Ứng dụng của Đại số vào việc chứng minh và phát hiện ra các bđt trong tam giác

Chia sẻ: Vu Van Thang | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:3

0
211
lượt xem
90
download

Ứng dụng của Đại số vào việc chứng minh và phát hiện ra các bđt trong tam giác

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu về những ứng dụng của đại số vào việc chứng minh và phát hiện ra các BĐT trong tam giác .

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Ứng dụng của Đại số vào việc chứng minh và phát hiện ra các bđt trong tam giác

  1.  π Chúng ta ñi t bài toán ñ i s sau: V i ∀x ∈  0,  ta luôn có :  2 x x 2x < tg < < sin x < x 2 2 π Ch ng minh: 2x x 2x Ta ch ng ming 2 bñt: sin x > và tg < π 2 π 1  π xcos x- sin x - ð t f ( x) = sin x là hàm s xác ñ nh và liên t c trong  0,  . Ta có: f , ( x) = . x  2 x2  π ð t g ( x) = xcos x- sin x trong  0,  khi ñó g , ( x ) = − x sin x ≤ 0 ⇒ g ( x ) ngh ch bi n trong ñ an  2  π  π ,  π π  2 0, 2  nên g ( x ) < g ( 0 ) =0 v i x ∈  0, 2  .Do ñó f ( x ) 〈0 v i ∀x ∈  0, 2  suy ra f ( x ) > f  2  = π         2x  π hay sin x > v i ∀x ∈  0,  π  2 1  π x − sin x  π - ð t h ( x ) = tgx xác ñ nh và liên t c trên  0,  .Ta có h, ( x ) = > 0 ∀x ∈  0,  x  2 2 x 2 cos 2 x  2 2  x π x 2x  π nên hàm s h ( x ) ñ ng bi n, do ñó h ( x ) < h   = hay tg < v i ∀x ∈  0,  2 2 2 π  2 x x Còn 2 bñt tg > và sin x < x dành cho b n ñ c t ch ng minh. 2 2 Bây gi m i là ph n ñáng chú y Xét ∆ABC : BC = a , BC = b , AC = b . G i A, B, C là ñ l n các góc b ng radian; r, R, p, S l n lư t là bán kính ñư ng tròn n i ti p, bán kính ñư ng tròn ngo i ti p, n a chu vi và di n tích tam giác; la, ha, ma, ra, tương ng là ñ dài ñư ng phân giác, ñư ng cao, ñư ng trung tuy n và bán kính ñư ng tròn bàng ti p ng v i ñ nh A... Bài toán 1: Ch ng minh r ng: Trong tam giác ABC nh n ta luôn có : pπ p < Acos 2 x + Bcos 2 B + Ccos 2C < 4R R p Nh n xét :T ñ nh lí hàm s sin quen thu c trong tam giác ta có : sin A + sin B + sin B = và bài R A 4 toán ñ i s ta d dàng ñưa ra bi n ñ i sau Acos 2 A < 2tg cos 2 A = sin A < Acos 2 A , t ñó ñưa ñ n 2 π l i gi i như sau. A 4 L i gi i: Ta có Acos 2 A < 2tg cos 2 A = sin A < Acos 2 A 2 π p 4 p pπ ⇒ ∑ Acos 2 A < ∑ sin A = và ∑ Acos 2 A > ∑ sin A = ⇒ ∑ Acos 2 A > R π R 4R T ñây suy ra ñpcm.
  2. A B B C C A x 2x Trong m t tam giác ta có nh n xét sau : tg tg + tg tg + tg tg = 1 k t h p v i tg < 2 2 2 2 2 2 2 π 2 A 2 B 2 B 2C 2C 2 A A B B C C A π2 nên ta có + + > tg tg + tg tg + tg tg = 1 ⇒ A.B + B.C + C. A > (1). π π π π π π 2 2 2 2 2 2 4 x x AB BC C A A B B C C A M t khác tg > nên ta cũng d dàng có + + < tg tg + tg tg + tg tg = 1 t 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ñây ta l i có A.B + B.C + C. A < 4 (2). T (1) và (2) ta có bài toán m i. Bài toán 2:Cmr: Trong tam giác ABC nh n ta luôn có : π2 < A.B + B.C + C. A < 4 4 Lưu y: Khi dùng cách này ñ sáng t o bài toán m i thì ñ toán là ∆ABC ph i là nh n vì trong bài  π toán ñ i s thì ∀x ∈  0,  .L i gi i bài toán tương t như nh n xét trên. Nhưng b a sau ñem vào  2 2 l p ñ Tú thì tú tr l i th t là “s c”: áp d ng bñt ab + bc + ca ≤ (a + b + c) thì ta có ngay 3 2 ( A+ B + C) π2 A.B + B.C + C. A ≤ = . T ñây ta có bài toán “ch t” hơn và “ñ p” hơn : 3 3 π2 π2 〈 A.B + B.C + C. A ≤ 4 3 Ngoài ra, chúng ta còn cách ch ng minh ghê g m hơn là “d n bi n”, sau ñây là cách d n bi n c a b n H u Vinh: t t vi t sau Bây gi ta th ñi t công th c la, ha, ma, ra ñ tìm ra các công th c m i A 2bccos A A bc sin A 2 Trong ∆ABC ta luôn có: 2 S = bc sin A = cla sin + bla sin ⇒ la = = 2 2 A b+c ( b + c ) sin 2 1 b+c b+c 11 1 1 1 1 1 1 1 1  1 1 1  ⇒ = > =  + ⇒ + + > + + >  + +  la 2bccos A 2bc 2  b c  la lb lc a b c 2 R  sin A sin B sin C  2 1 1 1 1 1 1 1 ⇒ + + >  + +  . Như v y chúng ta có Bài toán 3 la lb lc 2 R  A B C  Bài toán 3 :Cmr: Trong tam giác ABC nh n ta luôn có : Trong tam giác ABC nh n ta luôn có : 1 1 1 1 1 1 1 ⇒ + + >  + +  la lb lc 2 R  A B C  L i gi i tuơng t như ph n bi n ñ i trên. bc b+c 2 R ( sin B + sin C ) M t khác, ta l i có = = . Áp dung bài toán ñ i s ta ñư c : la 2cos A π A 2sin  −  2 2 2 2( B + C ) R(B + C) R π R ( B + C ) bc 4 R ( B + C ) bc π bc 4 R π> > ⇒ > > ⇒ πR > > π−A la π A B+C la π (B + C) la π − 2 2
  3. ab 4 R ca 4 R Hoàn toàn tương t ta có : π R > > và π R > > . T ñây, c ng 3 chu i bñt ta ñư c lc π lb π Bài toán 4 :Cmr: Trong tam giác ABC nh n ta luôn có : 12 R ab bc ca < + + < 3π R π lc la lb L i gi i tuơng t như ph n bi n ñ i trên. h h h h h h Trong tam giác ta có k t qu sin A = b = c , sin B = c = a và sin C = a = b , mà t k t qu c b a c b a 1 1 c a bài toán ñ i s ta d dàng có 2 < sin A + sin B + sin C < π ,mà 2 ( sin A + sin B + sin C ) = ha  +  b c 1 1 1 1 + hb  +  + hc  +  , t ñây ta có ñư c Bài toán 5. c a a b Bài toán 5 :Cmr: Trong tam giác ABC nh n ta luôn có : 1 1 1 1 1 1 4 < ha  +  + hb  +  + hc  +  < 2π b c c a a b L i gi i tuơng t như ph n bi n ñ i trên. Ta xét ti p bài toán sau : Bài toán 6 Cmr: Trong tam giác nh n ta luôn có: 2 2 2 4 π2 ( A2 + B 2 + C 2 ) < ma +3mb2 + mc < A2 + B 2 + C 2 R 2 2 b2 + c2 a2 Nh n xét:Liên h v i ma trong tam giác ta có ma = − , t ñó ta suy ra 2 4 3 ma + mb + mc2 = ( a 2 + b 2 + c 2 ) = 3R 2 ( sin A2 + sin B 2 + sin C 2 ) và t ñưa ñ n l i gi i. 2 2 4 4 x2 4 A2 L i gi i: Áp d ng bài toán ñ i s ta ñư c: 2 < sin 2 x < x 2 ta l n lư t có: 2 < sin 2 A < A2 , π π 2 2 4B 4C 2 < sin 2 B < B 2 và 2 < sin 2 C < C 2 . π π 4 2 C ng 3 chu i bñt trên ta ñư c : (A + B 2 + C 2 ) < sin A2 + sin B 2 + sin C 2 < A2 + B 2 + C 2 , mà ta π2 ma + mb + mc2 2 2 có ma + mb + mc2 = 3R 2 ( sin A2 + sin B 2 + sin C 2 ) 2 2 ⇒ 2 = ( sin A2 + sin B 2 + sin C 2 ) , t 3R 4 2 ma + mb + mc2 2 2 2 2 ñây ta ñư c: 2 ( A + B + C ) < 2 < A2 + B 2 + C 2 (ñpcm). π 3R A Bây gi ta th sáng t o m t b t ñ ng th c liên quan t i ra, ta có công th c tính ra là ra = ptg ,t 2 x x 2x A ra 2 A bài toán ñ i s < tg < ch c ch n ta d dàng tìm th y < < , tương t ta cũng có 2 2 π 2 p π B ra 2 B C r 2C A + B + C ra + rb + rc 2 ( A + B + C ) < < và < a < , c ng 3 chu i bñt ta thu ñư c < < và 2 p π 2 p π 2 p π ta thu ñư c Bài toán 7 Bài toán 7: Cmr: Trong tam giác ABC nh n ta luôn có: A + B + C ra + rb + rc 2 ( A + B + C ) < < 2 p π L i gi i tuơng t như ph n bi n ñ i trên.

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản