Tự ôn toán với các công thức tính đạo hàm giới hạn và vi phân - 3

Chia sẻ: cnkbmt1

Tham khảo tài liệu 'tự ôn toán với các công thức tính đạo hàm giới hạn và vi phân - 3', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Nội dung Text: Tự ôn toán với các công thức tính đạo hàm giới hạn và vi phân - 3

 

  1. CỰC TRỊ Định nghĩa: Hàm số f được gọi là đạt cực đại (cực tiểu) tại x0 nếu tồn tại một lân cận của x0 sao cho f(x)  f(x0) (f(x)  f(x0)). Chiều biến thiên của hàm số: Định lý: Cho f khả vi trong (a,b): 1. Nếu f’(x) > 0 với mọi x  (a,b) thì f tăng. 2. Nếu f’(x) < 0 với mọi x  (a,b) thì f giảm. Điều kiện cần của cực trị: Định lý Fermat: Nếu hàm số đạt cực trị tại điểm x = x0 và có đạo hàm tại điểm đó thì f’(x0) = 0. Ví dụ: Hàm số y = x3, f’(0) = 0 nhưng tại x = 0 hàm số không đạt cực trị. Hàm số y = x đạt cực tiểu tại x = 0 nhưng f’(0) không tồn tại. Định nghĩa: Các điểm thoả một trong các điều kiện sau thì được gọi chung là điểm tới hạn của f: a) Không tồn tại f’(x) b) f’(x) = 0 Định nghĩa: Các điểm thoả điều kiện sau f’(x) = 0 được gọi là điểm dừng của f.
  2. Điều kiện đủ của cực trị: Định lý: Giả sử f khả vi trong (a,b) chứa điểm x0 a) Nếu x vượt qua x0 mà f’(x) đổi dấu từ dương sang âm thì f(x) đạt cực đại tại x0. b) Nếu x vượt qua x0 mà f’(x) đổi dấu từ âm sang dương thì f(x) đạt cực tiểu tại x0. c) Nếu x vượt qua x0 mà f’(x) không đổi dấu thì f(x) không đạt cực trị tại x0. Định lý: Giả sử f(x) có đạo hàm cấp 2 liên tục ở lân cận điểm x0 và f’(x) = 0. a) Nếu f”(x0) > 0 thì f(x) đạt cực tiểu. b) Nếu f”(x0) < 0 thì f(x) đạt cực đại. Giá trị lớn nhất bé nhất của hàm số trên một đoạn: 1. Tính giá của f tại các điểm tới hạn và tại điểm hai đầu mút. 2. Giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) trong các giá trị đ ược tính trên là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất cần tìm). Ví dụ: tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm số: f(x) = x3 – 3x2 +1 trên đoạn [-1/2, 4] Biến kinh tế: Sản lượng Q Quantity Lượng cung QS Quantity Supplied Lượng cầu QD Quantity Demanded
  3. Giá cả P Price C Cost Chi phí Tổng chi phí TC Total Cost R Revenue Doanh thu Tổng doanh thu TR Total Revenue Lợi nhuận Pr Profit Tư bản K Capital Lao động L Labour Định phí FC Fix Cost Biến phí VC Variable Cost Hàm số kinh tế: Hàm sản xuất • : Q = f(K,L) • Hàm doanh thu : TR = PQ • Hàm chi phí : TC = f(Q) Hàm lợi nhuận :  = TR - TC • Ví dụ: Một quán bún bình dân, hãy tính mỗi ngày bán bao nhiêu tô thì có lời với giá bán 5.000đ/tô và chi phí như sau: Thuê mặt bằng, 50.000đ/ngày điện nước
  4. 300đ/tô Bún Gia vị 200đ/tô Thịt bò, heo 2.000đ/tô 500đ/tô Nhân viên Ý nghĩa đạo hàm trong kinh tế: Sản lượng biên MQ: (Marginal quantity) Đo lường sự thay đổi của sản • lượng khi tăng lao động hay vốn lên một đơn vị. Q5 L Ví dụ: Hãy tìm sản lượng biên của một doanh nghiệp và cho nhận xét khi • L=100 cho bởi hàm sản xuất sau: • Chi phí biên MC: (Marginal Cost) Hàm chi phí: TC = TC(Q) MC là đại lượng đo lường sự thay đổi của chi phí khi sản lượng tăng lên một đơn vị. Ví dụ: Tìm MC và MC là bao nhiêu khi Q = 50 và cho nhận xét. • TC = 0,0001Q3 – 0,02Q2 + 5Q + 100 • Doanh thu biên MR: (Marginal Revenue) Hàm doanh thu: TR = PQ
  5. Nếu: Q do thị trường quyết định, giá do doanh nghiệp quyết định th ì MR là • đại lượng đo lường sự thay đổi của doanh thu khi sản l ượng tăng thêm 1 đơn vị. Nếu: Q do doanh nghiệp quyết định, giá do thị trường quyết định thì MR là • đại lượng đo lường sự thay đổi của doanh thu khi giá tăng thêm 1 đơn vị. Ví dụ: Một sản phẩm trên thị trường có hàm cầu là: • Q = 1.000 – 14P Tìm MR khi p = 40 và p = 30 • Lợi nhuận biên MP: (Marginal Profit) Hàm lợi nhuận:  = TR – TC = PQ – (FC + VC(Q)) Lợi nhuận biên là đại lượng đo lường sự thay đổi của lợi nhuận khi giá hay sản lượng tăng thêm 1 đơn vị • Tối đa hóa lợi nhuận: Hàm chi phí: TC = TC(x) Hàm cầu: x = QD = f(P) Giả sử thị trường độc quyền: Hàm lợi nhuận:  = TR – TC = Px – TC(x)  d  d (TR  TC )  dx  0 0    dx  2 2 d   0  d (TR  TC )  0  dx  2 dx 2  
  6. Ví dụ: Một công ty độc quyền, phòng kinh doanh cung cấp thông tin: • Định phí: FC = 600 Biến phí: VC = 1/8 x2 + 6x Hàm cầu: x = -7/8 P + 100 Hãy tìm sản lượng để doanh nghiệp đạt lợi nhuận tốt đa.
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản