Tuyển tập đề thi học sinh giỏi toán tỉnh Đồng Tháp năm 2000-2009

Chia sẻ: cdienpro

Tham khảo tài liệu 'tuyển tập đề thi học sinh giỏi toán tỉnh đồng tháp năm 2000-2009', tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Bạn đang xem 7 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: Tuyển tập đề thi học sinh giỏi toán tỉnh Đồng Tháp năm 2000-2009

 

  1. TUY N T P THI H C SINH GI I THPT C P T NH MÔN TOÁN NG THÁP T N M H C 2000-2001 N N M H C 2008-2009 Nguy Nguy n c Tu n ( NDTuanMAT ) NDTuanMAT Tháng 9 Năm 2009 © Nguy n c Tu n – Nickname: NDTuanMAT
  2. THI NĂM H C 2000 - 2001 Ngày thi: 25 tháng 11 Th i gian làm bài: 180 phút Bài 1: Cho dãy s xác nh như sau: n 1 un = ∑ ; ∀n ∈ Ν và n ≥ 1 . i =1 i ( i + 1)( i + 2 )( i + 3 ) Tìm lim un . x →+∞ 1 Bài 2: Cho phương trình: y 3 − 9 y 2 + 11 y − = 0 (1) 3 a. Ch ng minh r ng tan 10 ; tan 50 ; tan 2 700 là 3 nghi m phân bi t c a phương 2 0 2 0 trình (1). b. Tính P = tan 6 100 + tan 6 500 + tan 6 700 . Bài 3: Tìm t t c các a th c P ( x) có h s nguyên sao cho ta có: x.P ( x − 20) = ( x − 2000).P ( x) ; ∀x ∈ Ζ . Bài 4: Cho hình chóp S . ABC nh S ; SA = x ; SB = y ; SC = z . a. Ch ng minh r ng VS . ABC = x. y.z.VS . A ' B 'C ' ; v i SA ' = SB ' = SC ' = 1 ơn v dài. A '; B '; C ' n m tương ng trên các tia SA; SB; SC . di n tích xung quanh c a hình chóp S . ABC b ng 3k 2 ( k là b. Xác nh x, y, z s th c cho trư c) và th tích c a nó l n nh t. Bài 5: Cho a, b, c là 3 s th c dương và ab + bc + ca = abc . Ch ng minh r ng: a 2 + 2b 2 b 2 + 2c 2 c 2 + 2a 2 + + ≥ 3. ab bc ca 1 © Nguy n c Tu n – Nickname: NDTuanMAT
  3. THI NĂM H C 2001 - 2002 Ngày thi: 24 tháng 11 Th i gian làm bài: 180 phút Bài 1: Cho 3 s th c dương a, b, c th a i u ki n abc = 1 . Ch ng minh r ng: 1 + ab 2 1 + bc 2 1 + ca 2 18 + + ≥ 3 3 3. a +b +c 3 3 3 c a b Bài 2: Cho x, y là 2 s th a mãn i u ki n: x − 2 y −1 ≤ 0  x + 3y − 6 ≤ 0 2 x + y − 2 ≥ 0  a. Ch ng minh: x 2 + y 2 ≤ 10 . : x 2 + y 2 = 10 . b. Tìm t t c các giá tr c a x, y Bài 3: Cho phương trình: x n + x n −1 + x n − 2 + ... + x 2 + x − 1 = 0 (1), n nguyên dương. a. Ch ng minh r ng v i m i n thì phương trình (1) có nghi m dương duy nh t xn . b. Tìm lim xn . x →+∞ Bài 4: Cho tam giác ABC có BC > CA > AB . G i D là m t i m n m trên o n BC . Trên ph n n i dài c a BA v phía A ch n i m E . Bi t r ng BD = BE = CA . G i P là giao i m c a ư ng tròn ngo i ti p tam giác EBD v i c nh AC . G i Q là giao i m th hai c a BP v i ư ng tròn ngo i ti p tam giác ABC . Ch ng minh r ng: a. Tam giác AQC và tam giác EPD là hai tam giác ng d ng. b. Ta có: BP = AQ + CQ . Bài 5: Cho 3 tia Ox, Oy, Oz vuông góc v i nhau ôi m t t o thành góc tam di n Oxyz . nh n m trong góc tam di n. M t m t ph ng (α ) qua M c t Ox, Oy, Oz imM c n các m t ph ng ( OBC ) , ( OCA) , ( OAB ) l n lư t t i A, B, C . G i kho ng cách t M l n lư t là a, b, c . a. Ch ng minh tam giác ABC là tam giác nh n. b. Tính OA, OB, OC theo a, b, c th tích t di n OABC là nh nh t. 2 © Nguy n c Tu n – Nickname: NDTuanMAT
  4. THI NĂM H C 2002 - 2003 Ngày thi: 24 tháng 11 Th i gian làm bài: 180 phút Bài 1: a. Cho 4 s th c dương a, b, c, d . Ch ng minh r ng: a+b+c+d a4 b4 c4 d4 + + + ≥ ( a + b ) ( a + b ) (b + c ) (b + c ) ( c + d ) (c + d ) ( d + a ) ( d + a ) 2 2 2 2 2 2 2 2 4 . b. Cho 6 s th c dương a, b, c, d , e, f . Ch ng minh r ng: (a + b + c) + (d + e + f ) 2 2 ≤ a 2 + d 2 + b 2 + e2 + c 2 + f 2 . Bài 2: Kí hi u Ν * là t p các s nguyên dương. Tìm t t c các hàm f : Ν* → Ν * th a mãn ng th i hai i u ki n sau: ( i ) : f ( n + 1) > f ( n ) ( ii ) : f ( f ( n ) ) = n + 2002, ∀n ∈ Ν * Bài 3: Cho dãy {an } , n ∈ Ν * ư c xác nh b i: a1 = a2 = 1; a3 = 2  a a + p v i p∈ Ν*.  an +3 = n + 2. n +1  an  nh p m i s h ng c a dãy {an } u là s nguyên. Bài 4: Cho a th c f ( x ) = x n + a1 x n −1 + a2 x n − 2 + ... + an là a th c b c n ≥ 2 có các nghi m th c b1 , b2 ,..., bn . Cho x > bi , ∀i = 1...n . Ch ng minh: 1  1 1 f ( x + 1)  + + ... +  ≥ 2n . 2  x − b1 x − b2 x − bn  Bài 5: Cho t di n ABCD có các c nh xu t phát t A ôi m t vuông góc v i nhau. G i a là c nh l n nh t xu t phát t A và r là bán kính hình c u n i ti p t di n. Ch ng minh r ng: ( ) a ≥ 3+ 3 r . 3 © Nguy n c Tu n – Nickname: NDTuanMAT
  5. THI NĂM H C 2003 - 2004 Ngày thi: 23 tháng 11 Th i gian làm bài: 180 phút Bài 1: Gi i phương trình sau: 1 + 1 − x 2  (1 − x ) −  = 2 + 1 − x2 . (1 + x ) 3 3     Bài 2: 32 a. Tìm giá tr l n nh t, giá tr nh nh t c a ( x + y + z ) bi t: y 2 + yz + z 2 = 1 − x. 2 b. Tìm các s nguyên a, b, c th a mãn b t ng th c: a + b + c + 3 < ab + 3b + 2c . 2 2 2 Bài 3: Trong tam giác ABC ta d ng các ư ng phân giác trong AA ', BB ', CC ' ; giao i m A ', B ', C ' l n lư t thu c các c nh BC , CA, AB . Các giao i m này l p thành tam giác A ' B ' C ' . Ch ng minh r ng: S A ' B 'C ' 2abc = . ( a + b )( b + c )( c + a ) S ABC Bài 4: Cho Ζ là t p các s nguyên. Cho hàm f : Ζ → Ζ th a mãn các i u ki n: ( i ) : f ( −1) = f (1) ( ii ) : f ( x ) + f ( y ) = f ( x + 2 xy ) + f ( y − 2 xy ) v i m i x, y ∈ Ζ . a. Ch ng minh f ( − n ) = f ( n ) , ∀n ∈ Ν . b. Tìm t t c các hàm f có tính ch t nói trên. 4 © Nguy n c Tu n – Nickname: NDTuanMAT
  6. THI NĂM H C 2004 - 2005 Ngày thi: 14 tháng 11 Th i gian làm bài: 180 phút Bài 1: V i 3 s th c x, y, z tùy ý, ta t: S = x + y + z ; P = xy + yz + zx ; Q = xyz . a. Ch ng minh: x3 + y 3 + z 3 = S 3 − 3SP + 3Q . b. Hãy bi u di n x 4 + y 4 + z 4 theo S , P và Q . Bài 2: Tìm a th c f ( x ) có t t c các h s u là s nguyên không âm nh hơn 9 và th a mãn f ( 9 ) = 2004 . Bài 3: Cho hai hình vuông ABCD và ABEF có c nh AB là c nh chung. Hai m t ph ng ( ABCD ) và ( ABEF ) vuông góc v i nhau. Tìm v trí ư ng vuông góc chung c a hai ư ng th ng AE và BD . Bài 4: V i s nguyên dương a = a1a2 ...ak , k ∈ Ν * , ta t: T ( a ) = a1 + a2 + ... + ak ( t ng các ch s c a a ) { xn } , n ∈ Ν * xác Dãy s nh như sau:  x = (T ( 2004 ) )2004 1   xn = (T ( xn −1 ) ) 2004  Ch ng minh r ng dãy { xn } , n ∈ Ν * b ch n. Bài 5: Tam giác ABC có 3 góc nh n n i ti p trong ư ng tròn tâm O bán kính R . Cho AB = c; BC = a; CA = b . Ch n I là i m b t kì trong tam giác ABC ; g i x, y, z là các kho ng cách t I n các c nh BC , CA, AB . Ch ng minh: a 2 + b2 + c 2 x+ y+ z≤ . 2R 5 © Nguy n c Tu n – Nickname: NDTuanMAT
  7. THI NĂM H C 2005 - 2006 Ngày thi: 9 tháng 10 Th i gian làm bài: 180 phút Bài 1: Tính t ng: S = t an10 . t an20 + t an20 .t an30 + ... + t an20040. t an20050 . Bài 2: a. Cho P ( x ) là a th c v i h s nguyên sao cho: P ( a ) = P ( b ) = P ( c ) = 1 v i a, b, c là các s nguyên ôi m t khác nhau. Ch ng minh phương trình P ( x ) = 0 không có nghi m nguyên. b. Tìm m t a th c f ( x ) b c 5 sao cho f ( x ) − 1 chia h t cho ( x − 1) và f ( x ) 3 chia h t cho x3 . Bài 3: a. T ng c a 2 s nguyên dương b ng 2310. Ch ng minh r ng tích c a hai s này không chia h t cho 2310. b. Tìm nghi m nguyên ( x, y ) c a phương trình y = 2 x + y 2 + 2 ( 2 x + 1) y + 8 x . Bài 4: a. Cho tam giác ABC n i ti p ư ng tròn ( O ) . Các ư ng th ng v qua A, B, C ôi m t song song, c t ư ng tròn ( O ) t i các i m A1 , B 1 , C1 ( khác v i A, B, C ). Ch ng minh r ng tr c tâm các tam giác A1 BC , B1CA, C1 AB th ng hàng. u c nh b ng 2 ơn v dài. ư ng th ng ( d ) không i qua b. Cho tam giác ABC nh nào c a tam giác. G i α , β , γ là góc gi a ( d ) và theo th t v i các b t kì ư ng th ng i qua các c nh BC , CA, AB c a tam giác u ABC . Tính: M = sin α .sin β .sin γ + cos α .cos β .cos γ . 2 2 2 2 2 2 Bài 5: Cho dãy {un } , n nguyên dương, xác nh như sau: u1 = 2  n ui t Sn = ∑  . . u 2 − un ui +1 − 1 un +1 = n + un  i =1  2005 Tìm lim S n . x →+∞ 6 © Nguy n c Tu n – Nickname: NDTuanMAT
  8. THI NĂM H C 2006 - 2007 Ngày thi: 22 tháng 10 Th i gian làm bài: 180 phút Bài 1: Tìm t ng c a các s nguyên dương t m n n , k c m và n ( m < n ) , suy ra t ng các s gi a 1000 và 2000 mà không chia h t cho 5. x+2 Bài 2: Tìm t t c các s th c x sao cho k = là s nguyên. x + 4x + 5 2 Bài 3: Ch ng minh r ng n u a, b, c là 3 c nh c a m t tam giác tương ng v i các nh A, B, C thì: a + b − 2c b + c − 2a c + a − 2b + + ≥ 0. C A B sin sin sin 2 2 2 Bài 4: Tìm t t c các a th c d ng f ( x ) = x3 + ax 2 + bx + c , v i a, b, c là các s nguyên, sao cho a, b, c là nghi m c a f ( x ) . 1 Bài 5: Cho F (1) = F ( 2 ) = 1, F ( n + 2 ) = F ( n + 1) + F ( n ) và hàm s f ( x) = . 1+ x ( ) t: Gn ( x ) = x + f ( x ) + f ( f ( x ) ) + ... + f f (... f ( x ) ...) , trong s h ng sau cùng f l p F (1) F ( 2) F ( n + 1) l i n l n. Ch ng minh: Gn (1) = + + ... + . F ( 2) F ( 3) F ( n + 2) Bài 6: T i m P n m ngoài ư ng tròn cho trư c k hai ti p tuy n ti p xúc v i ư ng tròn l n lư t t i A và B . Ch n i m S n m trên dây cung AB . Tia PS c t cung nh 2 PR.PQ AB t i R và c t cung l n AB t i Q . Ch ng minh: PS = . PR + PQ Bài 7: Ch ng minh r ng m i s nguyên dương n tùy ý luôn bi u di n dư i d ng t ng c a các s h ng 2 r 3s v i r , s là các s nguyên không âm. 7 © Nguy n c Tu n – Nickname: NDTuanMAT
  9. THI NĂM H C 2007 - 2008 Ngày thi: 14 tháng 10 Th i gian làm bài: 180 phút Bài 1: a. Tìm t t c các s nguyên m sao cho phương trình x 2 + ( m 2 − m ) x − m3 + 1 = 0 có m t nghi m nguyên. ( ) ( ) x x 2 − 1 + 3 + 1 − log 2 2 +1 ≤ 2. b. Gi i b t phương trình: log 2 Bài 2: a. Gi i phương trình: 4sin 2 5 x − 4sin 2 x + 2 ( sin 6 x + s in4x ) + 1 = 0 . b. Cho các s th c x1 , x2 ,..., xn th a mãn sin 2 x1 + 2sin 2 x2 + ... + n sin 2 xn = a , v i n n ( n + 1) là s nguyên dương, a là s th c cho trư c, 0 ≤ a ≤ . Xác nh các giá tr 2 c a x1 , x2 ,..., xn sao cho t ng S = s in2x1 + 2s in2x2 + ... + n s in2xn t giá tr l n nh t và tìm giá tr l n nh t này theo a và n . Bài 3: a. Cho 3 s th c a, b, c th a abc = 1 . Ch ng minh: 1 1 1 3 +6 2 +6 2 ≥. a6 (b2 + c2 ) b ( c + a 2 ) c ( a + b2 ) 2 b. Cho tam giác ABC nh n th a mãn i u ki n: cot A ( cot A + 2 cot B )  A+ B  = 2 cot   − cot B . Ch ng minh tam giác ABC là tam  A+ B  2  + cot B 2 cot  2 giác cân. Bài 4: Cho tam giác ABC , trên các c nh BC , CA, AB l n lư t l y các i m A ', B ', C ' sao cho AA ', BB ' và CC ' ng quy t i i m M . G i S1 , S 2 , S3 l n lư t là di n tích c a MA ' MB ' MC ' = x, = y, = z. các tam giác MBC , MCA, MAB và t MA MB MC Ch ng minh r ng: ( y + z − 1) S1 + ( x + z − 1) S 2 + ( x + y − 1) S3 = 0 . 8 © Nguy n c Tu n – Nickname: NDTuanMAT
  10. Bài 5: Cho dãy {un } , n là s nguyên dương, xác nh như sau: u1 = 1   1 + un 2 − 1 . un +1 = , un > 0  un  n −1 π  1 Tính u n và ch ng minh r ng: u1 + u2 + ... + un ≥ 1 + 1 −   . 4  2    Bài 6: Cho a th c f ( x ) = x3 + ax 2 + bx + b có 3 nghi m x1 , x2 , x3 và a th c g ( x ) = x3 + bx 2 + bx + a . Tính t ng: S = g ( x1 ) + g ( x2 ) + g ( x3 ) theo a, b . 9 © Nguy n c Tu n – Nickname: NDTuanMAT
  11. THI NĂM H C 2008 - 2009 Ngày thi: 16 tháng 11 Th i gian làm bài: 180 phút 23 ( tan x − cot x ) = tan 2 x + cot 2 x − 2 . Câu 1: Gi i phương trình: 3 Câu 2: Cho tam giác ABC n i ti p ư ng tròn tâm I . G i D là trung i m c a c nh AB , E là tr ng tâm c a tam giác ADC . Ch ng minh r ng n u AB = AC thì IE vuông góc v i CD . Câu 3: Tìm nghi m nguyên dương c a phương trình: x2 − 2 y 2 = 1. { xn } , n ∈ Ν * ư c xác Câu 4: Cho dãy s nh b i:  x1 = 1   . Tìm gi i h n c a dãy un v i: x 2008 xn +1 = n + xn   2008 xn 2007 2007 x2 2007 x1 un = + + ... + . x2 x3 xn +1 Câu 5: Cho n là s t nhiên, ch ng minh r ng: ( C0n ) + ( C1n ) + ... + ( Cnn ) = C2 n . 2 2 2 n Câu 6: 111 a. Cho x, y, z ≥ 1 và + + = 2 . Ch ng minh r ng: xyz x + y + z ≥ x −1 + y −1 + z −1 . b. Cho a th c f ( x ) = x3 − 3 x − 1 có 3 nghi m là a, b, c . Hãy tính: 1+ a 1+ b 1+ c S= + + . 1− a 1− b 1− c Câu 7: Cho i m A ( 0;3) và parabol ( P ) : y = x2 . G i M là m t i m thu c ( P ) có xM = a . Tìm a hoành dài AM là ng n nh t. T ó ch ng t r ng n u o n AM là ng n nh t thì AM vuông góc v i ti p tuy n t i M c a ( P ) . 10 © Nguy n c Tu n – Nickname: NDTuanMAT
  12. PH L C THI CH N I TUY N D THI C P QU C GIA NĂM H C 2008 – 2009 Ngày thi: 14 tháng 12 Th i gian làm bài: 180 phút Câu 1: Gi i phương trình: (1 + t an10 ) (1 + t an20 ) ... (1 + t an450 ) = 2 x . Câu 2: Cho tam giác ABC có các góc u nh n. G i AH , BI , CK là các ư ng cao c a tam giác ABC . Ch ng minh r ng: S HIK = 1 − cos 2 A − cos 2 B − cos 2 C . S ABC Câu 3: Cho a, b là hai s nguyên. Ch ng minh r ng: A = ab ( a 2 + b 2 ) ( a 2 − b 2 ) chia h t cho 30. f : Ν* → Ν * th a mãn hai i u ki n: Câu 4: Cho hàm s  f ( a.b ) = f ( a ) . f ( b )  . Trong ó a, b ∈ Ν*, ( a, b ) = 1 và p, q là s nguyên t .  f ( p + q) = f ( p) + f (q)   Ch ng minh r ng: f ( 2008 ) = 2008 . Bài 5: Ch ng minh r ng n u n ch n thì 2n chia h t (*) C2 n + 3C2 n + ... + 3k C22nk + ... + 3nC22nn . 0 2 Bài 6: Cho 3 s th c a, b, c . Ch ng minh r ng: (a + 1) ( b2 + 1) ( c 2 + 1) ≥ ( ab + bc + ca − 1) . 2 2 Bài 7: Cho tam giác ABC cân t i A . ư ng tròn ( C ) ti p xúc v i ư ng th ng AB, AC l n lư t t i B, C . M là i m tùy ý n m trên ư ng tròn ( C ) . G i d1 , d 2 , d3 l n lư t là n các ư ng th ng AB, AC , BC . Ch ng minh: d1.d 2 = d 32 . các kho ng cách t M 11 (*) hi u là: C2 n + 3C2 n + ... + 3k C2 n + ... + 3nC2 n chia h t cho 2 n 0 2 2k 2n © Nguy n c Tu n – Nickname: NDTuanMAT
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản