Tổng hợp kiến thức ôn thi đại học môn Toán

Chia sẻ: Đào Xuân Lộc | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:22

3
3.001
lượt xem
865
download

Tổng hợp kiến thức ôn thi đại học môn Toán

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tổng hợp lại kiến thức môn Toán, hỗ trợ việc ôn thi đại học của bạn được kỹ lưỡng và đầy đủ hơn.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Tổng hợp kiến thức ôn thi đại học môn Toán

  1. Ph ạ m Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09) I- GIẢI TÍCH TỔ HỢP 1. Giai thừa : n! = 1.2...n 0! = 1 n! /(n – k)! = (n – k + 1).(n – k + 2) ... n 2. Nguyên tắc cộng : Trường hợp 1 có m cách chọn, trường hợp 2 có n cách chọn; mỗi cách chọn đều thuộc đúng một trường hợp. Khi đó, tổng số cách chọn là : m + n. 3. Nguyên tắc nhân : Hiện tượng 1 có m cách chọn, mỗi cách chọn này lại có n cách chọn hiện tượng 2. Khi đó, tổng số cách chọn liên tiếp hai hiện tượng là : m x n. 4. Hoán vị : Có n vật khác nhau, xếp vào n chỗ khác nhau. Số cách xếp : Pn = n !. k n! 5. Tổ hợp : Có n vật khác nhau, chọn ra k vật. Số cách chọn : Cn = k!(n − k)! 6. Chỉnh hợp : Có n vật khác nhau. Chọn ra k vật, xếp vào k chỗ khác nhau số cách : n! An = k , A n = Cn .Pk k k (n − k)! Chỉnh hợp = tổ hợp rồi hoán vị 7. Tam giác Pascal : 1 C0 0 1 1 0 1 2 1 C1 C1 1 0 1 3 3 1 C2 C2 C2 1 2 1 4 6 4 1 0 C3 C3 C3 C3 1 2 3 C0 4 C4 C4 C4 C 4 1 2 3 4 Tính chất : C0 = Cn = 1 Cn = Cn−k n n , k n Cn−1 + Cn = Cn+1 k k k 8. Nhị thức Newton : * (a + b)n = C0anb0 + C1an−1b1 + ...+ Cna0bn n n n a = b = 1 : ... C0 + C1 + ... + Cn = 2n n n n Với a, b ∈ {± 1, ± 2, ...}, ta chứng minh được nhiều đẳng thức chứa : C0,C1 ,..., n n n Cn * (a + x)n = C0an + C1an−1x + ...+ Cnxn n n n Ta chứng minh được nhiều đẳng thức chứa C0,C1 ,..., n n n Cn bằng cách : - Đạo hàm 1 lần, 2 lần, cho x = ± 1, ± 2, ... a = ± 1, ± 2, ... - Nhân với xk , đạo hàm 1 lần, 2 lần, cho x = ± 1, ± 2, ... , a = ± 1, ± 2, ... ±1 ±2 β - Cho a = ± 1, ± 2, ..., ∫ hay ∫ ... hay α α 0 0 Chú ý : * (a + b)n : a, b chứa x. Tìm số hạng độc lập với x : Ck a n −k b k = Kx m n Giải pt : m = 0, ta được k. * (a + b)n : a, b chứa căn . Tìm số hạng hữu tỷ. m r k n −k Can b = Kc d k p q m/ p∈ Z Giải hệ pt :  , tìm được k  r / q∈ Z * k k Giải pt , bpt chứa A n ,Cn ...: đặt điều kiện k, n ∈ N* ..., k ≤ n. Cần biết đơn giản các giai thừa, qui đồng mẫu số, đặt thừa số chung. * Cần phân biệt : qui tắc cộng và qui tắc nhân; hoán vị (xếp, không bốc), tổ hợp (bốc, không xếp), chỉnh hợp (bốc rồi xếp). 1 http://hoiphuonghoangvn.7forum.info
  2. Ph ạ m Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09) * Áp dụng sơ đồ nhánh để chia trường hợp , tránh trùng lắp hoặc thiếu trường hợp. * Với bài toán tìm số cách chọn thỏa tính chất p mà khi chia trường hợp, ta thấy số cách chọn không thỏa tính chất p ít trường hợp hơn, ta làm như sau : số cách chọn thỏa p. = số cách chọn tùy ý - số cách chọn không thỏa p. Cần viết mệnh đề phủ định p thật chính xác. * Vé số, số biên lai, bảng số xe ... : chữ số 0 có thể đứng đầu (tính từ trái sang phải). * Dấu hiệu chia hết : - Cho 2 : tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8. - Cho 4 : tận cùng là 00 hay 2 chữ số cuối hợp thành số chia hết cho 4. - Cho 8 : tận cùng là 000 hay 3 chữ số cuối hợp thành số chia hết cho 8. - Cho 3 : tổng các chữ số chia hết cho 3. - Cho 9 : tổng các chữ số chia hết cho 9. - Cho 5 : tận cùng là 0 hay 5. - Cho 6 : chia hết cho 2 và 3. - Cho 25 : tận cùng là 00, 25, 50, 75. II- ĐẠI SỐ b = c = 0 1. Chuyển vế : a + b = c ⇔ a = c – b; ab = c ⇔   b ≠ 0   a = c/ b  a = bc a/b = c ⇔  ; a2n+1 = b ⇔ a = 2n+1 b  b≠ 0 a b = a 2n a 2n = b � a = � b, a = 2n 2n b � � ��a 0  b = ±a a= b ⇔  ,a = logα b ⇔ b = α a  a≥ 0 b = 0,c > 0  b> 0 a + b < c ⇔ a < c − b ; ab< c ⇔   a < c/ b  b< 0   a > c/ b 2. Giao nghiệm : x> a x< a  ⇔ x > max{, b ;  a } ⇔ x < min{, b a } x> b x< b xp x Γ x >a a a < x < b(ne� < b) < p q ua
  3. Ph ạ m Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09) a. b (neáub≥ 0) a, ab = − a. − b (neáub < 0) a, 2 b. . : phá . bằng cách bình phương : a = a2 hay bằng định nghĩa : a (neáu≥ 0) a a = − a(neáu< 0) a b ≥ 0 a = b⇔  ; a = b ⇔ a = ±b a = ±b a � � − b �a � b b ab a 0 a � � b < 0hay � b a −− �� b a b a ≤ b ⇔ a2 − b2 ≤ 0 c. Mũ : y = ax , x ∈ R,y > 0,y ↑ neáu> 1 y ↓ neáu< a < 1. a , 0 a0 = 1; a− m/ n = 1/ n am ; am.an = am+ n am / an = am−n ; (am)n = am.n ; an / bn = (a/ b)n an.bn = (ab)n ; am = an � (m = n,0 < a � ) � a =1 1 m < n(neáu> 1) a am < an ⇔ , α = aloga α m > n(neáu< a < 1) 0 d. log : y = logax , x > 0 , 0 < a ≠ 1, y ∈ R α y↑ nếu a > 1, y↓ nếu 0 < a < 1, α = logaa loga(MN) = logaM + logaN ( N ) loga(M/N) = logaM – logaN ( N ) loga M 2 = 2loga M ,2loga M = loga M 2 (⇒) logaM3 = 3logaM, logac = logab.logbc 1 logbc = logac/logab, log α M = loga M a α loga(1/M) = – logaM, logaM = logaN ⇔ M = N 0 < M < N(ne� > 1) ua loga M N > 0(ne� < a < 1 u0 ) Khi làm toán log, nếu miền xác định nới rộng : dùng điều kiện chặn lại, tránh dùng công thức làm thu hẹp miền xác định. Mất log phải có điều kiện. 4. Đổi biến : a. Đơn giản : t = ax+ b∈ R, t = x2 ≥ 0, t = x ≥ 0,t = x ≥ 0,t = ax > 0,t = loga x ∈ R N?u trong ?? bài có ?i?u ki?n c?a x, ta chuy?n sang ?i?u ki?n c?a t b?ng cách bi?n ??i tr?c ti?p b?t ??ng th?c. b. Hàm số : t = f(x) dùng BBT để tìm điều kiện của t. Nếu x có thêm điều kiện, cho vào miền xác định của f. c. Lượng giác : t = sinx, cosx, tgx, cotgx. Dùng phép chiếu lượng giác để tìm điều kiện của t. d. Hàm số hợp : từng bước làm theo các cách trên. 5. Xét dấu : a. Đa thức hay phân thức hữu tỷ, dấu A/B giống dấu A.B; bên phải cùng dấu hệ số bậc cao nhất; qua nghiệm đơn (bội lẻ) : đổi dấu; qua nghiệm kép (bội chẵn) : không đổi dấu. b. Biểu thức f(x) vô tỷ : giải f(x) < 0 hay f(x) > 0. c. Biểu thức f(x) vô tỷ mà cách b không làm được : xét tính liên tục và đơn điệu của f, nhẩm 1 nghiệm của pt f(x) = 0, phác họa đồ thị của f , suy ra dấu của f. 6. So sánh nghiệm phương trình bậc 2 với α : f(x) = ax2 + bx + c = 0 (a ( 0) 3 http://hoiphuonghoangvn.7forum.info
  4. Ph ạ m Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09) * S = x1 + x2 = – b/a ; P = x1x2 = c/a Dùng S, P để tính các biểu thức đối xứng nghiệm. Với đẳng thức g(x 1,x2) = 0 không đối xứng, giải hệ pt :  g= 0   S = x1 + x2  P = x .x  1 2 Biết S, P thỏa S2 – 4P ≥ 0, tìm x1, x2 từ pt : X2 – SX + P = 0 * Dùng ∆, S, P để so sánh nghiệm với 0 : ∆ >0  x1 < 0 < x2 ⇔ P < 0, 0 < x1 < x2 ⇔  P > 0  S> 0  ∆ >0  x1 < x2 < 0 ⇔  P > 0  S< 0  * Dùng ∆, af(α), S/2 để so sánh nghiệm với α : x1 < α < x2 ⇔ af(α) < 0 ∆ >0 ∆ >0   α < x1 < x2 ⇔  a f (α ) > 0 . ; x1 < x2 < α ⇔  a f (α ) > 0 .  α < S/ 2  S/ 2 < α   β a.f(β) < 0  a.f (α ) < 0 β  α < x1 < β < x2 ⇔ α a.f(α ) > 0 ; x1 < α < x2 < β ⇔  a f (β) > 0 . αα < β α 0 3 nghiệm phân biệt ⇔  f (α ) ≠ 0 ∆ > 0 ∆ = 0 2 nghiệm phân biệt ⇔  ∨  f (α ) = 0 f (α) ≠ 0 ∆∆ =0 1 nghiệm ⇔∆ 0 2 nghiệm ⇔  yCÑ .yCT = 0 4 http://hoiphuonghoangvn.7forum.info
  5. Ph ạ m Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09) ∆ y' > 0 1 nghiệm ⇔ ∆ y' ≤ 0 ∨  yCÑ .yCT > 0 c. Phương trình bậc 3 có 3 nghiệm lập thành CSC : ∆ y' > 0 ⇔ = yuoán 0 d. So sánh nghiệm với α : • x = xo ∨f(x) = ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) : so sánh nghiệm phương trình bậc 2 f(x) với α. • Không nhẩm được 1 nghiệm, m tách được sang 1 vế : dùng sự tương giao của f(x) = y: (C) và y = m: (d) , đưa α vào BBT. • Không nhẩm được 1 nghiệm, m không tách được sang 1 vế : dùng sự tương giao của (C m) : y = ax3 + bx2 + cx + d (có m) ,(a > 0) và (Ox) ∆ ∆ y' > 0 ∆ < yC�.yCT < 0 α < x1 < x2 < x3 ⇔ < α y(α) < 0 α x1 x2 x 3 αα < x α CT  ∆ y' > 0  y .y < 0 α  CÑ CT x1 x2 x1 < α < x2 < x3 ⇔  x3  y(α) > 0  α < xCT   ∆ y' > 0  y .y < 0  CÑ CT x1 < x2 < α < x3 ⇔   y(α) < 0 x1 α x2 x3  xCÑ < α  α ∆ ∆ y' > 0 ∆ x1 x2 < yC�.yCT < 0 x3 x1 < x2 < x3 < α ⇔ < α y(α) > 0 αx < α < CT 8. Phương trình bậc 2 có điều kiện : f(x) = ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0), x ≠ α ∆ >0   f (α) ≠ 0  f (α) = 0 2 nghiệm ⇔  , 1 nghiệm ⇔ ∆ >0 ∆ =0   f (α) ≠ 0 ∆ =0 Vô nghiệm ⇔ ∆ < 0 ∨   f (α) = 0 Nếu a có tham số, xét thêm a = 0 với các trường hợp 1 nghiệm, VN. 9. Phương trình bậc 4 :  t = x2 ≥ 0 a. Trùng phương : ax4 + bx2 + c = 0 (a ≠ 0) ⇔   f (t) = 0 t = x2 ⇔ x = ± t 5 http://hoiphuonghoangvn.7forum.info
  6. Ph ạ m Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09) ∆ >0  P=0 4 nghiệm ⇔  P > 0 ; 3 nghiệm ⇔   S> 0  S> 0  P=0 P 0   S/ 2 = 0 ∆ ≥0 S  S VN ⇔ ∆ < 0 ∨ P > 0 ⇔∆ < 0 ∨> P > 0  S< 0 >S
  7. Ph ạ m Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09) 14. Bất phương trình, bất đẳng thức : * Ngoài các bất phương trình bậc 1, bậc 2, dạng cơ bản của , . , log, mũ có thể giải trực tiếp, các dạng khác cần lập bảng xét dấu. Với bất phương trình dạng tích AB < 0, xét dấu A, B rồi AB. * Nhân bất phương trình với số dương : không đổi chiều số âm : có đổi chiều Chia bất phương trình : tương tự. * Chỉ được nhân 2 bất pt vế theo vế , nếu 2 vế không âm. * Bất đẳng thức Côsi : a+ b a, b ≥ 0 : ≥ ab 2 Dấu = xảy ra chỉ khi a = b. a+ b+ c 3 a, b, c ≥ 0 : ≥ abc 3 Dấu = xảy ra chỉ khi a = b = c. * Bất đẳng thức Bunhiacốpxki : a, b, c, d (ac + bd)2 ≤ (a2 + b2).(c2 + d2); Dấu = xảy ra chỉ khi a/b = c/d 15. Bài toán tìm m để phương trình có k nghiệm : Nếu tách được m, dùng sự tương giao của (C) : y = f(x) và (d) : y = m. Số nghiệm bằng số điểm chung. Nếu có điều kiện của x ∈ I, lập BBT của f với x ∈ I. 16. Bài toán tìm m để bất pt vô nghiệm, luôn luôn nghiệm, có nghiệm x ∈ I : Nếu tách được m, dùng đồ thị, lập BBT với x ∈ I. f(x) ≤ m : (C) dưới (d) (hay cắt) f(x) ≥ m : (C) trên (d) (hay cắt) III- LƯỢNG GIÁC + 0 1. Đường tròn lượng giác : Trên đường tròn lượng giác, góc α đồng nhất với cung AM, đồng nhất với điểm M. −2π 2π Ngược lại, 1 điểm trên đường tròn lượng giác ứng với vô số các số thực x + k2π. Trên đường tròn lượng giác, nắm vững các góc đặc biệt : bội của π 1 ( cung −2π 0 2π 6 3 M π 1 phần tư) và ( cung phần tư) 4 2 α A 0 2kπ x=α+ : α là 1 góc đại diện, n : số điểm cách đều trên đường tròn lượng x+k2 n tg giác. sin 2. Hàm số lượng giác : M cotg M cos 3. Cung liên kết : chiếu xuyên * Đổi dấu, không đổi hàm : đối, bù, hichiπ (ưu tiên không đổi dấu : sin bù, cos đối, tg cotg hiệu π). tâm ệ u ếu * Đổi hàm, không đổi dấu : phụ π * Đổi dấu, đổi hàm : hiệu (sin lớn = cos nhỏ : không đổi dấu). 2 4. Công thức : a. Cơ bản : đổi hàm, không đổi góc. b. Cộng : đổi góc a ± b, ra a, b. c. Nhân đôi : đổi góc 2a ra a. d. Nhân ba : đổi góc 3a ra a. e. Hạ bậc : đổi bậc 2 ra bậc 1. Công thức đổi bậc 3 ra bậc 1 suy từ công thức nhân ba. a f. Đưa về t = tg : đưa lượng giác về đại số. 2 g. Tổng thành tích : đổi tổng thành tích và đổi góc a, b thành (a ± b) / 2. h. Tích thành tổng : đổi tích thành tổng và đổi góc a, b thành a ± b. 7 http://hoiphuonghoangvn.7forum.info
  8. Ph ạ m Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09) 5. Phương trình cơ bản : sinα = 0⇔ cosα = – 1 hay cosα = 1⇔ α = kπ, π π sinα = 1 ⇔ α = + k2π; sinα = –1 ⇔ α = – + k2π, 2 2 π cosα = 0 ⇔ sinα = –1 hay sinα = 1 ⇔ α = + kπ, 2 cosα = 1 ⇔ α = k2π, cosα = – 1 ⇔ α = π + k2π sinu = sinv ⇔ u = v + k2π ∨u = π – v + k2π cosu = cosv ⇔ u = ± v + k2π tgu = tgv ⇔ u = v + kπ cotgu = cotgv ⇔ u = v + kπ 6. Phương trình bậc 1 theo sin và cos : asinu + bcosu = c * Điều kiện có nghiệm : a2 + b2 ≥ c2 * Chia 2 vế cho a2 + b2 , dùng công thức cộng đưa về phương trình cơ bản. u (cách khác : đưa về phương trình bậc 2 theo t = tg ) 2 7. Phương trình đối xứng theo sin, cos : Đưa các nhóm đối xứng về sin + cos và sin.cos. � π� t2 − 1 Đặt : t = sinu + cosu = 2sin� + � n 2 t u ,−i 2,sinu.cosu = � 4� 2 8. Phương trình chứa sinu + cosu và sinu.cosu : � π� t 2 −1 Đặt : t = sin u + cos u = 2 sin � +u �0 t u c , 2 ,sin u.cos u = � 4� 2 9. Phương trình chứa sinu – cosu và sinu.cosu : � π� 1− t2 Đặt : t = sinu − cosu = 2sin� − � = 2 t u , −c 2,sinu.cosu = � 4� 2 10. Phương trình chứa sinu – cosu và sinu.cosu : � π� 1− t2 Đặt : t = sin u − cos u = 2 sin � −u �0 t u c , 2 ,sin u.cos u = � 4� 2 11. Phương trình toàn phương (bậc 2 và bậc 0 theo sinu và cosu) : Xét cosu = 0; xét cosu ≠ 0, chia 2 vế cho cos2u, dùng công thức 1/cos u = 1 + tg2u, đưa về phương trình bậc 2 theo t = tgu. 2 12. Phương trình toàn phương mở rộng : * Bậc 3 và bậc 1 theo sinu và cosu : chia 2 vế cho cos3u. * Bậc 1 và bậc – 1 : chia 2 vế cho cosu. 13. Giải phương trình bằng cách đổi biến : Nếu không đưa được phương trình về dạng tích, thử đặt : * t = cosx : nếu phương trình không đổi khi thay x bởi – x. * t = sinx : nếu phương trình không đổi khi thay x bởi π – x. * t = tgx : nếu phương trình không đổi khi thay x bởi π + x. * t = cos2x : nếu cả 3 cách trên đều đúng x * t = tg : nếu cả 3 cách trên đều không đúng. 2 14. Phương trình đặc biệt :  u= 0 * u2 + v2 = 0 ⇔  v= 0  u= v   u= C *  u≤ C ⇔   v≥ C v= C  8 http://hoiphuonghoangvn.7forum.info
  9. Ph ạ m Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09)  u≤ A   u= A *  v≤ B ⇔  u+ v = A + B  v = B   sinu = 1  sinu = −1 * sinu.cosv = 1 ⇔  ∨   cos = 1  cos = −1 v v  sinu = 1  sinu = −1 * sinu.cosv = – 1 ⇔  ∨   cos = −1  cos = 1 v v Tương tự cho : sinu.sinv = ± 1, cosu.cosv = ± 1. 15. Hệ phương trình : Với F(x) là sin, cos, tg, cotg  F(x) ± F(y) = m (1) a. Dạng 1 :  . Dùng công thức đổi + thành nhân,  x± y = n (2)  x+ y = a thế (2) vào (1) đưa về hệ phương trình :   x− y = b  F(x).F(y) = m b. Dạng 2 :  . Tương tự dạng 1, dùng công thức đổi nhân thành +.  x± y = n  F(x) / F(y) = m c. Dạng 3 :  .  x± y = n a c a+ c a− c Dùng tỉ lệ thức : = ⇔ = biến đổi phương trình (1) rồi dùng b d b+ d b− d công thức đổi + thành x. d. Dạng khác : tìm cách phối hợp 2 phương trình, đưa về các pt cơ bản. 16. Toán ∆ : * Luôn có sẵn 1 pt theo A, B, C : A + B + C = π * A + B bù với C, (A + B)/2 phụ với C/2. * A, B, C ∈ (0, π) ; A/2, B/2, C/2 ∈ (0, π/2) A + B ∈ (0, π) ; (A + B)/2 ∈ (0, π/2) ; A – B ∈ (– π, π) , (A – B)/2 ∈ (– π/2, π/2) Dùng các tính chất này để chọn k. * Đổi cạnh ra góc (đôi khi đổi góc ra cạnh) : dùng định lý hàm sin : a = 2RsinA hay định lý hàm cos : a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA 1 1 abc * S = ah = absinC = a = pr 2 2 4R = p(p − a)(p − b)(p − c) 1 * Trung tuyến : ma = 2b2 + 2c2 − a2 2 A 2bccos * Phân giác : ℓa = 2 b+ c IV- TÍCH PHÂN 1. Định nghĩa, công thức, tính chất : * F là 1 nguyên hàm của f ⇔ f là đạo hàm của F. Họ tất cả các nguyên hàm của f : ∫ f (x)dx= F(x) + C (C ∈ R) uα+1 � = u + C ; �du = α + 1+ C , α * du u α≠ –1 9 http://hoiphuonghoangvn.7forum.info
  10. Ph ạ m Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09) du � = ln u + C; �du = e + C; ∫ a du= a / lna+ C u u eu u u =sin udu = − cos u + C ; ∫ cosudu= sinu + C ∫ du/ sin u = − cotgu+ C ; ∫ du/ cos u = tgu+ C 2 2 b =f(x)dx = F(x) = F(b) − F(a) b * a a a b a c b c * ∫a = 0 ; ∫a = −∫b , ∫a= ∫a + ∫b b b b b b ∫ (f + g) = ∫ f + ∫ g ; ∫ kf = k∫ f a a a a a 2. Tích phân từng phần : � = uv − � udv vdu Thường dùng khi tính tích phân các hàm hỗn hợp. ∫ x e , ∫ x sinx ; ∫ x cosx : u = x n x n n n a. ∫ x lnx : u = lnx n b. ∫ e sinx , ∫ e cosx : u = e haydv= e dx x x x x c. từng phần 2 lần, giải phương trình ẩn hàm ʃ 3. Các dạng thường gặp : ∫ sin x.cos x : m 2n+1 a. u = sinx. ∫ cos x.sin x m 2n+1 : u = cosx. ∫ sin x.cos x 2m 2n : hạ bậc về bậc 1 ∫ tg x / cos x 2m 2n b. : u = tgx (n ≥ 0) ∫ cotg x / sin x : 2m 2n u = cotgx (n ≥ 0) c. ∫ chứa a – u 2 2 : u = asint ∫ chứa u – a 2 2 : u = a/cost ∫ chứa a + u 2 2 : u = atgt d. ∫ R(sinx,cosx) , R : hàm hữu tỷ R(–sinx, cosx) = – R(sinx, cosx) : u = cosx R(sinx, –cosx) = – R(sinx, cosx) : u = sinx R(–sinx,–cosx) = R(sinx, cosx): u = tgx ∨u = cotgx x R đơn giản : u = tg 2 π/2 π ∫ :thöû u = ñaët 2 −x 0 π ∫ :thöû u = π − x ñaët 0 10 http://hoiphuonghoangvn.7forum.info
  11. Ph ạ m Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09) ∫ x (a+ bx ) , (m+ 1) / n∈ Z : u = a+ bx m n p/ q q n e. n p/ q m+ 1 p ∫ x (a+ bx ) , n + q ∈ Z : u x = a+ bx m q n n f. 1 ∫ dx/[(hx+ k) ax + bx+ c : hx+ k = u 2 g. h. ∫ R(x, (ax+ b) /(cx+ d) , R là hàm hữu tỷ : u = (ax+ b) /(cx+ d) i. ∫ chứa (a + bx ) : thử đặt u = a + bx . k m/n n k 4. Tích phân hàm số hữu tỷ : ∫ P(x) / Q(x) : bậc P < bậc Q * Đưa Q về dạng tích của x + a, (x + a)n, ax2 + bx + c (∆ < 0) * Đưa P/Q về dạng tổng các phân thức đơn giản, dựa vào các thừa số của Q : A A A2 An x + a→ , (x + a)n → 1 + 2 + ...+ x+ a x + a (x + a) (x + a)n A (2ax+ b) B  dx  ax2 + bx+ c(∆ < 0) → 2 + 2 ∫ 2 (∆ < 0) = ∫ du/(u2 + a2) :ñaët= atgt u  ax + bx+ c ax + bx+ c  ax + bx+ c  5. Tính diện tích hình phẳng : b a. D giới hạn bởi x = a, x = b, (Ox), (C) : y = f(x) : SD = ∫ f (x) dx a f(x) : phân thức hữu tỉ : lập BXD f(x) trên [a,b] để mở  ; f(x) : hàm lượng giác : xét dấu f(x) trên cung [a, b] . của đường tròn lượng giác. b. D giới hạn bởi x = a, x = b , (C) : y = f(x) b (C') : y = g(x) : SD = ∫ f (x) − g(x) dx a Xét dấu f(x) – g(x) như trường hợp a/. c. D giới hạn bởi (C1) : f1(x, y) = 0 , (C2) : f2 (x, y) = 0 f(x) b α/ SD = =f(x) − g(x) dx a g(x) b x=a x=b y=b β/ SD = =f(y) − g(y) dy g(y) f(y) a y=a Với trường hợp α) : nếu biên trên hay biên dưới bị gãy, ta cắt D bằng các đường thẳng đứng ngay chỗ gãy. Với trường hợp β) : nếu biên phải hay biên trái bị gãy, ta cắt D bằng các đường ngang ngay chỗ gãy. Chọn tính ∫ theo dx hay dy để ∫ dễ tính toán hay D ít bị chia cắt. Cần giải các hệ phương trình tọa độ giao điểm. Cần biết vẽ đồ thị các hình thường gặp : các hàm cơ bản, các đường tròn, (E) , (H), (P), hàm lượng giác, hàm mũ, hàm . . Cần biết rút y theo x hay x theo y từ công thức f(x,y) = 0 và biết chọn + hay − ( y = ...+ : treân = ...− ,y : döôùi = ...+ ,x : phaûi = ...− ,x ) : traùi 6. Tính thể tích vật thể tròn xoay : a. D như 5.a/ xoay quanh (Ox) : f(x) 11 a http://hoiphuonghoangvn.7forum.info b
  12. Ph ạ m Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09) b V = π ∫ [ f (x)] 2dx a b b f(y) b. V = π ∫ [ f (y)] dy 2 a a f(x) b g(x) c. V = π ∫ [f 2(x) − g2(x)]dx a a b b b d. V = π ∫ [f 2(y) − g2(y)]dy g(y) f(y) a a f(x) f(x) -g(x) c b e. V = π ∫ f 2(x)dx+ π ∫ g2(x)dx a b a c a c b g(x c b 0) f. V = π ∫ g (y)dy+ π ∫ f 2(y)dy 2 b f(y) a c c -g(y) a Chú ý : xoay quanh (Ox) : ∫ ...dx ; xoay quanh (Oy) : ∫ ... dy. V- KHẢO SÁT HÀM SỐ 0 ∞ 1. Tìm lim dạng , dạng 1 : 0 P(x) (x − a)P1(x) P a. Phân thức hữu tỷ : lim (daïng/ 0) = lim 0 = lim 1 x→a Q(x) x→a (x − a)Q1(x) x→a Q1 f (x) sinu b. Hàm lg : lim (daïng/ 0),duøng thöùc 0 coâng lim =1 x→a g(x) u→0 u f (x) c. Hàm chứa căn : lim (daïng/ 0) , dùng lượng liên hiệp : 0 x→a g(x) a2 – b2 = (a – b)(a + b) để phá , a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) để phá 3 d. ∞ Hàm chứa mũ hay log (dạng 1 ) : dùng công thức lim(1+ u)1/ u = e u→0 2. Đạo hàm : f (x) − f (xo ) a. Tìm đạo hàm bằng định nghĩa : f '(x0) = lim x→xo x − xo Tại điểm xo mà f đổi công thức, phải tìm đạo hàm từng phía : / / f+ (xo ) = lim ,f− (xo ) = lim . / / Nếu f+ (xo ) = f− (xo ) thì f có đạo hàm tại xo. + x→xo − x→xo 12 http://hoiphuonghoangvn.7forum.info α f(x) M
  13. Ph ạ m Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09) b. Ý nghĩa hình học : k = tgα = f/(xM) c. f/ + : f ↑ , f/ – : f ↓ f// + : f lõm , f// – : f lồi  f / (xM ) = 0 d. f đạt CĐ tại M ⇔  //  f (xM ) < 0  f / (xM ) = 0 f đạt CT tại M ⇔  //  f (xM ) > 0 M là điểm uốn của f ⇔ f//(xM) = 0 và f// đổi dấu khi qua xM. 1 e. Tính đạo hàm bằng công thức : C/ = 0, (x )/ = αx α α –1 , (lnx)/ = 1/x , ( loga x) x= , (ex)/ = ex xlna (ax)/ = ax.lna, (sinx)/ = cosx , (cosx)/ = – sinx, (tgx)/ = 1/cos2x, (cotgx)/ = –1/sin2x, (ku)/ = ku/ , (u ± v)/ = u/ ± v/, (uv)/ = u/v + uv/ , (u/v)/ = (u/v – uv/)/v2 * Hàm hợp : (gof)/ = g/[f(x)] . f/(x) * Đạo hàm lôgarit : lấy log (ln : cơ số e) 2 vế , rồi đạo hàm 2 vế; áp dụng với hàm [f(x)] g(x) hay f(x) dạng tích, thương, chứa n ... / f. Vi phân : du = u dx 3. Tiệm cận : limy = ∞ ⇒ x = a : tcđ x→a x a y y lim y = b ⇒ y = b : tcn x→∞ x − + y b b x − + lim[y − (ax+ b)] = 0 ⇒ y = ax + b : tcx x→∞ y y * Vẽ đồ thị có tiệm cận : - t c đ : khi y càng tiến về ± ∞ thì đường cong càng gần đường t c . - t c x :khi x và y càng tiến về ± ∞ thì đường cong càng gần đường t c. - t c n :khi x càng tiến về ± ∞ thì đường cong càng gần đường t c. P(x) * Xét y= Q(x) • Có tcđ x = a khi Q(a) = 0, P(a) ≠ 0 • Có tcn khi bậc P ≤ bậc Q : với x → ∞, tìm lim y bằng cách lấy số hạng bậc cao nhất của P chia số hạng bậc cao nhất của Q. P1(x) • Có tcx khi P hơn Q 1 bậc, khi đó chia đa thức ta có : f (x) = ax+ b + , tcx là y = ax + b. Nếu Q = Q(x) x – α, có thể chia Honer. * Biện luận tiệm cận hàm bậc 2 / bậc 1 : c y = ax + b + (d≠ 0) dx + e • a ≠ 0, c ≠ 0 : có tcđ, tcx • a = 0, c ≠ 0 : có tcn, tcđ. • c = 0 : (H) suy biến thành đt, không có tc. 4. Đồ thị các hàm thường gặp : 13 a
  14. Ph ạ m Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09) a/ y = ax + b : b/ y = ax2 + bx + c a>0 c/ y = ax3 + bx2 + c + d a>0 a 0 : 0 a 0 e/ y = (ax + b) / (cx + d) (c ≠ 0) ad - bc > 0 ad - bc < 0 ax2 + bx+ c f/ y = (ad ≠ 0) dx+ e ad > 0 =0 >0 ad < 0 b g(x) = – f(x) : đx qua (Ox) a b y=b xa y
  15. Ph ạ m Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09) c/ Điểm có n đường cong của họ (Cm) đi qua : Có n đường (Cm) qua M(xo, yo) ⇔ yo = f(xo, m) có n nghiệm m. Cần nắm vững điều kiện có n nghiệm của các loại phương trình : bậc 2, bậc 2 có điều kiện x ≠ α, bậc 3, trùng phương. 7. TIẾP XÚC, PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN : yC = yC/ a. (C) : y = f(x), tx (C/) : y = g(x) khi hệ phương trình sau có nghiệm :  / / . Nghiệm x của hệ là hoành y C = y C/ độ tiếp điểm. b. Tìm tiếp tuyến với (C) : y = f(x) * Tại M(xo, yo) : y = f'(xo)(x – xo) + yo. * Qua M (xo, yo): viết phương trình đường thẳng qua M : (d) : y = k(x – xo) + yo. Dùng điều kiện tx tìm k. Số lượng k = số lượng tiếp tuyến (nếu f bậc 3 hay bậc 2 / bậc 1 thì số nghiệm x trong hệ phương trình đk tx = số lượng tiếp tuyến). * // (∆) : y = ax + b : (d) // (∆) ⇒ (d) : y = ax + m. Tìm m nhờ đk tx. 1 * ⊥ (∆) : y = ax + b (a ≠ 0) : (d) ⊥ (∆) ⇒ (d) : y = − x + m. Tìm m nhờ đk tx. a c. Bài toán số lượng tiếp tuyến : tìm M ∈ (C/) : g(x, y) = 0 sao cho từ M kẻ được đến (C) đúng n tiếp tuyến (n = yC = yd 0, 1, 2, ...), M(xo,yo) ∈ (C/) ⇔ g(xo,yo) = 0; (d) qua M : y = k(x – xo) + yo; (d) tx (C) :  / (1). Thế k vào y C = k (1) được phương trình ẩn x, tham số xo hay yo. Đặt đk để phương trình này có n nghiệm x (số nghiệm x = số tiếp tuyến), tìm được xo hay yo. 8. TƯƠNG GIAO : * Phương trình hđ điểm chung của (C) : y = f(x) và (C/) : y = g(x) là : f(x) = g(x). Số nghiệm pt = số điểm chung. * Tìm m để (Cm) : y = f(x, m) và (C/m) : y = g(x, m) có n giao điểm : Viết phương trình hoành độ điểm chung; đặt đk để pt có n nghiệm. Nếu pt hoành độ điểm chung tách được m sang 1 vế : F(x) = m : đặt điều kiện để (C) : y = F(x) và (d) : y = m có n điểm chung. * Biện luận sự tương giao của (Cm) và (C/m) : • Nếu pt hđ điểm chung dạng : F(x) = m : lập BBT của F; số điểm chung của (Cm) và (C/m) = số điểm chung của (C) và (d). • PThđ điểm chung, không tách được m, dạng f(x) = ax2 + bx + c = 0 (x ≠ α) hay dạng bậc 3 : x = α ∨f(x) = 0 : lập ∆, xét dấu ∆, giải pt f(x) = 0 để biết m nào thì α là nghiệm của f, với m đó, số nghiệm bị bớt đi 1. 9. CỰC TRỊ : * f có đúng n cực trị ⇔ f/ đổi dấu n lần.  f / (xo ) = 0 * f đạt cực đại tại xo ⇔  //  f (xo ) < 0  f / (xo ) = 0 f đạt cực tiểu tại xo ⇔  //  f (xo ) > 0 * f bậc 3 (hay bậc 2 / bậc 1) có cực trị ⇔ f có CĐ và CT ⇔ ∆f/ >0 * f bậc 3 (hay bậc 2 / bậc 1) có cực trị : • Bên phải (d) : x = α ⇔ y/ = 0 có 2 nghiệm α < x1 < x2. • Bên trái (d) : x = α ⇔ y/ = 0 có 2 nghiệm x1 < x2 < α . ∆∆ f / > 0 ∆ • 1 bên (Ox) ⇔ ∆ > yCD .yCT > 0 ∆∆ f / > 0 ∆ • 2 bên (Ox) ⇔ ∆ < yCD .yCT < 0 * Với hàm bậc 2 / bậc 1, các điều kiện yCĐ.yCT < 0 (>0) có thể thay bởi y = 0 VN (có 2 nghiệm.). * Tính yCĐ.yCT : • Hàm bậc 3 : y = y/ (Ax + B) + (Cx + D) yCĐ.yCT = (CxCĐ + D).(CxCT + D), dùng Viète với pt y/ = 0. 15 http://hoiphuonghoangvn.7forum.info
  16. Ph ạ m Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09) u • Hàm bậc 2/ bậc 1 : y= v u (xCÑ ).u/ (xCT ) / yCĐ.yCT = , dùng Viète với pt y/ = 0. v/ (xCÑ ).v/ (xCT ) * Đường thẳng qua CĐ, CT : • Hàm bậc 3 : y = Cx + D • Hàm bậc 2 / bậc 1 : y = u/ / v/ * y = ax4 + bx2 + c có 1 cực trị ⇔ ab ≥ 0, 3 cực trị ⇔ ab < 0 10. ĐƠN ĐIỆU : a. Biện luận sự biến thiên của hàm bậc 3 : i) a > 0 và y’ = 0 vô nghiệm ⇒ hàm số tăng trên R (luôn luôn tăng) ii) a < 0 và y’ = 0 vô nghiệm ⇒ hàm số giảm (nghịch biến) trên R (luôn luôn giảm) iii) a > 0 và y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 với x1 < x2 ⇒ hàm số đạt cực đại tại x1 và đạt cực tiểu tại x2. Ngoài ra ta còn có : + x1 + x2 = 2x0 với x0 là hoành độ điểm uốn. + hàm số tăng trên (−∞, x1) + hàm số tăng trên (x2, +∞) + hàm số giảm trên (x1, x2) iv) a < 0 và y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 với x1 < x2 ⇒ hàm đạt cực tiểu tại x1 và đạt cực đại tại x2 thỏa điều kiện x1 + x2 = 2x0 (x0 là hoành độ điểm uốn). Ta cũng có : + hàm số giảm trên (−∞, x1) + hàm số giảm trên (x2, +∞) + hàm số tăng trên (x1, x2) baäc 2 b. Biện luận sự biến thiên của y = baäc 1 i) Nếu a.m > 0 và y/ = 0 vô nghiệm thì hàm tăng ( đồng biến) trên từng khỏang xác định. ii) Nếu a.m < 0 và y/ = 0 vô nghiệm thì hàm giảm ( nghịch biến) trên từng khỏang xác định. iii) Nếu a.m > 0 và y/ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thì hàm đạt cực đại tại x1 và đạt cực tiểu tại x2 thỏa x1 < x2 và x1 + x2 p =− . 2 m iv) Nếu a.m < 0 và y/ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thì hàm đạt cực tiểu tại x1 và đạt cực đại tại x2 thỏa x1 < x2 x1 + x2 p và =− . 2 m c. Tìm m để hàm số bậc 3, bậc 2/bậc 1 đồng biến (nghịch biến) trên miền x ∈ I : đặt đk để I nằm trong miền đồng biến (nghịch biến) của các BBT trên; so sánh nghiệm pt bậc 2 y/ = 0 với α. 11. BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM PT BẰNG ĐỒ THỊ : a. Cho pt : F(x, m) = 0; tách m sang 1 vế : f(x) = m; lập BBT của f (nếu f đã khảo sát thì dùng đồ thị của f), số nghiệm = số điểm chung. b. Với pt mũ, log, , . , lượng giác : đổi biến; cần biết mỗi biến mới t được mấy biến cũ x; cần biết đk của t để cắt bớt đồ thị f. 12. QUỸ TÍCH ĐIỂM DI ĐỘNG M(xo, yo) : Dựa vào tính chất điểm M, tìm 2 đẳng thức chứa xo, yo, m; khử m, được F(xo, yo) = 0; suy ra M ∈ (C) : F(x, y) = 0; giới hạn quỹ tích : M tồn tại ⇔ m ? xo ? (hay yo ?) • Nếu xo = a thì M ∈ (d) : x = a. • Nếu yo = b thì M ∈ (d) : y = b. 13. TÂM, TRỤC, CẶP ĐIỂM ĐỐI XỨNG : a. CM hàm bậc 3 có tâm đx (điểm uốn), hàm bậc 2/bậc 1 có tâm đx (gđ 2 tc) tại I : đổi tọa độ : x = X + xI, y = Y + yI; thế vào hàm số : Y = F(X), cm : F(–x) = – F(x), suy ra F là hàm lẻ, đồ thị có tđx là gốc tọa độ I. b. CM hàm bậc 4 có trục đx // (Oy) : giải pt y / = 0; nếu x = a là nghiệm duy nhất hay là nghiệm chính giữa của 3 nghiệm : đổi tọa độ x = X + a, y = Y; thế vào hàm số : Y = F(X); cm F(–X) = F(X); suy ra F là hàm chẵn, đồ thị có trục đối xứng là trục tung X = 0, tức x = a. c. Tìm trên (C) : y = f(x) cặp điểm M, N đối xứng qua I : giải hệ 4 pt 4 ẩn : 16 http://hoiphuonghoangvn.7forum.info
  17. Phạ m Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09) + xM + xN = 2xI + y + y = 2y + M N I + = yM = f(xM ) = yN = f(xN ) = d. Tìm trên (C) : y = f(x) cặp điểm đ/x qua đt (d) : y = ax + b : dt ⊥ (d) là 1 (d') : y = – x + m; lập pt hđ điểm chung của (C) và (d'); giả sử pt có 2 nghiệm xA, xB, tính tọa độ trung điểm I của a AB theo m; A, B đối xứng qua (d) ⇔ I ∈ (d) ⇔ m?; thay m vào pthđ điểm chung, giải tìm xA, xB, suy ra yA, yB. c 14. Tìm điểm M ∈ (C) : y = ax + b + có tọa độ nguyên (a, b, c, d, e ∈ Z) : giải hệ dx+ e  c  c  yM = axM + b +  yM = axM + b +  dxM + e  dxM + e ⇔ c  xM ,yM ∈ Z   xM , ∈Z   dxM + e  c  yM = axM + b + ⇔  dxM + e  xM ∈ Z,dxM + e = öôùc cuûa  soá c 15. Tìm min, max của hàm số y = f(x) Lập BBT, suy ra miền giá trị và min, max. 16. Giải bất phương trình bằng đồ thị :  x< a f f < g ⇔ a < x < b, f > g ⇔  b< x   x≤ a g f ≤ g ⇔a ≤ x ≤ b , f ≥ g⇔   x≥ b a b VI- HÌNH HỌC GIẢI TÍCH 1. Tọa độ , vectơ : * (a,b) ± (a/, b/) = (a ± a/, b ± b/) k(a, b) = (ka, kb)  a = a/ (a, b) = (a , b ) ⇔  / / /  b= b (a, b).(a/,b/) = aa/ + bb/ (a, b) = a2 + b2 rr r r/ v.v / cos( v ,v ) = r r/ v .v AB = (xB − xA ,yB − yA ),AB = AB MA = kMB M chia AB theo tỉ số k ⇔ x − kxB y − kyB ⇔ xM = A , yM = A (k ≠ 1) 1− k 1− k x + xB y + yB M : trung điểm AB ⇔ xM = A , yM = A 2 2 17 http://hoiphuonghoangvn.7forum.info
  18. Ph ạ m Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09)  xA + xB + xC xM = 3 M : trọng tâm ∆ABC ⇔  yA + yB + yC yM =  3 (tương tự cho vectơ 3 chiều). * Vectơ 3 chiều có thêm tích có hướng và tích hỗn hợp : / v = (a, b,c),v = (a', b',c') [ rr ] b c c a a b  v,v/ =  / / , / / , / /  b c c a a b    rr r r rr [ v ,v / ] = v . v / .sin( v ,v / ) rr rr [v,v/ ] ⊥ v,v/ r r rr r r/ r r/ rr r * v ⊥ v/ ⇔ v.v/ = 0 ; v // v v [ v ,v ] = 0 ; v,v/ ,v// đồng phẳng rr r ⇔ [v, v/ ].v// = 0 S ABC = ∆ 1 2 [ AB,AC ] VS.ABC = 1 6 [ AB,AC .AS ] / V ABCD.A 'B'C'D' = [AB,AD].AA uuu uuu r r A, B, C thẳng hàng ⇔ AB // AC   AH.BC = 0 * ∆ trong mp : H là trực tâm ⇔   BH.AC = 0   AH.BC = 0  H là chân đường cao ha ⇔   BH // BC  ∧ AB M là chân phân giác trong A ⇔ MB = − AC MC ∧ AB M là chân phân giác ngòai ⇔ MB = + MC A AC I là tâm đường tròn ngoại tiếp ⇔ IA = IB = IC. ∧ ∧ I là tâm đường tròn nội tiếp ⇔ I là chân phân giác trong của ∆ABM với M là chân phân giác trong B A của ∆ABC. 2. Đường thẳng trong mp : * Xác định bởi 1 điểm M(xo,yo) và 1vtcp v = (a,b) hay 1 pháp vectơ (A,B) : x = xo + at x − xo y − yo (d) :  , (d) : = y = yo + bt a b (d) : A(x – xo) + B(y – yo) = 0 x y * (d) qua A(a, 0); B(0,b) : + =1 a b x − xA y − yA * (AB) : = xB − xA yB − yA * (d) : Ax + By + C = 0 có v = (−B,A ) ; n = (A ,B) 18 http://hoiphuonghoangvn.7forum.info
  19. Phạ m Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09) * (d) // (∆) : Ax + By + C = 0 ⇒ (d) : Ax + By + CC= 0 * (d) ⊥ (∆) ⇒ (d) : – Bx + Ay + C/ = 0 * (d), (d/) tạo góc nhọn ϕ thì : uu uur r u nd .nd / uu uur r u cosϕ = uu uur r u nd . nd / ( n cos( n ,n )) d d/ AxM + ByM + C * d(M,(d)) = A 2 + B2 * Phân giác của (d) : Ax + By + C = 0 và (d/) : A/x + B/y + C/ = 0 là : Ax + By + C A / x + B/ y + C/ =± A 2 + B2 A / 2 + B/ 2 nd.n > 0 : phân giác góc tù + , nhọn – d/ nd.n < 0 : phân giác góc tù – , nhọn + d/ * Tương giao : Xét hpt tọa độ giao điểm. 3. Mặt phẳng trong không gian : * Xác định bởi 1 điểm M(xo, yo, zo) và 1 pháp vectơ : n = (A, B, C) hay 2 vtcp v , v' . (P) : A(x – xo) + B(y – yo) + C(z – zo) = 0 n =[ v , v' ] (P) : Ax + By + Cz + D = 0 có n = (A, B, C). (P) qua A(a,0,0); B(0,b,0); C(0,0,c) ( (P) : x/a + y/b + z/c = 1 * Cho M(xo, yo, zo), (P) : Ax + By + Cz + D = 0 Axo + Byo + Czo + D d(M,(P)) = A 2 + B2 + C2 * (P) , (P/) tạo góc nhọn ϕ thì : cos ϕ = cos( (P) ,n(P') ) n * (P) ⊥ (P/) ⇔ n(P) ⊥ n(P') , (P) // (P/) ⇔ n(P) // n(P') 4. Đường thẳng trong không gian : * Xác định bởi 1 điểm M (xo, yo, zo) và 1 vtcp v = (a, b, c) hay 2 pháp vectơ : n , n' :  x = xo + at  x − xo y − yo z − zo (d) :  y = yo + bt , (d) : = =  z = z + ct a b c  o v = [ n , n' ] x − xA y − yA z − zA * (AB) : = = xB − x A y B − y A z B − z A + Ax + By + Cz + D = 0 * (d) = (P) ∩ (P/) : + + A' x + B' y + C' z + D' = 0 * (d) qua A, vtcp v thì : [AM , v ] d(M,(d)) = v * ϕ là góc nhọn giữa (d), (d/) thì : cosϕ = cos(vd , v / ) d 19 http://hoiphuonghoangvn.7forum.info
  20. Ph ạ m Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09) * ϕ là góc nhọn giữa (d), (P) thì : sinϕ = cos(vd , np) * (d) qua M, vtcp v , (P) có pvt n : (d) cắt (P) ⇔ v.n ≠ 0 (d) // (P) ⇔ v. n = 0 và M ∉ (P) (d) ⊂ (P) ⇔ v.n = 0 và M ∈ (P) * (d) qua A, vtcp v ; (d /) qua B, vtcp v' : (d) cắt (d/) ⇔ [ v , v' ] ≠ 0 , [ v , v' ] AB =0 (d) // (d/) ⇔ [ v , v' ] = 0 , A ∉ (d/) (d) chéo (d/) ⇔ [ v , v' ] ≠ 0 , [ v , v' ] AB ≠ 0 (d) ≡ (d/) ⇔ [ v , v' ] = 0 , A ∈ (d/) [ v , v' ] AB * (d) chéo (d/) : d(d, d/) = [ v , v' ] * (d) chéo (d/) , tìm đường ⊥ chung (∆) : tìm n = [ v , v' ] ; tìm (P) chứa (d), // n ; tìm (P/) chứa (d/), // n ; (∆) = (P) ∩ (P/). * (d) ⊥ (P), cắt (d/) ⇒ (d) nằm trong mp ⊥ (P), chứa (d/). * (d) qua A, // (P) ⇒ (d) nằm trong mp chứa A, // (P). * (d) qua A, cắt (d/) ⇒ (d) nằm trong mp chứa A, chứa (d/). * (d) cắt (d/), // (d//) ⇒ (d) nằm trong mp chứa (d/), // (d//). * (d) qua A, ⊥ (d/) ⇒ (d) nằm trong mp chứa A, ⊥ (d/). * Tìm hc H của M xuống (d) : viết pt mp (P) qua M, ⊥ (d), H = (d) ∩ (P). * Tìm hc H của M xuống (P) : viết pt đt (d) qua M, ⊥ (P) : H = (d) ∩ (P). * Tìm hc vuông góc của (d) xuống (P) : viết pt mp (Q) chứa (d), ⊥ (P); (d/) = (P) ∩ (Q) * Tìm hc song song của (d) theo phương (∆) xuống (P) : viết pt mp (Q) chứa (d) // (∆); (d/) = (P) ∩ (Q). 5. Đường tròn : * Đường tròn (C) xác định bởi tâm I(a,b) và bk R : (C) : (x – a)2 + (y – b)2 = R2 * (C) : x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0 có tâm I(–A,–B), bk R = A 2 + B2 − C * (d) tx (C) ⇔ d(I, (d)) = R, cắt ⇔ < R, không cắt ⇔ > R. * Tiếp tuyến với (C) tại M(xo,yo) : phân đôi t/độ trong (C) : (xo–a)(x–a) + (yo–b)(y–b) = R hay xox + yoy + A(xo + x) + B(yo + y) + C = 0 * Cho (C) : F(x,y) = x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0 thì PM/(C) = F(xM, yM) = MA .MB = MT2 = MI2 – R2 với MAB : cát tuyến, MT : tiếp tuyến ; M ∈ (C) ⇔ PM/(C) = 0 , M trong (C) ⇔ PM/(C) < 0, ngoài ⇔ > 0. * Trục đẳng phương của (C) và (C/) :2(A – A/)x + 2(B – B/)y + (C – C/) = 0 * (C), (C/) ngoài nhau ⇔ II/ > R + R/ : (có 4 tiếp tuyến chung); tx ngoài ⇔ = R + R/ (3 tiếp tuyến chung); cắt ⇔ R − R/ < II/ < R + R/ (2 tt chung); tx trong ⇔ = R − R/ (1 tt chung là trục đẳng phương) chứa nhau ⇔ < R − R/ (không có tt chung). 6. Mặt cầu : * Mc (S) xđ bởi tâm I (a, b, c) và bk R : (S) : (x – a)2 + (y – b2) + (z – c)2 = R2. * (S) : x2 + y2 + z2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0 có tâm I(–A,–B,–C), bk R = A 2 + B2 + C2 − D * (P) tx (S) ⇔ d(I,(P)) = R, cắt ⇔ < R, không cắt ⇔ > R. * Pt tiếp diện với (S) tại M : phân đôi tđộ (S). * Cho (S) : F(x, y, z) = 0. PM/(S) = F (xM, yM, zM); PM/(S) = 0 ⇔ M ∈ (S), < 0 20 http://hoiphuonghoangvn.7forum.info
Đồng bộ tài khoản