Tự ôn toán với các công thức tính đạo hàm giới hạn và vi phân - 1

Chia sẻ: cnkbmt1

Bao gồm các công thức dùng trong việc tự ôn luyện về giới hạn hàm số, đạo hàm, vi phân, tích phân ứng dụng trong các dạng toán thường gặp nhất trong các kỳ thi Tốt nghiệp - CĐ - ĐH

Nội dung Text: Tự ôn toán với các công thức tính đạo hàm giới hạn và vi phân - 1

2. Giới hạn vô hạn của hàm số:

lim f ( x )  
x  x0




N > 0 lớn tuỳ ý,  > 0: 0 < x – x0 <   f(x) > N

lim f ( x )  
x  x0




N < 0 nhỏ tuỳ ý,  > 0: 0 < x – x0<   f(x) < N

Ví dụ: chứng minh

1
 
lim
x a ( x  a ) 2




3. Các tính chất của giới hạn hàm số:

Định lý: nếu lim f(x) = L1 và lim g(x) = L2 thì

• Lim [f(x) ± g(x)] = L1 ± L2

• Lim [f(x)g(x)] = L1L2

Lim [f(x)/g(x)] = L1/L2 (L2 ≠ 0)


Lim [f(x)]m = L1m (L1m  R)


• Lim C = C

• Lim [Cf(x)] = CL1

Ghi chú: Nếu gặp các dạng vô định 0/0, 0.,  - , 1 thì phải biến đổi để khử

chúng.
Ví dụ: Tìm
x2 1 x3  8
sin x
b) lim c) lim
a) lim 2
x 1 x2
x  3x  x  1 x 1 x2
2




Định lý: Giả sử g(x)  f(x)  h(x) đối với mọi x thuộc lân cận của x0. Nếu

lim g ( x )  lim h( x)  L  lim f ( x )  L
x  x0 x  x0 x  x0




Định lý: Trong một quá trình, nếu lim u(x) = L và f là hàm sơ cấp xác định trong

lân cận của L, thì lim f[u(x)] = f(L) = f[lim u(x)]

Ví dụ: Tìm

 x 2  1 
lim sin  2
 2x  x  
x 
 




4. Một số giới hạn đặc xbiệt:
ax 1 ln(1  x )
 1 1
lim
 ln a
lim 1    e lim
x
x 0
x
 x x 0
sin x x 
lim 1  x 
1/ x
e
1
lim x 0
x
x 0




Ví dụ: Chứng minh:

arctgx
tgx arcsin x 1
lim
1
lim 1
lim x
x0
x0 x
x
x0



Ví dụ: Tìm:
x3
x
 x 2
3 x 
lim  lim 
 
x  x  1
x
x 
 
5. So sánh vô cùng bé

Định nghĩa: Hàm số f(x) được gọi là vô cùng bé trong một quá trình nếu limf(x) =

0

Định nghĩa: Cho f(x), g(x) là hai VCB trong một quá trình:

Nếu lim[f(x)/g(x)] = 0, f(x) là VCB bậc cao hơn g(x)


Nếu lim[f(x)/g(x)] = , f(x) là VCB bậc thấp hơn g(x)


Nếu lim[f(x)/g(x)] = A, f(x), g(x) là hai VCB cùng bậc


Nếu lim[f(x)/g(x)] = 1, f(x), g(x) là hai VCB tương đương. Ký hiệu


f(x)~g(x)

Nếu lim[f(x)/g(x)] không tồn tại, ta nói f(x), g(x) là hai VCB không so


sánh được

Định lý: Nếu f(x), g(x) là hai VCB, Nếu f(x)~f1(x), g(x)~g1(x) thì lim[f(x)/g(x)] =

lim[f1(x)/g1(x)]

Định lý (qui tắc ngắt bỏ VCB bậc cao): Nếu g(x) là VCB bậc cao hơn f(x) trong

cùng quá trình thì

f(x) + g(x) ~ f(x)

Ví dụ: Chứng minh

sin 2 x  arcsin 2 x  arctg 2 x 2

lim
3x 3
x 0




sin x x ~ x 2  x 3

Khi x 0
6. So sánh vô cùng lớn:

Định nghĩa: Hàm số F(x) gọi là một vô cùng lớn trong một quá trình nếu lim F(x)

=

Trong cùng quá trình, nếu f(x) là CVB thì 1/f(x) là VCL


Ngược lại, F(x) là VCL thì 1/F(x) là VCB


Định nghĩa: Cho F(x), G(x) là hai VCL trong một quá trình:

Nếu lim[F(x)/G(x)] = , F(x) là VCL bậc cao hơn G(x)


Nếu lim[F(x)/G(x)] = 0, F(x) là VCL bậc thấp hơn G(x)


Nếu lim[F(x)/G(x)] = A (A ≠ 0, A ≠ ), ta nói F(x), G(x) là hai VCL cùng


bậc.

Nếu lim[F(x)/G(x)] = 1, F(x), G(x) là hai VCL tương đương. Ký hiệu


F(x)~G(x)

Định lý: Nếu F(x), G(x) là hai VCL trong cùng quá trình, Nếu F(x)~F1(x) ,

G(x)~G1(x) thì

lim[F(x)/G(x)] = lim[F1(x)/G1(x)]



Định lý (qui tắc ngắt bỏ VCL bậc thấp): Nếu G(x) là VCL bậc thấp hơn F(x) trong

cùng quá trình thì F(x) + G(x) ~ F(x)

Ví dụ: Tìm


7 x 3  x5  6 x
lim
x  12 x 3  x 2  6 x
Định nghĩa: Hàm số f được gọi là liên tục tại x0 nếu:

lim f ( x)  f ( x0 )
x  x0



lim f ( x)  f ( x0 )
lim f ( x)  f ( x0 )
x  x0 
xx0 
Nếu chỉ có hoặc



thì f được gọi là liên tục bên phải (bên trái) tại x0

Định nghĩa: Hàm số f(x) được gọi là gián đoạn tại x0 nếu nó không liên tục tại x0.

Vậy x0 là điểm gián đoạn của hàm số f(x) nếu:

- Hoặc f(x) không xác định tại x0

- Hoặc f(x) xác định tại x0 nhưng lim f(x) ≠ f(x0) khi x  x0

- Hoặc không tồn tại lim f(x) khi x  x0

Ví dụ: Xác định tính liên tục tại x0 = 0
 x  1 khi x  0
f ( x)  
 x  1 khi x  0 1
f ( x) 
x




Định nghĩa: f được gọi là liên tục trong khoảng mở (a,b) nếu nó liên tục tại mọi

điểm thuộc khoảng đó,

f được gọi là liên tục trong khoảng đóng [a,b] nếu nó liên tục tại mọi điểm


thuộc khoảng mở (a,b), liên tục bên phải tại a và liên tục bên trái tại b
Định lý: Nếu f, g là các hàm số liên tục tại x0 thì các hàm số sau cũng liên tục tại

x0: kf (k hằng số), f+g, fg, g/f (g(x0)≠0).

Định lý: Trong cùng một quá trình nếu limu(x) = u0 và f liên tục tại u0 thì Lim

f[u(x)] = f[lim u(x)] = f(u0)

Định lý: Nếu f liên tục trên (a,b) và f(a)f(b) < 0 thì x0  (a,b): f(x0) = 0

Định lý: Nếu f liên tục trên [a,b] thì f đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên [a,b]




Chương 2. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN

1. ĐẠO HÀM HÀM SỐ MỘT BIẾN


Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trong (a,b) và x0  (a,b). Nếu tồn tại

f ( x)  f ( x0 )
lim
x  x0
x  x0




thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số f(x) tại x0. Ký hiệu f’(x0), y’(x0)

Đặt x = x – x0, ta có x = x0 + x và
y
y '  lim
x 0 x
đặt y = f(x0 + x) – f(x0) thì

Ký hiệu dy/dx, df/dx

y
y '  lim
x 0 x
Đạo hàm bên phải:
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản