TỔNG HỢP PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ

Chia sẻ: phv1901

Tài liệu Luyện thi toán tham khảo về phương pháp giải bài tập phương trình vô tỉ

Bạn đang xem 7 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: TỔNG HỢP PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ

 

  1. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ 3.Phương pháp bất đẳng thức: 1.Phương pháp đặt ẩn phụ: Ví dụ: Giải phương trình:  Giải:  Ví dụ: Giải phương trình :  Theo BĐT Côsi ta có: Giải:  Đặt   ta có: Do đó:  với điều kiện  Tìm   sau đó suy ra   (chú ý đối chiếu điều kiện nghiệm đúng) 2.Phương pháp đưa về hệ phương trình: 4.Phương pháp lượng giác: Thường được dùng để giải phương trình vô tỷ có dạng: Ví dụ: Giải phương trình:  Ví dụ: Giải phương trình :  Giải:  Đặt: Điều kiện:   . Đặt:   với điều kiện  Khi đó ta có hệ: và biến đổi đơn giản ta có: suy ra   và từ đó tìm được  Giải hệ tìm   suy ra  . 1
  2. 5.Phương pháp nhân liên hợp: Ví dụ: Giải phương trình: Giải: Phương trình tương đương với: Kết hợp với điều kiện của t suy ra : Vậy phương tr“nh có 1 nghiệm : Ví dụ 2 : Lời giải : ĐK : I. Phương pháp lượng giác hoá Khi đó VP > 0 . 1. Nếu th“ ta có thể đặt Nếu hoặc Nếu . Ví dụ 1 : Đặt , với ta có : Lời giải : ĐK : Đặt Phương tr“nh đã cho trở thành : )( )=0 )( )=0 Vậy nghiệm của phương tr“nh là 2
  3. 2. Nếu th“ ta có thể đặt : Ví dụ 3 : Lời giải : ĐK : Ví dụ 5 : Đặt Lời giải : ĐK : Đặt phương tr“nh đã cho trở thành : Phương tr“nh đã cho trở thành : Vậy phương tr“nh có nghiệm duy nhất kết hợp với điều kiện của t suy ra Vậy phương tr“nh có 1 nghiệm : Ví dụ 4 (TC THTT): TQ : HD : Ví dụ 6 : Nếu : phương tr“nh không xác định . Lời giải : ĐK : Đặt Chú ý với ta có : phương tr“nh đã cho trở thành : vậy để giải phương tr“nh (1) ta chỉ cần xét với Đặt (thỏa mãn) TQ : khi đó phương tr“nh đã cho trở thành : với a,b là các hằng số cho trước 3
  4. II. 3. Đặt để đưa về phương tr“nh lượng giác đơn giản hơn : Ví dụ 7 : (1) Lời giải : Do không là nghiệm của phương tr“nh nên : (1) (2) Đặt . Khi đó (2) trở thành : Kết hợp với điều kiện suy ra : Vậy phương tr“nh có 1 nghiệm : Suy ra (1) có 3 nghiệm : Ví dụ 8 : 4. Mặc định điều kiện : . sau khi t“m được số nghiệm Lời giải : ĐK : chính là số nghiệm tối đa của phương tr“nh và kết luận : Ví dụ 9 : Lời giải : Đặt phương tr“nh đã cho tương đương với : phương tr“nh đã cho trở thành : (1) 4
  5. Đặt : ( thỏa mãn điều kiên (1) trở thành : Ví dụ 11 : Lời giải : ĐK : Đặt . :Leftrightarrow phương trình đã cho trở thành : Suy ra (1) có tập nghiệm : Vậy nghiệm của phương tr“nh đã cho có tập nghiệm chính là S * Với , ta có : II. Phương pháp dùng ẩn phụ không triệt để (vô nghiệm v“ : ) * Nội dung phương pháp : Đưa phương trình đã cho về phương tr“nh bậc hai với ẩn là ẩn * Với , ta có : phụ hay là ẩn của phương tr“nh đã cho : Do không là nghiệm của phương tr“nh nên : Đưa phương tr“nh về dạng sau : khi đó : Đặt . Phương trình viết thành : Bình phương hai vế và rút gọn ta được : (thỏa mãn) Đến đây chúng ta giải t theo x. Cuối cùng là giải quyết phương tr“nh sau khi đã đơn giản hóa và kết luận : TQ : Ví dụ 10 : (1) lúc đó chúng ta đặt  lời giải : ĐK : Đặt Lúc đó : (1) và đưa về hệ đối xứng loại haiVí dụ Phương tr“nh trở thành : 12 : Lời giải : Giải phương tr“nh trên với ẩn t , ta t“m được : Đặt . Phương tr“nh đã cho viết thành : Do nên không thỏa điều kiện . Với th“ : Từ đó ta tìm được hoặc Giải ra được : . * Nhận xét : Cái khéo léo trong việc đặt ẩn phụ đã được thể 5
  6. hiện rõ trong ở phương pháp này và cụ thể là ở ví dụ trên . Ở bài trên nếu chỉ dừng lại với việc chọn ẩn phụ th“ không dễ để giải quyết trọn vẹn nó . Vấn đề tiếp theo chính là ở việc kheo léo biến đổi phần còn lại để làm biến mất hệ số tự do , việc gải (2) giải đựoc bằng cách áp dụng phương pháp I : quyết t theo x được thực hiện dễ dàng hơn . Đặt để đưa về dạng : ví dụ 13 : TQ : Lời giải : ĐK : Với a là hắng số cho trước . Đặt . Ví dụ 16 : (1) phương trình đã cho trở thành : Lời giải : ĐK : Viết lại (1) dưới dạng : Giải ra : hoặc (loại) * ta có : (2) Đặt . Khi đó (2) trở thành : Vậy là các nghiệm của phương tr“nh đã cho . ví dụ 14 : Do vậy hoặc Lời giải : ĐK : * . Ta có : Đặt Phương tr“nh đã cho trở thành : * . Ta có : Phương tr“nh trên đã khá đơn giản !!!!!!! III. Phương pháp dùng ẩn phụ đưa về dạng tích Vậy phương tr“nh đã cho có 2 nghiệm : 1. Dùng một ẩn phụ Ví dụ 17 : Ví dụ 15 : (1) Lời giải : ĐK : (1) Đặt (2) . Lời giải : ĐK : . phương tr“nh đã cho trở thành : (3) Đặt . phương tr“nh (1) trở thành : 6
  7. Đối chiếu với hai điều kiện (1) và (2) thay vào và giải ra : (Do ) Ví dụ 18 : T“m x ta giải : Lời giải : ĐK : (1) Đặt (Thỏa (*)) Khi đó : . Vậy (1) có 2 nghiệm : phương tr“nh đã cho trở thành : Ví dụ 21 : Lời giải : ĐK : Chuyển vế r?#8220;i b“nh phương hai vế phương tr“nh mới : V“ nên : t^2 + t - 1003 < 0 (2) Do đó phương tr“nh tương đương với : Đặt và Th“ : Do vậy (thỏa (1)) 2. Dùng 2 ẩn phụ . (2) Ví dụ 9 : * ta có : Lời giải : * ta có : Đặt Giải ra ta được 2 nghiệm thỏa mãn : Ví dụ 22 : * lời giải : ĐK : Đặt : * Từ phương tr“nh ta được : ( Do ) từ đó ta giải ra được các nghiệm : Ví dụ 20 : (1) 3. Dùng 3 ẩn phụ . Lời giải : ĐK : hoặc (*) Ví dụ 23 : Đặt ta có : Lời giải : (1) trở thành : 7
  8. Đặt ta có : (1) Mặt khác : (2) Từ (1) và (2) ta có : Nên : :Leftrightarrow từ đó dễ dàng t“m ra 4 nghiệm của phương tr“nh : TQ : Ví dụ 24 : (1) b. Dùng 2 ẩn phụ . * ND : Lời giải : Đặt * Cách giải : Suy ra : Đặt : khi đó từ (1) ta có : Như vậy ta có hệ : :Leftrightarrow Giải như ví dụ 23 suy ra được 3 nghiệm của Ví dụ 26 : (1) phương tr“nh : Lời giải : ĐK : III. Phương pháp dùng ẩn phụ đưa về hệ Đặt 1. Dùng ẩn phụ đưa về hệ đơn giản giải bằng phép thế hoặc rút Khi đó : gọn theo vế . a. Dùng một ẩn phụ . (1) Ví dụ 25 : Lời giải :ĐK : Đặt . Ta có : :Leftrightarrow 8
  9. (2) (Do hệ : : vô nghiệm ) (1) hoặc Đến đây chỉ việc thay vào để t“m nghiệm của phương tr“nh ban đầu . Ví dụ 27 : Lời giải : ĐK : Đặt : 2. Dùng ẩn phụ đưa về hệ đối xứng Dạng 1 : Với : CG : Đặt ta có hệ : (*) Như vậy ta được hệ : Ví dụ 29 : Lời giải : Đặt : ta có : Giải (1) : (1) ( ) Vậy thỏa (*) chính là 2 nghiệm của phương tr“nh đã cho . Ví dụ 28 : (1) :Leftrightarrow Lời giải : Đặt : 9
  10. (2) : Vô nghiệm . Đối chiếu với điều kiện của hệ (*) ta được nghiệm duy nhất Vậy tập nghiệm của phương tr“nh là : của phương tr“nh là : Dạng 4 : Dạng 2 : Nội dung phương pháp : CG : ĐẶt Cho phương tr“nh : Với các hệ số thỏa mãn : PT :Leftrightarrow Ví dụ 30 : Lời giải : ĐK : Cách giải : Đặt : (1) Đặt PT Ví dụ 32 : Lấy (3) trừ (2) ta được : Lời giải : ĐK : PT (1) - Kiểm tra : (Do ) Đặt : Dạng 3 : Chọn ẩn phụ từ việc làm ngược : Ví dụ 31 : Lời giải : ĐK : (1) Đặt . Chọn a, b để hệ : Mặt khác : (2) Từ (1) và (2) ta có hệ : ( ) (*) là hệ đối xứng . Lấy ta được hệ : Đây là hệ đỗi xứng loại II đã biết cách giải . Ví dụ 33 : Lời giải : PT - Kiểm tra : Đặt : Giải hệ trên ta được : 10
  11. (1) Dạng 3: Phương trình: Mặt khác : (2) Từ (1) và (2) ta có hệ : Ví dụ 34 : (f(x,m) và g(x,m) phải có nghĩa) Lời giải : Ví dụ minh hoạ : PT VD1: tìm m để pt sau có nghiệm: - Kiểm tra : LG: Đặt : Phương trình đã cho được biến đổi tương đương đưa về dạng: (1) Mặt khác : (2) Do đó điều kiện để phương trình đã cho có nghiệm là: Từ (1) và (2) ta có hệ : (ST) Ví dụ Đặt ẩn phụ ­ dạng 1  Giải hệ trên đã thật đơn giản !!!!!!!!! Sử dụng phương pháp biến đổi  tương đương VD1: GPT:  Đặt  , ta có:  Dạng 1: Phương trình do đó điều kiện cho ẩn phụlà  Khi đó phương trình có dạng : Dạng 2: phương trình: Vậy pt có 2 nghiệm x=1, x=2 ( g(x,m) phải có nghĩa) 11
  12. Khi đó pt được chuyển thành hệ: VD2:GPT:  + + =0 (1) giải ra được   hay  Nx:  không là nghiệm của pt, chia cả 2 vế cho  được  Bài tập tương tự:  (2) Giải các pt sau: Đặt  } , khi đó  b> Giải và biện luận :  (2)   hoặc t=­1/2 Bây giờ xét 2 trường hợp: ví dụ:  TH1: Nếu n chẵn Khi đó ĐK của pt phải không âm,do đó 2 nghiệm trên bị loại.  Vậy pt vô nghiệm. TH2: Nếu n lẻ ­ Sử dụng BĐT,ví dụ: Với   ( vô nghiệm) Vậy Đk cho ẩn phụ là :  Với  ­Sử dụng đạo hàm [/b]  Vậy... Ví dụ    Bài tập tương tự: Giải các pt sau:    VD1: GPT:  Đặt  , ta có:  b>Giải và biện luận pt : do đó điều kiện cho ẩn phụlà  Khi đó phương trình có dạng : (ST) Ví dụ Đặt ẩn phụ ­ dạng 2:       Giải: Đk: đặt :  Vậy pt có 2 nghiệm x=1, x=2 12
  13.   Bài tập tương tự: Giải các pt sau:    b>Giải và biện luận pt : (ST) 13
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản