Tuyển tập các đề thi đại học 2002 2012 theo các chủ đề

Chia sẻ: tuananhst2000

Tài liệu tham khảo Tuyển tập các đề thi đại học 2002 2012 theo các chủ đề toán học. chúc các bạn học và ôn thi tuyển sinh cao đẳng, đại học tốt

Bạn đang xem 20 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: Tuyển tập các đề thi đại học 2002 2012 theo các chủ đề

Nguy n Tu n Anh




Tuy n t p các đ thi đ i h c
2002-2012
theo ch đ




Trư ng THPT Sơn Tây
M cl c

1 Phương trình-B t PT-H PT-H BPT 3
1.1 Phương trình và b t phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 Phương trình, b t phương trình h u t và vô t . . . . . . . 3
1.1.2 Phương trình lư ng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.3 Phương trình,b t phương trình mũ và logarit . . . . . . . . 8
1.2 H Phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Phương pháp hàm s , bài toán ch a tham s . . . . . . . . . . . . 12
Đáp s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2 B t đ ng th c 17
2.1 B t đ ng th c . . . . . . .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Giá tr nh nh t- Giá tr l n nh t . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3 Nh n d ng tam giác . . . .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Đáp s . . . . . . . . . . . . . .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3 Hình h c gi i tích trong m t ph ng 22
3.1 Đư ng th ng . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2 Đư ng tròn . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.3 Cônic . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Đáp s . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4 T h p và s ph c 30
4.1 Bài toán đ m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.2 Công th c t h p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.3 Đ ng th c t h p khi khai tri n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.4 H s trong khai tri n nh th c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.5 S ph c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Đáp s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

5 Kh o sát hàm s 36
5.1 Ti p tuy n . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.2 C c tr . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.3 Tương giao đ th . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.4 Bài toán khác .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Đáp s . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

6 Hình h c gi i tích trong không gian 44
6.1 Đư ng th ng và m t ph ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
6.2 M t c u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
6.3 Phương pháp t a đ trong không gian . . . . . . . . . . . . . . . 51
Đáp s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

7 Tích phân và ng d ng 57
7.1 Tính các tích phân sau: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
7.2 Tính di n tích hình ph ng đư c gi i h n b i các đư ng sau: . . . . 59
7.3 Tính th tích kh i tròn xoay đư c t o b i hình ph ng (H) khi quay
quanh Ox. Bi t (H) đư c gi i h n b i các đư ng sau: . . . . . . . 59
Đáp S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Chương 1

Phương trình-B t PT-H PT-H
BPT


1.1 Phương trình và b t phương trình . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 Phương trình, b t phương trình h u t và vô t . . . . . 3
1.1.2 Phương trình lư ng giác . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.3 Phương trình,b t phương trình mũ và logarit . . . . . . 8
1.2 H Phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Phương pháp hàm s , bài toán ch a tham s . . . . . . . . 12
Đáp s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13




1.1 Phương trình và b t phương trình
1.1.1 Phương trình, b t phương trình h u t và vô t
Bài 1.1 (B-12). Gi i b t phương trình
√ √
x + 1 + x2 − 4x + 1 ≥ 3 x.
Bài 1.2 (B-11). Gi i phương trình sau:

√ √
3 2 + x − 6 2 − x + 4 4 − x2 = 10 − 3x (x ∈ R)
Chương 1.Phương trình-B t PT-H PT-H BPT 4

Bài 1.3 (D-02). Gi i b t phương trình sau:

(x2 − 3x) 2x2 − 3x − 2 ≥ 0.

Bài 1.4 (D-05). Gi i phương trình sau:
√ √
x + 2 + 2 x + 1 − x + 1 = 4.
2

Bài 1.5 (D-06). Gi i phương trình sau:

2x − 1 + x2 − 3x + 1 = 0. (x ∈ R)

Bài 1.6 (B-10). Gi i phương trình sau:
√ √
3x + 1 − 6 − x + 3x2 − 14x − 8 = 0.

Bài 1.7 (A-04). Gi i b t phương trình sau:

2(x2 − 16) √ 7−x
√ + x−3> √ .
x−3 x−3

Bài 1.8 (A-05). Gi i b t phương trình sau:
√ √ √
5x − 1 − x − 1 > 2x − 4.

Bài 1.9 (A-09). Gi i phương trình sau:
√ √
2 3 3x − 2 + 3 6 − 5x − 8 = 0.

Bài 1.10 (A-10). Gi i b t phương trình sau:

x− x
≥ 1.
2(x2 − x + 1)
1−

1.1.2 Phương trình lư ng giác

Bài 1.11 (D-12). Gi i phương trình sin 3x + cos 3x˘ sin x + cos x = 2 cos 2x
Bài 1.12 (B-12). Gi i phương trình
√ √
2(cos x + 3 sin x) cos x = cos x − 3 sin x + 1.
Chương 1.Phương trình-B t PT-H PT-H BPT 5

Bài 1.13 (A-12). Gi i phương trình sau:

3 sin 2x + cos 2x = 2 cos x − 1

Bài 1.14 (D-11). Gi i phương trình sau:
sin 2x + 2 cos x − sin x − 1
√ = 0.
tan x + 3
Bài 1.15 (B-11). Gi i phương trình sau:

sin 2x cos x + sin x cos x = cos 2x + sin x + cos x

Bài 1.16 (A-11). Gi i phương trình
1 + sin 2x + cos 2x √
= 2 sin x sin 2x.
1 + cot2 x
Bài 1.17 (D-02). Tìm x thu c đo n [0; 14] nghi m đúng c a phương trình:

cos 3x − 4 cos 2x + 3 cos x − 4 = 0.

Bài 1.18 (D-03). Gi i phương trình sau:
xπ x
sin2 ( − ) tan2 x − cos2 = 0.
2 4 2
Bài 1.19 (D-04). Gi i phương trình sau:

(2 cos x − 1)(2 sin x + cos x) = sin 2x − sin x.

Bài 1.20 (D-05). Gi i phương trình sau:
π π 3
cos4 x + sin4 x + cos (x − ) sin (3x − ) − = 0.
4 4 2
Bài 1.21 (D-06). Gi i phương trình sau:

cos 3x + cos 2x − cos x − 1 = 0.

Bài 1.22 (D-07). Gi i phương trình sau:
x2 √
x
(sin + cos ) + 3 cos x = 2.
2 2
Chương 1.Phương trình-B t PT-H PT-H BPT 6

Bài 1.23 (D-08). Gi i phương trình sau:

2 sin x(1 + cos 2x) + sin 2x = 1 + 2 cos x.

Bài 1.24 (D-09). Gi i phương trình sau:

3 cos 5x − 2 sin 3x cos 2x − sin x = 0.

Bài 1.25 (D-10). Gi i phương trình sau:

sin 2x − cos 2x + 3 sin x − cos x − 1 = 0.

Bài 1.26 (B-02). Gi i phương trình sau:

sin2 3x − cos2 4x = sin2 5x − cos2 6x.

Bài 1.27 (B-03). Gi i phương trình sau:
2
cot x − tan x + 4 sin 2x = .
sin 2x
Bài 1.28 (B-04). Gi i phương trình sau:

5 sin x − 2 = 3(1 − sin x) tan2 x.

Bài 1.29 (B-05). Gi i phương trình sau:

1 + sin x + cos x + sin 2x + cos 2x = 0.

Bài 1.30 (B-06). Gi i phương trình sau:
x
cot x + sin x(1 + tan x tan ) = 4.
2
Bài 1.31 (B-07). Gi i phương trình sau:

2 sin2 2x + sin 7x − 1 = sin x.

Bài 1.32 (B-08). Gi i phương trình sau:
√ √
sin3 x − 3 cos3 x = sin x cos2 x − 3 sin2 x cos x.

Bài 1.33 (B-09). Gi i phương trình sau:

sin x + cos x sin 2x + 3 cos 3x = 2(cos 4x + sin3 x).
Chương 1.Phương trình-B t PT-H PT-H BPT 7

Bài 1.34 (B-10). Gi i phương trình sau:

(sin 2x + cos 2x) cos x + 2 cos 2x − sin x = 0.

Bài 1.35 (A-02). Tìm ngi m thu c kho ng (0; 2π ) c a phương trình:

cos 3x + sin 3x
5 sin x + = cos 2x + 3.
1 + 2 sin 2x

Bài 1.36 (A-03). Gi i phương trình sau:
cos 2x 1
+ sin2 x − sin 2x.
cot x − 1 =
1 + tan x 2
Bài 1.37 (A-05). Gi i phương trình sau:

cos2 3x cos 2x − cos2 x = 0.

Bài 1.38 (A-06). Gi i phương trình sau:

2(cos6 x + sin6 x) − sin x cos x
√ = 0.
2 − 2 sin x
Bài 1.39 (A-07). Gi i phương trình sau:

(1 + sin2 x) cos x + (1 + cos2 x) sin x = 1 + sin 2x.

Bài 1.40 (A-08). Gi i phương trình sau:
1 1 7π
− x).
+ = 4 sin (

sin x 4
sin (x − )
2
Bài 1.41 (A-09). Gi i phương trình sau:

(1 − 2 sin x) cos x
= 3.
(1 + 2 sin x)(1 − sin x)

Bài 1.42 (A-10). Gi i phương trình sau:
π
(1 + sin x + cos 2x) sin (x + ) 1
4 = √ cos x.
1 + tan x 2
Chương 1.Phương trình-B t PT-H PT-H BPT 8

1.1.3 Phương trình,b t phương trình mũ và logarit
Bài 1.43 (D-11). Gi i phương trình sau:
√ √
log2 (8 − x2 ) + log 1 ( 1 + x + 1 − x) − 2 = 0 (x ∈ R)
2


Bài 1.44 (D-03). Gi i phương trình sau:
2 −x 2
− 22+x−x = 3.
2x

Bài 1.45 (D-06). Gi i phương trình sau:
2 +x 2 −x
2x − 4.2x − 22x + 4 = 0.

Bài 1.46 (D-07). Gi i phương trình sau:
1
log2 (4x + 15.2x + 27) + 2 log2 ( ) = 0.
4.2x − 3
Bài 1.47 (D-08). Gi i b t phương trình sau:

x2 − 3x + 2
≥ 0.
log 1
x
2


Bài 1.48 (D-10). Gi i phương trình sau:
√ √
3 3 +4x−4
42x+ x+2
+ 2x = 42+ x+2
+ 2x (x ∈ R)

Bài 1.49 (B-02). Gi i b t phương trình sau:

logx (log3 (9x − 72)) ≤ 1.

Bài 1.50 (B-05). Ch ng minh r ng v i m i x ∈ R, ta có:
12 x 15 x 20 x
) + ( ) + ( ) ≥ 3x + 4x + 5x .
(
5 4 3
Khi nào đ ng th c s y ra?

Bài 1.51 (B-06). Gi i b t phương trình sau:

log5 (4x + 144) − 4 log2 5 < 1 + log5 (2x−2 + 1).
Chương 1.Phương trình-B t PT-H PT-H BPT 9

Bài 1.52 (B-07). Gi i phương trình sau:
√ √ √
( 2 − 1)x + ( 2 + 1)x − 2 2 = 0.

Bài 1.53 (B-08). Gi i b t phương trình sau:

x2 + x
log0,7 (log6 ( )) < 0.
x+4
Bài 1.54 (A-06). Gi i phương trình sau:

3.8x + 4.12x − 18x − 2.27x = 0.

Bài 1.55 (A-07). Gi i b t phương trình sau:

2 log3 (4x − 3) + log 1 (2x + 3) ≤ 2.
3


Bài 1.56 (A-08). Gi i phương trình sau:

log2x−1 (2x2 + x − 1) + logx+1 (2x − 1)2 = 4.


1.2 H Phương trình
Bài 1.57 (D-12). Gi i h phương trình

xy + x − 2 = 0
(x; y ∈ R)
;
2x3 − x2 y + x2 + y 2 − 2xy − y = 0

Bài 1.58 (A-12). Gi i h phương trình

x3 − 3x2 − 9x + 22 = y 3 + 3y 2 − 9y
(x, y ∈ R).
1
x2 + y 2 − x + y =
2
Bài 1.59 (A-11). Gi i h phương trình:

5x2 y − 4xy 2 + 3y 3 − 2(x + y ) = 0
(x, y ∈ R)
xy (x2 + y 2 ) + 2 = (x + y )2
Chương 1.Phương trình-B t PT-H PT-H BPT 10

Bài 1.60 (D-02). Gi i h phương trình sau:

23x = 5y 2 − 4y
x x+1
4 + 2 = y.
2x + 2
Bài 1.61 (D-08). Gi i h phương trình sau:
xy + x + y = x2 − 2y 2

√ (x, y ∈ R).
x 2y − y x − 1 = 2x − 2y
Bài 1.62 (D-09). Gi i h phương trình sau:
x(x + y + 1) − 3 = 0
(x, y ∈ R).
5
(x + y )2 − 2 + 1 = 0
x
Bài 1.63 (D-10). Gi i h phương trình sau:
x2 − 4x + y + 2 = 0
(x, y ∈ R).
2 log2 (x − 2) − log√2 y = 0
Bài 1.64 (B-02). Gi i h phương trình sau:
√ √
x−y = x−y
3

x + y = x + y + 2.
Bài 1.65 (B-03). Gi i h phương trình sau:
2
 3y = y + 2


x2


2
 3x = x + 2 .



y2
Bài 1.66 (B-05). Gi i h phương trình sau:
√ √
x−1+ 2−y =1
3 log9 (9x2 ) − log3 y 3 = 3.
Bài 1.67 (B-08). Gi i h phương trình sau:
x4 + 2x3 y + x2 y 2 = 2x + 9
(x, y ∈ R).
x2 + 2xy = 6x + 6
Chương 1.Phương trình-B t PT-H PT-H BPT 11

Bài 1.68 (B-09). Gi i h phương trình sau:

xy + x + 1 = 7y
(x, y ∈ R).
x2 y 2 + xy + 1 = 13y 2

Bài 1.69 (B-10). Gi i h phương trình sau:

log2 (3y − 1) = x
4x + 2x = 3y 2 .

Bài 1.70 (A-03). Gi i h phương trình sau:

1 1
x− =y−

x y
 2y = x3 + 1.

Bài 1.71 (A-04). Gi i h phương trình sau:

1
log 1 (y − x) − log4 = 1

y
4
 x2 + y 2 = 25.

Bài 1.72 (A-06). Gi i h phương trình sau:

√+ y − √ = 3
x xy
x + 1 + y + 1 = 4.

Bài 1.73 (A-08). Gi i h phương trình sau:

 x + y + x3 y + xy 2 + xy = − 5
2
4
 x4 + y 2 + xy (1 + 2x) = − 5 .

4
Bài 1.74 (A-09). Gi i h phương trình sau:

log2 (x2 + y 2 ) = 1 + log2 (xy )
2 2
3x −xy+y = 81.

Bài 1.75 (A-10). Gi i h phương trình sau:

(4x2 + 1)x +√y − 3) 5 − 2y = 0
(
4x2 + y 2 + 2 3 − 4x = 7.
Chương 1.Phương trình-B t PT-H PT-H BPT 12

1.3 Phương pháp hàm s , bài toán ch a tham s
Bài 1.76 (D-11). Tìm m đ h phương trình sau có nghi m

2x3 − (y + 2)x2 + xy = m
(x, y ∈ R)
x2 + x − y = 1 − 2m

Bài 1.77 (D-04). Tìm m đ h phương trình sau có nghi m:
√ √
√+ y =1
x

x x + y y = 1 − 3m.

Bài 1.78 (D-04). Ch ng minh r ng phương trình sau có đúng m t nghi m:

x5 − x2 − 2x − 1 = 0.

Bài 1.79 (D-06). Ch ng minh r ng v i m i a > 0, h phương trình sau có nghi m
duy nh t:
ex − ey = ln (1 + x) − ln (1 + y )
y − x = a.

Bài 1.80 (D-07). Tìm giá tr c a tham s m đ phương trình sau có nghi m th c:

 x+ 1 +y+ 1 =5


x y
 x3 + 1 + y 3 + 1 = 15m − 10.

x3 y3

Bài 1.81 (B-04). Xác đ nh m đ phương trình sau có nghi m
√ √
√ √ √
1 + x2 − 1 − x2 = 2 1 − x4 + 1 + x2 − 1 − x2 .
m

Bài 1.82 (B-06). Tìm m đ phương trình sau có hai nghi m th c phân bi t:

x2 + mx + 2 = 2x + 1.

Bài 1.83 (B-07). Ch ng minh r ng v i m i giá tr dương c a tham s m, phương
trình sau có hai nghi m th c phân bi t:

x2 + 2 x − 8 = m(x − 2).
Chương 1.Phương trình-B t PT-H PT-H BPT 13

Bài 1.84 (A-02). Cho phương trình:

log2 x + log2 x + 1 − 2m − 1 = 0 (m là tham s ).
3 3

1. Gi i phương trình khi m = 2. √
2. Tìm m đ phương trình có ít nh t m t nghi m thu c đo n [1; 3 3 ].

Bài 1.85 (A-07). Tìm m đ phương trình sau có nghi m th c:


√ 4
3 x − 1 + m x + 1 = 2 x2 − 1.

Bài 1.86 (A-08). Tìm các giá tr c a tham s m đ phương trình sau có đúng hai
nghi m th c phân bi t:
√ √ √ √
4
2x + 2x + 2 4 6 − x + 2 6 − x = m (m ∈ R).


Đáp s
1
0≤x≤ 1.9 x = −2
4
1.1
x≥4 √
3− 5
1.10 x = 2
6
1.2 x = π
5
x = − 12 + k 2π
1.11
x = 7π + k 2π
12
x ≤ −1

2
1.3  x = 2 x = ± 23 + k 2π
π
1.12
x≥3 x = k 2π

x = π + kπ

1.4 x = 3 2
1.13  x = k 2π

x = 23 + k 2π
π
1.5 x = 1 ∨ x = 2 − 2
π
1.14 x = + k 2π
3
1.6 x = 5
1
1.15 cos x = −1; cos x =
√ 2
1.7 x > 10 − 34
π
x= + kπ
2
1.16 π
x= + k 2π
1.8 2 ≤ x < 10 4
Chương 1.Phương trình-B t PT-H PT-H BPT 14
π
1.17 x = π ; x = 3π 5π 7π x= + kπ
; x= ; x= (k ∈ Z)
12
1.30
2 2 2 2 5π
x= + kπ
12
x = π + k 2π
1.31 x = π + k π
π (k ∈ Z)
1.18
x = − + kπ 8 4
x = 18 + k 23
π π
4
x = 5π + k 23π
18
x = ± π + k 2π
(k ∈ Z)
3
1.19
x = − π + kπ x = π + kπ
4
(k ∈ Z)
4 2
1.32
x = − π + kπ
3
π
(k ∈ Z)
1.20 x = + kπ
4 x = − π + k 2π
(k ∈ Z)
6
1.33
x = 42 + k 27
π π
x = kπ
(k ∈ Z)

1.21
x=± + k 2π π
+ kπ (k ∈ Z)
1.34 x =
3 4 2

π
x = π + k 2π x= 3
1.35
(k ∈ Z)
2
1.22 5π
x = − π + k 2π x= 3
6

π
(k ∈ Z)
1.36 x = + kπ
x = ± 23 + k 2π
π
4
(k ∈ Z)
1.23 π
x = 4 + kπ
1.37 x = k π (k ∈ Z)
2
x = 18 + k π
π
(k ∈ Z)
3
1.24 5π
(k ∈ Z)
1.38 x = + k 2π
x = −π + k π 4
6 2

1.39 x = − π + kπ
π
x= + k 2π 4
(k ∈ Z) x = π + k 2π
6
1.25 5π
x= + k 2π 2
6
x = k 2π

x=
1.40 x = − π + kπ
(k ∈ Z)
9
1.26 kπ 4
x=
x = − π + kπ
2
8
x = 58 + kπ
π
1.27 x = ± π + kπ (k ∈ Z)
3

1.41 x = − 18 + k 23
π π
(k ∈ Z)
π
x= + k 2π
(k ∈ Z)
6
1.28 5π
x= + k 2π
x = − π + k 2π
6
(k ∈ Z)
6
1.42
x = 76 + k 2π
π
− π + kπ
x=
(k ∈ Z)
4
1.29
± 23 + k 2π
π
x= 1.43 x = 0
Chương 1.Phương trình-B t PT-H PT-H BPT 15

x = −1 x=0 x=2
1.44 ∨
1.60
x=2 y=1 y=4

1.45 x = 0 ∨ x = 1 1.61 (x; y ) = (5; 2)

3
1.46 x = log2 3 1.62 (x; y ) = (1; 1); (2; − )
2
√ √
1.47 S = [2 − 2; 1) ∪ (2; 2 + 2] 1.63 (x; y ) = (3; 1)

1.64 (x; y ) = (1; 1); ( 3 ; 1 )
1.48 x = 1 ∨ x = 2 22

1.65 x = y = 1
1.49 log9 73 < x ≤ 2
1.66 (x; y ) = (1; 1); (2; 2)
1.50 x = 0
1.67 (x; y ) = (−4; 17 )
4
1.51 2 < x < 4
1
1.68 (x; y ) = (1; 3 ); (3; 1)
1.52 x = 1 ∨ x = −1
1.69 (x; y ) = (−1; 1 )
2
1.53 S = (−4; −3) ∪ (8; +∞) √ √
1.70 √x; y ) = (1; 1); ( −1+ 5 −1+ 5
( ;2)
2

−1− 5 −1− 5
(2;2)
1.54 x = 1
1.71 (x; y ) = (3; 4)
3
0. Ch ng minh r ng : ≤
2+a
2
a
1
b
2+ b .
2
Bài 2.5 (D-05). Cho các s dương x, y , z th a mãn xyz = 1. Ch ng minh r ng

1 + z 3 + x3
1 + x3 + y 3 1 + y3 + z3
≥ 3 3.
+ +
xy yz zx
Khi nào đ ng th c x y ra?


2.2 Giá tr nh nh t- Giá tr l n nh t
Bài 2.6 (D-12). Cho các s th c x, y th a mãn (x˘4)2 + (y ˘4)2 + 2xy ≤ 32. Tìm
giá tr nh nh t c a bi u th c A = x3 + y 3 + 3(xy ˘1)(x + y ˘2).
Bài 2.7 (B-12). Cho các s th c x, y, z th a mãn các đi u ki n x + y + z = 0 và

x2 + y 2 + z 2 = 1.

Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c

P = x5 + y 5 + z 5 .

Bài 2.8 (A-12). Cho các s th c x, y, z th a mãn đi u ki n x + y + z = 0. Tìm
giá tr nh nh t c a bi u th c

P = 3|x−y| + 3|y−z| + 3|z−x| − 6x2 + 6y 2 + 6z 2

Bài 2.9 (B-11). Cho a và b là các s th c dương th a mãn
2(a2 + b2 ) + ab = (a + b)(ab + 2). Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c
a3 b 3 a2 b 2
P= 4 3 + 3 − 9 2 + 2 .
b a b a
Bài 2.10 (A-11). Cho x, y, z là ba s th c thu c đo n [1; 4] và x ≥ y, x ≥ z . Tìm
giá tr nh nh t c a bi u th c
x y z
P= + +
2x + 3y y + z z + x
.
Chương 2.B t đ ng th c 19

Bài 2.11 (D-11). Tìm giá tr nh nh t và giá tr l n nh t c a hàm s y =
2x2 + 3x + 3
trên đo n [0; 2].
x+1
Bài 2.12 (A-07). Cho x, y, z là các s th c dương thay đ i và th a mãn đi u ki n
xyz = 1. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c:

x2 ( y + z ) y 2 (z + x) z 2 (x + y )
√+√ √+√
P= √ √.
y y + 2z z z z + 2x x x x + 2y y

Bài 2.13 (A-06). Cho hai s th c x = 0, y = 0 thay đ i và th a mãn đi u ki n:

(x + y )xy = x2 + y 2 − xy.

Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c
1 1
A= + 3.
3
x y

Bài 2.14 (B-10). Cho các s th c không âm a, b, c th a mãn a + b + c = 1. Tìm
giá tr nh nh t c a bi u th c

M = 3(a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 ) + 3(ab + bc + ca) + 2 a2 + b2 + c2 .

Bài 2.15 (B-09). Cho các s th c x, y thay đ i và th a mãm (x + y )3 + 4xy ≥ 2.
Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c

A = 3(x4 + y 4 + x2 y 2 ) − 2(x2 + y 2 ) + 1.

Bài 2.16 (B-08). Cho hai s th c x, y thay đ i và th a mãn h th c x2 + y 2 = 1.
Tìm giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a bi u th c

2(x2 + 6xy )
P= .
1 + 2xy + 2y 2

Bài 2.17 (B-07). Cho x, y, z là ba s th c dương thay đ i. Tìm giá tr nh nh t
c a bi u th c:
x 1 y 1 z 1
P =x + +y + +z + .
2 yz 2 zx 2 xy
Chương 2.B t đ ng th c 20

Bài 2.18 (B-06). Cho x, y là các s th c thay đ i. Tìm giá tr nh nh t c a bi u
th c:
A = (x − 1)2 + y 2 + (x + 1)2 + y 2 + |y − 2|.

Bài 2.19 √
(B-03). Tìm giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a hàm s
y = x + 4 − x2 .

Bài 2.20 (D-10). Tìm giá tr nh nh t c a hàm s
√ √
y = −x2 + 4x + 21 − −x2 + 3x + 10.

Bài 2.21 (D-09). Cho các s th c không âm x, y thay đ i và th a mãn x + y = 1.
Tìm giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a bi u th c

S = (4x2 + 3y )(4y 2 + 3x) + 25xy.

Bài 2.22 (D-08). Cho x, y là hai s th c không âm thay đ i. Tìm giá tr l n nh t
và giá tr nh nh t c a bi u th c

(x − y )(1 − xy )
P= .
(1 + x)2 (1 + y )2

Bài 2.23 (D-03). Tìm giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a hàm s y=
x+1
√ trên đo n [−1; 2].
x2 + 1


2.3 Nh n d ng tam giác
Bài 2.24 (A-04). Cho tam giác ABC không tù th a mãn đi u ki n
√ √
cos 2A + 2 2 cos B + 2 2 cos C = 3.

Tính ba góc c a tam giác ABC .


Đáp s
Chương 2.B t đ ng th c 21


17−5 5
2.13 Amax = 16 2.20 ymin = 2
2.6 Amin = 4

√ 2.14 Mmin = 2
56 25
2.21 Smax = ; Smin =
2.7 P = 2
9
36 191
2.15 Amin = 16
16
2.8 Pmin = 3
2.16 Pmax = 3; Pmin = 2.22 P =
min
−6
2.9 min P = − 23 − 1 ; Pmax = 4
1
4 4
9
2.17 Pmin =
2.10 Pmin = 34 √
2
33
2.23 ymax = 2; ymin =

0
2.11 GTLN là 17 ;GTNN 2.18 Amin = 2 + 3
3

là 3
2.19 max y = 2 2
2.24 A = 90o ; B = C =
[−2;2]
min y = −2
2.12 Pmin = 2 45o
[−2;2]
Chương 3

Hình h c gi i tích trong m t ph ng


3.1 Đư ng th ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2 Đư ng tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.3 Cônic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Đáp s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27




3.1 Đư ng th ng
Bài 3.1 (D-12). Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy, cho hình ch nh t ABCD.
Các đư ng th ng AC và AD l n lư t có phương trình là x +3y = 0 và x˘y +4 = 0;
đư ng th ng BD đi qua đi m M (− 1 ; 1). Tìm t a đ các đ nh c a hình ch nh t
3
ABCD.

Bài 3.2 (A-12). Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy, cho hình vuông ABCD. G i
M là trung đi m c a c nh BC, N là đi m trên c nh CD sao cho CN = 2ND. Gi s
M 121 ; 1 và đư ng th ng AN có phương trình 2x − y − 3 = 0. Tìm t a đ đi m
2
A.

Bài 3.3 (D-11). Trong m t ph ng t a đ Oxy, cho tam giác ABC có đ nh B (−4; 1),
tr ng tâm G(1; 1) và đư ng th ng ch a phân giác trong c a góc A có phương trình
x − y − 1 = 0. Tìm t a đ các đ nh A và C.
Chương 3.Hình h c gi i tích trong m t ph ng 23

Bài 3.4 (B-11). Trong m t ph ng to đ Oxy, cho hai đư ng th ng ∆ : x − y − 4 =
0 và d : 2x − y − 2 = 0. Tìm t a đ đi m N thu c đư ng th ng d sao cho đư ng
th ng ON c t đư ng th ng ∆ t i đi m M th a mãn OM.ON = 8.
Bài 3.5 (A-10). Trong m t ph ng v i h t a đ Đêcac vuông góc Oxy, cho tam
giác ABC cân t i A có đ nh A(6;6), đư ng th ng đi qua trung đi m c a các c nh
AB và AC có phương trình x + y − 4 = 0. Tìm t a đ các đ nh B và C, bi t đi m
E(1;-3) n m trên đư ng cao đi qua đ nh C c a tam giác đã cho.
Bài 3.6 (A-09). Trong m t ph ng v i h t a đ Đêcac vuông góc Oxy, cho hình
ch nh t ABCD có đi m I(6;2) là giao đi m c a hai đư ng chéo AC và BD. Đi m
M(1;5) thu c đư ng th ng AB và trung đi m E c a c nh CD thu c đư ng th ng
∆ : x + y − 5 = 0. Vi t phương trình đư ng th ng AB.
Bài 3.7 (A-06). Trong m t ph ng v i h t a đ Đêcac vuông góc Oxy, cho các
đư ng th ng :

d2 : x − y − 4 = 0, d3 : x − 2y = 0.
d1 : x + y + 3 = 0,

Tìm t a đ đi m M n m trên đư ng th ng d3 sao cho kho ng cách t M đ n đư ng
th ng d1 b ng hai l n kho ng cách t M đ n đư ng th ng d2 .
Bài 3.8 (A-05). Trong m t ph ng v i h t a đ Đêcac vuông góc Oxy, cho hai
đư ng th ng :
d1 : x − y = 0 và d2 : 2x + y − 1 = 0.
Tìm t a đ các đ nh c a hình vuông ABCD bi t r ng đ nh A thu c d1 , đ nh C
thu c d2 và các đ nh B, D thu c tr c hoành.
Bài 3.9 (A-04). Trong m t ph ng v i h t a đ Đêcac vuông góc Oxy, cho hai

đi m A(0;2) và B(− 3; −1). Tìm t a đ tr c tâm và t a đ tâm đư ng tròn ngo i
ti p c a tam giác OAB.
Bài 3.10 (A-02). Trong m t ph ng v i h t a đ Đêcac √ vuông góc Oxy, xét tam

giác ABC vuông t i A, phương trình đư ng th ng BC là 3x − y − 3 = 0, các
đ nh A và B thu c tr c hoành và bán kính đư ng tròn n i ti p b ng 2. Tìm t a đ
tr ng tâm G c a tam giác ABC.
Bài 3.11 (B-10). Trong m t ph ng v i h t a đ Đêcac vuông góc Oxy, cho tam
giác ABC vuông t i A, có đ nh C(-4;1), phân giác trong góc A có phương trình
x + y − 5 = 0. Vi t phương trình đư ng th ng BC, bi t di n tích tam giác ABC
b ng 24 và đ nh A có hoành đ dương.
Chương 3.Hình h c gi i tích trong m t ph ng 24

Bài 3.12 (B-09). Trong m t ph ng v i h t a đ Đêcac vuông góc Oxy, cho tam
giác ABC cân t i A có đ nh A(-1;4) và các đ nh B, C thu c đư ng th ng ∆ :
x − y − 4 = 0. Xác đ nh t a đ các đi m B và C, bi t r ng di n tích tam giác ABC
b ng 18.
Bài 3.13 (B-08). Trong m t ph ng v i h t a đ Đêcac vuông góc Oxy, hãy xác
đ nh t a đ đ nh C c a tam giác ABC bi t r ng hình chi u vuông góc c a C trên
đư ng th ng AB là đi m H(-1;-1), đư ng phân giác trong c a góc A có phương
trình x − y + 2 = 0 và đư ng cao k t B có phương trình 4x + 3y − 1 = 0.
Bài 3.14 (B-07). Trong m t ph ng v i h t a đ Đêcac vuông góc Oxy, cho đi m
A(2;2) và các đư ng th ng :
d1 : x + y − 2 = 0 , d2 : x + y − 8 = 0.
Tìm t a đ đi m B và C l n lư t thu c d1 và d2 sao cho tam giác ABC vuông cân
t i A.
Bài 3.15 (B-04). Trong m t ph ng v i h t a đ Đêcac vuông góc Oxy, cho hai
đi m A(1;1), B(4;-3). Tìm đi m C thu c đư ng th ng x − 2y − 1 = 0 sao cho
kho ng cách t C đ n đư ng th ng AB b ng 6.
Bài 3.16 (B-03). Trong m t ph ng v i h t a đ Đêcac vuông góc Oxy, cho tam
giác ABC có AB=AC, B AC = 90o . Bi t M(1;-1) là trung đi m c nh BC và
2
G( ; 0) là tr ng tâm tam giác ABC. Tìm t a đ các đ nh A, B, C.
3
Bài 3.17 (B-02). Trong m t ph ng v i h t a đ Đêcac vuông góc Oxy, cho hình
1
ch nh t ABCD có tâm I( ; 0), phương trình đư ng th ng AB là x − 2y + 2 = 0
2
và AB=2AD. Tìm t a đ các đ nh A, B, C, D bi t r ng đ nh A có hoành đ âm.
Bài 3.18 (D-10). Trong m t ph ng v i h t a đ Đêcac vuông góc Oxy, cho đi m
A(0;2) và ∆ là đư ng th ng đi qua O. G i H là hình chi u vuông góc c a A trên
∆. Vi t phương trình đư ng th ng ∆, bi t r ng kho ng cách t H đ n tr c hoành
b ng AH.
Bài 3.19 (D-09). Trong m t ph ng v i h t a đ Đêcac vuông góc Oxy, cho tam
giác ABC có M(2;0) là trung đi m c a c nh AB. Đư ng trung tuy n và đư ng cao
đi qua đ nh A l n lư t có phương trình là 7x − 2y − 3 = 0 và 6x − y − 4 = 0. Vi t
phương trình đư ng th ng AC.
Bài 3.20 (D-04). Trong m t ph ng v i h t a đ Đêcac vuông góc Oxy, cho tam
giác ABC có các đ nh A(-1;0); B(4;0); C(0;m) v i m = 0. Tìm t a đ tr ng tâm
G c a tam giác ABC theo m. Xác đ nh m đ tam giác GAB vuông t i G.
Chương 3.Hình h c gi i tích trong m t ph ng 25

3.2 Đư ng tròn
Bài 3.21 (D-12). Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy, cho đư ng th ng d : 2x˘y +
3 = 0. Vi t phương trình đư ng tròn có tâm thu c d, c t tr c Ox t i A và B, c t
tr c Oy t i C và D sao cho AB = CD = 2.
Bài 3.22 (B-12). Trong m t ph ng có h t a đ Oxy, cho các đư ng tròn (C 1) :
x2 + y 2 =, (C 2) : x2 + y 2 − 12x + 18 = 0 và đư ng th ng d : x − y − 4 = 0.
Vi t phương trình đư ng tròn có tâm thu c (C2), ti p xúc v i d và c t (C1) t i hai
đi m phân bi t A và B sao cho AB vuông góc v i d.
Bài 3.23 (D-11). Trong m t ph ng t a đ Oxy, cho đi m A(1; 0) và đư ng tròn
(C ) : x2 + y 2 − 2x + 4y − 5 = 0. Vi t phương trình đư ng th ng ∆ c t (C) t i
đi m M và N sao cho tam giác AMN vuông cân t i A.
Bài 3.24 (B-11). Trong m t ph ng t a đ Oxy, cho tam giác ABC có đ nh B ( 1 ; 1).
2
Đư ng tròn n i ti p tam giác ABC ti p xúc v i các c nh BC, CA, AB tương ng
t i các đi m D, E, F. Cho D(3; 1) và đư ng th ng EF có phương trình y − 3 = 0.
Tìm t a đ đ nh A, bi t A có tung đ dương.
Bài 3.25 (A-11). Trong m t ph ng t a đ Oxy, cho đư ng th ng ∆ : x + y + 2 = 0
và đư ng tròn (C ) : x2 + y 2 − 4x − 2y = 0. G i I là tâm c a (C ), M là đi m thu c
∆. Qua M k các ti p tuy n MA và MB đ n (C ) (A và B là các ti p đi m). Tìm
t a đ đi m M, bi t t giác MAIB có di n tích b ng 10.
Bài 3.26 (A-10). √Trong m t ph ng v i √ t a đ Đêcac vuông góc Oxy, cho hai
h
đư ng th ng d1 : 3x + y = 0 và d2 : 3x − y = 0. G i (T) là đư ng tròn ti p
xúc v i d1 t i A, c t d2 t i hai đi m B và C sao cho tam giác ABC vuông t i B.

3
Vi t phương trình c a (T), bi t r ng tam giác ABC có di n tích b ng và đi m
2
A có hoành đ dương.
Bài 3.27 (A-09). Trong m t ph ng v i h t a đ Đêcac vuông góc Oxy, cho đư ng
tròn (C) : x2 + y 2 + 4x + 4y + 6 = 0 và đư ng th ng ∆ : x + my − 2m + 3 = 0,
v i m là tham s th c. G i I là tâm c a đư ng tròn (C). Tìm m đ ∆ c t (C) t i
hai đi m phân bi t A và B sao cho di n tích tam giác IAB l n nh t.
Bài 3.28 (A-07). Trong m t ph ng v i h t a đ Đêcac vuông góc Oxy, cho tam
giác ABC có A(0;2), B(-2;-2), và C(4;-2). G i H là chân đư ng cao k t B; M và
N l n lư t là trung đi m c a các c nh AB và BC. Vi t phương trình đư ng tròn đi
qua các đi m H, M, N.
Chương 3.Hình h c gi i tích trong m t ph ng 26

Bài 3.29 (B-09). Trong m t ph ng v i h t a đ Đêcac vuông góc Oxy, cho đư ng
4
tròn (C): (x − 2)2 + y 2 = và hai đư ng th ng ∆1 : x − y = 0, ∆2 : x − 7y = 0.
5
Xác đ nh t a đ tâm K và bán kính c a đư ng tròn (C1 ); bi t đư ng tròn (C1 ) ti p
xúc v i các đư ng th ng ∆1 , ∆2 và tâm K thu c đư ng tròn (C).
Bài 3.30 (B-06). Trong m t ph ng v i h t a đ Đêcac vuông góc Oxy, cho đư ng
tròn (C): x2 + y 2 − 2x − 6y + 6 = 0 và đi m M(-3;1). G i T1 và T2 là các ti p
đi m c a các ti p tuy n k t M đ n (C). Vi t phương trình đư ng th ng T1 T2 .
Bài 3.31 (B-05). Trong m t ph ng v i h t a đ Đêcac vuông góc Oxy, cho hai
đi m A(2;0) và B(6;4). Vi t phương trình đư ng tròn (C) ti p xúc v i tr c hoành
t i đi m A và kho ng cách t tâm c a (C) đ n đi m B b ng 5.
Bài 3.32 (D-10). Trong m t ph ng v i h t a đ Đêcac vuông góc Oxy, cho tam
giác ABC có đ nh A(3;-7), tr c tâm là H(3;-1), tâm đư ng tròn ngo i ti p là I(-
2;0). Xác đ nh t a đ đ nh C, bi t C có hoành đ dương.
Bài 3.33 (D-09). Trong m t ph ng v i h t a đ Đêcac vuông góc Oxy, cho đư ng
tròn (C): (x − 1)2 + y 2 = 1. G i I là tâm c a (C). Xác đ nh t a đ đi m M thu c
(C) sao cho I M O = 30o .
Bài 3.34 (D-07). Trong m t ph ng v i h t a đ Đêcac vuông góc Oxy, cho đư ng
tròn (C): (x − 1)2 + (y + 2)2 = 9 và đư ng th ng d: 3x − 4y + m = 0.
Tìm m đ trên d có duy nh t m t đi m P mà t đó có th k đư c hai ti p tuy n
PA, PB t i (C) (A, B là các ti p đi m) sao cho tam giác PAB đ u.
Bài 3.35 (D-06). Trong m t ph ng v i h t a đ Đêcac vuông góc Oxy, cho đư ng
tròn (C): x2 + y 2 − 2x − 2y + 1 = 0 và đư ng th ng d: x − y + 3 = 0. Tìm t a
đ đi m M n m trên d sao cho đư ng tròn tâm M, có bán kính g p đôi bán kính
đư ng tròn (C), ti p x c ngoài v i đư ng tròn (C).
Bài 3.36 (D-03). Trong m t ph ng v i h t a đ Đêcac vuông góc Oxy, cho đư ng
tròn (C): (x − 1)2 + (y − 2)2 = 4 và đư ng th ng d: x − y − 1 = 0.
1. Vi t phương trình đư ng tròn (C’) đ i x ng v i đư ng tròn (C) qua đư ng th ng
d.
2. Tìm t a đ các giao đi m c a (C) và (C’).


3.3 Cônic
Bài 3.37 (B-12). Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy, cho hình thoi ABCD có
AC = 2BD và đư ng tròn ti p xúc v i các c nh c a hình thoi có phương trình
Chương 3.Hình h c gi i tích trong m t ph ng 27

x2 + y 2 = 4. Vi t phương trình chính t c c a elip (E) đi qua các đ nh A, B, C, D
c a hình thoi. Bi t A thu c Ox.
Bài 3.38 (A-12). Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy, cho đư ng tròn
(C) : x2 + y 2 = 8. Vi t phương trình chính t c elip (E), bi t r ng (E) có đ dài tr c
l n b ng 8 và (E) c t (C) t i b n đi m t o thành b n đ nh c a m t hình vuông.
x2 y2
Bài 3.39 (A-11). Trong m t ph ng t a đ Oxy, cho elip (E) : + = 1. Tìm
4 1
t a đ các đi m A và B thu c (E), có hoành đ dương sao cho tam giác OAB cân
t i O và có di n tích l n nh t.
Bài 3.40 (A-08). Trong m t ph ng v i h t a đ Đêcac vuông góc Oxy, hãy vi t

5
phương trình chính t c c a elip (E) bi t r ng (E) có tâm sai b ng và hình ch
3
nh t cơ s c a (E) có chu vi b ng 20.
Bài 3.41 (B-10). Trong m t ph ng v i h t a đ Đêcac vuông góc Oxy, cho đi m
√ x2 y 2
A(2; 3) và elip (E): + = 1. G i F1 và F2 là các tiêu đi m c a (E) (F1 có
3 2
hoành đ âm), M là giao đi m có tung đ dương c a đư ng th ng AF1 v i (E), N
là đi m đ i x ng c a F2 qua M. Vi t phương trình đư ng tròn ngo i ti p tam giác
AN F2 .
Bài 3.42 (D-08). Trong m t ph ng v i h t a đ Đêcac vuông góc Oxy, cho
parabol (P): y 2 = 16x và đi m A(1;4). Hai đi m phân bi t B,C (B và C khác
A) di đ ng trên (P) sao cho góc B AC = 90o . Ch ng minh r ng đư ng th ng BC
luôn đi qua m t đi m c đ nh.
Bài 3.43 (D-02). Trong m t ph ng v i h t a đ Đêcac vuông góc Oxy, cho elip
x2 y 2
+ = 1. Xét đi m M chuy n đ ng trên tia Ox và đi m N
(E) có phương trình
16 9
chuy n đ ng trên tia Oy sao cho đư ng th ng MN luôn ti p xúc v i (E). Xác đ nh
t a đ c a M, N đ đo n MN có đ dài nh nh t. Tính giá tr nh nh t đó.
Bài 3.44 (D-05). Trong m t ph ng v i h t a đ Đêcac vuông góc Oxy, cho đi m
x2 y2
+ = 1. Tìm t a đ các đi m A, B thu c (E), bi t r ng
C(2;0) và elíp (E):
4 1
A, B đ i x ng v i nhau qua tr c hoành và tam giác ABC là tam giác đ u.


Đáp s
Chương 3.Hình h c gi i tích trong m t ph ng 28

3.1 A(−3; 1); D(−1; 3).B (1; −3).C (3; −3.17 A(−2; 0), B (2; 2), C (3; 0), D(−1; −2)
1)
√ √
3.2 A(1; −1); A(4; 5). 3.18 ( 5 − 1)x ± 2 5 − 2y = 0

3.3 A(4; 3); C (3; −1) 3.19 3x − 4y + 5 = 0

3.20 m = ±3 6
3.4 N (0; −4), M (0; −2)
N (6; 2); M ( 5 ; 2 )
6
5
3.21 (x + 3)2 + (y + 3)2 = 10
3.5 B (0; −4), C (−4; 0)
3.22 (C ) : x2 + y 2 − 6x − 6y + 10 = 0
ho c B (−6; 2), C (2; −6)

3.23 ∆ : y = 1; y = −3
3.6 y − 5 = 0; x − 4y + 19 = 0

3.24 A(3; 13 )
3.7 M (−22; −11), M (2; 1) 3


3.8 A(1; 1), B (0; 0), C (1; −1), D(2; 0) 3.25 M (2; −4) và M (−3; 1)
A(1; 1), B (2; 0), C (1; −1), D(0; 0) 1 2
3.26 (x + 2√3 )2 + (y + 3 )2 = 1
√ √
3.9 H ( 3; −1), I (− 3; 1) 8
3.27 m = 0 ∨ m = 15
√ √
3.10 G1 ( 7+4 3 ; 6+2 3 )
3.28 x2 + y 2 − x + y − 2 = 0
3 √3

−4 3−1 −6−2 3
G2 ( 3 ; 3 )

22
3.29 K ( 5 ; 4 ); R =
8
5 5
3.11 3x − 4y + 16 = 0
3.30 2x + y − 3 = 0
3.12 B ( 11 ; 3 ); C ( 3 ; − 5 )
22 2 2
B ( 2 ; − 5 ); C ( 11 ; 3 )
3
3.31 (x − 2)2 + (y − 1)2 = 1
2 22
(x − 2)2 + (y − 7)2 = 49
3.13 C (− 10 ; 3 )

34
3.32 C (−2 + 65; 3)
3.14 B (−1; 3), C (3; 5) √
B (3; −1), C (5; 3) 3
3.33 M ( 3 ; ± )
2 2

3.15 C = (7; 3); (− 11 ; − 27 )
43
3.34 m = 19 ∨ m = −41
11


3.16 B, C = (4; 0); (−2; −2) 3.35 M = (1; 4); (−2; 1)
Chương 3.Hình h c gi i tích trong m t ph ng 29

232 4
3.36 (x − 3)2 + y 2 = 4 3.41 (x − 1)2 + (y − ) =
3 3
A(1; 0), B (3; 2)

3.42 I (17; −4)
y2
x2
3.37 + =1
20 5

√ √
y2
x2
3.38 + =1
16
3.43 M (2 7; 0); N (0; 21)
16 3

gtnn(M N ) = 7
√√ √ √
3.39 A, B = ( 2; 22 ); ( 2; − 22 )
√ √
y2
x2
3.44 A, B = ( 7 ; 4 7 3 ); ( 2 ; − 4 7 3 )
2
3.40 + =1
9 4 7
Chương 4

T h p và s ph c


4.1 Bài toán đ m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.2 Công th c t h p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.3 Đ ng th c t h p khi khai tri n . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.4 H s trong khai tri n nh th c . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.5 S ph c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Đáp s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34




4.1 Bài toán đ m
Bài 4.1 (B-12). Trong m t l p h c g m có 15 h c sinh nam và 10 h c sinh n .
Giáo viên g i ng u nhiên 4 h c sinh lên b ng gi i bài t p. Tính xác su t đ 4 h c
sinh đư c g i có c nam và n .

Bài 4.2 (B-05). M t đ i thanh niên tình nguy n có 15 ngư i, g m 12 nam và 3
n . H i có bao nhiêu cách phân công đ i thanh niên tình nguy n đó v giúp đ 3
t nh mi m núi, sao cho m i t nh có 4 nam và 1 n ?

Bài 4.3 (B-04). Trong m t môn h c, th y giáo có 30 câu h i khác nhau g m 5 câu
h i khó, 10 câu h i trung bình, 15 câu h i d . T 30 câu h i đó có th l p đư c
Chương 4.T h p và s ph c 31

bao nhiêu đ ki m tra, m i đ g m 5 câu h i khác nhau, sao cho trong m i đ nh t
thi t ph i đ 3 lo i câu h i (khó, trung bình, d ) và s câu h i d không ít hơn 2?

Bài 4.4 (B-02). Cho đa giác đ u A1 A2 · · · A2n (n ≥ 2, n nguyên) n i ti p đư ng
tròn (O). Bi t r ng s tam giác có các đ nh là 3 trong 2n đi m A1 , A2 , · · · , A2n
nhi u g p 20 l n s hình ch nh t có các đ nh là 4 trong 2n đi m A1 , A2 , · · · , A2n ,
tìm n.

Bài 4.5 (D-06). Đ i thanh nhiên xung kích c a m t trư ng ph thông có 12 h c
sinh, g m 5 h c sinh l p A, 4 h c sinh l p B và 3 h c sinh l p C. C n ch n 4 h c
sinh đi làm nhi m v , sao cho 4 h c sinh này thu c không quá 2 trong 3 l p trên.
H i có bao nhiêu cách ch n như v y?


4.2 Công th c t h p
Bài 4.6 (B-08). Cho n, k nguyên dương, k ≤ n. Ch ng minh r ng

n+1 1 1 1
+ = .
k k+1 k
n+2 Cn
Cn+1 Cn+1

Bài 4.7 (B-06). Cho t p h p A g m n ph n t (n ≥ 4). Bi t r ng, s t p con g m 4
ph n t c a A b ng 20 l n s t p con g m 2 ph n t c a A. Tìm k ∈ {1, 2, · · · , n}
sao cho t p con g m k ph n t c a A là l n nh t.
A4 +1 + 3A3
n n
Bài 4.8 (D-05). Tính giá tr c a bi u th c M =
(n + 1)!
2 2 2 2
Bi t r ng Cn+1 + 2Cn+2 + 2Cn+3 + Cn+4 = 149 (n là s nguyên dương).


4.3 Đ ng th c t h p khi khai tri n
Bài 4.9 (A-07). Ch ng minh r ng :

22n − 1
11 13 15 1 2n
C2n + C2n + C2n + · · · + C2n −1 =
2 4 6 2n 2n + 1
(n là s nguyên dương).
Chương 4.T h p và s ph c 32

Bài 4.10 (A-05). Tìm s nguyên dương n sao cho

C2n+1 − 2.2C2n+1 + 3.22 C2n+1 − 4.23 C2n+1 + · · · + (2n + 1).22n C2n+1 = 2005.
1 2 3 4 2n+1


Bài 4.11 (B-03). Cho n nguyên dương. Tính t ng
22 − 1 1 23 − 1 2 2n+1 − 1 n
0
Cn + · · · +
Cn + Cn + C.
n+1 n
2 3
Bài 4.12 (D-08). Tìm s nguyên dương n th a mãn h th c

C2n + C2n + · · · + C2n −1 = 2048.
1 3 2n




4.4 H s trong khai tri n nh th c
Bài 4.13 (A-12). Cho n là s nguyên dương th a mãn 5Cn −1 = Cn . Tìm s h ng
n 3
n
2
nx 1
ch a x5 trong khai tri n nh th c Niu-tơn − , x = 0.
14 x
Bài 4.14 (A-08). Cho khai tri n (1 + 2x)n = a0 + a1 x + · · · + an xn , trong đó
a1 an
n ∈ N∗ và các h s a0 , a1 , · · · , an th a mãn h th c a0 + + · · · + n = 4096.
2 2
Tìm h s l n nh t trong các s a0 , a1 , · · · , an .
Bài 4.15 (A-06). Tìm h s c a s h ng ch a x26 trong khai tri n nh th c Niuton
n
1
+ x7 , bi t r ng
ca
x4

C2n+1 + C2n+1 + · · · + C2n+1 = 220 − 1
1 2 n


(n là s nguyên dương).
Bài 4.16 (A-04). Tìm h s c a x8 trong khai tri n thành đa th c c a [1 + x2 (1 −
x)]8 .
Bài 4.17 (A-03). Tìm h s c a s h ng ch a x8 trong khai tri n nh th c Niuton
√ n
1 5
+x
ca , bi t r ng
x3
n+1 n
Cn+4 − Cn+3 = 7(n + 3)

(n là s nguyên dương, x > 0).
Chương 4.T h p và s ph c 33

Bài 4.18 (A-02). Cho khai tri n nh th c:
n−1 n−1
n n n
x−1 −x x−1 x−1 −x x−1 −x −x
+· · ·+Cn −1 2
0 1 n n
2 +2 = Cn 2 +Cn 2 2 2 +Cn 2 .
2 3 2 2 3 2 3 3



3 1
(n nguyên dương). Bi t r ng trong khai tri n đó Cn = 5Cn và s h ng th tư
b ng 20n, tìm n và x.
Bài 4.19 (B-07). Tìm h s c a s h ng ch a x10 trong khai tri n nh th c Niuton
c a (2 + x)n , bi t:

3n Cn − 3n−1 Cn + 3n−2 Cn − 3n−3 Cn + · · · + (−1)n Cn = 2048
0 1 2 3 n


(n là s nguyên dương).
Bài 4.20 (D-07). Tìm h s c a x5 trong khai tri n thành đa th c c a:

x(1 − 2x)5 + x2 (1 + 3x)10 .

Bài 4.21 (D-04). Tìm s h ng không ch a x trong khai tri n nh th c Niuton c a
7
√ 1
x+ √ v i x > 0.
3

x
4



Bài 4.22 (D-03). V i n là s nguyên dương, g i a3n−3 là h s c a x3n−3 trong
khai tri n thành đa th c c a (x2 + 1)n (x + 2)n . Tìm n đ a3n−3 = 26n.


4.5 S ph c
Bài 4.23 (D-12). Gi i phương trình z 2 + 3(1 + i)z + 5i = 0 trên t p h p các s
ph c.
2(1 + 2i)
Bài 4.24 (D-12). Cho s ph c z th a mãn (2 + i)z + = 7 + 8i. Tìm
1+i
môđun c a s ph c w = z + 1 + i.

Bài 4.25 (B-12). G i z1 và z2 là hai nghi m ph c c a phương trình z 2 − 2 3iz −
4 = 0. Vi t d ng lư ng giác c a z1 và z2
5(z + i)
= 2 − i. Tính môđun c a s ph c
Bài 4.26 (A-12). Cho s ph c z th a
z+1
w = 1 + z + z2.
Chương 4.T h p và s ph c 34

Bài 4.27 (D-11). Tìm s ph c z, bi t :z − (2 + 3i)z = 1 − 9i.
Bài 4.28 (B-11).

5+i 3
1. Tìm s ph c z, bi t: z − − 1 = 0.
z
√ 3
1+i 3
2. Tìm ph n th c và ph n o c a s ph c z = .
1+i

Bài 4.29 (A-11).

1. Tìm t t c các s ph c z, bi t z 2 = |z |2 + z .

2. Tính môđun c a s ph c z, bi t:

(2z − 1)(1 + i) + (z + 1)(1 − i) = 2 − 2i.

Bài 4.30 (A-10).
√ √

1. Tìm ph n o c a s ph c z , bi t z = ( 2 + i)2 (1 − 2i).

(1 − 3i)3
− −
2. Cho s ph c z th a mãn z = . Tìm môđun c a s ph c z + iz .
1−i
Bài 4.31 (A-09). G i z1 và z2 là hai nghi m ph c c a phương trình z 2 + 2z + 10 =
0. Tính giá tr c a bi u th c A = |z1 |2 + |z2 |2 .
Bài 4.32 (B-10). Trong m t ph ng v i h t a đ Đêcac vuông góc Oxy, tìm t p
h p đi m bi u di n các s ph c z th a mãn:

|z − i| = |(1 + i)z |.
√ −
Bài 4.33 (B-09). Tìm s ph c z th a mãn: |z − (2 + i)| = 10 và z z = 25.
Bài 4.34 (D-09). Trong m t ph ng v i h t a đ Đêcac vuông góc Oxy, tìm t p
h p đi m bi u di n các s phưc z th a mãn đi u ki n |z − (3 − 4i)| = 2.

Bài 4.35 (D-10). Tìm s ph c z th a mãn: |z | = 2 và z 2 là s thu n o.


Đáp s
Chương 4.T h p và s ph c 35

443 4
4.21 C7 = 35
4.1 P =
506
4.22 n = 5
1 4 2 4 1 4
4.2 C3 .C12 .C1 .C8 .C1 .C4 = 207900

4.23 z = −1˘2i; z = −2˘i
2 2 1 2 1 2
4.3 C15 .C10 .C5 + C15 .C10 .C5 +
3 1 1
C15 .C10 .C5 = 56875
4.24 |w| = 5
4.4 n = 8
4.25 z1 = 2(cos 23 + i sin 23 )
π π
4 2 1 1 1 2 1 π π
4.5 C12 − (C5 .C4 .C3 + C5 .C4 .C3 + z2 = 2(cos 3 + i sin 3 )
1 1 2
C5 .C4 .C3 ) = 225


4.26 ⇒ |w| = 4 + 9 = 13
4.7 k = 9
4.27 z = 2 − i
3
4.8 M = 4

4.28
4.10 n = 1002
√ √
1. z = −1 − 3i; z = 2 − 3i
n+1 n+1
−2
3
4.11
n+1 2. z = 2 + 2i
4.12 n = 6
4.29 z√= 0, z = − 1 ± 1 i
2 2
−35 5
|z | = 32
4.13 .x
16


4.14 a8 = 28 C12 = 126720
8
4.30 Ph n o z là: − 2


|z + iz | = 8 2
6
4.15 C10 = 210
4.31 A = 20
3 2 4 0
4.16 C8 .C3 + C8 .C4 = 238

4.32 x2 + (y + 1)2 = 2
4
4.17 C12 = 495

4.33 z = 3 + 4i ho c z = 5
4.18 n = 7, x = 4

4.19 C11 .21 = 22
10
4.34 (x − 3)2 + (y + 4)2 = 4

4.20 (−2)4 C5 + 33 .C10 = 3320
4 3
4.35 1 + i; 1 − i; −1 + i; −1 − i
Chương 5

Kh o sát hàm s


5.1 Ti p tuy n . .. ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.2 C c tr . . . .. ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.3 Tương giao đ th .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.4 Bài toán khác .. ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Đáp s . . . . . . . .. ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42




5.1 Ti p tuy n
−x + 1
Bài 5.1 (A-11). Cho hàm s y =
2x − 1

1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th (C) c a hàm s đã cho.

2. Ch ng minh r ng v i m i m đư ng th ng y = x + m luôn c t đ th (C)
t i hai đi m phân bi t A và B. G i k1 , k2 l n lư t là h s góc c a các ti p
tuy n v i (C) t i A và B. Tìm m đ t ng k1 + k2 đ t giá tr l n nh t.
(2m − 1)x − m2
Bài 5.2 (D-02). Cho hàm s : y= (1) (m là tham s ).
x−1
1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th (C) c a hàm s (1) ng v i m= −1.
Chương 5.Kh o sát hàm s 37

2. Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i đư ng cong (C) và hai tr c t a đ .
3. Tìm m đ đ th hàm s (1) ti p xúc v i đư ng th ng y = x.
13 m2 1
x− x+
Bài 5.3 (D-05). G i (Cm ) là đ th hàm s y = (*) (m là
3 2 3
tham s ).
1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th c a hàm s (*) ng v i m = 2.
2. G i M là đi m thu c (Cm ) có hoành đ b ng −1 . Tìm m đ ti p tuy n c a
(Cm ) t i đi m M song song v i đư ng th ng 5x − y = 0.
2x
Bài 5.4 (D-07). Cho hàm s y= .
x+1
1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th (C) c a hàm s đã cho.
2. Tìm t a đ đi m M thu c (C), bi t ti p tuy n c a (C) t i M c t hai tr c Ox, Oy
ti
1
A, B và tam giác OAB có di n tích b ng .
4
y = − x4 − x2 + 6 .
Bài 5.5 (D-10). Cho hàm s
1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th (C) c a hàm s đã cho.
2. Vi t phương trình ti p tuy n c a đ th (C), bi t ti p tuy n vuông góc v i đư ng
1
th ng y = x − 1.
6
1
y = x3 − 2x2 + 3x
Bài 5.6 (B-04). Cho hàm s (1) có đ th (C).
3
1. Kh o sát hàm s (1).
2. Vi t phương trình ti p tuy n ∆ c a (C) t i đi m u n và ch ng minh r ng ∆ là
ti p tuy n c a (C) có h s góc nh nh t.
x2 + x − 1
Bài 5.7 (B-06). Cho hàm s y =
x+2
1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th (C) c a hàm s đã cho
2. Vi t phương trình ti p tuy n c a đ th (C), bi t ti p tuy n đó vuông góc v i
ti m c n xiên c a (C).

Bài 5.8 (B-08). Cho hàm s y = 4x3 − 6x2 + 1 (1).
1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th c a hàm s (1).
2. Vi t phương trình ti p tuy n c a đ th hàm s (1), bi t r ng ti p tuy n đó đi
qua đi m M(−1; −9).
Chương 5.Kh o sát hàm s 38

x+2
Bài 5.9 (A-09). Cho hàm s y = (1).
2x + 3
1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th c a hàm s (1).
2. Vi t phương trình ti p tuy n c a đ th hàm s (1), bi t ti p tuy n đó c t tr c
hoành, tr c tung l n lư t t i hai đi m phân bi t A, B và tam giác OAB cân t i g c
t a đ O.


5.2 C c tr
Bài 5.10 (D-12). Cho hàm s y = 2 x3 ˘mx2 ˘2(3m2˘1)x + 2
(1), m là tham s
3 3
th c.

1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th c a hàm s (1) khi m = 1.

2. Tìm m đ hàm s (1) có hai đi m c c tr x1 vàx2 sao cho x1 .x2 +2(x1 +x2 ) =
1

Bài 5.11 (B-12). Cho hàm s y = x3 − 3mx2 + 3m2 , (1), m là tham s th c.

1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th c a hàm s (1) khi m = 1.

2. Tìm m đ đ th hàm s (1) có hai đi m c c tr A và B sao cho tam giác
OAB có di n tích b ng 48.

Bài 5.12 (A-12). Cho hàm s y = x4 − 2(m + 1)x2 + m2 , (1) ,v i m là tham
s.

1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th hàm s (1) khi m = 0.

2. Tìm m đ đ th hàm s (1) có ba đi m c c tr t o thành ba đ nh c a m t
tam giác vuông.

Bài 5.13 (B-11). Cho hàm s y = x4 − 2(m + 1)x2 + m, (1), m là tham s .

1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th hàm s (1) khi m = 1.

2. Tìm m đ đ th hàm s (1) có ba đi m c c tr A, B, C sao cho OA = BC, O
là g c t a đ , A là c c tr thu c tr c tung, B và C là hai đi m c c tr còn l i.
Chương 5.Kh o sát hàm s 39

y = mx4 + (m2 − 9)x2 + 10
Bài 5.14 (B-02). Cho hàm s : (1) (m là
tham s ).
1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th c a hàm s (1) ng v i m= 1.
2. Tìm m đ hàm s (1) có ba đi m c c tr .
x2 + (m + 1)x + m + 1
Bài 5.15 (B-05). G i (Cm ) là đ th c a hàm s y = (*)
x+1
(m là tham s ).
1. Kh o sát và v đ th hàm s (*) khi m= 1.
2. Ch ng minh r ng v i m b t kỳ, đ th (Cm ) √luôn luôn có đi m c c đ i, đi m
c c ti u và kho ng cách gi a hai đi m đó b ng 20.

Bài 5.16 (B-07). Cho hàm s : y = −x3 + 3x2 + 3(m2 − 1)x − 3m2 − 1 (1), m là
tham s .
1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th hàm s (1) khi m= 1.
2. Tìm m đ hàm s (1) có c c đ i, c c ti u và các đi m c c tr c a đ th hàm s
(1) cách đ u g c t a đ O.

Bài 5.17 (A-02). Cho hàm s : y = −x3 + 3mx2 + 3(1 − m2 )x + m3 − m2 (1)
(m là tham s ).
1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th c a hàn s (1) khi m = −1.
−x3 + 3x2 + k 3 − 3k 2 = 0 có ba nghi m phân
2. Tìm k đ phương trình:
bi t.
3. Vi t phương trình đư ng th ng đi qua hai đi m c c tr c a đ th hàm s (1).
1
Bài 5.18 (A-05). G i(Cm ) là đ th c a hàm s y = mx + (m là tham
(*)
x
s ).
1
1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th c a hàm s (*) khi m = .
4
2. Tìm m đ hàm s (*) có c c tr và kho ng cách t đi m c c ti u c a (Cm ) đ n
1
ti m c n xiên c a (Cm ) b ng √ .
2
x2 + 2(m + 1)x + m2 + 4m
Bài 5.19 (A-07). Cho hàm s y = (1), m là tham
x+2
s.
1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th c a hàm s (1) khi m = −1.
2. Tìm m đ hàm s (1) có c c đ i và c c ti u, đ ng th i các đi m c c tr c a đ
th cùng v i g c t a đ O t o thành m t tam giác vuông t i O.
Chương 5.Kh o sát hàm s 40

5.3 Tương giao đ th
2x + 1
Bài 5.20 (D-11). Cho hàm s y =
x+1

1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th (C) c a hàm s đã cho

2. Tìm k đ đư ng th ng y = kx + 2k + 1 c t đ th (C) t i hai đi m phân bi t
A, B sao cho kho ng cách t A và B đ n tr c hoành b ng nhau.

Bài 5.21 (D-03).
x2 − 2x + 4
y=
1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th c a hàm s (1).
x−2
2. Tìm m đ đư ng th ng dm : y = mx + 2 − 2m c t đ th hàm s (1) t i hai
đi m phân bi t.

y = x3 − 3x + 2.
Bài 5.22 (D-06). Cho hàm s :
1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th (C) c a hàm s đã cho.
2. G i d là đư ng th ng đi qua đi m A(3; 20) và có h s góc là m. Tìm m đ
đư ng th ng d c t đ th (C) t i 3 đi m phân bi t.

y = x3 − 3x2 + 4 (1).
Bài 5.23 (D-08). Cho hàm s :
1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th c a hàm s (1).
2. Ch ng minh r ng m i đư ng th ng đi qua đi m I(1; 2) v i h s góc k (k> −3)
đ u c t đ th c a hàm s (1) t i ba đi m phân bi t I, A, B đ ng th i I là trung
đi m c a đo n th ng AB.

Bài 5.24 (D-09).
y = x4 − (3m + 2)x2 + 3m có đ th là (Cm ), m là tham s .
I. Cho hàm s
1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th c a hàm s đã cho khi m= 0.
2. Tìm m đ đư ng th ng y = −1 c t đ th (Cm ) t i 4 đi m phân bi t đ u có
hoành đ nh hơn 2.
II. Tìm các giá tr c a tham s m đ đư ng th ng y = −2x + m c t đ th hàm s
x2 + x − 1
y= t i hai đi m phân bi t A, B sao cho trung đi m c a đo n th ng
x
AB thu c tr c tung.

Bài 5.25 (B-09).
I. Cho hàm s y = 2x4 − 4x2 (1).
1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th c a hàm s (1).
Chương 5.Kh o sát hàm s 41

2. V i giá tr nào c a m, phương trình x2 |x2 − 2| = m có đúng 6 nghi m th c
phân bi t?
II. Tìm các giá tr c a tham s m đ đư ng th ng y = −x + m c t đ th hàm s
x2 − 1
y= t i hai đi m phân bi t A, B sao cho AB= 4.
x
2x + 1
Bài 5.26 (B-10). Cho hàm s y = .
x+1
1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th (C) c a hàm s đã cho.
2. Tìm m đ đư ng th ng y = −2x + m c t đ th (C) t i hai đi m phân bi t A, B

sao cho tam giác OAB có di n tích b ng 3 (O là g c t a đ ).
mx2 + x + m
Bài 5.27 (A-03). Cho hàm s y= (1) (mlà tham s ).
x−1
1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th hàm s (1) khi m = −1.
2. Tìm m đ đ th hàm s (1) c t tr c hoành t i hai đi m phân bi t và hai đi m
đó có hoành đ dương.
− x2 + 3 x − 3
Bài 5.28 (A-04). Cho hàm s y= (1).
2(x − 1)
1. Kh o sát hàm s (1).
2. Tìm m đ đư ng th ng y = m c t đ th hàm s (1) t i hai đi m A, B sao cho
AB= 1.
Bài 5.29 (A-06).
1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th hàm s y = 2x3 − 9x2 + 12x − 4.
2. Tìm m đ phương trình sau có 6 nghi m phân bi t: 2|x3 | − 9x2 + 12|x| = m.
Bài 5.30 (A-10). Cho hàm s y = x3 − 2x2 + (1 − m)x + m (1), m là tham s
th c.
1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th c a hàm s (1) khi m = 1.
2. Tìm m đ đ th c a hàm s (1) c t tr c hoành t i 3 đi m phân bi t có hoành
đ x1 , x2 , x3 th a mãn đi u ki n x2 + x2 + x2 < 4.
1 2 3




5.4 Bài toán khác
y = x3 − 3mx2 + 9x + 1 (1) (m là tham
Bài 5.31 (D-04). Cho hàm s :
s ).
1. Kh o sát hàm s (1) ng v i m = 2.
2. Tìm m đ đi m u n c a đ th hàm s (1) thu c đư ng th ng y = x + 1.
Chương 5.Kh o sát hàm s 42

y = x3 − 3x2 + m (1) (m là tham s ).
Bài 5.32 (B-03). Cho hàm s :
1. Tìm m đ đ th hàm s (1) có hai đi m phân bi t đ i x ng v i nhau qua g c
t ađ .
2. Kh o sát s bi n thiên và v đ th c a hàm s (1) ng v i m= 2.
mx2 + (3m2 − 2)x − 2
Bài 5.33 (A-08). Cho hàm s y = (1), v i m là tham
x + 3m
s th c.
1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th c a hàm s (1) khi m = 1.
2. Tìm các giá tr c a tham s m đ góc gi a hai đư ng ti m c n c a đ th hàm
s (1) b ng 45o .


Đáp s

5.1 m = −1 5.12 m = 0

5.13 m = 2 ± 2 2
5.2 −1 + 4 ln 4 ; m = 1
3

5.14 m < −3 or 0 < m < 3
5.3 m = 4
5.15 M (−2; m − 3); N (0; m + 1)
5.4 M (− 1 ; −2); M (1; 1)
2
5.16 m = ± 1
2
5.5 y = −6x + 10
5.17 −1 < k < 3, k = 0, k = 2
8
5.6 y = −x + y = 2x − m2 + m
3

√ √
5.7 y = −x+2 2−5; y = −x−2 2− 5.18 m = 1
5 √
5.19 m = −4 ± 2 6
15 21

5.8 y = 24x + 15; y = x
4 4
5.20 k = −3
5.9 y = −x − 2 5.21 m > 1
2
5.10 m = 15
5.22 m > ,m = 24
3 4

5.11 m = ±2 5.23
Chương 5.Kh o sát hàm s 43

5.24 I (− 1 < m < 1, m = 0); II (m = 5.29 4 < m < 5
3
1)
5.30 − 1 < m < 1, m = 0
√ 4
5.25 I (0 < m < 1); II (m = ±2 6)
5.31 m = 0 or m = ±2
5.26 m = ±2

5.27 − 1 < m < 0 5.32 m > 0
2

1± 5
5.33 m = ±1
5.28 m = 2
Chương 6

Hình h c gi i tích trong không gian


6.1 Đư ng th ng và m t ph ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
6.2 M t c u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
6.3 Phương pháp t a đ trong không gian . . . . . . . . . . . . 51
Đáp s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54




6.1 Đư ng th ng và m t ph ng
Bài 6.1 (D-12). Trong không gian v i h t a đ Oxyz, cho đư ng th ng d :
x−1 y+1 z
= = và hai đi m A (1; -1; 2), B (2; -1; 0). Xác đ nh t a đ
−1
2 1
đi m M thu c d sao cho tam giác AMB vuông t i M.
Bài 6.2 (B-12). Trong không gian v i h t a đ Oxyz, cho A(0;0;3), M(1;2;0).
Vi t phương trình m t ph ng (P) qua A và c t các tr c Ox, Oy l n lư t t i B, C
sao cho tam giác ABC có tr ng tâm thu c đư ng th ng AM.
Bài 6.3 (A-12). Trong không gian v i h t a đ Oxyz, cho đư ng th ng
z−2
x+1 y
, m t ph ng (P) :x + y − 2z + 5 = 0 và đi m A (1; -1;
==
d:
2 1 1
2). Vi t phương trình đư ng th ng δ c t d và (P) l n lư t t i M và N sao cho A là
trung đi m c a đo n th ng MN.
Chương 6.Hình h c gi i tích trong không gian 45

Bài 6.4 (D-11). Trong không gian v i h t a đ Oxyz, cho đi m A(1; 2; 3) và
z−3
x+1 y
đư ng th ng d : == . Vi t phương trình đư ng th ng ∆ đi qua
−2
2 1
đi m A, vuông góc v i đư ng th ng d và c t tr c Ox.
Bài 6.5 (B-11).

1. Trong không gian h to đ Oxyz, cho đư ng th ng
x−2 y+1 z
và m t ph ng (P): x + y + z − 3 = 0. G i I
∆: = =
−2 −1
1
là giao đi m c a ∆ √ (P). Tìm t a đ đi m M thu c (P) sao cho MI vuông

góc v i ∆ và MI =4 14.

2. Trong không gian v i h to đ Oxyz, cho đư ng th ng
y−1
x+2 z+5
và hai đi m A(−2; 1; 1); B (−3; −1; 2). Tìm
∆: = =
−2
1 3
t a đ √ m M thu c đư ng th ng ∆ sao cho tam giác MAB có di n tích
đi
b ng 3 5.
Bài 6.6 (A-11). Trong không gian v i h t a đ Oxyz, cho hai đi m
A(2; 0; 1), B (0; −2; 3) và m t ph ng (P ) : 2x − y − z + 4 = 0. Tìm t a đ
đi m M thu c (P ) sao cho M A = M B = 3.
Bài 6.7 (D-02). Trong không gian v i h t a đ Oxyz, cho m t ph ng
(P) : 2x − y + 2 = 0 và đư ng th ng
(2m + 1)x + (1 − m)y + m − 1 = 0
dm :
mx + (2m + 1)z + 4m + 2 = 0
(m là tham s ).
Xác đ nh m đ đư ng th ng dm song song v i m t ph ng (P).
Bài 6.8 (D-03). Trong không gian v i h t a đ Oxyz, cho m t ph ng
x + 3ky − z + 2 = 0
(P) : x − y − 2z + 5 = 0 và đư ng th ng dk : (k là tham
kx − y + z + 1 = 0
s ).
Xác đ nh k đ đư ng th ng dk vuông góc v i m t ph ng (P).
Bài 6.9 (D-04). Trong không gian v i h t a đ Oxyz cho hình lăng tr đ ng
ABC.A1 B1 C1 . Bi t A(a;0;0), B(−a;0;0), C(0;1;0), B1 (−a;0;b), a> 0, b> 0.
a) Tính kho ng cách gi a hai đư ng th ng B1 C và AC1 theo a, b.
b) Cho a, b thay đ i, nhưng luôn th a mãn a+b = 4. Tìm a, b đ kho ng cách gi a
hai đư ng th ng B1 C và AC1 l n nh t.
Chương 6.Hình h c gi i tích trong không gian 46

Bài 6.10 (D-05). Trong không gian v i h t a đ Oxyz cho hai đư ng th ng

x−1 y+2 z+1 x+y−z−2=0
d1 : = = d2 :

x + 3y − 12 = 0.
−1
3 2

a) Ch ng minh r ng d1 và d2 song song v i nhau. Vi t phương trình m t ph ng
(P) ch a c hai đư ng th ng d1 và d2 .
b) M t ph ng t a đ Oxy c t c hai đư ng th ng d1 , d2 l n lư t t i các đi m A, B.
Tính di n tích tam giác OAB (O là g c t a đ ).

Bài 6.11 (D-06). Trong không gian v i h t a đ Oxyz, cho đi m A(1;2;3) và hai
đư ng th ng:
x−2 z−3 x−1 y−1
y+2 z+1
d1 : = = , d2 : = = .
−1 −1
2 1 2 1

1. Tìm t a đ đi m A’ đ i x ng v i đi m A qua đư ng th ng d1 .
2. Vi t phương trình đư ng th ng ∆ đi qua A, vuông góc v i d1 và c t d2 .


Bài 6.12 (D-07). Trong không gian v i h t a đ Oxyz, cho hai đi m A(1;4;2),
x−1 y+2 z
B(−1;2;4) và đư ng th ng ∆ : = =.
−1 1 2
1. Vi t phương trình đư ng th ng d đi qua tr ng tâm G c a tam giác OAB và
vuông góc m t ph ng (OAB).
2. Tìm t a đ đi m M thu c đư ng th ng ∆ sao cho MA2 +MB2 nh nh t.

Bài 6.13 (D-09).
1. Trong không gian v i h t a đ Oxyz,cho các đi m A(2;1;0), B(1;2;2), C(1;1;0)
và m t ph ng (P): x + y + z − 20 = 0. Xác đ nh t a đ đi m D thu c đư ng th ng
AB sao cho đư ng th ng CD song song v i m t ph ng (P).
y−2
x+2
2. Trong không gian v i h t a đ Oxyz, cho đư ng th ng ∆ : = =
1 1
z
và m t ph ng (P):x + 2y − 3z + 4 = 0. Vi t phương trình đư ng th ng d n m
−1
trong (P) sao cho d c t và vuông góc v i đư ng th ng ∆.

Bài 6.14 (D-10).
1. Trong không gian v i h t a đ Oxyz, cho hai m t ph ng (P): x + y + z − 3 = 0
và (Q):x − y + z − 1 = 0. Vi t phương trình m t ph ng (R) vuông góc v i (P) và
(Q) sao cho kho ng cách t O đ n (R) b ng 2.
Chương 6.Hình h c gi i tích trong không gian 47

 x=3+t
y=t
2. Trong không gian v i h t a đ Oxyz, cho hai đư ng th ng ∆1 :
z=t

x−2 y−1 z
và ∆2 : = = . Xác đ nh t a đ đi m M thu c ∆1 sao cho kho ng
2 1 2
cách t M đ n ∆2 b ng 1.
Bài 6.15 (B-03). Trong không gian v i h t a đ Oxyz, cho hai đi m A(2;0;0),
−→
B(0;0;8) và đi m C sao cho AC =(0;6;0). Tính kho ng cách t trung đi m I c a
BC đ n đư ng th ng OA.
Bài 6.16 (B-04). Trong không gian v i h t a đ Oxyz, cho đi m A(−4;−2;4) và

 x = −3 + 2 t
đư ng th ng d: y = 1 − t . Vi t phương trình đư ng th ng ∆ đi qua đi m
z = −1 + 4t

A, c t và vuông góc v i đư ng th ng d.
Bài 6.17 (B-06). Trong không gian v i h t a đ Oxyz, cho đi m A(0;1;2) và hai
đư ng th ng:

 x=1+t
y−1
x z+1
y = −1 − 2t
d1 : = = , d2 :
−1
2 1
z = 2 + t.


1. Vi t phương trình m t ph ng (P) qua A, đ ng th i song song v i d1 và d2 .
2. Tìm t a đ các đi m M thu c d1 , N thu c d2 sao cho ba đi m A, M, N th ng
hàng.
Bài 6.18 (B-08). Trong không gian v i h t a đ Oxyz, cho ba đi m A(0;1;2),
B(2;−2:1), C(−2;0;1).
1. Vi t phương trình m t ph ng đi qua ba đi m A, B, C.
2. Tìm t a đ đi m M thu c m t ph ng 2x +2y + z − 3 = 0 sao cho MA=MB=MC.
Bài 6.19 (B-09).
1. Trong không gian v i h t a đ Oxyz, cho t di n ABCD có các đ nh A(1;2;1),
B(−2;1;3), C(2;−1;1) và D(0;3;1). Vi t phương trình m t ph ng (P) đi qua A, B
sao cho kho ng cách t C đ n (P) b ng kho ng cách t D đ n (P).
2. Trong không gian v i h t a đ Oxyz, cho m t ph ng (P): x − 2y + 2z − 5 = 0
và hai đi m A(−3;0;1), B(1;−1;3). Trong các đư ng th ng đi qua A và song song
v i (P), hãy vi t phương trình đư ng th ng mà kho ng cách t B đ n đư ng th ng
đó nh nh t.
Chương 6.Hình h c gi i tích trong không gian 48

Bài 6.20 (B-10).
1. Trong không gian v i h t a đ Oxyz, cho các đi m A(1;0;0), B(0;b;0),
C(0;0;c), trong đó b, c dương và m t ph ng (P):y − z + 1 = 0. Xác đ nh b và
c, bi t m t ph ng (ABC) vuông góc v i m t ph ng (P) và kho ng cách t đi m O
1
đ n m t ph ng (ABC) b ng .
3
y−1
x z
2. Trong không gian v i h t a đ Oxyz, cho đư ng th ng ∆ : = =.
2 1 2
Xác đ nh t a đ đi m M trên tr c hoành sao cho kho ng cách t M đ n ∆ b ng
OM.
Bài 6.21 (A-02). Trong không gian v i h t a đ Oxyz cho hai đư ng th ng:

 x=1+t
x − 2y + z − 4 = 0
y =2+t .
∆1 : và ∆2 :
x + 2y − 2z + 4 = 0
z = 1 + 2t


1. Vi t phương trình m t ph ng (P) ch a đư ng th ng ∆1 và song song v i đư ng
th ng ∆2 .
2. Cho đi m M(2;1;4). Tìm t a đ đi m H thu c ∆2 sao cho đo n MH có đ dài
nh nh t.
Bài 6.22 (A-03). Trong không gian v i h t a đ Oxyz, cho hình h p ch nh t
ABCD.A’B’C’D’ có A trùng v i g c c a h tr c t a đ , B(a;0;0), D(0;a;0),
A’(0;0;b) (a> 0,b> 0). G i M là trung đi m c nh CC’.
1. Tính th tích kh i t di n BDA’M theo a và b.
a
2. Xác đ nh t s đ hai m t ph ng (A’BD) và (MBD) vuông góc v i nhau.
b
Bài 6.23 (A-04). Trong không gian v i h t a đ Oxyz cho hình chóp S.ABCD
có đáy ABCD là hình thoi, AC c t BD t i g c t a đ O. Bi t A(2;0;0), B(0;1;0),

S(0;0;2 2). G i M là trung đi m c a c nh SC.
1. Tính góc và kho ng cách gi a hai đư ng th ng SA, BM.
2. Gi s m t ph ng (ABM) c t đư ng th ng SD t i đi m N. Tính th tích kh i
chóp S.ABMN.
Bài 6.24 (A-05). Trong không gian v i h tr c t a đ Oxyz cho
x−1 z−3
y+3
và m t ph ng (P):2x + y − 2z + 9 = 0.
= =
đư ng th ng d:
−1 2 1
1. Tìm t a đ đi m I thu c d sao cho kho ng cách t I đ n m t ph ng (P) b ng 2.
2. Tìm t a đ giao đi m A c a đư ng th ng d và m t ph ng (P). Vi t phương trình
tham s c a đư ng th ng ∆ n m trong m t ph ng (P), bi t ∆ đi qua A và vuông
góc v i d.
Chương 6.Hình h c gi i tích trong không gian 49

Bài 6.25 (A-06). Trong không gian v i h t a đ Oxyz, cho hình l p phương
ABCD.A’B’C’D’ v i A(0;0;0), B(1;0;0), D(0;1;0), A’(0;0;1). G i M và N l n lư t
là trung đi m c a AB và CD.
1. Tính kho ng cách gi a hai đư ng th ng A’C và MN.
2. Vi t phương trình m t ph ng ch a A’C và t o v i m t ph ng Oxy m t góc α
1
bi t cos α = √ .
6
Bài 6.26 (A-07). Trong không gian v i h t a đ Oxyz, cho hai đư ng th ng

 x = −1 + 2t
y−1
x z+2
y =1+t
d1 : = = và d2 :
−1
2 1
z = 3.


1. Ch ng minh r ng d1 và d2 chéo nhau.
2. Vi t phương trình đư ng th ng d vuông góc v i m t ph ng (P): 7x + y − 4z = 0
và c t hai đư ng th ng d1 , d2 .

Bài 6.27 (A-08). Trong không gian v i h t a đ Oxyz, cho đi m A(2;5;3) và
x−1 z−2
y
==
đư ng th ng d: .
2 1 2
1. Tìm t a đ hình chi u vuông góc c a đi m A trên đư ng th ng d.
2. Vi t phương trình m t ph ng (α) ch a d sao cho kho ng cách t A đ n (α) l n
nh t.

Bài 6.28 (A-09). Trong không gian v i h t a đ Oxyz, cho
x+1 y z+9
m t ph ng (P):x − 2y + 2z − 1 = 0 và hai đư ng th ng ∆1 : == ,
1 1 6
x−1 y−3 z+1
∆2 : = = . Xác đ nh t a đ đi m M thu c đư ng th ng ∆1
−2
2 1
sao cho kho ng cách t M đ n đư ng th ng ∆2 và kho ng cách t M đ n m t
ph ng (P) b ng nhau.
x−1
Bài 6.29 (A-10). Trong không gian t a đ Oxyz, cho đư ng th ng ∆ : =
2
y z+2
và m t ph ng (P):x − 2y + z = 0. G i C là giao đi m c a ∆ v i (P),
=
−1
1 √
M là đi m thu c ∆. Tính kho ng cách t M đ n (P), bi t MC= 6.
Chương 6.Hình h c gi i tích trong không gian 50

6.2 M tc u
Bài 6.30 (D-12). Trong không gian v i h t a đ Oxyz, cho m t ph ng (P): 2x +
y ˘2z + 10 = 0 và đi m I (2; 1; 3). Vi t phương trình m t c u tâm I c t (P) theo
m t đư ng tròn có bán kính b ng 4.
Bài 6.31 (B-12). Trong không gian v i h t a đ Oxyz, cho đư ng th ng d :
x−1 y z
== và hai đi m A(2;1;0), B(-2;3;2). Vi t phương trình m t c u đi
−2
2 1
qua A,B và có tâm thu c đư ng th ng d.
Bài 6.32 (A-12). Trong không gian v i h t a đ Oxyz, cho đư ng th ng d:
z−2
x+1 y
= = và đi m I (0; 0; 3). Vi t phương trình m t c u (S) có tâm I
1 2 1
và c t d t i hai đi m A, B sao cho tam giác IAB vuông t i I.
Bài 6.33 (D-11). Trong không gian v i h t a đ Oxyz, cho đư ng th ng ∆ :
x−1 y−3 z
= và m t ph ng (P): 2x − y + 2z = 0. Vi t phương trình m t
=
2 4 1
c u có tâm thu c đư ng th ng ∆, bán kính b ng 1 và ti p xúc v i m t ph ng (P).
Bài 6.34 (A-11). Trong không gian v i h t a đ Oxyz, cho m t c u
(S ) : x2 + y 2 + z 2 − 4x − 4y − 4z = 0 và đi m A(4; 4; 0). Vi t phương trình m t
ph ng (OAB), bi t đi m B thu c (S) và tam giác OAB đ u.
Bài 6.35 (D-04). Trong không gian v i h t a đ Oxyz cho ba đi m A(2;0;1),
B(1;0;0), C(1;1;1) và m t ph ng (P) : x + y + z − 2 = 0. Vi t phương trình m t
c u đi qua ba đi m A, B, C, và có tâm thu c m t ph ng (P).
Bài 6.36 (D-08). Trong không gian v i h t a đ Oxyz, cho b n đi m A(3;3;0),
B(3;0;3), C(0;3;3), D(3;3;3).
1. Vi t phương trình m t c u đi qua b n đi m A, B, C, D.
2. Tìm t a đ tâm đư ng tròn ngo i ti p tam giác ABC.
Bài 6.37 (B-05). Trong không gian v i h t a đ Oxyz, cho hình lăng tr đ ng
ABC.A1 B1 C1 v i A(0;−3;0), B(4;0;0), C(0;3;0), B1 (4;0;4).
1. Tìm t a đ các đ nh A1 , C1 . Vi t phương trình m t c u có tâm là A và ti p xúc
v i m t ph ng (BCC1 B1 ).
2. G i M là trung đi m c a A1 B1 . Vi t phương trình m t ph ng (P) đi qua hai
đi m A, M và song song v i BC1 . M t ph ng (P) c t đư ng th ng A1 C1 t i đi m
N. Tính đ dài đo n MN.
Chương 6.Hình h c gi i tích trong không gian 51

Bài 6.38 (B-07). Trong không gian v i h t a đ Oxyz, cho m t c u
(S): x2 + y 2 + z 2 − 2x + 4y + 2z − 3 = 0 và m t ph ng (P) : 2x − y + 2z − 14 = 0.
1. Vi t phương trình m t ph ng (Q) ch a tr c Ox và c t (S) theo m t đư ng tròn
có bán kính b ng 3.
2. Tìm t a đ đi m M thu c m t c u (S) sao cho kho ng cách t M đ n m t ph ng
(P) l n nh t.

Bài 6.39 (A-09). Trong không gian v i h t a đ Oxyz, cho m t ph ng
(P):2x − 2y − z − 4 = 0 và m t c u (S):x2 + y 2 + z 2 − 2x − 4y − 6z − 11 = 0.
Ch ng minh r ng m t ph ng (P) c t m t c u (S) theo m t đư ng tròn. Xác t a đ
đ nh tâm và bán kính c a đư ng tròn đó.

Bài 6.40 (A-10). Trong không gian t a đ Oxyz, cho đi m A(0;0;−2) và đư ng
th ng
y−2
x+2 z+3
∆: = = . Tính kho ng cách t A đ n ∆. Vi t phương trình
2 3 2
m t c u tâm A, c t ∆ t i hai đi m B và C sao cho BC=8.


6.3 Phương pháp t a đ trong không gian
Bài 6.41 (D-12). Cho hình h p đ ng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông, tam
giác A’AC vuông cân, A’C = a. Tính th tích kh i t di n ABB’C’ và kho ng cách
t đi m A đ n m t ph ng (BCD’) theo a.

Bài 6.42 (B-12). Cho hình chóp tam giác đ u S.ABC v i SA = 2a, AB = a. G i H
là hình chi u vuông góc c a A trên c nh SC. Ch ng minh SC vuông góc v i m t
ph ng (ABH). Tính th tích c a kh i chóp S.ABH theo a.

Bài 6.43 (A-12). Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đ u c nh a. Hình chi u
vuông góc c a S trên m t ph ng (ABC) là đi m H thu c c nh AB sao cho HA
=2HB. Góc gi a đư ng th ng SC và m t ph ng (ABC) b ng 60o . Tính th tích
c a kh i chóp S.ABC và tính kho ng cách gi a hai đư ng th ng SA và BC theo a.

Bài 6.44 (D-11). Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông t i B,
BA = 3a, BC = 4a; m t ph ng (SBC) vuông góc v i m t ph ng (ABC). Bi t SB

=2a 3và S BC = 30o . Tính th tích kh i chóp S.ABC và kho ng cách t đi m B
đ n m t ph ng (SAC) theo a.
Chương 6.Hình h c gi i tích trong không gian 52

Bài 6.45 (B-11).√ lăng tr ABCD.A1 B1 C1 D1 có đáy ABCD là hình ch nh t.
Cho
AB = a, AD = a 3. Hình chi u vuông góc c a đi m A1 trên m t ph ng (ABCD)
trùng v i giao đi m AC và BD. Góc gi a hai m t ph ng (ADD1A1) và (ABCD)
b ng 60o . Tính th tích kh i lăng tr đã cho và kho ng cách t đi m B1 đ n m t
ph ng (A1 BD) theo a.
Bài 6.46 (A-11). Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân t i
B, AB=BC=2a; hai m t ph ng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc v i m t ph ng
(ABC). G i M là trung đi m c a AB; m t ph ng qua SM và song song v i BC,
c t AC t i N. Bi t góc gi a hai m t ph ng (SBC) và (ABC) b ng 60o . Tính th tích
kh i chóp S. BCNM và kho ng cách gi a hai đư ng th ng AB và SN theo a.
Bài 6.47 (D-03). Cho hai m t ph ng (P) và (Q) vuông góc v i nhau, có giao tuy n
là đư ng th ng ∆. Trên ∆ l y hai đi n A, B v i AB=a. Trong m t ph ng (P) l y
đi n C, trong m t ph ng (Q) l y đi m D sao cho AC, BD cùng vuông góc v i ∆
và AC=BD=AB. Tính bán kính m t c u ngo i ti p t di n ABCD và tính kho ng
cách t A đ n m t ph ng (BCD) theo a.
Bài 6.48 (D-06). Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đ u
c nh a, SA=2a và SA vuông góc v i m t ph ng (ABC). G i M, N l n lư t là hình
chi u vuông góc c a A trên các đư ng th ng SB và SC. Tính th tích kh i chóp
A.BCMN.
Bài 6.49 (D-07). Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, ABC = B AD =

90o , BA=BC=a, AD=2a. C nh bên SA vuông góc v i dáy và SA=a 2. G i H là
hình chi u vuông góc c a A lên SB. Ch ng minh tam giác SCD vuông và tính
(theo a) kho ng cách t H đ n m t ph ng (SCD).
Bài 6.50 (D-08). Cho lăng tr√đ ng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông,
AB=BC=a, c nh bên AA’=a 2. G i M là trung đi m c nh BC. Tính theo a th
tích kh i lăng tr ABC.A’B’C’ và kho ng cách gi a hai đư ng th ng AM, B’C.
Bài 6.51 (D-09). Cho lăng tr đ ng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông
t i B, AB=a, AA’=2a, A’C=3a. G i M là trung đi m c a đo n th ng A’C’, I là giao
đi m c a AM và A’C. Tính theo a th tích kh i t di n IABC và kho ng cách t
đi m A đ n m t ph ng (IBC).
Bài 6.52 (D-10). Cho hình chóp S.ABCD có dáy ABCD là hình vuông c nh a,
c nh bên SA=a, hình chi u vuông góc c a đ nh S trên m t ph ng (ABCD) là đi m
AC
H thu c đo n AC, AH= . G i CM là đư ng cao c a tam giác SAC. Ch ng
4
minh M là trung đi m c a SA và tính th tích kh i t di n SMBC theo a.
Chương 6.Hình h c gi i tích trong không gian 53

Bài 6.53 (B-02). Cho hình l p phương ABCD.A1 B1 C1 D1 có c nh b ng a.
a) Tính theo a kho ng cách gi a hai đư ng th ng A1 B và B1 D.
b) G i M, N, P l n lư t là trung đi m các c nh BB1 , CD, A1 D1 . Tính góc gi a hai
đư ng th ng MP và C1 N.

Bài 6.54 (B-03). Cho hình lăng tr đ ng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là m t
hình thoi c nh a, góc BAD = 60o . G i M là trung đi m c nh AA’ và N là trung
đi m c nh CC’. Ch ng minh r ng b n đi m B’, M, D, N cùng thu c m t ph ng.
Hãy tính đ dài c nh AA’ theo a đ t giác B’MDN là hình vuông.

Bài 6.55 (B-04). Cho hình chóp t giác đ u S.ABCD có c nh đáy b ng a, góc
gi a c nh bên và m t đáy b ng ϕ (0o < ϕ < 90o ). Tính tan c a góc gi a hai m t
ph ng (SAB) và (ABCD) theo ϕ. Tính th tích kh i chóp S.ABCD theo a và ϕ.

Bài 6.56 (B-06). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình ch nh t v i

AB=a, AD=a 2, SA=a và SA vuông góc v i m t ph ng (ABCD). G i M, N l n
lư t là trung đi m c a AD và SC, I là giao đi m c a BM và AC. Ch ng minh r ng
m t ph ng (SAC) vuông góc v i m t ph ng (SMB). Tính th tích kh i t di n
ANIB.

Bài 6.57 (B-07). Cho hình chóp t giác đ u S.ABCD có đáy là hình vuông c nh
a. G i E là đi m đ i x ng c a D qua trung đi m c a SA, M là trung đi m c a
AE, N là trung đi m c a BC. Ch ng minh MN vuông góc v i BD và tính (theo a)
kho ng cách gi a hai đư ng th ng MN và AC.

Bài 6.58 (B-08). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông c nh 2a,

SA=a, SB=a 3 và m t ph ng (SAB) vuông góc v i m t ph ng đáy. G i M, N l n
lư t là trung đi m các c nh AB, BC. Tính theo a th tích c a kh i chóp S.BMDN
và tính cosin góc gi a hai đư ng th ng SM, DN.

Bài 6.59 (B-09). Cho hình lăng tr tam giác ABC.A’B’C’ có BB’=a, góc gi a
đư ng th ng BB’ và m t ph ng (ABC) b ng 60o , tam giác ABC vuông t i C và
BAC = 60o . Hình chi u vuông góc c a đi m B’ lên m t ph ng (ABC) trùng v i
tr ng tâm c a tam giác ABC. Tính th tích kh i t di n A’ABC theo a.

Bài 6.60 (B-10). Cho hình lăng tr tam giác đ u ABC.A’B’C’ có AB=a, góc gi a
hai m t ph ng (A’BC) và (ABC) b ng 60o . G i G là tr ng tâm tam giác A’BC.
Tính th tích kh i lăng tr đã cho và tính bán kính m t c u ngo i ti p t di n
GABC theo a.
Chương 6.Hình h c gi i tích trong không gian 54

Bài 6.61 (A-02). Cho hình chóp tam giác đ u S.ABC đ nh S, có đ dài c nh đáy
b ng a. G i M, N l n lư t là trung đi m c a các c nh SB và SC. Tính theo a di n
tích tam giác AMN, bi t r ng m t ph ng (AMN) vuông góc v i m t ph ng (SBC).

Bài 6.62 (A-03). Cho hình l p phương ABCD.A’B’C’D’. Tính s đo góc ph ng
nh di n [B, A C, D].

Bài 6.63 (A-06). Cho hình tr có các đáy là hai hình tròn tâm O và O’, bán kính
đáy b ng chi u cao và b ng a. Trên đư ng tròn tâm O l y đi m A, trên đư ng tròn
tâm O’ l y đi m B sao cho AB=2a. Tính th tích kh i t di n OO’AB.

Bài 6.64 (A-07). Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông c nh a, m t bên
SAD là tam giác đ u và n m trong m t ph ng vuông góc v i đáy. G i M, N, P l n
lư t là trung đi m c a các c nh SB, BC, CD. Ch ng minh r ng AM vuông góc
v i BP và tính th tích c a kh i t di n CMNP.

Bài 6.65 (A-08). Cho lăng tr ABC.A’B’C’ có đ dài c nh bên b ng 2a, đáy ABC

là tam giác vuông t i A, AB=a, AC=a 3 và hình chi u vuông góc c a đ nh A’
trên m t ph ng (ABC) là trung đi m c a c nh BC. Tính theo a th tích kh i chóp
A’ABC và tính cosin c a góc gi a hai đư ng th ng AA’ và B’C’.

Bài 6.66 (A-09). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông t i
A và D; AB=AD=2a, CD=a; góc gi a hai m t ph ng (SBC) và (ABCD) b ng 60o .
G i I là trung đi m c a c nh AD. Bi t hai m t ph ng (SBI) và (SCI) cùng vuông
góc v i m t ph ng (ABCD), tính th tích kh i chóp S.ABCD theo a.

Bài 6.67 (A-10). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông c nh a.
G i M, N l n lư t là trung đi m c a các c nh AB và AD; H là giao đi m c a CN

v i DM. Bi t SH vuông góc v i m t ph ng (ABCD) và SH=a 3. Tính th tích
kh i chóp S.CDNM và tính kho ng cách gi a hai đư ng th ng DM và SC theo a.


Đáp s
y −2
x− 1 z −3
6.1 M (1; −1; 0) : M ( 3 ; − 5 ; 2 ).
7
6.4 ∆ : = =
33 2 2 3


6.2 6x + 3y − 4z + 12 = 0 1. M = (4; −7; 6); (5; 9; −11)
6.5

2. M (−2; 1; −5); M (−14; −35; 19)
y +4
x+1 z
6.3 = =
2 3 2
Chương 6.Hình h c gi i tích trong không gian 55
√√
6.6 M (0; 1; 3) hay M (− 6 ; 4 ; 12 ) 6.23 30o , 2 3 6 ; 2
777

1
6.7 m = − 2 6.24 I (−3; 5; 7)orI (3; −7; 1)
x = t, y = −1, z = 4 + t
6.8 k = 1
1
6.25 2√2
√ ab 2x − y + z − 1 = 0; x − 2y − z + 1 = 0
6.9 ;a =b=2
a2 +b2


6.10 15x +11y − 17z − 10 = 0; SOAB = 6.26 x−2 = y = z−4 +1
7 1
5
6.27 H (3; 1; 4); x − 4y + z − 3 = 0

6.11 A (−1; −4; 1); x−1 = y−32 = z−53 −
1
6.28 M (0; 1; −3)orM ( 35 ; 53 ; 35 )
18 3
35

6.12 x = y−12 = z−2 ; M (−1; 0; 4)
2 1
1
6.29 √6

6.13 D( 5 ; 1 ; −1); x+3 = y−21 = z−11

22 1
6.30 (S ) : (x˘2)2 + (y ˘1)2 + (z ˘3)2 =

6.14 x−z ±2 2 = 0; M (4; 1; 1), M (7; 4; 25.
4)

6.31 (x + 1)2 + (y + 1)2 + (z − 2)2 =
6.15 5
17
y +2 z −4
x+4
6.16 = = −1
3 2
6.32 x2 + y 2 + (z − 3)2 = 8
3
6.17 x + 3y + 5z − 13 = 0
6.33 (x − 5)2 +(y − 11)2 +(z − 2)2 = 1
M (0; 1; −1), N (0; 1; 1)
(x + 1)2 + (y + 1)2 + (z + 1)2 = 1
6.18 x + 2y − 4z + 6 = 0; M (2; 3; −7)
6.34 x − y + z = 0; x − y − z = 0
6.19 4x+2y +7z −15 = 0; 2x+3z −5 =
6.35 (x − 1)2 + y 2 + (z − 1)2 = 1
0
y z −1
x+3
= 11 = −2
26
6.36 x2 + y 2 + z 2 − 3x − 3y − 3z = 0
6.20 b = c = 1 ; M (−1; 0; 0), M (2; 0; 0) H (2; 2; 2)
2

17
576
6.37 x2 + (y + 2)2 + z 2 =
6.21 2x − z = 0; H (2; 3; 4) ;
25 2

a2 b a
6.22 ;b =1 6.38 y − 2z = 0; M (−1; −1; −3)
4
Chương 6.Hình h c gi i tích trong không gian 56
a
√ ; 90o
6.39 H (3; 0; 2); r = 4 6.53 6


6.40 x2 + y 2 + (z + 2)2 = 25 6.54 a 2
a3 √
23
6.41 V = √ 6.55 a tan ϕ
6
24 2
a
d= √ √
a3 2
6 6.56 36


7a3 11
6.42 V(SABH ) = a2
6.57
96
4
√ √
2 3
6.43 V (S, ABC ) = 3 a 4√ a = a √ 7
7
1 √√
a3 3
; 55
12 6.58 3
d [BC, SA] = 2 HI = 3 a 12 = a 842
42
3
2

√ 9a3
6.59
√a
6
6.44 V = 2a3 3; h = 208
7

3a3 3 7a

6.60 ; 12
3a3 a3
6.45 V = ;h = 8
2 2

√ √ a2 10
6.61
a 12
3
6.46 V(SM N CB ) = 3a ; h = √ 16
13

√ √
6.62 120o
a3a2
6.47 ;2
2

3a3

6.63
3 3a3 12
6.48 50

3a3
6.64
a
6.49 96
3


a3 1
a7
6.65 ;
6.50 24
7

√ √
4a3 2a 5 3 15a3
6.51 ;5 6.66
9 5

√ √
a3 14
6.52 5 3a3 2 3a
6.67 ; √19
48
24
Chương 7

Tích phân và ng d ng


7.1 Tính các tích phân sau: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
7.2 Tính di n tích hình ph ng đư c gi i h n b i các đư ng sau: 59
7.3 Tính th tích kh i tròn xoay đư c t o b i hình ph ng (H)
khi quay quanh Ox. Bi t (H) đư c gi i h n b i các đư ng
sau: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Đáp S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60




7.1 Tính các tích phân sau:
Bài 7.1 (D-12). Bài 7.3 (A-12).
π
4 3
1 + ln(x + 1)
I= x(1 + sin 2x)dx I= dx
x2
0 1

Bài 7.2 (B-12).
Bài 7.4 (D-11).
1
x3 4
4x − 1
I= dx.

x4 + 3 x2 + 2 I= dx
2x + 1 + 2
0 0
Chương 7.Tích phân và ng d ng 58

Bài 7.5 (B-11). Bài 7.14 (D-10).
π
e
1 + x sin x 3
3
I= dx (2x − ) ln x dx.
I=
cos2 x x
0 1

Bài 7.6 (A-11). Bài 7.15 (B-03).
π
x sin x + (x + 1) cos x
4 π
1 − 2 sin2 x
I= dx 4
I= dx.
x sin x + cos x
0
1 + sin 2x
0
Bài 7.7 (D-03).
Bài 7.16 (B-04).
2

|x2 − x| dx.
I= e
1 + 3 ln x ln x
0
I= dx.
x
1
Bài 7.8 (D-04).
Bài 7.17 (B-05).
3
ln(x2 − x) dx.
I=
π
2
sin 2x cos x
2
I= dx.
Bài 7.9 (D-05). 1 + cos x
0
π
2
Bài 7.18 (B-06).
(esin x + cos x) cos x dx.
I=
0
ln 5
dx
Bài 7.10 (D-06). I= .
e + 2e−x − 3
x
ln 3
1
(x − 2)e2x dx.
I= Bài 7.19 (B-08).
0
π
Bài 7.11 (D-07). sin(x −
)dx
π
4
4
I= .
e
sin 2x + 2(1 + sin x + cos x)
x3 ln2 x dx. 0
I=
1
Bài 7.20 (B-09).
Bài 7.12 (D-08).
3
3 + ln x
2
ln x I= dx.
(x + 1)2
I= dx. 1
x3
1

Bài 7.21 (B-10).
Bài 7.13 (D-09).
e
3
ln x
dx
I= dx.
I= .
x(2 + ln x)2
x
e −1 1
1
Chương 7.Tích phân và ng d ng 59

Bài 7.22 (A-03). Bài 7.26 (A-08).

23
dx π

I= . tan4 x
6

x x2 + 4 I= dx.
5
cos 2x
0
Bài 7.23 (A-04).
2
x Bài 7.27 (A-09).

I= dx.
1+ x−1
1
π
Bài 7.24 (A-05). 2
(cos3 x − 1) cos2 x dx.
I=
π
sin 2x + sinx 0
2

I= dx.
1 + 3 cos x
0
Bài 7.28 (A-10).
Bài 7.25 (A-06).
π
sin 2x 1
x2 + e x + 2 x2 e x
2
I= dx. I= dx.
1 + 2ex
cos2 x + 4 sin2 x
0 0




7.2 Tính di n tích hình ph ng đư c gi i h n b i các
đư ng sau:
2 2
4− x y= x .

Bài 7.29 (B-02). y= và
4 42
y = |x2 − 4x + 3| và
Bài 7.30 (A-02). y = x + 3.

y = (1 + ex )x.
Bài 7.31 (A-07). y = (e + 1)x và


7.3 Tính th tích kh i tròn xoay đư c t o b i hình
ph ng (H) khi quay quanh Ox. Bi t (H) đư c
gi i h n b i các đư ng sau:
Bài 7.32 (B-07). y = x ln x, y = 0 , x = e.
Chương 7.Tích phân và ng d ng 60

Đáp s

π2 1 4

7.11 ( 5e32 1 ) 7.22 ( 1 ln 3 )
5
7.1 + 4
32 4
7.12 ( 3−16ln 2 ) 7.23 ( 11 − 4 ln 2)
2
1 3
(2 ln 3 − 3 ln 2)
7.2 2

7.13 (ln(e2 + e + 1) − 2) 7.24 ( 34 )
7.3 I= 27

2 −2 2
7.25 ( 2 )
7.14 ( e2 − 1)
+ ln 2 + ln 3 3
3 3

7.15 ( 1 ln 2) 7.26 ( 1 ln(2+ 3) − 9103 )

34 3
7.4 + 10 ln 5 2 2
3

√ √ 116
7.16 ( 135 ) 7.27 ( 15 − π )
8
2−
+ 1 ln 2+√3

7.5 3+ 4
3 2 3

7.17 (2 ln 2 − 1)
√ √
7.28 ( 1 + 1 ln 1+2e )
2π 2
π
7.6 + ln( + ) 3 2 3
4 8 2
3
7.18 (ln 2 ) 7.29 (2π + 4 )
7.7 (1) 3

7.19 ( 4−3 2
7.30 ( 109 )
)
7.8 (3 ln 3 − 2) 4 6

π
7.20 ( 1 (3 + ln 16 ))
27 e
− 1)
7.9 (e + 7.31 ( 2 − 1)
4 4

2
7.10 I = ( 5−4 e )
3
7.21 (− 1 + ln 2 )
3 3
7.32 ( π(5e −2) )
3
27
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản