TRƯỜNG ĐIỆN TỪ - ELECTROMAGNETIC FIELD THEORY - chương 3

Chia sẻ: Van Kent Kent | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:31

0
151
lượt xem
57
download

TRƯỜNG ĐIỆN TỪ - ELECTROMAGNETIC FIELD THEORY - chương 3

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

SÓNG ĐIỆN TỪ PHẲNG • Sóng phẳng: mặt đồng pha là mặt phẳng • Sóng trụ: mặt đồng pha là mặt trụ • Sóng cầu: mặt đồng pha là mặt cầu • Trong thực tế, sóng điện từ được tạo ra từ các nguồn nhân tạo đều là sóng trụ và sóng cầu. Sóng phẳng chỉ là mẫu lí tưởng của sóng điện từ. • Mục tiêu: khảo sát các tính chất của sóng điện từ phẳng lan truyền trong môi trường đồng nhất đẳng hướng và không đẳng hướng, sự phản xạ và khúc xạ tại các mặt phân...

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: TRƯỜNG ĐIỆN TỪ - ELECTROMAGNETIC FIELD THEORY - chương 3

  1. Chương 3 SÓNG ĐIỆN TỪ PHẲNG • Sóng phẳng: mặt đồng pha là mặt phẳng • Sóng trụ: mặt đồng pha là mặt trụ • Sóng cầu: mặt đồng pha là mặt cầu • Trong thực tế, sóng điện từ được tạo ra từ các nguồn nhân tạo đều là sóng trụ và sóng cầu. Sóng phẳng chỉ là mẫu lí tưởng của sóng điện từ. • Mục tiêu: khảo sát các tính chất của sóng điện từ phẳng lan truyền trong môi trường đồng nhất đẳng hướng và không đẳng hướng, sự phản xạ và khúc xạ tại các mặt phân cách, sự phân cực và các hiệu ứng khác. Nguồn sóng điện từ là điều hoà với ω và rất xa với điểm khảo sát. 3.1. Nghiệm phương trình sóng đối với sóng phẳng 3.1.1. Sóng phẳng đồng nhất TEM (transverse electromagnetic wave) r r - Nếu trong mặt đồng pha của sóng điện từ có biên độ của E và H bằng nhau tương ứng tại mọi điểm thì sóng phẳng được gọi là đồng nhất - Phương trình Maxwell của sóng phẳng điều hoà trong môi trường đồng nhất r r và đẳng hướng với các biên độ phức của E và H trong hệ toạ độ Decac có dạng • • ∂ H zm ∂ H ym • (1) − = iωε P E xm ∂y ∂z • • ∂ H xm ∂ H zm • (2) − = iωε P E ym ∂z ∂x • • ∂ H ym ∂ H xm • (3) − = iωε P E zm ∂x ∂y • • ∂ E zm ∂ E ym • (4) − = −iωμμ 0 H xm ∂y ∂z
  2. • • ∂ E xm ∂ E zm • (5) − = −iωμμ 0 H ym ∂z ∂x • • ∂ E ym ∂ E xm • (6) − = −iωμμ 0 H zm ∂x ∂y y z O l P Trong đó: • Oz ≡ phương truyền sóng • mặt phẳng đồng pha và đồng biên của sóng phẳng chính là mặt phẳng P // mặt phẳng xOy và có phương trình z = l ⎛ σ ⎞ ε P = εε 0 ⎜1 − i ⎜ ⎟ ⎝ ωεε 0 ⎟ ⎠ r r E và H có giá trị như nhau trên toàn mặt phẳng P và ∉ x, y; chỉ ∈ z, t. Khi đó: ∂E ∂E ∂H ∂H = = = =0 (3.1) ∂x ∂y ∂x ∂y • • E zm = H zm = 0 (3.2) Vậy: sóng phẳng đồng nhất lan truyền trong môi trường đồng nhất và đẳng r r hướng không có các thành phần dọc theo phương truyền sóng z của E và H . Các r r E và H nằm trong mặt phẳng vuông góc với phương truyền sóng. Sóng phẳng đồng nhất có tính chất như vậy gọi là sóng điện từ ngang, kí hiệu là sóng TEM. 3.1.2. Nghiệm phương trình sóng Từ các phương trình (1), (2), (4) và (5) ta có:
  3. • ∂ 2 E xm • (7) + k 2 E xm = 0 ∂z 2 P • ∂ 2 E ym • (8) + k 2 E ym = 0 ∂z 2 P • ∂ 2 H xm • (9) + k 2 H xm = 0 ∂z 2 P • ∂ 2 H ym • (10) + k 2 H ym = 0 ∂z 2 P Trong đó: ⎛ σ ⎞ k P = ω ε Pμμ0 = εε 0 ⎜1 − i ⎜ ⎟μμ0 - số sóng phức ⎝ ωεε0 ⎟ ⎠ Nhận xét: - vì các phương trình sóng (7), (8), (9) và (10) giống nhau nên chỉ cần tìm nghiệm của một trong số các phương trình sóng này. - đây là các phương trình vi phân cấp 2 tuyến tính thuần nhất có hệ số không đổi, do đó nghiệm của phương trình sóng (7), chẳng hạn, có dạng là • • • E xm = E xmt e −ik z + E xmpx eik z P P (3.3) y z O l P Trong đó: • - E xmt e −ik z biểu thị sóng phẳng truyền theo trục z > 0: sóng tới tại mặt phẳng P P
  4. • - E xmpx eik z biểu thị sóng phẳng truyền theo trục z < 0: sóng phản xạ tại mặt P phẳng P • • - E xmt , E xmpx là các biên độ phức của sóng tới và sóng phản xạ tương ứng Tương tự ta có nghiệm của các phương trình sóng (8), (9) và (10) là • • • E ym = E ymt e −ik z + E ympx e ik z P P • • • H xm = H xmt e −ik z + H xmpx e ik z P P (3.4) • • • H ym = H ymt e −ik z + H ympx e ik z P P Suy ra r • r• r• r • r • E m = i E xm + j E ym = i ⎛ E xmt e − ik z + E xmpx e ik z ⎞ + j⎛ E ymt e − ik z + E ympx e ik z ⎞ • • ⎜ P ⎟ ⎜ P ⎟ P P ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ r • r • r • r • r • (3.5) H m = i H xm + j H ym = i ⎛ H xmt e − ik z + H xmpx e ik z ⎞ + j⎛ H ymt e − ik z + H ympx e ik z ⎞ • • ⎜ P ⎟ ⎜ P ⎟ P P ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ r • r • Để tìm mối liên hệ giữa E m và H m cho sóng tới và sóng phản xạ, bằng cách r r quay hệ toạ độ Decac sao cho trục x // E , do đó trục y // H , ta có y • r • H ym Hm • E xm O x r • Em r • r• r• r• r• • E m = i E xm + j E ym = i E xm = i E m vì E ym = 0 (3.6) r • r • r • r • r • • H m = i H xm + j H ym = j H ym = j H m vì H xm = 0
  5. Từ phương trình Maxwell (1), điều kiện (3.6) và các nghiệm (3.3), (3.4) ta có r • r • mối liên hệ giữa E m và H m cho sóng tới và sóng phản xạ như sau • • • 1 ∂ H ymt μμ 0 • • E mt = E xmt =− = H ymt = Z P H mt iωε P ∂z εP • (3.7) • • 1 ∂ H ympx μμ 0 • • E mpx = E xmpx = − =− H ympx = − Z P H mpx iωε P ∂z εP Trong đó: μμ 0 μμ 0 1 ZP = = =Z (3.8) εP εε 0 (1 − itgδ E ) 1 − itgδ E r • r • Từ (3.7) dạng của E m và H m cho sóng phẳng TEM được viết lại r • ⎛⎛ r• r ⎞ −ik z ⎛ r • r⎞ ⎞ E m = Z P ⎜ ⎜ H mt × k ⎟e ⎜⎜ ⎟ − ⎜ H mpx × k ⎟eik z ⎟ ⎜ P ⎟ ⎟ P ⎝⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎠ (3.9) r • r• r • H m = H mt e −ik z + H mpx eik z P P Hoặc r r i ωt • • ⎛⎛ r • r ⎞ i ( ωt − k z ) ⎛ r • r⎞ )⎞ E = E m e = Z P ⎜ ⎜ H mt × k ⎟e ⎜⎜ ⎟ − ⎜ H mpx × k ⎟e i (ωt + k ⎜ P ⎟ Pz ⎟ ⎟ ⎝⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎠ (3.10) r r • • r • r • H = H m e iωt = H mt e i (ωt − k z ) + H mpx e i (ωt + k z ) P P x l α β γ O z y
  6. Để đơn giản trong những phần sau ta chỉ xét đối với sóng tới lan truyền trong môi trường rộng vô hạn. r • r • Dạng của E m và H m của sóng phẳng TEM lan truyền dọc theo phương z được biểu diễn trong (3.9) hoặc (3.10). Tương tự theo phương l bất kỳ hợp với Ox, Oy và Oz tạo thành các góc α, β và γ. Ta có: r • r i (ωt −k l ) • (3.11) H t = H mt e P r • H mt nằm trong mặt phẳng vuông góc với phương l. Và r • ⎛r• r⎞ E t = ZP ⎜ H mt × l ⎟ei (ωt −k l ) ⎜ ⎟ P (3.12) ⎝ ⎠ r l là vector đơn vị của phương truyền sóng l. Số sóng phức kP và trở sóng phức ZP có thể viết lại k P = β − iα (3.13) Z P = Z P e iψ Trong đó α, β và ψ là các số thực α là hệ số tổn hao của môi trường β là hệ số pha của sóng ψ argument của trở sóng phức Khi đó α, β, ZP và ψ biểu diễn qua ω, ε, μ và thời gianδE như sau 1 1 α = ω εε 0μμ 0 − + 1 + tg 2 δ E (3.14) 2 2 1 1 β = ω εε 0μμ 0 + 1 + tg 2 δ E (3.15) 2 2
  7. Z ZP = (3.16) 4 1 + tg 2 δ E α − 1 + 1 + tg 2 δ E ψ = arctg = arctg (3.17) β 1 + 1 + tg 2 δ E Vận tốc pha vph của sóng phẳng chính là vận tốc dịch chuyển mặt đồng pha của nó. Khi đó theo (3.10) và (3.13), giả sử môi trường không tổn hao α = 0, mặt đồng pha của sóng tới có dạng φ = ωt − β z = const (3.18) Suy ra dφ = ωdt − βdz = 0 (3.19) Cho nên vận tốc pha vph được xác định bởi dz ω 1 1 v v ph = = = . = dt β εε 0 μμ 0 1 1 1 1 (3.20) + 1 + tg 2 δ E + 1 + tg 2 δ E 2 2 2 2 Trong đó v là vận tốc truyền sóng phẳng trong môi trường rộng vô hạn Vector Poynting trung bình của sóng tới hướng theo phương truyền z được tính là r r 1 ⎛r • • r• * ⎞ r 1 2 r 1 E mt 2 Π tb = re Π = re⎜ E mt ×H mt ⎟ = k Z P H mt = k (3.21) 2 ⎜⎝ ⎟ ⎠ 2 2 ZP r • r • Lưu ý: Vì E và H đồng pha nên ψ = 0 ⇒ e iψ = 1 3.2 Sóng phẳng đồng nhất trong các môi trường đồng nhất và đẳng hướng 3.2.1. Sóng phẳng đồng nhất trong điện môi lí tưởng
  8. • Xét sóng điện từ phẳng đồng nhất truyền dọc theo trục z > 0 (sóng tới) trong điện môi lí tưởng đồng nhất, đẳng hướng và rộng vô hạn. • Vì môi trường truyền sóng điện từ là điện môi lí tưởng nên σ = 0, ⎛ σ ⎞ ε P = εε 0 ⎜1 − i ⎜ ⎟ = εε 0 , kP = k và ZP = Z. Từ các biểu thức (3.14) – (3.21) ⎝ ωεε 0 ⎟ ⎠ ta có α = 0, ψ = 0 β = k = ω εε 0μμ 0 μμ 0 ZP = Z = εε 0 (3.22) 1 v ph = =v εε 0μμ 0 2 r 1 2 1 E mt Π tb = Z H mt = 2 2 Z r • r • E m và H m có dạng là r • r• H m = H mt e −iβz r • ⎛r• r⎞ (3.23) E m = Z⎜ H mt × k ⎟e −iβz ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Hoặc r r iωt r • • • H = H m e = H mt e i (ωt −βz ) r r • • ⎛r• r⎞ (3.24) E = E m e iωt = Z⎜ H mt × k ⎟e i (ωt −βz ) ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Nhận xét: r r • E và H vuông góc với nhau và cùng vuông góc với phương truyền sóng r r • E và H luôn đồng pha và có biên độ không đổi dọc theo phương truyền sóng • Vận tốc pha vph là hằng số bằng vận tốc truyền sóng trong môi trường
  9. • Môi trường không tổn hao năng lượng, không tán sắc sóng điện từ, trở sóng Z là một số thực r E r H 3.2.2. Sóng phẳng đồng nhất trong môi trường dẫn điện • Trong môi trường dẫn điện σ ≠ 0, số sóng và trở sóng là các đại lượng phức, ⎛ σ ⎞ k P = ω ε P μμ 0 = ω εε 0 ⎜1 − i ⎜ ⎟μμ 0 = β − iα ⎝ ωεε 0 ⎟ ⎠ μμ 0 μμ 0 ZP = = = Z P e iψ εP ⎛ σ ⎞ εε 0 ⎜1 − i ⎜ ⎟ ⎝ ωεε 0 ⎟ ⎠ r • r • Như đã nói ở trên chỉ xét đối với sóng tới, do đó theo (3.10) và (3.13) E và H có dạng r r • • r • r • H = H mt e i (ωt − k Pz ) = H mt e i (ωt −βz + iαz ) = H mt e i (ωt −βz )e − αz ....... r • ⎛r• r ⎞ i ( ωt − k z ) iψ ⎛ r • r⎞ E = Z P ⎜ H mt × k ⎟e ⎜ ⎟ = Z P e ⎜ H mt × k ⎟e i (ωt −βz + iαz ) = P ⎜ ⎟ (3.25) ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛r• r⎞ = Z P ⎜ H mt × k ⎟e i (ωt −βz + ψ )e − αz ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
  10. x E m0 E m = E m 0 e − αz z y Nếu môi trường có điện dẫn suất σ rất lớn, chẳng hạn như kim loại, một cách gần đúng xem σ → ∞, do đó thời gian δE >> 1 nên theo các biểu thức (3.14) – (3.21) ta có σ 1 + tg 2δ E ≈ tgδ E = ωεε 0 1 1 ωμμ 0 σ α = ω εε 0 μμ 0 − + 1 + tg 2 δ E ≈ 2 2 2 1 1 ωμμ 0σ β = ω εε 0μμ0 + 1 + tg 2δ E ≈ 2 2 2 ωμμ 0 (3.26) ZP ≈ Z = σ ω ω 2ω v ph = = ≈ β 1 1 σμμ 0 εε 0 μμ 0 + 1 + tg 2 δ E 2 2 α − 1 + 1 + tg 2 δ E π ψ = arctg = arctg ≈ arctg(1) = β 1 + 1 + tg δ E 2 4 r • • góc tổn hao α ≠ 0 nên sóng điện từ bị tổn hao năng lượng, biên độ của E và r • H suy giảm theo quy luật hàm mũ e-αz dọc theo phương truyền sóng z.
  11. r • r • • E và H lệch pha nhau một góc ψ = argZP • vph là hàm số phụ thuộc tần số ω, có nghĩa là ω thay đổi trong quá trình lan truyền sóng điện từ ⇒ sóng phẳng trong môi trường dẫn điện bị tán sắc. Do đó môi trường dẫn điện là môi trường tán sắc. 3.3. Hiệu ứng bề mặt trong vật dẫn Nhận xét: ωμμ 0 σ Theo công thức α ≈ nhận thấy rằng 2 • Trong vật dẫn điện tốt σ rất lớn và nếu tần số sóng điện từ ω càng cao thì α r r càng lớn. Do đó biên độ của E và H suy giảm rất nhanh khi truyền vào bên trong vật dẫn, có nghĩa là sóng điện từ chỉ tồn tại một lớp rất mỏng sát bề mặt của vật dẫn điện tốt. • Dòng điện cao tần chạy trong vật dẫn cũng chỉ chạy ở lớp mặt ngoài. Chẳng hạn f = 1 kHz thì d = 2 mm và f = 100 kHz thì d = 0,2mm. Ứd: lưỡng kim thép – Cu làm dây dẫn dòng điện cao tần r r Thép B B ⊕ Cu r r Bc ⊕ Bc • Hiện tượng sóng điện từ hoặc dòng điện cao tần khi truyền trong vật dẫn điện tốt chỉ tập trung ở một lớp mỏng bề mặt gọi là hiệu ứng bề mặt hay hiệu ứng skin
  12. • Đại lượng đặc trưng cho hiệu ứng bề mặt là độ thấm sâu của trường hay độ dày lớp skin δ, đó là khoảng cách sóng điện từ đi từ bề mặt vào sâu bên r r trong vật dẫn mà tại đó biện độ của E và H giảm đi e = 2,718... lần so với giá trị tại bề mặt. Theo (3.25) và (3.26) ta có E m = E m 0 e − αz (3.27) H m = H m 0 e − αz Trong đó: r r Em0 và Hm0 là biên độ của E và H tại bề mặt vật dẫn (z = 0). Theo định nghĩa độ thấm sâu của trường ta có E m0 = e αδ = e (3.28) Em Suy ra 1 1 2 δ= = = α ωμμ 0 σ ωμμ 0 σ (3.29) 2 Nhận xét: • Trong công thức (3.29), σ và μ là các tham số điện của vật dẫn điện. Độ thấm sâu của trường δ tỉ lệ nghịch với căn bậc hai của tần số ω và điện dẫn suất σ của vật dẫn. Chẳng hạn Ag, Cu, Al ... có độ thấm sâu của trường rất bé cỡ δ = 0,5 μm ở dải sóng vô tuyến f = 106 Hz. Do đó các kim loại này dùng làm màn chắn sóng điện từ rất tốt. • Do có h/ứ bm nên dòng điện cao tần có cường độ phân bố không đều trong cùng một tiết diện ngang của dây dẫn, do đó trở kháng cũng không đều nhau tương ứng. Để tiện tính toán người ta đưa ra khái niệm trở kháng mặt riêng của vật dẫn
  13. • Trở kháng mặt riêng của vật dẫn, kí hiệu ZS, là tỉ số điện áp của trường rơi trên một đơn vị chiều dài theo chiều dòng điện và giá trị dòng điện chạy qua một đơn vị chiều rộng đặt vuông góc với nó Xét vật dẫn phẳng, rộng vô hạn và bề dày đủ lớn. Chọn hệ toạ độ Decac có trục z trùng với phương truyền sóng, mặt phẳng vật dẫn trùng với mặt phẳng xOy. r Π r E x O r J y z r Giả sử E ≡ Ox. Theo định luật Ohm ta có: r r ∞ ∞ σE m 0 I = ∫ JdS = ∫ J x dz = ∫ σE m 0 e −(α +iβ )z dz = (3.30) S 0 0 α + iβ Lưu ý: Tích phân (3.30) được lấy từ 0 → ∞, mặt dù bề dày vật dẫn là hữu hạn nhưng dòng điện cao tần chỉ chạy trên lớp bề mặt rất mỏng nên bề dày vật dẫn có thể xem là vô hạn. r Cường độ điện trường E tại bề mặt vật dẫn bằng điện áp rơi trên một đơn vị chiều dài dọc theo chiều dòng điện nên ta có U E m0 α ωμμ 0 ZS = = = (1 + i ) = (1 + i ) = R S + iχ S I σE m 0 σ 2σ ⎛ β⎞ (3.31) α⎜1 + i ⎟ ⎝ α⎠ do α = β
  14. Trong đó: ωμμ 0 RS = là điện trườngở mặt riêng của vật dẫn. (3.32) 2σ RS chính là nguyên nhân làm tổn hao sóng điện từ trong vật dẫn. Năng lượng sóng điện từ biến thành nhiệt năng đốt nóng vật dẫn. χS là phần kháng của trở kháng mặt riêng của vật dẫn ZS. Nhận xét: Biểu thức (3.32) cho thấy rằng muốn giảm tổn hao năng lượng sóng điện từ truyền dọc vật dẫn cần phải sử dụng các kim loại dẫn điện tốt như Au, Ag, Cu ... 3.4. Sự phân cực của sóng phẳng r r Sóng điện từ có các vector E và H dao động theo phương xác định gọi là r r sóng phân cực. Ngược lại nếu các vector E và H dao động theo mọi phương ngẫu nhiên gọi là sóng không phân cực. Sóng điện từ phẳng có nhiều dạng phân cực như: phân cực elip, phân cực tròn và phân cực thẳng. 3.4.1. Phân cực elip r Trong quá trình truyền sóng nếu ngọn của vector E vạch một hình elip trong không gian gọi là sóng phân cực elip. Sóng phân cực elip chính là tổng hợp của 2 r sóng thành phần cùng tần số, cùng phương truyền, nhưng phương của E vuông góc nhau. Giả sử có 2 sóng phẳng như sau: r r E1 = i E mx cos(ωt − βz ) r r (3.33) E 2 = j E my cos(ωt − βz + ϕ) Sóng tổng hợp có dạng 2 2 ⎛ E1 ⎞ ⎛ E2 ⎞ ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ − 2 cos ϕ E1E 2 = sin 2 ϕ (3.34) ⎜E ⎟ ⎜E ⎟ E mx E my ⎝ mx ⎠ ⎝ my ⎠
  15. Đây là phương trình mô tả đường elip trong mặt phẳng toạ độ (E1, E2). Trục lớn của elip hợp với trục Ox một góc ψ được tính theo: 2E mx E my tg 2ψ = cos ϕ (3.35) E2 − E2 mx my Trong đó: Emx > Emy r Trong quá trình truyền sóng theo trục z, ngọn của vector E tổng hợp vạch nên một đường elip xoắn trong không gian 3.4.2. Phân cực tròn Nếu 2 sóng thành phần có biên độ bằng nhau: Emx = Emy = Em và lệch pha π nhau một góc ϕ = ± . Suy ra sin 2 ϕ = 1 , cos ϕ = 0 và phương trình (3.34) trở thành 2 E1 + E 2 = E 2 2 2 m (3.36) Đây là phương trình mô tả đường tròn trong mặt phẳng toạ độ (E1, E2). Trong r quá trình truyền sóng theo trục z, ngọn của vector E tổng hợp vạch nên một đường tròn xoắn trong không gian, gọi là sóng phân cực tròn. r Nếu nhìn theo chiều truyền sóng vector E tổng hợp quay thuận chiều kim đồng hồ, ta có sóng phân cực tròn quay phải. Nếu nhìn theo chiều truyền sóng r vector E tổng hợp quay ngược chiều kim đồng hồ, ta có sóng phân cực tròn quay r π trái. Chiều quay của vector E tổng hợp phụ thuộc vào dấu của góc lệch pha 2 3.4.3. Phân cực thẳng (tuyến tính) r Trong quá trình truyền sóng theo trục z, vector E luôn hướng song song theo một đường thẳng gọi là sóng phân cực thẳng hay sóng phân cực tuyến tính. trường hợp này góc lệch pha của 2 sóng thành phần có giá trị ϕ = 0, ±π, ±2π, ... Suy ra sinϕ = 0, cosϕ = ±1 và phương trình (3.34) trở thành
  16. 2 ⎛ E1 E ⎞ ⎜ + 2 ⎟ =0 (3.37) ⎜E ⎟ ⎝ mx E my ⎠ Hay E my E2 = ± E1 (3.38) E mx Đây là phương trình mô tả đường thẳng đi qua gốc toạ độ hợp với trục Ox một góc ψ’ được tính theo E my tgψ′ = (3.39) E mx r Nhận xét: Tuỳ thuộc vào hướng của vector E người ta còn phân thành 2 trường hợp phân cực ngang và phân cực đứng. x Emx r E ψ’ O Emy y 3.5. Sự phản xạ và khúc xạ của sóng phẳng Mục tiêu phần này nghiên cứu qui luật của sóng phản xạ và khúc xạ tại mặt phẳng phân cách rộng vô hạn giữa 2 môi trường có tham số điện khác nhau. Để đơn giản ta chỉ xét đối với sóng phẳng tới phân cực thẳng ngang và đứng. 3.5.1. Sóng tới phân cực ngang r Nếu vector E của sóng tới vuông góc với mặt phẳng tới, gọi là sóng phân cực r ngang. Trong trường hợp này vector E của sóng tới sẽ song song với mặt phẳng phân cách 2 môi trường. Tìm qui luật của sóng phản xạ và khúc xạ ?
  17. Chọn hệ toạ độ Decac có mặt xOy ≡ mặt phẳng phân cách 2 môi trường, trục z trùng với pháp tuyến của mặt phẳng phân cách 2 môi trường. Hai môi trường là điện môi có các tham số điện ε1, μ1, ε2, μ2 tương ứng. Vì sóng tới là sóng phẳng truyền theo phương zt, lập với pháp tuyến z một góc ϕt nên có thể quay trục toạ độ quanh trục z để cho trục x của nó chỉ phương của r vector E của sóng tới. Tại mặt phẳng phân cách sẽ có sóng phản xạ lại môi trường 1 với góc phản xạ ϕphản xạ truyền theo hướng zpx, còn sóng khúc xạ tại mặt phẳng phân cách với góc khúc xạ ψ đi vào môi trường 2 theo phương zkx. Theo h.vẽ nhận r thấy rằng E của sóng tới, sóng phản xạ và sóng khúc xạ chỉ có 1 thành phần theo r trục x, còn H của các sóng trên có 2 thành phần theo trục y và z. Áp dụng các biểu thức (3.4) và (3.5) ta có: Sóng tới r r• • E 1 = i E 1mx e − ik z 1 t r • r • r • (3.40) H 1 = ⎛ j H1my + k H1mz ⎞e − ik z ⎜ ⎟ 1 t ⎝ ⎠ Sóng phản xạ r• r • − ik z E ′1 = i E ′1mx e 1 px r• r • r • (3.41) H ′1 = ⎛ − j H ′1my + k H ′1mz ⎞e − ik z ⎜ ⎟ 1 px ⎝ ⎠ Sóng khúc xạ r • r• E 2 = i E 2 mx e − ik z 2 kx r • r • r • (3.42) H 2 = ⎛ j H 2 my + k H 2 mz ⎞e − ik ⎜ ⎟ 2 z kx ⎝ ⎠ Trong đó: k 1 = ω ε1ε 0μ1μ 0 và k 2 = ω ε 2 ε 0μ 2μ 0 là số sóng của môi trường 1 và 2 tương ứng. Các phương truyền sóng zt, zpx và zkx biểu diễn qua x, y, z như sau:
  18. z t = − y sin ϕ t + z cos ϕ t z px = − y sin ϕ px − z cos ϕ px (3.43) z kx = − y sin ψ + z cos ψ y r H1 r E1 zt r ϕt H2 ϕpx ψ z O r zpx zkx E2 r E1′ r H1′ r r Vì các môi trường đều là điện môi nên áp dụng điều kiện biên cho E và H tại mặt phẳng phân cách xOy (z = 0) ta có: • • • • • E 1τ = E 1mx + E′1mx = E 2 τ = E 2 mx • • • • • (3.44) H1τ = H1my + H′1my = H 2 τ = H 2 my Thay các biểu thức (3.40) - (3.43) vào (3.44) và cho z = 0 ta có: • • • ik1y sin ϕpx E1mx eik y sin ϕ + E′1mx e 1 t = E 2 mx eik y sin ψ 2 • • • (3.45) ik1y sin ϕpx H1my e ik1y sin ϕt − H′1my e = H 2 my e ik 2 y sin ψ (3.45) luôn thoả mãn ∀y ta lại có: • • • E1mx + E′1mx = E 2 mx • • • H1my − H′1my = H 2 my (3.46) ik1y sin ϕpx eik y sin ϕ = e 1 t = eik y sin ψ 2 Từ biểu thức cuối của (3.46) suy ra: ϕ t = ϕ px (3.47)
  19. k1 sin ϕt = k 2 sin ψ (3.48) Nhận xét: (3.47) mô tả định luật phản xạ sóng điện từ tại mặt phẳng phân cách. (3.48) mô tả định luật khúc xạ sóng điện từ. Đặt n 1 = ε1ε 0 và n 2 = ε 2 ε 0 (3.49) lần lượt là chiết suất của môi trường 1 và 2. Giả sử μ1 = μ2 = μ thì định luật khúc xạ của sóng điện từ phẳng có dạng giống như trong quang học n 1 sin ϕ t = n 2 sin ψ (3.50) Để mô tả giữa các biên độ phức của sóng tới, sóng phản xạ và sóng khúc xạ người ta đưa ra khái niệm hệ số phản xạ và hệ số khúc xạ. Hệ số phản xạ (reflective modulus) là tỉ số giữa biên độ phức của sóng phản r xạ và sóng tới tính cho E , kí hiệu R. Hệ số khúc xạ (refractive modulus) là tỉ số r giữa biên độ phức của sóng khúc xạ và sóng tới tính cho E , kí hiệu T. Đối với sóng phân cực ngang ta có: • • E ′1m E 2m R ng = • và Tng = • (3.51) E 1m E1m Theo hvẽ đối với sóng phân cực ngang ta có: • • • • E 1m = E1mx , E ′1m = E ′1mx • • • • E 2 m = E 2 mx , H 1my = H1m cos ϕ t (3.52) • • • • H ′1my = H ′1m cos ϕ t , H 2 my = H 2 m cos ψ và
  20. • • E 1m H1m = Z1 • • E′1m H′1m = (3.53) Z1 • • E 2m H 2m = Z2 μ1μ 0 μμ Trong đó: Z1 = và Z 2 = 2 0 là trở sóng của môi trường 1 và 2 tương ε1ε 0 ε 2ε0 ứng. Thay các biểu thức (3.52) và (3.53) vào (3.46) rồi chia cả 2 vế của chúng cho • E1m ta có 1 + R ng = Tng (1 − R ) cos ϕ ng t = Tng cos ψ (3.54) Z1 Z2 Suy ra: Z 2 cos ϕ t − Z1 cos ψ R ng = Z 2 cos ϕ t + Z1 cos ψ (3.55) 2 Z 2 cos ϕ t Tng = Z 2 cos ϕ t + Z1 cos ψ (3.55) gọi là công thức Fresnel Góc khúc xạ ψ có thể tính được qua góc tới ϕt theo định luật khúc xạ (3.48) như sau: 2 ⎛k ⎞ ε cos ψ = 1 − ⎜ 1 sin ϕ t ⎟ ≈ 1 − 1 sin 2 ϕ t ⎜k ⎟ (3.56) ⎝ 2 ⎠ ε2 Nếu 2 môi trường là điện môi có μ1 = μ2 = μ thì (3.55) được viết lại
Đồng bộ tài khoản