ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY

Chia sẻ: meoconbatbuom

Tham khảo tài liệu 'ứng dụng tích phân tính thể tích vật thể tròn xoay', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Nội dung Text: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY

ỨNG DỤNG TÍ CH  P H ÂN TÍ NH  TH Ể  TÍ CH  VẬT TH Ể   TRÒN XOAY 
1) DẠNG 1:  
ì y = f ( x 
)
ï
Hình phẳng S : í x = a   quay quanh trục Ox, tạo thành vật thể tròn xoay có thể tích :
ï x = b a p b
( ) 
î


V = p ò f ( x )  dx


Ví d ụ  1:   Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay quanh Ox hình phẳng giới hạn bởi các đường 
sau :  y = x ln x, y = 0, x = 1; x = e
Giả i : Ta có thê tích vật thể là :
e e 
2 2 
V = p ò ( x ln x) dx = p ò x2  ( ln x)  dx
1 1 
Ta tính tích phân trên bằng PP từng phần 
dx 
ì
ìu = ( ln x  2  ïdu = 2 ( ln x    x  )
) Þï
ï
Đặt í í 3 
ïdv = x dx  ïv = x 

î
ï  3 
î
Áp dụng công thức tích phân từng phần ta có  :
e
ù p e  2p e  2 
é x3 3 
2  
2  e
V = p ê ( ln x )  1   - ò x2 ln xdxú =
3  ò 
- x ln xdx
ë3 31 3
û 1 

Tiếp tục PP từng phân ta có : 
dx 
ì
ïdu1  = x 
 
ìu1  = ln x  ï
Đặt  :  í Þí
2 3 
îdv1  = x dx ïv = x 
ï  1  3 
î

p e 2p é x3  ln x  e  1  2  ù
3
Vậy :  V =
3 ò
- 1  - x dxú
ê
3 3ë 3 û


p e3 2p é x3 ln x e x3  e ù p
 
ê 3 1 - 9 1  ú = 27 ( 5e - 3    )

=V = -
3 3ë û 
ì y = x2  - 3 x + 2 
Ví dụ   2:   S : í quay quanh trục Ox 
y = 0 
î 
( Dạng 1 , nhưng khuyết  x = a và x = b ) 
é x = 1 
Hoành độ giao điểm của đồ thị  với trục hoành :  x2  - 3x + 2 = 0 Û ê
ë x = 2 
2 2 

Vậy : V = p ò ( x2 - 3 x + 1) dx = p ò ( x4 + 9 x2 + 1 - 6 x3 + 2 x2  - 6 x) dx
1 1 

æ x5  3 ö 2 
  11 
= p ò  x4 - 6 x3 + 11x2 - 6 x + 1) dx = p ç - x4 + x3 - 3 x2 + 1  1  =
( ÷
è5 2 3  ø


Bà i tâ p : Tính V của vật thể tạo thành khi quay các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây quanh Ox 
p
a)  y = xe x , y = 0, x = 1; x = 2  b)  y = tan x; y = 0; x = o; x = 

p
c)  y = 1 + sin 4 x + cos 4  x , y = 0; x = d)  y = xe x , y = 0, x = 0, x = 1 
, x = p


h t t p : //t oa n ca p b a .com  ,  h ọc t oá n  và  ôn  t h i m iễn  p h í,  Võ T r ọn g T r í ­ toancapba@gmail.co m  1 
2) DẠNG 2:  
ì y = f ( x )
ï
ï y = g ( x )
( trong đó  đó đồ thị hai  hàm số y = f ( x ) , y =  g ( x )  n ằ m về cù n g một ph ía đối 
Hình phẳng S : í
x = a 
ï
ï x = b ( a p b ) 
î
với trục quay ox )  quay quanh trục Ox, tạo thành vật thể tròn xoay có thể tích :

2 2 
V = p ò  f ( x ) - g ( x )  dx


Nếu trên khoảng (a ; b)  hai đồ thị không cắt  nhau, và y =  f ( x )  n ằ m n goà i y =  g ( x )  so với trục quay Ox, 

2 2 
thì công thức trên trở thành : V = p ò é f ( x ) - g ( x )  ù dx
ë û


ì y = x - 4 x + 6 
ï
( ox ) 
Ví dụ  1: S í 2 
ï y = - x - 2 x + 6 
î
( Dạng 2 , khuyết a, b ) 
é x = 0 
Giả i :  Hoành độ giao điểm của hai đồ thị  x2 - 4 x + 6 = - x2  - 2 x + 6 Û ê
ë x = 1 
Trên đoạn [0;1], ta thấy f ( x ) = - x2 - 2 x + 6 f g ( x ) = x2  - 4 x + 6 f 0, 
Do đó hai đồ thị đều nằm trên trục hoành, và y =  f ( x )  nằm ngoài y =  g ( x)  so với trục ox. 

2 2 
Vậy ta có : V = p ò é( - x2 - 2 x + 6 ) - ( x2  - 4 x + 6 )  ù dx
ê ú
ë û


Dễ dàng tính được :  V = 3p  

ì
ï y = x  + 1 

ï
( ox ) 
Ví dụ  2: S í 2 
ï y = x 
ï 
î 2 

é x = -1 
1  x 
Û x4 + x  - 2 = 0 Û ê

Giả i :  Hoành độ giao điểm của hai đồ thị :  =

ë x = 1 
x + 1 2 
x   
2

f 0 
Trên đoạn [ -1;1] : f ( x ) = ³ g ( x   =
)
x2  + 1 2 
( mu ốn  biết h à m số n à o lớn  h ơn  ta  th ử  1 giá  tr ị bấ t kì củ a  x tr on g kh oả n g (­1; 1) , ở đâ y ta  th ử  x = 0 th ì
f ( 0 ) = 1 f  g ( 0 ) = 0  ) 
æ æ 1  ö2  æ x2 ö 2  ö
1 1 1  4 
dx x 
Vậy ta có : V = p ò ç ç 2  ÷ - ç ÷ ÷ dx = p ò - p ò  dx 

ç è2ø ÷ -1 ( x + 1) 
-1 è è x  + 1 ø -1  4 

 
ø
1  4 5 
x  1 
x 1 
* Tính :  A = ò  dx = =
20 -1  10 
-1  4

dx 
* Tính : B = ò  x 2 
( + 1) 

 
-1 


æ p pö 1 
Đặt  x = tan t với  t Î ç - ; ÷ suy ra :  dx =  2  dx 
è 2 2 ø  cos  x
p p
x = -1 Þ t = -  ,  x = 1 Þ x =
4  4 
h t t p : //t oa n ca p b a .com  ,  h ọc t oá n  và  ôn  t h i m iễn  p h í,  Võ T r ọn g T r í ­ toancapba@gmail.co m  2 
p p p
4 4
1  4 
dt   2 
= ò cos tdt = ò (1 + cos 2  ) dt  
Vậy B = t
ò 2 
(1 + tan 2 t ) cos 2  t - p 2  p
p
- -
4 4 4 

p
æp 1ö p æ p 4 ö
p 1 
1 æ sin 2t  ö 4 
Vậy  V = p ç + ÷ - = p ç + ÷
= çt + ÷ p= +
2è 2ø 4 2  è 4 2 ø 10 è 4 5 ø 


Bà i tậ p : Tính V khi quay hình sau quanh Ox 
1)  y = 4 - x2 , y = x2  + 2 
2)  y = x2 , y =  x
ì y = f ( x )
ï
ï y = - f ( x   
) quay quanh trục Ox. 
3) DẠNG  3:  HÌnh phẳng S í
ï x = a 
ïx = b
î 


Khi đó công thức thể tích là : V = p ò f ( x)  dx


Nh ậ n  xét :  Một số đư ờn g con g ( đư ờn g tr òn , elip , h ypebol , pa r a bol …) có th ể coi n h ư  là  h ợp củ a  h a i đồ 
th ị h à m số 
é y = b + R2  - ( x - a  ) 2 
* Đường tròn : ( x - a ) + ( y - b ) = R2  Û ê
2 2 
 
ê 2 

ê y = b - R - ( x - a ) 
ë
Trong đó nửa trên đường cong  là đồ thị của hàm số (1) 
Nửa dưới là đồ thị của hàm số (2) 
b  2
é 2 
ê y = a   a - x 
2 2 
x y 
* Elip :  2 + 2  = 1 Û ê
ê y = - b   a 2 - x 
a b  2 
ê  a
ë

Ví dụ  1: TÍnh thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường tròn x2  + ( y - 1)  = 1  quay 
quanh trục Ox 
Giải : Ta có đường tròn trên  là hợp của  hai đồ thị hàm số 
y = 1 - 1 - x2 , y = 1 + 1 - x2 
ì y = 1 - 1 - x 

ï
Vậy đường tròn là hình phẳng giới hạn bởi hai đồ  thị hàm số trên  S : í
ï y = 1 + 1 - x2 
î
Hai đồ thị này nằm về một  phía đối với trục Ox ( vẽ hình ) 
( dạng 2 , khuyết x = a , x = b ) 
Hoành độ giao điểm của hai đồ thị trên  là :  1 - 1 - x2 = 1 + 1 - x2  Û x = ±1 
 
1  2 2 
é ù
( ) - (1 - ) 
Vậy thể tích là : V = p ò ê 1 + 1 - x2 1 - x2  ú dx
-1 ë û

é p pù
= 4p ò  1 - x2 dx , ta tính t ích phân  này bằng pp đổi biến  x = sin t , t Î ê - ; ú
ë 2 2 û 
-1 
4) DẠNG 4: H ìn h  ph ẳ n g giới h ạ n  bởi n h iều  đồ th ị h à m số.  Ta  ph â n  ch ia  h ìn h  ph ẳ n g đố th à n h  cá c h ìn h  
th a n g con g, ta m giá c con g ( th eo cá c đư ờn g đi qu a  gia o điểm , vu ôn g góc với tr ụ c qu a y ) , và  tìn h  th ể tích  
củ a  từ n g h ìn h  th a n g con g , ta m giá c con g đó qu a y qu a n h  tr ụ c
h t t p : //t oa n ca p b a .com  ,  h ọc t oá n  và  ôn  t h i m iễn  p h í,  Võ T r ọn g T r í ­ toancapba@gmail.co m  3 
ì y = x 
ï
Ví dụ  1: S : í 2  . Tính t hể t ích vật  t hể t rò n xo ay k hi qu ay  hình p hẳng t rên 
ï y = ( x - 2 ) 
î
a) Quanh trục Ox 
b) Quanh trục Oy 
Giải : 
a) Quanh trục Ox: 

Hoành độ giao điểm của hai đồ thị (2) và (3) là : x = ( x - 2 )  Û x2  - 5 x + 4 = 0 Û x = 1, x = 4 

Trên đoạn [1; 4   , hai đồ thị này nằm trên trục hoành. ( vì x ³ ( x - 2 )  ³ 0 , nên vẽ ra sẽ thấy )( Thuộc dạng 2 ) 
]
4 4 


Vậy : V = p ò é x2 - ( x - 2 ) ù dx = p ò  4 x - 4] dx = p ( 2 x2  - 4 x)  = 18 
[ p
ë û 1 
1 1 

b) Quay quanh trục Oy:  ( Viết các hàm số  dạng x =  f ( y ) 
ì x = y 
ï
Hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số ( theo trục Oy ):  í x = 2 - y 
ï
î x = 2 + y
Tung độ  giao điểm của các đường trên là: 
ì x = y  ì x = y 
ï ï
Þ y = 2 - y Û y = 1 ,  í Þ y = 2 + y Û y = 4 
í
ï x = 2 - y ï x = 2 + y
î î
ì x = 2 - y 
ï
Þ 2 - y = 2 + y Û y = 0 
í
ï x = 2 + y
î
ì x = 2 + y  ì y = 2 + y 
ï ï
Phân chia hình phẳng thành 2 hình  (  xem hình  vẽ ) :  S1 : í , S  : í

ï x = y 
ï x = 2 - y î
î
1 4 
2 2 2 
Vậy : V = V + V2  = p ò é 2 + y - 2 - y ù dy + p ò é 2 + y )  - y ù dy
( )( ) ( 2 
ê ú ê ú
1
ë û ë û
0 1 

ì y = x2  - 3 x + 2 
ï
Ví dụ  2: Tính  thể tích khi quay hinh sau quanh trục Oy:  S : í y = 0 
ï x = 0 
î 
Ta chuyển sang hàm số dạng x =  f ( y) 
y = x2 - 3x + 2 Û x2  - 3 x + 2 - y = 0  ( coi đây  là pT bậc  hai ẩn x,  y  là tham số ) ta có :
D = 9 - 4 ( 2 - y ) = 1 + 4 y
3 - 1+ 4 y 3 + 1 + 4 y 
x= , x = 
2 2 
Dựa vào hình vẽ ta có : 
2 2 2 

æ 3 + 1+ 4y ö æ 3 - 1+ 4y ö ù 2 
æ 3 - 1 + 4 y ö
V = V + V2  = p ò êç ÷ údy + p ò 
÷ -ç ÷ dy
ç
êç ÷ç ÷ú ç ÷
1
2 2 2 
1  è øè øû 0  è ø



x - 1 
Ví dụ  3; Tính V khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số  y = và hai trục tọa độ quanh trục Oy 
x + 1 


æ 1 + y ö
x -1 1 + y 
,  V = p ò ç
y= Û yx + y = x - 1 Û x = ÷ dy 
x +1 1 -  y è 1 - y ø
-1 

h t t p : //t oa n ca p b a .com  ,  h ọc t oá n  và  ôn  t h i m iễn  p h í,  Võ T r ọn g T r í ­ toancapba@gmail.co m  4 
BÀI  TẬP  LUYỆ N TẬP  

1) y = ln x, y = 0, x = 1, x = 2 ( Ox ) 
2) y2  = 8 x, x = 2 ( Ox, Oy ) 

3) x2 + ( y - b ) = a 2  ( 0 p a £ b ) ( Ox) 
4)  y = xe x , y = 0, x = 0, x = 1 
p
5) y = sin 6 x + cos 6  x , y = 0, x = 0, x =  ( Ox) 

6) y2  = 4 x, oy, y = 2 ( Ox, Oy ) 
7) y = - x2  - 3x - 2, Ox, Oy [Ox, Oy] 
ln x 
, ox, x = e [Ox   
]
8) y =
x
x2  - 3x + 2 
, ox, oy [Oy   
]
9) y =
x - 3 
10) y = x + 2 , ox, oy [ Oy] 




h t t p : //t oa n ca p b a .com  ,  h ọc t oá n  và  ôn  t h i m iễn  p h í,  Võ T r ọn g T r í ­ toancapba@gmail.co m  5 
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản