Tuyển tập các đề thi môn toán Trung học cơ sở tỉnh Hải Dương

Chia sẻ: dinhluyen2704

Tài liệu tham khảo Tuyển tập các đề thi môn toán Trung học cơ sở tỉnh Hải Dương

Bạn đang xem 7 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: Tuyển tập các đề thi môn toán Trung học cơ sở tỉnh Hải Dương

 

  1. TUY N T P THI MÔN TOÁN THCS T NH H I DƯƠNG hieuchuoi@ Tháng 7.2006 1
  2. GI I THI U Tuy n t p thi này g m t t c 10 thi tuy n sinh vào trư ng THPT chuyên Nguy n Trãi – T nh H i Dương (môn Toán chuyên) và 10 thi h c sinh gi i c p t nh H i Dương. Ph n cu i tuy n t p là 30 bài toán ư c ch n t các thi khác. C u trúc tuy n t p như sau: Ph n I: thi tuy n sinh vào l p 10 Ph n II: thi h c sinh gi i c p t nh Ph n III: M t s bài toán t các thi khác Xin chú thích thêm v các bài toán Ph n III, ó là các bài toán ư c ch n t các thi Toán không ư c gi i thi u toàn b trong tuy n t p này. Có nhi u bài toán khó, phân lo i h c sinh trong các cu c thi, ho c nh ng bài toán ã ư c c i biên cho hay hơn, khó hơn. Tuy n t p này không có l i gi i, m i v n h i áp, yêu c u, góp ý xin xem t i http://mathnfriend.net Toán cho h c sinh THCS thi- áp án Tuy n t p thi T nh H i Dương Tuy n t p ch c ch n s không tránh kh i thi u sót, mong các b n thông c m. hieuchuoi@ Tháng 7.2006 2
  3. PH N I THI TUY N SINH VÀO THPT CHUYÊN NGUY N TRÃI MÔN THI: TOÁN CHUYÊN 3
  4. THI TUY N SINH VÀO THPT CHUYÊN NGUY N TRÃI NĂM H C 1997-1998 MÔN THI: TOÁN CHUYÊN – TH I GIAN: 150 PHÚT Câu I: 1) Tìm các s t nhiên a, b th a mãn: ab = (a − 1) 2 + (b + 1) 2 2) Tìm các s t nhiên x, y, z th a mãn: x 3 − 4 y 3 − 2 z 3 = 0 Câu II: 1) Tính t ng 1 1 1 1 1 1 S = 1+ + + 1+ + + .... + 1 + + 2 2 32 32 42 1997 2 19982 2) Tính giá tr bi u th c A: 1 1 1 A = x2 + x2 + x + 1 v i x = 2+ − 2 2 8 8 Câu III: Ba ư ng phân giác trong các góc A, B, C c t ư ng tròn ngo i ti p tam giác ABC t i A1 , B1 , C1 . Ch ng minh r ng: AA1 + BB1 + CC1 > AB + BC + CA Câu IV: Cho hình bình hành ABCD, ư ng phân giác BAD c t c nh BC và CD t i M và N. 1) Ch ng minh r ng: Tâm ư ng tròn ngo i ti p tam giác CMN n m trên ư ng tròn ngo i ti p tam giác CBD . 2) G i K là giao i m c a ư ng tròn ngo i ti p tam giác CMN và ư ng tròn ngo i ti p tam giác CBD. Ch ng minh r ng AKC = 900 . Câu V: Ch ng minh b t ng th c: 2 a−b b−c c−a  1 1  + + ≤ −  c a b  1997 1998  Trong ó 1997 ≤ a, b, c ≤ 1998 4
  5. THI TUY N SINH VÀO THPT CHUYÊN NGUY N TRÃI NĂM H C 1998-1999 MÔN THI: TOÁN CHUYÊN - TH I GIAN: 150 PHÚT Câu I:  xy − y = 2  Gi i h phương trình  yz − z = 2  zx − x = 2  Câu II: Dãy s a1, a2 ,..., an ư c cho theo quy lu t sau: 1 1 a1 = 1; a2 = a1 + ;....; an = an−1 + a1 an−1 Ch ng minh r ng 17 < a145 < 21 Câu III: Cho tam giác ABC không cân, BD và CE là hai ư ng phân giác trong c a góc B và góc C c t nhau t i I sao cho ID=IE 1) Tính l n góc BAC . 2) Ch ng minh ng th c 3 1 1 = + AB + BC + CA AB + BC BC + CA Câu IV: Cho tam giác ABC, M là m t i m b t kì n m trong tam giác. AM, BM, CM l n lư t c t các c nh BC, CA, AB t i P, Q, R. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: AM BM CM + + MP MQ MR 5
  6. THI TUY N SINH VÀO THPT CHUYÊN NGUY N TRÃI NĂM H C 1998-1999 MÔN THI: TOÁN CHUYÊN - TH I GIAN: 150 PHÚT Câu I:  x 2 + 3 xy + 2 y 2 − x + y − 6 = 0 Gi i h phương trình  2  x + xy − 2 y + 8 x + 10 x + 12 = 0 2 Câu II: Tìm các s nguyên k, m, n ôi m t khác nhau và ng th i khác 0 a th c x ( x − k )( x − m )( x − n ) + 1 phân tích thành tích c a hai a th c v i h s nguyên. Câu III: Cho ư ng tròn tâm O và m t i m M n m ngoài hình tròn. Qua M k cát tuy n c t ư ng tròn t i B, C (MC > MB) và ti p tuy n MA (A là ti p i m). 1) G i E, F là chân ư ng cao c a tam giác ABC k t B, C. Ch ng minh r ng EF luôn song song v i m t ư ng th ng c nh khi cát tuy n MBC thay i. 2) G i H là hình chi u vuông góc c a A trên MO. Ch ng minh r ng t giác BHOC là t giác n i ti p. 3) Tìm qu tích tr ng tâm tam giác ABC khi cát tuy n MBC thay i. Câu IV: Cho a giác l i A1 A2 A3 A4 A5 A 6 A7 A8 có các góc nh b ng nhau và dài các c nh là nh ng s nguyên. Ngư i ta tô m i c nh b ng m t trong hai màu xanh ho c . Ch ng minh r ng bao gi cũng t n t i cách tô màu sao cho t ng dài các c nh màu xanh b ng t ng dài các c nh màu . Câu V: Ch ng minh b t ng th c: m 1 − 2 ≥ 2 v i m, n ∈ N * n n ( 3+ 2 ) 6
  7. THI TUY N SINH VÀO THPT CHUYÊN NGUY N TRÃI NĂM H C 2000-2001 MÔN THI: TOÁN CHUYÊN - TH I GIAN: 150 PHÚT Câu I: Tính giá tr c a bi u th c: 1995.1997.1998.1999.2000.2001 + 36 Câu II: 1) Tìm các s nguyên x, y th a mãn phương trình: x − 5 y + 2 + y − 4x − 3 + x + y + 2 + 2x + 3y + 6 = 7 2) Gi i phương trình theo tham s m: m− m− m−x = x 3) Cho t giác l i có di n tích b ng 1. Tìm giá tr nh nh t c a t ng các c nh và hai ư ng chéo. Câu III: Ch ng minh r ng v i b t kì hai s a và b luôn tìm ư c các s x, y trong ó 0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 1 . Th a mãn b t ng th c: 1 xy − ax − by ≥ 3 1 1 Có th thay s b t ng th c trên b ng h ng s c khác v i c > ư c 3 3 không? Câu IV: Cho t giác ABCD n i ti p ư ng tròn tâm O, hai ư ng chéo AC và BD c t nhau t i I. G i O1 là tâm ư ng tròn ngo i ti p tam giác ABI, O2 là tâm c a ư ng tròn ngo i ti p tam giác CDI. 1) Ch ng minh t giác O1OO2 I là hình bình hành. 2) M t ư ng th ng qua I c t ư ng tròn tâm O t i M, N, c t ư ng tròn tâm O1 và tâm O2 th t t i P, Q. Ch ng minh r ng PM=QN. 7
  8. THI TUY N SINH VÀO THPT CHUYÊN NGUY N TRÃI NĂM H C 2001-2002 MÔN THI: TOÁN CHUYÊN -TH I GIAN: 150 PHÚT Câu I: Ch ng minh r ng bi u th c:  x+ y   x+ y  A =  xy + − x + xy − − y  2   2  Không ph thu c vào x và y. Câu II: 1) Gi i phương trình (x − 1) − 4 ( x − 1) = 12 ( x + 1) 2 2 2 2 2) Xác nh các giá tr c a m phương trình: x 2 − 4mx + 4m 2 + 1 + x2 − 6 x + 7 = 0 x − 2m Có m t nghi m duy nh t. Câu III: 1) Cho hai ư ng tròn tâm O1 và O2 ti p xúc trong t i M ( ư ng tròn tâm O2 n m trong), N là m t i m n m trên ( O2 ) (N khác M), qua N k m t ti p tuy n v i ( O2 ) c t ( O1 ) t i A và B. ư ng th ng MN c t ( O1 ) t i E. G i I là ti p i m c a ti p tuy n v i ( O2 ) k t E. ư ng th ng EI c t ư ng tròn ( O1 ) t i C. Ch ng minh r ng I là tâm ư ng tròn n i ti p tam giác ABC. 2) G i a, b, c là dài ba c nh tam giác và r, R l n lư t là dài bán kính ư ng tròn n i, ngo i ti p tam giác ABC. Ch ng minh r ng i u ki n c n và tam giác ABC u là: 1 1 1 3 + + = a b c 2 Rr Câu IV: Cho n là s t nhiên l và n có th bi u di n không ít hơn hai cách là t ng c a hai s chính phương. Ch ng minh r ng n là h p s . 8
  9. THI TUY N SINH VÀO THPT CHUYÊN NGUY N TRÃI NĂM H C 2002-2003 MÔN THI: TOÁN CHUYÊN - TH I GIAN: 150 PHÚT Bài I: 1 Cho a th c f(x) có b c 2000 th a mãn i u ki n f (n) = v i n n = 1, 2,3,....,2001 . Tính giá tr f(2002). Bài II: 1) Gi i phương trình 8 x3 + 1 = 3 ( x 2 − 2 x ) 1 1 1 2) Cho ba s k , m, n ∈ Ν * + + <1 ng th i th a mãn k m n 1 1 1 Xác nh s h u t q nh nh t sao cho + + ≤ q . k m n Bài III: 1) Cho tam giác nh n ABC có BAC = 600 và n i ti p trong ư ng tròn tâm O. G i H là tr c tâm tam giác ó. Ch ng minh r ng OH = AB − AC 2) Cho tam giác u ABC và m t ư ng tròn có bán kính b ng c nh c a tam giác u ó ng th i i qua hai nh B và C sao cho nh A n m ngoài ư ng trong, M là i m trên ư ng tròn (M không trùng v i B và C). Ch ng minh r ng MA, MB, MC là dài ba c nh c a m t tam giác vuông. Bài IV: 1) Cho dãy s t nhiên ư c vi t theo quy lu t sau: u1 = 14; u2 = 144; u3 = 1444;...; un = 1444...4 (có n ch s 40. Tìm các s h ng c a dãy là s chính phương. 2) L y các s nguyên t 1 n 9 x p vào các ô c a m t hình vuông 3x3 ô (m i s ch l y 1 l n) sao cho t ng m i hàng, m i c t, m i ư ng chéo u là b i c a 9. Ch ng minh r ng ch s n m ô c a tâm hình vuông là b i c a 3. Hãy ch ra m t cách x p có s ô tâm là 6. 9
  10. THI TUY N SINH VÀO THPT CHUYÊN NGUY N TRÃI NĂM H C 2003-2004 MÔN THI: TOÁN CHUYÊN - TH I GIAN: 150 PHÚT Câu I: Cho hai s dương a và b. Xét t p h p T bao g m các s có d ng T = {ax + by; x + y = 1; x > 0; y > 0} 2ab Ch ng minh r ng các s và ab u thu c t p h p T. a+b Câu II: Cho tam giác ABC, D và E là các ti p i m c a ư ng tròn n i ti p v i các c nh AB và AC, ư ng phân giác c a góc B c t ư ng th ng DE t i H. Ch ng minh tam giác BHC là tam giác vuông. Câu III: 1) Gi i h phương trình; ( x + y ) ( x 2 − y 2 ) = 45   ( x − y ) ( x + y ) = 85 2 2  2) Tìm các s h u t a, b, c sao cho các s 1 1 1 a + ; b + ; c + là các s nguyên dương. b c a Câu IV: Tìm a th c f ( x ) và g ( x ) h s nguyên sao cho: ( f 2+ 7 )= 2 g( 2+ 7) Câu V: Tìm s nguyên t p 4 p 2 + 1 và 6 p 2 + 1 u là các s nguyên t Câu VI: Cho phương trình x 2 + ax + b = 0 có hai nghi m là x1 và x2 ( x1 ≠ x2 ) . t x1n − x2 n un = (n là s t nhiên). Tìm giá tr a và b sao cho ng th c x1 − x2 10
  11. un +1un +2 − unun+3 = ( −1) n úng v i m i s t nhiên n, t ó suy ra un + un+1 = un+ 2 . 11
  12. THI TUY N SINH VÀO THPT CHUYÊN NGUY N TRÃI NĂM H C 2004-2005 MÔN THI: TOÁN CHUYÊN - TH I GIAN: 150 PHÚT Câu I: Tìm giá tr c a a phương trình: ( ) ( ) a x − a + 1 − 3 a + 3 + 3 a = 3 3x − 3 4 3 2 ( ) Có vô s nghi m. Câu II: Tìm các s t nhiên a, b, c ( a ≤ b ≤ c ) th a mãn ng th c:  1  1  1  1 + 1 + 1 +  = 2  a  b  c  Câu III: a−b 3 Cho a, b, c là các s nguyên dương sao cho là s h u t . b−c 3 1) Ch ng minh r ng b 2 = ac 2) V i b ≠ 1 . Ch ng minh r ng a 2 + b 2 + c 2 là h p s . Câu IV: Cho hình bình hành ABCD, M là i m n m trong hình bình hành sao cho AMB + CMD = 1800 . Ch ng minh r ng MAD = MCD . Câu V: Cho tam giác cân ABC ( AB = AC ) , ư ng phân giác trong k t nh B c t c nh AC t i D th a mãn BC = BD + DA . 1) Tính các góc c a tam giác ABC. 2) Ch ng minh r ng a 3 + b3 = 3ab 2 ( AB = AC = b; BC = a ) . 12
  13. THI TUY N SINH VÀO THPT CHUYÊN NGUY N TRÃI NĂM H C 2005-2006 MÔN THI: TOÁN CHUYÊN - TH I GIAN: 150 PHÚT Câu I: Cho phương trình x 2 − 5 x + 3 = 0 . G i hai nghi m c a phương trình là x1 , x2 . Tính giá tr c a bi u th c: A = x1 − 2 − x2 + 1 Câu II: 1) Gi i h phương trình:  x + 10 + y − 6 = 4    x − 6 + y + 10 = 4  2) Cho phương trình ( x − 1)( x − 2 )( x − 3)( x − 6 ) = ( m 2 − 1) x 2 ( n x) Gi s phương trình có b n nghi m là x1 , x2 , x3 , x4 . Ch ng minh giá tr c a 1 1 1 1 bi u th c + + + không ph thu c vào m. x1 x2 x3 x4 Câu III: ( Cho tam giác ABC BAC ≠ 900 ) n i ti p ư ng tròn tâm O, ư ng th ng AB, AC c t ư ng tròn ngo i ti p tam giác OBC tâm I l n lư t t i M và N. G i J là i m i x ng c a I qua MN. Ch ng minh r ng: 1) Tam giác AMC là tam giác cân. 2) AJ vuông góc v i BC. Câu IV: Cho t giác ABCD n i ti p ư ng tròn. G i M, H, K theo th t là chân ư ng vuông góc k t A n CD, DB, BC. Ch ng minh HM=HK khi và ch khi các ư ng phân giác góc BAD , BCD và BD ng quy. Câu V: 1 1 1 Cho ba s th c a, b, c th a mãn a ≥ b ≥ c; abc = 1 và a + b + c > + + a b c Ch ng minh r ng a + b > ab + 1 13
  14. THI TUY N SINH VÀO THPT CHUYÊN NGUY N TRÃI NĂM H C 2006-2007 MÔN THI: TOÁN CHUYÊN - TH I GIAN: 150 PHÚT Câu I: 2 2 2 2 2 Rút g n bi u th c: 1 + 1+ 1 + .... 1 + 1+ 3 4 5 2005 2006 Câu II: 1) Cho hai a th c f ( x ) = x5 − 3 x 4 + 7 x3 − 9 x 2 + 8 x − 2; g ( x ) = x 2 − 2 x + a Xác nh giá tr c a a t n t i a th c p ( x ) th a mãn: f ( x ) = g ( x ) p ( x ) v i m i giá tr c a x. 2) G i α là nghi m c a a th c f ( x ) = x3 − x 2 − 1 . Tìm a th c h ( x ) có h s nguyên nh n α 2 + 1 làm nghi m. Câu III: Cho phương trình x 2 − 4 x + 1 = 0 , g i x1 , x2 là hai nghi m c a phương trình. x1n − x2 n t an = ; n = 1;2;3.... 2 3 Ch ng minh r ng an là m t s nguyên v i m i n = 1;2;3... Câu IV: Cho tam giác nh n ABC, g i H là tr c tâm và O là tâm ư ng tròn ngo i ti p tam giác ABC. 1) Ch ng minh r ng AH=AO khi và ch khi BAC = 600 2) BD, CE là hai ư ng phân giác trong c a góc B, C ( D ∈ AC , E ∈ AB ) . M là i m trên BC sao cho tam giác MDE là tam giác u. Ch ng minh r ng AH=AO. Câu V: Cho a, b, c là các s th c th a mãn các i u ki n: a < b < c; a + b + c = 6; ab + bc + ca = 9 Ch ng minh r ng 0 < a < 1 < b < 3 < c < 4 14
  15. PH N 2 THI H C SINH GI I C P T NH MÔN TOÁN 15
  16. THI H C SINH GI I C P T NH MÔN TOÁN NĂM H C 1996-1997 – TH I GIAN 150 PHÚT Câu I: 2x 2 2x2 1) Cho 2 = − . Hãy tính P = 4 . x + 2x + 4 3 x + 2 x2 + 4 5 ( x + y ) + 2 xy = −19 2) Gi i h phương trình:   3 xy + x + y = −35 Câu II: Cho f ( x ) = ax 2 + bx + c . 1) Gi s f ( x ) có nghi m x1 , x2 . Kí hi u P ( k ) = x1k + x2 . k Ch ng minh r ng aP ( k + 2 ) + bP ( k + 1) + cP ( k ) = 0 . Áp d ng tính ( ) + ( 0,5 − ) 9 9 R = 0,5 + 1, 25 1,25 . 2) Cho 0 ≤ f ( m ) ≤ 1 v i m ∈ {0;1;2} . Ch ng minh f ( x ) ≤ 1,125 v i m i x th a mãn 1 ≤ x ≤ 2 . 3) Cho a = 1 , b và c là các s nguyên. Ch ng minh có th tìm ư c s t nhiên n sao cho: f ( n + 1) ; f ( n + 2 ) ;....; f ( n + 1996 ) u là h p s . Câu III: Cho các s h u t a, b, c th a mãn:  abc = 1   a b c b3 a 3 c 3  3+ 3+ 3= + + b c a a c b Ch ng minh r ng trong ba s 3 a ; 3 b ; 3 c có ít nh t m t s là s h u t . Câu IV: Trên các c nh AB, BC, CA theo th t l y F, D, E và d ng v phía ngoài tam giác ABC m t tam giác ACK sao cho ACK = DFE; CAK = FDE . Gi s ư ng tròn ngo i ti p tam giác DEF c t AC t i M (n m gi a C và E). Ch ng minh r ng: 1) FM song song AK. 2) T giác DBFK và tam giác ABC có di n tích b ng nhau. (còn ti p trang sau) 16
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản