Tuyển tập đề thi học sinh giỏi các tỉnh thành 2008-2009

Chia sẻ: Nguyen Van Nguyễn Văn | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:30

0
759
lượt xem
191
download

Tuyển tập đề thi học sinh giỏi các tỉnh thành 2008-2009

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo về tuyển tập đề thi học sinh giỏi các tỉnh thành 2008-2009

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Tuyển tập đề thi học sinh giỏi các tỉnh thành 2008-2009

  1. Tuy n t p đ thi h c sinh gi i các t nh thành 2008-2009 phuchung - 11 Toán- THPT Qu c H c Hu Ngày 28 tháng 4 năm 2009 M cl c 1 H i Phòng 3 1.1 Ch n sinh gi i không chuyên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Ch n đ i tuy n qu c gia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2 Ngh An 4 2.1 Ch n đ i tuy n qu c gia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.1.1 Vòng 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.1.2 Vòng 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.2 Ch n đ i tuy n Đ i h c Vinh . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.3 Ch n h c sinh gi i không chuyên . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3 Th a Thiên Hu 8 3.1 Ch n đ i tuy n qu c gia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 4 Hà Tĩnh 9 4.1 Ch n h c sinh gi i không chuyên . . . . . . . . . . . . . . . . 9 4.2 Ch n đ i tuy n qu c gia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 4.2.1 Vòng 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 4.2.2 Vòng 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 5 C n Thơ 12 5.1 Vòng 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 5.2 Vòng 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1
  2. Tuy n t p đ thi HSG 2008-2009 M CL C 6 Bà R a Vũng Tàu 14 6.1 Ch n đ i tuy n trư ng chuyên Lê Quý Đôn . . . . . . . . . . 14 7 Thanh Hóa 15 7.1 Vòng 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 7.2 Vòng 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 7.3 Lam Sơn 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 8 H i Dương 17 8.1 Vòng 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 8.2 Vòng 2: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 9 Đ ng Tháp 20 10 Tp. H Chí Minh 21 10.1 Tp. H Chí Minh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 11 Hà N i 22 11.1 Tp. Hà N i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 11.2 Đ i h c sư ph m Hà N i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 11.2.1 Vòng 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 11.2.2 Vòng 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 11.3 Đ i h c KHTN Hà N i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 11.3.1 Vòng 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 11.3.2 Vòng 2 - Ngày 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 11.3.3 Vòng 2 - Ngày 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 12 Qu ng Bình 26 12.1 Vòng 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 12.2 Vòng 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 13 Kon Tum 28 14 Vĩnh Phúc 29 14.1 H c sinh gi i l p 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 - - -phuchung- - - 2
  3. Tuy n t p đ thi HSG 2008-2009 1 H I PHÒNG 1 H i Phòng 1.1 Ch n sinh gi i không chuyên Bài 1: (3 đi m) 2x + 1 Cho hàm s y = x−2 1. Ch ng minh r ng m i ti p tuy n c a đ th l p v i 2 đư ng ti m c n m t tam giác có di n tích không đ i. 2. Tìm các đi m thu c đ th hàm s tho mãn ti p tuy n t i đi m đó l p v i 2 đư ng ti m c n 1 tam giác có chu vi nh nh t. Bài 2: (1 đi m) Cho phương trình: (65 sin x − 56) (80 − 64 sin x − 65cos2 x) = 0 (1) Ch ng minh r ng t n t i 1 tam giác có các góc tho mãn phương trình (1). Bài 3: (3 đi m) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là n a l c giác đ u c nh a, đư ng cao SA = h. 1. Tính th tích kh i chóp S.ABCD. 2. M t ph ng đi qua A và vuông góc v i SD c t SB, SC, SD theo th t t i các đi m A’, B’, C’. Ch ng minh r ng t giác AB’C’D’ n i ti p trong 1 đư ng tròn. 3. Ch ng minh r ng AB’>C’D’. Bài 4: (2 đi m) Cho phương trình ax3 + 21x2 + 13x + 2008 = 0 (1). Bi t r ng phương trình (1) có 3 nghi m th c phân bi t, h i phương trình sau có t i đa bao nhiêu nghi m th c: 2 4 (ax3 + 21x2 + 13x + 2008) (3ax + 21) = (3ax2 + 42x + 13) Bài 5: (1 đi m) Cho h phương trình sau: cos x = x2 y tan y = 1 Ch ng minh r ng h đã cho có duy nh t 1 nghi m (x; y) tho mãn 0 < x < y
  4. Tuy n t p đ thi HSG 2008-2009 2 NGH AN 1.2 Ch n đ i tuy n qu c gia Bài 1: Tìm nghi m nguyên dương c a phương trình: x2 + y 2 + z 2 + t2 = 10.22008 Bài 2: Cho 3 s th c dương x, y, z tho mãn x + y + z + 1 = 4xyz. Ch ng minh r ng: xy + yz + xy ≥ x + y + z Bài 3: Cho hàm s f (x) : N ∗ → N tho mãn: f (1) = 2; f (2) = 0; f (3k) = 3f (k) + 1; f (3k + 1) = 3f (k) + 2; f (3k + 2) = 3f (k) H i có th t n t i n đ f (n) = 2008 đư c không? Bài 4: Cho tam giác ABC v i O, I theo th u t là tâm c a đư ng tròn ngo i, n i ti p tam giác. Ch ng minh r ng AIO ≤ 900 khi và ch khi AB + AC ≥ 2.BC Bài 5.   u1 = 1 Cho dãy (un ) tho mãn: u2 n  un+1 = un + 2008 n ui Hãy tính lim i=1 ui+1 2 Ngh An 2.1 Ch n đ i tuy n qu c gia 2.1.1 Vòng 1 Bài 1 (2đ): Gi i h phương trình:   |y|√ |x − 3| = (2 z − 2 + y)y = 1 + 4y  2 x + z − 4x = 0 - - -phuchung- - - 4
  5. Tuy n t p đ thi HSG 2008-2009 2 NGH AN Bài 2 (3đ) Cho s nguyên a.Ch ng minh r ng: phương trình x4 − 7x3 + (a + 2)x2 − 11x + a = 0 không th có nhi u hơn 1 nghi m nguyên. Bài 3 (3đ) √ √ Cho dãy s th c xn đư c xác đ nh b i: x0 = 1, xn+1 = 2+ xn −2 1 + xn ∀n ∈ N n Ta xác đ nh dãy yn b i công th c yn = xi .2i , ∀n ∈ N ∗ .Tìm công th c t ng i=1 quát c a dãy yn Bài 4 (3đ) Cho các s nguyên a,b,c khác 0 tho mãn:   a b c  + + ∈Z b c a  a+ b +c ∈Z  c a b 4 4 3a 2b c4 Ch ng minh r ng: 2 + 2 + 2 − 4|a| − 3|b| − 2|c| ≥ 0 b c a Bài 5 (3đ) Trong mp to đ Oxy cho 9 đi m có to đ là các s nguyên,trong đó không có 3 đi m nào th ng hàng. Ch ng minh r ng t n t i ít nh t 1 tam giác có 3 đ nh là 3 trong 9 đi m trên có di n tích là 1 s ch n. Bài 6 (3đ) Cho 2 đư ng tròn (O) và (O ) ti p xúc trong t i đi m K,((O ) n m trong (O)).Đi mA n m trên (O)sao cho 3 đi m A, O, O không th ng hàng.Các ti p tuy n AD và AE c a (O ) c t (O) l n lư t t i Bvà C (D, E là các ti p đi m).Đư ng th ng AO c t (O) t i F .Ch ng minh r ng các đư ng th ng BC, DE, F K đ ng quy Bài 7 (3đ) Cho n ≥ 2, n ∈ N .Kí hi u A = {1, 2, ..., n}.T p con B c a t p A đư c g i là 1 t p "t t" n u B khác r ng và trung bình c ng c a các ph n t c a B là 1 s nguyên.G i Tn là s các t p t t c a t p A.Ch ng minh r ng Tn −n là 1 s ch n - - -phuchung- - - 5
  6. Tuy n t p đ thi HSG 2008-2009 2 NGH AN 2.1.2 Vòng 2 Bài 1 (2đ) √ Gi i phương trình: 16x3 − 24x2 + 12x − 3 = 3 x Bài 2 (3đ) Tìm t t c các s nguyên a, b, c tho mãn đi u ki n 1 < a < b < c và abc chia h t cho (a − 1)(b − 1)(c − 1) Bài 3 (3đ) √ Cho a, b, c, x, y, zlà các s th c thay đ i tho mãn (x + y)c − (a + b)z = 6. Tìm GTNN c a bi u th c: F = a2 + b2 + c2 + x2 + y 2 + z 2 + ax + by + cz Bài 4 (3đ) Tìm t t c các hàm f : R → R sao cho: f (x + cos(2009y)) = f (x) + 2009cos(f (y)), ∀x, y ∈ R Bài 5 (3đ) Cho tam giác ABC thay đ i.G iH là tr c tâm,O là tâm đư ng tròn ngo i ti p và R là bán kính đư ng tròn ngo i ti p c a tam giác ABC.Xác đ nh OH GTNN c a s k sao cho
  7. Tuy n t p đ thi HSG 2008-2009 2 NGH AN 2.2 Ch n đ i tuy n Đ i h c Vinh Bài 1: Ch ng minh r ng v i m i x thì: 1 1 1 1 + cosx + cos2x + cos3x + cos4x > 0 2 3 4 Bài 2: Tìm các giá tr không âm c a m đ phương trình sau có nghi m: √ √ √ x−m+2 x−1= x Bài 3: Đ t A = {n, n + 1, n + 2, n + 3, n + 4, n + 5, n + 6, n + 7}. Tìm m i s nguyên dương n sao cho t n t i hai t p B, C r i nhau th a m n đ ng th i: 1.A = B ∪ C 2. x = y(x ∈ B, y ∈ C) Bài 4: Trong m t ph ng cho đư ng tròn (O) và đư ng th ng d không có đi m chung v i (O). G i H là hình chi u c a O lên d, g i M là m t đi m trên d ( M không trùng v i H). T M k các tuy p tuy n MA, MB v i (O). G i C, D là hình chi u c a H lên MA, MB. Các đư ng th ng CD, AB c t OH t i I và K. Cm I là trung đi m c a HK. 2.3 Ch n h c sinh gi i không chuyên Bài 1: (3 đi m) π Tìm m đ phương trình sau có 4 nghi m phân bi t thu c đo n [0; ] 4 4 4 2 sin x + cos x + cos 4x = m Bài 2: (3 đi m) Cho h : ( a là tham s ) √ √ √x + y = 4 √ x+7+ y+7≤a Tìm a đ h có nghi m (x; y) th a mãn đi u ki n : x ≥ 9 Bài 3:(3 đi m) Cho hàm s : - - -phuchung- - - 7
  8. Tuy n t p đ thi HSG 2008-2009 3 TH A THIÊN HU √ 3 1 + xsin2 x − 1, khix = 0 0, khix = 0 Tính đ o hàm c a hàm s t i x = 0 và ch ng minh r ng hàm s đ t c c ti u t ix=0 Bài 4: (3 đi m) Cho 3 s dương a, b, c thay đ i . Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c : √ √ √ bc ca ab P = √ + √ + √ a + 3 bc b + 3 ca c + 3 ab Bài 5:(3 đi m) Cho n là s t nhiên , n ≥ 2. Ch ng minh đ ng th c sau : n2 Cn + (n − 1)2 Cn + (n − 2)2 Cn + ... + 22 Cn − 2 + 12 Cn − 1 = n(n + 1)2n−2 0 1 2 n n Bài 6: (2 đi m) Cho kh i chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành . G i M, N, P l n lư t là trung đi m c a các c nh AB, AD, SC . Ch ng minh r ng m t ph ng (MNP) chia kh i chóp S.ABCD thành hai ph n có th tích b ng nhau. Bài 7:(2 đi m) Cho t di n ABCD có AB=CD, AC=BD, AD=BC và m t ph ng (CAB) 1 vuông góc v i m t ph ng (DAB). Ch ng minh r ng : cotBCD.cotBDC = 2 3 Th a Thiên Hu 3.1 Ch n đ i tuy n qu c gia Bài 1: (4 đi m) Tìm các c p s th c (x;y) sao cho: 2x + 4y = 32 xy = 8 Bài 2: (6 đi m) Cho kh i lăng tr đ ng (L) có c nh bên b ng 7a. Đáy c a (L) là l c giác l i ABCDEF có t t c các góc đ u b ng nhau và AB = a, CD = 2a, EF = - - -phuchung- - - 8
  9. Tuy n t p đ thi HSG 2008-2009 4 HÀ TĨNH 3a, DE = 4a, F A = 5a, BC = 6a. a) Tính theo a th tích c a kh i lăng tr (L) b) Ch ng t r ng có th chia kh i lăng tr (L) thành 4 kh i đa di n trong đó có m t kh i lăng tr đ u đáy tam giác và ba kh i h p. Bài 3: (6 đi m) √ G i (C) là đ th hàm s y = x3 − 2 2x đư c d ng trên m t ph ng t a đ Oxy. a) Ch ng t r ng n u m t hình bình hành có t t c các đ nh đ u n m trên (C) thì tâm c a hình bình hành đó là g c t a đ O. b) H i có bao nhiêu hình vuông có t t c các đ nh n m trên (C) Bài 4: (4 đi m) a) Cho t p h p S có n ph n t . Ch ng minh r ng có đúng 3n c p có th t (X1 ; X2 ) v i X1 và X2 là các t p con c a S th a mãn đi u ki n X1 ∪ X2 = S b) H i có bao nhiêu cách thành l p t p h p {A; B}, trong đó A và B là hai t p h p khác nhau sao cho A ∪ B = {1, 2, 3, .., 2008} 4 Hà Tĩnh 4.1 Ch n h c sinh gi i không chuyên Bài 1 : a/Tìm các giá tr c a m đ hàm s y = x3 − 3(m − 1)x2 + 3(2m + 1)x + 1 √ đ t c c đ i, c c ti u t i (x1 ; x2 ) sao cho |x1 − x2 | ≤ 2 5 √ b/Tìm m đ phương trình có nghi m :(m − 1)x = (m − 2)( x − 1) Bài 2 : Gi i h phương trình:  4  x − 16 y4 − 1 = 8x y  2 x − 2xy + y 2 = 8 Bài 3 : Nh n d ng tam giác: - - -phuchung- - - 9
  10. Tuy n t p đ thi HSG 2008-2009 4 HÀ TĨNH √ 4 √ 4 √ 4 4 A 4 B 4 C sinA + sinB + sinC = cos + cos + cos 2 2 2 Bài 4: Hình chóp t giác đêu S.ABCD có góc gi a m t bên và đáy là α.V đư ng cao SH c a hình chóp,G i E là điêm thu c SH và có kho ng cách t i 2 m t(ABCD) và (SCD) b ng nhau.mp(P) đi qua E,C,D c t SA,SB l n lư t t i M,N. a/Thi t di n là hình gì? b/G i th tích các kh i đa di n S.NMCD và ABCDNM l n lư t là V1 , V2 .Tìm α đ 3V2 = 5V1 Bài 5 : Cho x, y, z ≥ 0 th a x + y + z = 1.TÌM GTNN c a: 1−x 1−y 1−z P = + + 1+x 1+y 1+z 4.2 Ch n đ i tuy n qu c gia 4.2.1 Vòng 1 Bài 1 : Gi s đ th hàm s f (x) = x3 − 6x2 + 9x + d c t tr c hoành t i 3 đi m có hoành đ x1 , x2 , x3 v i x1 < x2 < x3 . Ch ng minh: 0 < x1 < 1 < x2 < 3 < x3 < 4. Bài 2 : Gi i phương trình: cos 2x 4 4 cot6 x + 3(1 − ) =7 sin2 x Bài 3: Cho t giác ABCD n i ti p đư ng tròn (O; R). Các tia đ i c a các tia BA, DA, CB, CD cùng ti p xúc v i đư ng tròn (I; r). Đ t d = OI. Ch ng minh r ng: 1 1 1 2 = 2 + r (d + R) (d − R)2 - - -phuchung- - - 10
  11. Tuy n t p đ thi HSG 2008-2009 4 HÀ TĨNH Bài 4: Tìm t t c các hàm f : R → R, g : R → R tho mãn đ ng th i các đi u ki n sau: 1)∀x, y ∈ R thì 2f (x) − g(x) = f (y) − y 2) ∀x ∈ R thì f (x).g(x) ≥ x + 1 Bài 5 : Dãy s (xn ) v i n = 1, 2, 3, ... đư c xác đ nh b i: 1 x1 = 3, xn+1 = x2 − xn + 2∀n ∈ N ∗ 2 n n 1 Tìm gi i h n c a dãy Sn = i=1 xi 4.2.2 Vòng 2 Bài 1: 1) Gi i phương trình: x2 − 10[x] + 9 = 0 2) Gi i b t phương trình: √ √ √ x3 − x2 + x − 1 < 5 + −x + 8 Bài 2: −1 x2 − 1 Cho dãy (xn )∞ bi t x1 = n=1 , xn+1 = n v i m i n = 1, 2, 3, ... 2 2 ∞ Tìm gi i h n c a dãy (xn )n=1 khi n → ∞ Bài 3: Cho hàm f : N → N tho mãn tính ch t f (f (n)) + f (n) = 2n + 3∀n ∈ N Tính f (2008) Bài 4: Cho tam giác ABC n i ti p (O) và ngo i ti p (I). Đư ng th ng d c t các c nh AB, AC l n lư t t i M, N 1) Ch ng minh r ng đư ng th ng d đi qua I khi và ch khi AB + BC + CA 1 1 = + AB.AC AM AN - - -phuchung- - - 11
  12. Tuy n t p đ thi HSG 2008-2009 5 C N THƠ 2) K là m t đi m b t kỳ trên đư ng tròn ngo i ti p tam giác ABC, K thu c cung BC không ch a đi m A (K khác B, C). Các tia phân giác c a các góc ˆ ˆ BKA, CKA c t các c nh AB, AC l n lư t t i D, E. Ch ng minh r ng DE luôn luôn đi qua I khi K thay đ i. Bài 5: √ Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c P = 13 sin x + 9 cos2 x − 4 cos x + 3 v i x ∈ [0; π] Bài 6: Cho p là m t s nguyên t . Ch ng minh đa th c sau b t kh quy trên Z[x]: xp−1 + 2xp−2 + 3xp−3 + ..... + (p − 1)x + p 5 C n Thơ 5.1 Vòng 1 Bài 1: ( 2.5 đi m ) Gi i phương trình sau trên R: x4 − 6x2 − 12x − 8 = 0 Bài 2: ( 2.5 đi m ) Gi i h phương trình sau trên R: y 2 − xy + 1 = 0 x2 + y 2 + 2x + 2y + 1 = 0 Bài 3: ( 3 đi m ) ˆ Trong m t ph ng cho tam giác ABC , có AB = a , AC = b , BAC = 135o , ˆ o đi m M n m trên c nh BC c a tam giác sao cho BAM = 45 . Tính đ dài AM theo a,b . Bài 4: ( 3 đi m ) Trong không gian cho hình chóp S.ABC , tr ng tâm tam giác ABC là G , trung đi m SG là I. M t ph ng (α) qua I c t các tia SA , SB , SC l n lư t t i M , N , P (không trùng v i S) . Xác đ nh v trí m t ph ng (α) đ th tích kh i chóp S.MNP là nh nh t . - - -phuchung- - - 12
  13. Tuy n t p đ thi HSG 2008-2009 5 C N THƠ Bài 5: ( 3 đi m ) Trong không gian cho hình chóp S.ABC , T là đi m thay đ i trong m t ph ng ABC. Đư ng th ng qua T . song song v i đư ng th ng SA c t m t ph ng (SBC) t i A’ . Đư ng th ng qua T . song song v i đư ng th ng SB c t m t ph ng (SBC) t i B’ . Đư ng th ng qua T . song song v i đư ng th ng SC c t m t ph ng (SBC) t i C’ . M t ph ng (A’B’C’) c t đư ng th ng ST t i đi m I . SI Ch ng minh t s không thay đ i khi đi m T thay đ i trong m t đáy ST ABC trong m t đáy ABC c a hình chóp S.ABC. Bài 6: ( 3 đi m ) Cho đa th c v i h s th c P (x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d, bi t r ng phương trình P (x) = 0 không có nghi m th c . Ch ng minh F (x) = P (x) + P (x) + P (x) + P (x) + P (4) (x) > 0 v i m i s th c x . Bài 7: ( 3 đi m ) Cho n√ th c a1 ,√2 , ..., an khác 0 √đôi m t phân bi t . Ch ng minh phương s a , trình 1 + a1 x + 1 + a2 x + ... + 1 + an x = n có không có quá hai nghi m th c phân bi t . 5.2 Vòng 2 Bài 1: ( 3 đi m ) Tìm t t c các nghi m th c c a phương trình : √ x2 + 5x − 10 = 60 − 24x − 5x2 Bài 2: ( 3 đi m ) Cho các s th c dương a , b , c . Ch ng minh b t đ ng th c : (a − b − c)2 (b − c − a)2 (c − a − b)2 1 2 + (b + c)2 + 2 2 + 2 2 ≥ 2a 2b + (c + a) 2c + (a + b) 2 - - -phuchung- - - 13
  14. Tuy n t p đ thi HSG 2008-2009 6 BÀ R A VŨNG TÀU Bài 3: ( 3 đi m ) Trong m t ph ng cho tam giác đ u AEF và hình ch nh t ABCD . Các đ nh E , F c a tam giác đ u l n lư t n m trên các c nh BC , CD c a hình ch nh t ABCD . Ch ng minh r ng t ng di n tích c a hai tam giác ABE và ADF b ng di n tích tam giác CEF. Bài 4: ( 4 đi m ) √ Cho hàm s f (x) = (x3 − 3x2 + 2) x2 − 2x + 3 . Ch ng minh r ng v i m i s th c m , h phương trình sau luôn có nghi m th c : f (2008) (x) + f (2008) (y) = 0 x2 − my = 4 − m Bài 5: ( 3 đi m ) Cho dãy s th c (an ) đư c xác đ nh b i công th c truy h i:   a1 = 1  2  a a2 n  n+1 = 2 an − a2 + 1 n Ch ng minh a1 + a2 + ... + an ≤ 1 v i m i s nguyên dương n . Bài 6: ( 4 đi m ) Tìm t t c các c p s nguyên (x, y) th a mãn : 2008x3 − 3xy 2 + 2008y 3 = 2009 6 Bà R a Vũng Tàu 6.1 Ch n đ i tuy n trư ng chuyên Lê Quý Đôn Bài 1: Gi i h phương trình: 8 2 18 x2 + y 2 + z 2 = yz + = 2zx − = 3xy + x y z Bài 2: 1 Cho dãy s xác đ nh b i x1 = 1; xn+1 = − 2008. Ch ng minh r ng 2(x2 n + 1) - - -phuchung- - - 14
  15. Tuy n t p đ thi HSG 2008-2009 7 THANH HÓA dãy s có gi i h n h u h n. Câu 3: Cho tam giác ABC nh n, n i ti p đư ng tròn (O). G i I là đi m gi a c a cung BC không ch a đi m A và K là trung đi m c a BC. Hai ti p tuy n c a (O) t i B, C c t nhau M; AM c t BC t i N. Ch ng minh r ng: 1) AI là phân giác góc M AK NB AB 2 2) = NC AC 2 Bài 4: Tìm t t c các hàm s liên t c trên R và th a mãn: f (x) − 2f (2x) + f (4x) = x2 + x v i m i x Bài 5: Cho a, b, c là các s không âm phân bi t. Ch ng minh r ng: √ 2 2 2 1 1 1 11 + 5 5 (a + b + c )( + + )≥ (a − b)2 (b − c)2 (c − a)2 2 Bài 6: Trên bàn c vua kích thư c 8x8 đư c chia thành 64 ô vuông đơn v , ngư i ta b đi m t ô vuông đơn v nào đó v trí hàng th m và c t th n . G i S(m;n) là s hình ch nh t đư c t o b i m t hay nhi u ô vuông đơn v c a bàn c sao cho không có ô nào trùng v i v trí c a ô b xóa b ban đ u. Tìm giá tr nh nh t và giá tr l n nh t c a S(m;n). 7 Thanh Hóa 7.1 Vòng 1 Bài 1: (5 đi m) a) Gi i b t phương trình: 2 −4 3x + (x2 − 4).3x−2 ≥ 1 b) Xác đ nh t t c các hàm s f (x) : R → R tho mãn: - - -phuchung- - - 15
  16. Tuy n t p đ thi HSG 2008-2009 7 THANH HÓA f (x) = max {2xy − f (y)} , ∀x ∈ R y∈R Bài 2: (4 đi m) Cho A là m t t p h p g m 8 ph n t . Tìm s l n nh t các t p con g m 3 ph n t c a A sao cho giao c a 2 t p b t kì trong các t p con này không ph i là m t t p h p g m 2 ph n t . Bài 3: (5 đi m) Cho hàm s : f (x) = xn + 29xn−1 + 2009 v i n ∈ N, n ≥ 2. Ch ng minh r ng f (x) không th phân tích thành tích c a 2 đa th c h s nguyên có b c l n hơn ho c b ng 1. Bài 4: (6 đi m) Cho tam giác ABC, D là m t đi m b t kì trên tia đ i c a tia CB. Đư ng tròn n i ti p các tam giác ABD và ACD c t nhau t i P và Q. Ch ng minh r ng đư ng th ng P Q luôn đi qua m t đi m c đ nh khi D thay đ i. 7.2 Vòng 2 Bài 1: Gi i phương trình: log3 2x + 1 + log5 4x + 1 + log7 6x + 1 = 3x Bài 2: Ch ng minh v i m i s dương a1 , a2 , ...an tho n mãn a1 .a2 ...an = 1. Ta có b t đ ng th c: √ a2 + 1 + ... + a2 + 1 ≤ 2(a1 + ... + an ) 1 n Bài 3: Tìm t t c các c p s nguyên dương (x,y) sao cho: x29 − 1 = y 12 − 1 x−1 Bài 4: Đư ng tròn (w) ti p xúc v i hai c nh b ng nhau AB,ÂC c a tam giác cân ABC và c t c nh BC t i K,L . Đo n K,L c t (w) t i đi m th hai M . P,Q tương ng đ i x ng v i K qua B,C. Ch ng minh đư ng tròn ngo i ti p PMQ ti p xúc v i (w) - - -phuchung- - - 16
  17. Tuy n t p đ thi HSG 2008-2009 8 H I DƯƠNG 7.3 Lam Sơn 11 Bài 1: √ √ Gi i phương trình: x + 4 − x2 = 2 + x 4 − x2 Bài 2: Gi i h phương trình: 2y(x2 − y 2 ) = 3x x(x2 + y 2 ) = 10y Bài 3: Cho tam giác ABC , M là trung đi m BC và H là tr c tâm. Ch ng minh r ng: 1 M A2 + M H 2 = AH 2 + BC 2 2 Bài 4: √ √ Cho phương trình: sinx + 2 − sinx2 + sinx 2 − sinx2 = m 1) Gi i phương trình v i m = 3. 2) Tìm m đ phương trình có nghi m. Bài 5: 5 1 Cho dãy s (un ) xác đ nh b i: u1 = un+1 = 1 + ; n = 1, 2, 3, ... 2 un So sánh : u2008 và u2009 Bài 6: Có t t c bao nhiêu s t nhiên có 5 ch s mà t ng các ch s b ng 9. Bài 7: Ch ng minh r ng m i ư c nguyên dương l c a s 32009 + 1 đ u có d ng 3k + 1 8 H i Dương 8.1 Vòng 1 Bài 1: (2 đi m) 1 a)Tìm đi u ki n c a tham s m đ đ th hàm s y = ( x + m)3 − x + 2 c t 3 - - -phuchung- - - 17
  18. Tuy n t p đ thi HSG 2008-2009 8 H I DƯƠNG tr c hoành t i hai đi m phân bi t có hoành đ l n hơn 2. b)Cho hàm s y = 2cos2 x + 2sinxcosx + mx Tìm đi u ki n c a tham s m đ hàm s có c c tr . Bài 2: (2,5 đi m) a)Cho đa th c: P (x) = C2009 + 2C2009 (2x) + 3C2009 (2x)2 + ... + 2009C2009 (2x)2008 . 1 2 3 2009 Tính t ng các h s b c l c a đa th c đã cho . b)Gi i h phương trình:  x  5 = 2y + 1 + 2log5 (4y + 1) 5y = 2z + 1 + 2log5 (4z + 1)  z 5 = 2x + 1 + 2log5 (4x + 1) Bài 3: (2 đi m) a)Cho t di n ABCD có AB = a, CD = b ; góc (AB, CD) = α,kho ng cách gi a AB và CD b ng d. Tính th tích c a kh i t di n ABCD theo a, b, d và α b)Trong các t di n OABC có OA, OB, OC đôi m t vuông góc và th tích b ng 36,hãy xác đ nh t di n sao cho di n tích tam giác ABC nh nh t. Bài 4: (2,5 đi m) a)Ch ng minh ∀x ∈ R thì x2 x3 ex ≥ 1 + x + + 2! 3! b)Tìm a > 0 sao cho: x2 x3 ax ≥ 1 + x + + 2! 3! v i m i giá tr c a x. c)Cho x, y, z là các s dương và th a mãn: x+y+z =9 x ≥ 5; x + y ≥ 8 - - -phuchung- - - 18
  19. Tuy n t p đ thi HSG 2008-2009 8 H I DƯƠNG Ch ng minh r ng xyz ≤ 15 Bài 5: (1 đi m) Cho hình l p phương ABCD.A1 B1 C1 D1 c nh b ng 1. L y các đi m M, N, P, Q, R, S l n lư t thu c các c nh AD, AB, BB1 , B1 C1 , C1 D1 , DD1 . Tìm giá tr nh nh t c a đ dài đư ng g p khúc khép kín M N P QRSM 8.2 Vòng 2: Câu 1: (4 đi m) Tìm t t c các hàm s f : R− > R th a mãn đi u ki n: f (x − f (y)) = f (x + y 2008 ) + f (f (y) + y 2008 ) + 1∀x, y ∈ R Câu 2: (4 đi m) Cho dãy s xn th a mãn : 1 x1 ∈ R; xn+1 = xn + (cosxn + sinxn )(∀n ∈ N ∗) 2 Tìm gi i h n c a dãy (n u có) tùy theo x1 Câu 3: (3 đi m) Cho t giác l i ABCD .G i M, N, P, Q l n lư t là hình chi u vuông góc c a m t đi m O trong t giác xu ng các c nh AD, AB, BC, CD ; m t khác M, N, P, Q cùng n m trên m t đư ng tròn tâm I bán kính R. K Ax, By, Cz, Dt l n lư t vuông góc v i các đư ng th ng M N, N P, P Q, QM . Ch ng minh r ng Ax, By, Cz, Dt đ ng qui t i m t đi m. Câu 4: (3 đi m) Cho p là s nguyên t không nh hơn 5 .Ch ng minh r ng t n t i hai s p−1 p−1 nguyên t q1 , q2 sao cho 1 < q1 < q2 < p đ ng th i q1 − 1; q2 − 1 không chia h t cho p2 Câu 5: ( 3 đi m) Tìm α > 0 sao cho b t đ ng th c sau đúng v i m i n ∈ N ∗ : 1.2α + 2.3α + ... + n(n + 1)α ≥ 2.1α + 3.2α + ... + (n + 1)nα Câu 6: (3 đi m) Cho a, b và c là các s th c dương sao cho a + b + c = 3 .Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c - - -phuchung- - - 19
  20. Tuy n t p đ thi HSG 2008-2009 9 Đ NG THÁP a2 b2 c2 P = + + a + 2b3 b + 2c3 c + 2a3 9 Đ ng Tháp Bài 1: (3.0 đi m) Gi i phương trình: (1 + tan10 )(1 + tan20 )...(1 + tan450 ) = 2x Bài 2: (3.0 đi m) Cho tam giác ABC có các góc đ u nh n. G i AH, BI, CK là các đư ng cao c a tam giác. Ch ng minh r ng: SHIK = 1 − cos2 A − cos2 B − cos2 C. SABC Bài 3: (2.0 đi m) Cho a, b là hai s nguyên. Ch ng minh r ng: . A = ab(a2 + b2 )(a2 − b2 ). .30. Bài 4: (3.0 đi m) Cho hàm s f : N ∗ → N ∗ tho hai đi u ki n: f (a.b) = f (a).f (b) v i a, b ∈ N ∗ và (a, b) = 1 f (p + q) = f (p) + f (q) v i p, q nguyên t . Ch ng minh f (2008) = 2008. Bài 5: (3.0 đi m) Ch ng minh n u n ch n thì 2n chia h t: 0 2 C2n + 3C2n + ... + 3k C2n + ... + 3n C2n . 2k 2n Bài 6: (3.0 đi m) Cho ba s th c a, b, c. Ch ng minh r ng: (a2 + 1)(b2 + 1)(c2 + 1) ≥ (ab + bc + ca − 1)2 . Bài 7: (3.0 đi m) Cho tam giác ABC cân t i A. Đư ng tròn (C) ti p xúc v i đư ng th ng AB, AC l n lư t t i B và C. M là đi m tuỳ ý n m trên đư ng tròn (C). G i d1 , d2 , d3 l n lư t là các kho ng cách t M đ n các đư ng th ng AB, AC, BC. Ch ng minh: d1 .d2 = d2 . 3 - - -phuchung- - - 20

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản