TỔNG HỢP KIẾN THỨC TOÁN LỚP 11

Chia sẻ: vananhnguyen1988

Phương trình lượng giác là một phần rất quan trọng của chương trình THPT,nó liên quan đến rất nhiều vấn đề sau này mà trước mắt là bạn thấy trong các đề thi tốt nghiệp và đại học lúc nào cũng có câu:” Giải phương trình lượng giác”

Bạn đang xem 10 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: TỔNG HỢP KIẾN THỨC TOÁN LỚP 11

TỔNG HỢP KIẾN THỨC LỚP 11


CHƢƠNG 1: PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC




Phương trình lư ợng giác là một phần rất quan trọng của chương trình THPT,nó liên quan đ ến
rất nhiều vấn đề sau này mà trư ớc mắt là bạn thấy trong các đề thi tốt nghiệp và đại học lúc
nào cũng có câu:” Giải phương trình lượng giác”

Vậy chúng ta bắt đầu nghiên cứu vấn đề này nhé ( rất hay đó)




Email: anhson.duong@gmail.com 1
TỔNG HỢP KIẾN THỨC LỚP 11




Email: anhson.duong@gmail.com 2
TỔNG HỢP KIẾN THỨC LỚP 11




Email: anhson.duong@gmail.com 3
TỔNG HỢP KIẾN THỨC LỚP 11


BÀI TẬP TƢƠNG TỰ




Email: anhson.duong@gmail.com 4
TỔNG HỢP KIẾN THỨC LỚP 11




Email: anhson.duong@gmail.com 5
TỔNG HỢP KIẾN THỨC LỚP 11




Email: anhson.duong@gmail.com 6
TỔNG HỢP KIẾN THỨC LỚP 11




Email: anhson.duong@gmail.com 7
TỔNG HỢP KIẾN THỨC LỚP 11




Email: anhson.duong@gmail.com 8
TỔNG HỢP KIẾN THỨC LỚP 11




Email: anhson.duong@gmail.com 9
TỔNG HỢP KIẾN THỨC LỚP 11




Email: anhson.duong@gmail.com 10
TỔNG HỢP KIẾN THỨC LỚP 11




Email: anhson.duong@gmail.com 11
TỔNG HỢP KIẾN THỨC LỚP 11




Email: anhson.duong@gmail.com 12
TỔNG HỢP KIẾN THỨC LỚP 11




Email: anhson.duong@gmail.com 13
TỔNG HỢP KIẾN THỨC LỚP 11




Email: anhson.duong@gmail.com 14
TỔNG HỢP KIẾN THỨC LỚP 11




Email: anhson.duong@gmail.com 15
TỔNG HỢP KIẾN THỨC LỚP 11




……………………………………………………………………..
Phụ lục: MỘT CHÚ Ý NHỎ VỀ GIẢI PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG G IÁC
Ph ả i nói ngay là k ỹ n ăng mà tôi trình bày đ ến các b ạn đây không phả i là 1 phương pháp v ạn năng .Nói
chung là làm quái gì có pp v ạ n năng .. Có chăng chỉ là nh ững nguyên tắ c tư duy cơ b ả n, nói như Polya
tức là nh ững "lố i đi có lý" .. Nh ững lố i đi có lý g iúp người ta b ớt mê .. Th ế thôi!

Ta bắt đ ầu bằng một bài toán Đại Số như sau;

B ài Toán:

Giả i phương trình: x 3 -3x+2=0 .

Nh ậ n xét:

-Đây là 1 bài toán dễ với những học sinh không quá mất căn bản .. Bạn thường làm gì đ ể tôi đoán nhé:

1/ Nhẩm thấy x=1 là No đ ặc biệt.

2/ Lấy x3 -3x+2 chia cho x-1 ngoài nháp!

3/ Để đ ược x3 -3x+2=(x-1)2.(x+2) .

4/ Kết luận: nghiệm phương trình là x=1 và x=-2 .

-Bạn làm như thế là rất tốt! tuy nhiên việc "quá điêu luyện" và "tự tin" với những kỹ năng máy móc
như vậy là cả 1 vấn đ ề rất chi là nguy hại đ ến tư duy của bạn ... Trên quan điểm "hủy diệt" bài toán đó
thì quả thực chiêu pháp c ủa bạn là "tàn bạo" và vì "thiếu nhân đ ạo" nên đôi khi việc bạn mất công thịt
nó cụng chả đ em lại tác dụng zề .. Nói thế tức là ta đè chữ "Dục" với lời giải xuống 1 tý đã .. "Gian
manh thì sự nó mới TO cái thành .." các c ụ chả dạy thế là gì?


Email: anhson.duong@gmail.com 16
TỔNG HỢP KIẾN THỨC LỚP 11

-Tôi thì có vài ý như sau:

1/ Nhẩm thấy nghiệm x=1 .

2/ Số 1 là một "nghiệm đ ẹp" (ngoài đ ời oánh nhau vì số 1 ). Tuy nhiên khi vác đi tính toán thì s ố 1
chưa "tiện" bằng số 0 (số này bị sida cứ số nào khác ôm (nhân) phải nó cũng sida theo .. ). Thêm
nữa cộng trừ với 0 thì còn gì khoái bằng! (có phải làm cái giề đ âu ) ...

3/ Ẩn x ban đ ầu tý nữa bằng 1 tức là x=1+t (t: một tý). Cái "tý" ấy lát nữa sẽ bằng 0. ( )

4/ Nếu gặp một phương trình đ ại số mà có nghiệm x=0 thì ... nhân tử cứ gọi là tự .. cởi chuồng ..
Chúng mình chả mất công .. làm cái gì c ả :-SS

Lời giả i:

Đặt x=1+t phương trình trở thành (1+t)3 -3.(1+t)+2=0 ⇔t3-3t2=0 ⇔ Hơ hơ!!

B ây giờ ta nói đế n phƣơng trình lƣợng giác ...

Ai từng giải các phương trình lượng giác (hay phương trình loại cổ khỉ j khác ..) cũng phải chấp nhận
là quanh đi quẩn lại ta phải:

i- Biến đ ổi phương trình đ ể ...

-Bắt nhân tử

-Đưa ngay về phương trình cơ bản (đ ời ít khi dễ tính thế lắm )

-Làm xuất hiện ẩn phụ ...


ii- Sử dụng các đánh giá đ ặc biệt đ ể cá biệt hóa sự so sánh trong phương trình (cái này tôi ghét vì tôi
dốt .. BĐT :-S).
Trong các "trò" cơ bản trên cái trò bắt nhân tử đ ôi khi rất chi là phiền toái .. Giả dụ mà bạn gặp kiểu:
GPT: sin2x-3.cosx=0 thì chả nói làm giề! Nhưng nếu mà gặp kiểu 2 sin2x+(23 -3)sinx+(2 -
33)cosx=6 -3 thì tình hình là rất khác đó ...
Bây giờ "bắt chiếc" cái vẹo vặt ở trên kia với phương trình Đại Số ta có vài ý nghĩ như sau:
1/ Do sự xuất hiện của 3 nên ta lọ mọ mò quanh các nghiệm đ ặc biệt liên can đ ến π3 và π6 .
2/ Với cái Fx500 thì bạn chỉ cần mất 1 phút đ ể .. mò ra nghiệm đ ặc biệt c=π+π6=7π6 .
3/ Sẽ đ ặt x=t+7π6 đ ưa phương trình về ẩn t.
4/ Hý hóp hy vọng nhân tử sẽ tự .. cởi chuồng


Lời giả i:
P hương trình ⇔2sin2x+2.(3.sinx+cosx) -3.(sinx+3.cosx)=6 -3
⇔2sin2x+4sin(x+π6) -3sin(x+π3)=6 -3
⇔2sin(2t+7π3)+4sin(t+8π6) -6sin(t+π6)=6-3

Email: anhson.duong@gmail.com 17
TỔNG HỢP KIẾN THỨC LỚP 11

⇔sin2t+3cos2t -2sint-23cost+6cost -6+3=0
⇔(sin2t-2sint)+6.(cost -1)+3.(1+cos2t -2cost)=0
⇔2sint.(cos t-1)+6.(cost-1)+3.(2cos2t-2cost)=0
⇔2(cost-1).(sint+3cost+6)=0
⇔ Ngon!

Thí dụ 2 :
Giải phương trình: cos3x-cosx+3sinx=0 .
Nh ậ n xét
Sự "khêu gợi" của 3 làm chúng ta "mơ mộng" đ ến nghiệm "loanh quanh" với góc π3;π3 thế rồi chúng
mình "giẫm" phải nghiệm đ ặc biệt x=-π6 . Và thế là ...
Lời giả i:
Đặt x= -π6+t phương trình trở thành sin3t+2sint=0 ⇔5sint-3sin3t=0 .

……………………………………………………………..




Email: anhson.duong@gmail.com 18
TỔNG HỢP KIẾN THỨC LỚP 11


CHƢƠNG 2: GIỚI HẠN VÀ HÀM SỐ LIÊN TỤC
Phần 1. Các dạng bài toán về tính giới hạn hàm số


 Kiế n thức cơ bản c ần nắm ( không nắm out lun, hehe )
f ( x)
Giới hạn lim , trong đó f ( x); g ( x) cùng dần tới 0 khi x dần tới x0 đ ược gọi là giới hạn

x  x0 g ( x)
0
dạng . Đây là dạng giới hạn thường gặp vì nó hay!
0
@ Các b ạ n có th ấy thiếu điều gì không? Đó là khái niệm về g iới h ạ n đ ấy, cực kì hay nha, vì bài viết
n ày ch ỉ n h ằm luyện thi đ ại h ọc nên những bài toán đi sâu vào giới h ạn không đ ược chúng tôi đ ề cập
n hiều! Nói chung giải thành th ạ o nh ững bài của đ ại h ọc chỉ là ph ần ngoài c ủa giới h ạ n thôi nhé, h ấp
d ẫ n còn ở đ ằ ng sau. Bạ n đ ừng cười nhiều vì làm bài kiểm tra được điểm cao nha, bình thường thôi!

Khái niệ m giới hạn dãy s ố : (an )   a1 , a2 ,..., an ;... có giới hạn là số a nếu bắt đ ầu từ một chỉ số

nào đó, mọi số hạng an đ ều nằm trong một lân cận bất kì của điểm a, tức là ở ngoài lân c ận hoặc chỉ
có một số hữu hạn số hạng hoặc không có số hạng nào của dãy. Kí hiệu lim an  a
n 
Lân cận: ví dụ như cạnh nhà bạn có vài ngôi nhà khác chẵn hạn, vùng lân c ận của đ ồng bằng sông
hồng … ok chứ! Khái niệm này phù hợp với chương trình học sau này



Khái niệm giới hạn hàm số đ ược xây dựng dựa trên khái niệm trên: x  a thì f ( x)  f (a) hay

lim f ( x)  f (a)
x a
Một số giới hạn cơ bản được dùng trong các kì thi:

ex 1
s inx
1
 1 ; lim
 lim
x 0
x 0 x
x
ln(1  x)
x
 1
1
 1 ; lim 1    lim(1  x) x  e
 lim
 x
x 0 x 0 x 0
x
1  cos ax a 2
sin ax
 1;lim  , a  R, a  0 ( * )( cái này có được vì sao? )
 lim
x2
x 0 x 0
ax 2
@ Sau đây là các bài toán hay và thƣ ờng gặp về giới hạn
2 1 x  3 8  x
Thí d ụ 1 . Tìm giới hạn T  lim
 ( ĐHQGHN 1997 )
x 0 x
Lời giải. ( bạn đang cười vì : „ tôi làm nó quá nhiều „ )

Trước hết ta thêm bớt 2 trên tử rồi tách ra như sau

2( 1  x  1) (2  3 8  x )
T  lim  lim tại sao lại là số 2? Đến đây chắc chắn bạn sẽ làm theo cách
x 0 x 0
x x
nhân lượng liên hiệp, ( ko hay cho lắm, nếu căn lớn hơn ). Bạn chú ý nhá:




Email: anhson.duong@gmail.com 19
TỔNG HỢP KIẾN THỨC LỚP 11


Đặt u  1  x ; v  3 8  x thì x  u 2  1; x  8  v3 ; u, v  2 . Như vậy chúng ta có thể viết:
2  u  1 2v 2 1 213
T  lim  lim  lim  lim    (cách giải này có cái hay là
u 2 u  1 v 2 8  v u 2 u  1 v 2 4  2v  v
2 3 2
3 12 4
chúng ta đã loại đi những dấu căn cồng kềnh, khi đ ổi biến thì nhớ đ ổi „cận‟ của giới hạn). Ưu điểm hơn
qua bài toán sau:



2 x 1  5 x  2
4
Thí d ụ 2 . Tìm giới hạn T  lim
 ( ĐHSPHN 1999 )
x 1
x 1

7
ĐS: T  , cách giải hoàn toàn tương tự bài 1 cái bạn thử xem nhen!
10
Câu hỏi đ ặt ra là làm sao tìm được hệ số tự do thêm bớt vào ( trong bài 1 là số „2‟ ấy ). Bạn xem bài
f ( x)  m g ( x)
n
toán tổng quát từ đ ó rút ra suy nghĩ nhé: T  lim số bạn cần tìm là:
xa
x a


f (a)  m g (a) nếu điều này không xảy ra thì có nghĩa bạn đang đ ối mặt với một bài toán khó hơn!
n


Bạn nhìn lại thí dụ 1 và 2 điều này có đúng không.



1  cos xcos 2 x
Thí d ụ 3 . Tìm giới hạn T  lim

x2
x 0

Lời giải. Biến đ ổi và sử dụng công thức ( * )

1  cos x 1  cos2 x 1  cos x 1  cos2 x 12 22 5

T  lim(  cos x. )  lim  lim cos x.
x2 x2 x2 x2
x 0 x 0 x 0 222

1  cos xco2 x...cos nx 12  22  ...  n2

Tổng quát: lim
x2
x 0 2

ecos x cos3 x  cos2 x
Thí d ụ 4 . Tìm giới hạn T  lim

x2
x 0

Lời giải. Biến đ ổi như sau

ecos x cos3 x  1 1  cos2 x
T  lim(  ) bạn đang gặp lại dạng thêm bớt lúc đ ầu nhé!
x2 x2
x 0



Vậy T  T1  T2 với

 ecos x cos3 x  1 cos x  cos3x 
ecos x cos3 x  1
T1  lim  lim  cos x cos3 x . 
x2 x2
x 0 x 0
 
ecos x cos3 x  1  1  cos3x 1  cos x 
 lim 
 
cos x  cos3 x
 x2 
x2
x 0



ecos x cos3 x  1 et  1
 1;  t  cos x  cos3x 
 lim
o lim cos x cos3 x
x 0 t 0 t

Email: anhson.duong@gmail.com 20
TỔNG HỢP KIẾN THỨC LỚP 11

ln(s inx  cos x)
Thí d ụ 5 . Tính giới hạn T  lim

x 0
x
ln(sinx  cos x) ln(1  sin 2 x) sin 2 x
2
Lời giải. Biến đ ổi T  lim  lim( ) ( nhớ học công thức nhan
.
x 0 x 0
2x sin 2 x 2x
các anh em )

ln(1  sin 2 x) ln(1  t )
 lim ; t  sin 2 x
o lim
x 0 t 0
sin 2 x t
sin 2 x sin t
 lim ; u  2x
o lim
x 0 u 0
2x t
Vậy T  1.1 1 ( chú ý phải trình bày c ẩn thận các phép đ ổi cận thì giang hồ mới chấp nhận ví như ko
sin 2 x
0 )
đ ược viết lim
x 0 2x



 x3
x

Thí d ụ 6 . Tìm giới hạn T  lim 
 
 x 1 
x 


 x3
x x
 2
Lời giải. Thực hiện phép biến đ ổi T  lim    xlim 1  
x  x  1
 x 1 
  



2 1
 , ta có x  2t 1; x    t   vì vậy
Đặ t
x 1 t
2
  1 t 
2t 1 1
 1  1
T  lim 1    lim  1    1    e
2
t   
 t  t    t
t 






Thí d ụ 7 . Tìm giới hạn T  lim x3  3x 2  x 2  x  1
 3
x 

Lời giải. Thực hiện phép biến đ ổi đơn giản




T  lim ( 3 x3  3x 2  x)  ( x 2  x  1  x) (cái này gợi cho ta sự thêm bớt đúng hem, nhưng nó
x 

mang đ ẳng cấp cao hơn rùi)



 3x 2
D  lim x3  3x 2  x  lim
3
o
x  3x 2   x 3 x3  3x 2  x 2
x  x  3 3


3
 lim 1
x  2
 3 3 3
3 1
  1 1

 x x
1
1 
1
x 1 x
 lim 
Du  lim ( x 2  x  1  x)  lim
o
x  x 1  x x 
x  x  2
2
11
1  2  1
xx


Email: anhson.duong@gmail.com 21
TỔNG HỢP KIẾN THỨC LỚP 11

3
Vậy T  D  Du 
2

sin(s inx)
 Thí d ụ 8 . Tìm giới hạn T= lim ( ĐH Bách Khoa HN 1997 ) – cùi bắp
x 0
x
sin(sinx) sinx sin(sinx)
 lim 1
Lời giải. lim .
x 0 x 0
x x sinx




1  cos x
Thí dụ 9. Tìm giới hạn T  lim

1  
2
x 0
1 x
Lời giải. Ta thực hiện biến đ ổi sau

x x x
(1  1  x ) 2 (1  1  x ) 2 2sin 2 (1  1  x ) 2
2sin 2 2sin 2
2
2 2  lim  1 ( bạn
T  lim  lim
  
2
2 2
x2  x
x 0
x 0 x 0
1 1 x 1 1 x 4 
2
trình bày chỗ này rõ ra nhé! )



1  cos 2 2 x
Thí d ụ 1 0. Tính giới hạn sau T  lim
 ( ĐN 1997 )
x 0 x sin x
1  cos 2 2 x
2
 sin 2 x 
sin 2 2 x 4
Lời giải. T  lim  lim  lim   . s inx  4
 2x   
x 0 x 0 x sin x 2 x 0
x sin x
 
x

Chỉ là những phép biến đ ổi khéo léo ở bạn đ ó!



1
Thí d ụ 1 1. Tìm giới hạn sau T  lim x.cos
 ( ĐH Giao Thông 1997 )
x 0 x
Lời giải. Bài này phải dùng pp đánh giá nói đúng hơn là nguyên lí kẹp của vaiơstrat ( hic sách giáo
khoa 11 cho nhỏ bên cạnh nhà mượn rùi, ghi nhầm có gì bà con bỏ qua nhen )

Tóm tắt pp: Giả sử ta có :

u( x)  f ( x)  v( x); x  D ( tập xác đ ịnh của ba hàm số này )
o
lim u( x)  lim v( x)  Dieu; a  D
o
x a x a

Thì lim f ( x)  Dieu; a  D
x a


( ui khuya quá rồi, nhớ cô bé đáng yêu ghê, ngày mai viết tiếp, bé ơi ngủ đ i đêm đã khuya rồi … măm
măm, tối thứ bảy, 29-3-2009 )


Email: anhson.duong@gmail.com 22
TỔNG HỢP KIẾN THỨC LỚP 11

Tiếp nè:
 1
1 1 1
 x cos  x   x  x cos  x 1  lim   x   lim  x cos   lim  x   0
x cos
 x  x 0
x 0 x 0
x x x
 1
 lim  x cos   0
 x
x 0




1  1  sin 3x
Thí d ụ 1 2. Tìm giới hạn sau T  lim
 ( ĐHQG HN 1997 )
1  cos x
x 0

Lời giải. Biến đ ổi như sau

1  1  sin 3x 1  1  sin 3x
( vì 1  sin3 x 0 )
T  lim  lim
1  cos x 1  cos x
x 0 x 0


4sin 3 x  3sin x sinx 4sin 2 x  3 1  cos 2 x
 lim  lim  lim 4sin 2 x  3
x 0 1  co a s x
1  cos 1  cos x
x 0 x 0

 lim 1  cos x 4sin x  3  3 2
2
x 0




x  s inx
Thí d ụ 1 3. Tính giới hạn sau T  lim
 ( ĐHGT 1998 )
x  x  s inx

Lời giải. Tiếp tục ý tưởng với nguyên lí kẹp của vaiơstrat, bắt đ ầu nào
1 s inx 1
s inx s inx 1 s inx
    ; x  0  lim  0 ( các bạn nên thuộc giới hạn này
x 
x x x x x x x
nhé )

 s inx  sinx
x 1  1

x  sinx
 lim    lim
x x 1
Vì vậy T  lim
x  x  sinx  sinx  sinx
x x
1
x 1  
  x
x



2x  1  3 x2  1
Thí d ụ 1 4 . Tính giới hạn sau T  lim
 ( ĐHQG HN 2000 )
x 0 s inx
Lời giải. Các bạn nhớ lại ý tưởng thêm bớt nhé, chúng ta thử mới biết là có giải được hay không?

( 2 x  1  1)  ( 3 x 2  1  1) ( 2 x  1  1) ( 3 x 2  1  1)
T  lim  lim  lim  A B
x 0 x 0 x 0
s inx sinx sinx

    lim
2x  1 1 2x 1 1 1 2
A  lim 1
o .
   
2 x  1  1 s inx 2x 1 1
s inx
x 0 x 0

x



Email: anhson.duong@gmail.com 23
TỔNG HỢP KIẾN THỨC LỚP 11


   lim
  
x2  1 1 ( x 2  1) 2  3 x 2  1  1
3 3
1 0
x
B  lim
o
 
 
s inx  
x 0 x 0
( x 2  1) 2  3 x 2  1  1 s inx ( x  1)  x  1  1 

32
2 2
3 3

x 
Vậ y T  1 .
o


Bạ n đang nghĩ “ ôi sao mà biến đ ổi khéo léo quá v ậ y trời, liệu tui có làm đƣợc nhƣ vậ y không?
Huhu “. Tôi xin nói khẽ với bạ n: “ thậ t đơn giả n, chỉ cầ n bạ n luyện tậ p tốt ( ko cầ n làm nhiều ),
nhƣng bạ n phả i thậ t sự hiểu ý nghĩa và hình thức của các giới hạ n cơ bả n



3x  cos x
2


Thí d ụ 1 5 . Tính giới hạn T  lim
 ( ĐHSP HN 2000 )
x2
x 0

Lời giải. vẫn với câu nói: “ không thử sao biết “ – trừ khi bạn có công lực hàng khủng nhìn thấy ngay,
hehe!

3x  cos x  1)  (1  cos x)
2 2
(e x ln 3
T  lim  lim ( hehe khá khéo léo nhá )
x2 x2
x 0 x 0



 
x
e x ln 3  1 2sin 2
2


2  ln 3  1 ( chỗ này tôi viết tắt nhé, các bạn phải thông qua một
 lim 2 .ln 3  lim 2
 x
x 0 x 0
x .ln 3 2
 4
2
bước tam gọi là đ ổi cận của giới hạn như đã trình bày ở cái thí dụ trước )

@ wow wow đói bụng quá ăn cơm cái đã, m ới đánh ba tiếng mà đƣợc nhiêu đây cũng kha khá r ồi,
hè hè chúng ta chuẩ n bị sử d ụng vũ khí nguyên tử đ ể tiêu diệt vƣơng quốc giới hạ n nha! ( 11h55
a m, 29 – 3 – 2 009 ).

Nhƣng thôi chúng ta cùng tiếp tục với những ví d ụ k hác đã!



1  cos x cos 2 x cos 3x
Thí d ụ 1 6. Tính giới hạn sau T  lim

x2
x 0

Lời giải. Bạn hãy nhìn lại thí dụ 3 xem sao, tôi khẳng đ ịnh chúng có mối quan hệ với nhau, hehe, còn
quan hệ như thế nào bạn tự suy nghĩ nhé!

7
Đs: T  ( nếu bí quá bạn có thể liên hệ với chúng tôi qua tinhbantoan@yahoo.com )
2

@ Tiếp tục với những bài có ý tưởng thêm bớt nhé! ( khè khè )


 Thí d ụ 1 7 . ( Một bài toán c ực kì quan trọng )
1  ax  1
n
Tính giới hạn sau T  lim với n nguyên dương
x 0 x

Lời giải. Thực hiện phép đ ổi biến đê:

Email: anhson.duong@gmail.com 24
TỔNG HỢP KIẾN THỨC LỚP 11


Đặt y  n 1  ax Khi ấy x  0 thì y  1 vì thế em có :
y 1 y 1 1 a
T  a lim  a lim  a lim n1 
   y  y  ...  y  1 n2
y 1  y  ...  y  1 n
n 1 n2
y 1 y  1
n
y 1 y 1 y



Làm một vài ứng d ụng của nó nha! ( Bạn hãy tổng quát kết quả trên với đa thực bậc n:
p(n)  an x n  ...  a1 x  a0 nhá, có nghĩa là lúc này x được thay bằng p(n) )



1  2 x 3 1  3x 4 1  4 x  1
Thí d ụ 1 8 . Tính giới hạn sau T  lim

x 0 x
Lời giải. Trước hết bài toán này khá hay và khó, với những căn thức như vậy chúng ta sẽ liên tưởng
đ ến kết quả mà chúng ta đã có trong thí dụ 17, vậy phải làm sao khi mà bài toán này có chứa tích của
tới ba dấu căn khác bậc.

Ta sử dụng biến đ ổi sau đây

1  2 x 3 1  3x 4 1  4 x  1 = 1  2 x  1  2 x  1  2 x 3 1  3x
 1  2 x 3 1  3x  1  2 x 3 1  3x 4 1  4 x  1



Từ đ ây là ngon ăn quá rồi nha!

 1  4x 1 
1  2x 1 1  3x  1
3 4
T  lim  lim 1  2 x  lim  1  2 x 3 1  3x 
x 0  
x 0 x 0
x x x
 
 4 1  4x 1  2 3 4
1  2x 1 1  3x  1
3

  
T  lim  lim  lim 
x 0  234
x 0 x 0
x x x
 

@ Hoàn toàn bạ n có thể tạ o ra những bài toán nhƣ ý muốn của bạ n từ những ý tƣởng cơ bả n, thế
mới biết toán học là muôn màu muôn v ẻ!




Thí d ụ 1 9. Tính giới hạn sau T  lim tan 2 x.tan(  x) ( ĐHSPHN 2000 )

 4
x
4

Lời giải. nhẩm nhẩm ta thấy nếu mà thế x  vào thì T không xác đ ịnh. Để cho gọn ta đ ặt
4
   cos2a sin a cos2a 1
a  x  T  lim tan   2a  .t ana  lim cot 2a.tan a  lim  lim 
4  a 0 2cos 2 a
a 0 a 0 a 0 sin 2a cos a
4 2




Email: anhson.duong@gmail.com 25
TỔNG HỢP KIẾN THỨC LỚP 11


Phần 2. Các bài toán về tính liên tục và có đ ạo hàm của hàm số
Hàm số liên tục tại điểm x  x0 khi và chỉ khi lim f ( x)  lim f ( x)  f  x0 

 
xx xx
0 0

Đạo hàm của hàm số y  f ( x) tại điểm x  x0 là giới hạn hữu hạn ( nếu có ) của

f ( x )  f (x0 )
, kí hiệu là f '( x0 ) . Chú ý đ ạo hàm tồn tại khi
lim
x  x0
x  x0

f ( x)  f ( x0 ) f ( x)  f ( x0 )
 lim ( bạn hãy hiểu thật rõ về
lim
x  x0 x  x0
 
x x 0 xx 0

đ ạo hàm nhé )

Định lí: Nếu hàm số f ( x) có đ ạ o hàm tạ i x0 thì liên tụ c tạ i điểm đó. ( đ iều ngược lạ i không phả i lúc
n ào cũng đúng )

@ S au đây chúng ta cùng giải mộ t số b ài toán v ề : “ tính liên tụ c và đ ạ o h àm “. Các d ạ ng này chỉ
n h ằ m kiểm tra mộ t tiết, thi h ọ c kì dành cho khố i 11 hoặ c dành cho kì thi tố t nghiêp th ời tiền sử (he),
n hưng ( tôi đang nhấ n mạ nh ) n ếu người ra đ ề mu ố n thì h ọ có th ể b iến chuyển thành nh ững bài toán
h ay, khá khó, thường có mặ t tro ng các kì thi h ọc sinh giỏi. Giả i phầ n này đ ể ta hiểu hơn về lí thuyết từ
đ ó có th ể ứng d ụng tính liên tụ c đ ể g iả i phương trình, cái này mới quan trọ ng vì thi đ ạ i h ọc thường có!

Thí d ụ 2 0. Tìm m đ ể hàm số sau liên tục tại điểm x  1 :

 3 x  2  2x 1

; x  11
y  f ( x)   x 1
m; x  1 2 


Lời giải. Trước hết cần hiểu liên tục tại một điểm là như thế nào đã, cái này chúng tôi đã trình bày
trong phần lí thuyết tóm tắt của phần này!

Hàm số liên tục tại điểm x  x0 khi và chỉ khi

lim f ( x)  lim f ( x)  lim f ( x)  f  x0 
 
xx xx
x  x0 0 0




Bài toán chúng ta đang xét ứng với x0  1 , bạn cũng nên biết rằng hàm số của chúng ta đang c ần xét là
hàm hai quy tắc, một điều rất quan trọng nữa là khi x  1 đ ồng nghĩa với x chưa bằng 1 hay x  1 .
Với nhận xét này chúng ta bắt đ ầu giải như sau:

 3 x  2 1 2x 1 1  4
x  2  2x 1
3
Xét giới hạn lim f ( x)  lim  lim     (?) với những
x 1  x 1  3
x 1 x 1
x 1 x 1
 
gì bạn có trong những ví dụ phần 1 thì việc tính giới hạn này chỉ còn là trò trẻ con!

Bạn thấy một chút gì đó khó hiểu, ừ đ úng, hãy đ ọc lại đ ề một lần nữa thật kĩ. Người ta yêu cầu “ tìm m
“ đ ể hàm số liên tục tại điểm x=1 vậy nên ta đã có một giả thiết cực kì quan trọng là hàm số này liên
tục tại điểm x=1, điều này tương đương với

4
lim f ( x)  f (1)  m  . Hãy nhớ đ ây là bài toán tìm m và đ ề cho hàm số của chúng ta đã liên tục
x 1 3
tại điểm x=1 rồi. Bài toán này khác với bài toán xét tính liên tục của một hàm số



Email: anhson.duong@gmail.com 26
TỔNG HỢP KIẾN THỨC LỚP 11


Thí d ụ 2 1. Tìm m đ ể hàm số sau liên tục tại đ iểm x 

3
 t anx  3cot x
 3x   

y  f ( x)   ;x 
m; x   3

 3

Lời giải. Như vậy các bạn chỉ cần trình bày như sau

t anx  3cot x
Xét giới hạn lim f ( x)  lim  a ( một kết quả nào đó – các bạn tự tìm ha )
3x  
 
x x
3 3



Vì hàm số liên tục tại x  nên :
3


lim f ( x)  f ( )  a  m ( nếu bạn vẫn thấy khó hiểu thì nên ngẫm nghĩ lại những gì mình mới
 3
x
3

đ ọc rồi hãy tiếp tục nha, toán liên quan đ ến lí thuyết hay lém )

@ Hehe, b ạ n đang tự tin, ui d ễ ợt mà có gì không hiểu, ừ n ếu như từ n h ững bài giới h ạn ban đ ầu mà
chúng tôi đ ề cập đ ến b ạ n có th ể tạ o ra được những bài liên tụ c như th ế n ày, thì chắ c ch ắn b ạ n đã hiểu
rồ i đ ấ y! Nào chúng ta cùng qua mộ t số b ài tính đ ạo hàm mà ph ả i dùng đ ến đ ịnh nghĩa mới mong có
solution đ ẹp!

Thí d ụ 2 2. Tính đ ạo hàm hàm số sau tại điểm x  0

 e t anx sinx  1

y  f ( x)   ;x  0
x2
0; x  0


Lời giải. Bạn có thật sự hiểu mình c ần làm gì không?

e t anx sinx  1 tanx 
f ( x)  f (0) e sinx  1 t anx  sinx 1
Xét giới hạn T  lim  lim  lim  ( chú ý
.
x0 x 0 t anx  sinx
x3 x3
x 0 x 0 2
đ ổi cận giới hạn nha, khuya quá rồi đang làm biến, thông cảm, các bạn làm cho ra kết quả như trên
nghen )

1
Vậy f '(0) 
2

@ Liệu có ai trong các b ạ n đ ặt ra câu h ỏi này : ‘ ủ a sao hàm số chưa biết có liên tụ c hay không mà
tính đ ạ o hàm trời ‘. Hehe, việc có đ ạo hàm tạ i mộ t điểm sẽ làm hàm số liên tụ c tạ i điểm đ ó ch ứ k hông
p h ả i liên tụ c tạ i mộ t điểm thì hàm số có đ ạ o hàm tạ i điểm đó ( làm ơn nh ớ d ùm ).

 Thí d ụ 2 3. Tính đ ạo các hàm số sau
0; x  0

a. f ( x)   2 tại điểm x=0
1
 x sin x ; x  0




Email: anhson.duong@gmail.com 27
TỔNG HỢP KIẾN THỨC LỚP 11


0; x  0

b. f ( x)  1  cos x tại điểm x=0
 x ;x  0


f ( x)  f (0) 1
Lời giải. a. f '(0)  lim  lim x sin  0 (?)
x0
x 0 x 0 x
Vì sao giới hạn này bằng không chúng ta hãy dùng nguyên lí kẹp nhá, xem lại ví dụ 11

b. thí dụ này các bạn làm tương tự.

@ Các b ạ n có đ ặt ra câu h ỏi là vì sao chúng tôi lạ i đ ặ t phầ n này sau phầ n giới h ạn không, uhm, vì khi
thành th ạ o giới h ạ n rồ i việc tính các giới h ạ n h ệ q uả n hư trên mới d ễ d àng được. Chúc các b ạ n may
mắ n, đi ng ủ đ ây ( 30-31/3/2009), hôm nay khuya quá r ồi, ngày mới lạ i đ ến!

 Thí d ụ 2 4. Tìm a, b đ ể hàm số :
( x  a)ebx ; x  0(1)

có đ ạo hàm tại x0  0
f ( x)   2
ax  bx  1: x  0(2)


Lời giải. Giả sử f ( x) có đ ạo hàm tại x0  0 thì f ( x) liên tục tại x0  0

 lim f ( x)  lim f ( x)  f (0)  lim(ax 2  bx  1)  lim( x  a)ebx  a ( chú ý x dần tới phía
 
 
x 0 x 0
x 0 x 0

trái „ 0 ‟ thì hàm số theo quy tắc (1) và x dần tới phía phải „ 0 ‟ thì hàm số theo quy tắc (2), ai mong


lun về khái niệm hàm số thì nên ôn lại nhen )

 x  1 ebx ; x  0

 1  a  a  1  a thay vào hàm số ban đ ầu ta được f ( x)   2
 x  bx  1; x  0


Điều kiện cần và đ ủ đ ể f ( x) có đ ạo hàm tại x0  0 ( xem lại phần lí thuyết ) :
 x  1 ebx  1  b  1  b (?) (
f ( x)  f (0) f ( x)  f (0) x 2  bx  1  1
 lim  lim
 lim
lim
x0 x0 x0 x0
x 0  x 0 
x  0 x  0

1
các bạn tính ra nghen )  b 
2

1
Vậy a  1; b 
2
@ Hãy nh ớ lúc này các b ạ n đã có công lực kha khá v ề g iới h ạn rồ i nhe, nên việc tính ở trên xin dành
cho các b ạ n. Như vậ y đ ể g iải bài toán d ạng này ta căn c ứ vào 2 điều kiện: th ứ n h ất có đ ạo hàm thì
p h ả i liên tụ c, điều kiện th ứ h ai là điều kiện tồ n tạ i củ a đ ạo hàm ( xin nh ắ c lạ i rằ ng b ạn cầ n ph ải hiểu lí
thuyết mộ t cách th ật cặ n kẽ )



 Thí d ụ 2 5. Tìm a, b đ ể hàm số
 2  x2 ;  2  x  1

a ) f ( x)   có đ ạo hàm tại x0  1
 x  ax  b; x  1
2



Email: anhson.duong@gmail.com 28
TỔNG HỢP KIẾN THỨC LỚP 11


 x; x  1
b) f ( x)   có đ ạo hàm tại x0  1
ax  b; x  1
2



Gợi ý. Với hai bài toán này cách giải hoàn toàn tương tự, toán học đòi hỏi chúng ta phải suy nghĩ thật
nhiều, tôi hi vọng các bạn chỉ qua một ít bài tập mà sẽ tiếp thu được dạng toán này! Sau đây xin nêu lên
đ áp số cho các bạn kiểm tra giúp

a. a  3; b  3

1 1
b. a  ;b 
2 2
@ S ao chúng ta không tự tạ o ra nh ững bài toán có h ệ số là năm sinh c ủ a mình hay là c ủa người yêu
n gười thân c ủ a mình nhĩ? Chúc các b ạn may mắ n và th ật hài lòng v ới những bài toán mình tạ o ra!

x
liên tục tại x0  0 nhưng không có đ ạo
Thí d ụ 2 6 . Chứng minh rằng hàm số y 

x 1
hàm tại x0  1
Lời giải.  Trước tiên chúng ta chứng minh hàm số này liên tục tại x0  0

x
 0  f  0  Vậy limf ( x)  f 0  nên đ ại ca này liên tục tại x0  0
limf ( x)  lim
x 1
x 0
x 0 x 0


 Bây giờ chúng ta chứng minh hàm số này không có đ ạo hàm tại x0  0

f  x   f  0 x
 lim
 lim
 x  1 x
x0
x 0 x 0



f  x   f  0 x 1
 lim  lim 1
 lim
 x  1 x
x0 1 x
  
x 0 x 0 x 0



f  x   f  0 1
x
 lim  lim  1
 lim
 x  1 x
x0 1 x
  
x 0 x 0 x 0



Vậ y rõ ràng hàm số n ày không có đ ạ o hàm tạ i x0  0

 3 1  x sin 2 x  1; x  0

Tìm đ ạo hàm của hàm số tại x  0 (HSG
Thí d ụ 2 7. Cho hàm số f ( x)  
0; x  0

Tỉnh Bảng A Nghệ An 2008 – 2009 )

Lời giả i. cũng giố ng như những ví d ụ trước
f ( x)  f (0) 1  x sin 2 x  1
3
x sin 2 x
f '(0)  lim  lim f '(0)  lim
x 0 2 
x 3 1  x sin x   3 1  x sin 2 x  1
x2
x 0 x 0
x 2
 
 
s inx 1
 0. Vậy f '  0   0 .
f '(0)  lim s inx.
x 3 1  x sin x   3 1 x sin2 x  1
x 0 2




Email: anhson.duong@gmail.com 29
TỔNG HỢP KIẾN THỨC LỚP 11

Nh ậ n xét về b ài toán này: tuy là đ ề th i hsg nhưng rất mềm, không quá khó khăn p hải không em Vịt???

 2 1
 x 1  cos  ; x  0
tính đ ạo hàm của hàm số tại x  0 ( Huế 2003
Thí d ụ 2 8 . Cho hàm số f ( x)    x
0; x  0

– 2004 )

Lời giả i. Cũng không khó khăn gì
f ( x)  f (0)  1 1
f '(0)  lim  lim x 1  cos   lim x  lim x.cos  0 (?). Vậy f '(0)  0 .
x0  x  x 0
x 0 x 0 x 0 x

…………………………………………………………………………………………………………………………

PHỤ LỤC: CHUYÊN ĐỀ KHỬ CÁC DẠNG VÔ ĐỊNH KHI TÍNH GIỚI HẠN ( RẤT HAY )

A. PHƢƠNG PHÁP GIẢI TOÁN: Các d ạ ng vô đ ịnh:
f  x  0 
1 . Giới hạn của hàm s ố dạng: lim
g  x  0 
xa

Nếu f(x) , g(x) là các hàm đa thức thì có thể chia tử số , mẫu số cho (x-a) hoặc (x-a)2 .
o
Nếu f(x) , g(x) là các biểu thức chứa căn thì nhân tử và mẫu cho các biểu thức liên hợp.
o
2 . Giới hạn của hàm s ố dạng: lim f  x    
x g  x    

x  
x  
o Chia tử và mẫu cho x với k chọn thích hợp. Chú ý rằng nếu thì coi như x>0, nếu
k

thì coi như x1

x
Giải

 
Ta có : lim  f  x  lim x2  x  3  3 .
x1   x1

xa
lim  f  x   lim  a 1
  x
x1 x1 




Vậy lim  f  x   3  a 1  3  a 2
x1  

x  2   x2  2 x  4 
11. lim x  8  lim  0
3
 lim  x2  2 x  4   12 . Dạng   .
x2 x  2 x2 0
x2 x2



x  2x 1 2 1
3
1 2  3
1 . Dạng  .
x3  2 x  1
12. x x x
3


lim  lim  lim
1
2x  1
2x  1 2
3
3
x x x
2 3
x
x3
2  3 x2  x  1
2  3 x  x  1
2
2
 2 x2
  3 x  x  1  lim
13.
lim   lim
 x. x  1  x. 3 x3  1 x. 3 x3  1
33
x x x

x2
1 1

23   2 
x x 6
 lim   6
1
1
x
3 1
x
3




   lim x  x  3  x
 x2  x  3  x x2  x  3  x
x  x  3  x   lim

2 2
14. lim 2

x2  x  3  x x2  x  3  x
x x x

x3 3
1
1 . Dạng     
x3 x x
 lim  lim  lim 
x2  x  3  x x 1  1  3  1 2
x2  x  3  x
x x

x x2
x

Email: anhson.duong@gmail.com 31
TỔNG HỢP KIẾN THỨC LỚP 11

…………………………………………………………………………………………………………………………..

Phần 3. Ứng dụng định lí lagrange trong vi ệc giải phƣơng trình
( Dành cho các cho việc bồi dƣỡng HSG )
 Thí d ụ 2 9 . Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c thì phương trình
a cos3x  b cos 2 x  c cos x  sinx  0 (1) luôn có nghiệm trong khoảng  0;2 
Lời giải. Lần đ ầu tiên tôi gặp bài toán này vào năm lớp 10, thật sự lời giải làm cho tôi thích nhất của
bài toán này là dùng đ ịnh lí lagrange

Xét hàm số f ( x)  31 a sin 3x  21 b sin 2 x  c sin x  cos x trên đoạn [0;2 ] . Rõ ràng hàm số này
xác đ ịnh và liên tục trên [0; 2 ] , có đ ạo hàm tại mọi điểm thuộc  0; 2  . Ngoài ra
f (0)  f (2 )  1 . Theo đ ịnh lí lagrange, tồn tại d   0;2   sao cho
f  2   f  0  1  (1)
f 'd    0  a cos3d  b cos 2d  c cos d  sin d  0 đ iều này có

2  0 2
nghĩa d là một nghiệm của phương trình (1) suy ra đpcm. ( chú ý bài toán này còn có cách giải khác )

 
Thí d ụ 3 0 . Giải phương trình 1  cos x  2  4cos x  3.4cos x

Lời giải. Về bài toán này trước hết ta phải thực hiện đ ặt ẩn phụ cos x  y   1;1 Khi đó pt đã cho có
1  y   2  4  y  4.4 y

dạng  (1) tới đây công việc cũng chưa hẳng là đã đơn giản hơn. Chúng ta sẽ
1  y  1

dùng ý tưởng của đ ịnh lí lagrange đ ể giải phương trình này, từ đ ịnh lí lagrange chúng ta thấy rằng
phương trình đ ạo hàm cấp 1 f '  0 có không quá k nghiệm thì phương trình f  0 có không qua k +1
nghiệm, rồi từ đ ó bằng cách đoán nghiệm ta suy ra các nghiệm của phương trình. Những phương trình
dùng tới đ ịnh lí này thường có mặt trong các kì thi hsg!

6.4 y ln 4
Ta có f '( y )   1 ( các b ạ n kiểm tra lạ i phép tính đ ạo hàm này nhé )
2  4y 
2




f '( y)  0   2  4 y   6.4 y ln 4  0 nếu ta coi phương trình này là phương trình với biến là 4 y thì
2



rõ ràng nó là một pt bậc hai nên nó sẽ có không quá 2 nghiệm. Từ đ ó (1) sẽ có không quá 3 nghiệm, ta
1
đ oán được y1  0; y2  ; y3  1 là ba nghiệm của (1). Rồi từ đ ấy giải các pt lượng giác cơ bản
2
1
cos x  0;cos x  ;cos x  suy ra kết quả!
1
2
@ h ichic, 3 tiến g rưỡi edit trong đ ẹp hơn nhiều rồ i! – 3 h30, 3.4.2009

Phần 4. Sử dụng đạo hàm để tính giới hạn của hàm số ( bom
nguyên tử )
x 1  5 2x  1
3
 Thí dụ 33. Tính giới hạn sau T  lim 3
3x  8  2 x  1
x 0


Email: anhson.duong@gmail.com 32
TỔNG HỢP KIẾN THỨC LỚP 11

Lời giải. Với bài toán này mà làm theo những cách ở phần 1 thì cũng có vẻ hơi căn phải hong nè!
Chúng ta giải bằng cách dùng đ ạo hàm

Đặt f ( x)  3 x  1  5 2 x  1 dễ thấy f (0)  0

Đặt g ( x)  3 3x  8  2 x 1 dễ thấy g (0)  0 , chính những nhận đinh này gợi cho ta ý nghĩ về đ ạo
hàm, như vậy chúng ta thực hiện những biến đ ổi sau, trước hết chia tử và mẫu cho x và đưa về dạng
f ( x)  f (0) f ( x)  f (0) 1
lim
x0 x0
f ( x) 4
f '(0) 15
x 0
đ ạo hàm như sau T  lim  lim   

x 0 g ( x )  g (0) g ( x)  g (0) g '(0) 3 45
x 0 g ( x )
lim
x0 x0
x 0 4

Việc tính đ ạo hàm tại x  0 của hai hàm f(x) và g(x) xin dành cho các bạn!

@ Uhm, qua ví d ụ n ày các b ạn đã th ấy sức mạ nh của phương pháp đ ạ o hàm trong giới h ạ n chưa, th ật
sự các ví d ụ trong phần 1 điều có th ể g iải được b ằng pp này!

e tan 2 x  ecos16 x
 Thí d ụ 3 4. Tính giới hạn sau T  lim ( thầy Phú Khánh )
 cos12 x
x
8
 
dễ thấy f ( )  1 ; g ( x)  ecos16 x dễ thấy g ( )  1 , tại sao chúng ta lại
Lời giải. Đặt f ( x)  e tan 2 x

8 8

tính các giá trị tại ? với nhận đ ịnh này ta thực hiện biến đ ổi như sau
8


x
e tan 2 x  ecos16 x e tan 2 x  1  (ecos16 x  1) e tan 2 x  1 ecos16 x  1 8
T  lim  lim  (lim  lim ).lim
 
     cos12 x
cos12 x cos12 x
8 x x
x x x x x
8 8 8 8
8 8


x
 
e tan 2 x  1 ecos16 x  1 8  1 (? ) các bạn tự tính nha, sau
 f '( ) (?) ; lim  g '( ) ; lim
lim
 
  8 x  cos12 x 12
8
x x
x x
8 8 8
8 8
những gì các bạn được học thì việc tính là dễ dàng!

e
Vậ y T 
3

ln(1  x 2 )
 Thí d ụ 3 5 . Tính giới hạn sau T  lim ( Đề thử sức số 3 tạp chí TH & TT )
e2 x  3 1  x 2
2
x 0

Lời giải. Chúng ta biến đ ổi như sau
e2 x  3 1  x 2
ln(1  x 2 ) ln(1  x 2 )
2
x2
T  lim  lim  1: lim
.
x2 x2
e2 x e2 x  3 1  x 2
 3 1  x 2 x 0
2 2
x 0 x 0




Email: anhson.duong@gmail.com 33
TỔNG HỢP KIẾN THỨC LỚP 11


f ( x)  e 2 x  f (0)  1
2


Lúc này ta đ ặt rồi bằng cách làm như các ví dụ trên các bạn sẽ tính ra
g ( x)  3 1  x 2  g (0)  1
3
đ ược kết quả sau T 
7

2x  1  3 x2  1
 Thí d ụ 3 6. Tính giới hạn sau T  lim ( thầy Trần Phương )
x 0 s inx
Lời giải. Đặt f ( x)  2 x  1  3 x 2  1 dễ thấy f (0)  0 vì vậy ta có thể viết lại bài toán như sau

f (0)  0
2x  1  3 x2  1  f ( x)  f (0) s inx  f ( x)  f (0) s inx
T  lim  lim    lim  f '(0)  1
: : lim
x0 x0
 x  x 0
x 0 x 0 x 0
s inx x


(?)

eax .cos ax 2  1
2


 Thí d ụ 3 7 . Tính giới hạn sau T  lim với a là hằng số cho trước
x2
x 0

eax .cos ax 2  1 eax .cos ax 2  1
2 2


Lời giải. Biến đ ổi bài toán như sau T  lim  a lim
x2 ax 2
x 0 x 0



Đặt f ( x)  e ax .cos ax 2 1 dễ thấy f (0)  0 Vì vậy
2




f ( x)  f (0)
 f '(0)  a . Vậy T  a , rất mong các bạn kiểm tra lại kết quả đ ể tự các bạn là
T  lim
x0
x 0

người hoàn thiện bài toán.

@ Rõ ràng sự k ết h ợp củ a đ ạo hàm và các giới h ạ n cơ b ản đã tạ o nên mộ t công cụ cực mạ nh, theo tôi
n ghĩ là có th ể g iả i được khá n hiều bài giới h ạn trong chương trình, b ạn có th ử suy nghĩ như tôi không,
k hi ra đ ề n gười ra đ ề xuấ t phát từ đ âu, tôi xin nh ắc nh ỏ cho b ạn chỉ từ các giới h ạn cơ b ản, đ ạo hàm
và nh ững phép biến đ ổi khéo léo!



 Lời cuối cùng: Sau khoảng 9 tiếng chúng tôi đ ã hoàn thành xong bài viết này, vì thời gian là
có hạn và mùa thi đã đ ến gần nên chúng tôi không thể trình bày hết các vấn đ ề của Giới hạn, liên tục và
đ ạo hàm. Chúng tôi hi vọng với bài viết ngắn này, trong kì thi sắp tới các bạn sẽ làm tốt hơn về phần
này, và các bạn đang học 11 sẽ có thêm một kiến thức nhỏ đ ể chuẩn bị cho việc học đ ội tuyển. Chúng
tôi rất tiếc là không thể thực hiện được ý đ ịnh như ý muốn là viết thêm phần 5, một phần chúng tôi rất
tâm đ ắc, đó là sử dụng tính liên tục đ ể giải phương trình, bất phương trình, chứng minh sự tồn tại
nghiệm, giải phương trình hàm,và phần giới hạn trong dãy số …Nhưng chúng tôi không còn nhiều thời
gian nữa, lời cuối chúng tôi xin chúc các bạn thi tốt trong kì thi sắp tới và những kì thi sau này. Dù đã
rất cố gắng nhưng sai xót là không thể tránh khỏi, hi vọng nhận được nhiều sự đ óng góp từ các ban.
Với bài viết này chúng tôi hi vọng kiến thức về toán sơ c ấp của bản thân ngày càng vững vàng hơn.
Xin chào và hẹn gặp lại các bạn ở những chuyên đ ề khác khi chúng tôi rời ghế nhà trường THPT
………………………………………………………………………………………………………….



Email: anhson.duong@gmail.com 34
TỔNG HỢP KIẾN THỨC LỚP 11




Email: anhson.duong@gmail.com 35
TỔNG HỢP KIẾN THỨC LỚP 11




P/S: Trên đây là toàn bộ những kiế n thức cơ bản v à dạng bài tập của giới hạn hàm s ố đủ để e m có thể làm
tất cả các bài v ề g iới hạn chỉ cần em tự họ c và chịu khó làm bài tập thôi là có thể làm tố t bài thi Đại họ c
đƣợc thôi.hihi.thân ái!! .Anh Sơn

Email: anhson.duong@gmail.com 36
TỔNG HỢP KIẾN THỨC LỚP 11


CHƢƠNG 3: ĐẠO HÀM


Lý thuyết đạo hàm
I Định nghĩa đạo hàm
1) Đạo hàm tại 1 điểm
Cho hàm số y = f(x) xác định trong một lân cận của x0 khi x0 nhận một số gia Δx thì y0 = f(x0) nhận một
số gia tương ứng là Δy = f(x0 + Δx) - f(x0)
Nếu lim (Δy/Δx) tồn tại thì ta gọi đó là đạo hàm của hàm số f tại x0. Ký hiệu f'(x0) :
Δx→0

f'(x0) = lim (Δy/Δx) = lim [f(x0 + Δx) - f(x0)]/Δx
Δx→0 Δx→0
Nếu đặt x = x0 + Δx thì Δx → 0 tức x → x0 và ta có:



Đạo hàm 1 phía
a) Bên phải
b) Bên trái
2- Đạo hàm trên một khoảng, một đoạn
f(x) có đạo hàm trên (a;b) ↔ f(x) có đạo hàm tại mọi x thuộc (a;b)
f(x) có đạo hàm trên [a;b] ↔ f(x) có đạo hàm trên (a;b), f'(a+) và f'( tồn tại

3- Quan hệ giữa đạo hàm và liên tục của hàm số
Cho hàm số có đạo hàm tại xo =>hàm liên tục tại đó
không có dấu chỉ chiều ngược lại
4- Ý nghĩa hình học của đạo hàm
Cho hàm số f(x) có đạo hàm tại xo thì tại điểm đó đồ thị của nó có tiếp tuyến dạng :
5/ Các công thức đạo hàm cơ bản
Cho hàm u ,v ta có các công thức sau :
II. ĐẠO HÀM CẤP CAO - VI PHÂN

1/ Đạo hàm cấp cao
Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm y' = f'(x). Đạo hàm cấp n (nếu có) của f(x) được xác định một cách
quy nạp như sau :
[f'(x)]' = f''(x) = f(x)(2) : đạo hàm cấp 2 của f(x)
[f''(x)]' = f'''(x) = f(x)(3) : đạo hàm cấp 3 của f(x)
[f'''(x)]' = f''''(x) = f(x)(4) : đạo hàm cấp 4 của f(x)
...........
[f(x)(n- 1)]' = f(x)(n) : đạo hàm cấp n của f(x)
2/ Vi phân
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x0. Gọi Δx là số gia của biến số tại x0. Tích f'(x0).Δx được gọi là vi
phân của hàm số f tại x0 ứng với số gia Δx (vi phân của f tại x0). Ký hiệu : df(x0) = f'(x0).Δx
Nếu lấy f(x) = x thì df = dx = (x)'.Δx = Δx. Do đó ta thay Δx = dx và có : df(x0) = f(x0)dx
Tổng quát : df(x) = f'(x)dx

III- M ột số bài toán về tính đạo hàm



Email: anhson.duong@gmail.com 37
TỔNG HỢP KIẾN THỨC LỚP 11



Ví dụ 1:Tính đạo hàm cấp 1 của

Riêng về những dạng đạo hàm
thì không thể dùng những phương pháp thông thường được ,Ta cần ln hai vế
Sau đó đạo hàm hai vế lúc đó ta có :
Từ đó ==> đạo hàm cần tìm
IV. ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM
1/ Tính đơn điệu của hàm số
a/ Điều kiện cần của tính đơn điệu
Cho y = f(x) là hàm số có đạo hàm trên (a;b)
f(x) tăng trên (a;b) → f'(x) ≥ 0, với mọi x thuộc (a;b)
f(x) giảm trên (a;b) → f'(x) ≤ 0, với mọi x thuộc (a;b)
b/ Điều kiện đủ của tính đơn điệu
Cho y = f(x) là hàm số có đạo hàm trên (a;b)
f'(x) > 0, với mọi x thuộc (a;b) → f(x) tăng trên (a;b)
f'(x) < 0, với mọi x thuộc (a;b) → f(x) giảm trên (a;b)
c/ Hàm hằng
f là hàm hằng trên (a;b) ↔ f'(x) = 0, với mọi x thuộc (a;b)
2/ Chứng minh bất đẳng thức
a/ Định lý Lagrange : Nếu f là hàm liên tục trên [a;b] và có đạo hàm trên (a;b) thì tồn tại ít nhất một số c

thuộc (a;b) sao cho
* Ý nghĩa hình học : Trên cung AB của đồ thị hàm f, tồn tại ít nhất một điểm mà tại đó tiếp tuyến song
song với đường thẳng AB
* Áp dụng : Nếu f'(x) bị chặn trong khoảng (a;b), tức tồn tại 2 số m, M sao cho :
m < f'(x) < M, với mọi x thuộc (a;b) → tồn tại c : m < f'(c) < M

Suy ra :
b/ Tính đơn điệu hoặc bảng biên thiên
- Khảo sát sự biến thiên của hàm f
- Dựa vào bảng biến thiên, rút ra đpcm (có thể dùng f'' để xét dấu f')

3/ Biện luận phƣơng trình và bất phƣơng trình
a/ Phƣơng trình f(x) = m
- Phương trình f(x) = m là phương trình hoàng độ điểm chung của đường thẳng (d): y = m và đồ thị hàm
số (C): y = f(x)
- Số nghiệm của phương trình là số điểm chung của (d) và (C)
- Dựa vào bảng biến thiên của hàm f và giá trị của m, kết luận số điểm chung, tức số nghiệm của phương
trình
- Một cách tổng quát: phương trình f(x) = m có nghiệm ↔ m thuộc MGT của f
b/ Bất phƣơng trình f(x) < m
Gọi D là MXĐ của f(x)
- Nghiệm của bất phương trình f(x) < m là hoành độ c ác điểm thuộc đồ thị (C): y = f(x) nằm dưới đường
thẳng (d): y = m
- Bất phương trình f(x) < m có nghiệm ↔ có một phần của đồ thị (C) nằm dưới đường thẳng (d)
- Bất phương trình f(x) < m thỏa với mọi x thuộc D ↔ toàn bộ đồ thị (C) nằm dưới đường thẳng (d)
** Tương tự với các bất phương trình : f(x) > m , f(x) ≤ m, f(x) ≥ m




Email: anhson.duong@gmail.com 38
TỔNG HỢP KIẾN THỨC LỚP 11

BÀI TẬP ĐẠO HÀM
Bài 1: Bằng định nghĩa, hãy tính đạo hàm của hàm số: y = 2x  1 tại x0 = 5

Giải: Tập xác định D =  x : x  
1
 
 2

 Với  x là số gia của x0 = 5 sao cho 5+  x   thì
  y = 2(5  x)  1 - 10  1
  
9  2x  3 9  2x  3
y 9  2x  9 y
 Ta có: Khi đó: y‟(5)= lim
= = lim
 
x x 0 x
x x 9  2x  3
x 0


9  2x  9 1
2
 = lim = lim =
   
x 9  2x  3 9  2x  3
x 0 x 0 3

x
Bài 2 : Chứng minh hàm số y  liên tục tại x0 = 0, nhưng không có đạo hàm tại điểm đó.
x 1

,neáu x  0
x
HD: Chú ý định nghĩa: x = 
-x ,neáu x 0) Ta có: lim
 = lim = lim =1
x x 0 x  x  1 x 0  x  1
x 0


, neáu x  0
 x 2
Bài 3: Cho hàm số y = f(x) = 
x , neáu x
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản