Tuyển tập đề thi học sinh giỏi Toán lớp 10 (Từ 1999 tới 2003)

Chia sẻ: Nguyen Phuong Ha Linh Linh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:9

2
612
lượt xem
272
download

Tuyển tập đề thi học sinh giỏi Toán lớp 10 (Từ 1999 tới 2003)

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Giúp các bạn học sinh củng cố lại phần kiến thức đã học, biết cấu trúc ra đề thi như thế nào và xem bản thân mình mất bao nhiêu thời gian để hoàn thành đề thi này. Hãy tham khảo đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 10 từ năm 1999 đến 2003.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Tuyển tập đề thi học sinh giỏi Toán lớp 10 (Từ 1999 tới 2003)

  1. Tuyển tập đề thi HSG Tỉnh Nghệ An - Môn Toán lớp 10(Tù 1992-1992 tới 2003-2004) Đề số 1 (Năm học 1992-1993) a  b  c  d Bài 1: Cho a, b, c, d nguyên, thoả mãn hệ thức:  ab  1  cd Chứng minh rằng: c = d.  Bài 2: Chứng minh: x  ax  b 2   x 2 2  cx  d   2x 2 2 1 2 2 2 2 2 Với mọi a, b, c, d thoả mãn điều kiện a  b  c  d  1 . Bài 3: Cho a 1 , a 2 ,..a 10 là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a 1  a 2  ...  a 10 2 2 2 P . a 10 a 1  a 2  ...  a 9  Bài 4: Trong mặt phẳng toạ độ, cho các điểm A(-2; -1), B(2; -4). a) Tìm điểm C trên Ox sao cho các véc tơ OA, CB cùng phương? 0 b) Tìm trên đường thẳng x = 1 điểm M sao cho MBA  45 . Đề số 2 (Năm học 1993-1994) Bài 1: Cho phương trình: 4x  x 5 k. a) Giải phương trình với k = 3. b) Tìm các giá trị của k để phương trình có nghiệm duy nhất. Bài 2: Xác định các số thực a, b thoả mãn các điều kiện sau: 2 2 i) Hai phương trình x  ax  1  0 và x  bx  2  0 có một nghiệm chung. ii) Tổng a  b nhỏ nhất. Bài 3: Tìm nghiệm hữu tỷ của phương trình: y 2  3x 2  2 x  5  0 Bài 4: Cho tam giác ABC: A(-1; 2), B(2; 1), C(-3;-3). a) Xác định toạ độ điểm M thỏa mãn: 2MA  3MB  4MC  0 . b) Tìm tập hợp điểm N sao cho: NA 2  NB 2  2 NC 2 .
  2. Tuyển tập đề thi HSG Tỉnh Nghệ An - Môn Toán lớp 10(Tù 1992-1992 tới 2003-2004) Đề số 3 (Năm học 1994 – 1995) Bài 1: a) Chứng minh: 3 21930  29 1945 1890  195  7 sin x. cos x 1  cos x 1  sin x b) Đơn giản biểu thức: A  . 1  cos x 1  cos x 1  sin x 0 0 (với 0  x  180 ) Bài 2: Cho hàm số f ( x )  x  2 x 1  x  8  6 x 1 a) Tìm tập xác định D của hàm số. b) Tìm các giá trị xD sao cho f(x) là hằng số. Bài 3: a) cho tam giác ABC có các cạnh a, b, c. Tìm phương tích của trọng tâm G của tam giác đối với đường tròn ngoại tiếp tam giác ấy. b) Giả sử đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh AB, BC, CA lần lượt tại M, N, P thoả mãn AN  BP  CM  0 . Chứng minh tam giác ABC đều. Đề số 4 (Năm học 1995-1996) Bài 1: Giải hệ phương trình sau với các ẩn số x, y, z: x  y  z  2  2 2 2 x  y  z  6  3 3 3 x  y  z  8 Bài 2: a) Cho a , b, c  R  vµa  b  c  1 . Chứng minh rằng: ab  bc  ca  6 b) Gọi x 1 , x 2 là nghiệm của hệ: x1   x 2  0  x 1  x 2  1 ,   0  1 Chứng minh rằng: x 1 .x 2  4 Bài 3: Cho tam giác ABC. a) Tìm tập hợp các điểm I thoả mãn hệ thức: IA  3IB  6 IC  0 .
  3. Tuyển tập đề thi HSG Tỉnh Nghệ An - Môn Toán lớp 10(Tù 1992-1992 tới 2003-2004) 1 b) Cho 2 điểm E và F di động trong mặt phẳng thoả mãn điều kiện: EF  EA  EB  2EC . Tìm 3 bao hình của đường thẳng EF. Bài 4: Cho đường tròn tâm O bán kính R và một điểm K cố định nằm trong đường tròn với OK = k  0. Qua điểm K dựng dây cung AB nào đó. Hãy xác định vị trí dây cung AB trong mỗi trường hợp sau: 2 2 a) Tổng KA  KB đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị đó. 2 2 b) Tổng KA  KB đạt giá trị lớn nhất và tính giá trị đó. Đề số 5 (Năm học 1996-1997) Bài 1: Giải hệ phương trình:  x  3y x  x 2  y 2  3    y  y  3x  0   x 2  y2 n n n n n Bài 2: Chứng minh bất đẳng thức: n 1  1  2; n  Z , n  1 . n n Bài 3: Chứng minh rằng diện tích tam giác ABC có thể tính theo công thức: 1 S x A  x B y C  y B   x C  x B y A  y B  . 2 Bài 4: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O;R). M là điểm chuyển động trên O. Tìm vị trí của điểm M để biểu thức: T  MA 2  2 MB 2  3MC 2 đạt giá trị bé nhất, đạt giá trị lớn nhất. Tính các giá trị đó. Đề số 6 (Năm học 1997 – 1998)   Bài 1: a) Cho A  x  R / x  2  3 ; B  x  R / x  3  4 .  Tìm A  B; A  B ? b) Cho tập hợp 6 điểm trên mặt phẳng A1 ; A 2 ; A 3 ; A 4 ; A 5 ; A 6  trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Mỗi đoạn A i A j nối 2 trong 6 điểm đó được tô bằng màu đỏ hoặc xanh. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một tam giác A i A j A k có 3 cạnh đồng màu. 2 Bài 2: Cho phương trình: x  4 x  m  1  0 a) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm âm.
  4. Tuyển tập đề thi HSG Tỉnh Nghệ An - Môn Toán lớp 10(Tù 1992-1992 tới 2003-2004) b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1  x 2 thoả mãn: 2 x1 x2 2  7 x2 2 2 x1 3 5 c) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f ( x )  x ( 2  x ) trên [0; 2]. Bài 3: a) Cho ABC. Chứng minh: 3 3 cos 3 A cos 3 B cos 3 C 3 cot g A  cot g B  cot g C    sin 3 B sin 3 C sin 3 A b) Cho đoạn thẳng AB và điểm M nằm giữa A, B. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB dựng 2 hình vuông AMNP và MBQR. Chứng minh: ARBN . Đề số 7 (Năm học 1998 –1999) Bảng A 2 2 2 2 Bài 1: Chứng minh rằng nếu phương trình: x  y   x  a   y  b   c có nghiệm thì bất 2 2 đẳng thức sau đúng: 3c  a  b  . * * Bài 2: Cho hàm số: f : N  Q  thoả mãn điều kiện: a) f (1)  2 , và 2 b) f (1)  f ( 2)  ...  f (n )  n f (n ) n  1 . Hãy tìm công thức đơn giản của f ( n ) ? Bài 3: Giải phương trình: 5 x 2  14x  9  5 x  1  x 2  x  20 . Bài 4: a) Cho n véc tơ a 1 , a 2 ,..., a n đôi một không cộng tuyến. Trong đó tổng (n-1) véc tơ bất trong n véc tơ cộng tuyến với véc tơ còn lại. Chứng minh rằng: a  a 1  a 2  ...  a n  0 . (Hai véc tơ cộng tuyến là 2 véc tơ nằm trên hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau). b) Cho ABC, AM và BN là hai trung tuyến. Chứng minh rằng: 2 1 1 AMBN    . tgC tgA tgB Đề số 8 (Năm học 1998-1999) Bảng B Bài 1: Cho x, y là các số thực thoả mãn: x, y > 0; x+y  1.
  5. Tuyển tập đề thi HSG Tỉnh Nghệ An - Môn Toán lớp 10(Tù 1992-1992 tới 2003-2004) 1 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P    4xy . x 2  y2 xy Bài 2: (Bài 2 bảng A). 4 Bài 3: Giải phương trình: x  x 2 1  x  x 2 1  2. Bài 4: a) Cho O là điểm bất kỳ trong ABC. Chứng minh: S BOC .OA  S AOC .OB  SAOB .OC  0 b) Cho ABC (BC=a, CA=b, AB=c). A B 1 Chứng minh rằng: Nếu a+b < 3c thì: tg .tg  . 2 2 2 Đề số 9 (Năm học 1999-2000) Bài 1: Cho a i , b i  R , (i  1,2,3) . 2 2 2 2 2 2  a) Chứng minh rằng: a 1  a 2  a 3 b 1  b 2  b 3  a 1 b 1  a 2 b 2  a 3 b 3  2 b) Giả sử a 1 a 2  a 2 a 3  a 3 a 1  4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  a 1  a 4  a 3 . 4 2 4 Bài 2: a) Giải hệ phương trình:  xy x  y  1   xz  2 x  z  yz y  z  3  b) Tìm tất cả các số nguyên x, y, z thoả mãn phương trình: x 3  3 y 3  9z 3  0 Bài 3: a) Cho a  0, b  0 . Chứng minh rằng: a.b  a . b . cos a , b   b) Chứng minh rằng trong tam giác ABC có các trung tuyến ứng với các cạnh AB và BC vuông 4 góc thì cos B  . 5 c) Cho ABC không cân, đường tròn tâm O nội tiếp trong tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB tương ứng ở A1, B1, C1. Gọi M là giao điểm của BC và B1C1. Chứng minh rằng: MO vuông góc với AA1.
  6. Tuyển tập đề thi HSG Tỉnh Nghệ An - Môn Toán lớp 10(Tù 1992-1992 tới 2003-2004) Đề số 10 (Năm học 2000-2001) 2 2 Bài 1: a) Tìm giá trị của m để phương trình: x  mx  1  m  0 có nghiệm x  [ 1;1] . b) Cho hệ phương trình: 2 ax1  bx1  c  x 2  2 ax 2  bx 2  c  x 3  ............................  2 ax n 1  bx n 1  c  x n ax 2  bx  c  x  n n 1 Tìm điều kiện đối với a, b, c để hệ trên: - vô nghiệm. - có nghiệm duy nhất. Bài 2: Tìm tất cả các cặp số nguyên không âm (a;b) để phương trình x 2  abx  a  b  0 có nghiệm nguyên. Bài 3: a) Cho ABC và 3 điểm A’, B’, C’ là trung điểm các cạnh BC, CA, AB. Tính giá trị biểu thức S  BC.AA' CA.BB'  AB.CC' b) Cho ABC có AB = 3, BC = 5, AC = 7 và AD, CE là phân giác trong cắt nhau tại P. Tính AP. Bài 4: a) Tìm điểm M trong ABC để MA+MB+MC nhỏ nhất. b) Xét tứ giác lồi ABCD có độ dài đường chéo AC, BD cho trước và góc giữa hai đường chéo đó có độ lớn đã cho. Hãy xác định tứ giác có chu vi nhỏ nhất. Đề số 11 (Năm học 2001-2002) Bảng A Bài 1: a) Dùng lý thuyết mệnh đề để chứng minh nhận định sau là sai: “Mọi hình tứ giác đều có một đường tròn ngoại tiếp nó”. b) Giải phương trình: x 4  4x 2  4 2 x  3  0 . Bài 2: a) Cho x, y, z không âm thoả mãn: xy  yz  zx  xyz  4 . Chứng minh rằng: x  y  z  xy  yz  zx b)Tìm tất cả các đa thức P(x) thoả mãn: xP( x  1)  ( x  2002) P( x ) .  Bài 3: a) Cho ABC, O là điểm sao cho OA  OB  OC  0 . Đường thẳng () cắt các đường thẳng OA, OB, OC lần lượt tại A’, B’, C’. Chứng minh rằng:
  7. Tuyển tập đề thi HSG Tỉnh Nghệ An - Môn Toán lớp 10(Tù 1992-1992 tới 2003-2004) OA OB OC   0 OA' OB' OC' b) Cho ABC, ta vẽ các đường phân giác trong. Giao điểm A’, B’, C’ của chúng với các cạnh đối diện tạo thành A’B’C’. S(A ' B' C' ) 2abc Chứng minh rằng:  S(ABC) a  b b  c c  a  (S là diện tích tam giác và a, b, c là độ dài các cạnh). Đề số 12 (Năm học 2001-2002). Bảng B Bài 1: (Bài 1 của bảng A) Bài 2: a) Với giá trị nào của k thì hệ sau có nghiệm: x 2  5 x  6  0  kx  4  0 b) Bài 2a) bảng A.  Bài 3: Cho ABC, O là điểm sao cho OA  OB  OC  0 . a) Chứng minh O là trọng tâm ABC. b) Gọi AA’, BB’, CC’ là các trung tuyến của tam giác, O là trọng tâm và a, b, c là độ dài 3 cạnh. Chứng minh rằng: a 2  b2  c2 2 2MA.MA'  MB.MC  3MO  6 Đề số 13 (Năm học 2002-2003) Bảng A Bài 1: a) Chứng minh rằng trong một tam giác bất kỳ ABC có cạnh là a, b, c thì: a b c    3. b c a b) Giả sử phân giác của góc A cắt BC tại Y, phân giác của góc B cắt AC tại Z, phân giác của góc C cắt AB tại X. Chứng minh rằng: AX BY CZ    3. XB YC ZA Bài 2: a) Cho a, b, c, x, y, z là các số thực thoả mãn: a 2  b 2  c 2  25; x 2  y 2  z 2  36; abc ax  by  cz  30 . Hãy tính giá trị biểu thức: P  . xyz b) Cho hai phương trình x 2  3x  2a  0 và x 2  6 x  5a  0
  8. Tuyển tập đề thi HSG Tỉnh Nghệ An - Môn Toán lớp 10(Tù 1992-1992 tới 2003-2004) Tìm tất cả các giá trị của a để mỗi phương trình đều có 2 nghiệm phân biệt và giữa 2 nghiệm của phương trình này có đúng một nghiệm của phương trình kia. Câu 3: a) Cho 2 điểm A, B cố định với AB = a. Tìm tập hợp những điểm P thoả mãn PA 2  PB2  k 2 (k là số thực không âm). b) Xét hình chữ nhật ABCD và điểm M di động trên BC. Phân giác góc DAM cắt BC tại N. Hãy xác AN định vị trí của M để đạt giá trị nhỏ nhất. MN Đề số 14 (Năm học 2002-2003) Bảng B: Bài 1: a) Bài 1a - Bảng A. b) Cho a, b, c >0 và a + b + c = 1. Chứng minh rằng: ab  bc  ca  6 . Bài 2: Bài 2 – Bảng A. Bài 3: a) Bài 3a – Bảng A. b) Cho tam giác ABC và P là một điểm thuộc mặt phẳng tam giác. Gọi K, L, M lần lượt là hình chiếu vuông góc của P lên các đường thẳng BC, CA, AB. Hãy xác định vị trí của P sao cho tổng BK 2  CL2  AM 2 nhỏ nhất. Đề số 15 (Năm học 2003-2004) Bảng A: Bài 1: a. Giải phương trình 2 x  x 2  6 x 2  12 x  7  0 b. Giả sử đa thức f(x) có các hệ số nguyên và các giá trị f(0); f(1) là những số lẻ. Chứng minh rằng f(x) không thể có nghiệm nguyên. Bài 2: a. Tìm điều kiện để hàm số sau xác định trên [0; 1) y  x  m  2x  m  1 b. Cho a, b, x, y thoả mãn các điều kiện: 0ba4 a b7 2 x 3 y 1 2 2x  y x y Tìm giá ttrị nhỏ nhất của s  2 2 a b Bài 3: Cho tam giác đều ABC cạnh a. Trên các cạnh BC, CA, AB của tam giác, lấy các điểm M, N, P a 2a sao cho BM  ; CN  ; AP  x , 0  x  a. 3 3
  9. Tuyển tập đề thi HSG Tỉnh Nghệ An - Môn Toán lớp 10(Tù 1992-1992 tới 2003-2004) a. Tính x theo a để cho AM vuông góc PN. b. Cho H là một điểm thuộc miền của tam giác ABC nói trên. Gọi H1 H2 H3 lần lượt là các điểm đối xứng của H qua các cạnh của tam giác ấy. Chứng minh rằng trọng tâm của tam giác H1 H2 H3 không phụ thuộc vào vị trí của điểm H. Đề số 16 (Năm học 2003-2004) Bài 1: Bài 1 của Bảng A. Bài 2: a) Bài 2a Bảng A. a 2  b 2  c 2  2  4 4 b) Cho a, b, c thoả mãn:  . Chứng minh rằng: a , b, c   ;  ab  bc  ca  1  3 3 Bài 3: Cho tam giác đều ABC cạnh a. Trên các cạnh BC, CA, AB của tam giác, lấy các điểm M, N, P a 2a sao cho BM  ; CN  ; AP  x , 0  x  a. 3 3 1 3x a. Chứng minh PN  (AC  AB) . 3 a b. Tính x theo a để cho AM vuông góc PN.
Đồng bộ tài khoản