ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY

Chia sẻ: meoconbatbuom

Tham khảo tài liệu 'ứng dụng tích phân tính thể tích vật thể tròn xoay', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Nội dung Text: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY

 

  1. ỨNG DỤNG TÍ CH  P H ÂN TÍ NH  TH Ể  TÍ CH  VẬT TH Ể   TRÒN XOAY  1) DẠNG 1:   ì y = f ( x  ) ï Hình phẳng S : í x = a   quay quanh trục Ox, tạo thành vật thể tròn xoay có thể tích : ï x = b a p b ( )  î b  2  V = p ò f ( x )  dx a  Ví d ụ  1:   Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay quanh Ox hình phẳng giới hạn bởi các đường  sau :  y = x ln x, y = 0, x = 1; x = e Giả i : Ta có thê tích vật thể là : e e  2 2  V = p ò ( x ln x) dx = p ò x2  ( ln x)  dx 1 1  Ta tính tích phân trên bằng PP từng phần  dx  ì ìu = ( ln x  2  ïdu = 2 ( ln x    x  ) ) Þï ï Đặt í í 3  ïdv = x dx  ïv = x  2  î ï  3  î Áp dụng công thức tích phân từng phần ta có  : e ù p e  2p e  2  é x3 3  2   2  e V = p ê ( ln x )  1   - ò x2 ln xdxú = 3  ò  - x ln xdx ë3 31 3 û 1  Tiếp tục PP từng phân ta có :  dx  ì ïdu1  = x    ìu1  = ln x  ï Đặt  :  í Þí 2 3  îdv1  = x dx ïv = x  ï  1  3  î e  p e 2p é x3  ln x  e  1  2  ù 3 Vậy :  V = 3 ò - 1  - x dxú ê 3 3ë 3 û 1  p e3 2p é x3 ln x e x3  e ù p   ê 3 1 - 9 1  ú = 27 ( 5e - 3    ) 3  =V = - 3 3ë û  ì y = x2  - 3 x + 2  Ví dụ   2:   S : í quay quanh trục Ox  y = 0  î  ( Dạng 1 , nhưng khuyết  x = a và x = b )  é x = 1  Hoành độ giao điểm của đồ thị  với trục hoành :  x2  - 3x + 2 = 0 Û ê ë x = 2  2 2  2  Vậy : V = p ò ( x2 - 3 x + 1) dx = p ò ( x4 + 9 x2 + 1 - 6 x3 + 2 x2  - 6 x) dx 1 1  2  æ x5  3 ö 2    11  = p ò  x4 - 6 x3 + 11x2 - 6 x + 1) dx = p ç - x4 + x3 - 3 x2 + 1  1  = ( ÷ è5 2 3  ø 1  Bà i tâ p : Tính V của vật thể tạo thành khi quay các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây quanh Ox  p a)  y = xe x , y = 0, x = 1; x = 2  b)  y = tan x; y = 0; x = o; x =  3  p c)  y = 1 + sin 4 x + cos 4  x , y = 0; x = d)  y = xe x , y = 0, x = 0, x = 1  , x = p 2  h t t p : //t oa n ca p b a .com  ,  h ọc t oá n  và  ôn  t h i m iễn  p h í,  Võ T r ọn g T r í ­ toancapba@gmail.co m  1 
  2. 2) DẠNG 2:   ì y = f ( x ) ï ï y = g ( x ) ( trong đó  đó đồ thị hai  hàm số y = f ( x ) , y =  g ( x )  n ằ m về cù n g một ph ía đối  Hình phẳng S : í x = a  ï ï x = b ( a p b )  î với trục quay ox )  quay quanh trục Ox, tạo thành vật thể tròn xoay có thể tích : b  2 2  V = p ò  f ( x ) - g ( x )  dx a  Nếu trên khoảng (a ; b)  hai đồ thị không cắt  nhau, và y =  f ( x )  n ằ m n goà i y =  g ( x )  so với trục quay Ox,  b  2 2  thì công thức trên trở thành : V = p ò é f ( x ) - g ( x )  ù dx ë û a  2  ì y = x - 4 x + 6  ï ( ox )  Ví dụ  1: S í 2  ï y = - x - 2 x + 6  î ( Dạng 2 , khuyết a, b )  é x = 0  Giả i :  Hoành độ giao điểm của hai đồ thị  x2 - 4 x + 6 = - x2  - 2 x + 6 Û ê ë x = 1  Trên đoạn [0;1], ta thấy f ( x ) = - x2 - 2 x + 6 f g ( x ) = x2  - 4 x + 6 f 0,  Do đó hai đồ thị đều nằm trên trục hoành, và y =  f ( x )  nằm ngoài y =  g ( x)  so với trục ox.  1  2 2  Vậy ta có : V = p ò é( - x2 - 2 x + 6 ) - ( x2  - 4 x + 6 )  ù dx ê ú ë û 0  Dễ dàng tính được :  V = 3p   1  ì ï y = x  + 1  2  ï ( ox )  Ví dụ  2: S í 2  ï y = x  ï  î 2  2  é x = -1  1  x  Û x4 + x  - 2 = 0 Û ê 2  Giả i :  Hoành độ giao điểm của hai đồ thị :  = 2  ë x = 1  x + 1 2  x    2 1  f 0  Trên đoạn [ -1;1] : f ( x ) = ³ g ( x   = ) x2  + 1 2  ( mu ốn  biết h à m số n à o lớn  h ơn  ta  th ử  1 giá  tr ị bấ t kì củ a  x tr on g kh oả n g (­1; 1) , ở đâ y ta  th ử  x = 0 th ì f ( 0 ) = 1 f  g ( 0 ) = 0  )  æ æ 1  ö2  æ x2 ö 2  ö 1 1 1  4  dx x  Vậy ta có : V = p ò ç ç 2  ÷ - ç ÷ ÷ dx = p ò - p ò  dx  2  ç è2ø ÷ -1 ( x + 1)  -1 è è x  + 1 ø -1  4  2    ø 1  4 5  x  1  x 1  * Tính :  A = ò  dx = = 20 -1  10  -1  4 1  dx  * Tính : B = ò  x 2  ( + 1)  2    -1  æ p pö 1  Đặt  x = tan t với  t Î ç - ; ÷ suy ra :  dx =  2  dx  è 2 2 ø  cos  x p p x = -1 Þ t = -  ,  x = 1 Þ x = 4  4  h t t p : //t oa n ca p b a .com  ,  h ọc t oá n  và  ôn  t h i m iễn  p h í,  Võ T r ọn g T r í ­ toancapba@gmail.co m  2 
  3. p p p 4 4 1  4  dt   2  = ò cos tdt = ò (1 + cos 2  ) dt   Vậy B = t ò 2  (1 + tan 2 t ) cos 2  t - p 2  p p - - 4 4 4  p æp 1ö p æ p 4 ö p 1  1 æ sin 2t  ö 4  Vậy  V = p ç + ÷ - = p ç + ÷ = çt + ÷ p= + 2è 2ø 4 2  è 4 2 ø 10 è 4 5 ø  -  4  Bà i tậ p : Tính V khi quay hình sau quanh Ox  1)  y = 4 - x2 , y = x2  + 2  2)  y = x2 , y =  x ì y = f ( x ) ï ï y = - f ( x    ) quay quanh trục Ox.  3) DẠNG  3:  HÌnh phẳng S í ï x = a  ïx = b î  b  2  Khi đó công thức thể tích là : V = p ò f ( x)  dx a  Nh ậ n  xét :  Một số đư ờn g con g ( đư ờn g tr òn , elip , h ypebol , pa r a bol …) có th ể coi n h ư  là  h ợp củ a  h a i đồ  th ị h à m số  é y = b + R2  - ( x - a  ) 2  * Đường tròn : ( x - a ) + ( y - b ) = R2  Û ê 2 2    ê 2  2  ê y = b - R - ( x - a )  ë Trong đó nửa trên đường cong  là đồ thị của hàm số (1)  Nửa dưới là đồ thị của hàm số (2)  b  2 é 2  ê y = a   a - x  2 2  x y  * Elip :  2 + 2  = 1 Û ê ê y = - b   a 2 - x  a b  2  ê  a ë 2  Ví dụ  1: TÍnh thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường tròn x2  + ( y - 1)  = 1  quay  quanh trục Ox  Giải : Ta có đường tròn trên  là hợp của  hai đồ thị hàm số  y = 1 - 1 - x2 , y = 1 + 1 - x2  ì y = 1 - 1 - x  2  ï Vậy đường tròn là hình phẳng giới hạn bởi hai đồ  thị hàm số trên  S : í ï y = 1 + 1 - x2  î Hai đồ thị này nằm về một  phía đối với trục Ox ( vẽ hình )  ( dạng 2 , khuyết x = a , x = b )  Hoành độ giao điểm của hai đồ thị trên  là :  1 - 1 - x2 = 1 + 1 - x2  Û x = ±1    1  2 2  é ù ( ) - (1 - )  Vậy thể tích là : V = p ò ê 1 + 1 - x2 1 - x2  ú dx -1 ë û 1  é p pù = 4p ò  1 - x2 dx , ta tính t ích phân  này bằng pp đổi biến  x = sin t , t Î ê - ; ú ë 2 2 û  -1  4) DẠNG 4: H ìn h  ph ẳ n g giới h ạ n  bởi n h iều  đồ th ị h à m số.  Ta  ph â n  ch ia  h ìn h  ph ẳ n g đố th à n h  cá c h ìn h   th a n g con g, ta m giá c con g ( th eo cá c đư ờn g đi qu a  gia o điểm , vu ôn g góc với tr ụ c qu a y ) , và  tìn h  th ể tích   củ a  từ n g h ìn h  th a n g con g , ta m giá c con g đó qu a y qu a n h  tr ụ c h t t p : //t oa n ca p b a .com  ,  h ọc t oá n  và  ôn  t h i m iễn  p h í,  Võ T r ọn g T r í ­ toancapba@gmail.co m  3 
  4. ì y = x  ï Ví dụ  1: S : í 2  . Tính t hể t ích vật  t hể t rò n xo ay k hi qu ay  hình p hẳng t rên  ï y = ( x - 2 )  î a) Quanh trục Ox  b) Quanh trục Oy  Giải :  a) Quanh trục Ox:  2  Hoành độ giao điểm của hai đồ thị (2) và (3) là : x = ( x - 2 )  Û x2  - 5 x + 4 = 0 Û x = 1, x = 4  2  Trên đoạn [1; 4   , hai đồ thị này nằm trên trục hoành. ( vì x ³ ( x - 2 )  ³ 0 , nên vẽ ra sẽ thấy )( Thuộc dạng 2 )  ] 4 4  4  2  Vậy : V = p ò é x2 - ( x - 2 ) ù dx = p ò  4 x - 4] dx = p ( 2 x2  - 4 x)  = 18  [ p ë û 1  1 1  b) Quay quanh trục Oy:  ( Viết các hàm số  dạng x =  f ( y )  ì x = y  ï Hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số ( theo trục Oy ):  í x = 2 - y  ï î x = 2 + y Tung độ  giao điểm của các đường trên là:  ì x = y  ì x = y  ï ï Þ y = 2 - y Û y = 1 ,  í Þ y = 2 + y Û y = 4  í ï x = 2 - y ï x = 2 + y î î ì x = 2 - y  ï Þ 2 - y = 2 + y Û y = 0  í ï x = 2 + y î ì x = 2 + y  ì y = 2 + y  ï ï Phân chia hình phẳng thành 2 hình  (  xem hình  vẽ ) :  S1 : í , S  : í 2  ï x = y  ï x = 2 - y î î 1 4  2 2 2  Vậy : V = V + V2  = p ò é 2 + y - 2 - y ù dy + p ò é 2 + y )  - y ù dy ( )( ) ( 2  ê ú ê ú 1 ë û ë û 0 1  ì y = x2  - 3 x + 2  ï Ví dụ  2: Tính  thể tích khi quay hinh sau quanh trục Oy:  S : í y = 0  ï x = 0  î  Ta chuyển sang hàm số dạng x =  f ( y)  y = x2 - 3x + 2 Û x2  - 3 x + 2 - y = 0  ( coi đây  là pT bậc  hai ẩn x,  y  là tham số ) ta có : D = 9 - 4 ( 2 - y ) = 1 + 4 y 3 - 1+ 4 y 3 + 1 + 4 y  x= , x =  2 2  Dựa vào hình vẽ ta có :  2 2 2  0é æ 3 + 1+ 4y ö æ 3 - 1+ 4y ö ù 2  æ 3 - 1 + 4 y ö V = V + V2  = p ò êç ÷ údy + p ò  ÷ -ç ÷ dy ç êç ÷ç ÷ú ç ÷ 1 2 2 2  1  è øè øû 0  è ø -ë 4  x - 1  Ví dụ  3; Tính V khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số  y = và hai trục tọa độ quanh trục Oy  x + 1  2  0  æ 1 + y ö x -1 1 + y  ,  V = p ò ç y= Û yx + y = x - 1 Û x = ÷ dy  x +1 1 -  y è 1 - y ø -1  h t t p : //t oa n ca p b a .com  ,  h ọc t oá n  và  ôn  t h i m iễn  p h í,  Võ T r ọn g T r í ­ toancapba@gmail.co m  4 
  5. BÀI  TẬP  LUYỆ N TẬP   1) y = ln x, y = 0, x = 1, x = 2 ( Ox )  2) y2  = 8 x, x = 2 ( Ox, Oy )  2  3) x2 + ( y - b ) = a 2  ( 0 p a £ b ) ( Ox)  4)  y = xe x , y = 0, x = 0, x = 1  p 5) y = sin 6 x + cos 6  x , y = 0, x = 0, x =  ( Ox)  2  6) y2  = 4 x, oy, y = 2 ( Ox, Oy )  7) y = - x2  - 3x - 2, Ox, Oy [Ox, Oy]  ln x  , ox, x = e [Ox    ] 8) y = x x2  - 3x + 2  , ox, oy [Oy    ] 9) y = x - 3  10) y = x + 2 , ox, oy [ Oy]  h t t p : //t oa n ca p b a .com  ,  h ọc t oá n  và  ôn  t h i m iễn  p h í,  Võ T r ọn g T r í ­ toancapba@gmail.co m  5 
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản