Tuyển chọn 100 bài phương trình, hệ phương trình hay và khó lớp 10

Chia sẻ: kiem1993tbb

Tài liệu ôn tập môn Toán lớp 10 gồm tuyển tập 100 bài phương trình, hệ phương trình hay và khó giúp các bạn học sinh rèn luyện kỹ năng giải toán của mình. Tài liệu hay và bổ ích. Mời các bạn cùng tham khảo.

Bạn đang xem 7 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: Tuyển chọn 100 bài phương trình, hệ phương trình hay và khó lớp 10

Tuyển chọn 100 bài phương trình, hệ pt hay & khó lớp 10-NTP-Hoa Lư A




1
Tuyển chọn 100 bài phương trình, hệ pt hay & khó lớp 10-NTP-Hoa Lư A


TUYỂN CHỌN 100 BÀI PHƯƠNG TRÌNH
& HỆ PHƯƠNG TRÌNH




2
Tuyển chọn 100 bài phương trình, hệ pt hay & khó lớp 10-NTP-Hoa Lư A




3
Tuyển chọn 100 bài phương trình, hệ pt hay & khó lớp 10-NTP-Hoa Lư A
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH



5x 2 + 14 x − 9 − x 2 − x − 20 = 5. x + 1
1)
2) x 5 − 15x 3 + 45x − 27 = 0
11 25
− =1
3)
x 2 ( x + 5) 2
( x − 2) ( 4 − x ) + 4 x − 2 + 4 4 − x + 6x 3x = x 3 + 30
4
4)
x 3 − xy 2 + 2000 y = 0

5) 
 y 3 − yx 2 − 500 x = 0

6) 5 27 x 10 − 5x 6 + 5 864 = 0
x2 + x −1 + − x2 + x +1 = x2 − x + 2
7)
12 x 2 − 48x + 64 = y 3

 2 3
8) 12 y − 48 y + 64 = z
2 3
12z − 48z + 64 = x

x 19 + y 5 = 1890 z + z 2001
 19
 5 2001
9)  y + z = 1890 x + x
 19 5 2001
z + x = 1890 y + y

2 x + 1 = y 3 + y 2 + y

 3 2
10) 2 y + 1 = z + z + z
 3 2
2 z + 1 = x + x + x

11) ( x − 18 ) ( x − 7 ) ( x + 35) ( x + 90 ) = 2001x 2
12) ( 2001 − x ) 4 + ( 2003 − x ) 4 = 2000
1 − x 2x + x 2
=
13)
1+ x2
x
a − bx ( b + c ) x + x 2
=
Đề xuất: Với a ,b,c >0
a + x2
cx
14) x − 2 + 4 − x = 2 x 2 − 5x − 1
Đề xuất :
 b2 − a 2 b−a  a + b  b−a
x − a + b − x = ( b − a)x −  x − 
2
−   2 − 2 2
2 
2

(Với a + 2 < b )
15) 3 3x 2 − x + 2001 − 3 3x 2 − 7 x + 2002 − 3 6 x − 2003 = 3 2002


4
Tuyển chọn 100 bài phương trình, hệ pt hay & khó lớp 10-NTP-Hoa Lư A
3
 8x 3 + 2001 
16) 
 2002  = 4004 x − 2001

 
( x − a ) ( x − b) + ( x − c) ( x − b) + ( x − a ) ( x − c) = 1
17)
c( c − a ) ( c − b ) a ( a − c ) ( a − b ) b( b − a ) ( b − c ) x
Trong đó a;b;c khác nhau và khác không
( ) 2
18) x = 1 − 1978 1 − 1978 x 2
( )
19) x x 2 − 1 = 2
20) x + 2 x + .... + 2 x + 2 3x = x
21) 1 − x 2 + 4 x 2 + x − 1 + 6 1 − x − 1 = 0
2
2 
2
22) 1 − x =  − x 
3 
23) 3 x 2 − 2 = 2 − x3
[ (1 + x ) ]= 2+
(1 − x ) 3
3
24) 1 + 1 − x 2 1− x2

36 4
+ = 28 − 4 x − 2 − y − 1
25)
x−2 y −1
26) x 4 − 10 x 3 − 2( a − 11) x 2 + 2( 5a + 6 ) x + 2a + a 2 = 0
27) Tìm m để phương trình :
(x )
− 1 ( x + 3) ( x + 5) = m
2

có 4 nghiệm phân biệt x1 ; x2 ; x3 ; x4 thỏa mãn
1 1 1 1
+ + + = −1
x1 x 2 x 3 x 4
x 5 − x 4 + 2 x 2 y = 2

5 4 2
28)  y − y + 2 y z = 2 Tìm nghiệm dương của phương trình
5 4 2
z − z + 2 z x = 2

29) 18 x 2 − 18x x − 17 x − 8 x − 2 = 0
30) 4 17 − x 8 − 3 2 x 8 − 1 = 1
31) x 2 + 2 − x = 2 x 2 2 − x
x 4 + y 4 + z 4 = 8( x + y + z )
32) 
xyz = 8
( )
33) 19 + 10 x 4 − 14 x 2 = 5x 2 − 38 x2 − 2
x 2 6125 210 12 x
+ 2+ − =0
34)
5 x 5
x


5
Tuyển chọn 100 bài phương trình, hệ pt hay & khó lớp 10-NTP-Hoa Lư A

 y 3 − 6x 2 + 12 x − 8 = 0
3
 2
35) x − 6z + 12 z − 8 = 0
3 2
z − 6 y + 12 y − 8 = 0

( )( )
36) x + 3 x + 2 x + 9 x + 18 = 168 x
37) Tìm m để hệ phương trình sau có đúng 2 nghiệm.
( x + y ) 8 = 256

8
x + y 8 = m + 2

38) x = 2 − x 3 − x + 5 − x 3 − x + 5 − x 2 − x
22
+ x = x+9
39)
x +1
a
+ x = x + a +1 (a > 1)
Đề xuất:
x +1
40) 13 x − 1 + 9 x + 1 = 16 x
28 27
41) 2 . 4 27 x 2 + 24 x + = 1+ x+6
3 2
42) 5x − 1 + 3 9 − x = 2 x 2 + 3x − 1
x + y + z = 1

x+y y+z
43)  x y z
y z x y + z + x + y +1
++=

( x + 2) 3 − 6x = 0
44) x 3 − 3x 2 + 2
a b
 − = c − xz
x z
b c
45)  − = a − xy Trong đó a;b;c ∈ R *
+
y x
c a
 − = c − yz
z y
( )( )
46) x 2 − 12 x − 64 x 2 + 30 x + 125 + 8000 = 0
47) ( x − 2 ) x − 1 − 2x + 2 = 0
 x 1 + x 2 + ... + x n = n

48) 
 x 1 + 8 + x 2 + 8 + ... + x n + 8 = 3n





6
Tuyển chọn 100 bài phương trình, hệ pt hay & khó lớp 10-NTP-Hoa Lư A
49) Cho hệ phương trình:
n
∑ x i = n
 i =1
; b > 1 .CMR:Hệ phương trình có nghiệm duy
n
∑ x + b − 1 = bn
2
 i =1 i

nhất x1 = x2 = ...= xn = 1
3−x =x 3+x
50)
Tổng quát: bx + c = x px + q với a; b; q; p∈ R & q 2 = −3pb.

)( )
(
2
51) x = 2004 + x 1− 1− x
Tổng quát: ax = ( b + c x )(d − ) 2
với a;b;c;d;e là các hằng
d2 − e x
số cho trước.
52) 4 x 2 − 4 x − 10 = 8x 2 − 6x − 10
 x 3 ( 2 + 3y ) = 1

53) 
( )
x y 3 − 2 = 3

x 3 + 3xy 2 = −49

54) 
x 2 − 8xy + y 2 = 8 y − 17 x

55) 16 x 4 + 5 = 6 .3 4 x 3 + x

( )
x 2 ( x + 1) = 2 y 3 − x + 1

( )
2
56)  y ( y + 1) = 2 z − y + 1
3


( )
2
z ( z + 1) = 2 x − z + 1
3

57) 3 3x + 1 + 3 5 − x + 3 2 x − 9 − 3 4 x − 3 = 0
Tổng quát:
a 1 x + b1 + 3 a 2 x + b 2 + 3 a 3 x + b 3 = 3 ( a 1 + a 2 + a 3 ) x + b1 + b 2 + b 3
3

x 3 + y = 2

58) 
y 3 + x = 2

x 6 k +3 + y = 2

( k ∈ N)
Tổng quát: 
 y 6 k +3 + x = 2

59) x 2 − x − 1000 1 + 8000 x = 1000
60) x + 5 + x − 1 = 6
61) Tìm nghiệm dương của phương trình:
x −1 1 1
2x + = 1− + 3 x −
x x x


7
Tuyển chọn 100 bài phương trình, hệ pt hay & khó lớp 10-NTP-Hoa Lư A

x + 4 x (1 − x ) + 4 ( 1 − x ) = 1 − x + 4 x 3 + 4 x 2 ( 1 − x )
2 3
62)

( ) 3
63) x 3 + 1 = 81x − 27
6
x2 −1
64) 3 x + 1 − 3 x − 1 =

( )
65) 2 x 2 − 3x + 2 = 3 x 3 + 8
 y 3 − 9x 2 + 27 x − 27 = 0

3 2
66) z − 9 y + 27 y − 27 = 0
3 2
x − 9z + 27 z − 27 = 0

( )
( )
15
30 x 2 − 4x = 2004 30060 x + 1 + 1
67)
2
68) 5x 2 + 14 x + 9 − x 2 − x − 20 = 5 x + 1
y
30 2 + 4 y = 2004
x
z
69) 30 2 + 4z = 2004
y
x
30 2 + 4x = 2004
z
x 2 + 15 = 3 .3 x − 2 + x 2 + 8
70)
71) x 3 − 3 3x 2 − 3x + 3=0
 y 3 − 6x 2 + 12 x − 8 = 0
3
 2
72) z − 6 y + 12 y − 8 = 0
3 2
x − 6z + 12z − 8 = 0

73) 3 3x 2 − x + 2002 − 3 3x 2 − 6 x + 2003 − 3 5x − 2004 = 3 2003
74) x 3 + 1 = 3 .3 3x − 1
75) x 2 − 4 x + 2 = x + 2
Bài tập tương tự:
a) 20 x 2 + 52 x + 53 = 2 x − 1
b) − 18x 2 + 17 x − 8 = 1 − 5x
c) 18 x 2 − 37 x + 5 = 14 x + 9
4x + 9
= 7x 2 + 7x
d)
28
7 2 3
+1
76) 3 x + 332 x + 3128 = 316 x



8
Tuyển chọn 100 bài phương trình, hệ pt hay & khó lớp 10-NTP-Hoa Lư A
77) Cho 0 < a < c < d < b ; a + b = c + d
x + a 2 + x + b2 = x + c2 + x + d2
GPT:
78) x 2 − 4 x + 6 = 2x 2 − 5x + 3 + − 3x 2 + 9x − 5
2 x + x 2 y = y

 2
79) 2 y + y z = z
 2
2 z + z x = x

x 2 − x + 19 + 7 x 2 + 8x + 13 + 13x 2 + 17 x + 7 = 3 3 ( x + 2)
80)

4 − x 2 + 4x + 1 + x 2 + y 2 − 2 y − 3 = 4 x 4 − 16 + 5 − y
81)

x 2 − 8x + 816 + x 2 + 10 x + 267 = 2003
82)
  1
1  1
3 x +  = 4 y +  = 5 z + 
 
83)   x  z
y

xy + yz + xz =1

 x 2 + 21 = y − 1 + y 2

84) 
 y 2 + 21 = x − 1 + x 2

85) 1 − x 2 = 4 x 3 − 3x
86) x 2 + x + 1 − x 2 − x − 1 = m
Tìm m để phương trình có nghiệm
87) Tìm a để phương trình có nghiệm duy nhất
2 + x + 4 − x − 8 + 2x − x 2 = a
x + y + z = 0
2 2 2
88) x + y + z = 10
7 7 7
x + y + z = 350
 x + 30.4 + y − 2001 = 2121

89) 
 x − 2001 + y + 30.4 = 2121

)( )
( 2 x 2 + 1 − 1 = x 1 + 3x + 8 2 x 2 + 1
90) 3

( )
91) 2 x 2 + 2 − 5 x 3 + 1 = 0




9
Tuyển chọn 100 bài phương trình, hệ pt hay & khó lớp 10-NTP-Hoa Lư A

2 3
2 2
x + y + z = 2

 3
92) xy + yz + xz = −
4

 1
xyz =

 8
 x + x 2 − y 2 9x
=

 x − x2 − y2 5
93) 
 x 5 + 3x
 y = 6( 5 − y )

x 2 + x + 1 x 2 + 3x + 1 5
+ =
94)
x 2 + 2x + 1 x 2 + 4x + 1 6
25 1 1369
+ + = 86 − x − 5 − y − 3 − z − 606
95)
x −5 y−3 z − 606
6 10
+ =4
96)
2−x 3− x
97) 3 x 2 − 7 x + 8 + 3 x 2 − 6 x + 7 − 3 2 x 2 − 13x − 12 = 3
98) x 3 − 6 .3 6 x + 4 − 4 = 0
3
99) x 2 − 3x + 1 = − x4 + x2 +1
3
1+ x3 2
=
100)
x2 + 2 5




10
Tuyển chọn 100 bài phương trình, hệ pt hay & khó lớp 10-NTP-Hoa Lư A

HƯỚNG DẪN GIẢI 100 BÀI PT & HPT


1) ĐK: x ≥ 5
Chuyển vế rồi bình phương:

(x )
− x − 20 ( x + 1)
5x 2 + 14x + 9 = x 2 + 24x + 5 + 10. 2



( x − 5) ( x + 4 ) ( x + 1)
⇔ 4x 2 − 10x + 4 = 10.

(x )
− 4x − 5 ( x + 4 )
⇔ 2x 2 − 5x + 2 = 5. 2



(x )
⇔ 2(x 2 − 4x − 5) + 3 ( x + 4 ) = 5. − 4x − 5 ( x + 4 )
2



( )
u= x 2 − 4x − 5

→ ....

v = ( x + 4)


( )
( x + 3) x 4 − 3x 3 − 6x 2 + 18x − 9 = 0
2) GPT : x 4 − 3x 3 − 6x 2 + 18x − 9 = 0

x 4 − 3x 2 ( x − 1) − 9 ( x − 1) = 0
2


⇒ x 4 − 3x 2 y − 9y 2 = 0
Đặt: x- 1 = y
⇒ 2x 2 = 3y ± 3y 5
ĐK: x ≠ 0; x ≠ −5
3)
Đặt x+5 = y ≠ 0 → x = ( y − 5 )
2


PT ⇔ y 4 − 10y3 + 39y 2 − 250y + 625 = 0
 625   25 
⇔  y 2 + 2  − 10  y +  + 39 = 0
y
y 

4) ĐK: 2 ≤ x ≤ 4
( x − 2) + ( 4 − x )
(x − 2) ( 4 − x ) ≤ =1
4
2
Áp dụng Cauchy:
6x 3x = 2 27x 3 ≤ 27 + x 3

( )
2
x−2 + 4 4−x ≤2
4
Áp dụng Bunhia:

( )
 x x 2 − y 2 = −2000y ( 1)

5) 
( )
− y x − y = 500x ( 2 )
2 2

Nếu x = 0 ⇒ y = 0 ⇒ ( 0;0 ) là n o



11
Tuyển chọn 100 bài phương trình, hệ pt hay & khó lớp 10-NTP-Hoa Lư A

Nếu x ≠ 0.Rút x 2 − y 2 từ (1) thế vào (2) ta có:
y ≠ 0
 −2000y 
−y  = 500y ⇒  2
 2
 x = 4y
x
27 x 10 − 5x 6 + 5 864 = 0
5
6)
Vì x = 0 không là nghiệm của pt nên chia cả 2 vế cho x6 ta được pt:
5
32.27
27 x 4 + =5
5
x6
2 1
x 4 + 6 = 5.5
27
x
2 x4 x4 x4 1 1 1
4
Áp dụng CauChy: x + 6 = + + + 6 + 6 ≥ 5.5
3 3 3x 27
x x
x2 + x −1 + − x2 + x + 1 = x2 − x + 2
7)
2
x + x − 1 ≥ 0
ĐK: 
− x 2 + x + 1 ≥ 0

Áp dụng Cauchy:
x2 + x −1+1 x2 + x
2
x + x −1 ≤ =
2 2
− x + x + 1 + 1 − x2 + x + 2
2
2
− x + x +1 ≤ =
2 2
2 2
x + x −1 + − x + x +1 ≤ x +1
Từ PT ⇒ x 2 − x + 2 ≤ x + 1 ⇔ ( x − 1) ≤ 0
2


12 x 2 − 48x + 64 = y 3 (1)


8) 12 y − 48 y + 64 = z ( 2 )
2 3

2
12z − 48z + 64 = x ( 3)
3

G/s (x; y; z) là nghiệm của hệ phương trình trên thì dễ thấy ( y; z; x); (z; y;
x) cũng là nghiệm của hệ do đó có thể giả sử :
x = max{x; y; z}
( )
Từ 12 x 2 − 48x + 64 =12 x 2 − 4 x + 4 + 16 ≥ 16
3
⇒ y ≥ 16 ⇒ y ≥ 2
Tương tự x ≥ 2 ; z ≥ 2
Trừ (1) cho (3): y3 – x3 = 12(x2 – z2) – 48(x-z)
⇔ y3 – x3 = 12(x– z)(x+z-4)
VT ≤ 0; VT ≥ 0 . Dấu “=” xảy ra ⇔ x = y = z




12
Tuyển chọn 100 bài phương trình, hệ pt hay & khó lớp 10-NTP-Hoa Lư A

x 19 + y 5 = 1890 z + z 2001
 19
 5 2001
9)  y + z = 1890 x + x
 19 5 2001
z + x = 1890 y + y

Ta đi cm hệ trên có nghiệm duy nhất x = y = z
Giả sử (x,y,z) là nghiệm của hệ ⇒ (− x; − y; −z) cũng là nghiệm của hệ
⇒ không mất tính tổng quát ta giả sử ít nhất 2 trong 3 số x, y, z không âm.
Ví dụ: x ≥ 0; y ≥ 0 . Từ phương trình ( 1) ⇒ z ≥ 0 .
Cộng từng vế phương trình ta có:
( )( )( )( )( )( )
z 2001 + 1890z + x 2001 + 1890x + y 2001 + 1890z = z19 + z 5 + x19 + x 5 + y19 + y5 .
Ta có: 0 < t ≤ 1 ⇒ t + 1890t ≥ t + t
2001 19 5


t 2000 + 1890 ≥ t18 + t 4 (đúng)
t > 1 ⇒ t 2001 + 1890t > t19 + t 5
Thật vậy: t + 1890 > 1 + t ≥ 2t1000
2001 2000
cô si

> t18 + t 4 (đpcm)
Vậy x = y = z

−1 −1 −1
Bài 10: + Nếu x < 0 từ ( 3) ⇒ 2z + 1 < 0 ⇒ z < ⇒y< ⇒x
0; y > 0;z > 0
Gọi ( x; y;z ) là nghiệm của hệ phương trình, không mất tính tổng quát ta giả sử:
x = max { x;y;z}
Trừ (1) cho (3) ta được:
( )
2 ( x − z ) = ( y − x ) x 2 + y 2 + xy + x + y + 1
 VT ≤ 0
dấu " = " ⇔ x = y = z ⇒ ....

 VP ≥ 0

( )( )
Bài 11: PT ⇔ x + 17x − 630 x + 83x − 630 = 2001x .
2 2 2


Do x = 0 không phải là nghiệm của phương trình ⇒ chia 2 vế phương trình cho x 2
 630  630 
Ta có:  x + 17 −  x + 83 −  = 2001
 x  x
630
Đặt: x − =t
x

Bài 12: t/d: pt: ( x + a ) + ( x + b ) = c
4 4


a+b
Đặt: y = x +
2

13
Tuyển chọn 100 bài phương trình, hệ pt hay & khó lớp 10-NTP-Hoa Lư A

Bài 13: Đk: 0 < x ≤ 1
1− x 2x − 1
PT ⇔ = 1+ (*)
1+ x2
x
1
+ x = là nghiệm pt (*)
2
 VP > 1
1
+ < x ≤1 : 
 VT < 1
2
1  VT>1
+ 0
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản