Tự ôn toán với các công thức tính đạo hàm giới hạn và vi phân - 3

Chia sẻ: cnkbmt1

Tham khảo tài liệu 'tự ôn toán với các công thức tính đạo hàm giới hạn và vi phân - 3', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Nội dung Text: Tự ôn toán với các công thức tính đạo hàm giới hạn và vi phân - 3

CỰC TRỊ



Định nghĩa: Hàm số f được gọi là đạt cực đại (cực tiểu) tại x0 nếu tồn tại một lân

cận của x0 sao cho f(x)  f(x0) (f(x)  f(x0)).

Chiều biến thiên của hàm số:

Định lý: Cho f khả vi trong (a,b):

1. Nếu f’(x) > 0 với mọi x  (a,b) thì f tăng.

2. Nếu f’(x) < 0 với mọi x  (a,b) thì f giảm.

Điều kiện cần của cực trị:

Định lý Fermat: Nếu hàm số đạt cực trị tại điểm x = x0 và có đạo hàm tại điểm đó

thì f’(x0) = 0.

Ví dụ: Hàm số y = x3, f’(0) = 0 nhưng tại x = 0 hàm số không đạt cực trị.

Hàm số y = x đạt cực tiểu tại x = 0 nhưng f’(0) không tồn tại.

Định nghĩa: Các điểm thoả một trong các điều kiện sau thì được gọi chung là

điểm tới hạn của f:

a) Không tồn tại f’(x)

b) f’(x) = 0

Định nghĩa: Các điểm thoả điều kiện sau f’(x) = 0 được gọi là điểm dừng của f.
Điều kiện đủ của cực trị:

Định lý: Giả sử f khả vi trong (a,b) chứa điểm x0

a) Nếu x vượt qua x0 mà f’(x) đổi dấu từ dương sang âm thì f(x) đạt cực đại

tại x0.

b) Nếu x vượt qua x0 mà f’(x) đổi dấu từ âm sang dương thì f(x) đạt cực tiểu

tại x0.

c) Nếu x vượt qua x0 mà f’(x) không đổi dấu thì f(x) không đạt cực trị tại x0.

Định lý: Giả sử f(x) có đạo hàm cấp 2 liên tục ở lân cận điểm x0 và f’(x) = 0.

a) Nếu f”(x0) > 0 thì f(x) đạt cực tiểu.

b) Nếu f”(x0) < 0 thì f(x) đạt cực đại.

Giá trị lớn nhất bé nhất của hàm số trên một đoạn:

1. Tính giá của f tại các điểm tới hạn và tại điểm hai đầu mút.

2. Giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) trong các giá trị đ ược tính trên là giá trị lớn nhất (nhỏ

nhất cần tìm).

Ví dụ: tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm số:

f(x) = x3 – 3x2 +1 trên đoạn [-1/2, 4]

Biến kinh tế:



Sản lượng
Q Quantity

Lượng cung
QS Quantity Supplied

Lượng cầu
QD Quantity Demanded
Giá cả
P Price

C Cost Chi phí

Tổng chi phí
TC Total Cost

R Revenue Doanh thu

Tổng doanh thu
TR Total Revenue

Lợi nhuận
Pr Profit

Tư bản
K Capital

Lao động
L Labour

Định phí
FC Fix Cost

Biến phí
VC Variable Cost



Hàm số kinh tế:

Hàm sản xuất
• : Q = f(K,L)

• Hàm doanh thu : TR = PQ

• Hàm chi phí : TC = f(Q)

Hàm lợi nhuận :  = TR - TC


Ví dụ: Một quán bún bình dân, hãy tính mỗi ngày bán bao nhiêu tô thì có lời với

giá bán 5.000đ/tô và chi phí như sau:

Thuê mặt bằng, 50.000đ/ngày

điện nước
300đ/tô
Bún

Gia vị 200đ/tô

Thịt bò, heo 2.000đ/tô

500đ/tô
Nhân viên



Ý nghĩa đạo hàm trong kinh tế:

Sản lượng biên MQ: (Marginal quantity) Đo lường sự thay đổi của sản


lượng khi tăng lao động hay vốn lên một đơn vị.

Q5 L

Ví dụ: Hãy tìm sản lượng biên của một doanh nghiệp và cho nhận xét khi


L=100 cho bởi hàm sản xuất sau:

• Chi phí biên MC: (Marginal Cost)

Hàm chi phí: TC = TC(Q)

MC là đại lượng đo lường sự thay đổi của chi phí khi sản lượng tăng lên một đơn

vị.

Ví dụ: Tìm MC và MC là bao nhiêu khi Q = 50 và cho nhận xét.


TC = 0,0001Q3 – 0,02Q2 + 5Q + 100

• Doanh thu biên MR: (Marginal Revenue)

Hàm doanh thu: TR = PQ
Nếu: Q do thị trường quyết định, giá do doanh nghiệp quyết định th ì MR là


đại lượng đo lường sự thay đổi của doanh thu khi sản l ượng tăng thêm 1

đơn vị.

Nếu: Q do doanh nghiệp quyết định, giá do thị trường quyết định thì MR là


đại lượng đo lường sự thay đổi của doanh thu khi giá tăng thêm 1 đơn vị.

Ví dụ: Một sản phẩm trên thị trường có hàm cầu là:


Q = 1.000 – 14P

Tìm MR khi p = 40 và p = 30

• Lợi nhuận biên MP: (Marginal Profit)

Hàm lợi nhuận:  = TR – TC = PQ – (FC + VC(Q))

Lợi nhuận biên là đại lượng đo lường sự thay đổi của lợi nhuận khi giá hay sản

lượng tăng thêm 1 đơn vị

• Tối đa hóa lợi nhuận:

Hàm chi phí: TC = TC(x)

Hàm cầu: x = QD = f(P)

Giả sử thị trường độc quyền:

Hàm lợi nhuận:  = TR – TC = Px – TC(x)

 d  d (TR  TC )
 dx  0 0

  dx
 2
2
d   0  d (TR  TC )  0
 dx 
2
dx 2
 
Ví dụ: Một công ty độc quyền, phòng kinh doanh cung cấp thông tin:


Định phí: FC = 600

Biến phí: VC = 1/8 x2 + 6x

Hàm cầu: x = -7/8 P + 100

Hãy tìm sản lượng để doanh nghiệp đạt lợi nhuận tốt đa.
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản