Tuyển tập Bất đẳng thức - Trần Sĩ Tùng

Chia sẻ: T N | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:22

1
185
lượt xem
65
download

Tuyển tập Bất đẳng thức - Trần Sĩ Tùng

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'tuyển tập bất đẳng thức - trần sĩ tùng', tài liệu phổ thông phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Tuyển tập Bất đẳng thức - Trần Sĩ Tùng

  1. Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức III. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bunhiacôpxki PHẦN I: LUYỆN TẬP CĂN BẢN 2 2 2 2 2 1. Chứng minh: (ab + cd) £ (a + c )(b + d ) BĐT Bunhiacopxki I. Chứng minh BĐT dựa vào định nghĩa và tính chất cơ bản: 2. Chứng minh: sinx + cos x £ 2 a3 + b3 æ a + b ö 3 2 2 1. Cho a, b > 0 chứng minh: ³ç ÷ 3. Cho 3a – 4b = 7. Chứng minh: 3a + 4b ³ 7. 2 è 2 ø 725 a2 + b2 2 2 4. Cho 2a – 3b = 7. Chứng minh: 3a + 5b ³ . a+b 47 2. Chứng minh: £ 2 2 2 2 2464 5. Cho 3a – 5b = 8. Chứng minh: 7a + 11b ³ . 137 a + b 3 a3 + b3 3. Cho a + b ³ 0 chứng minh: ³ 6. Cho a + b = 2. 4 4 Chứng minh: a + b ³ 2. 2 2 1 a b 7. Cho a + b ³ 1 Chứng minh: a2 + b2 ³ 4. Cho a, b > 0 . Chứng minh: + ³ a+ b 2 b a 1 1 2 Lời giải: 5. Chứng minh: Với a ³ b ³ 1: 2 + 2 ³ 1+ a 1+ b 1+ ab I. Chứng minh BĐT dựa vào định nghĩa và tính chất cơ bản: 6. Chứng minh: a2 + b2 + c2 + 3 ³ 2 ( a + b + c ) ; a , b , c Î R 3 a3 + b3 æ a + b ö 7. Chứng minh: a2 + b2 + c2 + d2 + e2 ³ a ( b + c + d + e) 1. Cho a, b > 0 chứng minh: ³ç ÷ (*) 2 è 2 ø 8. Chứng minh: x2 + y 2 + z2 ³ xy + yz + zx 3 3 3 a +b æ a + bö 3 2 (*) Û -ç ÷ ³ 0 Û ( a + b)( a - b) ³ 0 . ĐPCM. a+ b+ c ab + bc + ca 2 è 2 ø 8 9. a. Chứng minh: ³ ; a,b,c ³ 0 3 3 a+b a2 + b2 a2 + b2 + c2 æ a + b + c ö 2 2. Chứng minh: £ («) b. Chứng minh: ³ç 2 2 ÷ 3 è 3 ø ÷ a + b £ 0 , («) luôn đúng. a2 a2 + b2 + 2ab a2 + b2 ( a - b)2 10. Chứng minh: + b2 + c2 ³ ab - ac + 2bc ÷ a + b > 0 , («) Û - £0 Û ³ 0 , đúng. 4 4 2 4 11. Chứng minh: a2 + b2 + 1 ³ ab + a + b 2 2 a+b a +b Vậy: £ . 12. Chứng minh: x2 + y2 + z2 ³ 2xy - 2xz + 2yz 2 2 13. Chứng minh: x 4 + y4 + z2 + 1 ³ 2xy(xy 2 - x + z + 1) a+b 3 3 a +b 3 ( a + b)3 a3 + b3 3. Cho a + b ³ 0 chứng minh: ³ Û £ 1 2 2 8 2 14. Chứng minh: Nếu a + b ³ 1 thì: a3 + b3 ³ 4 Û 3 ( b - a ) ( a2 - b2 ) £ 0 Û -3 ( b - a ) ( a + b) £ 0 , ĐPCM. 2 15. Cho a, b, c là số đo độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh: a b 2 2 2 a. ab + bc + ca £ a + b + c < 2(ab + bc + ca). 4. Cho a, b > 0 . Chứng minh: + ³ a + b («) b a b. abc ³ (a + b – c)(a + c – b)(b + c – a) 2 2 2 2 2 2 4 4 4 c. 2a b + 2b c + 2c a – a – b – c > 0 («) Û a a + b b ³ a b + b a Û ( a - b) a - ( a - b) b ³ 0 2 Û ( a - b) ( a - b ) ³ 0 Û ( a - b ) ( a + b ) ³ 0 , ĐPCM. 1 1 2 5. Chứng minh: Với a ³ b ³ 1: 2 + 2 ³ («) 1+ a 1+ b 1+ ab 4 1
  2. Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức II. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT CÔSI: 20. Cho a , b , c > 0. C/m: 1 1 1 1 1. Chứng minh: (a + b)(b + c)(c + a) ³ 8abc ; a,b,c ³ 0 3 3 + 3 3 + 3 3 £ a + b + abc b + c + abc c + a + abc abc 2. Chứng minh: (a + b + c)(a2 + b2 + c 2 ) ³ 9abc ; a,b,c ³ 0 21. Áp dụng BĐT Côsi cho hai số chứng minh: 3 a. a + b + c + d ³ 44 abcd với a , b , c , d ³ 0 (Côsi 4 số) 3. Chứng minh: (1+ a )(1+ b)(1+ c ) ³ (1+ 3 abc ) với a , b , c ³ 0 m m b. a + b + c ³ 33 abc với a , b , c ³ 0 , (Côsi 3 số ) æ aö æ bö Cho a, b > 0. Chứng minh: ç 1+ ÷ + ç 1+ ÷ ³ 2m + 1 , với m Î Z 3 22. Chứng minh: a + b + c ³ a 3 3 2 bc + b 2 ac + c 2 ab ; a , b , c > 0 + 4. è bø è aø 3 4 9 23. Chứng minh: 2 a + 3 b + 4 c ³ 9 abc bc ca ab 5. Chứng minh: + + ³ a + b + c ; a,b,c ³ 0 x 18 a b c 24. Cho y = + , x > 0. Định x để y đạt GTNN. 2 x x6 + y9 6. Chứng minh: ³ 3x2 y3 - 16 ; x,y ³ 0 x 2 4 25. Cho y = + ,x > 1 . Định x để y đạt GTNN. 2 x -1 1 7. Chứng minh: 2a4 + ³ 3a2 - 1. 3x 1 1+ a 2 26. Cho y = + , x > -1 . Định x để y đạt GTNN. 2 x +1 8. Chứng minh: a1995 > 1995 ( a - 1) ,a>0 x 5 1 27. Cho y = + ,x > . Định x để y đạt GTNN. 9. Chứng minh: a2 (1+ b2 ) + b2 (1+ c2 ) + c2 (1+ a2 ) ³ 6abc . 3 2x - 1 2 a b c 1æ 1 1 1ö x 5 10. Cho a , b > 0. Chứng minh: 2 2 + 2 2 + 2 2 £ ç + + ÷ 28. Cho y = + , 0 < x < 1 . Định x để y đạt GTNN. a +b b +c a +c 2è a b c ø 1- x x 11. Cho a , b ³ 1 , chứng minh: ab ³ a b - 1 + b a - 1. x3 + 1 29. Cho y = , x > 0 . Định x để y đạt GTNN. 12. Cho x, y, z > 1 và x + y + z = 4. Chứng minh: xyz ³ 64(x – 1)(y – 1)(z – 1) x2 13. Cho a > b > c, Chứng minh: a ³ 33 ( a - b)( b - c ) c . x 2 + 4x + 4 14. Cho: a , b , c > 0 và a + b + c = 1. Chứng minh: 30. Tìm GTNN của f(x) = , x > 0. x a) b + c ³ 16abc. 2 b) (1 – a)(1 – b)(1 – c) ³ 8abc 31. Tìm GTNN của f(x) = x2 + 3 , x > 0. æ 1 öæ 1 öæ 1ö x c) ç 1+ ÷ç 1+ ÷ç 1+ ÷ ³ 64 32. Tìm GTLN của f(x) = (2x – 1)(3 – 5x) è a øè b øè c ø 33. Cho y = x(6 – x) , 0 £ x £ 6 . Định x để y đạt GTLN. 1 15. Cho x > y > 0 . Chứng minh: x+ ³3 5 ( x - y) y 34. Cho y = (x + 3)(5 – 2x) , –3 £ x £ 2 . Định x để y đạt GTLN 16. Chứng minh: 5 x2 + 2 x+8 a2 + 5 35. Cho y = (2x + 5)(5 – x) , - £ x £ 5 . Định x để y đạt GTLN a) ³ 2 ,"x Î R b) ³ 6 , "x > 1 c) ³4 2 x2 + 1 x -1 a2 + 1 1 5 36. Cho y = (6x + 3)(5 – 2x) , - £ x £ . Định x để y đạt GTLN ab bc ca a+b+ c 2 2 17. Chứng minh: + + £ ; a, b, c > 0 x a+ b b+ c c+ a 2 37. Cho y = 2 . Định x để y đạt GTLN x2 y2 1 x +2 18. Chứng minh: + £ , "x , y Î R 1+ 16x 4 1+ 16y 4 4 x2 38. Cho y = . Định x để y đạt GTLN a b c 3 ( x 2 + 2 )3 19. Chứng minh: + + ³ ;a,b,c>0 b+c a+c a+b 2 2 3
  3. Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức 1 1 1 1 1 ab - a 2 ab - b2 7. Chứng minh: 2a4 + 2 ³ 3a2 - 1 («) Û + - - ³ 0Û + ³0 1+ a 1+ a 2 1+ b2 1+ ab 1+ ab (1+ a2 ) (1+ ab) (1+ b2 ) (1+ ab) 1 a (b - a) b ( a - b) b-a æ a b ö («) Û a4 + a4 + a2 + 1+ 2 ³ 4a2 . Û + ³0 Û - ³0 1+ a (1+ a2 ) (1+ ab) (1+ b2 ) (1+ ab) 1+ ab ç 1+ a2 1+ b2 ÷ è ø 1 Áp dụng BĐT Côsi cho 4 số không âm: a4 , a4 , a2 + 1, b - a æ a + ab2 - b - ba2 ö ( b - a ) 2 ( ab - 1) 1+ a 2 Û ç ÷³0 Û ³ 0 , ĐPCM. 1+ ab ç (1+ a2 )(1+ b2 ) ÷ è ø (1+ ab) (1+ a2 )(1+ b2 ) 1 1 a 4 + a 4 + a 2 + 1+ 2 ³ 44 a4 a4 ( a2 + 1) 2 = 4a2 ÷ Vì : a ³ b ³ 1 Þ ab ³ 1 Û ab – 1 ³ 0. 1+ a 1+ a 6. Chứng minh: a2 + b2 + c2 + 3 ³ 2 ( a + b + c ) ; a , b , c Î R 8. Chứng minh: a1995 > 1995 ( a - 1) («) ,a>0 2 2 2 («) Û a1995 > 1995a - 1995 Û a1995 + 1995 > 1995a Û ( a - 1) + ( b - 1) + ( c - 1) ³ 0 . ĐPCM. 7. Chứng minh: a2 + b2 + c2 + d2 + e2 ³ a ( b + c + d + e) 1995 1995 a1995 + 1995 > a1995 + 1994 = a1995 + 1+ 1+ ... + 1 ³ 1995 14243 a = 1995a a2 a2 a2 a2 Û - ab + b2 + - ac + c2 + - ad + d2 + - ae + e2 ³ 0 1994 soá 4 4 4 4 Chứng minh: a2 (1+ b2 ) + b2 (1+ c2 ) + c2 (1+ a2 ) ³ 6abc . 2 2 2 2 9. æa ö æa ö æa ö æa ö Û ç - b ÷ + ç - c ÷ + ç - d ÷ + ç - e ÷ ³ 0 . ĐPCM ° a2 (1+ b2 ) + b2 (1+ c2 ) + c2 (1+ a2 ) = a2 + a2b2 + b2 + b2c2 + c 2 + c2a2 è2 ø è2 ø è2 ø è2 ø ÷ Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 6 số không âm: 8. Chứng minh: x2 + y 2 + z2 ³ xy + yz + zx 6 °a2 + a2b2 + b2 + b2c2 + c2 + c2a2 ³ 6 a6b6 c6 = 6abc Û 2x2 + 2y2 + 2z2 - 2xy - 2yz - 2zx ³ 0 a b c 1æ 1 1 1ö 10. Cho a , b > 0. Chứng minh: 2 2 + 2 2 + 2 2 £ ç + + ÷ Û ( x - y )2 + ( x - z )2 + ( y - z )2 ³ 0 a +b b +c a +c 2è a b c ø a a 1 b b 1 c c 1 a+ b+ c ab + bc + ca ° £ = , 2 £ = , 2 £ = 9. a. Chứng minh: ³ ; a,b,c ³ 0 2 2 2ab 2b 2 2bc 2c a + c 2 2ac 2a 3 3 a +b b +c a b c 1æ 1 1 1ö ÷ a2 + b2 + c2 ³ ab + bc + ca ° Vậy: 2 + + £ ç + + ÷ 2 a + b2 b2 + c2 a2 + c2 2 è a b c ø æa+ b+ cö a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca ab + bc + ca ÷ ç ÷ = ³ 11. Cho a , b ³ 1 , chứng minh: ab ³ a b - 1 + b a - 1. è 3 ø 9 3 ° a = ( a - 1) + 1 ³ 2 a - 1 , b = ( b - 1) + 1 ³ 2 b - 1 a+ b+ c ab + bc + ca Û ³ ° ab ³ 2b a - 1 , ab ³ 2a b - 1 3 3 2 a2 + b2 + c2 æ a + b + c ö ° ab ³ a b - 1 + b a - 1 b. Chứng minh: ³ç ÷ 12. Cho x, y, z > 1 và x + y + z = 4. C/m: xyz ³ 64(x – 1)(y – 1)(z – 1) 3 è 3 ø ° x = ( x - 1) + 1 = ( x - 1) + x + y + z - 3 ÷ 3 ( a2 + b2 + c 2 ) = a2 + b2 + c2 + 2 ( a2 + b2 + c2 ) 2 = ( x - 1) + ( x - 1) + ( y - 1) + ( z - 1) ³ 44 ( x - 1) 2 ( y - 1) ( z - 1) ³ a2 + b2 + c2 + 2 ( ab + bc + ca ) = ( a + b + c ) 2 2 2 a2 + b2 + c2 æ a + b + c ö Tương tự: y ³ 4 4( x - 1) ( y - 1) ( z - 1) ; z³4 4( x - 1) ( y - 1) ( z - 1) Þ ³ç ÷ 3 è 3 ø Þ xyz ³ 64(x – 1)(y – 1)(z – 1). a2 13. Cho a > b > c, Chứng minh: a ³ 33 ( a - b)( b - c ) c . 10. Chứng minh: + b2 + c2 ³ ab - ac + 2bc 4 ° a = ( a - b) + ( b - c ) + c ³ 33 ( a - b)( b - c ) c 8 5
  4. Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức 2 2 II. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT CÔSI: a æa ö Û - a ( b - c ) + b2 + c2 - 2bc ³ 0 Û ç - ( b - c ) ÷ ³ 0 . 4 è2 ø 1. Chứng minh: (a + b)(b + c)(c + a) ³ 8abc ; a, b, c ³ 0 11. Chứng minh: a2 + b2 + 1 ³ ab + a + b ÷ Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm: Û 2a2 + 2b2 + 2 - 2ab - 2a - 2b ³ 0 Þ a + b ³ 2 ab , b + c ³ 2 bc , a + c ³ 2 ac Û a2 - 2ab + b2 + a2 + 2a + 1+ b2 + 2b + 1 ³ 0 Þ ( a + b)( b + c ) ( a + c ) ³ 8 a 2b2c2 = 8abc . 2 2 2 Û ( a - b) + ( a - 1) + ( b - 1) ³ 0 . 2. Chứng minh: (a + b + c)(a2 + b2 + c 2 ) ³ 9abc ; a,b,c ³ 0 2 2 2 12. Chứng minh: x + y + z ³ 2xy - 2xz + 2yz ÷ Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm: 3 Û x2 + y2 + z2 - 2xy + 2xz - 2yz ³ 0 Û (x – y + z) ³ 0. Þ a + b + c ³ 33 abc , a2 + b2 + c2 ³ 3 a2b2c2 2 Þ ( a + b + c ) ( a2 + b2 + c 2 ) ³ 9 a3b3 c3 = 9abc . 3 13. Chứng minh: x4 + y4 + z2 + 1 ³ 2x(xy2 - x + z + 1) 3 Û x4 + y4 + z2 + 1- 2x2 y2 + 2x2 - 2xz - 2x ³ 0 3. Chứng minh: (1+ a )(1+ b)(1+ c ) ³ (1+ 3 abc ) , với a , b , c ³ 0. 2 ÷ (1+ a )(1+ b)(1+ c ) = 1+ a + b + c + ab + ac + bc + abc. Û ( x2 - y2 ) + ( x - z ) + ( x - 1) ³ 0 . 2 2 3 1 ÷ a + b + c ³ 33 abc , ab + ac + bc ³ 3 a2b2c 2 3 3 14. Chứng minh: Nếu a + b ³ 1 thì: a + b ³ 3 ÷ (1+ a )(1+ b)(1+ c ) ³ 1+ 33 abc + 3 a2b2c2 + abc = (1+ 3 abc ) 3 4 3 3 2 3 ° a + b ³ 1 Þ b ³ 1 – a Þ b = (1 – a) = 1 – a + a – a m m æ aö æ bö 2 Cho a, b > 0. Chứng minh: ç 1+ ÷ + ç 1+ ÷ ³ 2m + 1 , với m Î Z + æ 1ö 1 1 4. Þ a + b = 3ç a - ÷ + ³ . 3 3 è bø è aø è 2ø 4 4 m m m m m 15. Cho a, b, c là số đo độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh: æ aö æ bö æ aö æ bö æ b aö 1+ ÷ + ç 1+ ÷ ³ 2 ç 1+ ÷ . ç 1 + ÷ = 2 ç2+ + ÷ 2 2 2 a. ab + bc + ca £ a + b + c < 2(ab + bc + ca). ÷ ç è bø è aø è bø è aø è a bø 2 2 2 2 2 2 ÷ ab + bc + ca £ a + b + c Û (a – b) + (a – c) + (b – c) ³ 2 4m = 2m + 1 ÷ a > b-c , b > a-c , c > a-b bc ca ab Þ a2 > b2 - 2bc + c2 , b2 > a2 - 2ac + c2 , c2 > a2 - 2ab + b2 5. Chứng minh: + + ³ a + b + c ; a, b, c > 0 2 2 2 a b c Þ a + b + c < 2(ab + bc + ca). ÷ Áp dụng BĐT Côsi cho hai số không âm: b. abc ³ (a + b – c)(a + c – b)(b + c – a) 2 bc ca abc2 bc ba b2ac ÷ a2 > a2 - ( b - c ) Þ a2 > ( a + c - b)( a + b - c ) + ³2 = 2c , + ³2 = 2b , a b ab a c ac 2 ÷ b2 > b2 - ( a - c ) Þ b2 > ( b + c - a ) ( a + b - c ) ca ab a2bc ÷ 2 2 2 2 c > c - ( a - b) Þ c > ( b + c - a ) ( a + c - b) + ³2 = 2a b c bc 2 2 2 Þ a2b2c2 > ( a + b - c ) ( a + c - b) ( b + c - a ) bc ca ab Þ + + ³ a+b+c . Û abc > ( a + b - c )( a + c - b)( b + c - a ) a b c 2 2 2 2 2 2 4 4 4 c. 2a b + 2b c + 2c a – a – b – c > 0 x6 + y9 2 2 2 2 2 4 4 Û 4a b + 2c (b + a ) – a – b – 2a b – c > 0 2 2 4 6. Chứng minh: ³ 3x2 y3 - 16 ; x,y ³ 0 («) 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 Û 4a b + 2c (b + a ) – (a + b ) – c > 0 3 3 («) Û x6 + y9 + 64 ³ 12x2 y3 Û ( x2 ) + ( y3 ) + 43 ³ 12x2 y3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Û (2ab) – [(a + b ) – c ] > 0 Û [c – (a – b) ][(a + b) – c ] > 0 Û (c – a + b)(c + a – b)(a + b – c)(a + b + c) > 0 . đúng Áp dụng BĐT Côsi cho ba số không âm: ° Vì a , b , c là ba cạnh của tam giác Þ c – a + b > 0 , c + a – b > 0 , a + b – c > 0 , a + b + c > 0. ( x2 )3 + ( y3 )3 + 43 ³ 3x2y3 4 = 12x2y3 . 6 7
  5. Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức x -1 2 2 éx = 3 14. Cho: a , b , c > 0 và a + b + c = 1. Chứng minh: ° Dấu “ = ” xảy ra Û = Û ( x - 1) = 4 Û ê x = -1(loaïi) a) b + c ³ 16abc. 2 x -1 ë 2 2 2 5 æb+ cö æb+ cö æ 1- a ö 2 Vậy: Khi x = 3 thì y đạt GTNN bằng ° ç ÷ ³ bc Û 16abc £ 16a ç ÷ = 16a ç ÷ = 4a (1- a ) 2 è 2 ø è 2 ø è 2 ø ° 4a (1- a ) = (1- a ) ( 4a - 4a2 ) = (1- a ) é1- (1- 2a ) ù £ 1- a = b + c 2 2 3x 1 ë û 26. Cho y = + , x > -1 . Định x để y đạt GTNN. 2 x +1 b) (1 – a)(1 – b)(1 – c) ³ 8abc 3(x + 1) 1 3 ° (1 – a)(1 – b)(1 – c) = (b + c)(a + c)(a + b) ³ 2 bc.2 ac.2 ab = 8abc ÷ y= + - 2 x+1 2 æ 1 öæ 1 öæ 1ö 3 ( x + 1) 1 c) ç 1+ ÷ç 1+ ÷ç 1+ ÷ ³ 64 ÷ Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm , : è a øè b øè c ø 2 x+1 1 ö æ a + a + b + c ö 4 a2bc 4 æ 3 ( x + 1) 1 3 3 ( x + 1) 1 3 3 ° ç 1+ ÷ = ç ÷³ y= + - ³2 . - = 6- è aø è a ø a 2 x +1 2 2 x+1 2 2 4 4 1 4 ab2c 1 4 abc2 ° Dấu “ = ” xảy ra Û ° 1+ ³ ° 1+ ³ b b c c é 6 êx = -1 æ 1 öæ 1 öæ 1ö 3 ( x + 1) 1 2 2 3 ÷ ç 1+ ÷ç 1+ ÷ç 1+ ÷ ³ 64 Û = Û ( x + 1) = Û ê è a øè b øè c ø 2 x +1 3 ê 6 êx = - - 1(loaïi ) 1 ë 3 15. Cho x > y > 0 . Chứng minh: x+ ³3 ( x - y) y 6 3 Vậy: Khi x = - 1 thì y đạt GTNN bằng 6 - 1 ( x - y) y 3 2 ÷ VT = ( x - y ) + y + ³ 33 =3 ( x - y) y ( x - y) y x 5 1 27. Cho y = + ,x > . Định x để y đạt GTNN. 16. Chứng minh: 3 2x - 1 2 x2 + 2 2x - 1 5 1 a) ³ 2 Û x 2 + 2 ³ 2 x 2 + 1 Û x 2 + 1+ 1 ³ 2 x 2 + 1 ÷ y= + + 2 6 2x - 1 3 x +1 2x - 1 5 x+8 x - 1+ 9 9 9 ÷ Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm , : b) = = x - 1+ ³2 x -1 =6 6 2x - 1 x -1 x -1 x -1 x -1 2x - 1 5 1 2x - 1 5 1 30 + 1 a2 + 5 y= + + ³2 . + = c. ( a2 + 1) + 4 ³ 2 4 ( a2 + 1) = 4 a2 + 1 Û ³4 6 2x - 1 3 6 2x - 1 3 3 a2 + 1 Dấu “ = ” xảy ra ab bc ca a+b+ c é 30 + 1 17. Chứng minh: + + £ ; a, b, c > 0 êx = a+ b b+ c c+ a 2 2x - 1 5 2 2 Û = Û ( 2x - 1) = 30 Û ê ° Vì : a + b ³ 2 ab 6 2x - 1 ê - 30 + 1 êx = (loaïi ) ab ab ab bc bc bc ac ac ac ë 2 Þ £ = , £ = , £ = a + b 2 ab 2 b + c 2 bc 2 a + c 2 ac 2 30 + 1 30 + 1 Vậy: Khi x = thì y đạt GTNN bằng ° a + b + c ³ ab + bc + ca , dựa vào: a2 + b2 + c2 ³ ab + bc + ca . 2 3 x 5 ab bc ca ab + bc + ac a + b + c 28. Cho y = + , 0 < x < 1 . Định x để y đạt GTNN. ° + + £ £ 1- x x a+ b b+ c c+ a 2 2 12 9
  6. Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức 2 2 21. Áp dụng BĐT Côsi cho hai số chứng minh: x y 1 18. Chứng minh: 4 + 4 £ , "x , y Î R a. a + b + c + d ³ 44 abcd với a , b , c , d ³ 0 (Côsi 4 số) 1+ 16x 1+ 16y 4 2 2 ÷ a + b ³ 2 ab , c + d ³ 2 cd x x x2 1 ° 1+ 16x4 = 1+ ( 4x ) 2 £ 2.4x2 = 8 ÷ a + b + cd ³ 2 ( ab + cd ) ³ 2 2 ( ) ab. cd ³ 44 abcd y2 y2 y2 1 b. a + b + c ³ 33 abc với a , b , c ³ 0 , (Côsi 3 số ) ° 4 = 2 £ 2 = 1+ 16y 1+ ( 4y ) 2.4y 8 a+b+ c a+b+ c ÷ a+b+ c+ ³ 4.4 abc 3 3 x2 y2 1 ÷ 4 + 4 £ a+ b+ c 4 a+b+ c æa+ b+ cö 4 a+b+ c 1+ 16x 1+ 16y 4 Û ³ abc Û ç ÷ ³ abc 3 3 è 3 ø 3 a b c 3 19. Chứng minh: + + ³ ;a,b,c>0 æa+ b+ cö 3 b+c a+c a+b 2 Û ç 3 ÷ ³ abc Û a + b + c ³ 3 abc . Đặt X = b + c , Y = c + a , Z = a + b. è 3 ø 1 22. Chứng minh: a3 + b3 + c3 ³ a2 bc + b2 ac + c2 ab ; a , b , c > 0 ° a + b + c = (X + Y + Z) 2 ° a3 + abc ³ 2a2 bc , b3 + abc ³ 2b2 ac , c3 + abc ³ 2c2 ab Y+Z-X Z+X-Y X+Y-Z ° a= ,b= ,c= ° a3 + b3 + c3 + 3abc ³ 2 ( a2 bc + b2 ac + c2 ab ) 2 2 2 a b c 1 éæ Y X ö æ Z X ö æ Z Y ö ù Þ 2 ( a3 + b3 + c3 ) ³ 2 ( a2 bc + b2 ac + c 2 ab ) , ° + + = ç + ÷ + ç + ÷ + ç + ÷ - 3ú b + c a + c a + b 2 êè X Y ø è X Z ø è Y Z ø ë û vì : a3 + b3 + c3 ³ 3abc 1 3 Vậy: a3 + b3 + c3 ³ a2 bc + b2 ac + c2 ab ³ [ 2 + 2 + 2 - 3] = . 2 2 23. Chứng minh: 2 a + 33 b + 44 c ³ 99 abc Cách khác: ÷ Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 9 số không âm: a b c æ a ö æ b ö æ c ö ° + + =ç + 1÷ + ç + 1÷ + ç + 1÷ - 3 ° VT = a + a + 3 b + 3 b + 3 b + 4 c + 4 c + 4 c + 4 c ³ 99 abc b+ c a+ c a+ b èb+ c ø èa+ c ø èa+b ø x 18 1 æ 1 1 1 ö 24. Cho y = + , x > 0. Định x để y đạt GTNN. = [( a + b) + ( b + c ) + ( c + a ) ] ç + + ÷-3 2 x 2 è b+ c a + c a + bø x 18 x 18 ÷ Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm: ÷ Áp dụng BĐT Côsi cho hai số không âm: y= + ³2 . =6 1 2 x 2 x ° [( a + b) + ( b + c ) + ( c + a ) ] æ 1 + 1 + 1 ö ³ 9 - 3 = 3 ç ÷ x 18 2 è b+ c a + c a + bø 2 2 ° Dấu “ = ” xảy ra Û = Û x2 = 36 Û x = ± 6 , chọn x = 6. 20. Cho a , b , c > 0. C/m: 2 x 1 1 1 1 Vậy: Khi x = 6 thì y đạt GTNN bằng 6 3 3 + 3 3 + 3 3 £ x 2 a + b + abc b + c + abc c + a + abc abc 25. Cho y = + ,x > 1 . Định x để y đạt GTNN. 2 x -1 ° a3 + b3 = ( a + b) ( a2 - ab + a2 ) ³ ( a + b) ab x -1 2 1 Þ a3 + b3 + abc ³ ( a + b) ab + abc = ab ( a + b + c ) , tương tự ÷ y= + + 2 x -1 2 ° b3 + c3 + abc ³ ( b + c ) bc + abc = bc ( a + b + c ) x -1 2 ÷ Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm , : ° c3 + a3 + abc ³ ( c + a ) ca + abc = ca ( a + b + c ) 2 x-1 1 1 1 1 æa+b+cö x -1 2 1 x -1 2 1 5 ÷ VT £ + + = ç ÷ y= + + ³2 . + = ab ( a + b + c ) bc ( a + b + c ) ca ( a + b + c ) a + b + c è abc ø 2 x -1 2 2 x -1 2 2 10 11
  7. Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức 2 3 æ 4 9ö 735 ° 3a- 5 b £ ç + ÷ ( 3a2 + 5b2 ) Û 3a + 5b ³ 2 2 ° . x 5 (1- x ) + 5x x x -1 x 1- x 3 5 è3 5ø 47 f(x) = + = +5 +5³ 2 5 +5= 2 5+5 2464 1- x x 1- x x 1- x x 2 2 5. Cho 3a – 5b = 8. Chứng minh: 7a + 11b ³ . 2 137 x 1- x æ x ö 5- 5 Dấu “ = ‘ xảy ra Û =5 Ûç ÷ =5Ûx= (0 < x < 1) 3 5 1- x x è 1- x ø 4 ÷ 3a - 5b = 7a- 11b 7 11 5- 5 ° Vậy: GTNN của y là 2 5 + 5 khi x = 3 5 4 ÷ Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 4 số , 7a , - , 11b : 7 11 x3 + 1 29. Cho y = , x > 0 . Định x để y đạt GTNN. 3 5 æ 9 25 ö ( 2 2464 x2 7a- 11b £ ç + ÷ 7a + 11 ) Û 7a + 11b ³ b2 2 2 ° . 7 11 è 7 11 ø 137 x3 + 1 1 x x 1 xx 1 3 ° 2 = x+ + + 2 ³ 33 2 = 2 =3 6. Cho a + b = 2. 4 4 Chứng minh: a + b ³ 2. x x 2 2 x 22x 4 ÷ Áp dụng BĐT Bunhiacopski: x x 1 ° Dấu “ = ‘ xảy ra Û = = 2 Û x = 3 2 . 2 = a + b £ (1+ 1) ( a2 + b2 ) 2 2 x 2 2 ° Û a +b ³2 3 2 £ ( a2 + b2 ) £ (1+ 1) ( a4 + b4 ) Vậy: GTNN của y là 3 khi x = 3 2 4 4 ° Û a +b ³2 ° 4 1 7. Cho a + b ³ 1 Chứng minh: a2 + b2 ³ x 2 + 4x + 4 2 30. Tìm GTNN của f(x) = , x > 0. 1 x ° 1£ a + b £ (12 + 12 ) ( a2 + b2 ) Û a2 + b2 ³ 2 x2 + 4x + 4 4 4 ° = x + + 4 ³ 2 x. + 4 = 8 x x x 4 ° Dấu “ = ‘ xảy ra Û x = Û x = 2 (x > 0). x ° Vậy: GTNN của y là 8 khi x = 2. 2 31. Tìm GTNN của f(x) = x2 + 3 , x > 0. x 3 2 x2 x2 x2 1 1 æ x2 ö æ 1 ö 2 5 ° x2 + 3 = + + + 3 + 3 ³ 55 ç ÷ ç 3 ÷ = 5 x 3 3 3 x x è 3 ø èx ø 27 2 x 1 ° Dấu “ = ‘ xảy ra Û = 3 Û x = 5 3 Û x = 2 (x > 0). 3 x 5 ° Vậy: GTNN của y là 5 khi x = 5 3 . 27 32. Tìm GTLN của f(x) = (2x – 1)(3 – 5x) 2 æ 11x ö æ 11 ö 1 1 f(x) = –10x + 11x – 3 = -10 ç x2 - ÷ - 3 = -10 ç x - 2 ° ÷ + £ è 10 ø è 20 ø 40 40 11 ° Dấu “ = “ xảy ra Û x = 20 16 13
  8. Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức 11 1 ° Vậy: Khi x = 1 thì y đạt GTLN bằng 9. ° Vậy: Khi x = thì y đạt GTLN bằng . 20 40 x 37. Cho y = 2 . Định x để y đạt GTLN 33. Cho y = x(6 – x) , 0 £ x £ 6 . Định x để y đạt GTLN. x +2 ÷ Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm x và 6 – x (vì 0 £ x £ 6): 1 x 1 ° 2 + x 2 ³ 2 2x2 = 2x 2 Û ³ Þ y£ ° 6 = x + ( 6 - x ) ³ 2 x ( 6 - x ) Þ x(6 – x) £ 9 2 2 2+ x 2 2 2 ° Dấu “ = “ xảy ra Û x = 6 – x Û x = 3 ° Dấu “ = “ xảy ra Û x 2 = 2 và x > 0 Þ x= 2 ° Vậy: Khi x = 3 thì y đạt GTLN bằng 9. 1 5 ° Vậy: Khi x = 2 thì y đạt GTLN bằng . 34. Cho y = (x + 3)(5 – 2x) , –3 £ x £ . Định x để y đạt GTLN. 2 2 2 1 x2 ÷ y = (x + 3)(5 – 2x) = (2x + 6)(5 – 2x) 38. Cho y = . Định x để y đạt GTLN 2 ( x 2 + 2 )3 æ 5ö ÷ Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm 2x + 6 và 5 – 2x , ç -3 £ x £ ÷ : 3 x2 1 x 2 + 2 = x2 + 1+ 1 ³ 3 x2 .1.1 Û ( x2 + 2) ³ 27x2 Þ 3 è 2ø ° 3 £ ( x 2 + 2) 27 1 121 ° 11 = ( 2x + 6) + ( 5 - 2x ) ³ 2 ( 2x + 6)( 5 - 2x ) Þ (2x + 6)(5 – 2x) £ 2 8 ° Dấu “ = “ xảy ra Û x 2 = 1 Û x = ± 1 1 1 ° Dấu “ = “ xảy ra Û 2x + 6 = 5 – 2x Û x = - ° Vậy: Khi x = ± 1 thì y đạt GTLN bằng . 4 27 1 121 ° Vậy: Khi x = - thì y đạt GTLN bằng . III. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bunhiacôpxki 4 8 5 35. Cho y = (2x + 5)(5 – x) , - £ x £ 5 . Định x để y đạt GTLN. 1. 2 2 2 2 2 Chứng minh: (ab + cd) £ (a + c )(b + d ) («) BĐT Bunhiacopxki 2 1 («) Û a2b2 + 2abcd + c 2d2 £ a2b2 + a2d2 + c 2b2 + c2d2 ÷ y = (2x + 5)(5 – x) = (2x + 5)(10 – 2x) 2 2 Û a2d2 + c2b2 - 2abcd ³ 0 Û ( ad - cb) ³ 0 . æ 5 ö 2. Chứng minh: sinx + cos x £ 2 ÷ Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm 2x + 5 , 10 – 2x , ç - £ x £ 5 ÷ : è 2 ø ÷ Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 4 số 1 , sinx , 1 , cosx : 1 625 (12 + 12 ) ( sin2 x + cos2 x ) = ° ( 2x + 5) + (10 - 2x ) ³ 2 ( 2x + 5)(10 - 2x ) Þ (2x + 5)(10 – 2x) £ ° sinx + cos x = 1. sinx + 1. cos x £ 2 2 8 2 2 3. Cho 3a – 4b = 7. Chứng minh: 3a + 4b ³ 7. 5 ° Dấu “ = “ xảy ra Û 2x + 5 = 10 – 2x Û x = ÷ Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 4 số 3 , 3 a , 4 , 4 b : 4 5 625 3a + 4b = 3. 3a + 4. 4b £ ( 3 + 4) ( 3a2 + 4b2 ) Û 3a + 4b ³ 7. 2 2 ° Vậy: Khi x = thì y đạt GTLN bằng ° 4 8 2 2 725 1 5 4. Cho 2a – 3b = 7. Chứng minh: 3a + 5b ³ . 36. Cho y = (6x + 3)(5 – 2x) , - £ x £ . Định x để y đạt GTLN 47 2 2 2 3 ÷ y = 3(2x + 1)(5 – 2x) ÷ 2a - 3b = 3a- 5b 3 5 æ 1 5ö ÷ Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm 2x + 1 , 5 – 2x , ç - £ x £ ÷ : 2 3 è 2 2ø ÷ Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 4 số , 3a , - , 5b: 3 5 ° ( 2x + 1) + ( 5 - 2x ) ³ 2 ( 2x + 1)( 5 - 2x ) Þ (2x + 1)(5 – 2x) £ 9 ° Dấu “ = “ xảy ra Û 2x + 1 = 5 – 2x Û x = 1 14 15
  9. Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức 2 a +b +c2 2 PHẦN II. ĐỀ THI ĐẠI HỌC x+ y+ z£ (a, b, c là các cạnh của DABC, R là 2R 1. (CĐGT II 2003 dự bị) bán kính đường tròn ngoại tiếp). Dấu “=” xảy ra khi nào? 36. (Đại học 2002 dự bị 3) Cho 3 số bất kì x, y, z. CMR: x2 + xy + y2 + x2 + xz+z2 ³ y2 + yz+z2 5 2. (CĐBC Hoa Sen khối A 2006) Giả sử x, y là hai số dương thay đổi thoả mãn điều kiện x + y = . Tìm 3 3 3 4 Cho x, y, z > 0 và xyz = 1. Chứng minh rằng: x + y + z ³ x + y + z. 4 1 3. (CĐKTKT Cần Thơ khối A 2006) giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S= + Cho 3 số dương x, y, z thoả x + y + z £ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu x 4y 37. (Đại học 2002 dự bị 5) 1 1 1 thức: A=x+y+z+ + + Giả sử a, b, c, d là 4 số nguyên thay đổi thoả mãn 1 ≤ a < b < c < d ≤ 50. x y z a c b2 + b + 50 4. (CĐSPHCM khối ABTDM 2006) Chứng minh bất đẳng thức: + ³ và tìm giá trị nhỏ nhất 5 b d 50b Cho x, y là hai số thực dương và thoả x + y = . Tìm giá trị nhỏ nhất của a c 4 của biểu thức: S = + . 4 1 b d biểu thức: A = + . 38. (Đại học 2002 dự bị 6) x 4y 3 5. (CĐKTKT Cần Thơ khối B 2006) Cho tam giác ABC có diện tích bằng . Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các Cho 4 số dương a, b, c, d. Chứng minh bất đẳng thức: 2 cạnh BC, CA, AB và ha, hb, hc tương ứng là độ dài các đường cao kẻ từ a b c d + + + 0 thì (x + 1) ç x2 + x + 1÷ ³ 16. 2 è øè a b c ø è ø 39. (Đại học khối A 2003) Cho x, y, z là 3 số dương và x + y + z £ 1. Chứng minh rằng: 7. (CĐKTKTCN1 khối A 2006) a+ b+ c a+b+ c a+b+ c 1 1 1 Cho 3 số dương a, b, c. Ch. minh rằng: + + ³9 x2 + + y2 + + z2 + ³ 82 a b c x2 y2 z2 8. (CĐKTYTế1 2006) 40. (Đại học khối A 2003 dự bị 1) 2 Cho các số thực x, y thay đổi thoả mãn điều kiện: y £ 0; x + x = y + 12. 3 cosx 5 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = sin x + Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức: A = xy + x + 2y + 17 41. (Đại học khối A 2003 dự bị 2) 9. (CĐBC Hoa Sen khối D 2006) Tính các góc của tam giác ABC, biết rằng: Cho x, y, z > 0; x + y + z = xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = xyz. ì 4p(p - a) £ bc (1 ) 10. (Học viện BCVT 2001) ï Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c thoả mãn điều kiện: a + b + c = 1 í A B C 2 3-3 ïsin sin sin = (2) 1 1 1 æ a b c ö î 2 2 2 8 thì: a + b + c ³ 3ç a + b + c ÷ 3 3 3 è3 3 3 ø a+b+ c trong đó BC = a, CA = b, AB = c, p = . 11. (ĐH Đà Nẵng khối A 2001 đợt 2) 2 2 2 2 Cho ba số dương a, b, c thoả a + b + c = 1. Chứng minh: 42. (Đại học khối A 2005) a b c 3 3 1 1 1 + 2 + 2 ³ Cho x, y, z là các số dương thoả mãn : + + = 4 . 2 b +c 2 c +a 2 a +b 2 2 x y z 12. (ĐH Kiến trúc HN 2001) 20 17
  10. Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức 2 2 2 2 2 ìa + b + c = 2 2 2 a) a + b + c ≥ ab + bc + ca b) (ab + bc + ca) ≥ 3abc(a + b + c) ï Cho các số a, b, c thoả: í 24. (ĐH Nông nghiệp I khối A 2000) ïab + bc + ca = 1 î Cho 3 số dương a, b, c thoả điều kiện abc = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của 4 4 4 4 4 4 bc ca ab Chứng minh: - £ a £ ; - £ b £ ; - £ c £ biểu thức: P = 2 + 2 + 2 3 3 3 3 3 3 a b + a c b c + b a c a + c 2b 2 2 13. (Học viện NH TPHCM khối A 2001) 25. (ĐH Thuỷ lợi II 2000) Cho DABC có 3 cạnh là a, b, c và p là nửa chu vi. Chứng minh rằng: Chứng minh rằng với mọi số dương a, b, c ta đều có: ( ) 1 1 1 æ 1 1 1ö 3 + + ³ 2ç + + ÷ (a + 1).(b + 1).(c + 1) ≥ 1+ 3 abc p-a p-b p-c èa b cø 26. (ĐH Y HN 2000) 14. (ĐH Nông nghiệp I HN khối A 2001) Cho 3 số x, y, z > 0. Chứng minh rằng: 2 3 Giả sử x, y là hai số dương thoả điều kiện + = 6 . Tìm giá trị nhỏ nhất 2 x 2 y 2 z 1 1 1 x y 3 2 + 3 2 + 3 2 £ 2+ 2+ 2 của tổng x + y. x +y y +z z +x x y z 27. (ĐH An Giang khối D 2000) 15. (ĐH PCCC khối A 2001) Cho các số a, b, c ≥ 0. Chứng minh: a c+1 +b c+1 ≥ ab(a c–1 +b ) c–1 Ch. minh rằng với a ≥ 2, b ≥ 2, c ≥ 2 thì: logb+ c a + logc + a b + loga+ b c > 1 28. (ĐH Tây Nguyên khối AB 2000) 16. (ĐH Quốc gia HN khối D 2001) 18xyz CMR với mọi x, y, z dương và x + y + z = 1 thì xy + yz + zx > Ch. minh rằng với mọi x ≥ 0 và với mọi a > 1 ta luôn có: xa + a – 1 ≥ ax. 2 + xyz Từ đó chứng minh rằng với 3 số dương a, b, c bất kì thì: 29. (ĐH An Ninh khối A 2000) a3 b3 c3 n+1 n a b c Chứng minh rằng với mọi số nguyên n ≥ 3 ta đều có: n > (n + 1) 3 + 3 + 3 ³ + + 30. (CĐSP Nha Trang 2000) b c a b c a Cho 2 số thực a, b thoả điều kiện: a, b ≥ –1 và a + b = 1. Tìm giá trị lớn 17. (ĐH Thái Nguyên khối D 2001) nhất của biểu thức: A = a + 1 + b + 1 Cho a ≥ 1, b ≥ 1. Chứng minh rằng: a b - 1 + b a - 1 £ ab (*) 31. (CĐSP Nhà trẻ – Mẫu giáo TƯ I 2000) 18. (ĐH Vinh khối A, B 2001) Chứng minh BĐT sau đây luôn luôn đúng với mọi số thực x, y, z bất kì Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi 2 2 2 1 1 1 9 bằng 3 thì: 3a + 3b + 3c + 4abc ≥ 13 khác không: 2 + 2 + 2 ³ 2 19. (ĐH Y Thái Bình khối A 2001) x y z x + y 2 + z2 2 2 2 BĐT cuối cùng luôn đúng Þ BĐT cần chứng minh đúng. Cho a, b, c là những số dương và a + b = c. Ch. minh rằng: a 3 + b3 > c 3 32. (ĐH Y Dược TP HCM 1999) 20. (ĐHQG HN khối A 2000) a2 b2 c2 a b c Với a, b, c là 3 số thực bất kì thoả điều kiện a + b + c = 0. Chứng minh Cho 3 số a, b, c khác 0. Chứng minh: 2 + 2 + 2 ³ + + a b c a b c b c a b c a rằng: 8 +8 +8 ≥2 +2 +2 21. (ĐHQG HN khối D 2000) 33. (ĐH Hàng hải 1999) Với a, b, c là 3 số thực dương thoả điều kiện: ab + bc + ca = abc. Chứng Cho x, y, z ≥ 0 và x + y + z ≤ 3. Chứng minh rằng: x y z 3 1 1 1 b2 + 2a2 c2 + 2b2 a2 + 2c2 + + £ £ + + minh rằng: + + ³ 3 1+ x 2 1+ y 2 1+ z 2 2 1+ x 1+ y 1+ z ab bc ca 22. (ĐH Bách khoa HN khối A 2000) 34. (ĐH An ninh HN khối D 1999) 3 Cho 3 số x, y, z thay đổi, nhận giá trị thuộc đoạn [0;1]. Chứng minh rằng: a3 + b3 æ a + b ö 3 3 3 2 2 2 2(x + y + z ) – (x y + y z + z x) ≤ 3 (*) Cho 2 số a, b thoả điều kiện a + b ≥ 0. Ch. minh rằng: ³ç ÷ 2 è 2 ø 35. (Đại học 2002 dự bị 1) 23. (ĐHSP TP HCM khối DE 2000) Gọi x, y, z là khoảng cách từ điểm M thuộc miền trong của DABC có 3 góc Cho 3 số a, b, c bất kì. Chứng minh các BĐT: nhọn đến các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng: 18 19
  11. Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức b d b d 1 1 1 + < + =1 Chứng minh rằng: + + £1 b+ c+ d d+ a+b b+ d b+ d 2x+y+z x + 2y + z x + y + 2z Cộng vế theo vế các BĐT trên ta được đpcm. 43. (Đại học khối B 2005) 6. (CĐKT Cao Thắng khối A 2006) Chứng minh rằng với mọi x Î R, ta có: 2 æ 1 2 ö æ1 ö x x x 2ç + + 1÷ ³ 16 (1) Û (x + 1)2 ç + 1÷ ³ 16 Ta có: (x + 1) è x2 x ø æ 12 ö æ 15 ö æ 20 ö x x x èx ø ç ÷ +ç ÷ +ç ÷ ³3 +4 +5 è 5 ø è 4 ø è 3 ø æ1 ö Khi nào đẳng thức xảy ra? Û (x + 1) ç + 1÷ ³ 4 (do x > 0) Û (x + 1) ³ 4x Û (x – 1) ³ 0 (2) 2 2 èx ø 44. (Đại học khối D 2005) (2) luôn đúng nên (1) được chứng minh. Cho các số dương x, y, z thoả mãn xyz = 1. Chứng minh rằng: 7. (CĐKTKTCN1 khối A 2006) 1+ x 3 + y 3 1 + y 3 + z3 1 + z3 + x 3 b c a c a b + + ³3 3 Xét vế trái của BĐT đã cho: VT = 1+ + + + 1+ + + + 1 xy yz zx a a b b c c Khi nào đẳng thức xảy ra? æ b a ö æ c a ö æ c bö 45. (Đại học khối A 2005 dự bị 1) = 3 + ç + ÷+ç + ÷+ç + ÷ èa bø èa cø èb cø Cho 3 số x, y, z thoả x + y + z = 0. CMR: 3 + 4x + 3 + 4y + 3 + 4z ³ 6 Do a, b, c > 0 nên theo BĐT Côsi ta có: 46. (Đại học khối A 2005 dự bị 2) b a b a b c b c c a c a 2 + ³ 2 . = 2; + ³ 2 . = 2; + ³2 . =2 æ y öæ 9 ö a b a b c b c b a c a c Chứng minh rằng với mọi x, y > 0 ta có: (1+ x ) ç 1+ ÷ ç 1+ ÷ ³ 256 è x øç è y÷ ø Khi đó: VT ³ 3 + 2 + 2 + 2 = 9 (đpcm). 8. (CĐKTYTế1 2006) Đẳng thức xảy ra khi nào? 2 2 y £ 0, x + x = y + 12 Þ x + x – 12 £ 0 Þ – 4 £ x £ 3 47. (Đại học khối B 2005 dự bị 1) 2 3 2 y = x + x – 12 Þ A = x + 3x – 9x – 7 3 Cho 3 số dương a, b, c thoả mãn: a + b + c = . Chứng minh rằng: 3 2 Đặt f(x) = A = x + 3x – 9x – 7 với – 4 £ x £ 3 4 3 a + 3b + 3 b + 3c + 3 c + 3a £ 3 2 f¢(x) = 3x + 6x – 9 ; f¢(x) = 0 Û x = 1 hoặc x = – 3 f(–4) = 13, f(–3) = 20, f(1) = –12, f(3) = 20 Khi nào đẳng thức xảy ra? Vậy maxA = 20 (x = 3, y = 0), minA = –12 (x = 1, y = –10). 48. (Đại học khối B 2005 dự bị 2) 9. (CĐBC Hoa Sen khối D 2006) 1 Chứng minh rằng nếu 0 £ y £ x £ 1 thì x y - y x £ . Ta có: x + y + z ³ 3 3 xyz Û xyz ³ 3 3 xyz Û (xyz) ³ 27 Û xyz ³ 3 3 2 4 Dấu "=" xảy ra Û x = y = z = 3. Đẳng thức xảy ra khi nào? 49. (Đại học khối D 2005 dự bị 2) Vậy minA = 3 3 . 10. (Học viện BCVT 2001) x2 y2 z2 3 Cho x, y, z là 3 số dương và xyz = 1. CMR: + + ³ 1 1 + y 1+ z 1 + x 2 Ta có hàm số f(x) = x là hàm nghịch biến nên: 50. (Đại học khối A 2006) 3 Cho 2 số thực x ≠ 0, y ≠ 0 thay đổi và thoả mãn điều kiện: æ 1 1ö 2 2 (x + y)xy = x + y – xy. (a – b) ç a - b ÷ ≤ 0, "a, b. è3 3 ø 1 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = 3 + 3 . a b b a x y Þ a + b £ a + b , "a, b. (1) 3 3 3 3 51. (Đại học khối B 2006) b c b c Cho x, y là các số thực thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Tương tự: b + c £ c + b (2) 3 3 3 3 A= ( x - 1)2 + y2 + ( x + 1)2 + y2 + y - 2 24 21
  12. Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức LỜI GIẢI 2 3 3(t - 1) æ 1ù f¢(t) = 3 – 2 = 2 < 0, "t Î ç 0; ú t t è 3û Bảng biến thiên: 1. (CĐGT II 2003 dự bị) 1 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, xét các điểm: 3 æ y 3 ö æ 3 3 ö æy z ö Açx + ; z ÷ , B ç 0; y+ z ÷ , C ç - ;0 ÷ ç 2 2 ø ÷ ç 2 2 ø÷ è2 2 ø è è 2 æ yö 2 æ 3 ö 1 Ta có: AB = x+ ÷ +ç y = x2 + xy + y2 Từ bảng biến thiên ta suy ra: A ³ 10. Dấu "=" xảy ra khi x = y = z = ç è 2ø ç 2 ÷ ÷ 3 è ø 1 2 2 Vậy Amin = 10 đạt được khi x = y = z = . æ zö æ 3 ö 3 AC = çx + ÷ + ç z = x 2 + xz + z2 è 2ø ç 2 ÷ ÷ · Cách 2: è ø 1 2 2 Theo BĐT Côsi: 1 ³ x + y + z ³ 3 3 xyz > 0 Û ³3 æy zö æ 3 ö 3 xyz BC = ç - ÷ + ç (y + z) ÷ = y2 + yz+z2 è 2 2ø ç 2 ÷ 1 2 1 2 1 2 è ø x+ ³ , y+ ³ , z+ ³ Với 3 điểm A, B, C ta luôn có: AB + AC ≥ BC 9x 3 9y 3 9z 3 Þ x2 + xy + y2 + x2 + xz+z2 ³ y2 + yz+z2 æ 1ö æ 1ö æ 1 ö 8 æ 1 1 1ö 8 3 Từ đó: A= ç x + + çy + ÷+ z+ + ç + + ÷³ 2 + ³ 10 2. (CĐBC Hoa Sen khối A 2006) è 9x ÷ è ø 9y ø çè 9z ÷ 9 è x y z ø ø 9 3 xyz x + y + z ³ 3 3 x3 y3z3 Þ 2(x + y + z ) ³ 6 3 3 3 3 3 3 1 1 Dấu "=" xảy ra khi x = y = z = .Vậy Amin = 10 đạt được khi x = y = z = 3 3 3 x + 1 + 1 ³ 3 x3 Þ x + 2 ³ 3x (1) 3 3 4. (CĐSPHCM khối ABT 2006) 3 3 5 Tương tự: y + 1 + 1 ³ 3 y 3 3 Þ y + 2 ³ 3y(2) Ta có: x + y = Û 4x + 4y – 5 = 0 3 3 4 z + 1 + 1 ³ 3 z Þ z + 2 ³ 3z 3 3 (3) Cộng (1), (2), (3) vế theo vế suy ra bất đẳng thức cần chứng minh. 4 1 4 1 4 1 A= + = + 4x+ + 4y - 5 Þ A ³ 2 .4x + 2 .4y – 5 3. (CĐKTKT Cần Thơ khối A 2006) x 4y x 4y x 4y · Cách 1: ÞA³5 Theo BĐT Côsi: 1 ³ x + y + z ³ 3 3 xyz > 0 ì4 ï x = 4x 1 1 1 3 ï + + ³ x y z 3 xyz ï 1 = 4y ìx = 1 ï ï Dấu "=" xảy ra Û í 4y Û í 1. Vậy Amin = 5. 3 Từ đó: A ³ 3 3 xyz + ï 5 ïy = 4 î 3 xyz ïx + y = ï 4 3 1 ï x,y > 0 Đặt: t = xyz , điều kiện: 0 < t £ î 3 5. (CĐKTKT Cần Thơ khối B 2006) 3 1 Vì a, b, c, d > 0 nên ta luôn có: Xét hàm số f(t) = 3t + với 0 < t £ t 3 a c a c + < + =1 a+ b+ c c+ d+ a a+ c a+ c 22 23
  13. Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức é 3 3 3ù c a a c 1 êæ a ö 2 æ b ö2 3 æ c ö2 ú + £ + (3) ç ÷ +ç ÷ +ç ÷ ú ³ 3c 3a 3c 3a 2 êè b ø è cø è aø 2 ê ë ú û a b c a b c Mặt khác: a + b + c = (4) a + b + Cộng 4 BĐT trên, vế theo vế, ta có: 3 3 3 3 3 3c é 3 3 3ù Cộng (1), (2), (3), (4) vế theo vế ta được: 3 êæ a ö 2 æ b ö 2 æ c ö 2 ú 3 3 é a b c ù 3 æ a b c ö æ 1 1 1ö ç ÷ +ç ÷ +ç ÷ ú+ ³ ê + + ú+ 3 ç a + b + c ÷ £ (a + b + c) ç a + b + c ÷ 2 êè b ø ècø èaø 2 2 ëb c aû 2 è3 3 3 ø è3 3 3 ø ê ë ú û 3 3 3 æ a b c ö 1 1 1 Hay 3ç a + b + c ÷ £ a + b + c (vì a + b + c = 1) æ a ö2 æ b ö2 æ c ö2 a b c è3 3 3 ø 3 3 3 Suy ra: ç ÷ + ç ÷ + ç ÷ ³ + + èbø ècø èaø b c a 1 17. (ĐH Thái Nguyên khối D 2001) Dấu “=” xảy ra Û a = b = c = . 3 a b-1 b a -1 1æ 1ö 1æ 1ö 11. (ĐH Đà Nẵng khối A 2001 đợt 2) BĐT (*) Û + £1Û 1- + 1- £1 (1) ab ab bç b÷ è ø aç a÷ è ø 2 2 2 a a a2 Do a + b + c = 1 nên = = (1) 1 æ 1ö + ç 1- ÷ b2 + c2 1- a 2 a(1- a2 ) 1æ 1ö b è b ø 1 3 3 Theo BĐT Côsi ta có: 1- £ = æ 2a2 + (1- a2 ) + (1- a2 ) ö æ 2ö bç b÷ è ø 2 2 2 Mà 2a .(1 – a ) ≤ ç 2 2 ÷ =ç ÷ ç 3 ÷ è3ø 1 æ 1ö è ø + ç 1- ÷ 4 2 1æ 1ö a è a ø 1 2 2 2 Þ a .(1 – a ) ≤ 2 Þ a(1 – a ) ≤ (2) 1- £ = aç a÷ è ø 2 2 27 3 3 Cộng 2 BĐT lại ta được BĐT cần chứng minh. a 3 3 2 Từ (1), (2) suy ra: ³ a ì1 1 1 b +c2 2 2 ï b = 1- b = 2 ï Dấu “=” xảy ra Û í Û a = b = 2. a b c 3 3 2 3 3 Do đó: + + ³ (a + b2 + c2 ) = ï 1 = 1- 1 = 1 b2 + c 2 c2 + a2 a2 + b2 2 2 ïa î a 2 2 2 ì 2a = 1- a 18. (ĐH Vinh khối A, B 2001) ï ï 1 Ta có: 3 – 2a = a + b + c – 2a = b + c – a > 0. Dấu “=” xảy ra Û í 2b2 = 1- b2 Û a = b = c = . Do đó theo BĐT Côsi ta có: ï 2 2 3 3 ï 2c = 1- c î æ 3 - 2a + 3 - 2b + 3 - 2c ö (3 – 2a)(3 – 2b)(3 – 2c) ≤ ç ÷ =1 12. (ĐH Kiến trúc HN 2001) è 3 ø Þ 27 – 9(2a + 2b + 2c) + 3(4ab + 4bc + 4ca) – 8abc ≤ 1 ìa2 + b2 + c2 = 2 ï ì(a + b)2 - 2ab = 2 - c 2 ï Ta có: í Û í Û 27 – 54 + 12(ab + bc + ca) – 8abc ≤ 1 ïab + bc + ca = 1 î ïc(a + b) + ab = 1 î Û 4abc ≥ 6(ab + bc + ca) – 14 2 2 2 2 2 2 ìa + b = S 2 Û 3(a + b + c ) + 4abc ≥ 3(a + b + c ) + 6(ab + bc + ca) – 14 Ta xem đây là hệ phương trình của a, b và đặt í (S – 4P ≥ 0) 2 = 3(a + b +c) – 14 = 13 îab = P Đẳng thức xảy ra Û 3 – 2a = 3 – 2b = 3 – 2c Û a = b = c = 1. ìS2 - 2P = 2 - c2 (1) ï 19. (ĐH Y Thái Bình khối A 2001) Ta được hệ: í 2 2 ïcS+P =1 î (2) a b a b æ a ö3 æ b ö3 a b Từ (2) Þ P = 1 – cS, thay vào (1) ta được: Từ giả thiết ta có: + = 1 Þ 0 < , < 1 Þ ç ÷ +ç ÷ > + = 1 c c c c ècø ècø c c 28 25
  14. Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức 2 2 2 2 éS = -c - 2 1 1æ 1 1ö 2 x 1æ 1 1ö S – 2(1 – cS) = 2 – c Û S + 2cS + c – 4 = 0 Û ê £ ç 2 + 2÷ Þ 3 £ ç 2 + 2÷ ëS = -c + 2 xy 2 è çx ÷ y ø x +y 2 2èçx y ÷ ø 2 · Với S = – c – 2 Þ P = 1 + c(c + 2) = c + 2c + 1 Tương tự ta cũng có: 2 2 2 BĐT: S – 4P ≥ 0 Û (–c – 2) – 4(c + 2c + 1) ≥ 0 2 y 1æ 1 1ö 2 z 1æ 1 1ö 4 £ ç 2 + 2 ÷; 3 £ + 2 Û –3c – 4c ≥ 0 Û - £ c £ 0 (3) 3 y +z 2 2ç y ÷ z + x 2 2 ç z2 x 2 ÷ z ø è ø 3 è 2 y 2 · Với S = –c + 2 Þ P = 1 – c(–c + 2) = c – 2c + 1 2 x 2 z 1 1 1 2 2 2 Suy ra: + + £ + + BĐT: S – 4P ≥ 0 Û (–c + 2) – 4(c – 2c + 1) ≥ 0 x +y3 2 3 y +z 2 3 z +x 2 x 2 y 2 z2 4 Û 0£c£ 2 Û –3c + 4c ≥ 0 (4) ì x3 = y 2 ï ì y 3 = z2 ï ì z3 = x 2 ï 3 Dấu “=” xảy ra Û í vaø í vaø í Û x=y=z=1 4 4 ïx = y î ïy = z î ïz = x î Từ (3), (4) ta được: - £c£ 3 3 15. (ĐH PCCC khối A 2001) 4 4 Trước hết chú ý rằng nếu a > 1, x > 1 thì hàm số y = loga x là đồng biến Tương tự ta chứng minh được: - £ a,b,c £ và dương. 3 3 13. (Học viện NH TPHCM khối A 2001) 1 Do đó hàm số y = logxa = là nghịch biến. Trước hết, ta dễ dàng chứng minh được nếu x, y > 0 thì: loga x 1 1 4 Vì vai trò của a, b, c là như nhau, nên ta có thể giả thiết a ≥ b ≥ c. Ta + ³ (1) x y x+y được: Dấu “=” xảy ra Û x = y. VT= logb+ c a + logc+ a b + loga +b c ³ loga +b a + loga +b b + loga+ b c = loga +b abc 1 1 4 4 Vì a, b, c ≥ 2 nên abc ≥ 2ab = ab + ab > a + b Áp dụng (1) ta được: + ³ = Do đó VT ≥ loga+babc > loga+b(a + b) = 1. p-a p-b p-a+p-b c 16. (ĐH Quốc gia HN khối D 2001) 1 1 4 4 · Xét f(x) = xa – ax + a – 1 (x ≥ 0) + ³ = p-b p- c p-b+p-c a f¢(x) = a(xa – 1); –1 f¢(x) = 0 Û x = 1 1 1 4 4 + ³ = p-c p-a p-c+p- a b Cộng 3 BĐT trên vế theo vế, ta được: æ 1 1 1 ö æ 1 1 1ö 2ç + + ÷ ³ 4 ç + + ÷ Û đpcm èp- a p-b p-cø èa b cø Vậy với "x ≥ 0 và a > 1 thì f(x) ≥ 0 hay xa + a – 1 ≥ ax. Dấu “=” xảy ra Û a = b = c. · BĐT cần chứng minh: 3 3 3 14. (ĐH Nông nghiệp I HN khối A 2001) æ a ö2 æ b ö2 æ c ö2 a b c 3 2 Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số dương x , y ta có: ç ÷ +ç ÷ +ç ÷ ³ + + èbø ècø èaø b c a 2 x 2 x 1 3 x + y ≥ 2 x3 y2 = 2xy x Þ 3 3 2 2 £ = Áp dụng BĐT đã chứng minh với a = , ta có: x +y 2xy x xy 2 1 1 3 3 3 Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số dương , ta có: æ a ö2 1 3 a æ b ö2 1 3 b æ c ö2 1 3 c ç ÷ + ³ . ; ç ÷ + ³ . ; ç ÷ + ³ . 2 x y2 è bø 2 2 b ècø 2 2 c èaø 2 2 a Mặt khác, theo BĐT Côsi ta có: 26 27
  15. Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức 31. (CĐSP Nhà trẻ – Mẫu giáo TƯ I 2000) 2 2 2 æ y 2 z2 ö æ x 2 z2 ö æ x 2 y 2 ö Từ đó suy ra: a3 + b3 > c3 BĐT cần chứng minh Û ç 1+ 2 + 2 ÷ + ç 2 + 1+ 2 ÷ + ç 2 + 2 + 1÷ ≥ 9 20. (ĐHQG HN khối A 2000) ç x ÷ çy x ø è ÷ çz y ø è z ÷ è ø a b c Đặt x = 2 , y = 2 , z = 2 thì x, y, z > 0. a+b+c æ y 2 z2 ö æ x 2 z2 ö æ x 2 y 2 ö Đ.kiện a + b + c = 0 Û xyz = 2 = 1, do đó theo BĐT Côsi: x + y + z ≥ 3 Û 3 + ç 2 + 2 ÷+ç 2 + 2 ÷+ç 2 + 2 ÷ ≥ 9 3 3 Mặt khác: x + 1 + 1 ≥ 3x Þ x ≥ 3x – 2 çx x ÷ çy y ÷ çz z ÷ è ø è ø è ø 3 3 Tương tự: y ≥ 3y – 2; z ≥ 3z – 2 32. (ĐH Y Dược TP HCM 1999) 3 3 3 Þ x + y + z ≥ 3(x + y + z) – 6 = (x + y + z) + 2(x + y + z – 3) ≥ x + y + z Áp dụng BĐT Côsi ta có: a b c Þ8 +8 +8 ≥2 +2 +2 a b c a2 b2 c2 a2 b2 c2 21. (ĐHQG HN khối D 2000) * + + ³ 33 . . =3 (1) b 2 c 2 a 2 b2 c2 a2 b2 + 2a2 b2 + 2a2 1 1 Ta có: = = + 2. 2 a 2 a b 2 b c 2 c ab a2b2 a2 b * + 1³ 2 ; + 1³ 2 ; + 1³ 2 b 2 b c 2 c a 2 a 1 1 1 Đặt x = ; y = ; z = thì a2 b2 æa b cö c2 a b c Þ 2 + 2 + 2 ³ 2ç + + ÷ - 3 (2) ìa,b,c > 0 ì x,y,z > 0 b c a èb c aø giả thiết í Û í Kết hợp (1) và (2) ta được: îab + bc + ca = abc îx + y + z = 1 æ a2 b2 c2 ö æa b cö và đpcm Û x2 + 2y2 + y2 + 2z2 + z2 + 2x2 ³ 3 2ç 2 + 2 + 2 ÷ ³ 2ç + + ÷ çb c a ø ÷ èb c aø Theo BĐT Bunhiacopxki ta có: è 2 2 2 2 2 2 3(x + 2y ) = 3(x + y + y ) ≥ (x + y + y) a2 b2 a b c c2 Þ + + + + ³ 1 b 2 c a 2 b c a 2 Þ x2 + 2y2 ³ (x + 2y) 3 33. (ĐH Hàng hải 1999) Viết 2 BĐT tương tự, rồi cộng lại, ta có: 2 2 2x · Do (x – 1) ≥ 0 nên x + 1 ≥ 2x Û ≤1 1 1+ x 2 x2 + 2y2 + y2 + 2z2 + z2 + 2x2 ³ (3x + 3y + 3z) = 3 3 2y 2z Tương tự ta cũng có: ≤ 1; ≤1 1 1+ y 2 1 + z2 Đẳng thức xảy ra Û x = y = z = Ûa=b=c=3 3 2x 2y 2z 22. (ĐH Bách khoa HN khối A 2000) Do đó: 2 + + ≤3 1+ x 1+ y 2 1 + z2 a3 + b3 æ a + b ö 3 3 3 3 Ta có: ³ç ÷ Û 4(a + b ) ≥ (a + b) x y z 3 2 è 2 ø Hay: 2 + 2 (1)+ 2 £ 1+ x 1+ y 1+ z 2 2 2 2 2 Û (a + b) [4(a + b – ab) – (a + b + 2ab)] ≥ 0 2 2 2 · Áp dụng BĐT Côsi cho 3 số không âm ta có: Û (a + b)(3a + 3b – 6ab) ≥ 0 Û (a + b)(a – b) ≥ 0 1 1 1 BĐT cuối cùng này đúng, nên BĐT cần chứng minh là đúng. + + Đẳng thức xảy ra Û a = ± b. 1+ x 1+ y 1+ z 1 1 ³3 = 23. (ĐHSP TP HCM khối DE 2000) 3 (1+ x)(1+ y)(1+ z) 3 (1+ x)(1+ y)(1+ z) 2 2 2 2 2 2 a) a + b ≥ 2ab; b + c ≥ 2bc; c + a ≥ 2ca 2 2 2 3 (1+ x) + (1+ y) + (1+ z) Þ a + b + c ≥ ab + bc + ca. Þ £ 3 (1+ x)(1+ y)(1+ z) ≤ ≤2 1 1 1 3 Đẳng thức xảy ra Û a = b = c + + 2 2 2 2 b) (ab + bc + ca) = (ab) + (bc) + (ca) + 2(abbc + bcca + caab) ≥ 1+ x 1+ y 1+ z ≥ abbc + bcca + caab + 2abc(a + b + c) = 3abc(a + b + c) 24. (ĐH Nông nghiệp I khối A 2000) 32 29
  16. Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức 1 27. (ĐH An Giang khối D 2000) c c c+1 c+1 c–1 c–1 bc 1 a2bc Giả sử a ≥ b ≥ 0 Þ a (a – b) ≥ b (a – b) Þ a +b ≥ ab(a +b ) Ta có: 2 = = = 28. (ĐH Tây Nguyên khối AB 2000) a b + a2c a2 (b + c) a2 æ 1 + 1 ö 1 + 1 çb c÷ b c Áp dụng BĐT Côsi cho 6 số dương ta có: è ø 2 = x + y + z + x + y + z ≥ 6 3 xyz (1) 1 1 1 Đặt x = ;y= ; z= thì a b c và xy + yz + zx ≥ 3 3 x2y2z2 (2) ìa, b, c > 0 ì x,y,z > 0 x2 y2 z2 Nhân các BĐT (1) và (2) vế theo vế ta được: giả thiết í Û í và P = + + 2(xy + yz + zx) ≥ 18xyz (3) îabc = 1 î xyz=1 y+z z+x x+y Mặt khác ta có: xyz(xy + yz + zx) > 0 (4) Theo BĐT Bunhiacopxki ta có: Cộng các BĐT (3) và (4) vế theo vế ta được: 2 æ x y z ö 18xyz (y + z + z + x + x + y).P ≥ ç y + z. + z + x. + x + y. ÷ (xy + yz + zx)(2 + xyz) > 18xyz Þ xy + yz + zx > (vì 2 +xyz > 0) ç y+z z+x x+y÷ 2 + xyz è ø 29. (ĐH An Ninh khối A 2000) 1 1 1 4 3 4 3 Ta có: 3 = 81, 4 = 64 Þ 3 > 4 Þ BĐT cần chứng minh đúng với n = 3. Þ 2(x + y + z).P ≥ (x + y + z) Þ P ≥ (x + y + z) ≥ .33 xyz = .3 2 2 2 2 n n æ n + 1ö æ 1ö 3 Với n > 3, đpcm Û n > ç ÷ Û ç 1+ ÷ < n (1) ÞP≥ è n ø è nø 2 n n 3 æ 1ö 1 Nếu P = thì x = y = z = 1 Þ a = b = c = 1 Ta có: ç 1+ ÷ = nø å Ck nk n = 2 è k=0 3 3 n n(n - 1 1) n(n - 1)...(n - n + 1) 1 Đảo lại, nếu a = b = c = 1 thì P = . Vậy minP = =1+ + . + ... + . n 2 2 n 2! n2 n! n 25. (ĐH Thuỷ lợi II 2000) 1æ 1ö 1æ 1 öæ 2 ö æ n - 1ö (a + 1).(b + 1).(c + 1) = 1 + a + b + c + ab + bc + ca + abc ≥ =1+1+ ç 1- ÷ + ... + ç 1- ÷ç 1- ÷ ...ç 1- ÷ < 2! è n ø n! è n øè n ø è n ø ( ) 3 3 ≥ 1 + 3 3 abc + 3 a2b2c2 + abc = 1+ 3 abc 1 1 1 1 0. 2! n! 2 2 26. (ĐH Y HN 2000) 1 1 1 2 < 1 + 1 + + ... + n-1 + … = 1 + =3 æ 2 3 ö æ 2 3ö 2 2 1 ( ) 2 2+ 3 =ç . x+ . y ÷ £ ç + ÷ (x + y) = 6(x + y) 1- ç x y ÷ èx yø 2 è ø n æ 1ö ( ) 2 2+ 3 Þ ç 1+ ÷ < 3 < n Þ (1) Þx+y≥ è nø 6 30. (CĐSP Nha Trang 2000) ì 2 3 Áp dụng BĐT Bunhiacopxki cho hai cặp số (1, 1), ( a + 1, b + 1 ), ta có: ï : x= : y ì 2( 2 + 3) ( ) 2 2+ 3 ï x y ïx = A = 1. a + 1 + 1. b + 1 ≤ (1+ 1)(a + 1+ b + 1) ï 6 Giá trị đạt được Û í Ûí ( ) 2 6 6 ï 2+ 3 ï 3( 2 + 3) mà a + b = 1 nên A ≤ ïx + y = ïy = î 6 1 î 6 Dấu “=” xảy ra Û a+1= b+1 Û a = b Û a = b = ( do a + b = 1) 2 5+ 2 6 1 Vậy min(x + y) = Vậy maxA = 6 khi a = b = 6 2 30 31
  17. Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức 9 9 æ 1ù æ 1ù 3 1 1 1 Đặt Q(t) = 9t + ÞQ¢(t) = 9 – 2 < 0, "tÎ ç 0; ú ÞQ(t) giảm trên ç 0; ú Û £ + + (2) t t è 9û è 9û 2 1 + x 1+ y 1+ z æ 1ö Kết hợp (1) và (2) ta được BĐT cần chứng minh. Þ Q(t) ³ Q ç ÷ = 82. Vậy P ³ Q(t) ³ 82 34. (ĐH An ninh HN khối D 1999) è 9ø 2 3 2 3 2 3 Vì 0 ≤ x, y, z ≤ 1 nên x ≥ x ; y ≥ y ; z ≥ z . 1 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 Suy ra: 2(x + y + z ) – (x y + y z + z x) ≤ 2(x + y + z ) – (x y + y z + z x) 2 2 Dấu "=" xảy ra Û x = y = z = . 3 Do đó nếu ta chứng minh được: 2 2 2 2 2 2 · Cách 2: Ta có: 2(x + y + z ) – (x y + y z + z x) ≤ 3 (1) 2 2 thì (*) đúng. 2 æ 1 1 1ö 2 æ 1 1 1ö 2 2 2 2 2 (x + y + z) + ç + + ÷ = 81(x + y + z) + ç + + ÷ – 80(x + y + z) Ta có: (1 – y)(1 + y – x ) ≥ 0 Û x + y – x y – 1 ≤ 0 (2) èx y zø èx y zø éy = 1 æ 1 1 1ö ê 2 ³ 18(x + y + z). ç + + ÷ – 80(x + y + z) ³ 162 – 80 = 82 Dấu “=” ở (2) xảy ra Û ê ì x = 1 èx y zø êíy = 0 ëî Vậy P ³ 82 Tương tự ta cũng có: 2 2 x +z –zx–1≤0 2 (3) 1 2 2 y +z –yz–1≤0 2 (4) Dấu "=" xảy ra Û x = y = z = . 3 Cộng (2), (3), (4) vế theo vế ta được: 2 2 2 2 2 2 40. (Đại học khối A 2003 dự bị 1) 2(x + y + z ) – (x y + y z + z x) ≤ 3 · Tìm max: 5 y = sin x + 3 cosx ≤ sin x + 4 3 cosx (1) Vậy (1) đúng Þ (*) đúng Nhận xét: Dấu “=” ở (*) xảy ra Û (x; y; z) Î {(1 ;1 ;1 ;1 ),(1 ;0),(1;0;1),(0;1 )} ;1 3 cosx ≤ 3 , "x Î R 4 Ta chứng minh: sin x + (2) 35. (Đại học 2002 dự bị 1) 3 (1 – cosx) – sin x ≥ 0 Û 3 (1 – cosx) – (1 – cos x) ≥ 0 4 2 2 Û Û (1 – cosx).[ 3 – (1 – cosx)(1 + cosx) ] ≥ 0 2 (3) 1 1 1 æ 1 1 1ö x+ y+ z= . ax + . by + . cz ≤ ç a + b + c ÷ (ax+by+cz) Theo BĐT Côsi ta có: a b c è ø 1 æ 1 1 1ö æ 1 1 1 ö abc ab + bc + ca (1 – cosx)(1 + cosx)(1 + cosx) = (2 – 2cosx)(1 + cosx)(1 + cosx) ≤ 2 ≤ ç a + b + c ÷ .2S = ç a + b + c ÷ 2R = è ø è ø 2R 3 1æ 4 ö 32 ≤ ç ÷ = < 3 a2 + b2 + c2 2è 3ø 27 ≤ 2R Vậy BĐT (3) đúng Þ (2) đúng Þ y ≤ 3 , "x. Dấu “=” xảy ra khi cosx = 1 ìa = b = c ìDABC ñeàu Û x = k2p. Vậy maxy = 3. Dấu “=” xảy ra Û í Û í î x=y=z îM truøng vôùi troïng taâm G cuûa DABC 3 cosx ≥ – sin x + 3 cosx. 5 4 · Tìm min: Ta có y = sin x + 36. (Đại học 2002 dự bị 3) Tương tự như trên, ta được miny = – 3 , đạt được khi x = p + k2p. 1 1 1 1 1 5 5.5 41. (Đại học khối A 2003 dự bị 2) · Cách 1: S = + + + + ³ ≥ =5 x x x x 4y 5 x.x.x.x.4y x + x + x + x + 4y (a + b + c)(b + c - a) (b + c)2 - a2 2bc(1+ cos A) (1) Û £1 Û £1Û £1 ì1 1 bc bc bc ï x = 4y A 1 A 3 A 3 A p ï ìx = 1 Û cos2 £ Û sin2 ³ Û sin ³ < ) ï ï (do 0 < (3) minS = 5 Û í x = 4y Û í 1 2 4 2 4 2 2 2 2 ïy = 4 ï 5 î Biến đổi vế trái của (2) như sau: ïx + y = A B C 1 Aæ B-C B+C ö 1 Aæ Aö ï î 4 sin sin sin = sin ç cos - cos ÷ ≤ sin ç 1- sin ÷ = 2 2 2 2 2è 2 2 ø 2 2è 2ø 36 33
  18. Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức 4 1 5 Từ BBT suy ra khi b biến thiên từ 2 đến 7, f(b) giảm rồi chuyển sang tăng · Cách 2: S = + = f(x), 0 4 4 ï 350 175 400 200 175 f¢(x) = - 2 + 2 ; f¢(x) = 0 Û í 5 Ûx=1 x (5 - 4x) ï0 < x < ìa = 1 î 4 ïb = 7 53 ï Lập bảng xét dấu f¢(x), suy ra minS = 5. Vậy minS = khi í 1 2 1 4 1 175 ïc = 8 · Cách 3: 2 + = x. + y. ≤ x + y. + (3) ïd = 50 î 2 x 2 y x 4y 38. (Đại học 2002 dự bị 6) ì 2 1 1 1 1 ï = ì x = 4y ìx = 1 Ta có diện tích tam giác: S = aha = bhb = chc ï x. x 2 y. y ï ï 2 2 2 Dấu “=” ở (3) xảy ra Û í Û í 5 Û í 1 ï 5 ïx + y = 4 ïy = 4 2S 2S 2S ïx + y = 4 î î Þ ha = ; hb = ; hc = î a b c æ5ö 2 5 æ4 1 ö 4 1 1 1 1 1 (3) Û ç ÷ £ .ç + Þ + + = (a + b + c) ÷ Û + ≥5 ha hb hc 2S è 2ø 4 è x 4y ø x 4y Vậy minS = 5. æ 1 1 1öæ 1 1 1ö 1 æ 1 1 1ö Þ ç + + ÷ç + + ÷= (a + b + c) ç + + ÷ 37. (Đại học 2002 dự bị 5) è a b c ø è ha hb hc ø 2S èa b cø Vì a ≥ 1, d ≤ 50 và c > b (c, b Î N) nên c ≥ b + 1 thành thử: æ 1 1 1ö a c 1 b + 1 b2 + b + 50 Áp dụng BĐT Côsi ta có: (a + b + c) ç + + ÷ ≥ 9 S= + ≥ + = èa b cø b d b 50 50b Vậy BĐT của đề ra đã được chứng minh. 3 æ 1 1 1öæ 1 1 1ö 9 và vì S = , nên ta có: ç + + ÷ ç + + ÷³ =3 ìa = 1 2 è a b c ø è ha hb hc ø 3 ï 39. (Đại học khối A 2003) Dấu “=” xảy ra Û íd = 50 r r r r r r ï Với mọi u,v ta có: u + v £ u + v (*) îc = b + 1 b2 + b + 50 b 1 1 r æ 1 ö r æ 1ö r æ 1ö Để tìm minS, ta đặt = + + và xét hàm số có biến số Đặt a = ç x; ÷ ; b = ç y; ÷ ; c = ç z; ÷ 50b 50 b 50 è xø è yø è zø liên tục x: r r r r r r r r r Áp dụng bất đẳng thức (*), ta có: a + b + c ³ a + b + c ³ a + b + c x 1 1 f(x) = + + (2 ≤ x ≤ 48) 2 50 x 50 2 1 2 1 2 1 æ 1 1 1ö 2 Vậy P = x + + y + + z + ³ (x + y + z) + ç + + ÷ 1 1 x2 - 50 ì x2 = 50 ï x2 y2 z2 èx y zø f¢(x) = - 2 = ; f¢(x) = 0 í Û x=5 2 50 x 50x 2 ï 2 £ x £ 48 î · Cách 1: Bảng biến thiên: 2 2 æ 1 1 1ö æ 1 ö 9 ( ) 2 2 5 2 Ta có: P³ (x + y + z) + ç + + ÷ ³ 33 xyz + ç 33 = 9t + èx y zø ç xyz ÷÷ t è ø 2 æx+ y+zö 1 với t = (3 xyz)2 Þ 0 < t £ ç ÷ £ b2 + b + 50 è 3 ø 9 Chuyển về biểu thức f(b) = (2 ≤ b ≤ 48, b Î N) 50b 34 35
  19. Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức 49. (Đại học khối D 2005 dự bị 2) 2 2 1æ 2 A Aö 1 éæ A 1ö 1ù 1 1æ A 1ö 2 2 =– ç sin - sin ÷ = – êç sin - ÷ - ú = - ç sin - ÷ x 1+ y x 1+ y 2è 2 2ø 2 êè 2 2ø 4ú 8 2è 2 2ø Ta có: + ³2 . =x ë û 1+ y 4 1+ y 4 2 2 2 A B C 1 1æ 3 1ö 1 1 y 1+ z y 1+ z Do (3) suy ra: sin sin sin £ - ç - = - (4 - 2 3) + ³2 . =y 2 2 ç 2 2÷ 2 8 2è ÷ 8 8 1+ z 4 1+ z 4 ø z2 1+ x z2 1 + x 2 3-3 + ³2 . =z = 1+ x 4 1+ x 4 8 Cộng 3 bất đẳng thức trên, vế theo vế, ta có: ì B-C ïcos 2 = 1 ìA = 1200 ï ï æ x2 1+ y ö æ y 2 1+ z ö æ z 2 1+ x ö Dấu “=” xảy ra Û í Ûí ç + ÷+ç + ÷+ç + ÷ ³ x+y+z 0 ç 1+ y ÷ ç 1+ z 4 ø è ÷ ç 1+ x 4 ø è 4 ÷ ïsin A = 3 ïB = C = 30 î è ø ï î 2 2 x2 y2 z2 3 x+y+z 3(x + y + z) 3 42. (Đại học khối A 2005) Û + + ³- - +x+y+z ³ - 1 + y 1+ z 1 + x 4 4 4 4 Với a, b > 0 ta có: 3 3 9 3 3 2 1 a+b 1 1æ 1 1ö ³ .3 - = - = (vì x + y + z ³ 3 3 xyz = 3) 4ab £ (a + b) Û £ Û £ ç + ÷ 4 4 4 4 2 a + b 4ab a + b 4è a bø x2 y2 z2 3 Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b. Vậy: + + ³ . Áp dụng kết quả trên ta có: 1 + y 1+ z 1 + x 2 50. (Đại học khối A 2006) 1 1æ 1 1 ö 1 é 1 1 æ 1 1 öù 1æ 1 1 1ö £ ç + ÷ £ ê + ç + ÷ú = ç + + ÷ (1) · Cách 1: 2x+y+z 4 è 2x y + z ø 4 ë 2x 4 è y z ø û 8 è x 2y 2z ø 1 1 1 1 1 Tương tự: Từ giả thiết suy ra: + = 2 + 2 - . x y x y xy 1 1æ 1 1 ö 1 é 1 1 æ 1 1 öù 1æ 1 1 1ö £ ç + ÷ £ ê + ç + ÷ú = ç + + ÷ (2) 1 1 x + 2y + z 4 è 2y x + z ø 4 ë 2y 4 è x z ø û 8 è y 2z 2x ø 2 2 Đặt = a, = b, ta có: a + b = a + b – ab (1) x y 1 1æ 1 1 ö 1 é 1 1 æ 1 1 öù 1æ 1 1 1ö 3 3 2 2 2 £ ç + ÷ £ ê + ç + ÷ú = ç + + ÷ (3) A = a + b = (a + b)(a – ab + b ) = (a + b) x + y + 2z 4 è 2z x + y ø 4 ë 2z 4 è x y ø û 8 è z 2x 2y ø 2 Từ (1) suy ra: a + b = (a + b) – 3ab. 2 1 1 1 1æ 1 1 ö æ a + bö 3 2 Vậy: + + £ ç + + 1÷ = 1 Vì ab ≤ ç ÷ nên a + b ≥ (a + b) – 4 (a + b) 2 2x+y+z x + 2y + z x + y + 2z 4 è x yz ø è 2 ø Ta thấy trong các bất đẳng thức (1), (2), (3) thì dấu "=" xảy ra khi và chỉ 2 Þ (a + b) – 4(a + b) ≤ 0 Þ 0 ≤ a + b ≤ 4 khi 2 Suy ra: A = (a + b) ≤ 16 3 1 x = y = z. Vậy đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = . Với x = y = thì A = 16. Vậy giá trị lớn nhất của A là 16. 4 2 43. (Đại học khối B 2005) · Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương ta có: 2 Đặt S = x + y, P = xy với S – 4P ³ 0. Từ giả thiết Þ S, P ¹ 0. x x x x x x æ 12 ö æ 15 ö æ 12 ö æ 15 ö æ 12 ö æ 15 ö S2 ç 5 ÷ +ç 4 ÷ ³ 2 ç 5 ÷ .ç ÷ x Þ ç ÷ + ç ÷ ³ 2.3 (1) è 4 ø è 5 ø è 4 ø 2 Ta có: SP = S – 3P Û P = è ø è ø è ø S+ 3 Tương tự ta có: 1 1 x3 + y3 (x + y)(x2 + y2 - xy) (x + y)2 xy (x + y)2 x x x x A= 3 + 3 = 3 3 = 3 3 = 3 3 = 2 2 æ 12 ö æ 20 ö x æ 15 ö æ 20 ö x x y x y x y x y x y ç ÷ +ç ÷ ³ 2.4 (2) ç ÷ +ç ÷ ³ 2.5 (3) è 5 ø è 3 ø è 4 ø è 3 ø 40 37
  20. Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức Cộng các bất đẳng thức (1), (2), (3), chia 2 vế của bất đẳng thức nhận a + 3b + 1+ 1 1 3 (a + 3b).1.1 £ được cho 2 ta có đpcm. Ta có: = (a + 3b + 2) 3 3 Đẳng thức xảy ra Û (1), (2), (3) là các đẳng thức Û x = 0. 44. (Đại học khối D 2005) 3 (b + 3c).1.1 £ b + 3c + 1+ 1 = 1 (b + 3c + 2) Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số dương ta có: 3 3 3 (c + 3a).1.1 £ c + 3a + 1+ 1 = 1 (c + 3a + 2) 1+ x 3 + y 3 3 1 + x + y ³ 3 3 1.x3 .y3 = 3xy Û 3 3 3 3 ³ (1) xy xy 1 1é 3 ù Suy ra: 3 a + 3b + 3 b + 3c + 3 c + 3a £ [ 4(a + b + c) + 6] £ ê 4. + 6ú = 3 1 + y 3 + z3 3 1+ z3 + x3 3 3 3ë 4 û Tương tự: ³ (2); ³ (3) yz yz zx zx ì 3 ïa + b + c = 1 Dấu "=" xảy ra Û í 4 Ûa=b=c= 3 3 3 3 3 3 ïa + 3b = b + 3c = c + 3a=1 4 Mặt khác + + ³ 33 î xy yz zx xy yz zx · Cách 2: 3 3 3 Đặt x = 3 a + 3b Þ x = a + 3b; 3 y= 3 b + 3c Þ y = b + 3c; 3 Þ + + ³3 3 (4) xy yz zx z= 3 c + 3a Þ z = c + 3a 3 Cộng các bất đẳng thức (1), (2), (3), (4) ta có đpcm. 3 3 3 3 Đẳng thức xảy ra Û (1), (2), (3), (4) là các đẳng thức Û x = y = z = 1. Þ x + y + z = 4(a + b + c) = 4. = 3. BĐT cần ch. minh Û x + y + z £ 3 4 45. (Đại học khối A 2005 dự bị 1) 3 Ta có: x + 1 + 1 ³ 3 x3 .1.1 = 3x; y + 1 + 1 ³ 3 3 y3 .1.1 = 3y; 3 3 4 x 3+4 =1+1+1+4 ³4 4 x x Ta có: 3 z + 1 + 1 ³ 3 z3 .1.1 = 3z 3 x 4 x 8 x Þ 3+ 4 ³ 2 4 =2 4 3 3 3 Þ 9 ³ 3(x + y + z) (vì x + y + z = 3) y 8 y 8 Tương tự: 3+ 4 ³ 2 4 ; 3 + 4z ³ 2 4z Vậy x + y + z £ 3 ì x 3 = y 3 = z3 = 1 ìa + 3b = b + 3c = c + 3a=1 3 + 4x + 3 + 4y + 3 + 4z ³ 2 é 4x + 4y + 4z ù ³ 6 4x.4y.4z 8 8 8 38 Vậy ï ï ê ë ú û Dấu "=" xảy ra Û í Û í 3 3 24 ïa + b + c = ïa+b+c= 4 ³6 4x + y + z = 6 î 4 î 46. (Đại học khối A 2005 dự bị 2) 1 Ûa=b=c= x x x x3 4 Ta có: 1+x=1+ + + ³ 44 3 48. (Đại học khối B 2005 dự bị 2) 3 3 3 3 Ta có: 0 £ x £ 1 Þ x ³ x 2 y y y y y3 1 1 1+ =1+ + + ³ 44 3 3 x y -y x £ Û x y £ +y x (1) x 3x 3x 3x 3 x 4 4 2 9 3 3 3 33 æ 9 ö 36 1 1 1 1 1+ =1+ + + ³ 44 Þ ç 1+ ÷ ³ 164 3 Theo BĐT Côsi ta có: y x + ³ yx2 + ³ 2 yx2 . = x y Þ x y - y x £ y y y y ç y÷ y 4 4 4 4 y3 è ø ì 2 ï0 £ y £ x £ 1 ìx = 1 æ y öæ 9 ö x3 y3 36 Vậy: (1+ x ) ç 1+ ÷ ç 1+ ÷ ³ 256 4 3 . 3 3 . 3 = 256 ï Dấu "=" xảy ra Û í x = x2 Û ï è x øç è y÷ ø 3 3 x y í 1 ï 1 ïy = 4 î 47. (Đại học khối B 2005 dự bị 1) ï yx2 = · Cách 1: î 4 38 39
Đồng bộ tài khoản