Trường THPT Tĩnh Gia: Bất đẳng thức trong các đề thi cao đẳng và đại học
lượt xem 100
download
Tài liệu về các dạng bài tập về bất đẳng thức trong các đề thi cao đẳng và đại học...
Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!
Nội dung Text: Trường THPT Tĩnh Gia: Bất đẳng thức trong các đề thi cao đẳng và đại học
- T i liÖu d¹y thªm -¤n thi §H&C§ Lª Thanh B×nh – Tr−êng THPT TÜnh Gia 1 BÊt ®¼ng thøc trong c¸c ®Ò thi §¹i häc & Cao ®¼ng ViÖt Nam 41 5 . T×m GTNN cña S = + B i 1: Cho x, y > 0, x + y = x 4y 4 41 11111 5 5.5 25 HD: C¸ch 1: S = + =++++ ≥ ≥ = =5 x + x + x + x + 4 y 4( x + y) x 4y x x x x 4y 5 x. x.x.x. y 1 DÊu b»ng x¶y ra khi x = 1, y = . VËy min S = 5 . 4 5 4 1 = f ( x ) trªn 0; . C¸ch 2: XÐt S = + x 5 − 4x 4 1 2 1 41 C¸ch 3: 2 + = x +y ≤ x+ y + 2 x 4y x 2y B i 2: Cho a, b, c, d ∈ ℤ, 1 ≤ a < b < c < d ≤ 50 . a c b 2 + b + 50 a) CMR: + ≥ . bd 50b ac b) T×m GTNN cña S = + . bd 3 B i 3: Cho tam gi¸c ABC cã diÖn tÝch b»ng . Gäi a, b, c lÇn l−ît l ®é d i c¸c c¹nh BC, CA, AB v 2 ha , hb , hc t−¬ng øng l ®é d i c¸c ®−êng cao kÎ tõ c¸c ®Ønh A, B, C cña tam gi¸c ABC. CMR: 1 1 1 1 1 1 + + + + ≥ 3 . a b c ha hb hc 1 1 1 x2 + + y 2 + 2 + z 2 + 2 ≥ 82 B i 4: Cho x, y, z > 0, x + y + z ≤ 1 . CMR: 2 x y z 1 1 1 HD: XÐt a = x; , b = y; , c = z; . Ta cã x z y 2 1 1 1 1 1 1 (x + y + z) 2 a + b + c ≥ a + b + c ⇔ x + 2 + y2 + 2 + z2 + 2 ≥ + + + 2 x y z x y z 2 1 ( ). (3 ) 9 2 2 ≥ + 33 xyz = 9t + t víi t = xyz xyz 3 3 B i 5: T×m GTLN, GTNN cña h m sè y = sin 5 x + 3 cos x . B i 6: T×m GTLN, GTNN cña h m sè y = x + 4 − x 2 B i 7: T×m GTLN, GTNN cña h m sè y = x 6 + 4 (1 − x 2 ) trªn [ −1;1] . 3 x2 B i 8: CMR: e x + cos x ≥ 2 + x − ∀x ∈ ℝ . 2 x +1 trªn [ −1; 2] . B i 9: T×m GTLN, GTNN cña h m sè y = x2 + 1 B i 10: T×m c¸c gãc A, B, C cña tam gi¸c ABC ®Ó biÓu thøc Q = sin 2 A + sin 2 B − sin 2 C ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt. 1 Chuyªn ®Ò BÊt ®¼ng thøc
- T i liÖu d¹y thªm -¤n thi §H&C§ Lª Thanh B×nh – Tr−êng THPT TÜnh Gia 1 ln 2 x trªn 1; e3 . B i 11: T×m GTLN, GTNN cña h m sè y = x B i 12: X¸c ®Þnh m ®Ó ph−¬ng tr×nh sau cã nghiÖm: ( ) 1 + x2 − 1 − x2 + 2 = 2 1 − x4 + 1 + x2 − 1 − x2 m 111 1 1 1 B i 13: Cho x, y, z > 0, + + = 4 . CMR: + + ≤ 1. 2x + y + z x + 2 y + z x + y + 2z xyz x x x 12 15 20 B i 14: CMR: ∀x ∈ ℝ ta cã + + ≥ 3x + 4 x + 5 x . 5 4 3 B i 15: Cho c¸c sè d−¬ng x, y, z tháa m n xyz = 1 . 1 + x3 + y3 1 + y3 + z3 1 + z 3 + x3 + + ≥3 3. CMR: xy yz zx 2 y 9 B i 16: CMR: ∀x, y > 0 ta cã (1 + x ) 1 + 1 + ≥ 256 . x y 3 + 4x + 3 + 4 y + 3 + 4z ≥ 6 . B i 17: Cho x, y, z l 3 sè tháa m n x + y + z = 0 . CMR: A B i 18: XÐt c¸c tam gi¸c ABC tháa m n A ≤ 900 v sin A = 2sin B sin C tan . 2 A 1 − sin 2. T×m GTNN cña biÓu thøc S = sin B B i 19: CMR: Ph−¬ng tr×nh x x +1 = ( x + 1) cã mét nghiÖm d−¬ng duy nhÊt. x 1 B i 20: CMR: NÕu 0 ≤ y ≤ x ≤ 1 th× x y − y x ≤ . 4 3 B i 21: Cho a, b, c l 3 sè d−¬ng tháa m n a + b + c = . 4 CMR: 3 a + 3b + 3 b + 3c + 3 c + 3a ≤ 3 . B i 22: Cho hai sè thùc x ≠ 0, y ≠ 0 tháa m n ®iÒu kiÖn ( x + y ) xy = x 2 + y 2 − xy . 11 T×m GTLN cña biÓu thøc A = +. x3 y3 B i 23: Cho x, y l c¸c sè thùc tháa m n ®iÒu kiÖn x 2 + xy + y 2 ≤ 3 . CMR: −4 3 − 3 ≤ x 2 − xy − 3 y 2 ≤ 4 3 − 3 . 111 + + = 1. B i 24: Cho c¸c sè thùc x, y, z tháa m n ®iÒu kiÖn 3x 3 y 3z 3 x + 3 y + 3z 9x 9y 9z +y +z ≥ CMR: . 3 x + 3 y + z 3 + 3 z + x 3 + 3x + y 4 B i 25: Cho x, y l c¸c sè thùc. T×m GTNN cña biÓu thøc: ( x − 1) ( x + 1) 2 2 A= + y2 + + y2 + y − 2 7 11 B i 26: T×m GTNN cña h m sè y = x + + 4 1 + 2 víi x > 0 . x 2x B i 27: Cho hai sè d−¬ng x, y tháa m n ®iÒu kiÖn x + y ≥ 4 . 3x2 + 4 2 + y3 T×m GTNN cña biÓu thøc A = + y2 4x 2 Chuyªn ®Ò BÊt ®¼ng thøc
- T i liÖu d¹y thªm -¤n thi §H&C§ Lª Thanh B×nh – Tr−êng THPT TÜnh Gia 1 B i 28: T×m GTLN, GTNN cña h m sè y = 1 + sin x + 1 + cos x . ab c − 4 + bc a − 2 + ca b − 3 B i 29: Cho a ≥ 2, b ≥ 3, c ≥ 4 . T×m GTLN cña biÓu thøc F = abc B i 30: Cho x ≥ 0, y ≥ 0, x + y = 1 . T×m GTLN, GTNN cña biÓu thøc P = 3 + 3 y . 2x B i 31: CMR: NÕu b 2 + c 2 = a 2 , a > 0, b > 0, c > 0, a ± c ≠ 1 th× log a + c b + log a − c b = 2 log a + c b.log a − c b . x3 y3 z 3 x2 y 2 z 2 ++≥ + +. B i 32: Cho x, y, z > 0 . CMR: y 3 z 3 x3 y 2 z 2 x 2 B i 33: Gäi x1 , x2 l 2 nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh 2 x 2 + 2 ( m + 1) x + m 2 + 4m + 3 = 0 . T×m m ®Ó biÓu thøc A = x1 x2 − 2 ( x1 + x2 ) ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt. a 3 b3 c3 + + ≥ ab + bc + ca ∀a, b, c > 0 . B i 34: CMR: bca B i 35: Cho x, y l 2 sè thùc d−¬ng tháa m n ®iÒu kiÖn y ( y 2 + 1) + x ( x 2 − 1) = 0 . CMR: x 2 + y 2 < 1 . B i 36: Cho c¸c sè thùc x, y tháa m n ®iÒu kiÖn y ≤ 0, x 2 + x = y + 12 . T×m GTLN, GTNN cña biÓu thøc A = xy + x + 2 y + 17 . x y + ≥ x+ y. B i 37: CMR: NÕu x, y > 0 th× y x B i 38: CMR: NÕu a ≥ 0, b ≥ 0 th× 3a 3 + 7b3 ≥ 9ab 2 . x4 y4 z4 ≥ ( x3 + y 3 + z 3 ) 1 + + B i 39: Cho x, y, z l c¸c sè d−¬ng. CMR: y+ z x+ z x+ y 2 B i 40: Cho a, b, c l sè ®o ®é d i 3 c¹nh cña mét tam gi¸c. a b c + + ≥3. CMR: b+c −a c +a −b a +b−c x − my = 2 − 4m B i 41: Gäi ( x; y ) l nghiÖm cña hÖ ph−¬ng tr×nh (m l tham sè). mx + y = 3m + 1 T×m GTLN cña biÓu thøc A = x 2 + y 2 − 2 x khi m thay ®æi. x2 B i 42: Cho h m sè f ( x ) = e x − sin x + . 2 a) T×m GTNN cña h m sè f ( x ) . b) CMR: Ph−¬ng tr×nh f ( x ) = 3 cã ®óng 2 nghiÖm. 5 B i 43: Cho ph−¬ng tr×nh x 2 + m 2 − x 2 + 4 + 2 − m3 = 0 . 3 CMR: Ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm víi mäi m ≥ 0 . x2 y2 z2 3 + + ≥ B i 44: Cho x, y, z l 3 sè d−¬ng tháa m n xyz = 1 . CMR: 1+ y 1+ z 1+ x 2 --------------------------------------------K-A---------------------------------------------- n 1 B i 1: CMR: Víi mäi sè nguyªn n ≥ 2 ta ®Òu cã 2 < 2 + < 3 . n B i 2: CMR: Víi mäi sè nguyªn n ≥ 3 ta ®Òu cã n n +1 > ( n + 1) . n B i 3: Cho tam gi¸c ABC cã 3 gãc tháa m n A>B>C. 3 Chuyªn ®Ò BÊt ®¼ng thøc
- T i liÖu d¹y thªm -¤n thi §H&C§ Lª Thanh B×nh – Tr−êng THPT TÜnh Gia 1 x − sin A x − sin B T×m GTNN cña h m sè f ( x ) = + −1 . x − sin C x − sin C Tõ ®ã suy ra ph−¬ng tr×nh x − sin A + x − sin B = x − sin C cã v chØ cã 1 nghiÖm. A B B i 4: Hai gãc A, B cña tam gi¸c ABC tháa m n ®iÒu kiÖn tan + tan = 1 . 2 2 3 C CMR: ≤ tan ≤ 1 . 4 2 3 a 3 + b3 a + b B i 5: Cho 2 sè a, b tháa m n ®iÒu kiÖn a + b ≥ 0 . CMR: ≥ 2 2 π π B i 6: T×m GTLN cña h m sè y = 5 cos x − cos 5 x trªn − ; . 4 4 B i 7: Cho a, b, c l 3 sè thùc bÊt kú tháa m n a + b + c = 3 . CMR: a 4 + b 4 + c 4 ≥ a 3 + b3 + c3 B i 8: CMR: Víi mäi sè thùc a, b, c tháa m n ®iÒu kiÖn a + b + c = 1 th× a b c 111 + b + c ≥ 3 a + b + c a 3 3 3 333 π 3 x +1 . CMR: 2sin x + 2 tan x > 2 2 B i 9: Cho 0 < x < . 2 B i 10: CMR: NÕu a + b ≥ 0 th× ( a + b ) ( a 2 + b 2 ) ( a 3 + b3 ) ≤ 4 ( a 6 + b 6 ) . B i 11: Cho a, b, c l c¸c sè d−¬ng tháa m n a 2 + b 2 + c 2 = 1 . a b c 33 CMR: 2 2 + 2 +2 ≥ b +c c +a a +b 2 2 2 1 B i 12: T×m GTLN, GTNN cña h m sè y = sin x − cos 2 x + 2 3 sin x B i 13: T×m GTLN, GTNN cña h m sè y = 1 + 2 + cos x 2x 4x B i 14: T×m GTLN, GTNN cña h m sè y = sin + cos +1 1+ x 1 + x2 2 B i 15: T×m GTNN cña biÓu thøc P = cot 4 a + cot 4 b + 2 tan 2 a.tan 2 b + 2 B i 16: Tïy theo gi¸ trÞ cña m, h y t×m GTNN cña biÓu thøc A = ( x − 2 y + 1) + ( 2 x + my + 5 ) 2 2 víi mäi x, y ∈ ℝ . B i 17: Cho hai sè kh«ng ©m b v c. CMR: Tån t¹i mét sè k ∈ [ 0;1] sao cho víi mäi sè a m (1 − k ) a ≤ c . T×m ®iÒu kiÖn cña b v a ≤ b + c ta ®Òu cã ka ≤ b v c ®Ó sè k nãi trªn l duy nhÊt. 9π 2 + sin x trªn kho¶ng ( 0; +∞ ) . B i 18: T×m GTNN cña h m sè y = 4 x + x π π x B i 19: T×m GTLN cña h m sè f ( x ) = + sin 2 x trªn ®o¹n − ; . 2 2 2 x2 B i 20: CMR: e x > 1 + x + víi ∀x > 0 . 2 B i 21: Cho tam gi¸c ABC cã c¸c gãc tháa m n C ≤ B ≤ A ≤ 900 . A− B A B T×m GTNN cña biÓu thøc M = cos sin sin . 2 2 2 4 Chuyªn ®Ò BÊt ®¼ng thøc
- T i liÖu d¹y thªm -¤n thi §H&C§ Lª Thanh B×nh – Tr−êng THPT TÜnh Gia 1 a 2 + b 2 + c 2 = 2 4 4 . CMR: − ≤ a, b, c ≤ . B i 22: Cho c¸c sè a, b, c tháa m n ab + bc + ca = 1 3 3 B i 23: Cho tam gi¸c ABC cã ®é d i c¸c c¹nh l a, b, c v la , lb , lc l ®é d i c¸c ®−êng ph©n gi¸c trong t−¬ng øng víi c¸c ®Ønh A, B, C. 1 1 1 CMR: ( lb + lc ) + ( lc + la ) + ( la + lb ) ≤ 3 3 . a b c −x 2 +2 −2 2x −1 x B i 24: Cho f ( x ) = 9 x + q . T×m p, q ®Ó gi¸ trÞ lín nhÊt cña y = f ( x ) trªn + 3p x 2 + 2− x + 2 2 +1 [ −1;1] l nhá nhÊt. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt Êy. B i 25: Cho a, b, c l ®é d i 3 c¹nh v r l b¸n kÝnh ®−êng trßn néi tiÕp cña mét tam gi¸c. CMR: 111 1 + 2+ 2≤ 2. 2 abc 4r B i 26: Cho A, B, C l 3 gãc cña mét tam gi¸c. T×m GTLN cña biÓu thøc M = 3cos A + 2 ( cos B + cos C ) . π 1 1 B i 27: CMR: ∀x ∈ 0; ta cã cos x + sin x + tan x + cot x + + >6 2 sin x cos x B i 28: Cho A, B, C l 3 gãc cña mét tam gi¸c. 1 1 1 T×m GTNN cña biÓu thøc M = + + 2 + cos 2 A 2 + cos 2 B 2 − cos 2C 2 cos 3C − 4 cos 2C + 1 B i 29: Cho tam gi¸c ABC cã 0 < A ≤ B ≤ C < 900 . CMR: ≥2 cos C B i 30: Cho tam gi¸c ABC cã 3 c¹nh a, b, c v p l nöa chu vi. 1 1 1 1 1 1 + + ≥ 2 + + CMR: p − a p −b p −c a b c x + y + z + t = 0 B i 31: Cho 4 sè x, y, z, t thay ®æi tháa m n ®iÒu kiÖn 2 . x + y + z + t = 1 2 2 2 H y t×m GTLN, GTNN cña biÓu thøc P = xy + yz + zt + tx . B i 32: Cho c¸c sè x, y thay ®æi tháa m n ®iÒu kiÖn x ≥ 0, y ≥ 0 v x + y = 1 . T×m GTLN, GTNN cña biÓu thøc P = 3x + 9 y . B i 33: Gi¶ sö x, y l c¸c sè thay ®æi tháa m n x > 0, y > 0, x + y = 1 . x y H y t×m GTNN cña biÓu thøc P = + 1− x 1− y 2 2 B i 34: CMR: 2 ≤ ∫ e x − x dx ≤ 2 4 e 2 e 0 a+b a+b B i 35: CMR: ∀a, b ta cã ≤ 1+ a + b 1+ a + b B i 36: Cho A, B, C l 3 gãc cña mét tam gi¸c. CMR: A B B C C A a) tan tan + tan tan + tan tan = 1 2 2 2 2 2 2 A B C 1 b) tan tan tan ≤ 2 2 2 33 B i 37: Cho 3 sè d−¬ng a, b, c tháa m n ®iÒu kiÖn abc = 1 . bc ca ab T×m GTNN cña biÓu thøc P = 2 +2 +2 a b + a c b c + b a c a + c 2b 2 2 5 Chuyªn ®Ò BÊt ®¼ng thøc
- T i liÖu d¹y thªm -¤n thi §H&C§ Lª Thanh B×nh – Tr−êng THPT TÜnh Gia 1 2y 2x 2z 1 1 1 + 3 2+ 3 ≤ 2+ 2+ 2 B i 38: Cho x, y, z > 0. CMR: x +y y +z z +x 3 2 2 x y z B i 39: Cho tam gi¸c ABC cã 3 gãc nhän. T×m GTNN cña biÓu thøc P = tan A. tan B. tan C C A B C A B B i 40: CMR: Trong mäi tam gi¸c ABC ta lu«n cã cot + cot + cot ≥ 3 tan + tan + tan 2 2 2 2 2 2 B i 41: Cho x, y, z l nh÷ng sè d−¬ng. x 2 + xy + y 2 + y 2 + yz + z 2 + z 2 + zx + x 2 ≥ 3 ( x + y + z ) CMR: B i 42: C¸c sè x, y, z thay ®æi nhøng lu«n tháa m n ®iÒu kiÖn x 2 + y 2 + z 2 = 1 . H y t×m GTLN v GTNN cña biÓu thøc: P = x + y + z + xy + yz + zx . B i 43: T×m GTLN v GTNN cña h m sè y = x − 1 + 9 − x víi 3 ≤ x ≤ 6 . B i 44: Tam gi¸c ABC vu«ng gãc t¹i A cã BC=a, CA=b, AB=c. CMR: b 2 n + c 2 n ≤ a 2 n ∀n ∈ ℕ . B i 45: T×m GTLN, GTNN cña h m sè y = cos 4 x + sin 4 x + sin x cos x + 1 B i 46: CMR: NÕu c¸c gãc A, B, C cña tam gi¸c ABC tháa m n ®iÒu kiÖn cos 2 A + cos 2 B + cos 2C ≥ −1 th× sin A + sin B + sin C ≤ 1 + 2 . B i 47: Cho a, b, c l 3 sè thùc bÊt kú tháa m n ®iÒu kiÖn a+b+c=0. CMR: 8a + 8b + 8c ≥ 2a + 2b + 2c . π 4 t tan x B i 48: §Æt I ( t ) = ∫ dx 0 < t < . 4 0 cos 2 x ( tan3 t +3tan t ) π π 2 TÝnh I ( t ) v chøng minh: tan t + > e 3 víi 0 < t < . 4 4 B i 49: Cho tam gi¸c ABC cã ®é d i 3 c¹nh l a, b, c v sè ®o 3 gãc l A, B, C. CMR: a) ab ( a + b − 2c ) + bc ( b + c − 2a ) + ca ( c + a − 2b ) ≥ 0 1 1 1 + + ≥ 12 . b) 2 A 2B 2C sin sin sin 2 2 2 B i 50: CMR: ∀t ∈ [ −1;1] ta cã 1 + t + 1 − t ≥ 1 + 1 − t 2 ≥ 2 − t 2 . 3cos 4 x + 4sin 2 x B i 51: T×m GTLN, GTNN cña h m sè y = 3sin 4 x + 2 cos 2 x B i 52: Cho tam gi¸c ABC cã 3 gãc A, B, C ®Òu nhän. 2 1 CMR: ( sin A + sin B + sin C ) + ( tan A + tan B + tan C ) ≥ π 3 3 B i 53: Cho tam gi¸c ABC bÊt kú víi 3 gãc A, B, C. T×m GTLN cña biÓu thøc P = 3 cos B + 3 ( cos A + cos C ) . 3 x 2 + 10 x + 20 B i 54: T×m GTLN, GTNN cña h m sè y = x2 + 2x + 3 B i 55: CMR: NÕu a, b, c, d , e ∈ ( 0;1) th× (1 − a ) (1 − b ) (1 − c ) (1 − d ) (1 − e ) > 1 − a − b − c − d − e H y tæng qu¸t b i to¸n trªn v chøng minh nã. B i 56: Trong c¸c sè thùc x, y, z tháa m n ( x − 1) + ( y − 2 ) + ( z − 1) = 1 . 2 2 2 H y t×m x, y, z ®Ó biÓu thøc x + 2 y + 3 z − 8 ®¹t GTLN. X¸c ®Þnh GTLN ®ã. 1 B i 57: CMR: 1 ≤ ∫ 2 x dx ≤ 4 . 3 −1 6 Chuyªn ®Ò BÊt ®¼ng thøc
- T i liÖu d¹y thªm -¤n thi §H&C§ Lª Thanh B×nh – Tr−êng THPT TÜnh Gia 1 π 3 cot x 1 ≤ ∫π3 dx ≤ B i 58: CMR: 12 x 3 4 B i 59: CMR: NÕu a, b, c l ®é d i 3 c¹nh cña mét tam gi¸c cã chu vi b»ng 3 th× 3a 2 + 3b 2 + 3c 2 + 4abc ≥ 13 . B i 60: T×m GTLN, GTNN cña h m sè y = 2sin 8 x + cos 4 2 x . a 2 b2 c 2 d 2 1 1 1 1 ++ + ≥+++ B i 61: Cho 4 sè d−¬ng a, b, c, d. CMR: . b5 c5 d 5 a 5 a 3 b3 c 3 d 3 1 1 1 1 +3 3 +3 ≤ B i 62: CMR: NÕu a, b, c l 3 sè d−¬ng th× 3 3 a + b + abc b + c + abc c + a + abc abc 3 B i 63: Cho sin x + sin y + sin z = 0 . T×m GTLN, GTNN cña biÓu thøc P = sin 2 x + sin 4 y + sin 6 z . B i 64: T×m GTLN, GTNN cña A = 2 x − y − 2 víi ( x; y ) l täa ®é ®iÓm M ch¹y trªn elip (E): x2 y2 + = 1. 4 9 3 B i 65: Cho c¸c sè x, y, z thay ®æi trªn [ 0;1] v tháa m n ®iÒu kiÖn x + y + z = . T×m GTNN cña 2 biÓu thøc A = cos ( x 2 + y 2 + z 2 ) . B i 66: Cho a, b, c l c¸c sè thùc d−¬ng tháa m n ab + bc + ca = 3 . Chøng minh r»ng: 1 1 1 1 + + ≤ . 1 + a ( b + c ) 1 + b ( c + a ) 1 + c ( a + b ) abc 2 2 2 HD: Ta cã 3 = ab + bc + ca ≥ 3 3 ( abc ) ⇒ abc ≤ 1 . Tõ ®ã suy ra: 2 1 1 1 1 1 = = = ≤ . 1 + a ( b + c ) 1 + a ( ab + ac ) 1 + a ( 3 − bc ) 3a + (1 − abc ) 3a 2 1 1 1 1 1 1 1 1 + + ≤ + + = Do ®ã . 1 + a ( b + c ) 1 + b ( c + a ) 1 + c ( a + b ) 3 a b c abc 2 2 2 7 Chuyªn ®Ò BÊt ®¼ng thøc
CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD
-
Đề c-ơng ôn tập học kì 2 môn Toán khối 10 năm học 2011 - 2012 (TRƯỜNG THPT HỒNG QUANG)
3 p | 248 | 64
-
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN THỨ NHẤT MÔN Vật Lý - Mã đề thi 485
5 p | 95 | 13
-
Đề thi thử Đại học Toán lần 1 năm 2014 khối A - THPT Đức Thọ (Kèm đáp án)
5 p | 71 | 3
-
Đề thi giữa học kì 1 môn Toán lớp 10 năm 2023-2024 - Trường THPT Hướng Hóa, Quảng Trị (Đề minh họa)
3 p | 4 | 3
-
Đề thi giữa học kì 1 môn Toán lớp 11 năm 2023-2024 - Trường THPT Thuận Thành số 1 (Đề minh họa)
11 p | 3 | 2
-
Đề thi giữa học kì 1 môn Toán lớp 10 năm 2023-2024 - Trường THPT Thuận Thành số 1 (Đề minh họa)
9 p | 3 | 2
-
Đề thi giữa học kì 1 môn Toán lớp 10 năm 2023-2024 - Trường THPT Phan Đình Phùng
2 p | 6 | 2
-
Đề thi Olympic chọn học sinh giỏi môn Toán lớp 10 năm 2022-2023 - Cụm các trường THPT - Hà Nội
1 p | 5 | 2
-
Đề thi thử tốt nghiệp THPT năm 2023 môn Toán - Trường THPT Can Lộc, Hà Tĩnh (Lần 1)
4 p | 11 | 2
-
Đề kiểm tra học kì 2 môn Đại số lớp 10 - Trường THPT Lương Phú, Thái Nguyên (Đề 2)
2 p | 10 | 2
-
Đề kiểm tra cuối học kì 2 môn Toán lớp 10 năm 2021-2022 - Trường THPT Hùng Vương
1 p | 7 | 2
-
Đề kiểm tra cuối học kì 2 môn Toán lớp 10 năm 2021-2022 có đáp án - Trường THPT Phan Đăng Lưu
4 p | 8 | 2
-
Đề thi KSCL môn Toán lớp 10 năm 2022-2023 (Lần 1) - Trường THPT Tiên Du số 1
2 p | 2 | 1
-
Đề thi KSCL môn Toán lớp 10 năm 2021-2022 có đáp án ( Lần 2) - Trường THPT Yên Phong số 2
4 p | 4 | 1
-
Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Phát triển năng lực toán cho học sinh THPT từ bài toán diện tích tam giác
34 p | 26 | 1
-
Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2023-2024 có đáp án - Trường THPT Trần Phú, Hà Tĩnh
9 p | 2 | 1
Chịu trách nhiệm nội dung:
Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA
LIÊN HỆ
Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM
Hotline: 093 303 0098
Email: support@tailieu.vn