Tuyển tập bài tập chuyên đề bất đẳng thức cực hay

Chia sẻ: Trần Bá Trung | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:33

1
925
lượt xem
437
download

Tuyển tập bài tập chuyên đề bất đẳng thức cực hay

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bất đẳng thức thực sự là bài tập khó đối với học sinh, điểm lại ít, vì vậy nắm vững kiến thức cơ bản và vận dụng linh hoạt được vào các bài tập không phải đơn giản, "Tuyển tập bài tập chuyên đề bất đẳng thức " sẻ giúp các bạn có kiến thức cơ bản về bất đẳng thức, làm được một số bài cơ bản, giúp ích các bạn trong kỳ thi đại học cao đẳng sắp tới.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Tuyển tập bài tập chuyên đề bất đẳng thức cực hay

  1. Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân Chöùng minh raèng : π 3π 1 π 1 1 π 1. ∫ 4 dx 4. ln 2 < ∫ dx < 4 π 4 3 − 2 sin 2 x 2 0 1+ x x 4 3 π cot g 1 1 1 π 2. ∫ 3 dx 5. ∫ 2 dx 12 π 4 x 3 0 x + x+1 8 1 1 1 π π x π 3. ∫ dx 2 1 6. ∫ dx 2 0 1− x 6 6 18 0 x + x + x3 + 3 5 4 9 3 Baøi giaûi : π 3π 1 1 1 1 1. x ⇒ sin x 1 ⇒ sin 2 x 1 ⇒ 1 2 sin 2 x 2 ⇒ 1 3 − 2 sin 2 x 2 ⇒ 1 4 4 2 2 2 3 − 2 sin 2 x 1 3π 3π 1 3π π 3π 1 π ⇒ ∫π 4 dx ∫π 4 2 dx ∫ π 4 dx ⇒ ∫π 4 3 − 2 sin 2 xdx 2 4 2 4 4 3 − 2 sin x 4 4  1 π π  3 cot gx 1  3 cot gx 4 3 π3 π cot gx 4 π3 2. x dx ∫π 3 dx dx π ∫π 4 π ∫π 4 ⇒ ⇒ ⇒ 4 3 3 1 4 π x π 4 x π x π  3 π cot gx 1 ∫π 4 x dx 3 3 ⇒ 12 Baøi toaùn naøy coù theå giaûi theo phöông phaùp ñaïo haøm. 1 3. 0 x < 1 ⇒ 0 x 6 .... x 2 < 1 ⇒ −1 − x 2 − x 6 0 ⇒ 0 1 − x 2 1 − x 6 1 ⇒ 1 − x 2 1 − x6 1 2 1 1 1 1 1 ⇒1 ⇒ ∫ 2 dx ∫ 2 dx I 1− x 6 1− x 2 0 0 1 − x6 1 1  π π Vôùi I = ∫ 2 dx Ñaët x = sin t ; t ∈  − ;  ⇒ dx = cos tdt 0 1 - x2  2 2 x 0 1 2 1 cos tdt 1 π 1 1 1 π ⇒I=∫ 2 = ∫ 2 dt = Vaäy ∫0 1 − x 6 dx 6 2 t 0 π 0 1 − sin 2 t 0 6 2 6 4. 0 x 1 ⇒ x x 1 ⇒ x2 x x x ⇒ 1 + x2 1 + x x 1 + x 1 1 1 ⇒ ( 1) ; ∀x ∈ [ 0,1] x + 1 1 + x x 1 + x2 Daáu ñaúng thöùc trong (1) xaûy ra khi : x = 0 VT(1) VG(1)  ⇒ x∈∅ x = 1 VG(1) VP(1) 1 1 1 1 1 dx 1 1 π Do ñoù : ∫ dx < ∫ dx < ∫ 2 ⇒ ln 2 < ∫ dx < 0 1+ x 0 x +1 4 0 1+ x x 0 1+ x x 1 1 π Chuù yù : ∫ dx = Xem baøi taäp 5 . 0 1 + x2 4 1
  2. Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân 1 1 5. 0 x 1 ⇒ x2 x ⇒ x2 + x2 x2 + x ⇒ 2 + 2 x2 x2 + x + 2 ⇒ 2 2 x + x+ 2 2( x + 1) 1 1 1 1 1 1 1 ⇒∫ 0 x + x+2 2 dx 2 ∫0 x2 + 1 dx ; I = ∫0 1 + x2 dx 1 Ñaët x = tgt ⇒ dx = dt = (1 + tg 2 t)dt cos 2 t x 0 1 π 1 + tg 2 t π π π 1 1 π ⇒I=∫ 4 dt = ∫ 4 dt = ⇒ I = Vaäy ∫ 2 dx π 0 1 + tg t2 4 4 0 x + x+2 8 t 0 0 4 0 x5 x 3  6. 0 x 1 ⇒  ⇒ 0 x5 + x 4 2 x 3 ⇒ x3 + 3 x 5 + x4 + x3 + 3 3 x 3 + 3   0 x4 x 3 1 1 1 x x x ⇒ ⇒ 3 3x + 3 3 x + x + x3 + 3 5 4 x +33 3x + 3 x + x + x3 + 3 5 4 x +3 3 1 x 1 x 1 x ⇒∫ dx ∫ dx ∫ dx ( 1 ) 0 3x + 3 3 0 x + x + x3 + 3 5 4 0 x +33 x 1 1 1 x x 0 1 ° I1 = ∫ dx = ∫ 3 dx ; Ñaë t x = t 2 ;( t 0) ⇒ dx = 2 tdt 0 3 x3 + 3 3 0 x +1 t 0 1 1 1 2t 2 1 3 t 2 . dt t 0 1 2 1 du π I1 = ∫ 6 dt = ∫ 3 2 Ñaët u = t 3 ⇒ du = 3t 2 dt ⇒ I1 = ∫ 2 = 3 0 t +1 9 0 (t ) + 1 u 0 1 9 0 u +1 18 π Keát quaû : I = (baøi taäp 5) 4 1 x π 1 x °I2 = ∫ 3 = (töông töï) Vaäy (1) ⇔ I1 ∫ 5 dx I2 0 x +3 0 x + x + x3 + 3 4 9 3 π 1 x π 18 ∫ 0 x + x + x3 + 3 5 4 dx 9 3 π sin x .cos x π 1,Chöùng minh raèng : ∫ 2 dx 0 (1 + sin x ) (1 + cos x ) 4 4 12 2.Neáu : I ( t ) = ∫ t tg 4 x  π  π ( 2 tg 3t + 3 tgt dx > 0 , ∀t ∈  0 ,  ; thì : tg  t +  > e 3 ) 0 cos 2 x  4  4 Baøi giaûi : 3 2 + cos2 x + sin2 x 2 + sin 4 x + cos 4 x 1. Ta coù : = (1 + sin 4 x)(1 + cos4 x) (1 + sin 4 x)(1 + cos 4 x) (1 + sin 4 x)(1 + cos 4 x) 3 1 + sin 4 x + 1 + cos 4 x 1 1 ⇒ = + (1 + sin x)(1 + cos 4 x) 4 (1 + sin x)(1 + cos x) 1 + sin x 1 + cos 4 x 4 4 4 2
  3. Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân 3 sin x. cos x sin x. cos x sin x. cos x sin x. cos x 1  sin 2 x sin 2 x  ⇒ + ⇒  1 + sin 4 x + 1 + cos 4 x  (1 + sin 4 x)(1 + cos 4 x) 4 1 + sin x 4 1 + cos x (1 + sin 4 x)(1 + cos 4 x) 6  π 3 sin x. cos x 1  π 2 sin 2 x π sin 2 x  ⇒∫ 2 dx  ∫0 1 + sin 4 x dx + ∫ 2 dx  0 (1 + sin 4 x)(1 + cos 4 x ) 6 0 1 + cos 4 x  π sin 2 x °J1 = ∫ 2 dx Ñaë t t = sin 2 x ⇒ dt = sin 2 xdx 0 1 + sin 4 x x 0 π 2 ⇒ J = 1 dt = π (keát quaû I= π baøi taäp 5) t 0 1 1 ∫0 t 2 + 1 4 4 π sin 2 x °J2 = ∫ 2 dx Ñaë t u = cos 2 x ⇒ du = − sin 2 xdx 0 1 + cos 4 x x 0 π 2 1 du π π ⇒ J2 = ∫ 2 = (keát quaû I= baøi taäp 5) u 1 0 0 u +1 4 4 π sin x. cos x 1 π sin x. cos x π ⇒∫ 2 dx ( I + J ) Vaäy ∫ 2 dx 0 (1 + sin 4 x)(1 + cos 4 x) 6 0 (1 + sin 4 x )(1 + cos 4 x) 12 dt 2. Ñaët t = tgx ⇒ dt = (1 + tg 2 x) dx ⇒ dx = 1 + t2 tgt tgt t 4 dt tgt t 4 dt tgt  2 1   1 3 1 t-1  1 3 1 tgt - 1 I =∫ t 0 1 - t 2 . 1 + t 2 = ∫0 1 - t 2 = ∫0  -t - 1 + 1 - t 2 dt =  - 3 t - t - 2 ln t + 1  0 = - 3 tg t - tgt - 2 ln tgt + 1     2 1+t Vì 1 1 tgt - 1 I > 0 neân : - tg 3 t - tgt - ln >0 (t) 3 2 tgt + 1 3 2  tg t + 3 tgt   1 tgt − 1 1  π 1  π ⇔ ln = ln tg  t +  > tg 3 t + tgt ⇒ tg  t +  > e 3   2 tgt + 1 2  4 3  4 x2 1 1 1 1. I n = Chöùng minh : ≤ ∫ In dx ≤ vaø lim In dx = 0 x +1 2( n + 1) 0 n+1 n→+∞ 1 2 2. J n = x n ( 1 + e-x ) Chöùng minh : 0 < ∫ J n dx vaø lim J n dx = 0 0 n +1 n→+∞ Baøi giaûi : 1 1 xn xn 1 1 1 xn 1 1. 0 x 1 ⇒ 1 x + 1 2 ⇒ 1 ; x n ⇒ ∫ x n dx ∫0 x + 1dx ∫ x n dx 2 x +1 2 x +1 2 0 0 1 1 x n+1 1 xn x n+1 1 1 xn 1 ⇒ 2 ( n + 1) ∫0 x + 1dx n +1 0 ⇒ 2 ( n +1) ∫0 x + 1dx n +1 0 3
  4. Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân  1  n→∞ 2 ( n + 1) = 0  lim xn Ta coù :  ⇒ lim =0 n→∞ x + 1  lim 1 = 0  n→∞ n + 1  2. 0 x 1⇒ 0 e− x e0 = 1 ⇒ 1 1 + e− x 2 ⇒ xn x n (1 + e − x ) 2. x n hay 0 x n (1 + e − x ) 2 xn 1 n (1 + e x ) dx x n (1 + e − x ) dx 2 1 1 ∫ 2∫ x ndx ⇒ 0 ∫ − ⇒0 x 0 0 0 n +1 ⇒ lim xn (1 + e− x ) dx = 0 2 Ta coù : lim =0 n→∞ n + 1 n→∞ Chöùng minh raèng : π 2 1. ∫ π cos x(4 − 3 cos x)(2 cos x + 2)dx ≤ 8π 2. ∫ 2 ln x(9 − 3 ln x − 2 ln x)dx ≤ 8(e − 1) - 2 1 π 2π π 49π 3. ∫π 4. ∫ 3 4 sin x(1 + 2 sin x )(5 − 3 sin x)dx < tgx(7 − 4 tgx)dx ≤ 4 3 0 64 π 243π 5. ∫ sin 4 x. cos6 xdx ≤ 0 6250 Baøi giaûi : Ñaët f(x) = cosx(4 - 3 cosx )(2 cosx + 2) 3  cos x + 4 − 3 cos x + 2 cos x + 2    =8 cauchy f(x)       3   π π π 2 2 2 ⇒∫ f(x)dx 8∫ dx ⇒ ∫ cos x(4 − 3 cos x )(2 cos x + 2)dx 8π −π −π −π 2 2 2 2. Ñaët f ( x) = ln x (9 − 3 ln x − 2 ln x) = ln x (3 + ln x )(3 − 2 ln x ) 3  ln x + 3 + ln x + 3 − 2 ln x  f ( x)    =8    3     e e e ⇒∫ f ( x) dx 8∫ dx ⇒ ∫ ln x (9 − 3 ln x − 2 ln x) dx 8( e −1) 1 1 1 3  sin x + 1 + 2 sin x + 5 − 3 sin x  3. Ñaët f ( x) = sin x (1 + 2 sin x)(5 − 3 sin x ) ; f(x)     8   3      sin x = 1 + 2 sin x   sin x = −1  Ñaúng thöùc ⇔  ⇔ ⇔ x∈∅  sin x = 5 − 3 sin x   4 sin x = 5  π π π 2π ⇒ f(x) < 8 ⇒ ∫ f(x)dx < 8∫ ⇒∫ 3 3 3 dx sin x(1 + 2 sin x )(5 − 3 sin x)dx < π 4 π 4 π 4 3 1 4. Ñaët f(x) = tgx(7 − 4 tgx) = .4 tgx( 7 − 4 tgx) 4 4
  5. Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân 2 1  4 tgx + 7 − 4 tgx  49 f ( x) ≤   = 4 2  16  ∏ 49 ∏ 4 ∏ 49 ∏ ⇒ ∫ 4 f ( x ) dx 0 16 ∫0 dx ⇒ ∫ 4 tgx 7 − 4 tgx dx 0 ( ) 16 5. sin 4 x.cos 6 x = (1 − cos 2 x).(1 − cos 2 x).cos 2 x . cos 2 x . cos 2 x 1 = (2 − 2 cos 2 x)(1 − cos 2 x).cos 2 x.cos 2 x.cos 2 x 2 5 1  2 − 2 cos 2 x + 1 − cos 2 x + cos 2 x + cos 2 x + cos 2 x  ≤   2 5  243 ∏ 243 ∏ ⇒ sin 4 x.cos 6 x ≤ ⇒ ∫ sin 4 x.cos 6 xdx ≤ 6250 0 6250 Chöùng minh raèng : ( ) 5∏ 2 ∏ ∫ cos 2 x + 3sin 2 x + sin 2 x + 3cos 2 x dx 2 1. −∏ 3 3 2. ∫ 1 e ( 3 + 2 ln 2 x + 5 − 2 ln 2 x dx ) 4 ( e − 1) ∏ 3 cos x + sin x ∏ 3. − 4 ∫ x2 + 4 dx 4 Baøi giaûi : 1. Ñaët f ( x ) = 1 cos 2 x + 3sin 2 x + 1. sin 2 x + 3cos 2 x f 2( x ) 2 ( cos 2 x + 3sin 2 x + 3cos 2 x + sin 2 x ) ⇒ f ( x ) 2 2 ( ) ∏ ∏ ∏ 5∏ 2 ⇒ ∫ ∏2 f ( x ) dx 2 2 ∫ ∏2 dx ⇒ ∫ ∏2 cos 2 x + 3sin 2 x + sin 2 x + 3cos 2 x dx − − − 3 3 3 3 2. Ñaët f ( x ) = 1 3 + 2 ln 2 x + 1 5 − 2 ln 2 x f ( x ) 2 ≤ 2 ( 3 + 2 ln 2 x + 5 − 2 ln 2 x ) ⇒ f ( x ) ≤ 4 e ⇒ ∫ f ( x ) dx 4 ∫ dx ⇒ ∫ 1 e 1 e ( 3 + 2 ln 2 x + 5 − 2 ln 2 x dx ≤ 4 ( e − 1) 1 ) 3. 3 cos x + sin x ≤ ( 3)2 + 1 ( cos 2 x + sin 2 x )   3 cos x + sin x 2 2 3 cos x + sin x 2 dx ⇒ ≤ ⇒∫ ≤ 2∫ x +4 2 x2 + 4 0 x +4 2 0 x +4 2 5
  6. Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân Ñaët x = 2tgt ⇒ dx = 2 (1 + tg 2 t ) dt x 0 1 2 dx ∏ 2 (1 + tg 2t ) 1 ∏ ∏ ⇒∫ =∫ 4 dt = ∫ 4 dt = ∏ x +4 4 (1 + tg t ) 2 2 t 0 0 0 2 0 8 4 2 3 cos x + sin x ∏ ∏ 2 3 cos x + sin x ∏ ⇒∫ dx ⇒− ∫ dx 0 x +4 2 4 4 0 x2 + 4 4 ÑAÙNH GIAÙ TÍCH PHAÂN DÖÏA VAØO TAÄP GIAÙ TRÒ CUÛA HAØM DÖÔÙI DAÁU TÍCH PHAÂN Chöùng minh raèng : ∏ ∏ ∏ sin x ∏ sin x 1.∫ 4 sin 2 xdx ≤ 2∫ 4 cos xdx 4..∫ 2 dx > ∫∏ dx 0 0 0 x 2 x ∏ ∏ 2 2 2.∫ 2 sin 2 xdx 2∫ 2 sin xdx 5. ∫ (ln x) 2 dx < ∫ ln xdx 0 0 1 1 2 x −1 2x − 12 ∏ ∏ 3.∫ dx < ∫ dx 6. ∫ 4 sin xdx < ∫ 4 cos xdx 1 x 1 x +1 0 0 Baøi giaûi :  ∏  0 ≤ sin x ≤ 1  1.∀x ∈  0;  ⇒   ⇒ 2sin x.cos x ≤ 2 cos x  4  0 ≤ cos x ≤ 1   ∏ ∏ 4 4 ⇔ sin 2 x ≤ 2 cos x ⇒∫ sin 2 xdx ≤ 2 ∫ cos xdx 0 0 6
  7. Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân  ∏  cos x ≤ 1  2. ∀x ∈  0;  ⇒   ⇒ 2 sin 2 x.cos x ≤ 2sin x  2  0 ≤ sin x   ∏ ∏ 2 2 ⇔ sin 2 x ≤ 2sin x ⇒ ∫ sin 2 xdx ≤ 2 ∫ sin xdx 0 0 x -1 2 x − 1 −x 2 + x − 1 3. ∀x ∈ [ 1;2 ] Xeùt hieäu : − = 0 ⇒ < ⇒∫ dx < ∫ dx ∏−x x 0 ∏−x ∏ x 2 sin x ∏ ∏ sin x ⇒∫ dx > ∫∏ dx 0 x 2 x 5. Haøm soá y = f(x) = lnx lieân tuïc treân [1,2] neân y = g(x) = (lnx)2 cuõng lieân tuïc treân [1,2] 1 x 2 ⇒ 0 ln x ln 2 < 1 (*) ⇒ 0 (ln x )2 < ln x 2 2 ∀x ∈ [ 1,2 ] ⇒ ∫ (ln x )2 dx < ∫ ln xdx 1 1 Chuù yù : daáu ñaúng thöùc (*) xaûy ra taïi x0 = 1⊂ [1,2] ∏ ∏ sin x 6. 0 < x < ⇒ 0 < tgx < tg = 1 ⇔
  8. Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân Baøi Giaûi: 1. 0 ≤ x ≤ 1 ⇒ 0 ≤ x 2 ≤ 1 ⇒ 4 ≤ x 2 + 4 ≤ 5 ⇒ 2 x2 + 4 ≤ 5 1 1 1 1 ⇒ 2 ∫ dx ≤ ∫ x 2 + 4 dx ≤ 5 ∫ dx ⇒ 2 ≤ ∫ x 2 + 4 dx ≤ 5 0 0 0 0 2. 0 ≤ x ≤ 1 ⇒ 0 ≤ x 8 ≤ 1 ⇒ 1 ≤ x 8 + 1 ≤ 2 1 1 ⇒ 0 ≤ x8 + 1 ≤ 2 ⇒ ≤1 ≤ 2 x8 + 1 1 1 1 dx 1 1 1 dx ⇒ ∫ dx ≤ ∫ ≤ ∫ dx ⇒ ≤∫ ≤1 2 0 0 x8 + 1 0 2 0 x8 + 1 3. 0 ≤ x ≤ 1 ⇒ 1 x10 + 1 2 ⇒1 3 x10 + 1 3 2 1 1 x 25 x 25 ⇒ 1⇔ x 25 3 2 3 x +1 10 3 2 3 x +110 1 1 1 x 25 1 1 1 x 25 1 ⇒ ∫ x 25 dx ∫ dx ∫ x 25 dx ⇒ ∫ dx 3 2 0 0 3 x +1 10 0 26 23 0 3 x +1 10 26 x sin x x 4. Tröôùc heát ta chöùng minh : ;(1) ∀x ∈ [ 0,1] . 1 + x sin x 1+ x Giaû söû ta coù : (1). 1 1 1 1 (1) ⇔ 1 − 1− ; ∀x [ 0.1] ⇔ 1 + x sin x 1+ x 1 + x sin x 1 + x ⇔ 1 + x 1 + x.sin x ⇔ x (1 − sin x ) 0 ñuùng ∀x ∈ [ 0,1] 1x sin x 1 x 1 1   (1) ⇔ ∫ dx ∫ dx = ∫ 1 −   dx 0 x + x sin x 0 1+ x  1+ x  0   1 x .sin x 1 Vaäy (1) ñaúng thöùc ñuùng , khi ñoù: ⇔∫ dx ( x − ln 1 + x ) = 1 − ln 2 0 1 + x sin x 0 1 x.sin x ⇒∫ dx 1 − ln 2. 0 1 + x .sin x  1 1 0 < e− x = x e− x sin x 1, 3  ⊂ ( 0, ∏ ) ⇒  5. x ∈   e e⇒0< 2 < 1  0 < sin x < 1 x +1 e ( x + 1) 2  3 e − x sin x 1 3 dx 1 3 dx ⇒0
  9. Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân x 1 3 ⇒ Ι = ∫∏ ∏ (1 + tg t )dt = 2 ∏ ∏ ∏ ∫∏ 4 dt = t = 3 3 3 ∏ t ∏ ∏ 4 1 + tg t 2 4 12 4 4 3 e − x sin x ∏ Vaäy 0 < ∫ dx < 1 x +1 2 12e 6. 0 x 1⇒ 0 x3 x2 ⇒ − x2 − x3 0 ⇒ 4 − 2x2 4 − x 2 − x3 4 − x2 ⇒ 4 − 2x2 4 − x2 − x3 4 − x2 1 1 1 ⇒ 4 − 2x2 4− x −x 2 3 4 − x2 1 1 1 1 1 1 ⇒I =∫ dx ∫ dx ∫ dx = J 0 4 − x2 0 4 − x2 − x3 0 4 − 2 x2 Ñaët x = 2sin t ⇒ dx = 2 cos tdt x 0 1 ∏ 2 cos tdt ∏ ∏ ⇒I =∫ 6 = ∫ 6 dt = t 0 ∏ 0 4 − ( 2sin t ) 2 0 6 6 Ñaët x = 2 sin t ⇒ dx = 2 cos tdt x 0 1 t 0 ∏ 4 ∏ ∏ 2 cos tdt 2 4 ∏ 2 ⇒J =∫ 4 = = ( ) 2 8 0 2 4−2 2 sin t 0 ∏ 1 dx ∏ 2 ⇒ ≤∫ ≤ 6 0 4 − x 2 − x3 8 Chöùng minh raèng : e −1 1 − x2 ∏ ∏ 1 ∏ 6 1. ∫0 e dx 1 3. ≤ ∫ 2 1 + sin 2 x .dx ≤ e 2 0 2 4 ∏ ∏ ∏ 1 1 sin 2 x 2. ∫0 2 e dx 2 e 4. 0.88 < ∫ dx < 1 2 0 1 + x4 Baøi giaûi : 9
  10. Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân 1.°0 x 1 ⇒ 0 x 2 x 1 ⇒ 0 < e x 2 ex 1 1 e− x (1) 2 ⇒ x2 x ⇔ e− x e e °x 2 1( 2 ) 2 2 0 ⇒ ex e0 = 1 ⇒ e− x Töø (1) vaø (2) suy ra : e − x 2 1 e− x 1 1 1 e −1 1 ⇒ ∫ e − x dx ∫e ∫0 dx ⇒ e ∫e 2 − x2 − x2 dx dx 1 0 0 0 2 2. 0 sin 2 x 1⇒1 esin x e ∏ ∏ ∏ ∏ ∏ ∏ ⇒∫ ∫ e.∫ ∫ 2 2 2 dx 2 esin x dx 2 dx ⇒ 2 esin x dx e 0 0 0 2 0 2 1 2 1 1 3 3. 0 sin 2 x 1⇒ 0 sin x ⇒1 1 + sin 2 x 2 2 2 2 ∏ ∏ 1 3 ∏2 ∏ ∏ 1 ∏ 6 ⇒∫ 2 dx ∫ 2 1 + sin 2 x dx ∫0 dx ⇒ 2 ∫ 2 1 + sin 2 x .dx 0 0 2 2 0 2 4 4. Caùch 1: 1 1 ∀x ∈ ( 0,1) thì x 4 < x 2 ⇒ 1 + x 4 < 1 + x 2 ⇒ > 1+ x 4 1 + x2 ( ) 1 1 1 1 1 ⇒∫ dx > ∫ dx = ln x + 1 + x 2 = ln 1 + 2 > 0,88 0 0 1 + x4 1 + x2 0 1 1 1 Maët khaùc : 1 + x 4 > 1 ⇒ ⇒∫ dx > I 1+ x 4 1+ x 2 0 1 + x4 1 1 Vôùi : I = ∫ dx 0 1 + x2 dt = (1 + tg 2t ) dt 1 Ñaët x = tgt ⇒ dx = cos 2 10
  11. Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân x 0 1 I =∫ (1 + tg t ) dt = ∏ 2 ∏ 1 ∫ 4 4 dt ∏ t 0 4 (1 + tg t ) 0 2 0 cos t ∏ cos t I =∫ 4 dt 0 1 − sin 2 t t 0 ∏ Ñaët u = sin t ⇒ du = cos tdt 4 u 0 1 2 1 du 1 1 1− u + u +1 1 1  1 1  I =∫ 2 = ∫ 2 du = ∫ 2  + du 0 1− u 2 2 0 (1 − u )(1 + u ) 2 0  1+ u 1− u  1 1 1 1 1 1 1 1 1+ u 2 = ∫ 2 du + ∫ 2 du = ln 2 0 1+ u 2 0 1− u 2 1− u 0 1 2+ 2 1 1 I= ln > 0,88 ⇒ ∫ dx > 0,88 2 2− 2 0 1 + x4 1 Maët khaùc :1 + x 4 > 1 ⇒
  12. Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân Ta coù : α  α 0 ∫ 0 x tgx dx xdx  ∫ 0 β β   ∏ ∏ 0 < ∫ x tgx dx < ∫ xdx  ⇒ 0 ∫ 4 x tgx dx < ∫ 4 xdx α α 0 0 ∏ ∏  0 ∫ x tgx dx ∫ xdx  4 4 β β   ∏ ∏ 2 ⇒ 0 < ∫ 4 x tgx dx < 0 32 α β Chuù yù : (α , β ) ⊂ [ a, b ] thì b b ∫ a f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx + ∫ f( x ) dx b α β Tuy nhieân neáu : m f( x ) M thì : b b b b m ∫ dx ∫ f( x ) dx M ∫ dx ⇒ m ( b − a ) ∫ f( x ) dx M (b − a ) a a a a Nhöng (α , β ) ⊂ [ a, b ] thì m ∫ dx < ∫ f( x ) dx < M ∫ f( x ) dx b b b a a a (Ñaây laø phaàn maéc phaûi sai laàm phoå bieán nhaát )Do chöa hieåu heát yù nghóa haøm soá f( x ) chöùa (α , β ) lieân tuïc [ a, b ] maø (α , β ) ⊂ [ a, b ] ) cos nx 1 1 cos nx 1 cos nx 1 1 1 2. ∫0 1 + x dx ∫ 0 1+ x dx = ∫ 0 1+ x dx ∫0 1 + x = ln 1 + x 0 = ln 2 1cos nx ⇒ ∫ 0 1+ x dx ln 2  e − x e −1 = 1  3. 1 x 3⇒ e  sin x 1  1 3 e− x .sin x 3 e − x .sin x 3 e dx ⇒ ∫ 1 1 + x2 dx ∫ 1 + x2 dx ∫ 1 1 + x2 3 e− x .sin x 1 3 1 ⇒ ∫ dx .I vôùi I = ∫ dx 1 1 + x2 e 1 1 + x2 Ñaët x = tgt ⇒ dx = (1 + tg 2t ) dt x 1 3 ⇒ Ι = ∫∏ ∏ (1 + tg t )dt = 2 ∏ ∏ ∫ dt = 3 3 t ∏ ∏ 4 1 + tg t 4 2 ∏ 12 4 3 −x 3 e .sin x ∏ ⇒ ∫ dx (*) (Caùch 2 xem baøi 4 döôùi ñaây ) 1 1+ x 12e Ñaúng thöùc xaûy ra khi : 12
  13. Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân  e − x = e −1 x = 1  ⇔ ⇒ x ∈ ∅, ∀x ∈ 1, 3    sin x = 1 sin x = 1 −x 3 e .sin x ∏ Vaäy : ∫ dx < 1 1+ x 2 12e Xem laïi chuù yù treân , ñaây laø phaàn sai laàm thöôøng maéc phaûi khoâng ít ngöôøi ñaõ voäi keát luaän ñaúng thöùc (*) ñuùng . Thaät voâ lyù 3 e− x cos x 3 e − x cos x 3 e− x 4. ∫ 1 1 + x2 dx ∫1 1 + x2 dx ∫ 1 1 + x2 dx Do y = e− x giaûm ⇒ max ( e− x ) = e −1 = 1 e 3 e− x cos x 1 3 1 ∏ ⇒ ∫ dx ∫1 1 + x 2 dx = 12e ;do I baøi 3 1 1 + x2 e Daáu ñaúng thöùc : e− x = e −1 x = 1  ⇔ ⇔ x ∈ ∅, ∀x ∈ 1, 3    cos x = 1 cos x = 1 3 e − x cos x ∏ Vaäy ∫ dx < 1 1+ x 2 12e u = 1   du = − 1 x 2 dx 5. Ñaët  x ⇒ dv = cos xdx  v = sin x  200 ∏ 200 ∏ cos x 1 200 ∏ sin x ⇒∫ dx = sin x +∫ dx 100 ∏ x x 100 ∏ 100 ∏ x2 200 ∏ cos x 200 ∏ 200 ∏ 1 1 1 ⇒∫ dx ∫ dx = − = 100 ∏ x 100 ∏ x 2 x 100 ∏ 200 ∏ 200 ∏ cos x 1 Vaäy ∫ dx 100 ∏ x 200 ∏ Baøi toaùn naøy coù theå giaûi theo phöong phaùp ñaïo haøm . 13
  14. Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân 1 ex e 6. 0 x 1⇒1 ex e⇒ (1 + x ) (1 + x ) (1 + x ) n n n 1 1 1 ex 1 1 ⇒∫ dx ∫ (1 + x ) dx e∫ dx (1 + x ) (1 + x ) 0 n 0 n 0 n 1− n 1 1− n 1 ( x + 1) 1 ex ( x + 1) ⇔ 1− n ∫ (1 + x ) 0 n dx e. 1− n 0 0 1  1  1 e x e  1  Vaäy : 1 − n −1  ∫ (1 + x ) dx 1 − n −1  ; n > 1 n −1  2  0 n n −1 2  Baøi toaùn naøy coù theå giaûi theo phöông phaùp nhò thöùc Newton . Chöùng minh raèng : neáu f(x) vaø g(x) laø 2 haøm soá lieân tuïc vaø x xaùc ñònh treân [a,b] , thì ta coù : (∫ ) b 2 b b a f ( x ) .g( x ) .dx ∫a f 2( x ) dx . ∫ g 2( x ) dx a Caùch 1 : Cho caùc soá α1 , tuyø yù i ∈ 1, n ta coù : ( ) (α 2 1 + α 2 2 + ... + α 2 n )( β 21 + β 2 2 + ... + β 2 n ) (α1β1 + α 2 β 2 + ... + α n β n ) (1) α1 α 2 α Ñaúng thöùc (1) xaûy ra khi : = = ... n β1 β 2 βn Thaät vaäy : phaân hoaïch [a,b] thaønh n ñoaïn nhoû baèng nhau bôûi caùc ñieåm chia : a = x0 < x1 < x2 < ….
  15. Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân (∫ ) b 2 b b Töø (5) ⇒ f ( x).g ( x)dx ∫ f 2 ( x)dx . ∫ g 2 ( x)dx a a a Caùch 2 : ∀t ∈ R + ta coù : 0 [tf ( x) − g ( x) ] = t 2 f 2 ( x) − 2.t. f ( x).g ( x) + g 2 ( x) 2 b b b ⇒ h(t ) = t 2 ∫ f 2 ( x)dx − 2t ∫ f ( x).g ( x)dx + ∫ g 2 ( x)dx 0 a a a h(t) laø 1 tam thöùc baäc 2 luoân khoâng aâm neân caàn phaûi coù ñieàu kieän :   ah = t > 0 2  ⇔ ∆ 'h 0 ∆ h 0  2 ⇔  ∫ f ( x).g ( x)dx  − ∫ f 2 ( x)dx . ∫ g 2 ( x)dx ≤ 0 b b b  a    a a (∫ ) b 2 b b ⇒ a f ( x).g ( x)dx ∫ a f 2 ( x)dx . ∫ g 2 ( x)dx a Chöùng minh raèng :  1 (e − 1)  e x −  x 1 5 3. e x − 1 < ∫ e2 t + e− t dt < x 1. ∫ 1 + x3 dx < 0 2 0  2 1 3∏ 1 3cos x − 4sin x 5∏ 2. ∫ esin 2 x dx > 4. ∫ dx 0 2 0 1 + x2 4 Baøi giaûi : (∫ ) b 2 b b 1. Ta coù : f ( x).g ( x)dx ∫ f 2 ( x)dx . ∫ g 2 ( x)dx ( ñaõ chöùng minh baøi tröôùc ) a a a b b b ⇒ ∫ a f ( x).g ( x)dx ∫ a f 2 ( x)dx . ∫ a g 2 ( x)dx 1 + x3 = (1 + x ) . (1 − x + x 2 ) = (1 + x ) . (1 − x + x ) 2 (1 − x + x ) dx < ∫ (1 + x ) dx ∫ ( x − x + 1) dx 1 1 1 1 ⇒ ∫ 1 + x3 dx = ∫ 0 0 (1 + x ) 2 0 0 2 1 1 1  x2   x3 x 2  5 ∫0 1 + x3 dx <  + x   2 0   3 − 2 + x =  2  0 1 5 ⇒ ∫ 1 + x3 dx < 0 2 ∏ ∏ ∏ 2. ∫ esin dx = ∫ dx + ∫ 2 2 2 x 2 esin x 2 esin x dx 0 0 0 x ∏ ∏ x 2 Ñaët t = + t ⇒ dx = dt 2 t 0 ∏ 2 15
  16. Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân ⇒ ∫ esin ∏ 2 x ∏ dx = ∫ 2 esin x dx + ∫ 2 ∏ 2 e ( sin 2 ∏ + t 2 ) dt 0 0 0 ∏ ∏ ∏ =∫ dx + ∫ ecos x dx = 2∫ 2 2 2 2 2 2 esin x esin x dx 0 0 0 ∏ 2 ∏ 2    sin 2 x cos 2 x  Ta laïi coù  ∫ 2 edx  =  ∫ 2 e 2 .e 2 dx   0   0  ∏ ∏ 2 2 e =∏ e ; e >  0 2 0  2 ∏ 3 ⇒ ∫ esin x dx > 2 0 2 Chuù yù : baøi naøy coù theå giaûi theo phöông phaùp ñaïo haøm . x x t 3. ∫ e 2t + e − t dt = ∫ e 2 et + e−2t dt 0 0 (∫ ) 2 ∫ e dt ∫ ( e + e −2t )dt x t t t e 2 et + e−2t dt t t 0 0 0 vi ( ∫ f ( x).g ( x)dx ) b 2 b b a ∫ a f 2 ( x)dx . ∫ g 2 ( x)dx a ⇒ ( ∫ e + e dt ) 2    x 1 (e − 1)  e x − − 2 x 1 1  < ( e − 1)  e −  x 2t −t x x o  2 e   2  1 (e − 1)  e x −  (1) 1 ⇒∫ e 2t + e − t dt x 0  2 Maët khaùc : e 2t + e − t > et ; ∀0 < t < x x x ⇒∫ e2t + e− t dt > ∫ et dt = e x − 1 (2) 0 0  1 (e − 1)  e x −  x Töø (1) vaø (2) suy ra : e x − 1 < ∫ e 2t + e − t dt < x 0  2 3cos x − 4sin x 1 32 + ( −4 )2  sin 2 x + cos 2 x  = 5 4. 1 + x2 1 + x2    x2 + 1 1 3cos x − 4sin x 1 3cos x − 4sin x 1 1 ⇒ ∫ 0 1 + x2 dx ∫ 0 1 + x2 dx 5∫ 0 1 + x2 dx Ñaët x = tgt ⇒ dx = (1 + tg 2t ) dt 16
  17. Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân 1 (1 + tg t ) 2 x 0 1 1 1 1 ∏ ⇒∫ dx = ∫ dt = ∫ dt = t 0 ∏ 0 1+ x 2 0 1 + tg t2 0 4 4 1 3cos x − 4sin x 5∏ ⇒ 4. ∫ dx 0 1+ x 2 4 Chöùng minh baát ñaúng thöùc tích phaân baèng phöông phaùp ñaïo haøm. Chöùng minh raèng : ∫ ( ) ( ) 11 ∏ ∏ ∏ 2 x+7 + 11 − x dx ∫ ( sin x + cos x )dx 4 1. 54 2 108 −7 4 0 4 2. 0 < ∫ x (1 − x 2 )dx < 1 4 e 3∏ 4. ∫ esin x dx > 2 0 27 0 2 Baøi giaûi : 1. Xeùt f ( x ) = ( ) ( x+7 + ) 11 − x ; x ∈ [ −7,11] 11 − x − x + 7 f '( x) = ⇒ f '( x) = 0 ⇔ x = 2 2 11 − x x + 7 x -7 2 11 f’(x) + 0 - f(x) 6 ր ց 3 2 3 2 11 11 11 ⇒3 2 f ( x) 6 ⇒ 3 2 ∫ dx ∫ f ( x ) dx 6 ∫ dx −7 −7 −7 ∫ ( ) 11 ⇒ 54 2 x + 7 + 11 − x dx 108 −7 2. Xeùt haøm soá : f(x) = x(1-x2) ; ∀x ∈ [ 0,1] ⇒ f ' ( x) = 3x 2 - 4 x + 1 1 ⇒ f’(x)=0 ⇔ x = ∨ x =1 3 x -∞ 0 1 1 +∞ 3 f’(x) + 0 - f(x) 4 27 ր ց 0 0 17
  18. Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân 4 ⇒0 f ( x) 27 va  ( 3 3 )( ∃x ∈ 0, 1 ; 1 , 0 ⇒ 0 < f < 4  ( x) 27 )  f (0) = f (1) = 0  1 4 1 1 4 ⇒ 0 < ∫ f ( x)dx < ∫0 dx ⇒ 0 < ∫0 f ( x)dx < 27 0 27 3. Xeùt haøm soá :  ∏  ∏ f ( x) = sin x + cos x = 2 sin  x +  ; x ∈ 0,   4  4  ∏  ∏ f ' ( x) = 2 cos  x +  0 , ∀x ∈  0,   4  4  ∏ ⇒ f(x) laø haøm soá taêng ∀x ∈ 0,  ⇒ f ( 0) f( x ) f ∏  4 ( 4) ∏ ∏ ∏ 2 ⇒ 1 sin x + cos x 2⇒ ∫0 ( sin x + cos x )dx 4 4 4 4. Nhaän xeùt ∀x > 0 thì e x > 1 + x ( ñaây laø baøi taäp Sgk phaàn chöùng minh baát ñaúng thöùc baèng pp ñaïo haøm) Xeùt f (t ) = et − 1 − t ; t 0 ⇒ f '(t ) = et − 1 > 0 ; ∀t > 0 ⇒ haøm soá f(t) ñoàng bieán ∀t 0 Vì x > 0 neân f(x) > f(0) = 0 ⇒ e x − 1 − x > 0 ⇔ e x > 1 + x (1) Do vaäy : ∀x ∈ ( 0, ∏ ) thi esin ( do(1) ) 2 x > 1 + sin 2 x 1 − cos 2 x ⇒ ∫ esin x dx > ∫ (1 + sin 2 x )dx = ∏ + ∫ ∏ 2 ∏ ∏ dx 0 0 0 2 ∏ 3∏ ⇒ ∫ esin x dx > 2 0 2 Chöùng minh raèng : 2 x 1 ∏ 2 3 3 cot gx 1 1. 5 ∫1 x2 + 1dx 2 4. 12 ∫∏ 6 x dx 3 ∏ 3 3 sin x 1 2 1 1 1 2. ∫∏ 4 x dx 2 5. < ∫ dx < 4 3 0 2 + x − x2 2 ∏ 3 2∏ 3 ( ) 1 ∏ 1 6. 2 4 2 < ∫ 1 + x + 4 1 − x dx < 4 ∫ 4 3. dx −1 3 0 cos x + cos x + 1 2 3 Baøi giaûi : 18
  19. Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân x 1 − x2 1. Xeùt : f ( x ) = ; x ∈ [1, 2] . coù f '( x ) = 0 ; ∀x ∈ [1, 2] x +1 (1 + x 2 ) 2 2 ⇒ haøm soá nghòch bieán ∀x ∈ [1, 2] ⇒ f( 2) f( x ) f (1) 2 x 1 2 2 2 x 1 2 ⇒ ∫ dx ∫ 2 ∫1 ⇒ dx dx 5 x +1 2 2 5 1 1 x +1 2 2 2 x 1 ⇒ 5 ∫1 x 2 + 1 2 sin x ∏ ∏ x.cos x − sin x 2. Xeùt f ( x ) = ; ∀x ∈  ;  ⇒ f '( x ) = x 6 3 x2 ∏ ∏  Ñaët Z = x.cos x − sin x ⇒ Z ' = − x x < 0 ; ∀x ∈  ;  6 3 ∏ ∏  ⇒ Z ñoàng bieán treân ∀x ∈  ;  vaø : 6 3 ∏ −3 3 ∏ ∏ Z Z∏ = < 0 ; ∀x ∈  ;  ( 3) 6 6 3 ∏ ∏  ⇒ f '( x ) < 0 ; ∀x ∈  ;  6 3 x -∞ ∏ ∏ +∞ 6 3 f’(x) − f(x) ∏ 3 ց 3 3 2∏ 3 3 3 ⇒ f( X ) 2∏ ∏ 3 3 sin x 3 hay : 2∏ x ∏ 3 3 ∏3 ∏ sin x 3 ∏3 3 ∏ sin x 1 2 ∏ ∫∏ 6 ∫ ∫∏ 6 dx ⇒ 4 ∫ ⇒ dx ∏ 3 dx ∏ 3 dx 6 x ∏ 6 x 2 3. Ñaët t = cos x ; x ∈ [ 0, ∏ ] ⇒ t ∈ [ −1,1] vaø f (t ) = t 2 + t + 1; t ∈ [ −1,1] 19
  20. Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân 1 f '(t ) = 2t + 1; f '( t ) = 0 ⇔ t = − 2 t - ∞ -1 −1 1 +∞ 2 f’(t) − 0 + f(t) 1 3 ց ր 3 4 3 ⇒ f(t ) 3 ; ∀t ∈ [ −1,1] 4 3 ⇒ cos 2 x + cos x + 1 3 ; ∀x ∈ [ 0, ∏ ] 4 3 1 1 2 hay cos 2 x + cos x + 1 3 ⇒ 2 3 cos 2 x + cos x + 1 3 1 ∏ ∏ 1 2 ∏ ⇒ ∫ dx 3 0 ∫ 0 cos x + cos x + 1 2 dx ∫ dx 3 0 ∏ 3 ∏ 1 2∏ 3 ⇒ 3 ∫ cos x + cos x + 1 0 2 dx 3 Chuù yù : thöïc chaát baát ñaúng thöùc treân phaûi laø : ∏ 3 ∏ 1 2∏ 3
Đồng bộ tài khoản