Ứng dụng đạo hàm giải phương trình, bất phương trình của hàm số

Chia sẻ: Trần Bá Trung4 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

3
1.673
lượt xem
545
download

Ứng dụng đạo hàm giải phương trình, bất phương trình của hàm số

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

" Ứng dụng đạo hàm giải phương trình, bất phương trình của hàm số " giúp ích cho các bạn tự học, ôn thi, với phương pháp giải hay, thú vị, rèn luyện kỹ năng giải đề, nâng cao vốn kiến thức cho các bạn trong các kỳ thi sắp tới. Tác giả hy vọng tài liệu này sẽ giúp ích cho các bạn.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Ứng dụng đạo hàm giải phương trình, bất phương trình của hàm số

  1. øng dông ®¹o hµm ®Ó gi¶i PT, BPT, HPT chøa tham sè trÇn m¹nh s©m – thpt l¹ng giang sè 2 I. KI N TH C C N NH x 2 + mx + 2 = 2 x + 1 Cho hàm s y = f ( x ) liên t c trên t p D  1 2 x + 1 ≥ 0  x ≥ − 1. Phương trình f ( x ) = m có nghi m x ∈ D ⇔ 2 2 ⇔  2 ⇔ min f ( x ) ≤ m ≤ max f ( x )  x + mx + 2 = ( 2 x + 1)  mx = 3x 2 + 4 x − 1(*) x∈D x∈D  2. B t phương trình f ( x ) ≤ m có nghi m x ∈ D Xét phương trình (*) ⇔ min f ( x ) ≤ m + x = 0 ⇒ 0.x = −1 , phương trình này vô x∈D nghi m. Nghĩa là không có giá tr nào c a m ñ 3. B t phương trình f ( x ) ≤ m có nghi m ñúng phương trình có nghi m x = 0 v i x ∈ D ⇔ max f ( x ) ≤ m 1 + x ≠ 0 ⇒ 3 x + 4 − = m . Ta xét hàm s x∈D x 4. B t phương trình f ( x ) ≥ m có nghi m x ∈ D 1  1  f ( x ) = 3 x + 4 − trên t p  − ; +∞  \ {0} ⇔ max f ( x ) ≥ m x  2  x∈D 5. B t phương trình f ( x ) ≥ m có nghi m ñúng 1  1  Ta có f ' ( x ) = 3 + 2 > 0 v i ∀x ∈  − ; +∞  \ {0} , x  2  v i x ∈ D ⇔ min f ( x ) ≥ m x∈D 1 II. PHƯƠNG PHÁP GI I suy ra hàm s f ( x ) = 3 x + 4 − ñ ng bi n trên x ð gi i bài toán tìm giá tr c a tham s m sao  1  cho phương trình, b t phương trình, h phương trình  − 2 ; +∞  \ {0}   có nghi m ta làm như sau: 1. Bi n ñ i phương trình, b t phương trình v d ng:  1 lim f ( x ) = lim  3 x + 4 −  = m∞ ; f ( x ) = g ( m ) ( ho c f ( x ) ≥ g ( m ) ; f ( x ) ≤ g ( m ) ) x→0 ± x →0  ± x 2. Tìm TXð D c a hàm s y = f ( x )  1 lim f ( x ) = lim  3 x + 4 −  = +∞ 3. L p b ng bi n thiên c a hàm s y = f ( x) trên x →+∞ x →+∞  x Ta có b ng bi n thiên c a hàm s f ( x ) D 4. Tìm min f ( x ) ; max f ( x ) x −1 / 2 0 +∞ x∈D x∈D f’(x) + + 5. V n d ng các ki n th c c n nh bên trên suy ra giá tr m c n tìm +∞ +∞ Lưu ý: Trong trư ng h p PT, BPT, HPT ch a các 9 bi u th c ph c t p ta có th ñ t n ph : f(x) 2 + ð t t = ϕ ( x ) ( ϕ ( x ) là hàm s thích h p có m t trong f ( x ) ) −∞ + T ñi u ki n ràng bu c c a x ∈ D ta tìm ñi u ki n t ∈ K S nghi m c a phương trình (1) b ng s giao ñi m + Ta ñưa PT, BPT v d ng f ( t ) = h ( m ) ( ho c 1 c a ñ th hàm s f ( x ) = 3 x + 4 − và ñư ng th ng f (t ) ≥ h ( m) ; f (t ) ≤ h ( m) ) x  1  + L p b ng bi n thiên c a hàm s y = f (t ) trên y = m trên mi n  − ; +∞  \ {0}  2  K D a vào b ng bi n thiên ta ñư c giá tr c a m th a + T b ng bi n thiên ta suy ra k t lu n c a bài toán 9 III. M T S VÍ D MINH H A mãn yêu c u bài toán là m ≥ 2 Ví d 1.(B-06). Tìm m ñ phương trình sau có 2 Ví d 2. Tìm m ñ phương trình nghi m th c phân bi t m ( ) x 2 − 2 x + 2 + 1 + x ( 2 − x ) ≤ 0 có nghi m x 2 + mx + 2 = 2 x + 1 Gi i: thu c 0;1 + 3    Gi i: ð t t = x2 − 2 x + 2 ⇒ − x ( 2 − x ) = t 2 − 2 . http://ebook.here.vn – Thư vi n Sách Online 1
  2. øng dông ®¹o hµm ®Ó gi¶i PT, BPT, HPT chøa tham sè trÇn m¹nh s©m – thpt l¹ng giang sè 2 Khi ñó b t phương trình tr thành: 1 1 1 1 1 1 = . + − . − m ( t + 1) ≤ t 2 − 2 (*) 2 4 ( 2 x )3 2 x 2 4 ( 6 − x )3 6− x x −1 Ta có t ' = ,t ' = 0 ⇔ x =1   x − 2x + 2 2 1  1 = . − 1 + 1 − 1  2  4 ( 2 x )3   2x  6− x  (6 − x)  3 Ta có b ng bi n thiên : 4   x 0 1 1+ 3   1 1 1  1 1 1  t’ - 0 + = . 4 − 4  + + 2  2x 6 − x  4 ( 2x ) 2 ( ) 4 ( 6 − x)2 4 2x 6 − x  2   t 2  1 1  1 1  + 4 −4  4 +4   2x 6 − x   2x 6− x  1      1 1 1 1 1 1   1 1  t −2 2 = 4 − 4  + + + +  T ñó ta có 1 ≤ t ≤ 2 , t (*) suy ra m ≤ (1)  2x 6−x 2 4 ( 2x)2 4 2x( 6−x) 4 ( 6−x)2   4 2x 4 6−x  t +1       t2 − 2 ta có Xét hàm s f (t ) = trên t p [1; 2] t +1   1 1 + 1 + 1 + 1 + 1  > 0 ( t + 1) + 1 > 0 v   2 Ta có f ' ( t ) = i ∀t ∈ [1; 2] 2 4 ( 2x ) 2 4 2x (6 − x) 4 (6 − x) 2   4 2x 4 6 − x    ( t + 1) 2 v i ∀x ∈ ( 0;6 ) Ta có b ng bi n thiên c a hàm s f (t ) f '( x) = 0 ⇔ 4 2x = 4 6 − x ⇔ 2x = 6 − x ⇔ x = 2 t 1 2 Ta có b ng bi n thiên f’(t) + 2 x 0 2 6 f(t) 3 - f’(x) + 0 1 f(x) 3 2 +6 2 B t phương trình ñã cho có nghi m 24 6 + 2 6 x ∈ 0;1 + 3  ⇔ b t phương trình (1) có nghi m   4 12 + 2 3 2 t ∈ [1; 2] ⇔ m ≤ max f ( t ) = f ( 2 ) = S nghi m c a phương trình ñã cho b ng s giao [1;2] 3 ñi m c a ñ th hàm s y = f ( x ) và ñư ng th ng Ví d 3.(A-08). Tìm m ñ phương trình sau có 2 y = m trên mi n [ 0;6 ] nghi m th c phân bi t D a vào b ng bi n thiên ta ñư c giá tr c a m th a 4 2x + 2x + 2 4 6 − x + 2 6 − x = m ( m ∈ ¡ ) mãn yêu c u bài toán là 2 4 6 + 2 6 ≤ m < 3 2 + 6 Gi i ði u ki n: 0 ≤ x ≤ 6 Ví d 4.(B-07) Ch ng minh r ng v i m i giá tr Xét hàm s f ( x) = 4 2x + 2x + 2 4 6 − x + 2 6 − x dương c a tham s m, phương trình sau có 2 trên t p [ 0;6] nghi m th c phân bi t: Ta có x2 + 2 x − 8 = m ( x − 2) 1 1 1 1 Gi i: ði u ki n: do m > 0 ⇒ x ≥ 2 . Ta có: f ( x) = ( 2x)4 + ( 2x)2 + 2 (6 − x)4 + 2 (6 − x)2 3 1 x2 + 2 x − 8 = m ( x − 2) 1 1 f '( x) = ( 2 x ) 4 .2 + ( 2 x ) 2 .2 + − − 4 2 ⇔ ( x − 2 )( x + 4 ) = m ( x − 2 ) 3 1 1 1 2. ( 6 − x ) 4 . ( −1) + 2. ( 6 − x ) 2 . ( −1) − − x = 2 4 2 ⇔ ( x − 2 )( x + 4 ) = m (*) 2  http://ebook.here.vn – Thư vi n Sách Online 2
  3. øng dông ®¹o hµm ®Ó gi¶i PT, BPT, HPT chøa tham sè trÇn m¹nh s©m – thpt l¹ng giang sè 2 Nh n th y phương trình ñã cho luôn có 1 nghi m Thay x = 0 vào phương trình (*) ñư c: 1 = - 1. V y x = 2 , ñ ch ng minh khi m > 0 phương trình ñã phương trình (*) vô nghi m. Suy ra f ' ( x ) ch mang cho có 2 nghi m th c phân bi t ta c n ch ra phương 1 d u (không ñ i d u), có trình (*) luôn có m t nghi m th c x > 2 khi m > 0 f ' ( 0 ) = 1 > 0 ⇐ f ' ( x ) > 0, ∀x ∈ ¡ f ( x ) = ( x − 2 )( x + 4 ) = x 3 + 6 x 2 − 32 2 Xét hàm s Ta có trên t p ( 2; +∞ ) lim f ( x ) = lim x →+∞ x →+∞ ( x2 + 2 x + 4 − x2 − 2 x + 4 ) Ta có f ' ( x ) = 3 x + 12 x > 0 v i ∀x > 2 2 4x = lim  6 32  x →+∞ x + 2 x + 4 + x2 − 2 x + 4 lim f ( x ) = lim x 3 1 + − 3  = +∞ 2 x →+∞ x →+∞  x x  4 = lim =2 Ta có b ng bi n thiên c a hàm s f ( x ) x →+∞ 2 4 2 4 1+ + 2 + 1− + 2 x x x x x 2 f’(x) + +∞ lim f ( x ) = lim x →−∞ x →−∞ ( x2 + 2 x + 4 − x2 − 2 x + 4 ) 4x +∞ = lim x →−∞ f(x) x + 2 x + 4 + x2 − 2 x + 4 2 4 = lim = −2 x →−∞ 2 4 2 4 0 − 1+ + 2 − 1− + 2 x x x x S nghi m c a phương trình (*) b ng s giao ñi m Ta có b ng bi n thiên c a hàm s f ( x ) c a ñ th hàm s y = f ( x ) và ñư ng th ng y = m x -∞ +∞ trên mi n ( 2; +∞ ) f’(x) + D a vào b ng bi n thiên ta suy ra khi m > 0 thì phương trình (*) luôn có 1 nghi m x > 2 2 f(x) V y v i m > 0 thì phương trình ñã cho luôn có 2 nghi m th c phân bi t Ví d 5. Tìm m ñ phương trình sau có nghi m: -2 x2 + 2 x + 4 − x2 − 2 x + 4 = m S nghi m c a phương trình ñã cho b ng s giao Gi i: ñi m c a ñ th hàm s y = f ( x ) và ñư ng th ng Vì x 2 ± 2 x + 4 = ( x ± 1) + 3 ≥ 3 > 0, ∀x ∈ ¡ nên 2 y = m trên ¡ TXð: D = ¡ D a vào b ng bi n thiên ta suy ra phương trình có Xét hàm s f ( x ) = x 2 + 2 x + 4 − x 2 − 2 x + 4 trên nghi m ⇔ −2 < m < 2 ¡ Ví d 6. Tìm m ñ h phương trình sau có nghi m Ta có: x +1 x −1  x 2 − 3x − 4 ≤ 0  f '( x) = −  3  x − 3 x x − m − 15m ≥ 0 2 x + 2x + 4 2 x − 2x + 4 2  x +1 x −1 Gi i: f '( x) = 0 ⇔ − =0 x + 2x + 4 2 x − 2x + 4 2 Ta có: x 2 − 3 x − 4 ≤ 0 ⇔ −1 ≤ x ≤ 4 . H phương trình ñã cho có nghi m ⇔ ( x + 1) x 2 − 2 x + 4 = ( x − 1) x 2 + 2 x + 4 (*) ⇔ x3 − 3 x x − m 2 − 15m ≥ 0 có nghi m x ∈ [ −1; 4] ⇒ ( x + 1) ( x 2 − 2 x + 4 ) = ( x − 1) ( x 2 + 2 x + 4 ) 2 2 ⇔ x3 − 3 x x ≥ m 2 + 15m có nghi m x ∈ [ −1; 4] ⇔ x 4 − 2 x 3 + 4 x 2 + 2 x3 − 4 x 2 + 8 x + x 2 − 2 x + 4 =  x 3 + 3 x 2 khi − 1 ≤ x < 0  x 4 + 2 x3 + 4 x 2 − 2 x3 − 4 x2 − 8x + x 2 + 2 x + 4 ð t f ( x) = x − 3 x x =  3 3  x − 3 x khi 0 ≤ x ≤ 4 2 ⇔ x=0  Ta có http://ebook.here.vn – Thư vi n Sách Online 3
  4. øng dông ®¹o hµm ®Ó gi¶i PT, BPT, HPT chøa tham sè trÇn m¹nh s©m – thpt l¹ng giang sè 2  2 3 x + 6 x khi − 1 < x < 0 S nghi m c a phương trình ñã cho b ng s giao f '( x) =  2 ñi m c a ñ th hàm s y = f ( t ) và ñư ng th ng 3 x − 6 x khi 0 < x < 4  f ' ( x ) = 0 ⇔ x = 0; x = ±2 y = m trên  − 2; 2    Ta có b ng bi n thiên : D a vào b ng bi n thiên ta suy ra phương trình có nghi m ⇔ −1 ≤ m ≤ 1 x -1 0 2 4 f’(x) - 0 - 0 + Ví d 8: Tìm m ñ b t phương trình sau có 16 nghi m: mx − x − 3 ≤ m + 1 (1) f(x) Gi i: 2 ð t t = x − 3 ≥ 0 ⇒ x = t 2 + 3 . Khi ñó b t phương trình tr thành: -4 m ( t 2 + 3) − t ≤ m + 1 ⇔ m ( t 2 + 2 ) ≤ t + 1 f ( x ) ≥ m 2 + 15m có nghi m x ∈ [ −1; 4] t +1 ⇔ ≥ m (*) ⇔ max f ( x ) ≥ m 2 + 15m ⇔ 16 ≥ m 2 + 15m t2 + 2 [ −1;4] t +1 Xét hàm s f (t ) = trên ( 0; +∞ ) ⇔ m + 15m − 16 ≤ 0 ⇔ −16 ≤ m ≤ 1 2 t2 + 2 V y h phương trình ñã cho có nghi m −t 2 − 2t + 2 ⇔ −16 ≤ m ≤ 1 Ta có: f ' ( t ) = (t + 2) 2 2 Ví d 7. Tìm m ñ phương trình sau có nghi m: f ' ( t ) = 0 ⇔ −t 2 − 2t + 2 = 0 ⇔ t = −1 ± 3 sin 3 x + cos3 x = m 1 Gi i 1+ sin3 x + cos3 x = m ⇔ ( sin x + cos x )(1 − sin x.cos x ) = m lim f ( t ) = lim t =0 x →+∞ x →+∞ 2  π t+ ð t t = sin x + cos x = 2.sin  x +  , − 2 ≤ t ≤ 2 t  4 Ta có b ng bi n thiên c a hàm s f (t ) Khi ñó: t = sin x + cos x ⇒ t = ( sin x + cos x ) 2 2 t 0 −1 + 3 +∞ t 2 −1 f’(t) + 0 - ⇒ sin x.cos x = 2 Phương trình tr thành: f(t) 3 +1 1  t 2 −1  1 3 3 4 t 1 − =m⇔− t + t=m 2  2  2 2 0 1 3 Xét hàm s f ( t ) = − t 3 + t trên t p  − 2; 2    D a vào b ng bi n thiên ta suy ra b t phương trình 2 2 (1) có nghi m ⇔ b t phương trình (*) có nghi m 3 3 Ta có: f ' ( t ) = − t 2 + 3 +1 2 2 t > 0 ⇔ max f ( t ) ≥ m ⇔ m ≤ ( 0;+∞ ) 4 3 3 f ' ( t ) = 0 ⇔ − t 2 + = 0 ⇔ t = ±1 Ví d 9.(A-07) Tìm m ñ phương trình sau có 2 2 Ta có b ng bi n thiên: nghi m: 3 x −1 + m x + 1 = 2 4 x2 −1 Gi i: t - 2 -1 1 2 ði u ki n: x ≥ 1 f’(t) - 0 + 0 - 3 x −1 + m x + 1 = 2 4 x2 −1 f(t) 1 x −1 x −1 ⇔ −3 + 24 = m (1) 2 x +1 x +1 2 − 2 x −1 2 ð tt=4 , khi ñó phương trình (1) tr thành: -1 x +1 −3t 2 + 2t = m (*) http://ebook.here.vn – Thư vi n Sách Online 4
  5. øng dông ®¹o hµm ®Ó gi¶i PT, BPT, HPT chøa tham sè trÇn m¹nh s©m – thpt l¹ng giang sè 2 2 t2 − 9 Ta có x ≥1 ⇒ t ≥ 0 và t = 1− 4 <1, v y t+ = m ⇔ t 2 + 2t − 9 = 2m x +1 2 0 ≤ t <1 Xét hàm s f ( t ) = t 2 + 2t − 9 trên t p 3;3 2    Xét hàm s f ( t ) = −3t 2 + 2t trên t p [ 0;1) Ta có: f ' ( t ) = 2t + 2 > 0 v i ∀x ∈ 3;3 2    1 Có f ' ( t ) = −6t + 2; f ' ( t ) = 0 ⇔ −6t + 2 = 0 ⇔ t = 3 Ta có b ng bi n thiên c a hàm s f ( x ) Ta có b ng bi n thiên c a hàm s f (t ) t 3 3 2 t 0 1 1 f’(t) + 3 f’(t) + 0 - 9+6 2 f(t) 1 f(t) 3 0 6 -1 S nghi m c a phương trình ñã cho b ng s giao S nghi m c a phương trình ñã cho b ng s giao ñi m c a ñ th hàm s y = f ( t ) và ñư ng th ng ñi m c a ñ th hàm s y = f ( t ) và ñư ng th ng y = m trên mi n [ 0;1) y = 2m trên 3;3 2    D a vào b ng bi n thiên ta suy ra phương trình có D a vào b ng bi n thiên ta suy ra phương trình có nghi m ⇔ −1 < m ≤ 1 9+6 2 nghi m ⇔ 6 ≤ 2m ≤ 9 + 6 2 ⇔ 3 ≤ m ≤ 3 2 Ví d 10. Tìm m ñ phương trình sau có nghi m IV. CÁC BÀI T P TƯƠNG T 1 + x + 8 − x + (1 + x )( 8 − x ) = m Tìm m ñ các phương trình, b t phương trình, h phương trình sau có nghi m: ði u ki n: −1 ≤ x ≤ 8  1 1 ð t t = 1+ x + 8 − x x + x + y + y = 5 1 1 1)  Ta có: t ' = − v i −1 < x < 8  x 3 + 1 + y 3 + 1 = 15m − 10 2 1+ x 2 8 − x   x3 y3 1 1 t'=0⇔ − = 0 ⇔ x +1 = 8 − x 2 1+ x 2 8 − x 2) 4 x 4 − 13 x + m + x − 1 = 0 có ñúng m t nghi m 7 3) sin 6 x + cos 6 x = m.sin 2 x ⇔ x +1 = 8 − x ⇔ x = 4) cos 3 x - cos 2 x + m cos x -1 = 0 có ñúng 7 nghi m 2 Ta có b ng bi n thiên:  π  thu c  − ; 2π  x -1 7  2  8 2 5) ( 4 + x )( 6 − x ) ≤ x 2 − 2 x + m nghi m ñúng v i - t’ + 0 m i x ∈ [ −4; 6] t 3 2 6) x + 9 − x = −x2 + 9x + m 7) x − 3 − 2 x − 4 + x − 6 x − 4 + 5 = m có ñúng hai nghi m th c phân bi t 3 3 1 T ñó d n ñ n 3 ≤ t ≤ 3 2 8) sin 4 x + cos 4 x = m sin 2 x − có ñúng 2 nghi m 2 ( ) 2 Có t = 1 + x + 8 − x ⇒ t 2 = 1+ x + 8 − x π π  x∈ ;  t2 − 9 12 2  ⇒ ( x + 1)( 8 − x ) = , phương trình ñã cho tr 9) Tìm m nh nh t ñ b t phương trình sau ñúng 2 thành: ( ) v i ∀x ∈ [ 0;1] : m x 2 − x + 1 ≤ x 2 + x + 1 http://ebook.here.vn – Thư vi n Sách Online 5

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản