ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY

Chia sẻ: Nguyen Nhi | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

0
670
lượt xem
80
download

ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'ứng dụng tích phân tính thể tích vật thể tròn xoay', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY

  1. ỨNG DỤNG TÍ CH  P H ÂN TÍ NH  TH Ể  TÍ CH  VẬT TH Ể   TRÒN XOAY  1) DẠNG 1:   ì y = f ( x  ) ï Hình phẳng S : í x = a   quay quanh trục Ox, tạo thành vật thể tròn xoay có thể tích : ï x = b a p b ( )  î b  2  V = p ò f ( x )  dx a  Ví d ụ  1:   Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay quanh Ox hình phẳng giới hạn bởi các đường  sau :  y = x ln x, y = 0, x = 1; x = e Giả i : Ta có thê tích vật thể là : e e  2 2  V = p ò ( x ln x) dx = p ò x2  ( ln x)  dx 1 1  Ta tính tích phân trên bằng PP từng phần  dx  ì ìu = ( ln x  2  ïdu = 2 ( ln x    x  ) ) Þï ï Đặt í í 3  ïdv = x dx  ïv = x  2  î ï  3  î Áp dụng công thức tích phân từng phần ta có  : e ù p e  2p e  2  é x3 3  2   2  e V = p ê ( ln x )  1   - ò x2 ln xdxú = 3  ò  - x ln xdx ë3 31 3 û 1  Tiếp tục PP từng phân ta có :  dx  ì ïdu1  = x    ìu1  = ln x  ï Đặt  :  í Þí 2 3  îdv1  = x dx ïv = x  ï  1  3  î e  p e 2p é x3  ln x  e  1  2  ù 3 Vậy :  V = 3 ò - 1  - x dxú ê 3 3ë 3 û 1  p e3 2p é x3 ln x e x3  e ù p   ê 3 1 - 9 1  ú = 27 ( 5e - 3    ) 3  =V = - 3 3ë û  ì y = x2  - 3 x + 2  Ví dụ   2:   S : í quay quanh trục Ox  y = 0  î  ( Dạng 1 , nhưng khuyết  x = a và x = b )  é x = 1  Hoành độ giao điểm của đồ thị  với trục hoành :  x2  - 3x + 2 = 0 Û ê ë x = 2  2 2  2  Vậy : V = p ò ( x2 - 3 x + 1) dx = p ò ( x4 + 9 x2 + 1 - 6 x3 + 2 x2  - 6 x) dx 1 1  2  æ x5  3 ö 2    11  = p ò  x4 - 6 x3 + 11x2 - 6 x + 1) dx = p ç - x4 + x3 - 3 x2 + 1  1  = ( ÷ è5 2 3  ø 1  Bà i tâ p : Tính V của vật thể tạo thành khi quay các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây quanh Ox  p a)  y = xe x , y = 0, x = 1; x = 2  b)  y = tan x; y = 0; x = o; x =  3  p c)  y = 1 + sin 4 x + cos 4  x , y = 0; x = d)  y = xe x , y = 0, x = 0, x = 1  , x = p 2  h t t p : //t oa n ca p b a .com  ,  h ọc t oá n  và  ôn  t h i m iễn  p h í,  Võ T r ọn g T r í ­ toancapba@gmail.co m  1 
  2. 2) DẠNG 2:   ì y = f ( x ) ï ï y = g ( x ) ( trong đó  đó đồ thị hai  hàm số y = f ( x ) , y =  g ( x )  n ằ m về cù n g một ph ía đối  Hình phẳng S : í x = a  ï ï x = b ( a p b )  î với trục quay ox )  quay quanh trục Ox, tạo thành vật thể tròn xoay có thể tích : b  2 2  V = p ò  f ( x ) - g ( x )  dx a  Nếu trên khoảng (a ; b)  hai đồ thị không cắt  nhau, và y =  f ( x )  n ằ m n goà i y =  g ( x )  so với trục quay Ox,  b  2 2  thì công thức trên trở thành : V = p ò é f ( x ) - g ( x )  ù dx ë û a  2  ì y = x - 4 x + 6  ï ( ox )  Ví dụ  1: S í 2  ï y = - x - 2 x + 6  î ( Dạng 2 , khuyết a, b )  é x = 0  Giả i :  Hoành độ giao điểm của hai đồ thị  x2 - 4 x + 6 = - x2  - 2 x + 6 Û ê ë x = 1  Trên đoạn [0;1], ta thấy f ( x ) = - x2 - 2 x + 6 f g ( x ) = x2  - 4 x + 6 f 0,  Do đó hai đồ thị đều nằm trên trục hoành, và y =  f ( x )  nằm ngoài y =  g ( x)  so với trục ox.  1  2 2  Vậy ta có : V = p ò é( - x2 - 2 x + 6 ) - ( x2  - 4 x + 6 )  ù dx ê ú ë û 0  Dễ dàng tính được :  V = 3p   1  ì ï y = x  + 1  2  ï ( ox )  Ví dụ  2: S í 2  ï y = x  ï  î 2  2  é x = -1  1  x  Û x4 + x  - 2 = 0 Û ê 2  Giả i :  Hoành độ giao điểm của hai đồ thị :  = 2  ë x = 1  x + 1 2  x    2 1  f 0  Trên đoạn [ -1;1] : f ( x ) = ³ g ( x   = ) x2  + 1 2  ( mu ốn  biết h à m số n à o lớn  h ơn  ta  th ử  1 giá  tr ị bấ t kì củ a  x tr on g kh oả n g (­1; 1) , ở đâ y ta  th ử  x = 0 th ì f ( 0 ) = 1 f  g ( 0 ) = 0  )  æ æ 1  ö2  æ x2 ö 2  ö 1 1 1  4  dx x  Vậy ta có : V = p ò ç ç 2  ÷ - ç ÷ ÷ dx = p ò - p ò  dx  2  ç è2ø ÷ -1 ( x + 1)  -1 è è x  + 1 ø -1  4  2    ø 1  4 5  x  1  x 1  * Tính :  A = ò  dx = = 20 -1  10  -1  4 1  dx  * Tính : B = ò  x 2  ( + 1)  2    -1  æ p pö 1  Đặt  x = tan t với  t Î ç - ; ÷ suy ra :  dx =  2  dx  è 2 2 ø  cos  x p p x = -1 Þ t = -  ,  x = 1 Þ x = 4  4  h t t p : //t oa n ca p b a .com  ,  h ọc t oá n  và  ôn  t h i m iễn  p h í,  Võ T r ọn g T r í ­ toancapba@gmail.co m  2 
  3. p p p 4 4 1  4  dt   2  = ò cos tdt = ò (1 + cos 2  ) dt   Vậy B = t ò 2  (1 + tan 2 t ) cos 2  t - p 2  p p - - 4 4 4  p æp 1ö p æ p 4 ö p 1  1 æ sin 2t  ö 4  Vậy  V = p ç + ÷ - = p ç + ÷ = çt + ÷ p= + 2è 2ø 4 2  è 4 2 ø 10 è 4 5 ø  -  4  Bà i tậ p : Tính V khi quay hình sau quanh Ox  1)  y = 4 - x2 , y = x2  + 2  2)  y = x2 , y =  x ì y = f ( x ) ï ï y = - f ( x    ) quay quanh trục Ox.  3) DẠNG  3:  HÌnh phẳng S í ï x = a  ïx = b î  b  2  Khi đó công thức thể tích là : V = p ò f ( x)  dx a  Nh ậ n  xét :  Một số đư ờn g con g ( đư ờn g tr òn , elip , h ypebol , pa r a bol …) có th ể coi n h ư  là  h ợp củ a  h a i đồ  th ị h à m số  é y = b + R2  - ( x - a  ) 2  * Đường tròn : ( x - a ) + ( y - b ) = R2  Û ê 2 2    ê 2  2  ê y = b - R - ( x - a )  ë Trong đó nửa trên đường cong  là đồ thị của hàm số (1)  Nửa dưới là đồ thị của hàm số (2)  b  2 é 2  ê y = a   a - x  2 2  x y  * Elip :  2 + 2  = 1 Û ê ê y = - b   a 2 - x  a b  2  ê  a ë 2  Ví dụ  1: TÍnh thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường tròn x2  + ( y - 1)  = 1  quay  quanh trục Ox  Giải : Ta có đường tròn trên  là hợp của  hai đồ thị hàm số  y = 1 - 1 - x2 , y = 1 + 1 - x2  ì y = 1 - 1 - x  2  ï Vậy đường tròn là hình phẳng giới hạn bởi hai đồ  thị hàm số trên  S : í ï y = 1 + 1 - x2  î Hai đồ thị này nằm về một  phía đối với trục Ox ( vẽ hình )  ( dạng 2 , khuyết x = a , x = b )  Hoành độ giao điểm của hai đồ thị trên  là :  1 - 1 - x2 = 1 + 1 - x2  Û x = ±1    1  2 2  é ù ( ) - (1 - )  Vậy thể tích là : V = p ò ê 1 + 1 - x2 1 - x2  ú dx -1 ë û 1  é p pù = 4p ò  1 - x2 dx , ta tính t ích phân  này bằng pp đổi biến  x = sin t , t Î ê - ; ú ë 2 2 û  -1  4) DẠNG 4: H ìn h  ph ẳ n g giới h ạ n  bởi n h iều  đồ th ị h à m số.  Ta  ph â n  ch ia  h ìn h  ph ẳ n g đố th à n h  cá c h ìn h   th a n g con g, ta m giá c con g ( th eo cá c đư ờn g đi qu a  gia o điểm , vu ôn g góc với tr ụ c qu a y ) , và  tìn h  th ể tích   củ a  từ n g h ìn h  th a n g con g , ta m giá c con g đó qu a y qu a n h  tr ụ c h t t p : //t oa n ca p b a .com  ,  h ọc t oá n  và  ôn  t h i m iễn  p h í,  Võ T r ọn g T r í ­ toancapba@gmail.co m  3 
  4. ì y = x  ï Ví dụ  1: S : í 2  . Tính t hể t ích vật  t hể t rò n xo ay k hi qu ay  hình p hẳng t rên  ï y = ( x - 2 )  î a) Quanh trục Ox  b) Quanh trục Oy  Giải :  a) Quanh trục Ox:  2  Hoành độ giao điểm của hai đồ thị (2) và (3) là : x = ( x - 2 )  Û x2  - 5 x + 4 = 0 Û x = 1, x = 4  2  Trên đoạn [1; 4   , hai đồ thị này nằm trên trục hoành. ( vì x ³ ( x - 2 )  ³ 0 , nên vẽ ra sẽ thấy )( Thuộc dạng 2 )  ] 4 4  4  2  Vậy : V = p ò é x2 - ( x - 2 ) ù dx = p ò  4 x - 4] dx = p ( 2 x2  - 4 x)  = 18  [ p ë û 1  1 1  b) Quay quanh trục Oy:  ( Viết các hàm số  dạng x =  f ( y )  ì x = y  ï Hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số ( theo trục Oy ):  í x = 2 - y  ï î x = 2 + y Tung độ  giao điểm của các đường trên là:  ì x = y  ì x = y  ï ï Þ y = 2 - y Û y = 1 ,  í Þ y = 2 + y Û y = 4  í ï x = 2 - y ï x = 2 + y î î ì x = 2 - y  ï Þ 2 - y = 2 + y Û y = 0  í ï x = 2 + y î ì x = 2 + y  ì y = 2 + y  ï ï Phân chia hình phẳng thành 2 hình  (  xem hình  vẽ ) :  S1 : í , S  : í 2  ï x = y  ï x = 2 - y î î 1 4  2 2 2  Vậy : V = V + V2  = p ò é 2 + y - 2 - y ù dy + p ò é 2 + y )  - y ù dy ( )( ) ( 2  ê ú ê ú 1 ë û ë û 0 1  ì y = x2  - 3 x + 2  ï Ví dụ  2: Tính  thể tích khi quay hinh sau quanh trục Oy:  S : í y = 0  ï x = 0  î  Ta chuyển sang hàm số dạng x =  f ( y)  y = x2 - 3x + 2 Û x2  - 3 x + 2 - y = 0  ( coi đây  là pT bậc  hai ẩn x,  y  là tham số ) ta có : D = 9 - 4 ( 2 - y ) = 1 + 4 y 3 - 1+ 4 y 3 + 1 + 4 y  x= , x =  2 2  Dựa vào hình vẽ ta có :  2 2 2  0é æ 3 + 1+ 4y ö æ 3 - 1+ 4y ö ù 2  æ 3 - 1 + 4 y ö V = V + V2  = p ò êç ÷ údy + p ò  ÷ -ç ÷ dy ç êç ÷ç ÷ú ç ÷ 1 2 2 2  1  è øè øû 0  è ø -ë 4  x - 1  Ví dụ  3; Tính V khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số  y = và hai trục tọa độ quanh trục Oy  x + 1  2  0  æ 1 + y ö x -1 1 + y  ,  V = p ò ç y= Û yx + y = x - 1 Û x = ÷ dy  x +1 1 -  y è 1 - y ø -1  h t t p : //t oa n ca p b a .com  ,  h ọc t oá n  và  ôn  t h i m iễn  p h í,  Võ T r ọn g T r í ­ toancapba@gmail.co m  4 
  5. BÀI  TẬP  LUYỆ N TẬP   1) y = ln x, y = 0, x = 1, x = 2 ( Ox )  2) y2  = 8 x, x = 2 ( Ox, Oy )  2  3) x2 + ( y - b ) = a 2  ( 0 p a £ b ) ( Ox)  4)  y = xe x , y = 0, x = 0, x = 1  p 5) y = sin 6 x + cos 6  x , y = 0, x = 0, x =  ( Ox)  2  6) y2  = 4 x, oy, y = 2 ( Ox, Oy )  7) y = - x2  - 3x - 2, Ox, Oy [Ox, Oy]  ln x  , ox, x = e [Ox    ] 8) y = x x2  - 3x + 2  , ox, oy [Oy    ] 9) y = x - 3  10) y = x + 2 , ox, oy [ Oy]  h t t p : //t oa n ca p b a .com  ,  h ọc t oá n  và  ôn  t h i m iễn  p h í,  Võ T r ọn g T r í ­ toancapba@gmail.co m  5 
Đồng bộ tài khoản