ng minh g = |f | h u kh p nơi theo µ. E ——————————————————————————————– Ghi chú: H c viên đư c s d ng tài li u khi làm bài.
Đồng bộ tài khoản