Trường điện tĩnh

Chia sẻ: Goi Xanh Xanh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:15

0
148
lượt xem
56
download

Trường điện tĩnh

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trường điện từ tĩnh là trường điện từ thỏa mãn các điều kiện sau : các đại lượng không thay đổi theo thời gian = các hàm riêng của các đại lượng này = 0

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Trường điện tĩnh

  1. Chöông 3: TRÖÔØNG ÑIEÄN TÓNH 1. Khaùi nieäm chung - Tröôøng ñieän töø tónh laø tröôøng ñieän töø thoûa maõn caùc ñieàu kieän sau:     a. Caùc ñaïi löôïng ñieän töø E, D, B, H, ρ, σ... khoâng thay ñoåi theo thôøi  ∂  gian ⇒ caùc ñaïo haøm rieâng cuûa caùc ñaïi löôïng naøy baèng 0  = 0  .  ∂t  b. Khoâng coù söï chuyeån ñoäng cuûa caùc ñieän tích, nghóa laø khoâng coù  doøng ñieän ⇒ maät ñoä doøng J = 0. - Heä phöông trình Maxell vaø caùc ñieàu kieän bieân cuûa caùc vectô tröôøng:    {n .( D1 − D 2 ) = σ}Σ ∂D      rot H = J + D = εE ∂   {n × ( E1 − E 2 ) = 0}Σ   t   ∂B B = µH rot E = − {n .( B 1 − B 2 ) = 0}Σ   ∂t   div B = 0 {n × ( H 1 − H 2 ) = J S }Σ      div D = ρ 1 Chöông 3: TRÖÔØNG ÑIEÄN TÓNH 1. Khaùi nieäm chung - Heä phöông trình Maxell vaø caùc ñieàu kieän bieân cuûa caùc vectô tröôøng cuûa tröôøn ñieän töø tónh: g {n .( D1 − D 2 ) = σ}Σ    rot H = 0 {n × ( E1 − E 2 ) = 0}Σ     rot E = 0 {n .( B 1 − B 2 ) = 0}Σ     div B = 0  div D = ρ {n × ( H 1 − H 2 ) = 0}Σ    - Phöông trình vaø ñieàu kieän bieân cuûa tröôøng ñieän töø tónh coù theå taùch thaønh 2 nhoùm ñoäc laäp:   rot H = 0   rot E = 0     Tröôøng   Tröôøng div B = 0   div D = ρ   {   } n .( B 1 − B 2 ) = 0 Σ   töø {    } n .( D 1 − D 2 ) = σ Σ   ñieän   { } { }       n × (H1 − H 2 ) = 0    Σ tónh n × (E1 − E 2 ) = 0 Σ     tónh 2 B = µH D = εE 1
  2. Chöông 3: TRÖÔØNG ÑIEÄN TÓNH 2. Tính chaát theá cuûa tröôøng ñieän tónh a. Coâng cuûa löïc ñieän tónh - Coâng cuûa löïc ñieän tónh khi dòch chuyeån moät ñôn vò ñieän tích döông theo ñöôøng kín C laø:  Q A = ∫ E .dl  C a - Ta coù rot E = 0 vaø aùp duïng ñònh lyù Stokes ta ñöôïc:   b A = ∫ E .dl = ∫ rot E .dS = 0 P C C S - Vaäy coâng cuûa löïc ñieän tónh thöïc hieän theo ñöôøng cong kín thì baèng 0: Tröôøng ñieän tónh laø tröôøng theá. Laáy ñöôøng kín C goàm 2 nhaùnh PaQ vaø QbP:        ∫ E.dl = ∫ E.dl + ∫ E.dl = 0 ⇒ ∫ E.dl = − ∫ E.dl ⇒ ∫ E.dl = ∫ E.dl PaQbP PaQ QbP PaQ QbP PaQ PbQ - Vaäy coâng cuûa löïc ñieän tónh khoâng phuï thuoäc vaøo ñöôøng dòch chuyeån, maø chæ phuï thuoäc vaøo ñieåm ñaàu vaø ñieåm cuoái cuûa ñöôøng 3 dòch chuyeån. Chöông 3: TRÖÔØNG ÑIEÄN TÓNH 2. Tính chaát theá cuûa tröôøng ñieän tónh b. Theá ñieän - Haøm theá voâ höôùng ϕ coøn goïi laø theá ñieän ϕ ñöôïc ñònh nghóa laø:   E = −gradϕ ñoù chính laø nghieäm cuûa phöông trình: rot E = 0  - Ñeå yù laø: E .dl = − grad ϕ .dl  ∂ϕ  ∂ϕ  ∂ϕ    gradϕ.dl =  (  )  ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ  ∂x ix + ∂y iy + ∂z iz  dx ix + dy iy + dz iz = ∂x dx + ∂y dy + ∂z dz = dϕ      ⇒ dϕ = −E.dl ⇒ ϕ = −∫ E.dl + C - Theá ñieän ϕ khoâng ñôn trò, ñöôïc xaùc ñònh vôùi 1 haèng soá coäng theâm vaøo. - Neáu choïn tröôùc giaù trò theá ñieän taïi ñieåm naøo ñoù thì theá ñieän taïi taát caû caùc ñieåm khaùc hoaøn toaøn xaùc ñònh. - Trong thöïc teá ngöôøi ta choïn theá ñieän chuaån cuûa ñaát baèng 0. Trong lyù thuyeát ngöôøi ta choïn theá ñieän chuaån baèng 0 ôû voâ cuøng 4 neáu ñieän tích phaân boá trong mieàn khoâng gian höõu haïn. 2
  3. Chöông 3: TRÖÔØNG ÑIEÄN TÓNH 2. Tính chaát theá cuûa tröôøng ñieän tónh b. Theá ñieän Q  - Hieäu ñieän theá giöõa 2 ñieåm P vaø Q laø: ϕ ( P ) − ϕ ( Q ) = ∫ P E .dl ( V ) - Hieäu ñieän theá giöõa 2 ñieåm baèng coâng cuûa löïc ñieän dòch chuyeån moät ñôn vò ñieän tích döông giöõa 2 ñieåm ñoù. - Neáu choïn theá ñieän chuaån baèng 0 ôû voâ cuøng ϕ(Q) = 0 thì: ∞  ϕ ( P ) = ∫ E .dl ( V ) P - Vectô cöôøng ñoä ñieän tröôøng cuûa ñieän tích ñieåm q ñoái xöùng ∞ u laø: caà  q   V ∞ ∞ ∞ q q  1 q E= i   ⇒ ϕ(P) = ∫ E.dl = ∫ Er .dr =∫ .dr = −  = 4πεr 2 r  m P P P 4πεr2 4πε  r  r 4πεr - Neáu coù moät heä goàm n ñieän tích ñieåm q 1, q2,…, qn thì theá ñieän taïi ñieåm P nhaän ñöôïc theo nguyeân lyù choàng tröôøng laø:        laø cöôøng ñoä ñieän tröôøng do q1, 5 E = E1 + E2 + ... + En E1 , E2 ,..., En q ,…, q gaây ra. 2 n Chöông 3: TRÖÔØNG ÑIEÄN TÓNH 2. Tính chaát theá cuûa tröôøng ñieän tónh b. Theá ñieän ∞  ∞  ∞  ∞  ⇒ ϕ ( P ) = ∫ E .dl = ∫ E 1 .dl + ∫ E 2 .dl + ... + ∫ E n .dl P P P P n n 1 qk ⇒ ϕ ( P ) = ϕ 1 ( P ) + ϕ 2 ( P ) + ... + ϕ n ( P ) = ∑ ϕ k (P ) = k =1 4 πε ∑ k = 1 rk 1 n q ⇒ ϕ(P) = ∑1 r − kr ' 4 πε k =   k     vôùi r = x ix + y iy + z iz laø vectô vò trí xaùc ñònh ñieåm P.     rk ' = x'k ix + y'k iy + z'k iz laø vectô vò trí xaùc ñònh ñieän tích qk. z   P(r )  r rk  qk rk ' 0 y 6 x 3
  4. Chöông 3: TRÖÔØNG ÑIEÄN TÓNH 2. Tính chaát theá cuûa tröôøng ñieän tónh b. Theá ñieän - Tröôøng hôïp ñieän tích phaân boá lieân tuïc trong theå tích V, treân maët S, treân ñöôøng L vôùi maät ñoä ñieän tích khoái ρ, maät ñoä ñieän tích maët σ , maät ñoä ñieän tích daøi λ , khi ñoù ta coù: 1 dq ϕ(P) = ∫ , L r − r'   4 πε V , S   ρ ( r ' ). dV   trong ñoù dq laø yeáu toá ñieän tích ñieåm: dq =  σ ( r ' ). dS   λ ( r ' ). dl   r ' laø vectô vò trí xaùc ñònh yeáu toá theå tích dV, yeáu toá dieän tích dS, yeáu toá daøi dl. 7 Chöông 3: TRÖÔØNG ÑIEÄN TÓNH 3. Phöông trình Poisson - Laplace     - Ta coù: div D = ρ maø D = ε E , E = − grad ϕ  ⇒ div ( ε E ) = ρ ⇒ div ( ε ( − grad ϕ )) = ρ ⇒ div ( ε grad ϕ ) = − ρ - Neáu mieàn khaûo saùt laø moâi tröôøng ñoàng nhaát thì ε = const vaø ta coù: div ( grad ϕ ) = − ρ / ε ⇒ ∆ϕ = − ρ / ε ∆ laø toaùn töû Laplace, trong heä toïa ñoä Ñeà caùc: ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ ∆ϕ = + + = − ρ / ε Phöông trình Poisson ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 Phöông trình Poisson coù nghieäm rieâng daïng tích phaân:  1 ρ (r' ) ϕ(P) =   dV 4 πε ∫ r − r ' V - Neáu trong mieàn khaûo saùt khoâng coù ñieän tích ( ρ = 0 ) thì: 8 ∆ϕ = 0 Phöông trình Laplace 4
  5. Chöông 3: TRÖÔØNG ÑIEÄN TÓNH 4. Vaät daãn trong tröôøng ñieän tónh - Vaät daãn hay moâi tröôøng daãn laø moâi tröôøng coù caùc ñieän tích töï do. - Döôùi taùc duïng cuûa löïc ñieän caùc ñieän tích töï do chuyeån dôøi taïo neân doøng ñieän daãn.  - Moâi tröôøng daãn coù ñoä daãn ñieän γ ≠ 0, maät ñoä doøng ñieän daãn J   lieân heä vôùi vectô cöôøng ñoä ñieän tröôøng theo ñònh luaät Ohm: J = γ E - Neáu trong moâi tröôøng daãn ôû thôøi ñieåm t taïi mieàn naøo ñoù coù phaân  boá ñieän tích khoái maät ñoä ρ ( P , t ) thì maät ñoä doøng J vaø maät ñoä ñieän tích khoái ρ lieân heä vôùi nhau theo phöông trình lieân tuïc:  ∂ρ     div J + = 0 div D = ρ ⇒ div ( εE ) = ρ , div J = div ( γ E ) ∂t vôùi moâi tröôøng ñoàng nhaát γ = const, ε = const phöông trình lieân tuïc trôû thaønh:      γ ∂ρ γ ε div E = ρ ⇒ div E = ρ / ε , div J = div ( γ E ) = γ div E = ρ ⇒ + ρ= 0 ε ∂t ε 9 - Phöông trình naøy coù nghieäm: ρ = ρ 0 .e − ( γ / ε ) t = ρ 0 .e − t / T (C / m 3 ) Chöông 3: TRÖÔØNG ÑIEÄN TÓNH 4. Vaät daãn trong tröôøng ñieän tónh T = ε / γ (s) laø haèng soá thôøi gian. - Nhö vaäy maät ñoä ñieän tích khoái beân trong vaät daãn suy giaûm raát nhanh theo quy luaät haøm muõ vôùi haèng soá thôøi gian T. - Nhö vaäy neáu taïi moät ñieåm baát kyø trong vaät daãn maät ñoä ñieän tích khoái ôû thôøi ñieåm ban ñaàu baèng 0 (ρ 0 = 0 ) thì seõ baèng 0 ôû moïi thôøi ñieåm. - Vì theá khoâng coù löôïng ñieän tích naøo suy giaûm ôû moät mieàn beân trong vaät daãn ñeå roài xuaát hieän ôû moät mieàn khaùc beân trong vaät daãn naøy. - Maët khaùc ñieän tích phaûi baûo toaøn söï suy giaûm ñieän tích beân trong vaät daãn chæ coù theå daõn tôùi söï xuaát hieän ñieän tích maët treân vaät daãn. Quaù trình naøy dieãn ra raát nhanh. 10 5
  6. Chöông 3: TRÖÔØNG ÑIEÄN TÓNH 4. Vaät daãn trong tröôøng ñieän tónh - Khi ñaët vaät daãn vaøo tröôøng ñieän ngoaøi, döôùi taùc duïng cuûa löïc ñieän seõ coù söï phaân boá laïi caùc ñieän tích töï do treân maët vaät daãn. - Caùc ñieän tích caûm öùng naøy taïo ra moät ñieän tröôøng phuï laøm trieät tieâu ñieän tröôøng beân trong vaät daãn vaø laøm meùo ñieän tröôøng beân ngoaøi vaät daãn.    - Ñieàu kieän caân baèng tónh ñieän ñoøi hoûi maät ñoä doøng J = 0 : J = γ E = 0  do γ ≠ 0 ⇒ E (trong vaät daãn) = 0  do E (trong vaät daãn) = − grad ϕ = 0 ⇒ ϕ (vaät daãn) = const - Theá ñieän taïi moïi ñieåm beân trong vaät daãn ñeàu baèng nhau: vaät daãn laø vaät ñaúng theá. 11 Chöông 3: TRÖÔØNG ÑIEÄN TÓNH 4. Vaät daãn trong tröôøng ñieän tónh - Vì cöôøng ñoä ñieän tröôøng beân trong vaät daãn baèng 0 neân theo ñieàu kieän bieân taïi maët vaät daãn ta coù:   σ = D n = n .D    D = D n .n = σ .n - Vaäy caùc ñöôøng söùc ñieän tröôøng vuoâng goùc vôùi maët vaät daãn. Taïi nhöõng ñieåm beân trong vaät daãn:   div E = 0, div D = 0  div D = ρ ⇒ ρ (trong vaät daãn) = 0 - Vaäy ñieän tích chæ phaân boá ngoaøi maët vaät daãn vôùi maät ñoä ñieän tích maët σ (C/ m2 ).  n −  + E=0 E=0 + − + q 12 6
  7. Chöông 3: TRÖÔØNG ÑIEÄN TÓNH 5. Söï phaân boá theá ñieän vaø ñieän tích trong heä thoáng vaät daãn a. Ñònh lyù töông hoã - Heä thoáng n vaät daãn, ñieän tích caùc vaät daãn laàn löôït laø q 1, q2,…, qk,…, qn vaø theá ñieän laàn löôït laø ϕ 1 , ϕ 2 ,..., ϕ k ,..., ϕ n . - Khi ñieän tích caùc vaät daãn thay ñoåi nhaän trò soá môùi q 1’, q2’,…, qk’,…, qn’, theá ñieän caùc vaät daãn thay ñoåi theo coù giaù trò laàn löôït laø ϕ '1 , ϕ '2 ' ,..., ϕ 'k ,..., ϕ 'n . - Giaû söû caùc vaät daãn phaân boá trong 1 mieàn giôùi noäi ñaët trong moâi tröôøng tuyeán tính ñaúng höôùng khoâng coù phaân boá ñieän tích khoái. - Mieàn khoâng gian coù ñieän tröôøng V laø toaøn khoâng gian tröø ñi theå tích caùc vaät daãn. Taïi ñieåm P trong mieàn V caûm öùng ñieän tröôùc vaø sau khi caùc vaät daãn thay ñoåi thoûa maõn phöông trình Maxwell:   div D = 0, div D' = 0   E = − grad ϕ , E' = − grad ϕ' 13 Chöông 3: TRÖÔØNG ÑIEÄN TÓNH 5. Söï phaân boá theá ñieän vaø ñieän tích trong heä thoáng vaät daãn a. Ñònh lyù töông hoã        div (ϕ' D) = ϕ' div D + D grad ϕ' = − D. E' = − εE.E'        div (ϕ D' ) = ϕdiv D'+ D' grad ϕ = − D'. E = − εE. E'   ⇒ div (ϕ' D) = div (ϕ D' )     ⇒ ∫ div (ϕ' D). dV = ∫ div (ϕ D' ). dV ⇒ ∫ (ϕ' D) dS = ∫ (ϕD' ) dS V V S S - Maët kín S bao goàm toaøn khoâng gian ôû voâ cuøng S( ∞ ) vaø caùc maët n vaät daãn ∑ S k . Tích phaân laáy theo maët S( ∞ ) baèng 0 vì caùc vaät daãn k =1 phaân boá trong mieàn giôùi noäi, do ñoù ta coù:   n  n  ∫ (ϕ' D) dS = ∫ (ϕ D' ) dS ⇒ ∑ ∫ (ϕ' D) dS = ∑ ∫ (ϕD' ) dS n n k =1 k =1 Sk Sk 14 ∑ Sk ∑ Sk k =1 k =1 7
  8. Chöông 3: TRÖÔØNG ÑIEÄN TÓNH 5. Söï phaân boá theá ñieän vaø ñieän tích trong heä thoáng vaät daãn a. Ñònh lyù töông hoã - Treân vaät daãn k: ϕ k = const , ϕ'k = const, neân ta coù: n  n  ∑ ϕ 'k ∫ D dS = ∑ ϕ k ∫ D ' dS k =1 k =1 Sk Sk - AÙp duïng ñònh luaät Gauss ta coù: n n ∑ ϕ'k q k = ∑ ϕ k q'k (*) k =1 k =1 - Heä thöùc (*) laø bieåu dieãn toaùn hoïc cuûa ñònh lyù töông hoã. 15 Chöông 3: TRÖÔØNG ÑIEÄN TÓNH 5. Söï phaân boá theá ñieän vaø ñieän tích trong heä thoáng vaät daãn b. Heä soá theá - Theá ñieän ϕ vaø ñieän tích q cuûa moät vaät daãn coâ laäp lieân heä nhau qua thoâng soá C goïi laø ñieän dung cuûa vaät daãn coâ laäp: q ϕ= C - Ñieän dung C cuûa vaät daãn coâ laäp phuï thuoäc vaøo hình daïng, kích thöôùc cuûa vaät daãn vaø moâi tröôøng ñaët vaät daãn, C ño baèng Farad (F). - Ñoái vôùi heä n vaät daãn mang ñieän, theá ñieän cuûa moãi vaät daãn phuï thuoäc vaøo ñieän tích, hình daïng, vaø söï phaân boá cuûa taát caû vaät daãn ñaët trong heä. Theá ñieän taïi ñieåm P do ñieän tích qk gaây ra: ϕ k = B pk q k vôùi Bpk laø heä soá tyû leä - Theá ñieän taïi ñieåm P do caû heä n vaät daãn mang ñieän q 1, q2,…, qn gaây ra: ϕ p = ϕ p 1 + ... + ϕ pk + ... + ϕ pn = B p 1q 1 + ... + B pk q k + ... + B pn q n 16 8
  9. Chöông 3: TRÖÔØNG ÑIEÄN TÓNH 5. Söï phaân boá theá ñieän vaø ñieän tích trong heä thoáng vaät daãn b. Heä soá theá - Neáu ñieåm P choïn treân vaät daãn k thì theá ñieän cuûa vaät daãn k baèng: n ϕ k = B k 1q 1 + ... + B kk q k + ... + B kn q n = ∑B m =1 km qm - Caùc heä soá Bkm, vôùi k ≠ m , goïi laø heä soá theá töông hoã giöõa vaät daãn k vaø vaät daãn m. - Heä soá theá töông hoã phuï thuoäc hình daïng, kích thöôùc vaø vò trí töông hoã giöõa caùc vaät daãn vaø moâi tröôøng ñaët vaät daãn. - Khi vaät daãn m mang ñieän tích q m ≠ 0 , caùc vaät daãn coøn laïi khoâng mang ñieän (q1 = q2 = ... = qn = 0) thì: ϕk = Bkmq m ⇒ Bkm = ϕk / q m (F−1 ) - Vaät daãn k ñaët trong ñieän tröôøng cuûa vaät daãn m mang ñieän tích qm > 0 seõ coù ñieän theá ϕk > 0 do ñoù: 17 Bkm > 0 Chöông 3: TRÖÔØNG ÑIEÄN TÓNH 5. Söï phaân boá theá ñieän vaø ñieän tích trong heä thoáng vaät daãn b. Heä soá theá - Giaû thieát ôû traïng thaùi ban ñaàu chæ coù vaät daãn k mang ñieän q k ≠ 0, caùc vaät daãn khaùc khoâng mang ñieän (q1 = q2 = ... = qn = 0). - ÔÛ traïng thaùi môùi chæ coù vaät daãn m mang ñieän q'm ≠ 0 caùc vaät daãn khaùc khoâng mang ñieän (q'1 = q'2 = ... = q'n = 0). Theo ñònh lyù töông hoã ta coù: ϕ 'k .q k = ϕ m .q 'm ϕ'k = B km q 'm , ϕ m = B mk q k ⇒ B km q 'm .q k = B mk q k .q 'm ⇒ B km = B mk - Vaäy caùc heä soá theá töông hoã khoâng ñoäc laäp ñoái vôùi nhau. - Caùc heä soá theá B11,…, Bkk,…, Bnn goïi laø heä soá theá rieâng. Heä soá theá rieâng phuï thuoäc vaøo hình daïng, kích thöôùc cuûa vaät daãn vaø moâi tröôøng ñaët vaät daãn. 18 9
  10. Chöông 3: TRÖÔØNG ÑIEÄN TÓNH 5. Söï phaân boá theá ñieän vaø ñieän tích trong heä thoáng vaät daãn b. Heä soá theá - Khi vaät daãn k mang ñieän q k ≠ 0 , caùc vaät daãn khaùc khoâng mang ñieän (q1 = q2 = ... = qn = 0), thì: Bkk = ϕk / qk (F−1 ) - Vaät daãn k ñieän tích qk > 0 seõ coù ñieän theá ϕk > 0, do ñoù: Bkk > 0 19 Chöông 3: TRÖÔØNG ÑIEÄN TÓNH 5. Söï phaân boá theá ñieän vaø ñieän tích trong heä thoáng vaät daãn c. Heä soá ñieän dung - Heä soá caûm öùng - Coù theå xaùc ñònh ñieän tích cuûa 1 vaät daãn theo theá ñieän cuûa caùc vaät daãn trong heä n vaät daãn baèng caùch giaûi heä n phöông trình: n q k = A k 1ϕ 1 + ... + A km ϕ m + ... + A kk ϕ k + ... + A kn ϕ n = ∑ A km ϕ m m =1 - Caùc heä soá Akm vôùi k ≠ m , goïi laø heä soá ñieän dung töông hoã giöõa vaät daãn k vaø vaät daãn m, coøn goïi laø heä soá caûm öùng. - Caùc heä soá cuøng chæ soá Akk goïi laø heä soá ñieän dung rieâng. - Caùc heä soá ñieän dung tính qua heä soá theá: A km = ∆ km / ∆ vôùi ∆ laø ñònh thöùc laäp töø caùc heä soá theá, ∆ km laø phaàn phuï ñaïi soá cuûa phaàn töû Bkm trong ñònh thöùc ∆ : B 11 ... B 1m ... B 1n B 11 ... B 1m ... B 1n ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ∆ = B k1 ... B km ... B kn ∆ km = ( − 1)(k + m ) B k 1 ... B km ... B kn ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 20 B n1 ... B nm ... B nn B n1 ... B nm ... B nn 10
  11. Chöông 3: TRÖÔØNG ÑIEÄN TÓNH 5. Söï phaân boá theá ñieän vaø ñieän tích trong heä thoáng vaät daãn c. Heä soá ñieän dung - Heä soá caûm öùng - Ta coù: Bkm = Bmk, ∆ km = ∆ mk ⇒ A km = A mk - Noái taát caû caùc vaät daãn vôùi ñaát, ( ϕ 1 = ϕ 2 = ... = ϕ n = 0 ) tröø vaä t daãn k khi ñoù: q = A ϕ , A = q / ϕ (F ) k kk k kk k k q m = A mk ϕ k , A mk = q m / ϕ k ( F ) - Vì ñieän tích naïp cho vaät daãn k laø qk cuøng daáu vôùi ñieän theá ϕ k neân: A kk > 0 - Söï coù maët cuûa ñieän tích qk treân vaät daãn k laøm xuaát hieän ñieän tích caûm öùng qm ngöôïc daáu vôùi qk, nghóa laø ngöôïc daáu vôùi ϕ k do ñoù: A mk < 0 - Caùc heä soá ñieän dung phuï thuoäc hình daïng, kích thöôùc, vò trí töông hoã giöõa caùc vaät daãn vaø phuï thuoäc moâi tröôøng. 21 Chöông 3: TRÖÔØNG ÑIEÄN TÓNH 5. Söï phaân boá theá ñieän vaø ñieän tích trong heä thoáng vaät daãn c. Heä soá ñieän dung - Heä soá caûm öùng - Heä 2 vaät daãn caûm öùng ñieän toaøn phaàn (coù ñieän tích baèng nhau vaø traùi daáu) laø moät tuï ñieän. Ta coù: q 1 = A 11 ϕ 1 + A 12 ϕ 2 = q q 2 = A 21 ϕ 1 + A 22 ϕ 2 = − q ⇒ ( A 11 + A 21 )ϕ 1 + ( A 12 + A 22 )ϕ 2 = 0 - Heä thöùc naøy nghieäm ñuùng vôùi moïi giaù trò cuûa ϕ 1 , ϕ 2 khi: A 11 + A 21 = 0, A 12 + A 22 = 0 ⇒ A 11 = − A 21 = − A 12 = A 22 = C - C laø ñieän dung cuûa tuï ñieän, ñaëc tröng cho khaû naêng tích ñieän cuûa tuï ñieän: q C= (F ) 22 ϕ1 − ϕ 2 11
  12. Chöông 3: TRÖÔØNG ÑIEÄN TÓNH 5. Söï phaân boá theá ñieän vaø ñieän tích trong heä thoáng vaät daãn d. Ñieän dung boä phaän - Ta coù: n q k = A k 1 ϕ 1 + ... + A km ϕ m + ... + A kk ϕ k + ... + A kn ϕ n = ∑A m =1 km ϕm n ⇒ q k = A kk ϕ k + ∑A m =1 km (ϕ m − ϕ k + ϕ k ) m ≠k n n ⇒ q k = A kk ϕ k + ∑A m =1 km ϕk + ∑ (− A m =1 km )( ϕ k − ϕ m ) m ≠k m≠k n n n ⇒ q k = ϕ k ∑ A km + ∑ (− A km ) U km ⇒ q k = C kk U ko + ∑C km U km m =1 m =1 m =1 m ≠k m ≠k vôùi: U ko = ϕ k hieäu ñieän theá giöõa vaät daãn k vaø ñaát. n C kk = ∑A m =1 km ñieän dung boä phaän rieâng cuûa vaät daãn k. 23 Chöông 3: TRÖÔØNG ÑIEÄN TÓNH 5. Söï phaân boá theá ñieän vaø ñieän tích trong heä thoáng vaät daãn d. Ñieän dung boä phaän C km = − A km ñieän dung boä phaän töông hoã giöõa vaät daãn k vaø vaät daãn m. - Ñieän dung boä phaän phuï thuoäc hình daïng, kích thöôùc, vò trí töông hoã cuûa caùc vaät daãn vaø phuï thuoäc moâi tröôøng ñaët caùc vaät daãn. - Khi noái taát caû caùc vaät daãn trong heä vôùi vaät daãn k: Ukm = ϕk − ϕm = 0 ruùt ra: q k = Ckk U ko = C kk ϕ k - Vì ñieän tích naïp cho vaät daãn k qk vaø theá ñieän ϕk cuûa vaät daãn naøy cuøng daáu neân: C kk > 0 - Vì Akm = Amk neân: C km > 0, C km = C mk - Ñieän tích qk cuûa vaät daãn k laø toång caùc ñieän tích: + Ñieän tích boä phaän (CkkUko) gaây neân hieäu theá giöõa vaät daãn k vaø ñaát. + Ñieän tích boä phaän (CkmUkm) gaây neân hieäu theá giöõa vaät daãn 24 vaøk vaät daãn m. 12
  13. Chöông 3: TRÖÔØNG ÑIEÄN TÓNH 6. Naêng löôïng tröôøng ñieän - Naêng löôïng tröôøng ñieän bieåu dieãn qua caùc vectô ñaëc tröng cho tröôøng ñieän bôûi heä thöùc: 1  We = ∫ E D dV ( J ) 2V - Giaû söû tröôøng ñieän ñöôïc taïo neân bôûi caùc ñieän tích phaân boá khoái maät ñoä ρ ( C / m 3 ) trong theå tích V’ vaø ñieän tích phaân boá maët maät ñoä σ ( C / m2 )treân  t S’. Ta coù: maë   E .D = − Dgrad ϕ = ϕ div D − div ( ϕD ), div D = ρ    1 1  ⇒ E .D = ϕρ − div ( ϕD ) ⇒ We = ∫ ϕρ dV − ∫ div ( ϕ D )dV 2V 2V     - Ta coù: ∫ div ( ϕ D )dV = ∫ ϕ D dS ' '+ ∫ ϕ D dS n dS' S' ' V S '' S dS 2 (1) S' dS1 25 S (2) Chöông 3: TRÖÔØNG ÑIEÄN TÓNH 6. Naêng löôïng tröôøng ñieän - Tích phaân laáy theo maët S’’ bao toaøn khoâng gian coù tröôøng ñieän vaø maët S bao maët S’ coù phaân boá ñieän tích töï do maët. - Tích phaân laáy theo maët S’’ ôû voâ cuøng baèng 0 neáu caùc ñieän tích phaân boá trong moät mieàn giôùi noäi. - Tích phaân laáy theo maët S khi ñeán giôùi haïn S co saùt S’, ñöôïc taùch thaønh 2 tích phaân:       ∫ S ϕ D dS = ∫ ϕ D 2 dS ' − ∫ ϕ D 1 dS ' = ∫ ϕ n ( D 2 − D 1 ) dS ' S' S' S'   1 1 ∫ div ( ϕ D ) dV = V ∫ ϕ D dS = − S∫' ϕσ dS ' ⇒ We = 2 V ' ϕρ dV + 2 S∫' ϕσdS ' S ∫ - Neáu tröôøng ñieän taïo bôûi heä thoáng goàm n vaät daãn mang ñieän q 1, q2,…, qn thì naêng löôïng cuûa heä thoáng vaät daãn mang ñieän laø: 1 1 n We = ∫ ϕσ dS ' = ∑ ∫ ϕ k σ k dS k 26 2 S' 2 k =1 Sk 13
  14. Chöông 3: TRÖÔØNG ÑIEÄN TÓNH 6. Naêng löôïng tröôøng ñieän - Tích phaân laáy theo maët vaät daãn k (S k), treân maët Sk thì ϕ k = const , neân: 1 n 1 n We = ∑ ϕ k ∫ σ k dS k = ∑ ϕ k q k 2 k =1 S k 2 k =1 n n 1 maø ϕ k = ∑B m =1 km q m ⇒ We = ∑ B km q k q m 2 k ,m = 1 n 1 n q k = ∑ A km ϕ m ⇒ We = ∑ A km ϕ k ϕ m m =1 2 k ,m = 1 - Khi ñoù naêng löôïng cuûa moät vaät daãn coâ laäp mang ñieän tích q laø: 1 1 1 q2 We = ϕ q = C ϕ 2 = 2 2 2 C q C= ( F ) laø ñieän dung cuûa vaät daãn coâ laäp ϕ 27 Chöông 3: TRÖÔØNG ÑIEÄN TÓNH 6. Naêng löôïng tröôøng ñieän - Naêng löôïng cuûa tuï ñieän laø naêng löôïng cuûa heä hai vaät daãn mang ñieän baèng nhau traùi daáu: 1 1 1 1 1 1 q2 We = ϕ 1 q 1 + ϕ 2 q 2 = q ( ϕ 1 − ϕ 2 ) = qU = CU = 2 2 2 2 2 2 2 C C laø ñieän dung cuûa tuï ñieän: q q C= = (F ) ϕ1 − ϕ 2 U 28 14
  15. Chöông 3: TRÖÔØNG ÑIEÄN TÓNH 7. Baøi taäp 1. Theá ñieän ϕ cuûa tröôøng ñieän tónh phaân boá nhö sau: a ,r< R a. Toïa ñoä caàu: ϕ =  (aR / r ) ,r > R a ln(d / R) , r < R b. Toïa ñoä truï: ϕ =  a ln(d / r ) , r > R a, d, R laø nhöõng haèng soá. Haõy tính cöôøng ñoä tröôøng ñieän trong 2 tröôøng hôïp treân. 2. Cöôøng ñoä ñieän tröôøng beân trong quaû caàu ( ε 1 = 3 ε 0 ) baùn kính R =   0.01m coù daïng: E1 = K 1r , 0 < r < R . Cöôøng ñoä ñieän tröôøng beân ngoaøi quaû caàu ( ε 2 = ε 0 ) coù daïng:   E 2 = ( K 2 / r 3 )r , r > R vôùi: K 1 = 12 ,56 ( V / m 2 ), K 2 = 3,77. 10 −3 ( Vm ) Tìm maät ñoä ñieän tích khoái beân trong vaø beân ngoaøi quaû caàu, ñieän tích Q phaân boá trong khoâng gian. 29 Chöông 3: TRÖÔØNG ÑIEÄN TÓNH 7. Baøi taäp 3. Theá ñieän cuûa 1 tröôøng ñieän tónh phaân boá nhö sau: Q Q ϕ1 = , r > R; ϕ 2 = , r
Đồng bộ tài khoản