Ứng dụng đạo hàm giải phương trình, bất phương trình của hàm số

Chia sẻ: trungtran4

" Ứng dụng đạo hàm giải phương trình, bất phương trình của hàm số " giúp ích cho các bạn tự học, ôn thi, với phương pháp giải hay, thú vị, rèn luyện kỹ năng giải đề, nâng cao vốn kiến thức cho các bạn trong các kỳ thi sắp tới. Tác giả hy vọng tài liệu này sẽ giúp ích cho các bạn.

Nội dung Text: Ứng dụng đạo hàm giải phương trình, bất phương trình của hàm số

øng dông ®¹o hµm ®Ó gi¶i PT, BPT, HPT chøa tham sè trÇn m¹nh s©m – thpt l¹ng giang sè 2
I. KI N TH C C N NH x 2 + mx + 2 = 2 x + 1
Cho hàm s y = f ( x ) liên t c trên t p D
 1
2 x + 1 ≥ 0
 x ≥ −
1. Phương trình f ( x ) = m có nghi m x ∈ D ⇔ 2 2 ⇔  2
⇔ min f ( x ) ≤ m ≤ max f ( x )  x + mx + 2 = ( 2 x + 1)
 mx = 3x 2 + 4 x − 1(*)
x∈D x∈D 
2. B t phương trình f ( x ) ≤ m có nghi m x ∈ D Xét phương trình (*)
⇔ min f ( x ) ≤ m + x = 0 ⇒ 0.x = −1 , phương trình này vô
x∈D nghi m. Nghĩa là không có giá tr nào c a m ñ
3. B t phương trình f ( x ) ≤ m có nghi m ñúng phương trình có nghi m x = 0
v i x ∈ D ⇔ max f ( x ) ≤ m 1
+ x ≠ 0 ⇒ 3 x + 4 − = m . Ta xét hàm s
x∈D
x
4. B t phương trình f ( x ) ≥ m có nghi m x ∈ D 1  1 
f ( x ) = 3 x + 4 − trên t p  − ; +∞  \ {0}
⇔ max f ( x ) ≥ m x  2 
x∈D

5. B t phương trình f ( x ) ≥ m có nghi m ñúng 1  1 
Ta có f ' ( x ) = 3 + 2 > 0 v i ∀x ∈  − ; +∞  \ {0} ,
x  2 
v i x ∈ D ⇔ min f ( x ) ≥ m
x∈D 1
II. PHƯƠNG PHÁP GI I suy ra hàm s f ( x ) = 3 x + 4 − ñ ng bi n trên
x
ð gi i bài toán tìm giá tr c a tham s m sao
 1 
cho phương trình, b t phương trình, h phương trình  − 2 ; +∞  \ {0}


có nghi m ta làm như sau:
1. Bi n ñ i phương trình, b t phương trình v d ng:  1
lim f ( x ) = lim  3 x + 4 −  = m∞ ;
f ( x ) = g ( m ) ( ho c f ( x ) ≥ g ( m ) ; f ( x ) ≤ g ( m ) ) x→0 ±
x →0 
±
x
2. Tìm TXð D c a hàm s y = f ( x )  1
lim f ( x ) = lim  3 x + 4 −  = +∞
3. L p b ng bi n thiên c a hàm s y = f ( x) trên
x →+∞ x →+∞
 x
Ta có b ng bi n thiên c a hàm s f ( x )
D
4. Tìm min f ( x ) ; max f ( x ) x −1 / 2 0 +∞
x∈D x∈D
f’(x) + +
5. V n d ng các ki n th c c n nh bên trên suy ra
giá tr m c n tìm +∞ +∞
Lưu ý: Trong trư ng h p PT, BPT, HPT ch a các 9
bi u th c ph c t p ta có th ñ t n ph : f(x)
2
+ ð t t = ϕ ( x ) ( ϕ ( x ) là hàm s thích h p có m t
trong f ( x ) )
−∞
+ T ñi u ki n ràng bu c c a x ∈ D ta tìm ñi u
ki n t ∈ K S nghi m c a phương trình (1) b ng s giao ñi m
+ Ta ñưa PT, BPT v d ng f ( t ) = h ( m ) ( ho c 1
c a ñ th hàm s f ( x ) = 3 x + 4 − và ñư ng th ng
f (t ) ≥ h ( m) ; f (t ) ≤ h ( m) ) x
 1 
+ L p b ng bi n thiên c a hàm s y = f (t ) trên y = m trên mi n  − ; +∞  \ {0}
 2 
K D a vào b ng bi n thiên ta ñư c giá tr c a m th a
+ T b ng bi n thiên ta suy ra k t lu n c a bài toán
9
III. M T S VÍ D MINH H A mãn yêu c u bài toán là m ≥
2
Ví d 1.(B-06). Tìm m ñ phương trình sau có 2 Ví d 2. Tìm m ñ phương trình
nghi m th c phân bi t m ( )
x 2 − 2 x + 2 + 1 + x ( 2 − x ) ≤ 0 có nghi m
x 2 + mx + 2 = 2 x + 1
Gi i: thu c 0;1 + 3 
 
Gi i:
ð t t = x2 − 2 x + 2 ⇒ − x ( 2 − x ) = t 2 − 2 .

http://ebook.here.vn – Thư vi n Sách Online 1
øng dông ®¹o hµm ®Ó gi¶i PT, BPT, HPT chøa tham sè trÇn m¹nh s©m – thpt l¹ng giang sè 2
Khi ñó b t phương trình tr thành: 1 1 1 1 1 1
= . + − . −
m ( t + 1) ≤ t 2 − 2 (*) 2 4 ( 2 x )3 2 x 2 4 ( 6 − x )3 6− x
x −1
Ta có t ' = ,t ' = 0 ⇔ x =1  
x − 2x + 2 2 1  1
= . −
1 + 1 − 1 
2  4 ( 2 x )3   2x 
6− x 
(6 − x) 
3
Ta có b ng bi n thiên : 4
 
x 0 1 1+ 3  
1 1 1  1 1 1 
t’ - 0 + = . 4 − 4  + +
2  2x 6 − x  4 ( 2x ) 2
( ) 4 ( 6 − x)2
4 2x 6 − x 
2  
t
2  1 1  1 1 
+ 4 −4  4 +4 
 2x 6 − x   2x 6− x 
1
   
 1 1 1 1 1 1   1 1 
t −2
2
= 4 − 4  + + + + 
T ñó ta có 1 ≤ t ≤ 2 , t (*) suy ra m ≤ (1)  2x 6−x 2 4 ( 2x)2 4 2x( 6−x) 4 ( 6−x)2   4 2x 4 6−x 
t +1  
  

t2 − 2 ta có
Xét hàm s f (t ) = trên t p [1; 2]
t +1  
1 1
+
1
+
1 + 1 + 1  > 0
( t + 1) + 1 > 0 v  
2

Ta có f ' ( t ) = i ∀t ∈ [1; 2] 2 4
( 2x )
2 4 2x (6 − x) 4
(6 − x)
2   4 2x 4 6 − x 
 
( t + 1)
2

v i ∀x ∈ ( 0;6 )
Ta có b ng bi n thiên c a hàm s f (t )
f '( x) = 0 ⇔ 4 2x = 4 6 − x ⇔ 2x = 6 − x ⇔ x = 2
t 1 2
Ta có b ng bi n thiên
f’(t) +
2 x 0 2 6
f(t) 3 -
f’(x) + 0
1
f(x) 3 2 +6
2
B t phương trình ñã cho có nghi m 24 6 + 2 6
x ∈ 0;1 + 3  ⇔ b t phương trình (1) có nghi m
 
4
12 + 2 3
2
t ∈ [1; 2] ⇔ m ≤ max f ( t ) = f ( 2 ) = S nghi m c a phương trình ñã cho b ng s giao
[1;2] 3
ñi m c a ñ th hàm s y = f ( x ) và ñư ng th ng
Ví d 3.(A-08). Tìm m ñ phương trình sau có 2 y = m trên mi n [ 0;6 ]
nghi m th c phân bi t
D a vào b ng bi n thiên ta ñư c giá tr c a m th a
4
2x + 2x + 2 4 6 − x + 2 6 − x = m ( m ∈ ¡ )
mãn yêu c u bài toán là 2 4 6 + 2 6 ≤ m < 3 2 + 6
Gi i
ði u ki n: 0 ≤ x ≤ 6 Ví d 4.(B-07) Ch ng minh r ng v i m i giá tr
Xét hàm s f ( x) = 4 2x + 2x + 2 4 6 − x + 2 6 − x dương c a tham s m, phương trình sau có 2
trên t p [ 0;6] nghi m th c phân bi t:
Ta có x2 + 2 x − 8 = m ( x − 2)
1 1 1 1
Gi i: ði u ki n: do m > 0 ⇒ x ≥ 2 . Ta có:
f ( x) = ( 2x)4 + ( 2x)2 + 2 (6 − x)4 + 2 (6 − x)2
3 1
x2 + 2 x − 8 = m ( x − 2)
1 1
f '( x) = ( 2 x ) 4 .2 + ( 2 x ) 2 .2 +
− −

4 2 ⇔ ( x − 2 )( x + 4 ) = m ( x − 2 )
3 1
1 1
2. ( 6 − x ) 4 . ( −1) + 2. ( 6 − x ) 2 . ( −1)
− −
x = 2
4 2 ⇔
( x − 2 )( x + 4 ) = m (*)
2


http://ebook.here.vn – Thư vi n Sách Online 2
øng dông ®¹o hµm ®Ó gi¶i PT, BPT, HPT chøa tham sè trÇn m¹nh s©m – thpt l¹ng giang sè 2
Nh n th y phương trình ñã cho luôn có 1 nghi m Thay x = 0 vào phương trình (*) ñư c: 1 = - 1. V y
x = 2 , ñ ch ng minh khi m > 0 phương trình ñã phương trình (*) vô nghi m. Suy ra f ' ( x ) ch mang
cho có 2 nghi m th c phân bi t ta c n ch ra phương
1 d u (không ñ i d u), có
trình (*) luôn có m t nghi m th c x > 2 khi m > 0
f ' ( 0 ) = 1 > 0 ⇐ f ' ( x ) > 0, ∀x ∈ ¡
f ( x ) = ( x − 2 )( x + 4 ) = x 3 + 6 x 2 − 32
2
Xét hàm s Ta có
trên t p ( 2; +∞ ) lim f ( x ) = lim
x →+∞ x →+∞
( x2 + 2 x + 4 − x2 − 2 x + 4 )
Ta có f ' ( x ) = 3 x + 12 x > 0 v i ∀x > 2
2
4x
= lim
 6 32  x →+∞
x + 2 x + 4 + x2 − 2 x + 4
lim f ( x ) = lim x 3 1 + − 3  = +∞
2

x →+∞ x →+∞
 x x  4
= lim =2
Ta có b ng bi n thiên c a hàm s f ( x ) x →+∞ 2 4 2 4
1+ + 2 + 1− + 2
x x x x
x 2
f’(x) +
+∞
lim f ( x ) = lim
x →−∞ x →−∞
( x2 + 2 x + 4 − x2 − 2 x + 4 )
4x
+∞ = lim
x →−∞
f(x) x + 2 x + 4 + x2 − 2 x + 4
2

4
= lim = −2
x →−∞ 2 4 2 4
0 − 1+ + 2 − 1− + 2
x x x x
S nghi m c a phương trình (*) b ng s giao ñi m Ta có b ng bi n thiên c a hàm s f ( x )
c a ñ th hàm s y = f ( x ) và ñư ng th ng y = m
x -∞ +∞
trên mi n ( 2; +∞ )
f’(x) +
D a vào b ng bi n thiên ta suy ra khi m > 0 thì
phương trình (*) luôn có 1 nghi m x > 2 2
f(x)
V y v i m > 0 thì phương trình ñã cho luôn có 2
nghi m th c phân bi t

Ví d 5. Tìm m ñ phương trình sau có nghi m: -2

x2 + 2 x + 4 − x2 − 2 x + 4 = m S nghi m c a phương trình ñã cho b ng s giao
Gi i: ñi m c a ñ th hàm s y = f ( x ) và ñư ng th ng
Vì x 2 ± 2 x + 4 = ( x ± 1) + 3 ≥ 3 > 0, ∀x ∈ ¡ nên
2
y = m trên ¡
TXð: D = ¡ D a vào b ng bi n thiên ta suy ra phương trình có
Xét hàm s f ( x ) = x 2 + 2 x + 4 − x 2 − 2 x + 4 trên nghi m ⇔ −2 < m < 2
¡
Ví d 6. Tìm m ñ h phương trình sau có nghi m
Ta có:
x +1 x −1  x 2 − 3x − 4 ≤ 0

f '( x) = −  3
 x − 3 x x − m − 15m ≥ 0
2
x + 2x + 4
2
x − 2x + 4
2

x +1 x −1 Gi i:
f '( x) = 0 ⇔ − =0
x + 2x + 4
2
x − 2x + 4
2 Ta có: x 2 − 3 x − 4 ≤ 0 ⇔ −1 ≤ x ≤ 4 .
H phương trình ñã cho có nghi m
⇔ ( x + 1) x 2 − 2 x + 4 = ( x − 1) x 2 + 2 x + 4 (*)
⇔ x3 − 3 x x − m 2 − 15m ≥ 0 có nghi m x ∈ [ −1; 4]
⇒ ( x + 1) ( x 2 − 2 x + 4 ) = ( x − 1) ( x 2 + 2 x + 4 )
2 2
⇔ x3 − 3 x x ≥ m 2 + 15m có nghi m x ∈ [ −1; 4]
⇔ x 4 − 2 x 3 + 4 x 2 + 2 x3 − 4 x 2 + 8 x + x 2 − 2 x + 4 =  x 3 + 3 x 2 khi − 1 ≤ x < 0

x 4 + 2 x3 + 4 x 2 − 2 x3 − 4 x2 − 8x + x 2 + 2 x + 4 ð t f ( x) = x − 3 x x =  3
3

 x − 3 x khi 0 ≤ x ≤ 4
2
⇔ x=0 

Ta có

http://ebook.here.vn – Thư vi n Sách Online 3
øng dông ®¹o hµm ®Ó gi¶i PT, BPT, HPT chøa tham sè trÇn m¹nh s©m – thpt l¹ng giang sè 2

 2
3 x + 6 x khi − 1 < x < 0 S nghi m c a phương trình ñã cho b ng s giao
f '( x) =  2 ñi m c a ñ th hàm s y = f ( t ) và ñư ng th ng
3 x − 6 x khi 0 < x < 4

f ' ( x ) = 0 ⇔ x = 0; x = ±2 y = m trên  − 2; 2 
 
Ta có b ng bi n thiên : D a vào b ng bi n thiên ta suy ra phương trình có
nghi m ⇔ −1 ≤ m ≤ 1
x -1 0 2 4
f’(x) - 0 - 0 + Ví d 8: Tìm m ñ b t phương trình sau có
16 nghi m: mx − x − 3 ≤ m + 1 (1)
f(x) Gi i:
2 ð t t = x − 3 ≥ 0 ⇒ x = t 2 + 3 . Khi ñó b t phương
trình tr thành:
-4 m ( t 2 + 3) − t ≤ m + 1 ⇔ m ( t 2 + 2 ) ≤ t + 1
f ( x ) ≥ m 2 + 15m có nghi m x ∈ [ −1; 4] t +1
⇔ ≥ m (*)
⇔ max f ( x ) ≥ m 2 + 15m ⇔ 16 ≥ m 2 + 15m t2 + 2
[ −1;4] t +1
Xét hàm s f (t ) = trên ( 0; +∞ )
⇔ m + 15m − 16 ≤ 0 ⇔ −16 ≤ m ≤ 1
2
t2 + 2
V y h phương trình ñã cho có nghi m −t 2 − 2t + 2
⇔ −16 ≤ m ≤ 1 Ta có: f ' ( t ) =
(t + 2)
2 2


Ví d 7. Tìm m ñ phương trình sau có nghi m: f ' ( t ) = 0 ⇔ −t 2 − 2t + 2 = 0 ⇔ t = −1 ± 3
sin 3 x + cos3 x = m
1
Gi i 1+
sin3 x + cos3 x = m ⇔ ( sin x + cos x )(1 − sin x.cos x ) = m lim f ( t ) = lim t =0
x →+∞ x →+∞ 2
 π t+
ð t t = sin x + cos x = 2.sin  x +  , − 2 ≤ t ≤ 2 t
 4 Ta có b ng bi n thiên c a hàm s f (t )
Khi ñó: t = sin x + cos x ⇒ t = ( sin x + cos x )
2 2
t 0 −1 + 3 +∞
t 2 −1 f’(t) + 0 -
⇒ sin x.cos x =
2
Phương trình tr thành: f(t) 3 +1
1
 t 2 −1  1 3 3 4
t 1 − =m⇔− t + t=m 2
 2  2 2
0
1 3
Xét hàm s f ( t ) = − t 3 + t trên t p  − 2; 2 
  D a vào b ng bi n thiên ta suy ra b t phương trình
2 2 (1) có nghi m ⇔ b t phương trình (*) có nghi m
3 3
Ta có: f ' ( t ) = − t 2 + 3 +1
2 2 t > 0 ⇔ max f ( t ) ≥ m ⇔ m ≤
( 0;+∞ ) 4
3 3
f ' ( t ) = 0 ⇔ − t 2 + = 0 ⇔ t = ±1 Ví d 9.(A-07) Tìm m ñ phương trình sau có
2 2
Ta có b ng bi n thiên: nghi m: 3 x −1 + m x + 1 = 2 4 x2 −1
Gi i:
t - 2 -1 1 2 ði u ki n: x ≥ 1
f’(t) - 0 + 0 - 3 x −1 + m x + 1 = 2 4 x2 −1
f(t) 1 x −1 x −1
⇔ −3 + 24 = m (1)
2 x +1 x +1
2
− 2 x −1
2 ð tt=4 , khi ñó phương trình (1) tr thành:
-1 x +1
−3t 2 + 2t = m (*)

http://ebook.here.vn – Thư vi n Sách Online 4
øng dông ®¹o hµm ®Ó gi¶i PT, BPT, HPT chøa tham sè trÇn m¹nh s©m – thpt l¹ng giang sè 2

2 t2 − 9
Ta có x ≥1 ⇒ t ≥ 0 và t = 1−
4
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản