Trường điện từ biến thiên

Chia sẻ: Goi Xanh Xanh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:32

0
120
lượt xem
55
download

Trường điện từ biến thiên

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đối với môi trường đẳng hướng , tuyến tính các đại lượng đặc trưng cho trường điện từ liên hệ với nhau qua các phương trình chất

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Trường điện từ biến thiên

  1. Chöông 4: TRÖÔØNG ÑIEÄN TÖØ BIEÁN THIEÂN 1. Khaùi nieäm chung - Tröôøng ñieän töø bieán thieân ñöôïc moâ taû bôûi heä phöông trình Maxwell:     ∂D  ∂B   rot H = J + , rot E = − , div B = 0 , div D = ρ ∂t ∂t - Ñoái vôùi moâi tröôøng ñaúng höôùng, tuyeán tính caùc ñaïi löôïng ñaëc tröng cho tröôøng ñieän töø lieân heä vôùi nhau qua caùc phöông trình chaát:          D = εE , B = µH , J = γ ( E + E ng ) = γ E + γE ng   - Trong ñoù ta goïi E ng laø cöôøng ñoä tröôøng ñieän “ngoaøi”, J ng laø maät ñoä doøng ñieän “ngoaøi”, chuùng ñaëc tröng cho nguoàn ban ñaàu gaây ra     tröôøng ñieän töø. ÔÛ mieàn beân ngoaøi nguoàn thì Eng = 0, J ng = 0 vaø: J = γ E . - Maät ñoä doøng ñieän vaø maät ñoä ñieän tích lieân heä vôùi nhau theo phöông trình lieân tuïc:  ∂ρ div J = − 1 ∂t Chöông 4: TRÖÔØNG ÑIEÄN TÖØ BIEÁN THIEÂN 1. Khaùi nieäm chung - Naêng löôïng tröôøng ñieän töø bieán thieân lan truyeàn thaønh doøng naêng löôïng vôùi vectô maät ñoä doøng coâng suaát laø vectô Poynting:    P = E×H - Vaø coâng suaát tröôøng ñieän töø göûi qua maët S baèng:   P= ∫ ( E × H ). dS S - Ñaëc tính soùng cuûa tröôøng ñieän töø bieán thieân hieän roõ qua caùc hieän töôïng giao thoa, nhieãu xaï… cuûa soùng ñieän töø. Soùng ñieän töø lan truyeàn vôùi vaän toác v = 3.108 (m/s). 2 1
  2. Chöông 4: TRÖÔØNG ÑIEÄN TÖØ BIEÁN THIEÂN 2. Theá vectô vaø theá voâ höôùng cuûa tröôøng ñieän töø bieán thieân - Caùc phöông trình soùng  a. Khaùi nieäm theá vectô A vaø theá voâ höôùng ϕ cuûa tröôøng ñieän töø bieán thieân  - Do div cuûa rot luoân baèng 0 neân töø phöông trình div B = 0 , suy ra   coùtheå bieåu dieãn: B = rot A A ñöôïc goïi laø theá vectô cuûa tröôøng ñieän töø bieán thieân. - Ta coù:     ∂B  ∂   ∂A    ∂A  rot E = − ⇒ rot E = − ( rot A ) = − rot   ∂ t  ⇒ rot  E + ∂ t  = 0    ∂t ∂t     - Chuù yù raèng rot(grad(f))=0, töø ñoù suy ra coù theå bieåu dieãn vectô   ∂A E+ qua gradient cuûa moät haøm voâ höôùng ϕ . ∂t  ∂A    ∂A E+ = − grad ϕ ⇒ E = − grad ϕ − ∂t ∂t ϕ : ñöôïc goïi laø theá voâ höôùng cuûa tröôøng ñieän töø bieán thieân. 3 Chöông 4: TRÖÔØNG ÑIEÄN TÖØ BIEÁN THIEÂN 2. Theá vectô vaø theá voâ höôùng cuûa tröôøng ñieän töø bieán thieân - Caùc phöông trình soùng  a. Khaùi nieäm theá vectô A vaø theá voâ höôùng ϕ cuûa tröôøng ñieän töø bieán thieân  ∂A  - Soá haïng ≠ 0 chöùng toû tröôøng ñieän E cuûa tröôøng ñieän töø bieán ∂t thieân khoâng phaûi laø tröôøng theá, coâng thöïc hieän bôûi tröôøng ñieän naøy khi dòch chuyeån ñieän tích giöõa 2 ñieåm noùi chung phuï thuoäc vaøo ñöôøng ñi.  - Caùc theá A , ϕ ñöôïc xaùc ñònh theo caùc coâng thöùc ôû treân thì khoâng    ñôn trò. Thaät vaäy, giaû söû A , ϕ laø caùc theá moâ taû tröôøng ñieän töø E , B naøo ñoù. Ñaët:   ∂ f f laø moät haøm voâ höôùng baát kyø, lieân A' = A + gradf , ϕ' = ϕ −  ∂ t tuïc cuûa toïa ñoä thôøi gian.  - Chuùng ta tìm tröôøng E ' , B ' moâ taû bôûi caùc theá A ' , ϕ' : ( )        4 B' = rotA' = rot A + gradf = rotA + rotgradf ⇒ B' = rotA = B 2
  3. Chöông 4: TRÖÔØNG ÑIEÄN TÖØ BIEÁN THIEÂN 2. Theá vectô vaø theá voâ höôùng cuûa tröôøng ñieän töø bieán thieân - Caùc phöông trình soùng  a. Khaùi nieäm theá vectô A vaø theá voâ höôùng ϕ cuûa tröôøng ñieän töø bieán thieân   ∂ A'  ∂f  ∂  E' = − grad ϕ'− = − grad  ϕ −  − ( A + gradf ) ∂t  ∂t  ∂t   ∂A  ∂f  ∂  ∂A  = − grad ϕ − + grad   − ( gradf ) ⇒ E' = − grad ϕ − =E ∂t   ∂t  ∂t ∂t - Nhö vaäy caùc theá A ' , ϕ ' cuõng moâ taû chính tröôøng ñieän töø ñöôïc moâ  taû bôûi caùc theá A , ϕ .  - Lôïi duïng tính khoâng ñôn trò cuûa A , ϕ ngöôøi ta coù theå choïn chuùng baèng caùch ñöa theâm caùc ñieàu kieän phuï xaùc ñònh. Trong ñieän ñoäng löïc hoïc ngöôøi ta ñöa vaøo ñieàu kieän phuï Lorentz:  ∂ϕ div A + εµ =0 5 ∂t Chöông 4: TRÖÔØNG ÑIEÄN TÖØ BIEÁN THIEÂN 2. Theá vectô vaø theá voâ höôùng cuûa tröôøng ñieän töø bieán thieân - Caùc phöông trình soùng b. Caùc phöông trình soùng cuûa tröôøng ñieän töø bieán thieân - Xeùt 1 tröôøng ñieän töø bieán thieân gaây ra bôûi nguoàn laø ñieän tích vaø doøng ñieän phaân boá trong theå tích V’ höõu haïn vôùi maät ñoä ñieän tích  laø ρ S vaø maät ñoä doøng ñieän laø J S . - Giaû söû moâi tröôøng laø ñoàng nhaát tuyeán tính ñaúng höôùng ε = const , µ = const , γ = 0 (beân ngoaøi V’). Ta coù:    ∂D rot H = J S +  ∂t    B - Thay D = εE , H = , ε = const , µ = const ta ñöôïc: µ   B  ( ) ∂ ∂E     rot   = J S +  µ  ε E ⇒ rot B = µ J S + εµ   ∂t ∂t 6 3
  4. Chöông 4: TRÖÔØNG ÑIEÄN TÖØ BIEÁN THIEÂN 2. Theá vectô vaø theá voâ höôùng cuûa tröôøng ñieän töø bieán thieân - Caùc phöông trình soùng b. Caùc phöông trình soùng cuûa tröôøng ñieän töø bieán thieân     ∂A - Thay B = rot A , E = − grad ϕ − ta ñöôïc: ∂t     ∂  ∂A    ∂ϕ  ∂ 2A rotrot A = µJ S + εµ  − grad ϕ −  = µJ S − εµ grad   − εµ 2 ∂t   ∂t    ∂t  ∂t    - Chuù yù: rotrot A = graddiv A − ∆ A      ∂ϕ  ∂ 2A graddiv A − ∆ A = µJ S − εµ grad   − εµ 2   ∂t  ∂t  ∂ A 2    ∂ϕ  ⇒ ∆ A − εµ 2 = − µJ S + grad  div A + εµ  ∂t  ∂t   ∂ρ - Söû duïng ñieàu kieän phuï Lorentz div A + εµ = 0 ta ñöôïc:  ∂t  ∂ A 2   ⇒ ∆ A − εµ 2 = − µJ S Phöông trình d’Alembert ñoái vôùi A 7 ∂t Chöông 4: TRÖÔØNG ÑIEÄN TÖØ BIEÁN THIEÂN 2. Theá vectô vaø theá voâ höôùng cuûa tröôøng ñieän töø bieán thieân - Caùc phöông trình soùng b. Caùc phöông trình soùng cuûa tröôøng ñieän töø bieán thieân  - Ta coù: div D = ρ S     - Thay D = ε E , ε = const ta ñöôïc: div ( ε E ) = ρ S ⇒ div E = ρ S / ε   ∂A Maø E = − grad ϕ − töø ñoù suy ra: ∂t   ∂A  ∂  div − gradϕ −   = ρS / ε ⇒ divgradϕ + (divA ) = −ρS / ε   ∂t  ∂t ∂  ⇒ ∆ϕ + ( div A ) = − ρ S / ε ∂t   ∂ϕ ∂ϕ - Theo ñieàu kieän phuï Lorentz thì div A + εµ = 0 ⇒ div A = − εµ ∂t ∂t Phöông trình ∂  ∂ϕ  ∂ 2ϕ ⇒ ∆ϕ +  − εµ  = − ρ S / ε ⇒ ∆ ϕ − εµ = − ρ S / ε d’Alembert ∂t  ∂t  ∂t 2 8 ñoái vôùi ϕ 4
  5. Chöông 4: TRÖÔØNG ÑIEÄN TÖØ BIEÁN THIEÂN 2. Theá vectô vaø theá voâ höôùng cuûa tröôøng ñieän töø bieán thieân - Caùc phöông trình soùng b. Caùc phöông trình soùng cuûa tröôøng ñieän töø bieán thieân  - Nghieäm A , ϕ cuûa caù phöông trình d’Alembert seõ lan truyeàn töø c nguoàn (mieàn V’ chöùa J S , ρ S ) vaøo khoâng gian chung quanh vôùi vaän toá c v = 1 / εµ . - Nhö vaäy caùc phöông trình d’Alembert noùi leân raèng tröôøng ñieän töø bieán thieân coù khaû naêng lan truyeàn töø nguoàn ra khoâng gian chung quanh vôùi vaän toác v = 1 / εµ baèng vaän toác aùnh saùng trong cuø ng moâi tröôøng. - Tröôøng hôïp moâi tröôøng chung quanh V’ laø ñoàng nhaát voâ haïn (ε = const, µ = const khaép nôi), thì caùc phöông trình d’Alembert coù nghieäm laø:   R  R   J S  r ' , t − dV ' ρ S  r ' , t − dV ' µ  v  1  v A (r , t ) = ∫' 4π V R , ϕ(r , t ) = ∫' 4 πε V R 9 Chöông 4: TRÖÔØNG ÑIEÄN TÖØ BIEÁN THIEÂN 2. Theá vectô vaø theá voâ höôùng cuûa tröôøng ñieän töø bieán thieân - Caùc phöông trình soùng b. Caùc phöông trình soùng cuûa tröôøng ñieän töø bieán thieân    vôùi v = 1 / εµ laø vaän toác truyeàn soùng ñieän töø vaø R = R = r − r ' .     A ( r , t ), ϕ ( r , t ) ñöôïc tính ôû ñieåm M (xaùc ñònh bôûi vectô vò trí r = OM ) ôû thôøi ñieåm t.   R  R J S  r ' , t −  , ρ S  r ' , t −  laø maät ñoä doøng ñieän vaø maät ñoä ñieän tích  v  v  R taïi yeáu toá theå tích dV’ (xaùc ñònh bôûi vectô vò trí r ' ôû thôøi ñieåm t − v tröôùc thôøi ñieåm t moät thôøi gian baèng R/v laø thôøi gian ñeå tín hieä u truyeàn töø dV’ ñeán ñieåm khaûo saùt tröôøng M caùch dV’ moät khoaûng R. - Nhö vaäy söï thay ñoåi cuûa doøng ñieän, ñieän tích taïi dV’ phaûn aùnh ñeán nhöõng ñieåm khaùc nhau cuûa tröôøng khoâng töùc thôøi, maø chaä m sau 1 khoaûng thôøi gian baèng R/v ñeå soùng ñieän töø truyeàn trong khoaû ng 10 caùch töø dV’ ñeán ñieåm khaûo saùt. 5
  6. Chöông 4: TRÖÔØNG ÑIEÄN TÖØ BIEÁN THIEÂN 2. Theá vectô vaø theá voâ höôùng cuûa tröôøng ñieän töø bieán thieân - Caùc phöông trình soùng b. Caùc phöông trình soùng cuûa tröôøng ñieän töø bieán thieân  - Do vaäy vôùi caùc theá A vaø  goïi laø caùc theá chaäm. ϕ - Beân ngoaøi mieàn V’ ôû ñoù J S = 0, ρ S = 0, töùc ôû mieàn ñieän moâi lyù töôû ng khoâng coù phaân boá doøng daãn vaø ñieän tích töï do vaø ε = const , µ = const  caùc phöông trình ñoái vôùi A vaø ϕ trôû thaønh:   ∂ 2A ∂ 2ϕ ∆ A − εµ 2 = 0 , ∆ ϕ − εµ 2 = 0 goïi laø caùc phöông trình soùng ∂t ∂t - Töông töï trong moâi tröôøng ñieän moâi lyù töôû ng ε = const , µ = const , khoâng coù doøng daãn vaø ñieän tích töï do coù theå thieát laäp phöông trình   soùng ñoái vôùi E vaø H laø:   ∂ 2E ∆ E − εµ 2 = 0 ∂t   ∂ 2H ∆ H − εµ 2 = 0 11 ∂t Chöông 4: TRÖÔØNG ÑIEÄN TÖØ BIEÁN THIEÂN 3. Caùc phöông trình tröôøng ñieän töø bieán thieân ñieàu hoøa daïng phöùc a. Bieåu dieãn phöùc caùc ñaïi löôïng ñieàu hoøa - Ñoái vôùi tröôøng ñieän töø bieán thieân ñieàuhoøa,  imoãi ñieåm (x, y, z)   taï ba thaønh phaàn theo 3 truïc toïa ñoä cuûa E , D , B , H , J ... bieán thieân theo quy luaät ñieàu hoøa. Chaúng haïn:    E ( x , y , z , t ) = ix E xm cos[ ω t + ψ x ( x , y , z )] + iy E ym cos[ ω t + ψ y ( x , y , z )]  + iz E zm cos[ ω t + ψ z ( x , y , z )] trong ñoù caùc bieân ñoä Exm, Eym, Ezm vaø caùc pha ban ñaàu ψ x , ψ y , ψ z laø nhöõng haøm cuûa toïa ñoä khoâng gian, khoâng phuï thuoäc vaøo thôøi gian t. ω laø taàn soá goùc cuûa tröôøng ñieän töø bieán thieân ñieàu hoøa. - Theo coâng thöùc Euler e iα = cos α + i sin α ta coù:  {   E ( x , y , z , t ) = Re ix E xm e i ( ω t + ψ ) + iy E ym e x i ( ωt + ψ ) y  } + iz E zm e i ( ω t + ψ ) z {  x  yiψ  = Re ( ix E xm e iψ + iy E ym e + iz E zm e iψ )e iω t z }  .  = Re  E ( x , y , z )e iω t  12   6
  7. Chöông 4: TRÖÔØNG ÑIEÄN TÖØ BIEÁN THIEÂN 3. Caùc phöông trình tröôøng ñieän töø bieán thieân ñieàu hoøa daïng phöùc a. Bieåu dieãn phöùc caùc ñaïi löôïng ñieàu hoøa .    vôùi: E ( x , y , z ) = ix E xm e iψ + iy E ym e + iz E zm e iψ : vectô bieân ñoä phöùc x y iψ z cöôøng ñoä tröôøng ñieän.     - Ñoái vôùi caùc ñaïi löôïng ñieàu hoøa khaùc D , ,  , J ta cuõng ñònh nghóa  . B H . . . caùc vectô bieân ñoä phöùc töông öùng D , B , H , J moät caùch töông töï. - Ñoái vôùi löôïng ñieàu hoøa voâ höôùng nhö maät ñoä ñieän tích khoá i ρ( x, y , z , t ) = ρm ( x, y , z ) cos(ωt + ψ ) ta cuõng ñònh nghóa bieân ñoä phöùc maä t ñoä ñieän tích khoái ρ(x, y, z) = ρm eiψ vôùi ρ(x, y, z, t) = Re(ρeiωt ) .   - Khi khaûo saùt tröôøng ñieän töø bieán thieân ñieàu hoøa, ngöôøi ta bieåu dieãn caùc ñaïi löôïng ñieàu hoøa bôûi caùc vectô bieân ñoä phöùc töông öùng:      E ( x , y , z , t ) ↔ E ( x , y , z ); D ( x , y , z , t ) ↔ D ( x , y , z );       B ( x , y , z , t ) ↔ B ( x , y , z ); H ( x , y , z , t ) ↔ H ( x , y , z );    J ( x , y , z , t ) ↔ J ( x , y , z ); ρ ( x , y , z , t ) ↔ ρ ( x , y , z );  13 Chöông 4: TRÖÔØNG ÑIEÄN TÖØ BIEÁN THIEÂN 3. Caùc phöông trình tröôøng ñieän töø bieán thieân ñieàu hoøa daïng phöùc a. Bieåu dieãn phöùc caùc ñaïi löôïng ñieàu hoøa - Töông töï nhö trong lyù thuyeát maïch ñieän, vôùi caùch bieåu dieãn nhö vaäy, caùc ñaïo haøm rieâng theo thôøi gian seõ töông öùng vôùi pheùp nhaân i ω vôùi caùc bieân ñoä phöùc. Ví duï nhö:   ∂E(x , y , z , t)   ∂ 2 E(x , y , z , t)     ↔ i ω E; ↔ iω ( iω E ) = − ω 2 E ∂t ∂t 2 b. Caùc phöông trình Maxwell daïng phöùc: - Heä phöông trình Maxwell laø: - Heä phöông trình Maxwell  daïng phöùc laø:   ∂D       rot H = J + rot H = J + i ω D ∂ t  ∂B     rot E = − rot E = − i ω B  ∂t   div B = 0 div B = 0    div D = ρ div D = ρ  14 7
  8. Chöông 4: TRÖÔØNG ÑIEÄN TÖØ BIEÁN THIEÂN 3. Caùc phöông trình tröôøng ñieän töø bieán thieân ñieàu hoøa daïng phöùc b. Caùc phöông trình Maxwell daïng phöùc - Caùc phöông trình chaát daïng phöùc laø:                   D = ε E , B = µ H , J = γ ( E + E ng ) = γ E + J ng         - Tröôøng hôïp moâi tröôøng khoâng coù nguoàn ngoaøi: Eng = 0, Jng = 0, J = γE - Phöông trình Maxwell thöù nhaát daïng phöùc coù theå vieát laïi ôû daïng:                γ   rot H = J + i ω D = γ E + i ω D = γ E + i ωε E = i ω  ε − i  E  ω γ    ñaët ~ = ε − i (ñoä thaåm ñieän phöùc) thì: rot H = i ω ~ E ε ε ω - Phöông trình Maxwell thöù tö daïng phöùc coù theå vieát laïi ôû daïng:   i  ∂ρ   div D = div ( ε E ) = ρ = (− i ω ρ ) maø div J = −     ⇒ div J = − i ω ρ ω ∂t   i    i    iγ    iγ     ⇒ div(εE) = divJ = div J  = div E  ⇒ div[(ε − )E] = 0 ⇒ div( ~15) = 0 εE ω  ω   ω  ω Chöông 4: TRÖÔØNG ÑIEÄN TÖØ BIEÁN THIEÂN 3. Caùc phöông trình tröôøng ñieän töø bieán thieân ñieàu hoøa daïng phöùc b. Caùc phöông trình Maxwell daïng phöùc - Toùm laïi heä phöông trình Maxwell daïng phöùc ôû mieàn khoâng coù nguoàn ngoaøi laø:     rot H = i ω ~ E ε    rot E = − i ωµ H   div ( µ H ) = 0  div ( ~ E ) = 0  ε - Töø caùc phöông trình treân coù theå suy ra caùc ñieàu kieän bieân hoãn    hôïp ñoái vôùi caùc thaønh phaàn tieáp tuyeán vaø phaùp tuyeán cuû a E , H treân beà maët S phaân caùch 2 moâi tröôøng 1 vaø 2 laø:    H 1τ = H 2 τ n  E =E  ε2,µ 2, γ 2 1τ 2τ   (2) µ 1H 1n = µ 2 H 2n (1 ) ε1 , µ 1 , γ 1 16 ~E = ~E ε  ε  (S ) 1 1n 2 2n 8
  9. Chöông 4: TRÖÔØNG ÑIEÄN TÖØ BIEÁN THIEÂN 3. Caùc phöông trình tröôøng ñieän töø bieán thieân ñieàu hoøa daïng phöùc b. Caùc phöông trình Maxwell daïng phöùc γ - Xeùt moâi tröôøng ñoàng nhaát (µ = const , ~ = ε − i ε = const ). Ta coù: ω        rotH = iω~E ⇒ rotrotH = rot(iω~E) ⇒ graddivH − ∆H = iω~rotE        ε ε ε       - Maët khaùc µ = const neân div(µH) = µdivH = 0 ⇒ divH = 0         ⇒ − ∆ H = iω ~ rot E maø rot E = − i ωµ H ε         ⇒ − ∆ H = iω ~ ( − iωµ H ) ⇒ ∆ H + ω 2 ~ µH = 0 ε ε    - Phöông trình ∆ E + ω 2 ~ µE = 0 ñöôïc daãn ra theo caùch töông töï. ε 17 Chöông 4: TRÖÔØNG ÑIEÄN TÖØ BIEÁN THIEÂN 3. Caùc phöông trình tröôøng ñieän töø bieán thieân ñieàu hoøa daïng phöùc c. Giaù trò trung bình caùc ñaïi löôïng ño coâng suaát, naêng löôïng, vectô Poynting phöùc - Ta coù:    { }   { P ( t ) = E ( t ) × H ( t ) = Re E e i ω t × Re H e iω t   } 1    1     = ( E e i ω t + E * e − iω t ) × ( H e iω t + H * e − iω t ) 2 2 1         1       = ( E × H * + E * × H ) + ( E × H e i 2 ωt + E * × H * e − i 2 ωt ) 4 4 *  *       trong ñoù E , H laø vectô phöùc lieân hôïp cuûa bieân ñoä phöùc E , H .             - Vì ( E * × H ) laø vectô phöùc lieân hôïp cuûa ( E × H * ), ( E * × H *e − i 2 ωt ) laø vectô   i 2 ωt   phöùc lieân hôïp cuûa ( E × H e ) neân                         E × H * + E * × H = 2 Re( E × H * ), E × H e i 2 ω t + E * × H *e − i 2 ωt = 2 Re( E × H e i 2 ωt )    1 {    } 1 ⇒ P ( t ) = E ( t ) × H ( t ) = Re E × H * + Re E × H e i 2 ω t 2 2 {    }  18 9
  10. Chöông 4: TRÖÔØNG ÑIEÄN TÖØ BIEÁN THIEÂN 3. Caùc phöông trình tröôøng ñieän töø bieán thieân ñieàu hoøa daïng phöùc c. Giaù trò trung bình caùc ñaïi löôïng ño coâng suaát, naêng löôïng, vectô Poynting phöùc  - Giaù trò trung bình cuûa P ( t ) trong 1 chu kyø T = 2 π laø: ω  P (t ) = 1 T  T 0∫ 1  *    ~ P ( t ) dt = Re E × H = Re P 2 { }  ~ 1  *   vôùi: P = E × H goïi laø vectô Poynting phöùc. 2 - Chöùng minh moät caùch töông töï ta coù: 1 T 1  *   1     1 w E (t ) = ∫w ( t ) dt = E . D = ε E .E * = ε E m 2 E T 4 4 4     0 trong ñoù E m = E .E * . 2       iψ  E m = E .E * = ( ix E xm e iψ + iy E ym e + iz E zm e iψ ) 2 x y z   − iψ  ( ix E xm e − iψ + iy E ym e + iz E zm e − iψ ) x y z     19 ⇒ E m = E .E * = E 2 + E 2 + E 2 2 xm ym zm Chöông 4: TRÖÔØNG ÑIEÄN TÖØ BIEÁN THIEÂN 3. Caùc phöông trình tröôøng ñieän töø bieán thieân ñieàu hoøa daïng phöùc c. Giaù trò trung bình caùc ñaïi löôïng ño coâng suaát, naêng löôïng, vectô Poynting phöùc 1   - Töông töï: w M ( t ) = B ( t ). H ( t ) 2 1 T 1  *   1     1 w M (t ) = ∫ w M ( t ) dt = B .H = µ H .H * = µ H m 2 T 0 4 4 4     vôùi H m = H . H * = H 2 + H 2 + H 2 2 xm ym zm     - Maät ñoä coâng suaát tieâu taùn: P tt ( t ) = E ( t ). J ( t ), vôùi J = γ E 1 T 1  *   1     1 1 J2 P tt ( t ) = ∫ P tt ( t ) dt = E .J = E .γE * = γE 2 = m T m 0 2 2 2 2 γ     vôùi J m = J .J * = J 2 + J 2 + J 2 2 xm ym zm 20 10
  11. Chöông 4: TRÖÔØNG ÑIEÄN TÖØ BIEÁN THIEÂN 3. Caùc phöông trình tröôøng ñieän töø bieán thieân ñieàu hoøa daïng phöùc d. Ñònh lyù Poynting phöùc - Ta coù: ~  1     ~  1     1    1      P = E × H * ⇒ div P = div ( E × H * ) = H * . rot E − E . rot H * 2 2 2 2     - Maët khaùc rot E = − i ω B            rot H = J + i ω D ⇒ rot H * = J * − i ω D * ~ 1     1       1     1   1      ⇒ div P = H * .( − iωB) − E.( J * − iωD* ) = i 2ω E.D* − B.H *  − E. J * 2 2  4 4  2  ~ ⇒ − div P = i 2ω( w M − w E ) + Ptt  S n ~  ⇒ − ∫ div P dV = ∫ Ptt dV + i2ω ∫ ( w M − w E )dV V V V V ~  ⇒ − ∫ P dS = ∫ Ptt dV + i 2ω ∫ ( w M − w E )dV (*) Ñònh lyù Poynting phöùc S V V ôû mieàn khoâng21 coù nguoàn ngoaøi Chöông 4: TRÖÔØNG ÑIEÄN TÖØ BIEÁN THIEÂN 3. Caùc phöông trình tröôøng ñieän töø bieán thieân ñieàu hoøa daïng phöùc d. Ñònh lyù Poynting phöùc  ~ - Laáy phaàn thöïc 2 veá cuûa bieåu thöùc (*) ta ñöôïc: − Re ∫ PdS = ∫ Ptt dV S V laø coâng suaát tieâu taùn trung bình trong theå tích V. ~  ~   − Re ∫ P dS = − ∫ Re P dS = − ∫ P dS : coâng suaát trung bình chaûy vaøo theå S S S tích V qua beà maët S. - Laáy phaàn aûo 2 veá cuûa bieåu thöùc (*) ta ñöôïc:  ~ − Im ∫ PdS = 2ω ∫ ( w m − w e )dV S V - Coù theå chöùng minh ñöôïc raèng khi kích thöôùc maïch ñieän ñuû nhoû so vôùi böôùc soùng tröôøng ñieän töø ñeå coù theå söû duïng moâ hình maïch thì:  ~ 1   − ∫ PdS = U .I * = coâng suaát phöùc S 2 22 11
  12. Chöông 4: TRÖÔØNG ÑIEÄN TÖØ BIEÁN THIEÂN 3. Caùc phöông trình tröôøng ñieän töø bieán thieân ñieàu hoøa daïng phöùc d. Ñònh lyù Poynting phöùc - Khi ñoù: ~  1 1 − Re ∫ P dS = Re(U .I * ) = U m I m cos ϕ = P = coâng suaát taùc duïng   2 2 S ñöa vaøo maïch ñieän vaø: ~  1 1 − Im ∫ P dS = Im( U .I * ) = U m I m sin ϕ = Q = coâng suaát phaûn khaùng   2 2 S ñöa vaøo maïch ñieän 23 Chöông 4: TRÖÔØNG ÑIEÄN TÖØ BIEÁN THIEÂN 4. Soùng ñieän töø phaúng ñôn saéc - Tröôøng ñieän töø bieán thieân theo thôøi gian taïo neân soùng ñieän töø lan truyeàn trong khoâng gian. - Tuøy theo caùc maët ñoàng pha cuûa soùng ñieän töø maø ta coù soùng ñieän töø phaúng, soùng truï hoaëc soùng caàu… - Soùng ñieän töø phaúng laø soùng ñieän töø coù maët ñoàng pha laø maët phaúng, phöông truyeàn cuûa soùng phaúng ôû moïi nôi ñeàu vuoâng goùc vôù i maët phaúng xaùc ñònh. Trong thöïc teá khoâng toàn taïi soùng phaúng tuyeä t ñoái theo ñònh nghóa treân. - Caùc nguoàn soùng coù kích thöôùc beù taïo ra caùc soùng coù maët ñoàng pha laø maët caàu, caùc soùng naøy goïi laø soùng caàu. - Thöôøng ngöôøi ta chæ khaûo saùt moät phaàn raát nhoû cuûa khoâng gian coù soùng ñieän töø vaø ñuû ôû xa nguoàn, trong tröôøng hôïp ñoù moät phaà n khoâng lôùn cuûa maët caàu coù theå coi laø phaúng vaø soùng trong mieàn naø y laø soùng phaúng. 24 12
  13. Chöông 4: TRÖÔØNG ÑIEÄN TÖØ BIEÁN THIEÂN 4. Soùng ñieän töø phaúng ñôn saéc - Soùng ñieän töø goïi laø ñôn saéc hay ñieàu hoøa neáu caùc vectô cöôøng ñoä tröôøng ñieän, tröôøng töø bieán ñoåi hình sin theo thôøi gian vôùi moät taàn soá ω xaùc ñònh.   - Soùng phaúng goïi laø soùng phaúng ñoàng nhaát neáu vectô E, H cuûa soù ng phuï thuoäc chæ moät toïa ñoä khoâng gian khi choïn höôùng caùc truïc toï a ñoä thích hôïp. Chaúng haïn neáu choïn phöông cuû truïc z laø phöông    a truyeàn soùng phaúng ñoàng nhaát thì: E = E( z , t ), H = H ( z , t ).  - Nghóa laøtaïi moïi ñieåm treân 1 maët phaúng vuoâng goùc vôùi truïc z, E cuõng nhö H coù giaù trò nhö nhau. - Döôùi ñaây ta khaûo saùt soùng ñieän töø phaúng ñôn saéc ñoàng nhaá t truyeàn trong moâi tröôøng ñaúng höôùng, tuyeán tính ñoàng nhaát ( ε = const , µ = const , γ = const ).  - Giaû söû trong moâi tröôøng khoâng coù nguoàn ngoaøi ( J ng = 0, ρng = 0) nguoàn gaây ra soùng ñieän töø ôû caùch raát xa mieàn khaûo saùt. 25 Chöông 4: TRÖÔØNG ÑIEÄN TÖØ BIEÁN THIEÂN 4. Soùng ñieän töø phaúng ñôn saéc - Choïn heä toïa ñoä Ñeà caùc vôùi truïc z vuoâng goùc vôùi maët ñoàng pha cuûa soùng, khi ñoù caùc vectô tröôøng khoâng phuï thuoäc vaøo caùc toïa ñoä x, y. ∂ ∂ ⇒ ≡ 0, ≡0 ∂x ∂y     - Caùc bieân ñoä phöùc E, H thoûa maõn caùc phöông trình Maxwell:     rotH = iω ~ E ε     rotE = − iωµH - Khai trieån caùc phöông trình naøy trong heä toïa ñoä Ñeà caùc ta ñöôïc: d  H y = − iω~Ex ε dz     rotH = iω ~ E ⇔ d  H x = iω~E y , ~ = ε − i ε γ ε ε dz ω 0 = iω~E z ε 26  ⇒ Ez = 0 13
  14. Chöông 4: TRÖÔØNG ÑIEÄN TÖØ BIEÁN THIEÂN 4. Soùng ñieän töø phaúng ñôn saéc d  E y = iωµH x    dz   d  rotE = − iωµH ⇔  ⇒ Hz = 0 E x = − iωµH y  dz 0 = − iωµH z  - Töø phöông trình d  d 2 Ex  d  Ex = − iωµH y ⇒  = − iωµ H y dz dz 2 dz d  d Ex 2 d 2 Ex  H y = − iω~Ex ⇒ ε = − iω~( − iωµ )E x ⇒ ε  + ω 2 ~µEx = 0 ε  dz dz 2 dz 2  d 2E y - Töông töï ta cuõng suy ra ñöôïc phöông trình: + ω 2 ~µE y = 0 ε  dz 2 - Hai phöông trình treân coù nghieäm laø:  E x = M xe − Kz + N xe Kz 27  E y = M y e − Kz + N y e Kz Chöông 4: TRÖÔØNG ÑIEÄN TÖØ BIEÁN THIEÂN 4. Soùng ñieän töø phaúng ñôn saéc trong ñoù Mx, My, Nx, Ny laø caùc haèng soá phöùc. - K: heä soá truyeàn K = iω ~ µ = α + iβ ε 1/ 2 1/ 2  εµ  γ2   εµ  γ2  α = ω  1 + 2 2 − 1  , β = ω  1 + 2 2 + 1  2    ωε   2    ωε    1 1  1 1 ⇒ Hx = − M y e − Kz + N y e Kz , H y = M xe − Kz − N xe Kz Zc Zc Zc Zc trong ñoù Zc ñöôïc goïi laø trôû soùng phöùc cuûa moâi tröôøng. iωµ iωµ µ Zc = = = ~ = z ce iθ (Ω ) K iω ~µ ε ε 1/ 4  ω 2µ 2  α β ⇒ zc =  2 2 2 ( Ω ), tgθ = , cos θ = γ + ω ε  β α + β2 2 28 14
  15. Chöông 4: TRÖÔØNG ÑIEÄN TÖØ BIEÁN THIEÂN 4. Soùng ñieän töø phaúng ñôn saéc - Ñaët: M x = m x e iψ , M y = m y e , N x = n x e iϕ , N y = n y e x iψ y iϕ x y  E x = m x e iψ e − ( α + iβ ) z + n x e iϕ e ( α + iβ ) z   x x  iψ iϕ Ey = m y e e + n y e e ( α + iβ ) z − ( α + iβ ) z y y  - Thay vaøo ta ñöôïc:  E x = m x e − αz e i ( − β z + ψ ) + n x e αz e i ( β z + ϕ )   x x ⇒ − αz i ( − β z + ψ ) i ( βz + ϕ )  Ey = m y e e   + n y e αz e y y  m y − αz i ( − β z + ψ − θ ) n y αz i ( β z + ϕ − θ ) H x = − z e e + e e y y - Töông töï ta ñöôïc:  c zc  H = m x e − αz e i ( − β z + ψ − θ ) − n x e αz e i ( β z + ϕ − θ )  x x  y zc    zc - Suy ra bieåu thöùc giaù trò töùc thôøi cuûa E, H laø:  E x ( t ) = m x e − αz cos( ωt − β z + ψ x ) + n xe αz cos( ωt + β z + ϕ x )   E y (t ) = m y e cos( ωt − β z + ψ y ) + n y e cos( ωt + β z + ϕ y ) − αz αz  29 E z (t ) = 0 Chöông 4: TRÖÔØNG ÑIEÄN TÖØ BIEÁN THIEÂN 4. Soùng ñieän töø phaúng ñôn saéc m y e − αz n y e αz H x (t ) = − cos(ωt − β z + ψ y − θ) + cos(ωt + β z + ϕ y − θ) zc zc m x e − αz n e αz H y (t ) = cos(ωt − β z + ψ x − θ) − x cos(ωt + β z + ϕ x − θ) zc zc H z (t ) = 0 - Töø caùc bieåu thöùc treân ta ruùt ra moät soá nhaän xeùt sau:    1. Vì Ez = 0, Hz = 0, suy ra vectô Poynting P = E × H song song vôùi truïc z, nghóa laø naêng löôï g soùng ñieän töø lan truyeàn theo phöông  n truïc z. Vaäy caùc vectô E , H cuûa soùng phaúng vuoâng goùc vôùi phöông truyeàn. Ta noùi soùng ñieän töø phaúng thuoäc loaïi soùng TEM. 30 15
  16. Chöông 4: TRÖÔØNG ÑIEÄN TÖØ BIEÁN THIEÂN 4. Soùng ñieän töø phaúng ñôn saéc 2. Trong caùc bieåu thöùc cuûa Ex(t), Ey(t), Hx(t), Hy (t) ôû veá phaûi goàm 2 soá haïng: + Caùc soá haïng thöù 1 laø caùc haøm ñieàu hoøa taàn soá goùc ω, trong bieân ñoä coù chöùa thaønh phaàn e − αz , trong goùc pha coù chöùa (ωt − β z ), vì vaäy chuùng moâ taû moät soùng phaúng ñôn saéc lan truyeàn theo phöông vaø chieàu döông truïc z, goïi laø soùng thuaän. Khi lan truyeàn bieân ñoä soùng giaûm daàn theo quy luaät haøm muõ. Caùc maët ñaúng pha laø caùc maët phaúng vuoâng goùc vôùi phöông truyeàn dz ω coù phöông trình ωt − β z = const ⇒ = do ñoù caùc maët ñaúng pha dt β ω dòch chuyeån theo chieàu döông truïc z vôùi vaän toác . β 31 Chöông 4: TRÖÔØNG ÑIEÄN TÖØ BIEÁN THIEÂN 4. Soùng ñieän töø phaúng ñôn saéc + Caùc soá haïng thöù 2 laø caùc haøm ñieàu hoøa taàn soá goùc ω, trong bieân ñoä coù chöùa thaønh phaàn e αz, trong goùc pha coù chöùa (ωt + β z ) , vì vaäy chuùng moâ taû moät soùng phaúng ñôn saéc lan truyeàn theo phöông vaø chieàu aâm truïc z, goïi laø soùng ngöôïc. Khi lan truyeàn bieân ñoä soùng giaûm daàn theo quy luaät haøm muõ. Caùc maët ñaúng pha laø caùc maët phaúng vuoâng goùc vôùi phöông truyeàn dz ω coù phöông trình ωt + βz = const ⇒ = − do ñoù caùc maët ñaúng pha dt β ω dòch chuyeån theo chieàu döông truïc z vôùi vaän toác . β - Vaän toác dòch chuyeån caùc maët ñaúng pha ñöôïc goïi laø vaän toác pha ω v p: v p = . β β : heä soá pha, ñôn vò ño laø rad/m. 32 α : heä soá taét daàn hoaëc heä soá haáp thuï ñôn vò ño laø nep/m. 16
  17. Chöông 4: TRÖÔØNG ÑIEÄN TÖØ BIEÁN THIEÂN 4. Soùng ñieän töø phaúng ñôn saéc 3. Töø caùc coâng thöùc cuûa α , β , v p ta nhaän thaáy α , β , v p ñeàu phuï thuoäc taàn soá ω. Nhö vaäy trong cuøng moät moâi tröôøng ñieän moâi thöïc, caùc soùng ñieän töø coù taàn soá khaùc nhau seõ lan truyeàn vôùi vaän toác khaùc nhau vaø möùc ñoä bò taét daàn cuõng khaùc nhau. Ta noùi moâi tröôøng ñieän moâi thöïc ( γ ≠ 0) laø moâi tröôøng taùn saéc soùng. a. Bieåu thöùc cuûa soùng phaúng ñôn saéc lan truyeàn theo moät phöông baát kyø - Nhö treân ñaõ trình baøy thì bieåu thöùc cuûa soùng phaúng ñôn saéc lan truyeàn theo phöông vaø chieàu döông truïc z, nghóa laø theo phöông  vaø chieàu cuûa vectô izlaø:     E = M xe − Kz ix + M y e − Kz iy   1  1  H = − M y e − Kz ix + M xe − Kz iy Zc Zc 33 Chöông 4: TRÖÔØNG ÑIEÄN TÖØ BIEÁN THIEÂN 4. Soùng ñieän töø phaúng ñôn saéc     Bieåu thöùc E = M xe − Kz ix + M y e − Kz iy coù theå vieát laïi döôùi daïng:      E = E oe − Kr i z       trong ñoù: E o = M x ix + M y iy laø giaù trò cuûa E taïi maët z = 0.     r = x ix + y iy + z iz laø vectô vò trí taïi ñieåm M, taïi ñoù ta khaûo saùt tröôøng. x maët maët ñaúng pha M ñaúng pha M   r r S 0   0 z z is i z y Soùng phaúng truyeàn Soùng phaúng truyeà 34 n theo phöông chieàu iz theo phöông chieàu is 17
  18. Chöông 4: TRÖÔØNG ÑIEÄN TÖØ BIEÁN THIEÂN 4. Soùng ñieän töø phaúng ñôn saéc      - Töông töï ta coù theå vieát laïi: H = H o e − K r i z   1  1  1    H o = − M y ix + M x iy = iz × (M x ix + M y iy ) Zc Zc Zc   1         ⇒ Ho = iz × Eo ⇒ Eo = Z c ( H o × iz ) Zc   1        - Töø ñoù suy ra: H = iz × E hay E = Z c ( H × iz ) Zc - Töø caùc coâng thöùc treân ta coù theå toång quaùt hoùa leân bieåu thöùc cuûa soùng phaúng ñôn saéc lan truyeàn theo phöông vaø chieàu cuûa moät   vectô ñôn vò is baát kyø baèng caùc thay iz bôûi istrong caùc coâng thöùc treân:      E = E oe −Kri s      H = H oe − Kr i s   1         H= is × E hay E = Z c ( H × is ) 35 Zc Chöông 4: TRÖÔØNG ÑIEÄN TÖØ BIEÁN THIEÂN 4. Soùng ñieän töø phaúng ñôn saéc         trongñoù E o , H o laø caùc giaù trò cuûa E, H taïi caùc ñieåm treân maët ñaúng   pha r . is = 0 töùc laø maët phaúng ñi qua goác O vaø vuoâng goùc vôùi is , chuùng lieân heä vôùi nhau bôûi:  1         Ho = is × Eo ⇒ Eo = Z c ( H o × is ) Zc       - Ví duï: neáu thay is = − iz vaø ñaët E o = N x ix + N y iy ta seõ suy ra ñöôïc bieåu thöùc cuûa soùng phaúng ñôn saéc truyeàn theo phöông vaø chieàu aâm truïc z laø:     E = N xe Kz ix + N y e Kz iy   1  1  H= N y e Kz ix − N xe Kz iy Zc Zc 36 18
  19. Chöông 4: TRÖÔØNG ÑIEÄN TÖØ BIEÁN THIEÂN 4. Soùng ñieän töø phaúng ñôn saéc - Baây giôø chuùng ta phaân tích theâm yù nghóa cuûa Zc. Ta coù:                       E 2 = E.E * = Z c (H × is ).Z* (H * × is ) = Z c .Z* [(H.H * )( is . is ) − (H. is )( is .H * )] m c c         vì Z c .Z* = z ce iθ .z c e − iθ = z 2 , H. is = H * . is = 0 (do H ⊥ is ) neân: c c    2   E E m = z c .H . H * = z c .H m ⇒ z c = m 2 2 2 Hm - Vaäy moñun cuûa trôû soùng zc baèng tæ soá bieân ñoä cöôøng ñoä tröôøng ñieän Em vôùi bieân ñoä tröôøng töø Hm. - Sau cuøng ta thieát laäp coâng thöùc tính vectô Poynting phöùc cuûa soùng phaúng ñôn saéc. Ta coù: ~ 1           ~ 1      P = E.H * thay E = Z c ( H × is ) ta ñöôïc P = Z c ( H × is ) × H * 2 2  ~ 1 *   1   *   1    *  1       ⇒ P = Z c ( H .H ) is − Z c ( H . is )H = Z c ( H .H ) is = Z c H m is vì H * . is = 0 2 2 2 2 2 37 Chöông 4: TRÖÔØNG ÑIEÄN TÖØ BIEÁN THIEÂN 4. Soùng ñieän töø phaúng ñôn saéc Em ~ 1 E2  1  E2  1 Em  2 1 2 thay H m = ta ñöôïc P = Z c 2 is = z ce iθ 2 is = m m i = − iθ s E m is zc 2 zc 2 zc 2 z ce 2 Z* c ~ 1   1 2 ⇒ P = Z c H m is = 2 E m is 2 2 Z* c b. Söï phaân cöïc cuûa soùng phaúng ñôn saéc - Ñeå ñôn giaûn giaû söû soùng truyeàn theo phöông vaø chieàu döông truïc z ta coù: m y e − αz  E x ( t ) = m xe − αz cos( ωt − β z + ψ x ) H x ( t) = − cos( ωt − β z + ψ y − θ)  zc  E y (t ) = m y e cos( ωt − β z + ψ y ) − αz  m x e − αz H y ( t) = cos( ωt − β z + ψ x − θ) E z (t ) = 0 zc H z ( t) = 0 38 19
  20. Chöông 4: TRÖÔØNG ÑIEÄN TÖØ BIEÁN THIEÂN 4. Soùng ñieän töø phaúng ñôn saéc b. Söï phaân cöïc cuûa soùng phaúng ñôn saéc - Ta xeùt hai tröôøng hôïp ñaëc bieät sau ñaây: a. ψ x − ψ y = m π ( m = 0 , ± 1, ± 2 ,...) töø caùc bieåu thöùc treân suy ra: H (t ) = ± x = haèng soá, khoâng phuï thuoäc vaøo toïa ñoä vaø E x (t ) m =− y E y (t ) H x (t ) my thôøi gian trong bieåu thöùc treân, daáu + öùng vôùi ( m = 0 , ± 2 , ± 4 ,...) coøn daáu - öùng vôùi ( m = ± 1 , ± 3 ,...).   ⇒ E , H coù phöông coá ñònh trong khoâng gian vaø thôøi gian. Soùng phaúng coù tính chaát nhö vaäy goïi laø soùng phaúng phaân cöïc thaúng. Ta coù:     E ( t ). H ( t ) = E x . H x + E y . H y = 0 ⇒ E ( t ) ⊥ H ( t )   - Vaäy ñoái vôùi soùng phaúng phaân cöïc thaúng caùc vectô E , H coù phöông coá ñònh, vuoâng goùc vôùi nhau vaø vuoâng goùc vôùi phöông truyeàn. 39 Chöông 4: TRÖÔØNG ÑIEÄN TÖØ BIEÁN THIEÂN 4. Soùng ñieän töø phaúng ñôn saéc b. Söï phaân cöïc cuûa soùng phaúng ñôn saéc - Vì vaäy khi khaûo saùt soùng phaúng phaân cöïc thaúng ñeå ñôn giaûn coù theå choïn heä truïc toïa ñoä sao cho truïc x song song vôùi E truïc y song song vôùi H , nghóa laø:     E = E x ix = m xe − αz cos( ωt − β z + ψ x ) ix    m x − αz   H = H y iy = z e cos( ωt − β z − θ + ψ x ) iy  c y  Hy H  Ey E Hx 0 x Soùng phaân cöïc thaúng Ex 40 20
Đồng bộ tài khoản