Tuyển các dạng và phương pháp giải toán giới han hàm số

Chia sẻ: trungtrancbspkt

Tài liệu dành cho các bạn học sinh rèn luyện và nâng cao kỹ năng giãi bài tập, ôn tập kiến thức, góp phần giúp ích cho các kỳ thi sắp tới.

Nội dung Text: Tuyển các dạng và phương pháp giải toán giới han hàm số

GIA SƯ

ỨC KHÁNH ‘‘Th p sáng ng n l a thành công’’
• Chuyên luy n thi ð i H c
Kh i A - B
• Nh n d y kèm t t c các l p
22A - Ph m Ng c Th ch – TP.Quy Nhơn
Liên h : Th y Khánh – 0975.120.189



BÀI T P GI I H N
D NG I: TÌM GI I H N DÃY S
Phương pháp g i: Dùng ñ nh nghĩa , tính ch t và các ñ nh lý v gi i h n c a dãy s

2
VÝ dô 1: T×m: lim 3 8n − 3n
n2
Gi¶i:
2
lim 3 8n − 3n = lim 3 8 − 3 = 3 8 = 2
n2 n
2
VÝ dô 2: T×m: lim 2n − 3n −1
−n 2 + 2
Gi¶i:
2 − 3n −1 2− 3 − 1
n n2 2
lim 2n = lim = = −2
−n 2 + 2 −1 + 2 −1
n 2
 
VÝ dô 3: T×m: lim  n −1 − n 2 +1 
 
 
Gi¶i:

lim  n −1 −

n 2 + 1  = lim −2n = lim −2 = −1 .
 
  n −1 + n 2 +1 1− 1 + 1+ 1
n n2

D NG II: CH NG MINH limu n = 0
Phương pháp gi i: S d ng ñ nh lý
| u |≤ v
n n
• Cho hai dãy s u n , vn :   ⇒ limu n = 0 (1)
 lim ( vn ) = 0

 vn ≤ u n ≤ w n , ∀n
•  ⇒ lim u n = L (2)
 lim vn = lim w n = L ( L ∈ℝ )


GIA SƯ ð C KHÁNH 0975.120.189 22A – PH M NG C TH CH – TP.QUY NHƠN
n
VÝ dô: Chøng minh: lim
( −1) cosn
=0
n
Gi¶i:
n n
Ta cã:
( −1) cos n ≤ 1 vµ lim 1 = 0 nªn lim ( −1) cos n = 0
n n n n


D NG III: CH NG MINH limu n T N T I
Phương pháp gi i: S d ng ñ nh lý
• Dãy (un) tăng và b ch n trên thì có gi i h n ;
• Dãy (vn) gi m và b ch n dư i thì có gi i h n
VÝ dô: Chøng minh d·y sè ( u n ) cho bëi u n = 1 cã giíi h¹n.
n ( n + 1)
Gi¶i:
u n ( n +1)
Ta cã n +1 = 1 . = n < 1, ∀n. Do ®ã d·y ( u n ) gi¶m. Ngoµi ra,
un ( n +1)( n + 2 ) 1 n+2

∀n ∈ ℕ* : u n = 1 > 0, nªu d·y ( u n ) bÞ chÆn d−íi. VËy d·y ( u n ) cã giíi h¹n.
n ( n +1)
D NG IV: TÍNH T NG C A C P S NHÂN LÙI VÔ H N
u
Phương pháp gi i: S d ng công th c S = 1 ,| q |< 1
1− q
VÝ dô: TÝnh tæng S = 1 + 1 + 1 + ... + 1 + ....
2 22 2n
Gi¶i:
u
§©y lµ tæng cña mét cÊp sè nh©n lïi v« h¹n, víi q = 1 < 1 vµ u = 1 . VËy: S = 1 = 1 = 2
2 1 1− q 1− 1
2
D NG V: TÌM GI I H N VÔ C C
Phương pháp gi i: S d ng quy t c tìm gi i h n vô c c
3
VÝ dô 1: T×m: lim −2n + 4n − 3
1:
3n 2 + 1
Gi¶i:
C¸ch 1:

3 + 4n − 3 −2 + 4 − 3
Ta cã: lim −2n = lim n 2 n3
3n 2 +1 3+ 1
n n3
   
L¹i cã lim  −2 + 4 − 3  = −2 < 0,lim  3 + 1  = 0 vµ 3 + 1 > 0  ∀n ∈ ℕ*  nªn suy ra:
  n   
 n 2 n3   n2  n n3  


3 + 4n − 3 −2 + 4 − 3
lim −2n = lim n 2 n3 = −∞
3n 2 + 1 3+ 1
n n3
C¸ch 2:



GIA SƯ ð C KHÁNH 0975.120.189 22A – PH M NG C TH CH – TP.QUY NHƠN
   4 − 3 
3 + 4n − 3 n3  −2 + 4 − 3 
   −2 + 
Ta cã: lim −2n
2 n3  n 2 n3 
= lim  n = lim  n.
 
3n 2 + 1  
n2  3 + 1   3+ 1 

 n 
2 
 n2 

 4 − 3 
−2 + 4 − 3 3  −2 + 
L¹i cã lim n = +∞; lim n 2 n3 = − 2 < 0 ⇒ lim −2n + 4n − 3 = lim  n. n 2 n3  = −∞
 
3+ 1 3 3n 2 + 1  3+ 1 
n2 
 n2 


VÝ dô 2: TÝnh lim
2: 4x 2 −1
x→−∞
Gi¶i:
 
lim 4x 2 −1 = lim x 2  4 − 1  = lim | x |. 4 − 1
x→−∞ x→−∞ 
 x 2  x→−∞

x2
V× lim | x |= +∞ vµ lim 4 − 1 = 2 > 0 ⇒ lim 4x 2 −1 = +∞
x→−∞ x→−∞ x 2 x→−∞

D NG VI: TÌM GI I H N C A HÀM S
Phương pháp gi i: S d ng các ñ nh lý và quy t c
 
VÝ dô 1: TÝnh: lim  x.sin 1  .
x→0  x
Gi¶i:
XÐt d·y ( x n ) mµ x n ≠ 0, ∀n vµ lim x n = 0 . Ta cã: f ( x n ) = x n sin 1 ≤| x n |
xn
 
V× lim | x n |= 0 ⇒ limf ( x n ) = 0. Do ®ã lim  x.sin 1  = 0 .
x→0  x
 
VÝ dô 2: TÝnh: lim  x 2 + x + 1 − x 
x→+∞ 



Gi¶i:
Ta cã:
  x 2 + x + 1 − x 2 = lim x +1 1+ 1
lim  x 2 + x + 1 − x  = lim = lim x =1
x→+∞   x →+∞
 x→+∞ 2 x→+∞ 2
 x 2 + x +1 + x x + x +1 + x 1+ 1 + 1 +1
x x2
 
VÝ dô 3: TÝnh: lim  x 2 + 3x + 1 + x 
x→−∞ 



Gi¶i:
Ta cã:
  3x + 1 3+ 1 3+ 1
lim  x 2 + 3x + 1 + x  = lim = lim x = lim x =−3
x→−∞   x →−∞
 x→−∞ 2 x→−∞ 2
 x 2 + 3x + 1 − x x + 3x + 1 −1 − 1 + 3 + 1 −1
x x x2


(Chó ý: khi x → −∞ lµ ta xÐt x < 0, nªn x = − x 2 )

lim f x = 0 (Ho c b ng L)
x→x ( )
D NG VII: CH NG MINH
0
Phương pháp gi i: S d ng ñ nh lý gi i h n k p

GIA SƯ ð C KHÁNH 0975.120.189 22A – PH M NG C TH CH – TP.QUY NHƠN
Gi s J là m t kho ng ch a x0 và f, g, h là ba hàm s xác ñ nh trên t p h p J \ x { 0 } khi ñó:

{ }
 ∀x ∈ J \ x 0 :g ( x ) ≤ f ( x ) ≤ h ( x )

 ⇒ lim f ( x ) = L
 lim g ( x ) = lim h ( x ) = L x →x
 x →x x →x 0
 0 0
2
VÝ dô: Chøng minh: lim x sin x = 0
x→+∞ 1 + x 4
Gi¶i:
2 2 2 2
Ta lu«n cã: | f ( x ) |= x sin x ≤ x ⇒ − x ≤ f ( x ) ≤ x
1+ x4 1+ x4 1+ x4 1+ x 4
1 1
2 2 2
lim x = lim x = 0; lim x = lim x2 = 0
x→+∞ 1 + x 4 x→+∞ 1 + 1 x→−∞ 1 + x 4 x→−∞ 1
+1 .
x4 x4
2 2 2
⇒ lim x = lim x = 0 ⇒ lim x sin x = 0
x→+∞ 1 + x 4 x →−∞ 1 + x 4 x→+∞ 1 + x 4




D NG VIII: GI I H N M T BÊN
Phương pháp gi i: S d ng ñ nh nghĩa gi i h n m t bên
• Gi s hàm s f xác ñ nh trên kho ng (x0;b) .
Ta nói hàm s f có gi i h n bên ph i là L khi x d n ñ n x0 (ho c t i ñi m x0 ),n u v i
m i dãy (xn ) trong kho ng (x0;b) mà limxn = x0 ,ta ñ u có limf(xn ) = L .
ð nh nghĩa tương t cho lim− f(x) = L .
x→x 0


Hàm s có gi i h n t i x0 và lim f(x) = L t n t i lim f(x) , lim− f(x) = L
x→x 0 x→x+ x→x 0
0
và lim f(x) = lim− = L .
x→x+ x→x
0 0
 3
x víi x < −1
VÝ dô 1: Cho hµm sè f (x) =  . T×m lim f ( x )
 2x 2 − 3 víi x ≥ −1 x→−1

Gi¶i:
2
 2x − 3  = 2.( −1) − 3 = −1 (1)
 2 
Ta cã: lim f ( x ) = lim
+ +
x→ −1 x→ −1  
   


lim − f ( x ) = lim − x3 = −1 (2)
x→ −1 x→ −1
   

Tõ (1) vµ (2) suy ra lim f ( x ) = −1
x→−1
 1
 khi x > 1
x +1
VÝ dô 2: Cho hµm sè f ( x ) = 

 −1 khi x < 1
 x +1

a) T×m lim f ( x )
x→2
GIA SƯ ð C KHÁNH 0975.120.189 22A – PH M NG C TH CH – TP.QUY NHƠN
b) T×m lim f ( x )
x→1
Gi¶i:
a) lim f ( x ) = lim 1 =1
x→2 x→2 x + 1 3
b) lim f ( x )
x→1
Ta cã: lim f ( x ) = lim 1 = 1 ; lim f ( x ) = lim −1 = − 1 ⇒ lim f ( x ) ≠ lim f ( x ) suy ra
x→1+ x→1+ 1+ x 2 x→1− x→1− 1 + x 2 x→1+ x→1−
kh«ng tån t¹i lim f ( x )
x→1
(Chó ý: lim f ( x ) tån t¹i khi vµ chØ khi lim f ( x ) = lim − f ( x ) = L th× lim f ( x ) = L )
x→x x →x + x →x x →x
0 0 0 0

D NG IX: KH D NG VÔ NH
Phương pháp gi i:
P(x)
1) Khi t×m giíi h¹n d¹ng lim , víi lim P ( x ) = lim Q ( x ) = 0 :
x →x Q ( x ) x →x x →x
0 0 0
• Víi P(x), Q(x) lµ nh÷ng ®a thøc nguyªn theo x th× ta chia c¶ tö P(x) vµ mÉu Q(x) cho x − x
0
• NÕu P(x), Q(x) chøa dÊu c¨n thøc theo x th× ta nh©n c¶ tö P(x) vµ mÉu Q(x) cho l−îng liªn hiÖp.
2
VÝ dô 1: T×m: lim x − 9x + 14
x→2 x−2
Gi¶i:
2
lim x − 9x + 14 = lim
( x − 2 ) ( x − 7 ) = lim x − 7 = −5
x−2 x −2 ( )
x→2 x→2 x→2
VÝ dô 2: T×m: lim 4 + x − 2
x→0 4x
Gi¶i:

lim 4 + x − 2 = lim
(
4+ x −2 4+ x + 2 )(
= lim
)
4+ x −4 = lim 1 = 1
x→0 4x x→0 4x 4 + x + 2 ( ) (
x→0 4x 4 + x + 2 x→0 4 4 + x + 2 16 ) ( )
3
VÝ dô 3: T×m: lim x + 7 − 2
x→1 x −1
Gi¶i:
 2 
3
 x + 7 − 2   3 ( x + 7 ) + 2.3 x + 7 + 4 

3 x+7 −2    x + 7 − 23
lim = lim   = lim
x→1 x −1 x→1  2  x→1  2 

( )
x −1  3 ( x + 7 ) + 2.3 x + 7 + 4 

( x −1)  3 ( x + 7 ) + 2.3 x + 7 + 4 
 
   

= lim 1 = 1
x→1  3 2  12


( x + 7) + 2.3 x + 7 + 4 

 

VÝ dô 4: T×m: lim 2x + 5 − 3
x→2 x + 2 − 2
Gi¶i:

lim 2x + 5 − 3 = lim
( 2x + 5 − 3 )( )(
2x + 5 + 3 x + 2 + 2 ) = lim ( 2x + 5 − 9 ) ( x + 2 + 2) = lim 2 ( x + 2
x→2 x + 2 − 2 x→2 ( x + 2 − 2 )( x + 2 + 2 )( 2x + 5 + 3) x→2 ( x + 2 − 4 ) ( 2x + 5 + 3) x→2 2x + 5



GIA SƯ ð C KHÁNH 0975.120.189 22A – PH M NG C TH CH – TP.QUY NHƠN
3
VÝ dô 5: T×m: lim x − 3x − 2
x→1 x −1
Gi¶i:
3 
lim x − 3x − 2 = lim 

x3 −1  −


( 3x − 2 −1 ) = lim  x3 −1 − 3x − 2 −1  =

x→1 x −1 x→1 x −1 x→1 x −1 x −1 
 
 
= lim  x 2 + x +1 − 3x − 2 −1   2 3  3 3
 = lim  x + x + 1 −  = 3− =
( )

x→1 ( x −1) 3x − 2 +1  x→1  3x − 2 +1 

2 2

4 x + 2 −1
VÝ dô 6: T×m: lim
x→−1 3 x + 2 −1
Gi¶i:
§Æt t = 12 x + 2 ⇒ x + 2 = t12 ⇔ x = t12 − 2, khi ®ã x → −1 th× t → 1 . Do ®ã:

t3 −1 = lim (
4 x + 2 −1 t −1)  t 2 + t +1
 
lim = lim   = lim t 2 + t +1 = 3
x→−1 3 x + 2 −1 t→1 t 4 −1 t→1 ( t −1)( t +1)  t 2 + 1 t →1 ( t + 1)  t 2 +1 4
   
   
3
VÝ dô 7: T×m: lim x + 7 − x + 3
x→1 x −1
Gi¶i:
3
lim x + 7 − x + 3 = lim
3


 x + 7 − 2 −

( x +3 −2 ) = lim  3 x + 7 − 2 − x +3 − 2

x→1 x −1 x→1 x −1 x→1 x −1 x −1 
 
 
 
 
= lim  x + 7 − 23 − x + 3− 4 
x→1 
 (
 2
 (

x −1)  3 x + 7  + 2.3 x + 7 + 4 


x −1) x + 3 + 2 ( ) 


   
 
 
 
 
 1 1  1 −1 = −1
= lim  − =
x→1 3 2 x +3 +2  12 4 6
 ( x + 7) + 23 x + 7 + 4 
 




P(x)
2) Khi t×m giíi h¹n d¹ng lim , ta l−u ý:
x→±∞ Q ( x )
• §Æt x m (m lµ bËc cao nhÊt) lµm nh©n tö chung ë tö P(x) vµ mÉu Q(x)
• Sö dông kÕt qu¶: lim 1 = 0 ( víi α > 0 )
x→∞ xα
2
VÝ dô 1: T×m: lim 3x − 4x +1
x→+∞ −2x 2 + x +1
Gi¶i:

2 − 4x + 1 3− 4 + 1
x x2
lim 3x = lim =−3
x→+∞ −2x 2 + x + 1 x→+∞
−2 + 1 + 1 2
x x2


GIA SƯ ð C KHÁNH 0975.120.189 22A – PH M NG C TH CH – TP.QUY NHƠN
VÝ dô 2: T×m: lim x 2 + x + 1 − 3x
x→−∞ 2 − 3x
Gi¶i:

2 + x + 1 − 3x − 1+ 1 + 1 − 3
= −1 − 3 = 4
x x x2
lim = lim
x→−∞ 2 − 3x x→−∞ 2 −3 −3 3
x
3 3 2
8x + 3x +1 − x
VÝ dô 3: T×m: lim
x →−∞ 4x 2 − x + 2 + 3x
Gi¶i:

3 3 2 +1 − x 3 8 + 3 + 1 −1 3
lim 8x + 3x = lim
x x3
= 8 −1 = 1
x→−∞ x→−∞
4x 2 − x + 2 + 3x − 4− 1 + 2 +3 − 4 +3
x x2
3) D ng ∞ − ∞ và d ng 0.∞
• Nhân và chia v i bi u th c liên h p
• N u có bi u th c ch a bi n x dư i d u căn ho c quy ñ ng m u ñ ñưa v cùng m t phân th c.

VÝ dô : lim ( x2 + 2 x + 3 − x)
x→+∞
Gi¶i:

lim ( x2 + 2 x + 3 − x) = lim ( x + 2 x + 3 − x)( x + 2 x + 3 + x)
2 2
x→+∞ x→+∞
( x2 + 2 x + 3 + x)

2x + 3 2+ 3
= lim = lim x =1
x→+∞ 2 + 2 x + 3 + x) x→+∞ 2 + 3 + 1)
( x ( 1+
x x2




GIA SƯ ð C KHÁNH 0975.120.189 22A – PH M NG C TH CH – TP.QUY NHƠN
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản