Tuyển tập đề thi học sinh giỏi toán tỉnh Đồng Tháp năm 2000-2009

Chia sẻ: Bùi Công Diện | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:12

0
95
lượt xem
20
download

Tuyển tập đề thi học sinh giỏi toán tỉnh Đồng Tháp năm 2000-2009

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'tuyển tập đề thi học sinh giỏi toán tỉnh đồng tháp năm 2000-2009', tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Tuyển tập đề thi học sinh giỏi toán tỉnh Đồng Tháp năm 2000-2009

  1. TUY N T P THI H C SINH GI I THPT C P T NH MÔN TOÁN NG THÁP T N M H C 2000-2001 N N M H C 2008-2009 Nguy Nguy n c Tu n ( NDTuanMAT ) NDTuanMAT Tháng 9 Năm 2009 © Nguy n c Tu n – Nickname: NDTuanMAT
  2. THI NĂM H C 2000 - 2001 Ngày thi: 25 tháng 11 Th i gian làm bài: 180 phút Bài 1: Cho dãy s xác nh như sau: n 1 un = ∑ ; ∀n ∈ Ν và n ≥ 1 . i =1 i ( i + 1)( i + 2 )( i + 3 ) Tìm lim un . x →+∞ 1 Bài 2: Cho phương trình: y 3 − 9 y 2 + 11 y − = 0 (1) 3 a. Ch ng minh r ng tan 10 ; tan 50 ; tan 2 700 là 3 nghi m phân bi t c a phương 2 0 2 0 trình (1). b. Tính P = tan 6 100 + tan 6 500 + tan 6 700 . Bài 3: Tìm t t c các a th c P ( x) có h s nguyên sao cho ta có: x.P ( x − 20) = ( x − 2000).P ( x) ; ∀x ∈ Ζ . Bài 4: Cho hình chóp S . ABC nh S ; SA = x ; SB = y ; SC = z . a. Ch ng minh r ng VS . ABC = x. y.z.VS . A ' B 'C ' ; v i SA ' = SB ' = SC ' = 1 ơn v dài. A '; B '; C ' n m tương ng trên các tia SA; SB; SC . di n tích xung quanh c a hình chóp S . ABC b ng 3k 2 ( k là b. Xác nh x, y, z s th c cho trư c) và th tích c a nó l n nh t. Bài 5: Cho a, b, c là 3 s th c dương và ab + bc + ca = abc . Ch ng minh r ng: a 2 + 2b 2 b 2 + 2c 2 c 2 + 2a 2 + + ≥ 3. ab bc ca 1 © Nguy n c Tu n – Nickname: NDTuanMAT
  3. THI NĂM H C 2001 - 2002 Ngày thi: 24 tháng 11 Th i gian làm bài: 180 phút Bài 1: Cho 3 s th c dương a, b, c th a i u ki n abc = 1 . Ch ng minh r ng: 1 + ab 2 1 + bc 2 1 + ca 2 18 + + ≥ 3 3 3. a +b +c 3 3 3 c a b Bài 2: Cho x, y là 2 s th a mãn i u ki n: x − 2 y −1 ≤ 0  x + 3y − 6 ≤ 0 2 x + y − 2 ≥ 0  a. Ch ng minh: x 2 + y 2 ≤ 10 . : x 2 + y 2 = 10 . b. Tìm t t c các giá tr c a x, y Bài 3: Cho phương trình: x n + x n −1 + x n − 2 + ... + x 2 + x − 1 = 0 (1), n nguyên dương. a. Ch ng minh r ng v i m i n thì phương trình (1) có nghi m dương duy nh t xn . b. Tìm lim xn . x →+∞ Bài 4: Cho tam giác ABC có BC > CA > AB . G i D là m t i m n m trên o n BC . Trên ph n n i dài c a BA v phía A ch n i m E . Bi t r ng BD = BE = CA . G i P là giao i m c a ư ng tròn ngo i ti p tam giác EBD v i c nh AC . G i Q là giao i m th hai c a BP v i ư ng tròn ngo i ti p tam giác ABC . Ch ng minh r ng: a. Tam giác AQC và tam giác EPD là hai tam giác ng d ng. b. Ta có: BP = AQ + CQ . Bài 5: Cho 3 tia Ox, Oy, Oz vuông góc v i nhau ôi m t t o thành góc tam di n Oxyz . nh n m trong góc tam di n. M t m t ph ng (α ) qua M c t Ox, Oy, Oz imM c n các m t ph ng ( OBC ) , ( OCA) , ( OAB ) l n lư t t i A, B, C . G i kho ng cách t M l n lư t là a, b, c . a. Ch ng minh tam giác ABC là tam giác nh n. b. Tính OA, OB, OC theo a, b, c th tích t di n OABC là nh nh t. 2 © Nguy n c Tu n – Nickname: NDTuanMAT
  4. THI NĂM H C 2002 - 2003 Ngày thi: 24 tháng 11 Th i gian làm bài: 180 phút Bài 1: a. Cho 4 s th c dương a, b, c, d . Ch ng minh r ng: a+b+c+d a4 b4 c4 d4 + + + ≥ ( a + b ) ( a + b ) (b + c ) (b + c ) ( c + d ) (c + d ) ( d + a ) ( d + a ) 2 2 2 2 2 2 2 2 4 . b. Cho 6 s th c dương a, b, c, d , e, f . Ch ng minh r ng: (a + b + c) + (d + e + f ) 2 2 ≤ a 2 + d 2 + b 2 + e2 + c 2 + f 2 . Bài 2: Kí hi u Ν * là t p các s nguyên dương. Tìm t t c các hàm f : Ν* → Ν * th a mãn ng th i hai i u ki n sau: ( i ) : f ( n + 1) > f ( n ) ( ii ) : f ( f ( n ) ) = n + 2002, ∀n ∈ Ν * Bài 3: Cho dãy {an } , n ∈ Ν * ư c xác nh b i: a1 = a2 = 1; a3 = 2  a a + p v i p∈ Ν*.  an +3 = n + 2. n +1  an  nh p m i s h ng c a dãy {an } u là s nguyên. Bài 4: Cho a th c f ( x ) = x n + a1 x n −1 + a2 x n − 2 + ... + an là a th c b c n ≥ 2 có các nghi m th c b1 , b2 ,..., bn . Cho x > bi , ∀i = 1...n . Ch ng minh: 1  1 1 f ( x + 1)  + + ... +  ≥ 2n . 2  x − b1 x − b2 x − bn  Bài 5: Cho t di n ABCD có các c nh xu t phát t A ôi m t vuông góc v i nhau. G i a là c nh l n nh t xu t phát t A và r là bán kính hình c u n i ti p t di n. Ch ng minh r ng: ( ) a ≥ 3+ 3 r . 3 © Nguy n c Tu n – Nickname: NDTuanMAT
  5. THI NĂM H C 2003 - 2004 Ngày thi: 23 tháng 11 Th i gian làm bài: 180 phút Bài 1: Gi i phương trình sau: 1 + 1 − x 2  (1 − x ) −  = 2 + 1 − x2 . (1 + x ) 3 3     Bài 2: 32 a. Tìm giá tr l n nh t, giá tr nh nh t c a ( x + y + z ) bi t: y 2 + yz + z 2 = 1 − x. 2 b. Tìm các s nguyên a, b, c th a mãn b t ng th c: a + b + c + 3 < ab + 3b + 2c . 2 2 2 Bài 3: Trong tam giác ABC ta d ng các ư ng phân giác trong AA ', BB ', CC ' ; giao i m A ', B ', C ' l n lư t thu c các c nh BC , CA, AB . Các giao i m này l p thành tam giác A ' B ' C ' . Ch ng minh r ng: S A ' B 'C ' 2abc = . ( a + b )( b + c )( c + a ) S ABC Bài 4: Cho Ζ là t p các s nguyên. Cho hàm f : Ζ → Ζ th a mãn các i u ki n: ( i ) : f ( −1) = f (1) ( ii ) : f ( x ) + f ( y ) = f ( x + 2 xy ) + f ( y − 2 xy ) v i m i x, y ∈ Ζ . a. Ch ng minh f ( − n ) = f ( n ) , ∀n ∈ Ν . b. Tìm t t c các hàm f có tính ch t nói trên. 4 © Nguy n c Tu n – Nickname: NDTuanMAT
  6. THI NĂM H C 2004 - 2005 Ngày thi: 14 tháng 11 Th i gian làm bài: 180 phút Bài 1: V i 3 s th c x, y, z tùy ý, ta t: S = x + y + z ; P = xy + yz + zx ; Q = xyz . a. Ch ng minh: x3 + y 3 + z 3 = S 3 − 3SP + 3Q . b. Hãy bi u di n x 4 + y 4 + z 4 theo S , P và Q . Bài 2: Tìm a th c f ( x ) có t t c các h s u là s nguyên không âm nh hơn 9 và th a mãn f ( 9 ) = 2004 . Bài 3: Cho hai hình vuông ABCD và ABEF có c nh AB là c nh chung. Hai m t ph ng ( ABCD ) và ( ABEF ) vuông góc v i nhau. Tìm v trí ư ng vuông góc chung c a hai ư ng th ng AE và BD . Bài 4: V i s nguyên dương a = a1a2 ...ak , k ∈ Ν * , ta t: T ( a ) = a1 + a2 + ... + ak ( t ng các ch s c a a ) { xn } , n ∈ Ν * xác Dãy s nh như sau:  x = (T ( 2004 ) )2004 1   xn = (T ( xn −1 ) ) 2004  Ch ng minh r ng dãy { xn } , n ∈ Ν * b ch n. Bài 5: Tam giác ABC có 3 góc nh n n i ti p trong ư ng tròn tâm O bán kính R . Cho AB = c; BC = a; CA = b . Ch n I là i m b t kì trong tam giác ABC ; g i x, y, z là các kho ng cách t I n các c nh BC , CA, AB . Ch ng minh: a 2 + b2 + c 2 x+ y+ z≤ . 2R 5 © Nguy n c Tu n – Nickname: NDTuanMAT
  7. THI NĂM H C 2005 - 2006 Ngày thi: 9 tháng 10 Th i gian làm bài: 180 phút Bài 1: Tính t ng: S = t an10 . t an20 + t an20 .t an30 + ... + t an20040. t an20050 . Bài 2: a. Cho P ( x ) là a th c v i h s nguyên sao cho: P ( a ) = P ( b ) = P ( c ) = 1 v i a, b, c là các s nguyên ôi m t khác nhau. Ch ng minh phương trình P ( x ) = 0 không có nghi m nguyên. b. Tìm m t a th c f ( x ) b c 5 sao cho f ( x ) − 1 chia h t cho ( x − 1) và f ( x ) 3 chia h t cho x3 . Bài 3: a. T ng c a 2 s nguyên dương b ng 2310. Ch ng minh r ng tích c a hai s này không chia h t cho 2310. b. Tìm nghi m nguyên ( x, y ) c a phương trình y = 2 x + y 2 + 2 ( 2 x + 1) y + 8 x . Bài 4: a. Cho tam giác ABC n i ti p ư ng tròn ( O ) . Các ư ng th ng v qua A, B, C ôi m t song song, c t ư ng tròn ( O ) t i các i m A1 , B 1 , C1 ( khác v i A, B, C ). Ch ng minh r ng tr c tâm các tam giác A1 BC , B1CA, C1 AB th ng hàng. u c nh b ng 2 ơn v dài. ư ng th ng ( d ) không i qua b. Cho tam giác ABC nh nào c a tam giác. G i α , β , γ là góc gi a ( d ) và theo th t v i các b t kì ư ng th ng i qua các c nh BC , CA, AB c a tam giác u ABC . Tính: M = sin α .sin β .sin γ + cos α .cos β .cos γ . 2 2 2 2 2 2 Bài 5: Cho dãy {un } , n nguyên dương, xác nh như sau: u1 = 2  n ui t Sn = ∑  . . u 2 − un ui +1 − 1 un +1 = n + un  i =1  2005 Tìm lim S n . x →+∞ 6 © Nguy n c Tu n – Nickname: NDTuanMAT
  8. THI NĂM H C 2006 - 2007 Ngày thi: 22 tháng 10 Th i gian làm bài: 180 phút Bài 1: Tìm t ng c a các s nguyên dương t m n n , k c m và n ( m < n ) , suy ra t ng các s gi a 1000 và 2000 mà không chia h t cho 5. x+2 Bài 2: Tìm t t c các s th c x sao cho k = là s nguyên. x + 4x + 5 2 Bài 3: Ch ng minh r ng n u a, b, c là 3 c nh c a m t tam giác tương ng v i các nh A, B, C thì: a + b − 2c b + c − 2a c + a − 2b + + ≥ 0. C A B sin sin sin 2 2 2 Bài 4: Tìm t t c các a th c d ng f ( x ) = x3 + ax 2 + bx + c , v i a, b, c là các s nguyên, sao cho a, b, c là nghi m c a f ( x ) . 1 Bài 5: Cho F (1) = F ( 2 ) = 1, F ( n + 2 ) = F ( n + 1) + F ( n ) và hàm s f ( x) = . 1+ x ( ) t: Gn ( x ) = x + f ( x ) + f ( f ( x ) ) + ... + f f (... f ( x ) ...) , trong s h ng sau cùng f l p F (1) F ( 2) F ( n + 1) l i n l n. Ch ng minh: Gn (1) = + + ... + . F ( 2) F ( 3) F ( n + 2) Bài 6: T i m P n m ngoài ư ng tròn cho trư c k hai ti p tuy n ti p xúc v i ư ng tròn l n lư t t i A và B . Ch n i m S n m trên dây cung AB . Tia PS c t cung nh 2 PR.PQ AB t i R và c t cung l n AB t i Q . Ch ng minh: PS = . PR + PQ Bài 7: Ch ng minh r ng m i s nguyên dương n tùy ý luôn bi u di n dư i d ng t ng c a các s h ng 2 r 3s v i r , s là các s nguyên không âm. 7 © Nguy n c Tu n – Nickname: NDTuanMAT
  9. THI NĂM H C 2007 - 2008 Ngày thi: 14 tháng 10 Th i gian làm bài: 180 phút Bài 1: a. Tìm t t c các s nguyên m sao cho phương trình x 2 + ( m 2 − m ) x − m3 + 1 = 0 có m t nghi m nguyên. ( ) ( ) x x 2 − 1 + 3 + 1 − log 2 2 +1 ≤ 2. b. Gi i b t phương trình: log 2 Bài 2: a. Gi i phương trình: 4sin 2 5 x − 4sin 2 x + 2 ( sin 6 x + s in4x ) + 1 = 0 . b. Cho các s th c x1 , x2 ,..., xn th a mãn sin 2 x1 + 2sin 2 x2 + ... + n sin 2 xn = a , v i n n ( n + 1) là s nguyên dương, a là s th c cho trư c, 0 ≤ a ≤ . Xác nh các giá tr 2 c a x1 , x2 ,..., xn sao cho t ng S = s in2x1 + 2s in2x2 + ... + n s in2xn t giá tr l n nh t và tìm giá tr l n nh t này theo a và n . Bài 3: a. Cho 3 s th c a, b, c th a abc = 1 . Ch ng minh: 1 1 1 3 +6 2 +6 2 ≥. a6 (b2 + c2 ) b ( c + a 2 ) c ( a + b2 ) 2 b. Cho tam giác ABC nh n th a mãn i u ki n: cot A ( cot A + 2 cot B )  A+ B  = 2 cot   − cot B . Ch ng minh tam giác ABC là tam  A+ B  2  + cot B 2 cot  2 giác cân. Bài 4: Cho tam giác ABC , trên các c nh BC , CA, AB l n lư t l y các i m A ', B ', C ' sao cho AA ', BB ' và CC ' ng quy t i i m M . G i S1 , S 2 , S3 l n lư t là di n tích c a MA ' MB ' MC ' = x, = y, = z. các tam giác MBC , MCA, MAB và t MA MB MC Ch ng minh r ng: ( y + z − 1) S1 + ( x + z − 1) S 2 + ( x + y − 1) S3 = 0 . 8 © Nguy n c Tu n – Nickname: NDTuanMAT
  10. Bài 5: Cho dãy {un } , n là s nguyên dương, xác nh như sau: u1 = 1   1 + un 2 − 1 . un +1 = , un > 0  un  n −1 π  1 Tính u n và ch ng minh r ng: u1 + u2 + ... + un ≥ 1 + 1 −   . 4  2    Bài 6: Cho a th c f ( x ) = x3 + ax 2 + bx + b có 3 nghi m x1 , x2 , x3 và a th c g ( x ) = x3 + bx 2 + bx + a . Tính t ng: S = g ( x1 ) + g ( x2 ) + g ( x3 ) theo a, b . 9 © Nguy n c Tu n – Nickname: NDTuanMAT
  11. THI NĂM H C 2008 - 2009 Ngày thi: 16 tháng 11 Th i gian làm bài: 180 phút 23 ( tan x − cot x ) = tan 2 x + cot 2 x − 2 . Câu 1: Gi i phương trình: 3 Câu 2: Cho tam giác ABC n i ti p ư ng tròn tâm I . G i D là trung i m c a c nh AB , E là tr ng tâm c a tam giác ADC . Ch ng minh r ng n u AB = AC thì IE vuông góc v i CD . Câu 3: Tìm nghi m nguyên dương c a phương trình: x2 − 2 y 2 = 1. { xn } , n ∈ Ν * ư c xác Câu 4: Cho dãy s nh b i:  x1 = 1   . Tìm gi i h n c a dãy un v i: x 2008 xn +1 = n + xn   2008 xn 2007 2007 x2 2007 x1 un = + + ... + . x2 x3 xn +1 Câu 5: Cho n là s t nhiên, ch ng minh r ng: ( C0n ) + ( C1n ) + ... + ( Cnn ) = C2 n . 2 2 2 n Câu 6: 111 a. Cho x, y, z ≥ 1 và + + = 2 . Ch ng minh r ng: xyz x + y + z ≥ x −1 + y −1 + z −1 . b. Cho a th c f ( x ) = x3 − 3 x − 1 có 3 nghi m là a, b, c . Hãy tính: 1+ a 1+ b 1+ c S= + + . 1− a 1− b 1− c Câu 7: Cho i m A ( 0;3) và parabol ( P ) : y = x2 . G i M là m t i m thu c ( P ) có xM = a . Tìm a hoành dài AM là ng n nh t. T ó ch ng t r ng n u o n AM là ng n nh t thì AM vuông góc v i ti p tuy n t i M c a ( P ) . 10 © Nguy n c Tu n – Nickname: NDTuanMAT
  12. PH L C THI CH N I TUY N D THI C P QU C GIA NĂM H C 2008 – 2009 Ngày thi: 14 tháng 12 Th i gian làm bài: 180 phút Câu 1: Gi i phương trình: (1 + t an10 ) (1 + t an20 ) ... (1 + t an450 ) = 2 x . Câu 2: Cho tam giác ABC có các góc u nh n. G i AH , BI , CK là các ư ng cao c a tam giác ABC . Ch ng minh r ng: S HIK = 1 − cos 2 A − cos 2 B − cos 2 C . S ABC Câu 3: Cho a, b là hai s nguyên. Ch ng minh r ng: A = ab ( a 2 + b 2 ) ( a 2 − b 2 ) chia h t cho 30. f : Ν* → Ν * th a mãn hai i u ki n: Câu 4: Cho hàm s  f ( a.b ) = f ( a ) . f ( b )  . Trong ó a, b ∈ Ν*, ( a, b ) = 1 và p, q là s nguyên t .  f ( p + q) = f ( p) + f (q)   Ch ng minh r ng: f ( 2008 ) = 2008 . Bài 5: Ch ng minh r ng n u n ch n thì 2n chia h t (*) C2 n + 3C2 n + ... + 3k C22nk + ... + 3nC22nn . 0 2 Bài 6: Cho 3 s th c a, b, c . Ch ng minh r ng: (a + 1) ( b2 + 1) ( c 2 + 1) ≥ ( ab + bc + ca − 1) . 2 2 Bài 7: Cho tam giác ABC cân t i A . ư ng tròn ( C ) ti p xúc v i ư ng th ng AB, AC l n lư t t i B, C . M là i m tùy ý n m trên ư ng tròn ( C ) . G i d1 , d 2 , d3 l n lư t là n các ư ng th ng AB, AC , BC . Ch ng minh: d1.d 2 = d 32 . các kho ng cách t M 11 (*) hi u là: C2 n + 3C2 n + ... + 3k C2 n + ... + 3nC2 n chia h t cho 2 n 0 2 2k 2n © Nguy n c Tu n – Nickname: NDTuanMAT
Đồng bộ tài khoản