ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM

Chia sẻ: 22031992

Đạo hàm và vi phân là các khái niệm cơ bản trong toán học giải tích. Một phần của nó được giới thiệu trong chương trình trung học phổ thông. Ý nghĩa hình học của khái niệm đạo hàm là ở chỗ nó biểu diễn tốc độ biến thiên của hàm số thông qua hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị biểu diễn hàm số. Về vật lý, đạo hàm biểu diễn vận tốc tức thời của một chất điểm chuyển động với vận tốc không cố định....

Bạn đang xem 20 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM
Chủ đề: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM

ℑ1.TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ.
Bài 1: Cho hàm số y = x3 − 3mx 2 + 3(2m − 1) x + 1 .
a) Khảo sát hàm số khi m=1.
b) Xác định m để hàm số đồng biến trên tập xác định.
c) Định m để hàm số giảm trên (1,4).
Bài 2: Cho hàm số y = 2 x − x 2
a) Tính y’’(1)
b) Xét tính đơn điệu của hàm số.
mx − 1
Bài 3: Cho hàm số y =
2x + m
a) Khảo sát và vẽ đồ thị khi m=2.
b) Xác định m để đồ thi hàm số không cắt đường thẳng x=-1.
c) Chứng minh rằng với mỗi giá trị m hàm số luôn đồng biến trên khoảng xác định của
nó.
ℑ2. CỰC ĐẠI VÀ CỰC TIỂU
Bài 1: Cho hàm số y = − x 4 + 2mx 2 − 2m + 1 (1)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số khi m=1/3.
b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành.
c) Biện luận theo m số cực trị của hàm số (1).
Bài 2: Cho hàm số y = 2 x 3 − 3(m + 1) x 2 + 6mx − 2m
a)Khảo sát hàm số khi m = 1 gọi đồ thị là (C). Chứng tỏ rằng trục hoành là tiếp tuyến
của (C).
b) Xác định m để hàm số có cực trị, tính tọa độ hai điểm cực trị ,viết phương trình
đường thẳng qua điểm cực trị đó.
c) Định m để hàm số tăng trên khoảng (1;∞).
1
Bài 3: Định m để hàm số y = x3 − mx 2 + (m 2 − m + 1) x + 1 đạt cực tiểu tại x = 1.
3
Bài 4: Cho hàm số y = f ( x) = − x3 + 3x 2 − 3mx+3m-4
a) Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị lớn hơn m.
b) Chứng minh rằng tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc lớn nhất trong tất cả các tiếp
tuyến của đồ thị hàm số
ℑ3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT –GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
Bài 1:Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số:
a) y = 2 x3 + 3x 2 − 1 trên [-2;-1/2] ; [1,3).
b) y = x + 4 − x 2 .



Trang 1
4
c) y = 2s inx- sin 3 x trên đoạn [0,π]
3
d) y = 2cos2x+4sinx x∈[0,π/2]
e) y = x − 3x + 2
2
trên đoạn [-10,10].
Chủ đề: KHẢO SÁT HÀM SỐ
Các bước khảo sát hàm số :
Các bước khảo sát hàm đa thức Các bước khảo sát hàm hữu tỷ
Tập xác định Tập xác định
Tìm y’ & sự biến thiên, cực trị Tìm y’ & sự biến thiên, cực trị
Tìm y’’ & tính lồi lõm, điểm uốn, Giới hạn & tiệm cận
bảng xét dấu y’’. Bảng biến thiên
Giới hạn Giá trị đặt biệt
Bảng biến thiên Đồ thị
Giá trị đặt biệt
Đồ thị
Sự khác biệt : Hàm đa thức không có tiệm cận, hàm hữu tỉ không cần xét đaọ hàm cấp hai.
Các dạng đồ thị hàm số:
Hàm số bậc 3: y = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0)
y y y y



I
I I •
• • I



O x O x O x O x
a>0 a0 a0 a0 a − )
12 12
3x + 4
Bài 2: Định a để đường thẳng (d): y = ax + 3 không cắt đồ thị hàm số y = .
x −1
KQ: -28 < a ≤ 0
Dạng 4: Cực trị của hàm số
Yêu cầu đối với học sinh:
Biết số lượng cực trị của mỗi dạng hàm số được học trong chương trình:
Hàm số bậc 3 : y = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0) → không có cực trị hoặc có 2 cực trị.
Hàm số bậc 4 dạng : y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0) → có 1 cực trị hoặc 3 cưc trị.
ax+b
Hàm số nhất biến dạng: y = → chỉ tăng hoặc chỉ giảm và không có cực trị.
cx+d

Bài tập: Định tham số m để:
1 3
1). Hàm số y = x + mx 2 + (m + 6) x − 1 có cực đại và cực tiểu.
3
Trang 6
Kết quả: m < - 2 hay m > 3
3 2
2). Hàm số y = 2x – 3(2m + 1)x + 6m(m + 1)x + 1 có cực đại và cực tiểu tại x1, x2 và
khi đó x2 – x1 không phụ thuộc tham số m.
Kết quả : ∀m và x2 – x1 = 1
3 2
3). Hàm số y = x – 3x + 3mx + 1 – m có cực đại và cực tiểu. Giả sử M1(x1;y1),
y1 − y2
M2(x2;y2) là 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số. Chứng minh rằng : = 2. Kết
( x1 − x2 )( x1x2 − 1)
quả : m < 1
Dạng 4: Viết PTTT của đồ thị hàm số?
Bài tập về pttt của đồ thị:
Bài 1: Cho hàm số y = x2 – 2x + 3 có đồ thị là (C)và (d): 8x – 4y + 1 = 0
a) CMR (C) và (d) cắt nhau tại 2 điểm A và B
b) CMR các tiếp tuyến của (C) tại A,B vuông góc nhau.
Bài 2: Cho hàm số y = x3 + mx2 – m – 1, có đồ thị (C).
a) Tìm các điểm cố định của (Cm).
b) Lập pttt tại các điểm cố định đó.
Bài 3: Cho hàm số y = -x4 + 2mx2 – 2m + 1. Tìm m để các tiếp tuyến của đồ thị
hàm số tại A(1;0), B(-1;0) vuông góc nhau
x+2
Bài 4: Cho hàm số y = . Lập pttt của đồ thị (C) của hàm số tại các giao điểm với
x−2
trục tung và trục hoành
x+2
Bài 5: Cho hàm số y = . Viết pttt của (C) đi qua A(-6;5)
x−2
Bài 6) Cho hàm số y = x3 – 3x. Lập các pttt kẻ từ điểm A(-1;2) tới đồ thị hàm số
19
Bài 7) Cho hàm số y = 2x3 – 3x2 + 5. Lập pttt kẻ từ A( ;4)
12
Bài 8) Cho hàm số y = 2x3 + 3x2 – 12x – 1. Tìm M ∈ đồ thị (C) của hàm số đã cho sao
cho tiếp tuyến tại M đi qua gốc tọa độ O.




Trang 7
Chủ đề HÀM SỐ.

1. Cho hàm số :
Gọi là đường thẳng đi qua điểm và có hệ số góc là . Tìm để đường thẳng cắt đồ
thị tại 3 điểm phân biệt.
Phương trình đường thẳng
Phương trình hoành độ giao điểm của và là :

Đường thẳng cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi
có 2 nghiệm phân biệt khác 3




2. Cho hàm số (1), có đồ thị (C) và đường thẳng (d) có phương trình
.
Tìm k để đường thẳng (d) cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt, trong đó có hai điểm có hoành
độ dương.
Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (C):


Để d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt trong đó có 2 điểm có hoành độ dương thì (*) phải có 2
nghiệm phân biệt dương.
Đặt



Ta có :
3. Cho hàm số (C)
Chứng minh đường thẳng luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A,B.
Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB, hãy tìm m để I nằm trên đường thẳng : y = 2x + 3.
Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (C) :
(1)
Phương trình này luôn có 2 nghiệm phân biệt nên (d) luôn cắt (C) ở 2 điểm phân biệt A, B.
Hoành độ A, B chính là 2 nghiệm của phương trình (1) , nên do định lí Viet :


Vậy



Trang 8
4. Cho hàm số




Với những giá trị nào của m thì phương trình có ba nghiệm phân biệt?
Phương trình có 3 nghiệm phân biệt
có 3 nghiệm phân biệt
đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại 3 điểm phân biệt
(Các bạn tự vẽ hình)
5. Cho hàm số , a là tham số.
Tìm tất cả các giá trị của a để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại một và chỉ một điểm .
Hoành độ giao điểm với trục hoành là nghiệm phương trình .
Đồ thị hàm số y = f(x) cắt Ox tại đúng 1 điểm đường thẳng y = a và đồ thị
có một điểm chung duy nhất.

Ta có :

x -∞ 0 1 +∞
y' + || + 0 -
y +∞ || -
|| 3
||
-∞ || -∞ -∞


Trang 9
Từ bảng biến thiên ta thấy các giá trị cần tìm là
6. Cho hàm số
Với giá trị nào của m đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.
TXĐ: R




Hàm số đạt cực đại tại
Hàm số đạt cực tiểu tại
Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt khi các giá trị cực đại, cực tiểu nằm về hai
phía trục hoành




Vậy với thì đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt
7. Cho hàm số ( m là tham số )
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 4.
b. Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.
a) Đồ thị hàm số khi m=4.




Trang 10
b) Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và trục hoành y = 0 là
:

Đặt
Để đồ thị hàm số (Cm) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt thì pt (*) phải có 3 nghiệm phân
biệt, tức là phương trình (**) phải có 2 nghiệm phân biệt và khác -1




8. Cho hàm số (C)
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C) .
b. Dựa vào đồ thị hàm số (C) biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình :

a. Khảo sát hàm số
* Tập xác định : D = R
* Chiều biến thiên :



Hàm số đồng biến trên và
Hàm số nghịch biến trên ( - 1 ; 0)
+
+
* Tính lồi lõm, điểm uốn :




- Bảng biến thiên :
x -∞ -1 0 +∞
y' + - 0 +
y 0 +∞


-∞ -
1
Trang 11
* Đồ thị : qua các điểm ( - 1; 0 ) ,




b. Biện luận số nghiệm của phương trình
Phương trình (*) suy ra số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao
điểm của đồ thị hàm số và .
* , hoặc thì (*) có 1 nghiệm .
* hoặc thì (*) có 2 nghiệm ( trong đó có 1 nghiệm đơn và 1 nghiệm kép )
* thì (*) có 3 nghiệm phân biệt .
9. Cho hàm số
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết rằng tity đi qua điểm A (-2 ; 0 ).
c. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình :
với m là tham số dương.
a. Khảo sát
* TXĐ : | R
* Sự biến thiên :


Dấu y' :
+ / Hàm số đồng biến : , Hàm số nghịch biến :

Trang 12
+/ Hàm số đạt cực đại tại : ( - 1; 4) , cực tiểu tại (1 ; 0)
+/ Điểm uốn : Đồ thị có điểm tồn uốn tại (0 ; - 2)
+/ Bảng biến thiên :
x -∞ -1 1 +∞
y' - + 0 -
y +∞ 0


4 -∞

* Đồ thị :
+/
+/




b. Đường thẳng (d) đi qua điểm A ( - 2; 0) với hệ số góc k có phương trình là :
+ (d) là tiếp tuyến của (C)


hệ phương trình sau có nghiệm
Thế (2) vào (1) ta được :


Trang 13
+ Với

Vậy có 2 tiếp tuyến với (C) đi qua A.
c. Biện luận nghiệm
Ta có : (*)

Nhận xét : Vế trái là hàm số có đồ thị (C) vừa khảo sát . Vế phải là đường thẳng
song song với trục Ox
số nghiệm của phương trình (*) chính là số giao điểm của (C) với đường thẳng
.
Từ đồ thị (C) ta thấy :


+ Với
phương trình (*) có 1 nghiệm .


+ Với
phương trình (*) có 2 nghiệm .

+ Với
phương trình (*) có 3 nghiệm phân biệt .
10. Cho hàm số (m là tham số )
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 6
b. Với những giá trị nào của m thì phương trình có 3 nghiệm phân biệt .
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị

-. TXĐ : R
-. Sự biến thiên :


Xét dấu y'
hàm số đồng biến
hàm số nghịch biến
Hàm số có cực đại tại x = - 3,
Hàm số có cực tiểu tại x = 1,



Trang 14
đồ thị hàm số lõm
đồ thị hàm số lồi
Đồ thị hàm số có 1 điểm uốn U (- 1; 17)

Bảng biến thiên
x -∞ 1 3 +∞
y' + - 0 +
y 1 +∞


-∞ 33

Đồ thị




b. Tìm m
Phương trình : có 3 nghiệm phân biệt
có 3 nghiệm phân biệt

Trang 15
Đặt có đồ thị vừa khảo sát (C)
y = 6 - m có đồ thị là đường thẳng (d) song song với Ox
Để (*) có 3 nghiệm phân biệt (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt



11. Cho hàm số
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A(0; 1)
c. Dựa vào đồ thị (C) xác định m để phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt :


a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
-. TXĐ :
-. Chiều biến thiên :



Xét dấu y' :
y' > 0 trong khoảng hàm số đồng biến trong khoảng đó
y' < 0 hàm số nghịch biến trong khoảng đó.
CĐ (- 2; 6) , CT (0; 2)

y'' đổi dấu qua nghiệm x = - 1 và U(- 1; 4)
Bảng biến thiên :
x -∞ -2 0 +∞
y' + - 0 +
y 2 +∞


-∞ 6

Đồ thị :




Trang 16
b. Viết phương trình tiếp tuyến
Đường thẳng (d) đi qua A(0; 1) với hệ số góc k có phương trình y = k (x - 0) + 1 = kx + 1
Đường thẳng (d) là tiếp tuyến của (C) nếu hệ phương trình sau có nghiệm :




Với có phương trình tiếp tuyến
Với có phương trình tiếp tuyến
c. Tìm m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt
Phương trình (*)
Đặt có đồ thị (C)
y = m có đồ thị là đường thẳng song song với Oy.
Nhìn vào đồ thị (C) ta có :
Nếu thì cắt (C) tại 3 điểm phân biệt phương trình (*) có 3 nghiệm phân
biệt .
12. Cho hàm số : (1) (m là tham số ).

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.
b. Tìm k để phương trình có ba nghiệm phân biệt .

Trang 17
a.
TXĐ :



.

Bảng biến thiên

x -∞ 0 2 +∞
y' - + 0 -
y +∞ 0


4 -∞

Đồ thị




b. Cách 1 : Ta có
Đặt .
Dựa vào đồ thị ta thấy phương trình : có 3 nghiệm phân biệt



Trang 18
.
Cách 2 : Ta có
có 3 nghiệm phân biệt
có 2 nghiệm phân biệt khác k



13. Cho hàm số:
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
b) Tìm giá trị của để phương trình có 6 nghiệm phân
14. Cho hàm số (*)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (*).
2. Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo k số nghiệm của phương trình sau :
15. Cho hàm số
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số .
b. Với giá trị nào của m phương trình có 3 nghiệm phân biệt .




Trang 19
MỘT SỐ BÀI TẬP ÔN TẬP TỔNG HỢP
x+3
Bài 1 : Cho hàm số y = gọi (C) là đồ thị hàm số đã cho
x +1
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
b) Tìm các điểm trên (C ) có tọa độ là những số nguyên
c) Chứng minh rằng đường thẳng D:y=2x+m luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt
MN ;xác định m để đoạn MN có độ dài nhỏ nhất
d) Tìm những điểm trên trục hoành từ đó vẽ đúng hai tiếp tuyến với (C) trường hợp vẽ
được hai tiếp tuyến có tiếp điểm là P;Q viết phương trình đường thẳng PQ
e) Tìm tọa độ hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị (C) sao cho khoảng cách giửa chúng
bé nhất
f) Tiếp tuyến tại một điểm S bất kỳ của (C) cắt hai đường tiệm cận tại hai điểm I;J
chứng minh rằng S là trung điểm của IJ
g) Với giá trị m nào thì đường thẳng y=-x+m là tiếp tuyến của đường cong (C)
Bài 2:
Cho hàm số y = ( x − 1) 2 (4 − x)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b) Chứng tỏ rằng đồ thị có tâm đối xứng
c) Viết phương trình tiếp tuyến (C) đi qua điểm A(3;5)
d) Tìm m để đường thẳng y=3/4.x +m cắt (C) theo hai đoạn bằng nhau
e) Tìm m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt
x3 − 6 x 2 + 9 x − 4 − m = 0
Bài 3:
Cho hàm số y = 2 x 3 − 3(m + 1) x 2 + 6mx − 2m
a)Khảo sát và vẽ đồ thị (C) khi m=1 chứng tỏ rằng trục hoành là tiếp tuyến của (C)
b) Xác định m để hàm số có cực trị tính tọa độ hai điểm cực trị ,viết phương trình
đường thẳng qua điểm cực trị đó
c) Định m để hàm số tăng trên khoảng (1;∞)
Bài 4 :
5
Cho hàm số y = - x 3 + 2 x 2 + x
3
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Dùng đồ thị biện luận theo m số nghiệm của phương trình 3x3-6x2-5x+m=0.
c) Tiếp tuyến với (C) tại gốc tọa độ O cắt đồ thị (C) ở điểm M tìm tọa độ M.
d) Biện luận theo k vị trí tương đối của (C) và đường thẳng d có phương trình y=kx.
e) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành.
f) Chứng minh rằng đồ thị có tâm đối xứng.




Trang 20
HÀM SỐ BẬC BA Y=AX3+BX2+CX+D
Bài 1. Cho hàm số y=f(x)=-x3-3x2+4.
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
b. Chứng minh đồ thị hàm số có tâm đối xứng.
c. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại M(-1; 2).
d. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và trục hoành.




Trang 21
Bài 2. Cho hàm số y=f(x)=x3+3x2-4.
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
b. Chứng minh đồ thị hàm số có tâm đối xứng.
c. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại M(-3;-4).
d. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và trục hoành.




Trang 22
Bài 3. Cho hàm số y=f(x)=x3-3x2+4.
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
b. Chứng minh đồ thị hàm số có tâm đối xứng.
c. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại M(1; 2).
d. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và trục hoành.




Trang 23
Bài 4. Cho hàm số y=f(x)=x3+6x2+9x+3
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
b. Chứng minh đồ thị hàm số có tâm đối xứng.
c. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại M(-2; 1).
d. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và trục hoành.




Trang 24
AX + B
HÀM SỐ PHÂN THỨC DẠNG Y =
CX + D
3x + 4
Bài 5. Cho hàm số y = f(x) = .
x+2
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
b. Chứng minh đồ thị có tâm đối xứng.
c. Tìm trên đồ thị những điểm mà tọa độ của nó đều là những số nguyên.
d. Gọi M(x0; y0) là điểm thuộc đồ thị. Viết phương trình đường thẳng (d) là tiếp tuyến với đồ
thị tại M.
e. Gọi I là giao điểm hai tiệm cận; A và B lần lượt là giao điểm của đường thẳng (d) nói trên
và hai tiệm cận. Chứng minh M là trung điểm của AB và tam giác AIB có diện tích
không đổi.




Trang 25
x +1
Bài 6. Cho hàm số y = f(x) = .
x -1
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
b. Chứng minh đồ thị có tâm đối xứng.
c. Tìm trên đồ thị những điểm mà tọa độ của nó đều là những số nguyên.
d. Gọi M(x0; y0) là điểm thuộc đồ thị. Viết phương trình đường thẳng (d) là tiếp tuyến với đồ
thị tại M.
e. Gọi I là giao điểm hai tiệm cận; A và B lần lượt là giao điểm của đường thẳng (d) nói trên
và hai tiệm cận. Chứng minh M là trung điểm của AB và tam giác AIB có diện tích
không đổi.




Trang 26
2
Bài 7. Cho hàm số y = f(x) = .
x +1
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
b. Chứng minh đồ thị có tâm đối xứng.
c. Tìm trên đồ thị những điểm mà tọa độ của nó đều là những số nguyên.
d. Gọi M(x0; y0) là điểm thuộc đồ thị. Viết phương trình đường thẳng (d) là tiếp tuyến với đồ
thị tại M.
e. Gọi I là giao điểm hai tiệm cận; A và B lần lượt là giao điểm của đường thẳng (d) nói trên
và hai tiệm cận. Chứng minh M là trung điểm của AB và tam giác AIB có diện tích
không đổi.




Trang 27
x
Bài 8. Cho hàm số y = f(x) = .
x+2
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
b. Chứng minh đồ thị có tâm đối xứng.
c. Tìm trên đồ thị những điểm mà tọa độ của nó đều là những số nguyên.
d. Gọi M(x0; y0) là điểm thuộc đồ thị. Viết phương trình đường thẳng (d) là tiếp tuyến với đồ
thị tại M.
e. Gọi I là giao điểm hai tiệm cận; A và B lần lượt là giao điểm của đường thẳng (d) nói trên
và hai tiệm cận. Chứng minh M là trung điểm của AB và tam giác AIB có diện tích
không đổi.




Trang 28
2x − 4
Bài 9. Cho hàm số y = f(x) = .
x -3
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
b. Chứng minh đồ thị có tâm đối xứng.
c. Tìm trên đồ thị những điểm mà tọa độ của nó đều là những số nguyên.
d. Gọi M(x0; y0) là điểm thuộc đồ thị. Viết phương trình đường thẳng (d) là tiếp tuyến với đồ
thị tại M.
e. Gọi I là giao điểm hai tiệm cận; A và B lần lượt là giao điểm của đường thẳng (d) nói trên
và hai tiệm cận. Chứng minh M là trung điểm của AB và tam giác AIB có diện tích
không đổi.




Trang 29
Chủ đề PHƯƠNG TRÌNH MŨ
1. Giải phương trình : .
(1)
Đặt
Khi đó (1) trở thành :
( Vì t > 0).

Vậy .

Do đó nghiệm của phương trình là
2. Giải phương trình :
Chia 2 vế của phương trình cho
Ta có:


(1)
Đặt , với
(1) trở thành
=>
=> (Thoả mãn )=>
=>
3. Giải phương trình :
Phương trình đã cho tương đương với :



Đáp số : .
4. Giải phương trình:




Đặt
pt




Trang 30
Vậy phương trình có 2 nghiệm x = 1 & x = -1
5. Giải phương trình:


6. Giải phương trình :


( chia hai vế cho ).
Đặt ( điều kiện y > 0)




7. Giải phương trình: .
Phương trình đã cho tương đương với :




Giải phương trình
Đặt
Khi đó phương trình trở thành:
(vì )


Giải phương trình
Đặt ,phương trình đã cho trở thành

Giải phương trình :



Đặt ta có :



Giải khác
TXD: D=R
(1)




Trang 31
Giải phương trình :
Đặt



Giải phương trình sau:

Nhận xét: là nghiệm



Nhận xét: là nghịch biến trên

Do đó cũng là hàm nghịch biến trên
là nghiệm duy nhất của (*)
Giải phương trình :




Đặt


Giải phương trình :



Chia hai vế của phương trình trên cho ta được:




Đặt




8. Giải phương trình




Trang 32
( do ).
9. Giải phương trình sau :



Vậy nghiệm của phương trình là
10. Giải phương trình sau :




Vậy phương trình có nghiệm .
11. Giải phương trình :




12. Giải phương trình
Đặt thì phương trình tương đương với :

13. Giải phương trình :


14. Giải phương trình :
Đặt thì phương trình
.
Chủ đề PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT
1. Giải phương trình .

Tập xác định
Phương trình

Đặt
Phương trình

Trang 33
Ta có hệ
Đáp số: .
2. Giải phương trình
Điều kiện
PT
Đáp số:
3. Giải phương trình:



Điều kiện: (*)



So với điều kiện (*) thì chính là nghiệm .

4. Giải phương trình:




Điều kiện tồn tại của

Khi đó

hay hay

5. Giải phương trình :
Đk: và x # -2




6. Giải phương trình :


Trang 34
( vì và )


7. Giải phương trình sau:

Điều kiện:
Áp dụng:




8. Giải phương trình sau:




Điều kiện:




+) Trường hợp 1:




Loại
+) Trường hợp 2:



Loại x= -8
Kết luận (*) có 2 nghiệm
9. Giải phương trình :
ĐKXĐ:
pt

Trang 35




( thoả mãn ĐKXĐ)
Vậy pt có nghiệm duy nhất x = 4
Khác
ĐK: . Phương trình đã cho tương đương với:
(TMĐK
)
10. Giải phương trình :

Điều kiện




Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm của phương trình là

11. Giải phương trình :


Tập xác định :
Phương trình :



Vậy x=8 là nghiệm của phương trình




Trang 36
Chủ đề: TÍCH PHÂN.
* Phương pháp trực tiếp.
Bài 1. Tính các tích phân sau:
π

a. I = ∫ (x + Sinx )dx .
0
π π π

I = ∫ (x + Sinx )dx + = ∫ xdx + ∫ Sinxdx
0 0 0
π
1 π π2
= x 2 − Cosx 0 = +2
2 0 2
2

b. I = ∫ (x 2 + 2x - 3)dx .
1
2
2
⎛1 ⎞ 7
I = ∫ (x + 2x - 3)dx = ⎜ x 3 + x 2 − 3x ⎟ =
2

1 ⎝3 ⎠1 3
* Phương pháp đổi biến số.
Bài 2. Tính các tích phân sau:
2

a. I = ∫ (2 x − 1) dx
5

1

1
Đặt t=2x-1⇒dt=2dx ⇒ dx = dt .
2
(2x − 1) 5
= t5 .
Đổi cận:

x 1 2

t 1 3
3
2
1 3
1 182
I = ∫ (2x − 1) dx = ∫ t . dt = t 6 =
5 5

1 1 2 12 1 3
π
6
b. I = ∫ Cos3xdx .
0

1
Đặt t=3x⇒dt=3dx ⇒ dx = dt .
3
Cos3x=Cost.
Đổi cận:



Trang 37
π
x 0
6
π
t 0
2
π π π
6 2
1 1 2 1
I = ∫ Cos3xdx = ∫ Cost. .dt = Sint =
0 0 3 3 0 3
π π
4
Sinx4
c. I = ∫ tanxdx = ∫ dx .
0 0 Cosx
Đặt t=Cosx⇒dt=-Sinxdx ⇒ Sinxdx = -dt .
1 1
=
Cosx t
Đổi cận:
π
x 0
4
⎛π⎞ 2
t Cos0=1 Cos⎜ ⎟ =
⎝4⎠ 2
π 2

Sinx 1
( )
4 2 2

I=∫ dx = − ∫ dt = − ln t 2
= ln 2
0 Cosx 1 t
1

π π
4 4
Cosx
d. I = ∫ Cotxdx = ∫ dx .
π π Sinx
6 6

Đặt t=Sinx⇒dt=Cosxdx ⇒ Cosxdx = dt .
1 1
=
Sinx t
Đổi cận:
π π
x
6 4
⎛π⎞ 1 ⎛π⎞ 2
t Sin ⎜ ⎟ = Sin ⎜ ⎟ =
⎝6⎠ 2 ⎝4⎠ 2
π 2

Cosx 1
( )
6 2 2

I=∫ dx = ∫ t dt = ln t 1
2
= ln 2
π Sinx 1 2
4 2



Trang 38
π
2
Sinx
e. I = ∫ dx .
0 1 + 3Cosx

1
Đặt t=1+3Cosx⇒dt=-3Sinxdx ⇒ Sinxdx = − dt .
3
1 1
=
1 + 3Cosx t
Đổi cận:
π
x 0
2
⎛π⎞
t 1 + 3Cos0 = 4 1 + 3Cos⎜ ⎟ = 1
⎝2⎠
π
1
2
Sinx 1
1⎛ 1 ⎞ 1 1
I=∫ dx = ∫ ⎜ − ⎟dt = − ln t = ln4
0 1 + 3Cosx 4 t⎝ 3⎠ 3 4 3
π
2
f. I = ∫ e Sinx .Cosx.dx .
0

Đặt t=1+Sinx⇒dt=Cosxdx ⇒ Cosxdx = dt .
e Sinx = e t
Đổi cận:
π
x 0
2
⎛π⎞
t Sin0 = 0 Sin ⎜ ⎟ = 1
⎝2⎠
π
2 1

I = ∫ e Sinx .Cosx.dx = ∫ e t dt = e − 1
0 0

Bài 3. Tính các tích phân sau:
π
2
a. I = ∫ Sin 2 xdx .
0
π π π π
2
1 − Cos2x
2
12 12 π
I = ∫ Sin 2 xdx = ∫ dx = ∫ dx − ∫ Cos2x.dx = − J .
0 0 2 20 20 4
π

12
Với J = ∫ Cos2xdx .
20

Trang 39
1
Đặt t=2x⇒dt=2dx ⇒ dx = dt .
2
Cos2x = Cost
Đổi cận:
π
x 0
2
t 0 π
π
1π 1
J = ∫ Costdt = Sint = 0 .
40 4 0

π
Vậy I =
4
π
2
b. I = ∫ Sin 3 xdx .
0
π π π


I = ∫ Sin 3 xdx = ∫ Sin 2 x.Sinxdx = ∫ (1 − Cos 2 x ).Sinxdx
2 2 2


0 0 0

Đặt t=Cosx⇒dt=-Sinxdx ⇒ Sinxdx = -dt .
1 - Cos 2 x = 1 − t 2
Đổi cận:
π
x 0
2
⎛π ⎞
t Cos(0)=1 Cos⎜ ⎟ = 0
⎝2⎠
π
0
0
⎛1 ⎞ 2
I = ∫ (1 − Cos x ).Sinxdx = ∫ (1 − t )( −1)dt = ⎜ t 3 − t ⎟ =
2
2 2

0 1 ⎝3 ⎠1 3
Bài 4. Tính các tích phân sau:
a

a. I= ∫
−a
a 2 − x 2 dx , a > 0 .
Đặt x=a.Sint ⇒ dx = a.Costdt .
a 2 − x 2 = a Cost
Đổi cận

x -a a


Trang 40
π π
t −
2 2
π π π π
a 2
1 + Cos2t a a 2
πa 2 a 2 2 2 2 2

I= ∫ a − x dx = ∫ a Cos tdt = a ∫ dt = ∫ dx + ∫ Cos2t.dt = + JV
2 2 2 2 2

−a
-
π

π 2 2 -π 2 -π 4 2
2 2 2 2
π
2
ới J = ∫ Cos2tdt = 0 .
π

2

πa 2
Vậy I =
4
a
1
b. I = ∫ dx , a > 0 .
−a a2 − x2
Đặt x=a.Sint ⇒ dx = a.Costdt .
a 2 − x 2 = a Cost
Đổi cận

x -a a

π π
t −
2 2
π
a
1 2
I= ∫
−a a2 − x2
dx = ∫ dt = π
π
-
2
a
1
c. I = ∫ dx , a > 0 .
0 x + a
22


1
Đặt x = a.tant ⇒ dx = a. dt .
Cos 2 t
1
x 2 + a 2 = a 2 (1 + tan 2 t ) = a 2 .
Cos 2 t
Đổi cận

x 0 a

π
t 0
4



Trang 41
π
a
1 14 π
I=∫ 2 dx = ∫ dt =
0 x + a
2
a0 4a
a
1
d. I = ∫ 2 dx , a > 0 .
-a x + a
2


1
Đặt x = a.tant ⇒ dx = a. dt .
Cos 2 t
1
x 2 + a 2 = a 2 (1 + tan 2 t ) = a 2 .
Cos 2 t
Đổi cận

x -a a

π π
t −
4 4
π
a
1 14 π
I=∫ 2 dx = ∫ dt =
-a x + a
2
a -π 2a
4

* Phương pháp đồng nhất thức.
Bài 5. Tính các tích phân sau:
1
1
a. I = ∫ dx .
0 x + 3x + 2
2


Ta có x2+3x+2=(x+1)(x+2) nên suy ra
1
=
1
=
A
+
B
=
(A + B)x + (2A + B)
x 2 + 3x + 2 (x + 1)(x + 2) (x + 1) (x + 2 ) (x + 1)(x + 2)
⎧A + B = 0 ⎧A = 1 1 1 1
Suy ra ⎨ ⇒⎨ ⇒ 2 = −
⎩2A + B = 1 ⎩B = −1 x + 3x + 2 (x + 1) (x + 2)
1
1 1
1 1
1 ⎛4⎞
Vậy I = ∫ 2 dx = ∫ dx − ∫ dx = ln⎜ ⎟
0 x + 3x + 2 0 (x + 1) 0 (x + 2 ) ⎝3⎠
1
x
b. I = ∫ 2 dx .
0 x + 3x + 2

Ta có x2+3x+2=(x+1)(x+2) nên suy ra
x
=
x
=
A
+
B
=
(A + B)x + (2A + B)
x + 3x + 2 (x + 1)(x + 2 ) (x + 1) (x + 2 )
2
(x + 1)(x + 2)
⎧A + B = 1 ⎧ A = −1 x 1 2
Suy ra ⎨ ⇒⎨ ⇒ 2 =− +
⎩2A + B = 0 ⎩B = 2 x + 3x + 2 (x + 1) (x + 2)

Trang 42
1
x 1
-1 1
2 ⎛9⎞
Vậy I = ∫ dx = ∫ dx + ∫ dx = ln⎜ ⎟
0 x + 3x + 2 0 (x + 1) 0 (x + 2 ) ⎝8⎠
2


1
x
c. I = ∫ dx .
0 ( x + 1)
2


-Cách 1.
Đặt t=x+1 ⇒x=t-1; dx=dt
Đổi cận:
x 0 1
t 1 2
1
x 2
t −1 2
1 2
1 1
I=∫ dx = ∫ 2 dt = ∫ dt − ∫ 2 dt = ln2 − 1 + .
0 (x + 1)
2
1 t 1 t 1 t 2
-Cách 2.
x A B Bx + A + B
= + =
(x + 1) (x + 1) x + 1 (x + 1)2
2 2



⎧b = 1 ⎧ A = −1 x 1 1
Suy ra ⎨ ⇒⎨ ⇒ =− +
⎩A + B = 0 ⎩ B = 1 (x + 1)2
(x + 1) (x + 1)
2


1
x 1 1
1 1
I=∫ dx = − ∫ +∫ dx = ln2 − 1 +
0 (x + 1) (x + 1) dx 0 x + 1
2 2
2
* Phương pháp tích phân từng phần.
Bài 6. Tính các tích phân sau:
1

a. I = ∫ x.e x .dx .
0

Đặt
⎧u = x ⎧du = dx
⎨ ⇒⎨
⎩dv = e dx ⎩v = e
x x


1 b 1
b x 1
I = ∫ x.e .dx = u.v a − ∫ vdu = x.e
x
0
− ∫ e x dx = 1
0 a 0
e

b. I = ∫ lnx.dx .
1

Đặt
⎧ 1
⎧u = lnx ⎪du = dx
⎨ ⇒⎨ x
⎩dv = dx ⎪
⎩v = x


Trang 43
e b e
b e
I = ∫ lnx.dx = u.v a − ∫ vdu = x.lnx 1 − ∫ dx = 1
1 a 1
π
c. I = ∫ x.Sinx.dx .
0

Đặt
⎧u = x ⎧du = dx
⎨ ⇒⎨
⎩dv = Sinxdx ⎩v = −Cosx
π b π
b π
I = ∫ x.Sinxdx = u.v a − ∫ vdu = - x.Cosx 0 + ∫ Cosxdx = π
0 a 0



π
d. I = ∫ e x .Sinx.dx .
0

Đặt
⎧u = Sinx ⎧du = Cosxdx
⎨ ⇒⎨
⎩dv = e dx ⎩v = e
x x


π b π π
b π
I = ∫ e .Sinxdx = u.v a − ∫ vdu = e .Sinx 0 − ∫ e Cosxdx = − ∫ e x Cosxdx
x x x

0 a 0 0

Đặt
⎧u = Cosx ⎧du = −Sinxdx
⎨ ⇒⎨
⎩dv = e dx ⎩v = e
x x


π π
π
I = − ∫ e x Cosxdx = − e x Cosx 0 − ∫ e x .Sinxdx = e π + 1 − I
0 0

1 π
Vậy I = (e + 1)
2
π
4
x
e. I = ∫ .dx.
0 Cos 2 x
Đặt
⎧u = x
⎪ ⎧du = dx
⎨ 1 ⇒⎨
⎪dv = Cos 2 x dx ⎩v = tanx

π π
4
x b
b
π π 4
I=∫ 2
.dx = u.v a − ∫ vdu = x.tanx − ∫ tanxdx = − J 4

0 Cos x a 0 4 0




Trang 44
π
4
Tính J = ∫ tanxdx = ln 2 .
0


Vậy I=
π
4
− ln 2( )
π
2
x
f. I= ∫
π Sin
2
x
.dx .
3

Đặt
⎧u = x
⎪ ⎧du = dx
⎨ 1 ⇒⎨
⎪dv = Sin 2 x dx ⎩v = −Cotx

π π
2
x b
b π
π 3
2
I=∫ 2
.dx = u.v a − ∫ vdu = − x.Cotx π + ∫ Cotxdx =
2
+J
π Sin x a 3 π 9
3 3
π
2
3
Tính J = ∫ Cotxdx = −ln .
π 2
3

π 3 3
Vậy I= − ln
9 2
Bài 7. Tính các tích phân sau:
π
2
a. I = ∫ (2x - 1).Cosx.dx .
0

Đặt
⎧u = 2x - 1 ⎧du = 2dx
⎨ ⇒⎨
⎩dv = Cosxdx ⎩v = Sinx
π π
2 b π 2
π
I = ∫ (2x - 1).Cosx.dx = u.v a − ∫ vdu = (2x - 1).Sinx + 2 ∫ Sinxdx =
b
2 −3
0 a
0
0 2

π
b. I = ∫ x 3 .Sinx.dx .
0

Đặt
⎧u = x 3 ⎧du = 3x 2 dx
⎨ ⇒⎨
⎩dv = Sinxdx ⎩v = −Cosx

Trang 45
π b π
b π
I = ∫ x 3 .Sinx.dx = u.v a − ∫ vdu = − x 3 Cosx 0 + 3∫ x 2 Cosxdx = π 3 + J
0 a 0
π

Với J = 3.∫ x 2 Cosxdx .
0

Đặt
⎧u = x 2 ⎧du = 2xdx
⎨ ⇒⎨
⎩dv = Cosxdx ⎩v = Sinx
π π

J = 3.∫ x 2 Cosxdx = −6.∫ x.Sinxdx
0 0

Đặt
⎧u = x ⎧du = dx
⎨ ⇒⎨
⎩dv = Sinxdx ⎩v = −Cosx
π b π
b π
- 6 ∫ x.Sinxdx = u.v a − ∫ vdu = 6x.Cosx 0 − 6 ∫ Cosxdx = −6π
0 a 0
π

Vậy I = ∫ x 3 .Sinx.dx = π 3 − 6π .
0
1

c. I = ∫ x.ln (1 + x 2 )dx .
0

Đặt
⎧ 2x
⎧u = ln (1 + x ) ⎪2
⎪du = 1 + x 2 dx
⎨ ⇒⎨
⎩ dv = xdx ⎪v = 1 x 2

⎩ 2
1 x3
( )
1 1

I = ∫ x.ln (1 + x )dx = ln2 − ∫ 2 dx = ln 2 − J .
2

0 2 0 x +1
1
x 3 1 2
x .x
Với J = ∫ 2 dx = ∫ 2 dx
0 x +1 0 x +1

Đặt
1
t=x2+1 ⇒ dt = 2xdx ⇒ xdx = dt
2
x2=t-1
Đổi cận:
x 0 1
t 1 2


Trang 46
1
x3 1 2 t -1 1
J=∫ dx = ∫ 2 dt = − ln 2
0 x +1 21 t 2
2



( )1
( ) 1
1

Vậy I = ∫ x.ln (1 + x 2 )dx = ln 2 − + ln 2 = ln 2 −
0 2 2
e

d. I = ∫ x 2 .lnxdx
1

Đặt
⎧ 1
⎪ du = dx
⎧u = lnx ⎪ x
⎨ ⇒⎨
⎩dv = x dx ⎪v = 1 x 3
2



⎩ 3
e
2 1
I = ∫ x 2 .lnxdx = e 3 +
1 9 9
Chuyên đề: SỐ PHỨC

Số có dạng , trong đó , gọi là số phức. Trong đó gọi là phần
thực, còn gọi là phần ảo của .
- Số , gọi là số phức liên hợp của
- , gọi là mô đun của số phức
Cộng, trừ, nhânsố phức: Cho hai số phức .
- Cộng, trừ số phức:
- Nhân số phức: .
Lưu ý:
Ví dụ: , (Vì
Phép chia số phức:
Ví dụ:

1)




2)
Số , gọi là số phức nghịch đảo của
Căn bậc hai của số thực âm:
Cho số thực , khi đó số có hai căn bậc hai là: và

Trang 47
Điểm , biểu điễn trên mặt phẳng tọa độ với hệ trục được gọi là điểm biểu diễn
của số phức .
Hai số phức bằng nhau: Cho hai số phức .

Khi đó
MỘT SỐ DẠNG TOÁN
I. Tính toán trên số phức

Ví dụ 1: Tìm số phức liên hợp của
Giải:

Ta có
Hay .
Suy ra số phức liên hợp của bằng



Ví dụ 2: Tìm mô đun của .
Giải:
Ta có

Hay
Vậy, mô đun của bằng
II. Tìm căn bậc hai của số phức
Ví dụ 4: Tìm căn bậc hai của .
Giải:
Giả sử số là căn bậc hai của . Khi đó ta có


Giải hệ này ta được hai nghiệm:


Vậy, số có hai căn bậc hai dạng , với
III. Khai triển lũy thừa
Ví dụ 5: Tính
Giải:
Ta có



Lại có .
Trang 48
Suy ra

Vậy
II. Các bài toán về phương trình
Bài 1. Giải các phương trình sau:

a) b) c)
Bài 2. a) Tìm các số thực để phương trình nhận làm nghiệm.
Chứng minh khi đó nghiệm còn lại là
b) Cho phương trình , trong đó là số thực.
1. Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm thực.
2. Tìm để phương trình nhận l à nghiệm.
Hướng dẫn giải
Chú ý:
1. Cách giải phương trình bậc hai hệ số phức
Bước 1. Đặt (hoặc )
Bước 2. Tìm một căn bậc hai của .

Bước 3. Phương trình có hai nghiệm và
2. Cách tìm căn bậc hai của . Tức là tìm sao cho
Đặt . Ta có

Suy ra
Ta tìm các số thực thỏa hệ (I)
Bài 1.
a) Ta đi tìm căn bậc hai của . Đặt , trong đó là các số thực. Khi đó ta có hệ


Từ
Trường hợp 1: , thế vào (2) ta có hoặc
• Với thì
• Với thì
Trường hợp 2: thế vào (2) ta có (không tồn tại vì
Vậy phương trình có hai nghiệm
b) Ta có
Vậy phư ơng trình có hai nghiệm


c)Ta có
Ta đi tìm một căn bậc hai của

Trang 49
Đặt

Khi đó ta có hệ

Thế vào , ta có




Với suy ra

Với

Chọn . Phương trình có hai nghiệm
Bài 2. a) Vì là nghiệm của phương trình nên ta có .
Hay
Suy ra và
Giải ra ta được Vậy phương trình trở thành

Phương trình có hai nghiệm
b) Giả sử là một nghiệm thực của phương trình . Khi đó ta có:




Giải hệ ta được hoặc
2. Vì là nghiệm của phương trình nên ta có:




Ta có nên không tồn tại để phương trình (1) nhận là nghiệm.
II. Bài tập rèn luyện
Bài 1. Giải các phương trình sau:
a) b)
c)
Bài 2 Tìm các số phức thỏa
a) b)

Trang 50
Bài 3. Tìm để phương trình có một nghiệm phức là

Bài toán 1: Tìm số phức , biết:
a) ;
b)
Cách giải 1:
a) Rút gọn vế phải sau đó trừ hai vế cho ta được:



Nhân hai vế cho (vì chưa sử dụng phép chia số phức nên ta chỉ dùng phép nhân), ta
được:


b) Làm tương tự câu a) ta được:
.

Chú ý rằng , do đó để có được ta nhân 2 vế với , ta được:

.
Cách giải 2:
b) Đặt , ta có:

Theo tính chất của 2 số phức bằng nhau ta có:


.

Vậy
a) Câu này giải tương tự.
Bài toán 2: Tìm biết :
.
Cách giải 1: Để có được ở vế trái, chúng ta sử dụng tính chất .
Vì vậy, chúng ta chỉ cần nhân cả hai vế của đẳng thức đã cho với , sau đó nhân tiếp

với .

Lời giải: Nhân cả 2 vế của đẳng thức đã cho với ta được:



.


Trang 51
MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN
Baøi 1: Tìm phaàn thöïc vaø phaàn aûo cuûa caùc soá phöùc :
a) (4 – i) + (2 + 3i) – (5 + i) ÑS : 1 vaø 1
b) (1 + i)2 – (1 – i)2 ÑS: 0 vaø 4
c) (2 + i)3 – (3 – i)3 ÑS: -16 vaø 37
3 −i 2 −i 3 −3 2 2 −1− 3
d) − ÑS : vaø
1+ i i 2 2
Baøi 2: Cho soá phöùc z = x + yi. Tìm phaàn thöïc vaø phaàn aûo cuûa caùc soá phöùc :
a) z2 – 2z + 4i ÑS: x2 – y2 – 2x vaø 2(xy – y + 2)
z+i − 2 xy y 2 − x 2−1
b) ÑS: vaø 2
iz − 1 x 2 + ( y + 1) 2 x + ( y + 1) 2
Baøi 3: Giaûi caùc phöông trình sau (aån z):
2+i − 1 + 3i 22 4
a) z= ÑS: + i
1− i 2+i 25 25
1
b) [(2 − i ) z + 3 + i ](iz + )=0 ÑS: -1 + i ; 1/2
2i
c) z + 2 z = 2 − 4i ÑS: 2/3 + 4i
1 3 1 3
d) z 2 − z = 0 ÑS: 0, -1, + i, − i
2 2 2 2
e) z 2 + z = 0 ÑS: 0, i, -i
f) z 2 + z = 0 ÑS: bi (b ∈ R)
2



Baøi 4: Xaùc ñònh taäp hôïp caùc ñieåm trong maët phaúng phöùc bieåu dieãn caùc soá z thoûa maõn
moãi ñieàu kieän sau:
a) z + z + 3 = 4 ÑS: x = 1/2 vaø x = -7/2
1± 3
b) z − z + 1 − i = 2 ÑS: y =
2
2
x
c) 2|z – i| = z − z + 2i ÑS: y =
4
4
⎛ z+i⎞
Baøi 5: Tìm soá phöùc z thoûa maõn : ⎜ ⎟ =1 ÑS: 0, 1 , -1
⎝ z −i⎠
Baøi 6: Phaân tích ra thöùa soá :
a) a2 + 1 ÑS: (a – i)(a + i) b) 2a2 + 3
ÑS: (a 2 − i 3 )(a 2 + i 3)
c) 4a4 + 9b2 ÑS: (2a – 3bi)(2a + 3bi) d) 3a2 + 5b2 ÑS:
(a 3 − ib 5 )(a 3 + ib 3)


Trang 52
Baøi 7: Thöïc hieän pheùp tính :
3 3 6 1+ i
a) ÑS: − i b) ÑS: i
1 + 2i 5 5 1− i
m a+i a a −1 2 a
c) ÑS: -i m d) ÑS: + i
i m a −i a a +1 a +1
3+i 4 3 (1 + 2i ) 2 − (1 − i ) 2 21 9
e) ÑS: + i f) ÑS: + i
(1 − 2i )(1 + i ) 5 5 (3 + 2i ) 2 − (2 + i ) 2 34 17
a+i b b
g) ÑS: −i a h) (2 – i)6 ÑS: -117 – 44i
i a a
Baøi 8: Tìm caên baäc hai cuûa moãi soá phöùc sau :
a) -1 + 4 3.i ÑS: ± ( 3 + 2.i ) b) 4 + 6 5.i ÑS:
± (3 + 5.i )
c) -1 - 2 6 .i ÑS: ± ( 2 − 3.i) d) -5 + 12.i ÑS: ± (2 +
3i)
Baøi 9: Giaûi caùc phöông trình sau trong C.
3 1
a) x 2 − 3.x + 1 = 0 ÑS: ± i
2 2
6
b) 3 2 .x 2 − 2 3.x + 2 = 0 ÑS: (1 ± i )
6
c) x2 – (3 – i)x + 4 – 3i = 0 ÑS: 2 + i ; 1 – 2i
1 ± i 23
d) 3x 2 − x + 2 = 0 ÑS:
6
6 6
e) 3x 2 2 − 2 x 3 + 2 = 0 ÑS: ± i
6 6




Trang 53
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản